AULA 10 ÁLGEBRA - AUTOVALORES E AUTOVETORES

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Autovalores e autovetores
Eliza Maria Ferreira
Universidade Federal de Lavras
(UFLA) 1 / 8
Autovalores e autovetores
Notação (utilizada no Anton)
Dada uma matriz A ∈Mm×n(R) podemos nos referir à transformação
linear relacionada a A como TA : Rn → Rm, considerando as bases
canônicas em Rn e Rm.
De�nição
Se A for uma matriz n × n então um vetor não nulo x em Rn é
denominado um autovetor de A (ou do operador linear TA) se Ax for um
múltiplo escalar de x , isto é,
Ax = λx
para algum escalar λ. O escalar λ é denominado autovalor de A (ou de
TA), e dizemos que x é um autovetor associado a λ.
(UFLA) 2 / 8
Autovalores e autovetores
Notação (utilizada no Anton)
Dada uma matriz A ∈Mm×n(R) podemos nos referir à transformação
linear relacionada a A como TA : Rn → Rm, considerando as bases
canônicas em Rn e Rm.
De�nição
Se A for uma matriz n × n então um vetor não nulo x em Rn é
denominado um autovetor de A (ou do operador linear TA) se Ax for um
múltiplo escalar de x , isto é,
Ax = λx
para algum escalar λ. O escalar λ é denominado autovalor de A (ou de
TA), e dizemos que x é um autovetor associado a λ.
(UFLA) 2 / 8
Analogamente...
De�nição
Se T : Rn → Rn for um operador linear então um vetor não nulo x em Rn
é denominado um autovetor de T se,
T (x) = λx
para algum escalar λ. O escalar λ é denominado autovalor de T .
Exemplo
O vetor x =
[
1
2
]
é um autovetor de A =
[
3 0
8 −1
]
associado ao
autovalor 3.
De fato
Ax =
[
3 0
8 −1
] [
1
2
]
=
[
3
6
]
= 3x .
(UFLA) 3 / 8
Analogamente...
De�nição
Se T : Rn → Rn for um operador linear então um vetor não nulo x em Rn
é denominado um autovetor de T se,
T (x) = λx
para algum escalar λ. O escalar λ é denominado autovalor de T .
Exemplo
O vetor x =
[
1
2
]
é um autovetor de A =
[
3 0
8 −1
]
associado ao
autovalor 3.
De fato
Ax =
[
3 0
8 −1
] [
1
2
]
=
[
3
6
]
= 3x .
(UFLA) 3 / 8
Analogamente...
De�nição
Se T : Rn → Rn for um operador linear então um vetor não nulo x em Rn
é denominado um autovetor de T se,
T (x) = λx
para algum escalar λ. O escalar λ é denominado autovalor de T .
Exemplo
O vetor x =
[
1
2
]
é um autovetor de A =
[
3 0
8 −1
]
associado ao
autovalor 3.
De fato
Ax =
[
3 0
8 −1
] [
1
2
]
=
[
3
6
]
= 3x .
(UFLA) 3 / 8
Mas como encontrar todos os autovalores e autovetores de uma
transformação linear?
Teorema
Se A for uma matriz n × n então λ é um autovalor de A se, e só se,
det (λI − A) = 0.
Essa equação é chamada de equação característica de A.
(UFLA) 4 / 8
Mas como encontrar todos os autovalores e autovetores de uma
transformação linear?
Teorema
Se A for uma matriz n × n então λ é um autovalor de A se, e só se,
det (λI − A) = 0.
Essa equação é chamada de equação característica de A.
(UFLA) 4 / 8
Exemplo
Voltando ao exemplo anterior, já veri�camos que λ = 3 é um autovalor de
A =
[
3 0
8 −1
]
. Vamos veri�car como esse autovalor foi encontrado e
encontrar, se houver, os demais autovalores de A.
Fazendo det(λI − A) = 0 encontramos (λ− 3)(λ+ 1) = 0. Logo λ = 3 e
λ = −1 são os autovalores de A.
Quando expandimos o determinante det(λI − A) obtemos um polinômio
p(λ) denominado polinômio característico de A. Se A for uma matriz n× n
então o polinômio característico de A tem grau n.
(UFLA) 5 / 8
Exemplo
Voltando ao exemplo anterior, já veri�camos que λ = 3 é um autovalor de
A =
[
3 0
8 −1
]
. Vamos veri�car como esse autovalor foi encontrado e
encontrar, se houver, os demais autovalores de A.
Fazendo det(λI − A) = 0 encontramos (λ− 3)(λ+ 1) = 0.
Logo λ = 3 e
λ = −1 são os autovalores de A.
Quando expandimos o determinante det(λI − A) obtemos um polinômio
p(λ) denominado polinômio característico de A. Se A for uma matriz n× n
então o polinômio característico de A tem grau n.
(UFLA) 5 / 8
Exemplo
Voltando ao exemplo anterior, já veri�camos que λ = 3 é um autovalor de
A =
[
3 0
8 −1
]
. Vamos veri�car como esse autovalor foi encontrado e
encontrar, se houver, os demais autovalores de A.
Fazendo det(λI − A) = 0 encontramos (λ− 3)(λ+ 1) = 0. Logo λ = 3 e
λ = −1 são os autovalores de A.
Quando expandimos o determinante det(λI − A) obtemos um polinômio
p(λ) denominado polinômio característico de A. Se A for uma matriz n× n
então o polinômio característico de A tem grau n.
(UFLA) 5 / 8
Exemplo
Voltando ao exemplo anterior, já veri�camos que λ = 3 é um autovalor de
A =
[
3 0
8 −1
]
. Vamos veri�car como esse autovalor foi encontrado e
encontrar, se houver, os demais autovalores de A.
Fazendo det(λI − A) = 0 encontramos (λ− 3)(λ+ 1) = 0. Logo λ = 3 e
λ = −1 são os autovalores de A.
Quando expandimos o determinante det(λI − A) obtemos um polinômio
p(λ) denominado polinômio característico de A. Se A for uma matriz n× n
então o polinômio característico de A tem grau n.
(UFLA) 5 / 8
Teorema
Se A for uma matriz n × n triangular (superior, inferior ou diagonal) então
os autovalores de A são as entradas da diagonal principal de A.
Exemplo
Encontre os autovalores de A =
 12 0 0−1 2
3
0
5 −8 −1
4
.
Teorema
Se A for uma matriz n × n então são equivalentes:
1 λ é um autovalor de A.
2 O sistema (λI − A)x = 0 tem soluções não triviais.
3 Existe algum vetor não nulo x tal que Ax = λx .
4 λ é solução da equação característica det(λI − A) = 0.
(UFLA) 6 / 8
Teorema
Se A for uma matriz n × n triangular (superior, inferior ou diagonal) então
os autovalores de A são as entradas da diagonal principal de A.
Exemplo
Encontre os autovalores de A =
 12 0 0−1 2
3
0
5 −8 −1
4
.
Teorema
Se A for uma matriz n × n então são equivalentes:
1 λ é um autovalor de A.
2 O sistema (λI − A)x = 0 tem soluções não triviais.
3 Existe algum vetor não nulo x tal que Ax = λx .
4 λ é solução da equação característica det(λI − A) = 0.
(UFLA) 6 / 8
Teorema
Se A for uma matriz n × n triangular (superior, inferior ou diagonal) então
os autovalores de A são as entradas da diagonal principal de A.
Exemplo
Encontre os autovalores de A =
 12 0 0−1 2
3
0
5 −8 −1
4
.
Teorema
Se A for uma matriz n × n então são equivalentes:
1 λ é um autovalor de A.
2 O sistema (λI − A)x = 0 tem soluções não triviais.
3 Existe algum vetor não nulo x tal que Ax = λx .
4 λ é solução da equação característica det(λI − A) = 0.
(UFLA) 6 / 8
Sabendo como proceder para encontrar os autovalores de A como fazemos
para encontrar os autovetores associados aos autovalores?
Sabemos que os autovetores associados a um autovalor λ de uma matriz A
são os vetores não nulos que satisfazem a equação
(λI − A)x = 0.
Isto é, são os vetores não nulos que são solução desse sistema linear.
Incluindo o vetor nulo a esse conjunto de soluções do sistema
(λI − A)x = 0 temos o que chamamos de autoespaço de A associado a λ.
Sendo assim, os autovetores de uma matriz A associados a um
autovalor λ, são todos os vetores do autoespaço de A associado a λ,
exceto o vetor nulo.
Note que o vetor nulo pertence a cada autoespaço de uma matriz, mesmo
não sendo um autovetor (pois autovetores são vetores não nulos).
(UFLA) 7 / 8
Sabendo como proceder para encontrar os autovalores de A como fazemos
para encontrar os autovetores associados aos autovalores?
Sabemos que os autovetores associados a um autovalor λ de uma matriz A
são os vetores não nulos que satisfazem a equação
(λI − A)x = 0.
Isto é, são os vetores não nulos que são solução desse sistema linear.
Incluindo o vetor nulo a esse conjunto de soluções do sistema
(λI − A)x = 0 temos o que chamamos de autoespaço de A associado a λ.
Sendo assim, os autovetores de uma matriz A associados a um
autovalor λ, são todos os vetores do autoespaço de A associado a λ,
exceto o vetor nulo.
Note que o vetor nulo pertence a cada autoespaço de uma matriz, mesmo
não sendo um autovetor (pois autovetores são vetores não nulos).
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Sabendo como proceder para encontrar os autovalores de A como fazemos
para encontrar os autovetores associados aos autovalores?
Sabemos que os autovetores associados aum autovalor λ de uma matriz A
são os vetores não nulos que satisfazem a equação
(λI − A)x = 0.
Isto é, são os vetores não nulos que são solução desse sistema linear.
Incluindo o vetor nulo a esse conjunto de soluções do sistema
(λI − A)x = 0 temos o que chamamos de autoespaço de A associado a λ.
Sendo assim, os autovetores de uma matriz A associados a um
autovalor λ, são todos os vetores do autoespaço de A associado a λ,
exceto o vetor nulo.
Note que o vetor nulo pertence a cada autoespaço de uma matriz, mesmo
não sendo um autovetor (pois autovetores são vetores não nulos).
(UFLA) 7 / 8
Sabendo como proceder para encontrar os autovalores de A como fazemos
para encontrar os autovetores associados aos autovalores?
Sabemos que os autovetores associados a um autovalor λ de uma matriz A
são os vetores não nulos que satisfazem a equação
(λI − A)x = 0.
Isto é, são os vetores não nulos que são solução desse sistema linear.
Incluindo o vetor nulo a esse conjunto de soluções do sistema
(λI − A)x = 0 temos o que chamamos de autoespaço de A associado a λ.
Sendo assim, os autovetores de uma matriz A associados a um
autovalor λ, são todos os vetores do autoespaço de A associado a λ,
exceto o vetor nulo.
Note que o vetor nulo pertence a cada autoespaço de uma matriz, mesmo
não sendo um autovetor (pois autovetores são vetores não nulos).
(UFLA) 7 / 8
Exemplos
1 Encontre uma base para cada um dos autoespaços de A =
[
3 0
8 −1
]
.
2 Encontre uma base para cada um dos autoespaços de
A =
 0 0 −21 2 1
1 0 3
.
Teorema
Se k for um inteiro positivo, λ um autovalor de A e x um autovetor
associado, então λk é um autovalor de Ak e x é um autovetor associado.
Teorema
Uma matriz quadrada A é invertível se, e só se, λ = 0 não é um autovalor
de A.
(UFLA) 8 / 8
Exemplos
1 Encontre uma base para cada um dos autoespaços de A =
[
3 0
8 −1
]
.
2 Encontre uma base para cada um dos autoespaços de
A =
 0 0 −21 2 1
1 0 3
.
Teorema
Se k for um inteiro positivo, λ um autovalor de A e x um autovetor
associado, então λk é um autovalor de Ak e x é um autovetor associado.
Teorema
Uma matriz quadrada A é invertível se, e só se, λ = 0 não é um autovalor
de A.
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Exemplos
1 Encontre uma base para cada um dos autoespaços de A =
[
3 0
8 −1
]
.
2 Encontre uma base para cada um dos autoespaços de
A =
 0 0 −21 2 1
1 0 3
.
Teorema
Se k for um inteiro positivo, λ um autovalor de A e x um autovetor
associado, então λk é um autovalor de Ak e x é um autovetor associado.
Teorema
Uma matriz quadrada A é invertível se, e só se, λ = 0 não é um autovalor
de A.
(UFLA) 8 / 8