binomio de newtin

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MATEMÁTICA 
BÁSICA
Binômio de Newton e 
Triângulo de Pascal
Chegou o momento de conhecer o Binômio de Newton, 
desenvolvido por Isaac Newton para calcular um número 
binomial na forma . Também abordaremos o Triângulo de Pascal. 
Pronto(a) para começar?
Coeficiente binomial 
Primeiramente, observe as seguintes operações:
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = 1a + 1b
(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a + b)3 = 1a3 + 3a2b +3ab2 + 1b3
(a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
Os termos dos desenvolvimentos apresentados são da forma:
n–p pn a × b
p
 
 
 
Para p = 0, temos o 1º termo: n 0
n
a × b 
0
 
 
 
.
Para p = 1, temos o 2º termo: n-1 1
n
a × b
1
 
 
 
.
Para p = 2, temos o 3º termo: n-2 2
n
a × b
2
 
 
 
.
Para p = 3, temos o 4º termo: n-3 3
n
a × b
3
 
 
 
.
Então, um termo T qualquer de ordem (p + 1) pode ser expresso 
por:
n-p p
p+1 
n
T = a × b
p
 
 
 
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Chamamos 
n
p
 
 
 
 de coeficiente binomial, definido por:
( ) ( )n,p
n n!
 = C = n,p e n p
p p
 
! n-p !
 
∈ ≥ 
 
 
Diante dessas definições, calcularemos (a + b)1. Acompanhe:
( )
1 1!
1
0 0! 1 0 !
 
= =  − 
( )
1 1!
1
1 1! 1 1 !
 
= =  − 
Para p = 0, temos o 1º termo: n 0 1 0
n 1
 a × b = a × b = a
0 0
 
   
   
   
.
Para p = 1, temos o 2º termo: n-1 1 1-1 1 0 1
n 1
a × b = a × b = a × b = b
1 1
 
   
   
   
.
Dessa forma, (a + b)1 = a + b.
No exemplo seguinte, calcularemos (a + b)2.
Para p = 0, temos o 1º termo: 2 0 2 
2 2
a × b = a
0 0
   
   
   
.
Para p = 1, temos o 2º termo: 2-1 1
2 2
a × b = a × b
1 1
   
   
   
.
Para p = 2, temos o 3º termo: 2-2 2 0 2 2
2 2 2
a × b = a × b = × b
2
 
2 2
     
     
     
.
Calculando os coeficientes binomiais, obtemos:
( )
2 2!
1
0 0! 2 0 !
 
= =  − 
( )
2 2!
2
1 1! 2 1 !
 
= =  − 
( )
2 2!
1
2 2! 2 2 !
 
= =  − 
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Portanto:
( )2 2 2 2 2 2 22 2 2 1 2 1 2
0 1 2
     
+ = + × + × = + × + × = + × +     
     
a b a a b b a a b b a a b b
Os coeficientes binomiais têm as suas propriedades. Vamos 
conhecê-las?
I. Se n, p e k ∈  e p + k = n, então 
   
=   
   
n n
p k
.
Coeficientes binomiais que possuem o mesmo numerador e 
cuja soma dos denominadores é igual ao numerador recebem o 
nome de complementares. Veja alguns exemplos:
5 5
2 3
   
=   
   
10 10
6 4
   
=   
   
8 8
1 7
   
=   
   
II. Se n, p e k ∈  e p ≥ p – 1 ≥ 0 = então 
1
1
+     
+ =     −     
n n n
p p p
.
Essa igualdade é conhecida como Relação de Stifeel. Exemplos:
2 2 3
1 2 2
     
+ =     
     
5 5 6
2 3 3
     
+ =     
     
7 7 8
4 5 5
     
+ =     
     
Chamamos 
 
 
 
n
p de coeficiente binomial, 
ou número binominal.
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Binômio de Newton 
De forma geral, quando temos n como expoente, a fórmula do 
desenvolvimento do binômio de Newton é dada por:
( ) 0 1 1 2 2 0
0 1 2
− −       + = + + +…+       
       
n n n n nn n n na b a b a b a b a b
n
Caso tenhamos (a-b)n:
( ) ( ) ( )
0
−
=
 
 − = + − = −  
 
∑
n
nn pn p
p
n
a b a b a b
p
O Binômio de Newton nos permite 
calcular um número binomial na forma 
(a-b)n.
Que tal alguns exemplos do Binômio de Newton?
Temos 5 4 3 2 2 3 4 5
5 5 5 5
1.024
1 2 3 4
       
+ + + + + =       
       
a a b a b a b ab b . Vamos, 
então, calcular (a+b)2.
5 4 3 2 2 3 4 55 5 5 5 1.024
1 2 3 4
       
+ + + + + =       
       
a a b a b a b ab b representa o desenvolvimento 
do Binômio de Newton para . Então:
(a+b)5 = 1.024
(a+b)5 = 210 = (22)5
a+b = 22
a+b = 4
Portanto: (a+b)2 = 16
E qual o valor de (1 - 5)5 - (1 + 5)5?
I. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 2 3 4 55 5 5 5 5 51 5 5 5 5 5 5
0 1 2 3 4 5
           
− = + × − + × − + × − + × − + × −           
           
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 2 3 4 55 5 5 5 5 51 5 5 5 5 5 5
0 1 2 3 4 5
           
− = − × + × − × + × − ×           
           
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II. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 2 3 4 55 5 5 5 5 51 5 5 5 5 5 50 1 2 3 4 5
           
+ = + × + × + × + × + ×           
           
III. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 3 55 5 51 5 1 5 2 5 2 5 2 ( 5) 2 5 5 10 5 5 25 5
1 3 5
     
− − + = − × × − × × − × × = − × + × × + ×     
     
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 3 55 5 51 5 1 5 2 5 2 5 2 ( 5) 2 5 5 10 5 5 25 5
1 3 5
     
− − + = − × × − × × − × × = − × + × × + ×     
      
( ) ( ) ( )5 51 5 1 5 2 80 5 160 5− − + = − × = − ×
Agora, vamos determinar o 7º termo do binômio dado por (2x+1)9 
que será desenvolvido conforme potências decrescentes de x.
Para tanto, aplicamos a fórmula (a+b)n, com a = 2x e b = 1. Observe 
que n = 9. Faremos p = 6. Acompanhe:
1
−
+
 
= × 
 
n p p
p
n
T a b
p
Temos que: 
( )9 6 66 1
9
2 1
6
−
+
 
= × × 
 
T x
( )37
9
2
6
 
= × 
 
T x
Lembre-se de que: 
( ),
!
! !
 
= =  − 
n p
n n
C
p p n p
( ) ( ) ( )9,6
9 9! 9! 9 8 7 6! 9 8 7! 3 4 7!
84
6 6! 9 6 ! 6! 3 ! 6! 3 2 1 6 1
  × × × × × × ×
= = = = = = =  − × × 
C
Portanto: T
7 
= 84 × (2x)3 = 672x3.
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Triângulo de Pascal
Para compreender o Triângulo de Pascal, primeiro você deve 
relembrar as seguintes operações já estudadas:
(a+b)0 = 1
(a+b)1 = 1a + 1b
(a+b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a+b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
(a+b)4 =1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
Vamos escrever apenas os coeficientes dessas operações e 
teremos Triângulo de Pascal, como mostra a figura a seguir. 
Note que o triângulo dessa imagem vai até os coeficientes da 
operação com potência 5, isto é, .
Fonte: Peter Hermes Furian, Shutterstock, 2018.
Observe mais detalhes na próxima imagem.
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1
1 1
121
1
1 4 6 4 1
133
1
1 1
11+1=21
1
1 4 6 4 1
133
1
1 1
121
1
1 4 6 4 1
131+2=3
1
1 1
121
1
1 4 6 4 1
12+1=33
1
1 1
121
1
1 1+3=4 6 4 1
133
1
1 1
121
1
1 4 3+3=6 4 1
133
1
1 1
121
1
1 4 6 3+1=4 1
1333
Fonte: Peter Hermes Furian, Shutterstock, 2018.
Como podemos construir o Triângulo de Pascal? Para tanto, 
é necessário saber as seguintes propriedades dos números 
binomiais.
 • Como 1
0
 
= 
 
n
, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.
 • Como 1  = 
 
n
n
 , o último elemento de cada linha é igual a 1.
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 • Cada elemento do Triângulo de Pascal, não sendo o 1º nem o 
último de cada linha, equivale à soma daquele que está na 
mesma coluna e linha anterior com o elemento do triângulo à 
esquerda deste último, como mostra a imagem a seguir.
1
1 1
121
1
1 4 6 4 1
133
Fonte: Peter Hermes Furian, Shutterstock, 2018. (Adaptado).
 • Em qualquer linha, dois números binomiais equidistantes dos 
extremos são iguais.
 • A soma dos elementos da enésima linha é 2n (Teorema das 
Linhas), como mostra a próxima figura.
1
1 1
121
1
1 4 6 4 1
133
1 = 2°
1 + 1 = 21
1 + 2 + 1 = 22
1 + 3 + 3 + 1 = 23
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 24
Fonte: Peter Hermes Furian, Shutterstock, 2018. (Adaptado).
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 • A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento 
até qualquer outro, é igual ao elemento situado na coluna à 
direita da considerada e na linha imediatamente abaixo. 
 • Se n ≥ p, 
1 2 1
1
+ + +         
+ + +… =         +         
p p p n n
p p p p p
, com n e p naturais.
 • Em termos de coeficientes binomiais, assomas da figura a 
seguir são dadas por:
I. 1 2 3 4 5 6 6 1 7
1 1 1 1 1 1 1 1 2
+               
+ + + + + = =               +               
II. 3 4 5 6 6 1 7
3 3 3 3 3 1 4
+           
+ + + = =           +           
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
1
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
1
5
15
35
1
6
21
1
7 1
 • A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde 
o elemento da 1ª coluna até o de outra qualquer é igual ao 
elemento imediatamente abaixo deste.
 • Se n ≥ p, 1 2 1
0 1 2
+ + + + +         
+ + + =         
         
n n n n p n p
p p
 sendo n e p naturais.
 • Em termos de coeficientes binomiais, a figura a seguir equivale 
a: 2 3 4 5 6 6 1 7
0 1 2 3 4 4 4
+             
+ + + + = =             
             
.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
1
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
1
5
15
35
1
6
21
1
7 1
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MATEMÁTICA 
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O Triângulo de Pascal reúne os 
coeficientes das operações binomiais.
Para finalizar nossa unidade, vejamos mais um exemplo. Neste 
problema, determinaremos o 7º termo do binômio (2x+1)9, 
desenvolvendo-o em termos de potências decrescentes de x.
Para isso, aplicamos a fórmula do termo geral:
(a+b)n
a = 2x
b = 1
n = 9
Visto que o interesse é o 7º termo, temos que p = 6 na fórmula 
do termo geral. Logo:
( )
( ) ( )
69 6
6 1 7 9,6
3
7
3 3 3
7
2 1
9!
2 1
9 6 ! 6!
9 8 7 6!
8 84 8 672
3 2 1 6!
−
+ = = × ×
= × ×
 − × 
× × ×
= × = × =
× × ×
T T C x
T x
T x x x
Com esse exemplo, chegamos ao término desta unidade, que 
lhe apresentou definições e exemplos importantes relacionados 
à análise combinatória. Até a próxima!