Autovalores e autovetores

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Definição: dada uma matriz quadrada 
A de ordem n, dizemos que o escalar λ 
E R é um autovalor de A se existe v E R 
não nulo tal que Av = λv. Nesse caso, 
o vetor v é dito autovetor de A 
associado a λ 
→ seja A uma matriz de ordem n. Quais 
são os autovalores e autovetores de 
A? são exatamente aqueles que 
satisfazem a equação Av = λv, ou Av = 
(λl)v, ou ainda (A – λl)v = 0⃗ . Assim, a 
única maneira de encontrarmos 
autovetores (soluções não nulas da 
equação anterior) é termos 
Det(A - λl) = 0 
→ vamos definir 
P(λ) = det (A - λl) 
O polinômio p(λ) é chamado polinômio 
característico da matriz A. note que as 
raízes de tal polinômio são os 
autovalores da matriz A. 
→ vejamos agora duas matrizes que 
tem o mesmo polinômio característico e 
os mesmos autovalores, mas possuem 
autovetores distintos 
→ podemos estender os conceitos de 
autovalores e autovetores de uma 
matriz para qualquer transformação 
linear T: V → V conforme a definição a 
seguir 
Definição: seja T: V → V uma 
transformação linear. Dizemos que o 
escalar λ E R é um autovalor de T se 
existe v E V não nulo tal que T (v) = λv. 
Nesse caso, o vetor v é dito autovetor 
de T associado a λ 
 
 
 
→ note que se V é um espaço de 
dimensão finita com base B, então são 
válidas as equivalências: 
 
→ vamos definir 
 
O polinômio p(λ) é chamado polinômio 
característico da transformação T e 
suas raízes são autovalores de T 
→ não é difícil mostrar que p(λ) não 
depende da escolha da base B 
Exemplo 7: determine os autovalores e 
os autovetores da transformação 
linear t: R^2 → R^2 dada por T(x,y) = 
(2x + y, -2y) 
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