Poliedros (EsSA-ESSEX)

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EQUIPE OS CONTÍNUOS 
MATEMÁTICA 
AULA 40 
 
 
POLIEDROS 
 
 
 
São sólidos geométricos limitados por porções 
de planos- polígonos planos -denominados 
faces. 
 
 
 
 
POLIEDROS DE PLANTÃO: 
 
Um poliedro é chamado de poliedros de Platão 
quando preenche as seguintes condições: 
 
• Todas as faces têm o mesmo número 
de n de arestas; 
• Todos os ângulos poliédricos têm o 
mesmo número de m arestas; 
• Vale a relação de Euler; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1) Quantas arestas tem um poliedro convexo 
de faces triangulares e quadrangulares. Se ele 
tem 20 arestas e 10 vértices, então, o número 
de de faces triangulares é : 
 a)12 b)11 c)10 d)9 e)8 
2) O tetra-hexaedro é um sólido convexo 
limitado por 4 faces triangulares e 6 
hexagonais, todas regulares. 
 
O número de arestas e vértices dese sólido é 
 
a) A=21 V=13 
 
b) A=24 V=16 
 
c) A=48 V=40 
 
d) A=32 V=24 
 
e) A=34 V=24 
3) Um poliedro convexo de nove vértices 
possui quatro ângulos triédricos e cinco 
ângulos tetraédricos. Então o número de faces 
deste poliedro é: 
a)12 b)11 c)10 d)9 e)8 
4) Um poliedro convexo possui duas faces 
pentagonais e cinco quadrangulares. O 
número de vértices deste poliedro é: 
a)4 b)6 c)8 d)9 e)10 
5) Quantas arestas tem um poliedro convexo 
de faces triangulares em que o número de 
vértices 3/5 do número de faces? 
a)60 b)30 c)25 d)20 e)15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 40 
 
 
6) O poliedro representado na figura (octaedro 
truncado) é construído a partir de um octaedro 
regular, cortando-se, para tal, em cada vértice, 
uma pirâmide regular de base quadrangular. A 
soma dos ângulos internos de todas as faces 
do octaedro truncado é: 
 
 
a) 2160 
b) 5760 
c) 7920 
d) 10080 
e) 13680 
 
7) Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 
20 hexágonos e 12 pentágonos. O número de 
vértices deste polígono 
a) 90. b) 72. c) 60. d) 56. 
 
8) Em um poliedro convexo só há faces 
triangulares e quadrangulares e apenas 
ângulos tetraédricos e pentaédricos. Se esse 
poliedro tem 15 faces e 12 vértices, assinale o 
que for correto. 
01) O número de arestas é 50. 
02) O número de faces quadrangulares é a 
metade do número de faces triangulares. 
04) O número de ângulos tetraédricos é o 
dobro do número de ângulos pentaédricos. 
08) A soma dos ângulos das faces é igual a 40 
retos. 
16) O número de ângulos tetraédricos é 5. 
 
 
9) A figura mostra uma peça feita em 1587 por 
Stefano Buonsignori, e está exposta no Museu 
Galileo, em Florença, na Itália. Esse 
instrumento tem a forma de um dodecaedro 
regular e, em cada uma de suas faces 
pentagonais, há a gravação de um tipo 
diferente de relógio. 
 
 
 
Em 1758, o matemático Leonard Euler (1707-
1783) descobriu o teorema conhecido por 
relação de Euler: em todo poliedro convexo 
com V vértices, A arestas e F faces, vale a 
relação V A F 2.   Ao se aplicar a relação 
de Euler no poliedro da figura, o número de 
arestas não visíveis é 
a) 10. b) 12. c) 15. d) 16. e) 18. 
 
10) De cada vértice de um prisma hexagonal 
regular foi retirado um tetraedro, como 
exemplificado para um dos vértices do prisma 
desenhado a seguir. 
 
 
 
O plano que definiu cada corte feito para retirar 
os tetraedros passa pelos pontos médios das 
três arestas que concorrem num mesmo 
vértice do prisma. O número de faces do 
poliedro obtido depois de terem sido retirados 
todos os tetraedros é 
a) 24. b) 20. c) 18. d) 16. e) 12. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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11) As arestas de um cubo medem 10 cm. De 
cada um de seus vértices, retira-se uma 
pirâmide de base triangular, cujas arestas 
ligadas ao vértice do cubo possuem todas a 
mesma medida a e são partes das arestas do 
cubo. Após a remoção das pirâmides, obtém-
se um poliedro convexo P. Baseando-se 
nessas informações, assinale o que for 
correto. 
01) Se a < 5 cm, o poliedro P tem 14 faces. 
02) Se a < 5 cm, o poliedro P tem 36 arestas. 
04) Se a < 5 cm, o poliedro P tem 24 vértices. 
08) Se a = 5 cm, o poliedro P tem 30 arestas. 
16) Se a = 5 cm, o poliedro P tem 16 vértices. 
 
12) Um poliedro convexo possui 8 (oito) faces, 
todas triangulares. Nestas condições, 
assumindo que tal poliedro exista, o número 
esperado de vértices para este será 
a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 
 
13) Um poliedro convexo com 32 vértices 
possui apenas faces triangulares. O número 
de arestas deste poliedro é 
a) 100. b) 120. c) 90. d) 80. 
 
 
 
14) Dois dados, com doze faces pentagonais 
cada um, têm a forma de dodecaedros 
regulares. Se os dodecaedros estão 
justapostos por uma de suas faces, que 
coincidem perfeitamente, formam um poliedro 
côncavo, conforme ilustra a figura. 
 
 
 
Considere o número de vértices V, de faces F 
e de arestas A desse poliedro côncavo. 
A soma V F A  é igual a: 
a) 102 b) 106 c) 110 d) 112 
 
 
 
 
15) A bola de futebol evoluiu ao longo do 
tempo e, atualmente, é um icosaedro truncado, 
formado por 32 peças, denominadas de gomos 
e, geometricamente, de faces. Nessa bola, 12 
faces são pentágonos regulares, e as outras, 
hexágonos, também regulares. Os lados dos 
pentágonos e dos hexágonos são iguais e 
costurados. Ao unirem-se os dois lados 
costurados das faces, formam-se as arestas. 
O encontro das arestas formam os vértices. 
Quando cheio, o poliedro é similar a uma 
esfera. 
 
 
 
O número de arestas e o número de vértices 
existentes nessa bola de futebol são, 
respectivamente, 
 
Pode ser utilizado o Teorema de Descartes-
Euler, A 2 V F   
a) 80 e 60 
b) 80 e 50 
c) 70 e 40 
d) 90 e 60 
e) 90 e 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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