sistemas lineares

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Sistemas de Equações Lineares 
 
� Equação Linear é toda equação da forma 
 
 
 
 
 
em que 
naaaa ,...,,, 321 são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas 
nxxxx ,...,,, 321 , e b é um número real chamado termo independente. 
 
Por exemplo, 1−=+−+ tzyx é uma equação linear a quatro incógnitas. 
 
 Quando b = 0, a equação denomina-se linear homogênea. 
 
 Uma equação não linear é aquela que apresenta termos da forma 21
2
1 . , xxx . Portanto as 
equações 24 e 323 2
2
1 =+−−=+ zxyxx não são lineares. Nas equações lineares, cada termo da 
equação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1. 
 
� Sistema Linear de m equações e n incógnitas é o conjunto de equações lineares da forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Uma solução para este sistema é uma n-upla de números reais ordenados ( )nxxxx ,...,,, 321 , que 
satisfaça simultaneamente as m equações do sistema. 
 
 No caso particular em que 0...321 ===== nbbbb , o sistema é chamado de sistema linear 
homogêneo. A n-upla ( )0,...,0,0,0 é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e 
recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais 
 







=++++
=++++
=++++
mnmnmmm
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
...
...
...
332211
22323222121
11313212111
 (*) 
bxaxaxaxa nn =++++ ...332211
 
� Expressão Matricial de um Sistema de Equações Lineares 
 
 Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução de um sistema de 
equações lineares. 
 
 Utilizando matrizes, podemos representar o sistema (*) da seguinte forma: 
 
 
1
3
2
1
1
3
2
1
mxn321
3333231
2232221
1131211
 
mxmnxnmnmmm
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
















=
































MM
K
MKMMM
K
K
L
 matriz dos termos independentes 
matriz constituída pelos 
coeficientes das incógnitas matriz constituída pelas incógnitas 
 
 
ou equivalentemente AX = B. 
 
 Outra matriz que podemos associar ao sistema é: 
 
 3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
















mmnmmm
n
n
n
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
M
K
MKMMM
K
K
L
 
 
que chamamos matriz ampliada ou completa do sistema. Cada linha desta matriz, é simplesmente 
uma representação abreviada da equação correspondente no sistema. 
 
Por exemplo, consideremos o sistema de equações lineares





=−−
=++
=++
523
4452
134
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
sua forma matricial é: 
 










=




















−− 5
4
1
 
231
452
341
3
2
1
x
x
x
 
 
e a matriz ampliada do sistema 
 
 
 
 
5
4
1
 
231
452
341










−−
 
� Classificação dos Sistemas Lineares 
 
Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma: 
 
 Determinado 
 Possível ou Compatível (admite uma única solução) 
 (quando admite solução) 
 Indeterminado 
 (admite infinitas soluções) 
 Sistema Linear 
 
 
 
 Impossível ou incompatível 
 (quando não admite solução) 
 
 
Cada uma destas situações pode ser representada geometricamente no caso de 
sistemas de equações lineares de 2 equações e 2 incógnitas e também para o caso de 
sistemas de 3 equações e 3 incógnitas. Para ilustrar o que foi exposto, vejamos os exemplos 
a seguir: 
 
Consideremos os sistemas, 
 
a) � 2� + � = 4−� + 2� = 3
 b) � 2� + � = 48� + 4� = 12
 c) � 2� + � = 48� + 4� = 16
 
 
 
 
 
 
 
a) �� = −2� + 4� = �� � + ��
 
 
b) � � = −2� + 4� = − �� � + ���
 
 
 
c) � � = −2� + 4� = − �� � + ���
 , 
Por meio de operações apropriadas, os sistemas acima podem ser reescritos como, 
 
 
UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS
Álgebra Vetorial e Matricial
Sistemas Lineares
 
Material elaborado pelos professores Diego Lieban e Zeliane Arruda 
Cada equação presente nos sistemas acima representa uma reta no Plano Cartesiano. 
 
 Repare que a primeira equação é comum a todos os sistemas e tem por gráfico, a 
reta representada abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para cada ponto desta reta, temos associado um par (�, �) que satisfaz a primeira 
equação, ou seja, é solução desta equação. 
Observe que, sendo assim, uma única equação linear com 2 incógnitas apresenta 
infinitas soluções, a saber, todos os pares (�, �) que satisfazem a equação da reta. 
O conjunto solução do SISTEMA em cada caso dar-se-á, então, quando 
confrontarmos estas soluções com as soluções da equação. Isto é, corresponderá ao 
conjunto interseção de soluções das duas retas (equações). 
Voltando aos nossos exemplos e, considerando as posições relativas entre retas 
no plano, temos que as únicas possibilidades para esse conjunto são: 
 
Conjunto Unitário 
Conjunto Vazio 
Conjunto Infinito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo algebricamente os sistemas, confirmamos o que vimos acima: 
 
a) � 2x + y = 4−x + 2y = 3 
∗�
 � 2x + y = 4−2x + 4y = 6 
∗∗� 
 �2x + y = 45y = 10 �
 y = 2 e x = 1, 
 
• nenhuma 
solução (dizemos 
que o SISTEMA é 
IMPOSSÍVEL) 
 
• Infinitas soluções 
(dizemos que o 
SISTEMA é 
POSSÍVEL e 
DETERMINADO 
• uma única solução 
(dizemos que o 
SISTEMA é 
POSSÍVEL e 
DETERMINADO ) 
 
 
 
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Material elaborado pelos professores Diego Lieban e Zeliane Arruda 
ou seja, o par (1, 2) é a única solução do sistema. 
 
*multiplicando a segunda equação por 2; 
**somando as duas equações e substituindo a resultante na segunda equação; 
 
b) � 2� + � = 48� + 4� = 12 
∗�
 �−8� + 4� = −168� + 4� = 12 
∗∗�
 � 0 = −45� = 10
, 
 
ou seja, a inconsistência da igualdade obtida denota que o sistema é impossível. 
 
*multiplicando a primeira equação por -4; 
**somando as duas equações e substituindo a resultante na primeira equação; 
 
c) � 2� + � = 48� + 4� = 16 
∗�
 �−8� + 4� = −168� + 4� = 16 
∗∗�
 � 0 = 08� + 4� = 16
 , 
 
ou seja, o sistema resume-se a uma única equação (já que 0 = 0 para quaisquer valores 
de � e �) que, como vimos, tem infinitas soluções. 
 
*multiplicando a primeira equação por -4; 
**somando as duas equações e substituindo a resultante na primeira equação; 
 
 
ESTENDENDO A IDEIA 
 
É fundamental notarmos que ao trabalharmos com 3 equações e 3 incógnitas, 
embora de natureza geométrica diferente, o sistema também apresentará apenas uma das 
situações: 
 
•uma única solução – o SISTEMA é POSSÍVEL e DETERMINADO (SPD); 
• nenhuma solução - o SISTEMA é IMPOSSÍVEL (SI); 
• infinitas soluções – o SISTEMA é POSSÍVEL e INDETERMINADO (SPI) 
 
Isto se deve ao fato de uma equação linear com 3 incógnitas representar um plano no 
espaço. Se considerarmos 3 planos concomitantemente, teremos 7 situações possíveis, 
quais são: 
 
 
• com uma única solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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• sem solução 
 
 
• com infinitas soluções 
 
� Resolução de um Sistema Linear pelo Método de Escalonamento 
 
O processo de resolução de um sistema linear que envolve a eliminação de incógnitas é 
denominado método de escalonamento. Este método consiste em transformar o sistema linear 
original AX = B, por meio de operações elementares1, num sistema linear equivalente2 com 
matriz dos coeficientes triangular superior. A solução do sistema é encontrada por retro-
substituição. 
 
Exemplo 1 : Resolva o sistema 



====++++
−−−−====−−−−
1042
234
yx
yx
 pelo método de escalonamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Resolva o sistema 





====−−−−−−−−
====++++−−−−
====++++++++
733
822
542
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 pelo método de escalonamento. 
 
 
 
 
1
 São operações realizadas sobre as equações de um sistema linear, que o transformam num sistema 
triangular equivalente sem alterar a solução do sistema, a saber: 
i. Trocar a ordem de duas equações do sistema; 
ii. Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula; 
iii. Adicionar duas equações do sistema. 
 
2
 Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem a mesma solução. 
 
 
 
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Exercícios 
Resolva os seguintes sistemas lineares pelo método de escalonamento: 
 
a) 



====++++
====−−−−
32
12
yx
yx
 b) 







====++++
−−−−====++++
====++++
====++++
2210
65
6810
852
43
21
42
32
xx
xx
xx
xx
 c) 





−−−−====++++−−−−
====−−−−++++
====−−−−++++
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
d) 





−−−−====++++−−−−
====−−−−++++
−−−−====++++−−−−
532
642
523
zyx
zyx
zyx
 e) 





====++++−−−−
====++++++++
====−−−−++++
2
6
22
zyx
zyx
zyx
 f) 







====++++++++++++
−−−−====−−−−−−−−−−−−
====++++++++++++
====++++++++++++
3
1
5432
10234
zwyx
zwyx
zwyx
zwyx
 
 
 
Respostas: 
 
a) � = 1 " � = 1 
b) �� = −1; �� = −1; �� = 2 " �� = 2 
c) �� = 1; �� = 2 " �� = 3 
d) � = −1; � = 2 " $ = 0 
e) � = 1; � = 2 " $ = 3 
f) Sistema Impossível