Lista 4 calculo 2

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UFPB / CCEN / Departamento de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral II
4a Lista de Exercícios - Período 2011.2
Assunto:Funções, Limites e Continuidade
Professor:Fred
[01] Esboce os subconjuntos do plano cartesiano dados abaixo, fazendo uma análise
topológica dos mesmos. Determine a fronteira e o conjunto dos pontos de acumu-
lação de cada um deles
a) A = f(x; y) 2 R2 : y � 0g b) B = f(x; y) 2 R2 : x � 0 e x2 + y2 � 1g
c) C = [0; 1]� [1; 2] d) D = f(x; y) 2 R2 : x > 0 e y > 0g
e) E = f(x; y) 2 R2 : 1 < x2 + y2 � 2g f) G = f(x; y) 2 R2 : x > 0 e 1 < y � 2g
g) I = ]1; 2[� [0;+1[ h) N = f(x; y) 2 R2 : jxj � 1 e � 1 < y � 2g
i) L = f(x; y) 2 R2 : x3 < yg j) M = f(x; y) 2 R2 : jxj+ jyj � 1g
k) P = f(x; y) 2 R2; 4 < x2 < 9g l) K = f(x; y) 2 R2 : y � x2g
[02] Esboce algumas curvas de nível de cada função dada a seguir, de modo a obter uma
ideia de seu grá…co :
a) z = x2 + y2 b) z =
p
x2 + y2
c) z = (x2 + y2)�1 d) z = log (1 + x2 + y2)
e) z = xy f) z = x2 + y2 �
p
x2 + y2
g) z =
p
9� x2 � y2 h) z = 8� x2 � 2y
i) z =
q
1� x2
4
� y2
9
j) z = x2 � y2
[03] Determine a curva de nível da função z = 2y � 4x3 que passa pelo ponto (1; 2) .
Esboce a curva.
[04] Identi…que as superfícies de nível da função w = x2 + y2 + z2 , correspondentes aos
níveis 0; 1; 2 e 3 .
[05] Identi…que e esboce a superfície de nível da função � (x; y; z) = x2 + y2 � z2, que
passa pelo ponto (1; 1; 1).
[06] Para a função f (x; y) =
8<:
2xy
x2 + y2
; se (x; y) 6= (0; 0)
0; se (x; y) = (0; 0)
;
calcule os limites: a) lim
h!0
f (1 + h; 1)� f (1; 1)
h
b) lim
h!0
f (h; 0)� f (0; 0)
h
[07] Veri…que se as funções abaixo têm limite na origem:
a) z =
x+ y
x2 + y2
b) z =
x
x2 + y2
c) z =
4xy
x2 + y2
d) z =
xyp
x2 + y2
e) z =
xy
2x2 + 3y2
f) z =
xy2
x2 + y4
g) z =
x6
(x3 + y2)2
h) z =
x4 + 3xy2
x2 + y2
[08] Veri…que se as funções abaixo têm limite na origem :
a) z =
x3 + y3
x2 + y
. Sugestão: use a direção
�
y = �x2ex
x! 0
b) z =
x2y2
x3 + y3
. Sugestão: use a direção
�
y = �xex
x! 0
[09] Mostre que a função de três variáveis f (x; y; z) =
x2 + y2 � z2
x2 + y2 + z2
não tem limite na
origem.
[10] Para a função f (x; y) =
3x4y4
(x4 + y2)3
, calcule o limite na origem ao longo dos
caminhos: eixo x, reta y = x, curva y = x2. O que você pode concluir sobre o
limite de f na origem ?
[11] Veri…que se a função dada é contínua no ponto indicado:
a) f (x; y) = exp (�xy) : log (x2 � 2y + 7); P0 = (0; 0)
b) f (x; y) =
p
25� x2 � y2; P0 = (�3; 4)
c) f (x; y; z) =
xyz
x2 + y2 + z2
; P0 = (0; 0; 0).
[12] Discuta a continuidade das seguintes funções:
a) f (x; y) =
(
x2y
2~x2+3y2
; se (x; y) 6= (0; 0)
0; se (x; y) = (0; 0)
b) f (x; y) =
�
xsen( 1
x2+y2
); se (x; y) 6= (0; 0)
0; se (x; y) = (0; 0)
c) g (x; y) =
�
4x2 + 9y2; se 4x2 + 9y2 � 1
(4x2 + 9y2)
�1
; se 4x2 + 9y2 > 1
d) h (x; y) =
(
y2
p
x2+y2
x2+y2
+ 1; se (x; y) 6= (0; 0)
1; se (x; y) = (0; 0)
[13] Sejam g e h funções de…nidas emR2 por: g (x; y) =
8<:
3x2y
x2 + y2
; se (x; y) 6= (0; 0)
1; se (x; y) = (0; 0)
h (x; y) =
( xy
x2 + y2
; se (x; y) 6= (0; 0)
1; se (x; y) = (0; 0)
Mostre que (0; 0) é uma descontinuidade removível da função g e essencial da função
h.
[14] Mostre que a função de…nida emR2 por f (x; y) =
8<: exp
�
� 1
x2 + y2
�
; se (x; y) 6= (0; 0)
0; se (x; y) = (0; 0)
é
contínua em todos os pontos doR2. Calcule os limites a) lim
h!0
f (h; 0)� f (0; 0)
h
b) lim
h!0
f (0; h)� f (0; 0)
h