Termodinâmica - Aula 10 - Conservação da Massa

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Professor Dr. Evandro Rodrigo Dário
Curso: Engenharia Mecânica
Disciplina: Termodinâmica
Disciplina : Termodinâmica
Aula 10 – Análise da massa e 
energia aplicadas a volumes de 
controle 
Curso: Engenharia Mecânica
Prof. Evandro Rodrigo Dário, Dr. Eng.
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Conservação da Massa
A massa, assim como a energia, é
uma propriedade que se conserva, e
não pode ser criada nem destruída
durante um processo.
Em sistemas fechados, o princípio de conservação da massa é usado
implicitamente pela exigência de que a massa do sistema permaneça
constante durante um processo.
Em volumes de controle, porém, a massa pode atravessar fronteiras e, assim,
devemos levar em conta a quantidade de massa que entra e sai do volume de
controle.
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Vazão mássica e vazão volumétrica
A quantidade de massa que escoa através de uma secção transversal 
de área por unidade de tempo é chamada de vazão mássica, ou fluxo 
de massa e é representada pela letra ሶ𝒎 .
A vazão mássica de um fluido que escoa através de
um pequeno elemento de área dAc é proporcional
ao próprio elemento de área dAc, a massa
específica do fluido ρ, e a componente da
velocidade normal a dAc, que designamos como Vn,.
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Vazão mássica e vazão volumétrica
A velocidade, nunca é uniforme ao longo de uma
seção transversal de um tubo devido a aderência
do fluido à superfície da tubulação.
O escoamento possui velocidade nula na parede da tubulação (condição não
deslizamento). Assim a velocidade do escoamento varia de zero na parede
até um valor máximo na linha de centro da tubulação. Definimos a velocidade
média como o valor médio de Vn em toda a seção transversal do tubo.
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Vazão mássica e vazão volumétrica
Assim, para um escoamento incompressível ou até mesmo para um
escoamento compressível, onde a massa específica do fluido ρ é uniforme
em toda área Ac, a equação anterior torna-se
Para simplificar, vamos abandonamos o índice da velocidade média. Dessa
forma, V indica a velocidade média na direção do escoamento.
O volume de fluido que escoa através de uma seção transversal por unidade de 
tempo é o chamado vazão volumétrica ሶ𝑽.
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Vazão mássica e vazão volumétrica
A grande maioria dos livros didáticos de
mecânica dos fluidos utilizam a letra Q em
vez de ሶ𝑽 para representar a vazão
volumétrica. Adotaremos ሶ𝑽 para evitar
confusão com a transferência de calor.
As vazões mássica e volumétrica estão
relacionadas por
Esta relação é análoga à m = ρV, que é a relação entre a massa e o volume de 
um fluido num reservatório.
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Princípio de conservação da massa
O princípio da conservação da massa para um volume de controle pode ser
expressa como:
A transferência de massa líquida para ou a partir de um volume de controle
durante um intervalo de tempo Δt é igual à variação líquida (aumento ou
diminuição) na massa total dentro do volume de controle durante o intervalo de
tempo Δt.
ou
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Princípio de conservação da massa
Onde ∆𝑚𝐶𝑉 = 𝑚𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 −𝑚𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 é a alteração na 
massa do volume de controle durante o processo.
Em termos matemáticos temos
Ela também pode ser expressa na forma de taxa como: 
As equações acima são chamadas de balanço de massa e são aplicáveis a
qualquer volume de controle que estiver passando por qualquer tipo de processo.
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Princípio de conservação da massa
A massa de um volume diferencial dV dentro do volume
de controle é determinada por dm = ρ dV. Logo, a massa
total dentro do volume de controle a qualquer instante de
tempo t é determinada pela integração, sendo
Logo, a taxa de variação da quantidade de massa dentro do volume de 
controle pode ser expresso como
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Princípio de conservação da massa
Utilizando o conceito de produto escalar
entre dois vetores , a magnitude normal da
velocidade pode ser expressa como
O fluxo de massa através de dA é proporcional à densidade do fluido ρ, da
velocidade normal Vn, e a área de fluxo dA, e pode ser expressa como
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Princípio de conservação da massa
O fluxo líquido de massa para ou do volume de
controle através de toda a superfície do volume de
controle é obtida pela integração da equação
anterior sobre toda a superfície de controle,
Note-se que o produto escalar 𝑉. 𝑛 = 𝑉 𝑐𝑜𝑠𝜃 é positivo para 𝜃 < 90𝑜 (saída de
massa) e negativos para 𝜃 > 90𝑜 (entrada de massa). Por conseguinte, a
direção de fluxo de massa é contabilizada automaticamente e a integral de
superfície da equação acima nos fornece diretamente o fluxo líquido de massa.
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Principio de conservação da massa
Rearranjando a equação
A expressão acima afirma que a taxa de variação da massa dentro do volume
de controle mais o fluxo líquido de massa através da superfície de controle é
igual a zero.
A equação da conservação da massa para um volume de controle estacionário
pode ser expressa como
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Princípio de conservação da massa
Separando a integral de superfície da equação anterior em duas partes - uma
para as correntes de saída (positiva) e outra para as correntes de entrada
(negativa) -, a equação da conservação da massa também pode ser expressa
por
Usando a definição de taxa de fluxo de massa, a equação acima também pode
ser expressa por
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Balanço de massa para processos com escoamento em
regime permanente
Durante um processo em regime permanente, a quantidade total de massa
contida dentro de um controle de volume não se altera com o tempo (mcv =
constante).
0
Ele afirma que a taxa total de massa entrando em um volume 
de controle é igual ao taxa total de massa deixando-o.
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Balanço de massa para processos com escoamento em
regime permanente
CASO ESPECIAL – ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL
As equações de conservação da massa podem ser
simplificadas ainda mais quando o fluido é
incompressível (ρ = constante), que é geralmente o
caso dos líquidos.
Cancelando a densidade em ambos os lados da
equação para processos em regime permanente, temos
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Exemplo 1:
Um aquecedor de água de alimentação operando em estado estacionário
apresenta duas entradas e uma saída.
Na entrada 2, água líquida a p2 = 700 kPa e T2
= 40oC entra através de uma área A2 = 25cm
2.
Líquido saturado a 700 kPa sai em 3 com uma
vazão volumétrica de 0,06 m3/s. Determine as
vazões mássicas na entrada 2 e na saída, em
kg/s, e a velocidade na entrada 2, em m/s.
Na entrada 1, o vapor de água entra a p1 = 700 kPa, T1 = 200
oC com uma
vazão mássica de 40 kg/s.
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Problemas propostos:
Capítulo 5:
7; 8; 10;14, 15.
Çengel, Yunus A. Termodinâmica. – 7. ed.