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Resistência dos Materiais II Aula 7 - Flexão: Flexão Composta Reta INTRODUÇÃO Esta aula apresenta a �exão composta reta (ação simultânea do momento �etor, tal qual estudamos nas vigas e do esforço normal) e suas ações sobre a seção transversal. A �exão composta reta, embora seja comum em elementos de viga, já inicia, pela presença do esforço normal, a transição para o último de nossos grandes temas que são os pilares. OBJETIVOS Analisar a con�guração de tensões normais devida à combinação de momento �etor e esforço normal (�exão composta reta); Identi�car as tensões normais devidas à �exão composta reta; Determinar a posição da linha neutra em seções transversais submetidas à �exão composta reta. Flexão Composta Reta A denominação “Flexão Composta Reta” é devida à combinação do momento �etor da forma como estudamos até aqui com o esforço normal. As tensões de tração e compressão motivadas pelo esforço normal foram objetos de estudo em Resistência dos Materiais I e o efeito do momento �etor foi estudado nas últimas aulas. A �exão composta reta aparece de várias formas, como, por exemplo: Uma das formas mais signi�cativas da �exão composta é, com certeza, os pórticos planos. Veja este exemplo: Diagrama de Esforços Cortantes Diagrama de Esforços Normais Diagrama de Momentos Fletores Fonte: Observando os 3 elementos do pórtico, podemos veri�car que o esforço cortante, o esforço normal e o momento �etor estão presentes de forma simultânea. O esforço cortante, por ser transversal, sempre gera tensões tangenciais na seção transversal, qualquer que seja ela. Já o esforço normal e o momento �etor geram tensões normais na seção transversal. Daí os efeitos serem combinados e estudados simultaneamente. Análise de uma seção genérica Vamos analisar uma seção genérica, sujeita a esforço de compressão e momento �etor. O esforço normal, centralizado, gera uma tensão uniforme, que pode ser de tração ou de compressão, dependendo do sentido. O momento �etor também gera esforços normais, como já vimos neste curso, só que com variação linear, sendo de tração em um bordo e de compressão no outro, passando pela linha neutra, que coincide com a posição do centroide da seção. Esboço da superposição dos 2 efeitos (normal + momento) Vamos esboçar a superposição dos 2 efeitos (normal + momento) através da construção do diagrama de distribuição de tensões normais para �exão composta reta. Observe que a linha neutra na distribuição de tensões resultante se desloca, deixando de coincidir com o centroide. Repare que, se aumentarmos o esforço normal, a linha neutra vai continuar baixando até “sair da seção”, fato que eliminará a presença das tensões de tração, tornando a seção toda comprimida. E se a tensão normal fosse de tração? Observe agora que a linha neutra na distribuição de tensões resultante se desloca para cima, deixando de coincidir com o centroide. Repare que, se aumentarmos o esforço normal, a linha neutra vai continuar subindo até “sair da seção”, fato que eliminará a presença das tensões de compressão, tornando a seção toda tracionada. Observação: Todos os exemplos de diagrama de distribuição normal de tensões analisados para esforço normal de compressão e de tração contaram com a ação simultânea de momento �etor positivo, que gera tração no bordo inferior e compressão no superior. A ação de momento negativo obviamente altera a con�guração do estado de tensões resultante e, por consequência, a posição da linha neutra. , A superposição de efeitos do esforço normal com o momento �etor, da forma como estamos estudando, só é válida se o estado de tensões resultante imposto ao material permanecer no domínio linear elástico, onde a Lei de Hooke é válida. A representação da �exão composta reta também é usualmente apresentada através de um esforço normal excêntrico. Fonte: O par Normal + Momento pode ser substituído pela Normal associada a uma excentricidade de tal forma que o produto da Normal pela excentricidade produza o mesmo momento imposto pela �exão composta reta. Dessa forma, podemos resumir a tensão no bordo superior como sendo: E a do bordo inferior: Onde: • N: esforço normal; • A: área da seção transversal; • M: momento �etor; • I: momento de inércia da seção em relação ao centroide; • C e c : distância do bordo considerado até o centroide. Obs: Nas seções simétricas C e C Convenção de sinais: • Compressão: normal negativo; • Tração: normal positivo; • Momento positivo: tração no bordo inferior e compressão no superior; • Momento negativo: tração no bordo superior e compressão no inferior. Pela expressão: sup inf sup inf Podemos encontrar o valor da tensão em qualquer ponto da seção ao longo da sua altura. Fonte: O valor de y para tensão nula nos fornece a posição da linha neutra. Podemos construir uma equação para determinação da posição da linha neutra melhorando a expressão: • Vamos substituir M por N.e; • Vamos identi�car a posição da linha neutra de y , e • Por último, vamos explorar o raio de giração da seção que pode ser obtido por 𝑖=√(𝐼/𝐴) Como o esforço normal não pode ser nulo, obrigatoriamente, (𝑒 𝑦 )/𝑖 deve ter valor absoluto 1. Com isso, 𝒚 =𝒊 /𝒆 , Clique (galeria/aula7/docs/a07_t16.pdf) para ver na prática. Chegou a hora de analisarmos a tensões! 0 0 2 𝟎 𝟐 https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/gon556/galeria/aula7/docs/a07_t16.pdf A tensão normal, de compressão, vale 𝑵/𝑨= 100/2=50𝑘𝑁/𝑚 A tensão devida ao momento vale 𝑴𝒚/𝑰= 𝑴.𝟏,𝟎/𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕=𝟏,𝟓𝑴 𝝈 = 𝑵/𝑨 + 𝑴𝒚/𝑰 Fonte: Como vimos, o acréscimo do momento desloca a linha neutra. Essa ideia nos leva à solução do problema: coincidir a linha neutra com um dos bordos da sapata, pois, dessa forma, ela estaria integralmente comprimida com momento máximo. 2 Para que a tensão seja nula no bordo (linha neutra), o momento deverá ser tal que imponha à sapata -50kN/m2 no bordo comprimido e 50kN/m2 no bordo tracionado. Assim, teremos tensão de compressão máxima de 100kN/m2 em um bordo e tensão nula no outro, garantindo o momento máximo e a base integralmente comprimida. Um muro de tijolos com 1,8m de espessura e 4,5m de altura foi construído para conter o terreno conforme a �gura. Sabendo que a pressão exercida pelo solo (areia) na parede do muro possui variação linear ao longo de sua altura (AB), podemos admitir que a resultante do empuxo está localizada a 1,5m da base. O peso especí�co do muro é de 20KN/m e o empuxo H é de 5kN/m ao longo do comprimento do muro. 1. Qual é a tensão máxima exercida pelo muro no solo (kN/m2)? 76,12 103,88 13,88 90 162 3 Justi�cativa 2. Qual é a tensão mínima exercida pelo muro no solo? 76,12 103,88 13,88 90 162 Justi�cativa 3. Se a tensão máxima admitida pelo solo fosse de 100kN/m2, qual seria a dimensão mínima (m) da base do muro (mn), ignorando a condição de tombamento? 2,0 1,92 1,73 2,38 2,51 Justi�cativa 4. Uma viga biapoiada com vão de 5m possui carga distribuída de 20kN/m e uma carga de P concentrada posicionada no centro do vão. Considerando que a �echa máxima permitida seja 1/300 do vão, qual é o maior valor de P que a viga pode receber? Considere E=15GPa e I = 0,001 m . 0kN 51,3kN 93,7kN 113kN 75,2kN Justi�cativa 4 Glossário
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