Gabarito - Cálculo Diferencial e Integral I - Unidade 1 - Tópico 1

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES – UNIDADE 1 – TÓPICO 1 
 
QUESTÃO 01. Usamos o limite para descrever o comportamento de uma função à medida que o 
argumento da função tende a um determinado valor. O conceito de limite é usado para definir 
outros conceitos, como derivada e continuidade de funções. Analise as afirmações abaixo e 
classifique-as em verdadeiro (V) ou falso (F). 
 
a) ( ) O limite de uma função da forma f (x) = ax + b, quando x tende para 0 é b 
Resolução: 
(V) Verdadeiro, pois lim
𝑥→0
𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎 ∙ 0 + 𝑏 = 0. 
 
b) ( ) Do Teorema do Confronto, podemos concluir que se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0 elim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = ∞, então 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = 0 
Resolução: 
(F) Falso, pois 𝑔(𝑥) deve ser uma função limitada, logo lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ ∞. 
 
c) ( ) Quando calculamos limites, podemos encontrar indeterminações, uma indeterminação 
representa um único valor real. 
Resolução: 
(F) Falso, uma indeterminação não representa um único valor. 
 
d) ( ) Se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿1 e lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿2, então lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝐿1
𝐿2
, para qualquer 𝐿1 e 𝐿2. 
Resolução: 
(F) Falso, como estamos trabalhando com uma função racional lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿2 ≠ 0. 
 
 
QUESTÃO 02. Determine os pontos de acumulação dos conjuntos abaixo: 
a) 𝐴 = (−∞, 3) 
Resolução: 
𝐴′ = (−∞, 3] 
Todo ponto de A é um ponto de acumulação já que, se 𝑥 ∈ 𝐴, então para o intervalo 
(𝑥 − 𝜀, 𝑥 + 𝜀) com 𝜀 < 𝑥 − 3, o ponto 𝑥 = 𝑥 −
𝜀
2
∈ 𝐴. 
 
b) 𝐵 = {1 +
1
𝑛2
; 𝑛 ∈ ℕ} 
Resolução: 
𝐵 = {1 +
1
𝑛²
, 𝑛 ∈ ℕ} 
1 ⃛ 1 +
1
4
̇
 2̇ 
O único ponto de acumulação é o 1. 
 
c) C um conjunto finito 
Resolução: 
C um conjunto finito. 
O conjunto finito não tem ponto de acumulação, pois à distância entre dois pontos é fixo. 
 
QUESTÃO 03. Mostre, usando a definição de limite, que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥2 − 3𝑥 + 2
5𝑥 − 1
= 0 
Resolução: 
lim
𝑥→2
𝑥2 − 3𝑥 + 2
5𝑥 − 1
= 0 
 
Dado 𝜀 > 0, vamos encontrar 𝛿 > 0 tal que |𝑥 − 2| < 𝛿 então 
|
𝑥2 ± 3𝑥 + 2
5𝑥 − 1
| ≤ 𝜀 
 
Como x está próximo de 2, podemos considerar que 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 logo 
4 ≤ 5𝑥 − 1 ≤ 14 
Note que 
𝑥2 − 3𝑥 + 2 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 1) e 0 ≤ 𝑥 − 1 ≤ 2 se 1 ≤ 𝑥 ≤ 3, 
Assim 
|
𝑥2 ± 3𝑥 + 2
5𝑥 − 1
− 0| ≤
|𝑥 − 1| ∙ |𝑥 − 2|
|5𝑥 − 1|
≤
2
4
|𝑥 − 2| ≤
𝛿
2
< 𝜀 
Se 𝛿 = 2𝜀 
 
QUESTÃO 04. Prove, usando a definição de limite, que se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, então lim
𝑥→𝑎
(𝑓(𝑥) − 𝐿) = 0 
Resolução: 
Como lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 temos que para todo 𝜀 > 0 existe 𝛿 > 0 tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 se 
|𝑥 − 𝑎| < 𝛿, logo a função 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝐿 converge para O, ou seja, lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝐿 = 0 
 
QUESTÃO 05. Calcule os limites a seguir: 
a) lim
𝑥→2
√5 
Resolução: 
lim
𝑥→2
√5 = √5 
 
b) lim
𝑥→−10
3𝑥 + 13 
Resolução: 
 lim
𝑥→−10
(3𝑥 + 13) = 3 ∙ (−10) + 13 = 17 
 
c) lim
𝑥→−1
𝑥3 − 7𝑥 + 5 
Resolução: 
lim
𝑥→−1
(𝑥3 − 7𝑥 + 5) = (−1)3 − 7 ∙ (−1) + 5 = −1 + 7 + 5 = 11 
 
d) lim
ℎ→0
𝑥2 − 3𝑥ℎ 
Resolução: 
 lim
ℎ→0
(𝑥2 − 3𝑥ℎ) = 𝑥2 − 3𝑥 ∙ 0 = 𝑥² 
 
e) lim
𝑥→1
𝑥2 + 4𝑥 − 3
𝑥2 + 2
 
Resolução: 
 lim
𝑥→1
𝑥2 + 4𝑥 − 3
𝑥2 + 2
=
12 + 4 ∙ 1 − 3
12 + 2
=
2
3
 
 
f) lim
𝑥→1
√
4𝑥4 + 2𝑥 − cos (𝜋𝑥)
4𝑥 + 3
 
Resolução: 
lim
𝑥→1
√
4𝑥4 + 2𝑥 − cos (𝜋𝑥)
4𝑥 + 3
=
4 ∙ 14 + 2 ∙ 1 − cos (𝜋 ∙ 1)
4 ∙ 1 + 3
=
7
7
= 1 
 
g) lim
𝑥→1
𝑠𝑒𝑛(𝑒√𝑥 − 𝑒) 
Resolução: 
lim
𝑥→1
𝑠𝑒𝑛(𝑒√𝑥 − 𝑒) = 𝑠𝑒𝑛(𝑒√1 − 𝑒) = 𝑠𝑒𝑛(𝑒 − 𝑒) = 𝑠𝑒𝑛(0) = 0 
 
h) lim
𝑥→3
4𝑥 ∙ ln (−16 cos(𝜋𝑥)) 
Resolução: 
lim
𝑥→3
4𝑥 ∙ ln(−16 cos(𝜋𝑥)) = 4 ∙ 3 ∙ ln(−16 ∙ cos(𝜋 ∙ 3)) = 12 ∙ ln (16) 
 
i) lim
𝑥→−2
2𝑥 − 3
𝑥 − 2
 
Resolução: 
lim
𝑥→2
2𝑥 − 3
𝑥 − 2
=
2(−2) − 3
−2 − 2
=
−7
−4
=
7
4
 
 
j) lim
𝑥→0
√𝑠𝑒𝑛²(3𝑥)
3
 
Resolução: 
lim
𝑥→0
√𝑠𝑒𝑛²(3𝑥)
3
= √𝑠𝑒𝑛²(3 ∙ 0)
3
= √𝑠𝑒𝑛²(0)
3
= √0
3
= 0 
 
QUESTÃO 06. Usando o Teorema do Confronto e da Função Limitada, calcule os limites: 
a) lim
𝑥→1
(
𝑥 − 1
1 − 3𝑥
) ∙ 𝑐𝑜𝑠 (
1
1 − 𝑥
) 
Resolução: 
Como − 1 ≤ 𝑐𝑜𝑠 (
1
1 − 𝑥
) ≤ 1 multiplicando por (
𝑥 − 1
1 − 3𝑥
) 
-1 
-1 
Observação: Perceba que (
𝑥 − 1
1 − 3𝑥
) for positivo ou negativo, não haverá diferença. 
− (
𝑥 − 1
1 − 3𝑥
) ≤ (
𝑥 − 1
1 − 3𝑥
) ∙ 𝑐𝑜𝑠 (
1
1 − 𝑥
) ≤ (
𝑥 − 1
1 − 3𝑥
) 
Como 
lim
𝑥→1
(
𝑥 − 1
1 − 3𝑥
) = lim
𝑥→1
(
𝑥 − 1
1 − 3𝑥
) = 0 
Logo, pelo Teorema do Confronto: 
lim
𝑥→1
(
𝑥 − 1
1 − 3𝑥
) ∙ 𝑐𝑜𝑠 (
1
1 − 𝑥
) = 0 
b) lim
𝑥→0
𝑥4𝑠𝑒𝑛 (
2
𝑥
) 
Resolução: 
Como 
−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 (
2
𝑥
) ≤ 1 
Multiplicando por 𝑥4 
−𝑥4 ≤ 𝑥4𝑠𝑒𝑛 (
2
𝑥
) ≤ 𝑥4 
Como 
lim
𝑥→0
−𝑥4 = lim
𝑥→0
𝑥4 = 0 
Logo, pelo Teorema do Confronto 
lim
𝑥→0
𝑥4𝑠𝑒𝑛 (
2
𝑥
) = 0 
 
c) lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥), se −1 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑥2 + 2𝑥 + 1 
Resolução: 
Perceba que 
lim
𝑥→−2
1 = lim
𝑥→−2
(𝑥2 + 2𝑥 + 1) = 1 
Logo, pelo Teorema do Confronto 
lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥) = 1 
 
QUESTÃO 07. Calcule o valor dos limites indeterminados: 
a) lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
 
Resolução: 
lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
𝑥 + 1 = 2 
b) lim
𝑥→−1
3𝑥2 − 3
𝑥 + 1
 
Resolução: 
lim
𝑥→−1
3𝑥2 − 3
𝑥 + 1
= lim
𝑥→−1
3(𝑥2 − 1)
𝑥 + 1
= lim
𝑥→−1
3(𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1)
𝑥 + 1
= lim
𝑥→−1
3 ∙ (𝑥 − 1) = 3(−1 − 1) = −6 
 
c) lim
𝑥→2
𝑥4 − 16
2𝑥² − 4𝑥
 
Resolução: 
lim
𝑥→2
𝑥4 − 16
2𝑥2 − 4𝑥
= lim
𝑥→2
(𝑥2)2 − (22)2
2𝑥 ∙ (𝑥 − 2)
= lim
𝑥→2
(𝑥2 − 22) ∙ (𝑥2 + 22)
2𝑥 ∙ (𝑥 − 2)
 
= lim
𝑥→2
(𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 2) ∙ (𝑥2 + 4)
2𝑥 ∙ (𝑥 − 2)
= lim
𝑥→2
(𝑥 + 2) ∙ (𝑥2 + 4)
2𝑥
lim
𝑥→2
(2 + 2) ∙ (22 + 4)
2 ∙ 2
= 8 
 
d) lim
𝑥→
1
3
9𝑥2 − 1
3𝑥 − 1
 
Resolução: 
lim
𝑥→1 3⁄
9𝑥2 − 1
3𝑥 − 1
= lim
𝑥→1 3⁄
9(𝑥2 − 1 9⁄ )
3(𝑥 − 1 3⁄ )
= lim
𝑥→1 3⁄
9 ∙ (𝑥 − 1 3⁄ ) ∙ (𝑥 +
1
3⁄ )
3 ∙ (𝑥 − 1 3⁄ )
 
= lim
𝑥→1 3⁄
3 ∙ (𝑥 + 1 3⁄ ) = 3 ∙ (
1
3⁄ +
1
3⁄ ) = 2 
 
e) lim
𝑥→1
𝑥3 − 1
𝑥4 + 3𝑥 − 4
 
Resolução: 
Sabemos que x = 1 é raiz de ambos os polinômios do numerador e denominador. 
Usaremos a divisão pelo dispositivo de Briot Rufinni no caso do denominador 
 
1 1 0 0 3 -4 
 1 1 1 4 0 
𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 4 
Logo 
 𝑥4 + 3𝑥 − 4 = (𝑥 − 1) ∙ (𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 4) 
lim
𝑥→1
(𝑥 − 1) ∙ (𝑥2 + 𝑥 + 1)
(𝑥 − 1) ∙ (𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 4)
= lim
𝑥→1
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1
=
12 + 1 + 1
13 + 12 + 1 + 4
=
3
7
 
 
f) lim
𝑥→16
√𝑥 − 4
𝑥2 − 16
 
Resolução: 
lim
𝑥→16
√𝑥 − 4
𝑥2 − 16
∙
√𝑥 + 4
√𝑥 + 4
= lim
𝑥→16
𝑥 − 16
𝑥 ∙ (𝑥 − 16) ∙ (√𝑥 + 4)
 
= lim
𝑥→16
1
𝑥 ∙ (√𝑥 + 4)
=
1
16 ∙ (√16 + 4)
=
1
128
 
 
 
 
 
 
g) lim
𝑥→1
√𝑥 − 1
√4𝑥 + 3 − √7
 
Resolução: 
lim
𝑥→1
√𝑥 − 1
√4𝑥 + 3 − √7
∙
√𝑥 + 1
√𝑥 + 1
∙
√4𝑥 + 3 + √7
√4𝑥 + 3 + √7
= 
= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1) ∙ (√4𝑥 + 3 + √7)
(4𝑥 + 3 − 7) ∙ (√𝑥 + 1)
= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1) ∙ (√4𝑥 + 3 + √7)
(4𝑥 − 4) ∙ (√𝑥 + 1)
= 
= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1) ∙ (√4𝑥 + 3 + √7)
4 ∙ (𝑥 − 1) ∙ (√𝑥 + 1)
=
√4 ∙ 1 + 3 + √7
4 ∙ (√1 + 1)
=
2√7
8
=
√7
4
 
 
h) lim
𝑥→2
√11𝑥 + 5
3
− 3
𝑥 − 2
 
Resolução: 
Substituição: 
𝑡 = √11𝑥 + 5
3
 
𝑡3 = 11𝑥 + 5 
𝑥 =
𝑡3 − 5
11
 ⟹ 𝑡 → 3 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 2 
lim
𝑥→3
𝑡 − 3
𝑡3 − 5
11 − 2
= lim
𝑥→3
𝑡 − 3
𝑡3 − 27
11
= lim
𝑥→3
11 ∙
𝑡 − 3
𝑡3 − 27
= 
= lim
𝑥→3
11 ∙
𝑡 − 3
(𝑡 − 3) ∙ (𝑡2 + 3𝑡 + 9)
= lim
𝑥→3
11
𝑡2 + 3𝑡 + 9
=
11
32 + 3 ∙ 3 + 9
=
11
27
 
 
i) lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥²
ℎ
 
Resolução: 
lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2
ℎ
= lim
ℎ→0
[(𝑥 + ℎ) − 𝑥] ∙ [(𝑥 + ℎ) + 𝑥]
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ ∙ (2𝑥 + ℎ)
ℎ
= 2𝑥 + 0 = 2𝑥 
 
j) lim
𝑥→−1
3𝑥2 − 3
𝑥 + 1
 
Resolução: 
lim
𝑥→−1
3𝑥2 − 3
𝑥 + 1
= lim
𝑥→−1
3(𝑥2 − 1)
𝑥 + 1
= lim
𝑥→−1
3 ∙ (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1)
𝑥 + 1
 
= lim
𝑥→−1
3 ∙ (𝑥 − 1) = 3 ∙ (−1 − 1) = −6 
 
QUESTÃO 08. Para quais valores de 𝑐, o limite 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
3𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎 + 3
𝑥2 + 𝑥 −2
 existe. E qual o valor do 
limite? 
Resolução: 
lim
𝑥→2
3𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎 + 3
𝑥2 + 𝑥 − 2
=
3 ∙ 22 + 𝑎 ∙ 2 + 𝑎 + 3
22 + 2 − 2
=
15 + 3𝑎
4
 
Perceba que “a” não compromete a função, pois, não está no denominador (zero), raiz de índice 
para (negativo) e dois. Sendo assim, todo valor 𝑎 ∈ ℝ é uma possibilidade para determinar o 
limite da função. 
 
QUESTÃO 09. A definição de limite usando e e d foi introduzida pelo matemático Karl 
Weierstrass para formalizar o conceito, essa definição tornou as demonstrações de 
propriedades e teoremas do cálculo mais lógicas e concretas. Classifique as propriedades de 
limites abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F): 
 
a) ( ) O limite da soma de funções é a soma dos limites dessas funções. 
Resolução: 
Verdadeiro. 
 
b) ( ) O limite da diferença entre duas funções é igual a zero. 
Resolução: 
Falso pois, o limite da diferença entre duas funções é diferença entre os limites dessas funções. 
 
c) ( ) O limite de uma função multiplicada por uma constante é igual à constante. 
Resolução: 
Falso pois, o limite de uma função multiplicada por uma constante é igual ao limite da função 
multiplicada pela constante. 
 
d) ( ) O limite do produto de duas funções é o produto dos limites dessas funções. 
Resolução: 
Verdadeiro. 
 
e) ( ) O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções. 
Resolução: 
Falso pois, o limite da função do denominador não pode ser zero.