Lista 4

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Universidade Federal de Lavras
Lista 04 de exercício - Cálculo II
BOM TRABALHO!
Questão 1: Se u = ea1x1+a2x2+···+anxn , onde a21 + a
2
2 + · · ·+ a2n = 1, mostre que
∂2u
∂x21
+
∂2u
∂x22
+ · · ·+ ∂
2u
∂x2n
= u.
Questão 2: A temperatura em um ponto (x, y) de uma chapa de metal é dada por T (x, y) =
60
1 + x2 + y2
, onde T é medido em ◦C e x, y em metros. Determine a taxa de variação da tempe-
ratura no ponto (2, 1) na direção de x e y.
Questão 3: Seja z = sin(y2 − 4x).
a) Determine a taxa de variação de z em relação a x no ponto (2, 1) com y �xado.
b) Determine a taxa de variação de z em relação a y no ponto (2, 1) com x �xado.
Questão 4: O volume V de um cilindro circular reto é dado pela fórmula V = πr2h onde r é o raio e
h é a altura.
a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a r se r variar e h
permanecer constante.
b) Suponha que h tenha um valor constante de 4 pol, mas que r varie. Determine a taxa de variação
de V em relação a r no ponto onde r = 6pol.
Questão 5: O comprimento, a largura e a altura de uma caixa retangular são 5, 2 e 3 respectivamente,
encontre a taxa de variação do volume da caixa em relação ao comprimento se a largura e altura per-
manecem constantes.
Questão 6: A função f(x, y) = x2 sin y é diferenciável em toda parte? Por quê?
Questão 7: Mostre que f não é diferenciável em (0, 0).
f(x, y) =

xy
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0);
0 , se (x, y) = (0, 0).
Questão 8: Use a regra da cadeia para determinar
dz
dt
.
a) z = x2 + y2 + xy, x = sin t, y = et
b) z =
√
1 + x2 + y2, x = ln t, y = cos t
c) z = xe
y
z x = t2, y = 1− t, z = 1 + 2t.
Questão 9: Seja z = x2y3 com x = s cos t e y = s sin t. Determine
∂z
∂s
e
∂z
∂t
.
Questão 19: Seja x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1. Determine
∂z
∂x
e
∂z
∂y
.
Questão 11: O comprimento, a largura e a altura de uma caixa variam com o tempo. Em um de-
terminado momento as dimensões do comprimento, a largura e a altura são respectivamente 1m, 2m e
1
2m. O comprimento e a largura estão aumentando estão aumentando em uma taxa de 2m/s enquanto
a altura está decrescendo em uma taxa de 3m/s. Nesse instante, encontre as taxas em que as seguintes
quantidades estão variando.
a) Volume b) Área da superfície.
Questão 12: Suponha que a parte de uma árvore que é utilizável como madeira seja um cilindro
circular reto. Se a altura utilizável da árvore cresce a uma taxa de 2 pés por ano e o diâmetro utilizável
cresce a 3 pol por ano, com que velocidade cresce o volume da madeira utilizável quando a altura
utilizável da árvore for 20 pés e o diâmetro for 30 pol? Obs: 1 pé = 12 pol.
Questão 13: Seja f uma função diferenciável de uma variável e seja w = f(u), onde u = x+2y+3z.
Mostre que
∂w
∂x
+
∂w
∂y
+
∂w
∂z
= 6
dw
du
.
Questão 14: Encontre uma equação para o plano tangente e equações paramétricas para a reta nor-
mal à superfície no ponto P dado.
a) x2 + y2 + z2 = 25; P = (−3, 0, 4).
b) f(x, y) = z = xe−y; P = (1, 0, 1).
Questão 15: Encontre todos os pontos da superfície nos quais o plano tangente é horizontal.
a) z = x3y2.
b) z = x2 − xy + y2 − 2x+ 4y.
Questão 16: Encontre a derivada direcional de f(x, y) = 4x3y2 em (2, 1) na direção de v = 4i− 3j.
Questão 17:
a) Encontre a derivada de f(x, y, z) = x3 − xy2 − z em (1, 1, 0) na direção de v = 2i− 3j + 6k.
b) Em qual direção f aumenta mais rapidamente e em qual direção f decresce mais rapidamente em
(1, 1, 0)? E quais são as taxas de variações nessas direções?
c) Existe uma direção u na qual a taxa de variação de f em (1, 1, 0) é igual a 10? E a −5? Justi�que
sua resposta.
Questão 18: Seja f(x, y) = x2 − xy + y2 − y. Encontre as direções de u e os valores de Duf(1,−1)
para os quais
a) Duf(1,−1) é máximo;
b) Duf(1,−1) é mínimo.
Questão 19: Existe uma direção u na qual a taxa de variação de f(x, y) = x2−3xy+4y2 em P = (1, 2)
é igual a 14? Justi�que sua resposta.
Questão 20: Suponha que a temperatura no ponto (x, y) seja dada por
T (x, y, z) = (x2 + xy)3,
em que T é medida em graus Celsius e x, y em metros. Em que direção no ponto (−1,−1) a tempe-
ratura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?
Questão 21: Encontre a derivada direcional de f(x, y) =
√
xy em (1,4) na direção e sentido de um
vetor que faça, no sentido anti-horário, um ângulo θ =
θ
3
com o eixo x positivo.
2
Questão 22: Determine a derivada direcional da função
f(x, y, z) = x3y2z5 − 2xz + yz + 3x
em P (−1,−2, 1) na direção e sentido do eixo z negativo.
Questão 23: Se o potencial elétrico em um ponto (x, y) do plano xy é V (x, y) então o vetor intensi-
dade elétrica no ponto (x, y) é E = −∇V (x, y). Suponha que V (x, y) = e−2x cos 2y.
a) Determine o vetor intensidade elétrica em (π4 , 0).
b)Mostre que, em cada ponto do plano, o potêncial elétrico decresce mais rapidamente na direção e
sentido do vetor E.
Questão 24: Determine a derivada direcional de f(x, y) =
√
xyey em P = (1, 1) na direção de u = −j.
Máximos e mínimos de funções de duas variáveis
Questão 25: Determine três números positivos cuja soma seja 48 e o seu produto seja o maior possível.
Questão 26: Uma caixa retangular com volume de 16cm3 é feita de dois tipos de materiais. O topo
e a base são feitos de um material que custa 10 centavos por centímetro quadrodo e os lados de um
material que custa 5 centavos por centímetro quadrado. Determine as dimensões da caixa de modo
que o custo dos materiais seja minimizado.
Questão 27: Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções:
a) f(x, y) = 2xy − x2 − 2y2 + 3x+ 4;
b) f(x, y) =
1
x2 + y2 − 1
;
c) f(x, y) = 2x2 + 3xy + 4y2 − 5x+ 2y;
d) f(x, y) = x2 − y2 − 2x+ 4y + 6.
Questão 28: Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f = x2 + y2 − 2x na região trian-
gular fechada com os vértices (2, 0), (0, 2) e (0,-2).
Questão 29: Encontre os extremos absolutos da função f(x, y) = xy − x − 3y na região triangular
com vértices (0, 0), (0, 4) e (5, 0).
Questão 30: Determine os pontos do cone z2 = x2 + y2 que estão mais próximo do ponto (4, 2, 0).
Multiplicadores de Lagrange
Questão 31: Determine os valores extremos de f(x, y, z) = x + 2y sujeita a ambas restrições
x+ y + z = 1 e y2 + z2 = 4.
Questão 32: Utilize os multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o retângulo com área má-
xima e que tem perímetro constante P é um quadrado.
Questão 33: Em que ponto ou pontos do circulo x2 + y2 = 1 a função f(x, y) = xy tem um máximo
absoluto e qual é esse máximo?
Questão 34: Determine usando multiplicadores de Lagrange e também pelo teste de máximo e mí-
nimo o ponto no plano 3x+ 2y + z = 6 que está mais próximo da origem.
3
Questão 35: Determine o ponto da reta 2x− 4y = 3 que está mais próximo da origem.
Questão 36: Encontre o valor máximo de f(x, y) = 49− x2 − y2 na reta x+ 3y = 10.
Questão 37: A temperatura em um ponto (x, y) em uma placa de metal é
T (x, y) = 4x2 − 4xy + y2.
Uma formiga sobre a placa anda ao redor da circunferência de raio 5 centrado na origem. Quais são
as temperaturas mais alta e mais baixa encontradas pela formiga?
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