Projeto de Colunas e Pilares

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Resistência de Materiais II
Aula 10: Colunas
INTRODUÇÃO
Modelos simples permitem entender o processo de projeto a partir dos conceitos do Fator de segurança (FS) e da
tensão admissível.
Portando, nesta aula, será discutido um modelo que supõe que a seção está submetida à tensão de compressão
constante de valor igual à compressão máxima e outro que leva em consideração a interação entre momento e normal.
Por �m, serão vistos alguns exemplos de aplicação desses modelos.
OBJETIVOS
Explicar o conceito de Fator de Segurança e tensão admissível;
Aplicar o modelo matemático para representar o comportamento da coluna supondo compressão uniforme pelo valor
máximo de compressão;
Aplicar o modelo matemático para representar o comportamento da coluna supondo tensão variável devida à interação
do esforço normal e da �exão.
PROJETO DE PILARES
Os conceitos de �exão composta e �ambagem, estudados nas últimas aulas, dão suporte ao projeto de pilares, sejam
eles de concreto, de aço ou de madeira.
Vamos avançar um pouco na direção do projeto de engenharia, mas estaremos longe de esgotar o tema.
NORMATIZAÇÃO
Os pilares (ou colunas) possuem normas próprias para cada tipo de material, uma vez que os materiais possuem
características próprias quando submetidos à tensão:
O projeto de estruturas de concreto armado é normatizado pela NBR-6118;
O de estruturas de aço pela NBR-8800; e
O de madeira pela NBR-7190.
OBJETIVOS FUNDAMENTAIS
O projeto de engenharia deve perseguir dois objetivos fundamentais: segurança e economia.
Como eles são antagônicos, ou seja, quanto mais seguro, mais caro, torna-se necessário um equilíbrio, papel que é
ocupado pelas Normas.
O mundo real é cheio de incertezas, que devem ser levadas ao projeto.
AS TENSÕES DE ESCOAMENTO
As tensões de escoamento de um mesmo material, na prática, variam. Não se pode garantir que possuam o valor da
tabela.
O que mais se aproxima é o aço, pelo seu processo rigoroso de fabricação.
O concreto depende de inúmeros fatores ligados à mistura, ao transporte, ao processo de concretagem e de cura.
A madeira, por ser um elemento natural, depende até do solo em que foi plantada. Sem falar no corte e condições
climáticas, como a umidade, por exemplo.
AS CARGAS
As cargas, à grosso modo, podem ser divididas em permanentes e variáveis.
Podemos ter uma certeza maior do valor das cargas permanentes, pois dependem fundamentalmente do peso próprio
da estrutura, revestimentos e sistemas de vedação (paredes), no caso de edi�cações.
Já as cargas variáveis dependem do tipo de utilização, como ocupação por pessoas e mobiliário, por exemplo.
Mantendo o foco em edi�cações, ainda podemos pensar em uso residencial, comercial, industrial, escolas, cinemas,
academias de ginástica, bibliotecas, hospitais, shopping centers, elevadores e várias outras situações.
Fonte:
Mesmo se nos �xarmos em um destes tipos de uso, a certeza da carga não passa da “carga provável”.
Por último, temos as incertezas geradas pela construção, que mesmo utilizando boa técnica, não consegue reproduzir
na realidade o que está no papel.
As dimensões variam, os elementos não são retilíneos, muito menos planos, verticais ou horizontais e as condições de
apoio não reproduzem a realidade.
As Normas recomendam cargas de projeto para cada tipo de utilização e, como não podem “exagerar”, para não
comprometerem o custo, e nem “subestimar”, para comprometer a segurança, utilizam a probabilidade e estatística
para a especi�cação das recomendações e lançam mão de coe�cientes de ponderação ou fatores de segurança, para
se afastar da situação limite.
Fonte:
A ideia é utilizar as cargas e resistências previstas e ter como referência a igualdade entre ação e resistência.
FATOR DE SEGURANÇA E TENSÃO ADMISSÍVEL
Como essa situação é de alto risco, pois a ação pode ocorrer e levar o material ao seu limite, no nosso contexto, será
utilizado um Fator de Segurança para nos afastar dessa situação.
O uso do Fator de Segurança introduz no sistema estrutural uma segurança controlada, apoiada por Norma, que não
seja pequena a ponto de deixar o sistema em risco e que não seja grande para elevar seu custo com uma segurança
desnecessária.
Nossa ideia é utilizar como referência uma tensão máxima para o material em cada tipo de situação.
Essa tensão limite reduzida será denominada tensão admissível, ou seja, será a tensão que será admitida pelo material
naquela condição especí�ca.
As Normas costumam publicar equações construídas a partir de um grande número de exemplos obtidos em ensaios e
casos reais, como no caso das colunas de aço, mostrado na �gura.
Como exemplo, podemos citar a norma americana para estruturas de aço (AISC – American Institute of Steel
Construction, ou Instituo Americano para Construções de Aço), que sugere uma tensão admissível máxima em função
da esbeltez.
A aplicação da Fórmula de Euler embute um fator de segurança de 23/12 e pode ser aplicada para índices de esbeltez
entre um valor de referência e 200 no domínio elástico.
O citado valor de referência de esbeltez é associado à metade da tensão de escoamento, ou seja:
No trecho referente às colunas curtas, com esbeltez entre zero e o valor de referência, utiliza-se uma fórmula empírica,
uma vez que as colunas são menos suscetíveis à �ambagem, acarretando uma incerteza maior no modelo matemático
que representa seu comportamento.
A expressão sugerida é obtida da seguinte forma:
Como Fator se Segurança para se obter a tensão admissível utilizou-se uma variação que inicia em 5/3 e aumenta até
os 23/12 da expressão do outro trecho:
Isso nos leva à expressão da tensão admissível (a)/(b), que equivale à tensão máxima sobre o fator de segurança:
A representação grá�ca desse exemplo pode ser vista na �gura:
Fonte:
Portanto, o roteiro para se determinar a tensão máxima admitida para uma determinada coluna passa pela
determinação do seu índice de esbeltez e consequente classi�cação (acima ou abaixo do índice de referência), o que
indica a expressão adequada para determinação da tensão admissível para a condição requerida. 
A simples comparação com a tensão obtida indica se a condição estudada é ou não segura.
Atenção
, 
O projeto baseado em tensões admissíveis já está ultrapassado, mas sua abordagem nesse contexto ainda é bastante
interessante., , Hoje, o projeto é baseado no conceito do estado limite que tem como referência a ruptura do material e a adoção
de coe�cientes de ponderação para tratamento das incertezas envolvidas no processo., , Também são observados os estados
limites de utilização que limitam o comportamento da estrutura em situações de serviço, principalmente para condições de
deformações excessivas e vibrações., , As disciplinas especí�cas de estruturas de concreto, aço e madeira tratarão o projeto
dessa forma.
, Clique (galeria/aula10/docs/a10_t14.pdf) para ver na prática.
COLUNAS DE MADEIRA
Agora vamos conhecer um pouco sobre as colunas de madeira.
As estruturas de madeira são muito comuns na construção de residências americanas. A NFPA (National Forest
Products Association), respeitada entidade americana, publicou expressões para determinação de tensões admissíveis
em elementos comprimidos classi�cados de acordo com a esbeltez em curtos, intermediários e esbeltos, com seção
retangular, onde a maior dimensão é identi�cada por b e a menor por d.
Fonte:
Aqui, a madeira está sendo considerada como um material com módulo de elasticidade de 12400Mpa e tensão limite
de compressão de 8.25Mpa.
O procedimento é similar ao que utilizamos nas colunas de aço. O processo se inicia com a análise da coluna e a sua
classi�cação como curta média ou longa.
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/gon556/galeria/aula10/docs/a10_t14.pdf
Com essa de�nição, especi�ca-se a expressão que deve ser utilizada (1, 2 ou 3) e determina-se a tensão admissível
para o elemento em análise.
Fonte:
A comparação da máxima tensão obtida com a tensão admissível é determinante para que o projetista considere o
elemento adequadoou se deve ser realizado algum ajuste nas suas dimensões, aumentando a sua capacidade
resistente, aumentando a seção transversal ou diminuindo a seção por considerá-la maior do que a necessária.
, Clique (galeria/aula10/docs/a10_t17.pdf) para ver na prática.
COLUNAS COM CARGAS EXCÊNTRICAS
Os elementos comprimidos são muito sensíveis à excentricidade da carga aplicada. Mesmo que o projeto preveja uma
carga centralizada, pode-se dizer que, na prática, essa situação é tão difícil de reproduzir que não podemos considerá-
la na condição de cálculo.
Normalmente as Normas recomendam a adoção de uma excentricidade mínima, que varia caso a caso.
Fonte:
A ideia não é compensar possíveis erros de execução, mas sim estabelecer limites de tolerância que são aceitáveis na
boa técnica construtiva.
Nos pilares podemos ter problemas contra a segurança, já que:
Não existem colunas perfeitamente retas;
O prumo não é perfeito (verticalidade);
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/gon556/galeria/aula10/docs/a10_t17.pdf
Os apoios não são exatamente como o previsto;
A carga não está localizada exatamente onde foi prevista;
A direção da carga não é exatamente a prevista.
Mas também são muito comuns as carga excêntricas, bem como a transmissão de momentos nas ligações viga-
coluna.
A carga excêntrica provoca tensões combinadas de compressão e �exão, conforme mostra a �gura.
Temos duas formas de abordar essa situação. Uma, mais conservadora, seria imaginar uma tensão uniforme igual à
tensão máxima.
Dessa forma, bastaria determinar a tensão máxima e compará-la à tensão admissível.
A outra forma leva em consideração a diversidade das ações combinadas, uma vez que as Normas diferem as tensões
admissíveis para os casos de compressão e �exão.
A ideia é que a mínima da coluna atenda aos efeitos combinados das duas ações. Assim, podemos dizer que a parcela
referente à compressão é:
De forma análoga, a parcela referente à �exão é:
A coluna deverá possuir uma área A que seja maior ou igual à soma de A e A .
Nessas expressões, temos:
a : parcela de tensão imposta pela força P, com intensidade de P/A;
a : parcela de tensão imposta pelo momento devido à excentricidade (P.e) da carga e/ou transferido por viga, com
intensidade de Mc/Ap ;
a : tensão admissível para tensão de compressão uniforme associada ao maior índice de esbeltez, usualmente
de�nida por Normas de projeto;
a : tensão admissível para tensão de �exão usualmente de�nida por Normas de projeto.
1. Determine o menor valor de a (seção transversal quadrada, múltiplos de 1cm) para que a coluna de madeira possua
um fator de segurança contra a �ambagem de 1,5.
Considere a coluna engastada no topo e na base. Use a Equação de Euler com E= 11 GPa e σ = 10MP α .
A) 8cm
B) 9cm
c f
c
f 2
c(adm)
f(adM)
e
C) 10cm
D) 11cm
E) 12cm
Justi�cativa
2. Determine o valor máximo para o momento M (múltiplos de 1kNm) que pode ser aplicado na coluna da �gura,
considerando que ela está engastada no topo e na base e contida lateralmente de forma a impedir a �ambagem em
relação ao eixo y-y.
Considere a coluna engastada no topo e na base. Use a fórmula da secante com E=200 GPa e σ
A=63cm 
I = 2274,75cm 
r = 6,0cm
A) 11kNm
B) 22kNm
C) 44kNm
D) 33kNm
E) 27kNm
e = 250MP α .
2
x
4
x
Justi�cativa
3. O poste de madeira da �gura, engastado na base e livre no topo, suporta um transformador de 3kN. Considerando
uma seção circular de 25cm de diâmetro, analise o problema avaliando a tensão máxima pelas equações da NFPA e
comparando com a tensão admissível.
A = 490,87cm 
I = 19174,76cm
A) 45%
B) 55%
C) 63%
D) 70%
E) 85%
Justi�cativa
2
4
Glossário