Introdução aos Quadrados Mínimos

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Cálculo Numérico
EAD - Aula 5: Introdução aos Quadrados Mínimos
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Conteúdos
1 Introdução e Motivação
2 Sobre álgebra linear
3 Ajuste por polinômios
4 Referências
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Introdução
Já vimos que podemos trabalhar com interpolação polinomial quando temos
uma tabela de valores. No entanto, existem situações em que o uso da
interpolação não é apropriado ou mesmo aconselhável:
• Quando precisamos obter um valor aproximado fora da tabela de valores.
• Em casos em que o valores da tabela contém erros inerentes ao
experimento.
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Introdução
Existe a necessidade de ajustar os valores tabelados por aproximações que nos
permitam extrapolar com uma certa marge de segurança.
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Motivação - Lei de Hooke
Formulação
A lei de Hooke é dada por
‖~F‖ = κ∆x,
onde κ representa a constante elástica.
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Motivação - Lei de Hooke
Imagine que você está interessado em determinar a constante elástica de uma
mola. Após vários experimentos você obteve a seguinte tabela:
∆x (m) 0 0.1 0.2 0.4
‖~F‖ (N) 0 5 15 20
Você consegue descobrir um valor aproximado para a constante elástica κ
desta mola?
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Lei de Hooke
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Motivação
Sistema incompatível
Pela lei de Hooke temos
κ(0.1) = 5
κ(0.2) = 15
κ(0.4) = 20
É muito claro que este sistema não possui solução! Como podemos obter o κ?
Vamos deixar este problema em espera e voltar nossa atenção aos conteúdos do seu
ciclo básico de Matemática.
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Subespaço de Rm
Teorema
Seja S um subespaço vetorial de Rm. Para cada ~b ∈ Rm existe um único elemento ~p ∈ S
que está o mais próximo possível de ~b. Em outras palavras, temos que
‖~b−~y‖ > ‖~b− ~p‖
para todo~y 6= ~p em S.
Observação
Um vetor ~p ∈ S está mais próximo possível de um vetor dado ~b ∈ Rm se, e somente se
(~b− ~p) ∈ S⊥. Onde S⊥ é o complemento ortogonal de S.
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Subespaço de R2
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Equações Normais
Solução em quadrados mínimos
Se A é uma matriz m× n de posto n, então as equações normais
ATAx = ATb
possuem uma única solução
x∗ = (ATA)−1ATb.
Dizemos que x∗ é a solução de quadrados mínimos de Ax = b.
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Voltando ao exemplo da lei de Hooke
Problema da mola
Voltando ao problema da mola, podemos escrever o sistema na forma de equações
normais:
κ
[
0.1 0.2 0.4
] 0.10.2
0.4
 = [0.1 0.2 0.4]
 515
20

que implica κ (0.21)=11.5, portanto temos κ ≈ 54.7(N/m).
Observação
Esta formulação poderia ter sido feita por uso de cálculo diferencial integral. No futuro,
teremos uma aula sobre teoria da aproximação onde vamos explorar tais idéias.
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Ajuste por polinômios
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Ajuste por reta
Considere a tabela de valores
x x0 x1 ... xn
y y0 y1 ... yn
Vamos ajustar estes dados usando y = α0 + α1x, neste caso temos o sistema:
1 x0
1 x1
. .
. .
1 xn

[
α0
α1
]
=

y0
y1
.
.
yn

que é um sistema incompatível.
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Ajuste por reta: Equações normais
As equações normais são dadas por
[
1 1 . . 1
x0 x1 . . xn
]
1 x0
1 x1
. .
. .
1 xn

[
α0
α1
]
=
[
1 1 . . 1
x0 x1 . . xn
]
y0
y1
.
.
yn

as equações normais ficam da forma[
a b
b c
] [
α0
α1
]
=
[
y∗0
y∗1
]
(1)
que é um sistema com solução pois a matriz é invertível. A solução de (1)
fornece os parâmetros para a curva que melhor ajusta os dados.
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Ajuste por reta: Exemplo
Dada a tabela de valores:
x 0 3 6
y 1 4 5
Vamos ajustar estes dados usando y = α0 + α1x. As equações normais são
[
1 1 1
0 3 6
]1 01 3
1 6
[α0
α1
]
=
[
1 1 1
0 3 6
]14
5

portanto [
3 9
9 45
] [
α0
α1
]
=
[
10
42
]
com solução α0 = 43 e α1 =
2
3 e a reta que melhor ajusta os dados é
y = 4
3
+
2
3
x.
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Ajuste por uma função quadrática
Considere a mesma tabela
x x0 x1 ... xn
y y0 y1 ... yn
e vamos ajustar estes dados usando y = α0 + α1x + α2x2. que gera o sistema
1 x0 x20
1 x1 x21
. . .
. . .
1 xn x2n

α0α1
α2
 =

y0
y1
.
.
yn

Podemos também neste caso usar as equações normais para resolver o
sistema.Vejamos por meio de um exemplo.
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Ajuste por uma função quadrática: Exemplo
Dada a tabela de valores:
x 0 1 2 3
y 3 2 4 4
O sistema fica dado por 
1 0 0
1 1 1
1 2 4
1 3 9

α0α1
α2
 =

3
2
4
4

com as equações normais (ATAx = ATb) 4 6 146 14 36
14 36 98
α0α1
α2
 =
1322
54

e resolvendo este sistema vemos que a curva que melhor ajusta os dados é
y = 2.75− 0.25x + 0.25x2.
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Comentários
• Generalize para polinômios de ordem mais alta.
• Implemente uma rotina para fazer o procedimento.
• Casos não lineares serão estudados na aula de teoria da aproximação.
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Referências
• Ruggiero, M. A. G. e Lopes, V. L. R. - Cálculo Numérico: aspectos teóricos e
computacionais.
• Neide Bertoldi Franco - Cálculo Numérico
• Steve Leon - Álgebra Linear com Aplicações
• H. Moysés Nussenzveig - Um curso de física
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	Introdução e Motivação
	Sobre álgebra linear
	Ajuste por polinômios
	Referências