Geometria Analica e Algebra linear - Atividade III

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ATIVIDADE 3 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - 53/2022
As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entre as principais aplicações da Álgebra Linear. Lembrando: dados dois conjuntos, não vazios, U e V, uma aplicação (transformação) de U em V é uma "lei" que associa a cada elemento de U um único elemento de V. Se denotamos por F esta aplicação, então, o elemento associado é denotado por F(u), que está em V, denominado a imagem de u pela aplicação F.Para a Transformação a seguir, responda ao que se pede:
T: R³ –> R³, T(x,y,z) = (x + 2y + z, x + 2z, x + y + 2z)
(a) A Transformação é Linear? Comprove sua resposta através da aplicação da conservação, ou não, das Operações de Soma e Multiplicação.
Resposta trata-se de ua equação linear, colculado atravez de:
Operações de Soma
T (v1 + v2 ) = T (v1) + T (v2)
V1 = (x1, y1, z1)
V2 = (x2, y2, z2)
T (v1) = ( x1 + 2y1 + z1 , x1 + 2z1, x1 + y1 + 2z1) → T (v2) = ( x2 + 2y2 + z2 , x2 + 2z2, x2 + y2 + 2z2) →v1 + v2 = x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 →T (v1 + v2) = {(x1 + x2) + 2(y1 + y2) + (z1 + z2) , (x1 + x2) + 2(z1 + z2) , (x1 + x2) + (y1 + y2) + 2(z1 + z2)} →T (v1 + v2) = {( x1 + 2y1 + z1) + (x2 + 2y2 + z2) , (x1 + 2z1) + (x2 + 2z2) , (x1 + y1 + 2z1) + (x2 + y2 + 2z2)} → T (v1 + v2) = {(x1 + 2y1 + z1 , x1 + 2z , x1 + y1 + 2z1 ) + (x2 + 2y2 + z2, x2 + 2z2 , x2 + y2 + 2z2)}
logo → T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2)
Operações de MULTIPLICAÇÃO
T ( α v1 ) = α . T (v1)
Α α v1 = ( αx1 , αy1, αz1 )
T (α v1) = ( αx1 + 2αy1 + αz1 , αx1 + 2αz1 , αx1 + αy1 + 2αz1 ) → T (α v1) = { α (x1 + 2y1 + z1), α (x1 + 2z1), α (x1 + y1+ 2z1)} → T (α v1)= α (x1 + 2y1 + z1 , x1 + 2z1, x1 + y1 + 2z1)
logo T (α v1) = α T(v1)
(b) Qual o Núcleo de T [ Ker(T) ]?
resposta: T: R³ –> R³, T(x,y,z) = (x + 2y + z, x + 2z, x + y + 2z)
X + 2y + z = 0 
X + z = 0
X + y + 2z = 0
logo: Ker (T) = (0,0,0)
(c) Qual a dimensão do Núcleo [ dim(Ker) ]? A Transformação é injetora?
resposta: a Dimensão = 0 pois A transformação é Injetora
(d) Qual a Imagem de T [ Im(T) ]?
resposta: Im (T) = (x,y,z) = (x+2y+z, x+2z, x+y+2z) = (x+2y+z) + (x+2z) + (x+y+2z) = X(1,1,1) + y(2,0,1) + z(1,2,2)
logo Im (T) = {(1,1,1); (2,0,1); (1,2,2)}	
(e) Qual a dimensão da Imagem [ dim(Im) ]? A Transformação é sobrejetora?
resposta: Dimensão = 3, logo - Sim, a Transformação é sobrejetora.
(f) Qual a matriz da Transformação?
1 1 1
2 0 1
1 2 2