5 Cisalhamento Puro

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Cisalhamento Puro
Resistência dos Materiais
4.1 Tensões de cisalhamento
• A tensão de cisalhamento surge do efeito das forças cortantes 
no elemento. Essas cargas atuam diretamente sobre o 
elemento ou quando decompomos forças inclinadas em relação 
a seção transversal do elemento.
• Uma das componentes da força inclinada será perpendicular a 
seção transversal causando tensões normais no elemento, e a 
outra componente será paralela a seção causando tensões de 
cisalhamento (forças que tendem a cortar o elemento).
• Exemplos simples do desenvolvimento de tensões de 
cisalhamento são peças ligadas por rebites ou parafusos.
• Neste caso a força está aplicada em somente uma área de corte 
do parafuso.
• As forças são paralelas a área da seção transversal do parafuso, e 
é esta área que sofre cisalhamento. Portanto a tensão média de 
cisalhamento no parafuso será a força dividida pela sua área.
(V = F)
4.1.1 Cisalhamento simples
• Quando a junta tem uma configuração onde duas superfícies 
sofrem cisalhamento, teremos metade da força aplicada em cada 
área de cisalhamento. V = F/2. Chamamos cisalhamento duplo. 
• Os diagramas de corpo livre são mostrados nas figuras b e d. 
4.1.2 Cisalhamento duplo
• Considerando um elemento infinitesimal submetido à tensão 
de cisalhamento em sua face superior.
• Não existem tensões normais sobre o elemento, então o 
equilíbrio na direção horizontal só pode existir se na face 
inferior do cubo houver uma tensão cisalhante igual em 
sentido oposto ao da face superior.
4.2 Deformação de cisalhamento
• Da mesma forma, para que as tensões horizontais não 
causem um giro no elemento, deverão existir nas faces 
verticais tensões de cisalhamento que equilibrem os 
momentos gerados, mantendo o equilíbrio do elemento.
• Um elemento que possui a configuração acima, sujeito 
apenas às tensões de cisalhamento estará sob cisalhamento 
puro.
4.2 Deformação de cisalhamento
• Então, o equilíbrio das forças e dos momentos no elemento 
requer que a tensão de cisalhamento da face superior seja 
acompanhada por tensões de cisalhamento que atuam nas 
outras três faces. 
• As intensidades dessas tensões devem ser iguais, e seus 
sentidos serão iguais ou opostos nas bordas do elemento. 
• Esta condição é chamada propriedade complementar do 
cisalhamento . 
4.2 Deformação de cisalhamento
• A figura abaixo mostra a face do cubo infinitesimal sofrendo 
deformação por cisalhamento puro. 
• Como não existem tensões normais sobre o elemento, não 
existirá diferença nos comprimentos das arestas ab, bd, cd e ac. 
• No entanto o quadrado abdc se transforma em um 
paralelogramo.
4.2 Deformação de cisalhamento
• O ângulo no vértice c, passa de um valor π/2 antes da 
deformação para um valor π/2-γ.
• Da mesma forma, no vértice d, o ângulo passa de π/2 para um 
valor π/2+γ.
• O ângulo γ é a medida da distorção provocada pelo 
cisalhamento, e é chamado deformação por cisalhamento. 
• A deformação γ representa o deslizamento horizontal da aresta 
superior em relação a aresta inferior.
• A tangente do ângulo γ será o deslizamento
sobre a distância entre as bordas.
tg γ = (cat. oposto/cat. adjacente)
γ = medido em radianos (adimensional)
• Da mesma forma que acontece com as tensões e deformações 
que surgem do carregamento axial, existe uma proporção entre 
as tensões e deformações de cisalhamento, que pode ser 
expressa através da Lei de Hooke.
• Ou seja, no diagrama de tensões versus deformações de 
cisalhamento existe uma fase “linear elástica” onde podemos 
usar uma constante de proporcionalidade. 
Diagrama tensão-deformação de cisalhamento
• Da mesma forma que acontece com as tensões e deformações 
que surgem do carregamento axial, existe uma proporção entre 
as tensões e deformações de cisalhamento, que pode ser 
expressa através da Lei de Hooke.
• Ou seja, no diagrama de tensões versus deformações de 
cisalhamento existe uma fase “linear elástica” onde podemos 
usar uma constante de proporcionalidade. A equação 
representa a reta no diagrama.
• Onde G é o módulo de elasticidade transversal do material (ou 
módulo de elasticidade ao cisalhamento, ou módulo de rigidez).
– Unidade de G: Pa (Pascal)
Diagrama tensão-deformação de cisalhamento
• A relação entre o módulo de elasticidade longitudinal e o 
módulo de elasticidade transversal do material pode ser 
expressa pela equação.
• Sabendo o módulo de elasticidade longitudinal e o coeficiente 
de Poisson do material obtemos o seu módulo de elasticidade 
transversal.
)1.(2 +
=
E
G
4.2 Deformação de cisalhamento
Exercício 1
Um bloco retangular de material com módulo de elasticidade transversal 
G = 620 MPa é colado a duas placas rígidas horizontais. A placa inferior é fixa, 
enquanto a placa superior está submetida a uma força horizontal P. Sabendo 
que a placa superior se desloca 1 mm sob a ação da força, determine:
a) a deformação de cisalhamento média no material.
b) a força P que atua na placa superior.
Exercício 1
Um bloco retangular de material com G = 620 MPa é colado a duas placas rígidas 
horizontais. A placa superior se desloca 1 mm sob a ação da força, determine:
a) a deformação de cisalhamento média no material e 
b) a força P que atua na placa superior.
𝛾𝑥𝑦 ≈ tan 𝛾𝑥𝑦 =
1mm
50 mm
= 0,02 𝑟𝑎𝑑
Determinar a deformação de cisalhamento ou a 
tensão de ruptura do bloco.
Aplicar a lei de Hooke para tensão e deformação de cisalhamento para encontrar a 
tensão de cisalhamento correspondente.
𝜏𝑥𝑦 = 𝐺. 𝛾𝑥𝑦 = 620 𝑀𝑃𝑎 . 0,02 𝑟𝑎𝑑 = 12,4 𝑀𝑃𝑎
Usando a definição de tensão de cisalhamento para encontrar a força P.
𝑃 = 𝜏𝑥𝑦 . 𝐴 = 12,4 × 10
6 𝑃𝑎 . 0,200 𝑚 . 0,060 𝑚 = 148.800 𝑁 = 148,8 𝑘𝑁
Exercício 2
Um corpo de prova de alumínio tem diâmetro d0 = 25 mm e 
comprimento de referência L0 = 250 mm. Se uma força de 165 kN
provocar um alongamento de 1,20 mm no comprimento de 
referência, determine o módulo de elasticidade. Determine 
também qual é a contração do diâmetro que a força provoca no 
corpo de prova. Considere GAl = 26 GPa e σe = 440 MPa (tensão de 
escoamento).
R: EAl = 70 Gpa ; δlat = - 0,04164 mm
Exercício 3
A figura mostra o diagrama tensão-deformação de cisalhamento para um aço-
liga. Se um parafuso de 6 mm de diâmetro feito deste material for utilizado em 
uma junta sobreposta, determine o módulo de elasticidade E e a força P exigida 
para provocar o escoamento do material. Considere ν = 0,3.
R: E = 227,5 Gpa ; P = 9.896 N
Exercício 4
As sapatas do freio do pneu de uma bicicleta são feitas de borracha. Se uma
força de atrito de 50 N for aplicada de cada lado dos pneus, determine a
deformação média na borracha. As dimensões da seção transversal de cada
sapata são 20 mm e 50 mm. Gb = 0,20 MPa.
R: γ = 0,25 rad
Referências
• BEER, Ferdinand Pierre et al. Estática e mecânica dos materiais. 
Porto Alegre: McGraw-Hill, 2013. – Capítulo 9 (Itens 9.12 e 9.13).
• BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON, E. Russell. Resistência dos 
materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson Education, 1995. – Capítulo 2 
(Itens 2.14 e 2.15).
• HIBBELER, Russel C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2010. – Capítulo 1 (item 1.5); Capítulo 
2 (Item 2.2) e Capítulo 3 (Item 3.7).
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• Torção
Bibliografia:
• BEER, Ferdinand Pierre et al. Estática e mecânica dos 
materiais. Porto Alegre: McGraw-Hill, 2013. – Capítulo 10.
• BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON, E. Russell. Resistência dos 
materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson Education, 1995. –
Capítulo 3.
• HIBBELER, Russel C. Resistência dos materiais. 7. ed. São 
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010. – Capítulo 5.