MECANICA APLICADA

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- --- -------------------i
iNDICE 
H Parte 
1 - INTRODUCAO............................................................................................................ 1.01 
FORCA............................................................................................................................... 1.02 
MASSA ............................................................................................................................... 1.03 
PESO................................................................................................................................... 1.03 
FORCA DE INERCIA ........................................................................................................ 1.05 
FORCA CENTRIFUGA...................................................................................................... 1.05 
IMPULSO - OUANTIDADE DE MOVIMENTO................................................................. 1.07 
MOMENTOS DE ROTACAO OU DE TORCAO................................................................. 1.07 
EXERCICIOS...................................................................................................................... 1.09 
TRABALHO ....................................................................................................................... 1.19 
POTENCIA ......................................................................................................................... 1.19 
EXERCICIOS...................................................................................................................... 1.23 
ENERGIA........................................................................................................................... 1.29 
ENERGIA CINETICA ....................................................................................................... 1.30 
MOMENTOS DE INERCIA................................................................................................. 1.32 
TRANSFERENCIA DOS MOMENTOS DE INERCIA ........................................................ 1.33 
EXERCICIOS...................................................................................................................... 1.35 
2 - MAOUINA ................................................................................................................... 2.01 
RENDIMENTO................................................................................................................... 2.02 
RESISTENCIAS PASSIVAS ............................................................................................... 2.04 
ATRITO DE ESCORREGAMENTO ................................................................................... 2.04 
ESCORREGAMENTO EM RANHURAS TRAPEZOIDAIS ................................................ 2.11 
ATRITO DE ROLAMENTO ............................................................................................... 2.13 
RESISTENCIA AO ENROLAMENTO E DESENROLAMENTO ........................................ 2.15 
RESISTENCIA DO MEIO ................................................................................................... 2.19 
EXERCICIOS...................................................................................................................... 2.23 
3- ACOPLAMENTOS CINEMATICOS ............................................................................. 3.01 
EOUILIBRIO DINAMICO .................................................................................................. 3.02 
SISTEMA PLANO ................................................................................................. :............. 3.02 
PLANO INCLINADO.......................................................................................................... 3.05 
ROSCAS ............................................................................................................................. 3.11 
CUNHAS............................................................................................................................. 3.21 
RODAS DE FRICCAO ....................................................................................................... 3.26 
FRICCAO CONICA............................................................................................................ 3.31 
JUNTAS CONICAS............................................................................................................. 3.37 
EXERCICIOS...................................................................................................................... 3.39 
4- ACOPLAMENTOS ROTOIDAIS.................................................................................. 4.01 
MANCAL RADIAL............................................................................................................. 4.01 
MANCAL AXIAL............................................................................................................... 4.05 
CALOR NOS MANCAIS..................................................................................................... 4.08 
RODAS DE VEICULOS...................................................................................................... 4.09 
PISTA INCLINADA............................................................................................................ 4.11 
FREIOSDESAPATAS ....................................................................................................... 4.13 
FREIO DE EXPANSAO...................................................................................................... 4.17 
ELEMENTOS FLEXIVEIS ................................................................................................. 4.19 
FREIO DE FITA SIMPLES................................................................................................. 4.24 
FREIO DE FITA DIFERENCIAL....................................................................................... 4.26 
FREIO DE FITA ADITIVO................................................................................................ 4.27 
EXERCICIOS...................................................................................................................... 4.29 
5 - ROLDANAS................................................................................................................. 5.01 
POLIAS FIXAS................................................................................................................... 5.01 
POLIAS MOVE IS................................................................................................................ 5.03 
; 
T AL HAS............................................................................................................................. 5.06 
TALHA EXPONENCIAL.................................................................................................... 5.10 
TALHA DIFERENCIAL..................................................................................................... 5.12 
SARILHOS ......................................................................................................................... 5.14 
EXERCICIOS...................................................................................................................... 5.21 
INTRODUf;AO 
1. 1 
' MECANICA APLICADA AS MAOUINAS 
A mecanica e a parte da ciencia que estuda o movimento e o equil (brio 
dos corpos e, suas causas. 
Divide-se em: 
- racional 
- aplicada 
A mecanica racional deduz as suas leis analiticamente, nao levando em 
conta a natureza dos materiais. 
A mecanica aplicada deduz suas leis baseando-se na experiencia e, levan-
do em conta a natureza dos materiais. 
A mecanica compreende: 
-1Q CINEMATICA que estuda o movimento dos corpos, independente-
mente das causas que o produzem ou o modificam. 
- 29 ESTATICA 
- 3Q DINAMICA 
que estuda o equil(brio das forc;:as sabre um corpo em 
repouso. 
que estuda o movimento dos corpos em relac;:aoas 
causas que o produzem. 
1.2 
FORCA 
Forc;:a e toda a causa capaz de produzir ou modificar u movi e to. 
Os e ementos de uma fo ;:a sao: 
PONTO DE APUCA£AO 
SENTIDO 
19 Po to de apl icac;:ao 
29 Direc;:ao (reta de ac;:ao 
39 I nte sidade (gra deza) 
49 Se tido (verso) 
A forc;:a e porta to u a gra deza vetoria . A i te sidade da forc;:a e
edida, por eio do dinamometro:
1 - em Kg (qui ogra as) o Siste a etrico pratico 
2 - e lb ( ibras-pou ds) o Siste a ing es pratico 
1 
1 
lb 
Kg = 
0,4536 
2,205 
Kg 
lb 
Pelo pri dpio fu damental da d na ca sabemos que a ace erac;::ao (a) 
de um corpo em ov ento e proporc ona a ntens dade da forc;::a (F), sto e:
F = m• a ( 1) 
em que e u a constante, cha ada massa.
---------------------------------- 1.3 
MASSA 
PESO 
Massa e a rela<;ao entre a for<;:a e a acelera<;:ao; de fato pela formula 
( 1) teremos: 
[3J (2) 
m e constante para o mesmo corpo. 
NAO CONFUNDIR MASSA COM PESO! 
SAO CONCEITOS COMPLETAMENTE DIFERENTES! 
A terra exerce sobre todos os corpos uma atra<;:ao para o pr6prio centro. 
Esta atra<;ao e chamada forr;a de gravidade ou simplesmente gravidade e varia 
com a altitude do corpo. 
Alem disso, devido ao seu movimento de rota<;:ao, a terra origina uma 
for<;:a centdfuga que e maxima no equador e nula nos polos. 
Os corpos situados na superHcie terrestre sao portanto sol icitados por 
uma for<;:a de gravidade, e por uma for<;:a centr(fuga, cuja resultante repre-
senta o PESO (P) do corpo. 
0 peso de um corpo. varia com a altitude e com a sua posir;ao geografica. 
1.4 
Um corpo nos Polos pesa mais que no Equador seja porque, devido ao 
achatamento da Terra, cada polo se aproxima do centro de ± 21 Km, seja 
porque nos Polos a fon;:a centr(fuga e nu la. 
Pela experiencia de Isac Newton, sabemos que qualquer corpo pesado, 
em queda livre, adquire a mesma acelera<;:ao, chamada acelera9ao da gravi-
dade (g). 
Substituindo os valores Peg nas formulas (1) e (2) teremos: 
(3) 
A acelera<;:ao da gravidade nao varia com a natureza dos corpos, mas 
varia de lugar para lugar: 
No Equador 
Em Roma 
Em Paris 
Nos Polos 
g = 9,78 
g = 9,80 
g = 9,81 
g = 9,83 
m/seg2 
Para aplica<;:oes tecnicas que nos interessam, a diferern;:a entre os valores 
deg e absolutamente desprezfvel; consideraremos portanto: 
g 9,8 m/seg2 
Unidade tecnica de massa (utm) e a massa correspondente ao. peso de 
9,8 Kg. 
A massa m se mantem constante em qualquer lugar da terra. 
1.5 
FORCA DE INl:RCIA 
Vimos que: 
F = m • a 
0 produto m • a representa uma forc;:a igual e contraria a F, isto e, 
representa uma forc;:a capaz de equilibrar F. 
De fato: 
F - ma= 0 
Esta forc;:a equilibradora se chama reac;:ao ou fo~a de inercia. 
A expressao acima nos diz que, a cada instante, durante o movimento, 
haven\ equil (brio entre a forc;:a motora e a forc;:a de mercia. 
Este principio, enunciado par D' Alembert em 1743, e de fundamental 
importancia, pois permite resolver os problemas dinamicos como se fossem 
problemas estaticos que sao mais simples de resolver. 
FORCA CENTRfFUGA 
rt 
'-~ 
~ 
\), 
'/ 
Pela Cinematica, estudando o movimento circular uniforme, verifica-
mos a existencia de uma acelerac;:ao centr(peta: 
v2 
a=-
r 
Para imprimir esta acelerac;:ao a um corpo de 
massa m, e necessaria uma forc;:a de intensi-
dade: 
,,,_ ~ ~-' 
- < .. l?:,.... ~~-- -fJ l!T~ v2 m--
r ~ 
1.6 --------------------------------
0 corpo que percorre a trajet6ria circular 
e cont1·nuamente desviado da direc;ao tangenci-
al, que seguiria por inercia, por uma forc;a diri-
gida para o centro, chamada forr;a centrf peta, 
Fcp. 
A ac;ao da forc;a centri'peta F cg o ~orpo em rotac;ao reage com uma for-
c;a igual e contraria, ( cf. 3a. Lei da inamica ). 
Esta reac;ao e chamada forr;a centrlfuga F cf 
v2 
Ff=m--c r 
( 4 ) 
Lembrando que v = w r ( w = velocidade angular em rad/seg) teremos: 
F cf = m w2 r ( 5 ) 
21r r n 
Lembrando outrossim que v = 
60 
( n = rpm ) 
4 11'2 r2 n2 
F cf = m 
3600 
r ~ 0,011 m r n2 ( 6 ) 
--------------------------------1.7 
IMPULSO - QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
I IMPULSO = Ft ( 7 ) 
OUANTIDADE DE MOVIMENTO = m v ( 8 ) 
Lembrando que F = m.a vem que : 
Ft= m.at mas at= v, logo: 
Ft= m v ( 9) 
Para que uma forc;:a movimente um corpo e necessario que atue durante 
um tempo t, infinitesimal, mas niia nu/a. 
MOMENTO DE ROTACAO OU DE TORCAO 
/ 
/ 
I 
I 
I 
I 
I 
0 memento de torc;:ao, torcedor ou torque de uma 
forc;:a ou um binario em relac;:ao ao ponto O e dado por: 
I Mt= Fr ( 10 ) 
e medido em Kg. cm 
...... 
~ ' '\ \ 
\ 
I 
0 
I •O 
I 
~ \~ 
I 
I 
I 
/ • 0 / 
' ...... ___ ..- .,, 
--------------------------------- 1.9 
Exerc(cio 1 
Exercicio 2 
Exercicio 3 
EXERCfCIOS 
(Consultar o "PRONTUARIO DO PROJETISTA DE MAOUINAS") 
Oual ea massa de um corpo que pesa 240 Kg? 
P 240 
m = -- = - = 24,5 utm 
g 9,8 
Ouanto pesa um corpo cuja massa e de 250 utm? 
P = m g = 250 • 9,8 = 2450 Kg 
De quanta aumentara o peso de 100 Kg levado do Equador aos Polos? 
No Equador, sendo g = 9,78 m/seg2 teremos: 
P 100 
m = -g- = 
9
,
78 
= 10,225 utm 
Nos Polos, sendo g = 9,83 m/seg2. 
teremos: 
P = m · g = 10,225 • 9,83 · 100,512 Kg 
0 aumento de peso sera portanto: 
0,512 Kg 
-------------------------------- 1.11 
Exercrcio 6 
Exerc(cio 7 
Um carro de 1500 Kg corre a 90 Km/h. 
Determinar a fon;a dos freios para para-lo em 100m. (desprezar as resis-
tencias passivas e considerar a freada com movimento uniformemente retar-
dado). 
90 Km/h 
90 • 1000 
25 m/seg V = = = 
3600 
p 1500 
m = -- utm 
g 9,8 
v2 252 
a = = = 3,125 m/seg2 
2s 2 • 100 
F 
1500 
= ma = -- • 3,125 ""' 480 Kg 
9,8 
Um carro em movimento retil (neo uniforme, com velocidade de 
v = 72 Km/h, e freado com uma fon;a de 100 Kg em 10 segundos. Deter-
minar o peso do carro. 
V = 72 Km/h = 
72 • 1000 
= 20 m/seg 
3600 
V -v
0 20 -0 
a = = = 2 m/seg2 
t 10 
F 100 
m = = = 50 utm 
a 2 
p = mg = 50 • 9,8 = 490 Kg 
1.12 ----------------------------------
Exercfcio 8 
St St 
10 t 
0 sarrilho de uma ponte rolante eleva uma carga de 10 t 
com velocidade uniforme v = 0,25 m/seg. 
0 tempo empregado para alcanc;:ar a velocidade de regime 
ou para frear e de 0, 1 seg. 
Determinar a forc;:a no cabo na subida e na descida da carga 
e, exatamente 
a) na sa(da 
b) em regime 
c) na freagem 
Desprezar o peso do gancho e as perdas por atrito e rigidez. 
1 Q Pelo esquema ao I ado vemos que no cabo atuara sem-
Rre a metade da carga do gancho. 
29 Em cada instante a forc;:a que solicita o cabo ea resul-
tante do peso e da forc;:a de inercia que o mesmo peso 
opoe ao movimento. 
39 A acelerac;:ao no infcio e no fim do movimento e a 
mesma: 
V 0,25 
a = -- = -- = 2,5 m/seg2 
t 0,1 
--- ---- ------~ 
1.13 
4Q A forc;:a de inercia da carga e dada por: 
P 5000 
F· = m a = - - • a = -- • 2 5 = 1275 Kg 
I g 9,8 ' 
5Q Em regime, tanto na subida como na descida, nao havendo acelerac;:ao, 
nao havera forc;:a de inercia, teremos portanto: 
F = P = 5000 Kg 
6Q Na subida: 
a) no in(cio do movimento 
F = P + m a = 5000 + 1275 = 6275 Kg 
b) na freada 
F = P - m a = 5000 - 1275 = 3725 Kg 
7Q Na descida 
a) No in(cio 
F = P - m a = 5000 - 1275 = 4725 Kg 
b) Na freada 
F = P + m a = 5000 + 1275 = 6275 Kg 
1.14 --------------------------------
Exercfoio 9 
570 
Exercicio 10 
Uma helice de aviao de 2 pas 
metalicas, pesando cada uma 
16 Kg e com o baricentro a 
570 mm do eixo de rota9ao, 
gira com 1550 rpm. 
Calcular a for<;:a centr(fuga que tende a arrancar as pas do 
cubo. 
Teremos portanto: 
16 
Fe = 0,011 m r n2 = 0,011 • -- • 0 57 • 15502 
9,8 . ' 
= 24594 Kg 
Determinar a m(nima velocidade necessaria para que uma 
moto cumpra o "giro da morte" em uma pista circular de 
5 m de raio. 
Na posi9ao mais perigosa a for<;:a centr(fuga devera equili-
brar o peso da moto. Teremos portanto: 
m v2 
--=P 
r 
p v2 
-- • -- =P 
g r 
v2 =gr 
isto ev =ygr" =y 9,8 • 5 =v1"49= 7 m/seg 
7 • 3600 
= --- = 25,2 Km/h 
1000 
Exercfcio 11 
Exercfoio 12 
1.15 
Um corpo de 42 Kg e catapultado verticalmente para o alto, por uma 
fon;:a de 300 Kg aplicada por 2 seg. 
Calcular a velocidade alcarn;:ada pelo corpo devido a fon;:a. 
Pela (9) teremos: 
Ft = mv 
Ft Ft Ftg 
v=--=--=--= 
m P/g P 
300 • 9,8 • 2 
=-----
42 
140 m/seg 
Um projetil de 70 Kg sai da boca de um canhao com a velocidade de 
600 m/seg. Determinar a forc;:a de propulsao desenvolvida pela carga de ex-
plosivo, sabendo que o projetil leva 1/100 seg. para percorrer o cano do 
canhao. 
Ft= m v 
F • -
1
- = __l_2__ • 600 
100 9,8 
F = 70 • 500 • lOO = 428571 Kg 
9,8 
1.16 ----------------------------------
Exercicio 13 
Exercfcio 14 
F = 20 kg 
r = 10 cm 
p 
Determinar o tempo necessario para que um carro de 700 Kg alcance 
v = 76 Km/h sabendo-se que o motor desenvolve uma for9a motora de 
100 Kg 
Ft= m v 
700 1000 
100 t = -- • 76 • --
9,8 3600 
700 • 76 • 1000 
t = 100 • 9,8 • 3600 = 15 seg 
Determinar o peso que se pode levantar com uma for9a de 20 Kg, segundo 
o esquema em figura. 
Pr = Ff 
t = 50 cm 
p = _£_! = 20 • 50 = 100 Kg 
r 10 
----------------------------- 1.17 
Exercicio 15 
Exerci'cio 16 
0 
Determinar o memento torcedor que o indiv(duo aplica ao 
parafuso atuando com uma fon;:a de 20 Kg em cada brac;:o, 
sabendo-se que a distancia entre os man(pulos e de 60 cm. 
Mt = F r = 20 • 60 = 120 Kg • cm 
Um caminhao com bitola de 1,5 m, tomba percorrendo uma curva com 30 m 
de raio. 0 peso do caminhao e da carga era de 4500 Kg. 0 baricentro do ca-
minhao carregado achava-se a 1,2 m do chao. 
Determinar a velocidade possu(da pelo caminhao no instante do tomba-
mento. 
Fef 
0 tombamento ocorreu pela rotac;:ao ao redor do ponto 0 
por ter sido o momenta da forc;:a centr(fuga em relac;:ao a 0 
maior que o memento da forc;:a peso em relac;:ao ao mesmo 
ponto. 
v2 
m - • 1, 2 > P · 0, 75 
r 
p vz 
-•-- • 1,2>P· 0,75 
g r 
v2 
9,8 • 30 • 1,2 > 0, 75 
1.18 --------------------------------
Exercfcio 17 
v2 > 0, 75 • 9,8 • 30 
1,2 
v2 > 184 
v > 13,56 m/seg 
v > 49 Km/h 
Um peso de 6 t e levantado por um guindaste com velocidade constan-
te de v = 0,30 m/seg. 0 tempo gasto para alcarn;:ar a dita velocidade, como, 
para frear, e de 0,2 seg. Calcular o esforc;:o no cabo no in(cio, durante e fim 
do movimento. 
V 
a = -- -
F = 
i 
t 
p 
g 
No in(cio da subida: 
0,30 
0,2 
6000 
9,8 
1,5 m/seg2 
• 1,5 = 918 Kg 
F = P+ Fi= 6000+ 918= 6918 Kg 
Durante a subida: 
F = P = 6000 Kg 
Na parada da subida: 
F = P - Fi = 6000 - 918 = 5082 Kg 
TRABALHO 
s 
POT£NCIA 
1.19 
Trabalho mecanico e o produto da intensidade da componente da fon;:a 
na direc;:ao do deslocamento, pelo comprimento do deslocamento. 
r--, F I .,__ __ T= Fs 
em que F = F' cos ex: 
A unidade pratica de medida e: 
1Q- Kgm (quilogrametro) no Sistema metrico 
2Q - ft.lb (foot pound - libra pe) no Si$tema ingles 
Potencia e o trabalho realizado na unidade de tempo: 
T F • s 
N=--=-- =Fv 
t t 
( 11) 
(12) 
No sistema pratico a potencia e medida em Kgm/seg (quilogrametros 
por segundo). 
Na industria costuma-se expressar a potencia em: 
CV - cavalo vapor (introduzido por Jaques Watt em 1765) 
HP - horse power (sistema ingles) 
Kw - quilowatt (usado em eletricidade) 
1.20 -------------------------------
CV = 75 Kgm/seg = 0,736 Kw 
1 Kw = 1,36 CV 
1 HP = 550 ft•lb/seg = 76,04 Kgm/seg 
Na pratica, em calculos comuns, costuma-se dar ao CV e HP o mesmo valor, 
isto e: 
1 CV ~ 1 HP ~ 75 Kgm / seg 
A expressao ( 12) transforma-se entao em: 
N= F•s [ Kgm/seg) = F•v [ Kgm/seg) = 
t 
F • s 
= 
75t 
[CV] = 
F•v 
75 
[CV] = 
F•s 
= --- [Kw]= 
1,36 • 75 • t 
F•v 
{Kw] 
1,36 • 75 
No movimento circular, sendo: 
21r n 
v = w• r=-- • r 
60 
A formula (12) se transforma em: 
N = F w r = Mt w = Mt 
2 1r n 
= M --[CV] 
t 60•75 
2 1T n 
60 [ Kgm / seg ] = 
de onde: 
N N 
Mt= 716,2 - - [ Kg • m ] = 71620 -- [ Kg • cm ] 
n n ( 13) 
------------------------------- 1.21 
OBSE RVA<:;,AO:- Na pratica, como medida de trabalho, costuma-se usar 
tambem: 
CAVALO VAPOR HORA(CVh) que corresponde ao tra-
balho executado por 1 cavalo vapor durante 1 hora: 
1 CVh = 75 • 3600 Kgm = 270000 Kgm = 
= 270 • 103 Kgm 
QUILOWATT HORA que corresponde ao trabalho reali-
zado por 1 Kw durante 1 hora: 
1 Kwh = 1,36 CVh = 367236 Kgm ==== 
3 
==== 367 • 10 Kgm 
' I 
---------------------------------- 1.23 
Exerc(cio 1 
Exercrcio 2 
/1/ 
EXERCfCIOS 
Um cavalo puxa uma carr0<;:a com uma forc;:a de 50 Kg por um percurso 
de 2Km. Oual o trabalho mecanico executado pelo animal? 
T = Fs = 50 · 2000 = 100.000 Kgm 
Calcular o trabalho te6rico absorvido por um ve(culo de 500 Kg, que se 
movimenta por 800 m, sabre uma rua inclinada de 6° 
__J 
aoorn 
p 
\ 
p 
T = P h = 500 • 800 • sen 50 
= 500 • 800 • 0,10453 = 41.812 Kgm 
Teriamos chegado ao mesmo resultado decompondo P erT\ FT e FN. 
I · A componente FN nao realiza trabalho poise normal a rampa. ' 
FT 
---
----------------=~-----------------
T = FT • s = P • sen 50 • 800 = 
= 500 • 0, 10453 • 800 = 41 .812 Kgm 
I • ' 
1.24 
Exercicio 3 
Exerc(cio 4 
E 
0 
ro 
Determinar o trabalho e a potencia para elevar um peso de 750 Kg a 
10 m de al tura, em 20 seg. 
T = F • s = 750 • 10 = 7500 Kgm 
T 7500 
N =- = --= 375 Kgm/seg 
t 20 
375 
=--CV= 5 CV 
75 
Determinar a potencia te6rica do motor de uma bomba necessaria para 
encher em 1 /4 de hora, um reservat6rio de agua de 9 m3 conforme esquema 
em figura. 
P = V 'Y = 9000 • 1 = 9000 Kg 
t = 1 / 4 h = 60 • 1 5 = 900 seg 
F• s 9000•30 
N = -- = --- = 300 Kgm/seg = 
t 900 
300 
= --CV = 4 CV 
75 
- -------------------------------- 1.25 
Exerc(cio 5 
Exercicio 6 
Determinar a forc;:a de trac;:ao de uma locomotiva que absorve uma 
potencia de 500 CV para arrastar um trem a velocidade de 36 Km/h 
36 • 1000 
19 v = 36 Km/h= 
3600 
= 10 m/seg 
F•v 
29 Pela formula N = 75 deduzimos que: 
75N 75•500 
F = -- = --- = 3750 Kg 
V 10 
Calcular a forc;:a tangencial transmitida par uma engrenagem cil (ndrica 
de dentes retos, com diametro primitivo de 120 mm, chavetada sabre um 
eixo de um motor de 1,5 HP com 1720 rpm. 
N 
Mt= F•r = 71620 --
n 
F=71620~= 71620 
1
'
5 
nr 1720 · 6 
10,41 Kg 
1.26 ----------------------------------
Exerc{cio 7 
Exercicio 8 
Exercfcio 9 
Uma turbina hidraulica utiliza a vazao de 200 e de agua por segundo 
gerando uma potencia de 800 CV. 
Determinar a altura da queda de agua. 
F.s F 
Pela formula N = --- notamos que a expressao -- representa a 
t t 
fort;:a na unidade de tempo; no nosso caso o peso da agua por segundo, isto 
e, a vazao q = 200 litros de agua por segundo. 
Logo, a expressao se transforma em: 
q • h 
N=--
75 
75N 75 · 800 
h =--=----=300m 
q 200 
Um aviao utiliza a potencia de 420 CV e voa a 250 Km/h. Oual e o valor 
da fort;:a de arrasto gerada pela helice? 
Sabendo que, 
F•v 
N=--
75 
75N 
F=--
v 
v= 
250•1000 
3600 
. m/seg ==== 70 m/seg
11 
75•420 
F=---====450Kg 
70 
Para encher em 3 min um reservat6rio de agua de 800 litros situado a 
12 m acima do canal de alimentat;:ao, deve-se empregar uma potencia de: 
F•s 800•12 
N = --=--- = 0,7CV 
75t 75•3•60 
-------------------------------- 1.27 
Exerc{cio 10 
Exercicio 11 
Determinar o momento torcedor e a forc;:a tangencial que age sobre uma 
polia, com</>= 400 mm, destinada a transmitir 4 CV a 200 rpm. 
N 4 
Mt= 71620 -n- = 71620 
200 
= 1432,40 Kg•cm 
F = ~ = 1432,40 
r 20 
=71,62Kg 
q•h 
N = ---=--
75 
h= 
75 • N 
q 
= 
75 • 800 
200 
=30m 
Um bate estacas de queda livre, tern um martelo de 375 Kg e da 40 
golpes por minuto. Determinar a potencia te6rica absorvida sabendo que a 
altura de queda do martelo e de 0,90 m. 
F•s 
N = 
75
t [ CV ] em que: 
logo: 
N = 375 • 0,90 = 3 CV 
75• 1,5 
F = 375 Kg 
s = 0,90 m 
60 
t=- =1,5seg 
40 
1.28 ----------------------------------
Exercicio 12 
Exercicio 13 
E 
E 
0 
<1> 
Um motor eletrico de 
6 HP e 1200 rpm, transmi-
te a rota9ao por meio de 
uma flange com 4 pinos dis-
tantes 90 mm. Determinar a 
for9a em cada pino. 
N 6 
M = 71620---- = 71620 -- = 
t n 1200 
= 358 Kg • cm 
Mt 358 
F =-- = -- ~20 Kg 
4 r 4 •4,5 
Uma locomotiva, desenvolvendo a potencia de 560 HP puxa, sabre uma 
estrada horizontal, um trem de 630 ta 80 Km/h. 
Oual potencia devera desenvolver a matriz para conservar a mesma ve-
I oci dade, subindo uma estrada inclinada a 4%o? 
80• 1000 
v = 80 Km/h = 
3600 
= 22,2 m/seg 
FT = P sen ex = 630.000 • 0,004 = 2520 Kg 
O acrescimo de potencia devera ser: 
NT = FT•v = 2520•22,2 ~ 740 HP 
75 75 
A potencia total sera portanto: 
N = 560 + 7 40 = 1300 HP 
-------------------------------- 1.29 
ENERGIA 
Energia de um corpo e o trabalho que ele pode efetuar. 
A energia mecanica distingue-se em: 
19- Energia potencial que e a energia que um corpo e capaz de de-
senvolver, modificando o seu estado ftsico. 
ex: energia de deforma<;:ao. 
29- Energia cinetica que e a energia que um corpo em movimento 
pode desenvolver devido a sua velocidade. 
A energia mecanica total disponlvel em um corpo e igual em cada ins-
tante a soma da energia potencial e da energia cinetica que e/e possue. 
EXEMPLO: Um corpo em queda livre. 
Logo antes do in(cio da queda, o corpo possue uma certa quantidade 
de energia que depende unicamente do seu peso e da sua posic;:ao. ~ a 
energia potencial. 
Durante a queda, com o aumento da velocidade do corpo, a energia 
potencial possu(da pelo corpo, transforma-se gradativamente, em energia 
do movimento. 
No fim, no instante que precede o choque do corpo com o chao, 
toda a energia ter-se-a transformado em energia cinetica. 
OUTRO EXEMPLO: Corpo lanc;:ado para o alto. 
No instante do lance, toda energia possu (da pelo corpo e cinetica. 
Durante a ascern;;ao o corpo tera energia cinetica e energia potencial. 
No ponto mais alto da ascenc;:ao, toda energia estara transformada em 
potencial. 
Na descida acontecera o mesmo que no exemplo anterior. 
Hermann von Helmholtz, em 1847, anunciou o Prindpio da Conser-
vac;:ao da Energia que completa o da conservac;:ao da materia enunciada por 
Lavoisier quase um seculo antes: 
"nada se cria, nada se destroe, tudo se transforma" 
1.30 
ENERGIA CINETICA 
Pela Dinamica sabemos que uma fon;:a F constante, atuando sabre um 
corpo livre, de massa m, inicialmente em repouso, o movimentara com movi-
mento retil(neo uniformemente acelerado. 
Depois de um certo tempo t, o corpo tera percorrido o espa<;:o s dado 
por: 
1 v2 
s = --at2 = --
2 2a 
A for<;:a F = m.a tera realizado um trabalho: 
1 
Fs=-- mv2 
2 
isto e: 
( 14 ) 
A expressao ½ mv2 foi chamada por Leibnitz, matematico alemao do 
seculo XVII, de "FORCA VIVA", muito impropriamente, pois nao repre-
senta fon;:a e sim trabalho. 
Foi o ffsico ingles Thomas Young que chamou ½ mv2 de ENERGIA 
CINETICA. 
0 corpo, continuando seu movimento com velocidade v, conservara 
armazenada a energia adquirida na partida devolvendo-a durante o movi-
mento de parada. 
---------------------------------- 1.31 
Desejando variar a velocidade, de v
1 
para v
2
, de um corpo em movi-
mento, e necessario fornecer-lhe um trabalho igual a variac;:ao da energia 
cinetica: 
1 1 v; - Vi 
T = -- mv2 --- mv2 = m ----
2 2 2 1 2 ( 15) 
No caso de movimento circular, sendo v = wr, teremos: 
1 1 ~-~ 
T = -- m r2 w2 - -- m r2 w 2 = m r2 ----
2 2 2 1 2 
0 produto mr2 = J e chamado MOMENTO DE INl:RCIA DE MASSA, 
logo: 
1 
T = -- J ( w2 - w21 ) 
2 2 ( 16 ) 
Esta f6rmula tern muita aplicac;:ao no estudo dos volantes. 
Os tecnicos, para os volantes, costumam considerar o peso P em vez 
da massa m, e o diametro media Dem vez do raio medio r, logo: 
p 02 
J = m r2 = - • --
g 4 
de onde 
PD2 = 4 g J 
1.33 
TRANSFERENCIA DOS MOMENTOS DE INERCIA DAS 
V.ARIAS MASSAS DE UM EIXO PARA OUTRO 
Os momentos de inercia das massas em rotac;:ao re-
lativos ao eixo yy, podem ser transferidos para o 
eixo xx, por meio da relac;:ao: 
Os momentos de inercia das massas em translac;:ao com velocidade v, 
podem ser supostos de massas em rotac;:ao e transferidos para o eixo xx, por 
meio da relac;:ao: 
V 2 
J' =J (-) 
X V n 
X 
0 momento de inercia de um sistema de massas em movimento, em re-
/ar;iio a um eixo x, e dado pe/a soma dos momentos de inercia de cada mas-
sa em relar;iio a este eixo. 
ny 2 
JTx=Jx+Jy(-- ) 
nx 
NOTA - MOMENTO DAS FORCAS DE INERCIA 
Pela relac;:ao: 
1 
F s = T =- J w 2 
2 
Lembrando que no movimento circular uniformemente acelerado 
wt 
s=r--
2 
teremos: 
wt 1 
F r-- = -- J w2 
2 2 
isto e: 
em que 0 representa a acelerac;:ao angu lar. 
-------------------------------- 1.35 
Exercfcio 1 
~T=-=~ 
--
- - -
>'. 
Exercicio 2 
EXE RC fC I OS 
Calcular o valor teorico da energia disponivel em uma represa de 
8.000.000 m3, localizada a 1.650m de altitude, destinada a alimentar uma 
central hidroeletrica localizada a 50m do nivel do mar. 
,,_ 
h 
V = 8.000.000 m3 = 8.000.000.000 .f = 8•109 f 
P = 'Y • V = 1 • 8 • 109 Kg 
h = 1650-50 = 1600 m 
T = P•h = 8•109 •1600 = 12800•109 Kgm = 
= 
= 
12.800 •109 
270 •103 = 47,4•106 CVh 
12800 • 109 
367 . 103 
= 34,88 · 106 Kwh 
19 - Oual a energia que devera ser fornecida a um trem de 225 t 
para que alcance a velocidade de 30 Km/h ? 
29 - Oual a. energia que devera ser fornecida para que passe de 
30 Km/h para 36 Km/h? 
39- Oual a energia que devera ser fornecida para que a sua veloci-
dade aumente ainda de 6 Km/h ? 
49- Ou al a energia que devera ser dissipada na freagem? 
1.36 -------------------------------
19 - v0 = 0 velocidade inicial 
30• 1000 
v 1 = 30 Km/h = 3600 
=== 8,35 m/seg velocidade final na 1 ~ etapa 
P 225000 
m=-- = 
9 9,8 
= 23.000 utm 
1 1 
T1 = - 2- m ( v~ - v~) = - 2
- 23.000•8,352 = 802.000 Kgm 
36•1000 
29- v
2 
= 36 Km/h= 
3600 
= 10 m/seg velocidade final da 2~etapa 
1 1 
T2 = - 2- m ( v~ - v~) = - 2
-23.000 ( 102 -8,352 ) = 348.000 Kgm 
39 - v = ( 36 + 6 ) Km/h = 
42 
• 1 OOO === 11,6 m/seg velocidade final na 3~ etapa 3 
3600 
T =-
1
- m (v 2 -v 2 ) = -
1
- 23.000 (11.62 - 102 ) = 397.000 Kgm 
3 2 3 2 2 
Note-se que que ao passar da 2~ para a 3~ etapa a energia e maior apesar do aumento 
de velocidade ter sido o mesmo: 6 Km/h. 
49 - A energia a ser dissipada na freagem devera ser: 
T = T
1 
+ T
2 
+ T
3 
= 802.000 +348.000 +397.000 = 1.547.000 Kgm 
Chegaremos ao mesmo valor se fizermos: 
1.38 ---------------------------------
0 
0 
0 
& 
Exercfcio 5 
120 
ACO 
FUNDIDO 
0 volante representado em figura gira com 200 rpm. 
1'? -
19 Qual o seu PD2 ? 
29 Quanta energia deveremos fornecer-lhe para que al-
cance 250 rpm? 
39 - Quanta energia fornece passando de 250 para 
240 rpm? 
49 - Qual a rotac;ao ap6s a devoluc;ao de 800 Kgm? 
P = V · 'Y = S1rd • 'Y = 2 · 1,2 • 1r • 10 • 7,8 = 590 Kg 
PD2 = 590• P = 590 Kgm2 
PD2 590 
utm•m2 J =--= = 15 1 
4g 4•9,8 ' 
211'n
1 21r•200 
= 20,9 rad/seg w = = 
1 60 60 
211'n
2 211'•250 
= 26,2 rad/seg w = = 2 60 60 
211"n
3 21r•240 
w = = = 25, 1 rad/seg 
3 60 60 
1 1 
20. _ T = --J ( w
2 -w2 ) = --• 15 1 ( 26 22 -20 92 ) = a 2 2 1 2,' , 
= 1884 Kgm 
1 1 
3'? - T d = -
2
- J ( w; -w; ) = -
2
-• 15, 1 ( 26,22 -25, P ) = 
= 426 Kgm 
--------------------------------1.39 
Exercicio 6 
160 
0 
IC) 
ro 
1 . 1 
4<? - T = -- J w2 - -- J w2 
2 2 2 
Sabendo que 
2 T = J w2 -J w2 
2 
J w2 = J w 2 - 2 T 
2 
2 T 
w2 = w ---
2 J 
= j 26 22 - 2 • 800 = J 580,28 = 
' 15, 1 
w= 
60 w 60 · 24, 1 
n = -
2
-1r- = - -
2
-1r-- = 230 rpm 
21r n 
60 
n = 
60w 
2 1T 
= 
60•24 
2 1T 
24, 1 rad/seg 
= 230 rpm 
0 volante representado em figura e de ferro fundido com 
'Y = 7,3 Kg/dm3 e, gira com 250 rpm. Quanta energia absorvera para 
passar a 300 rpm? 
Oual o seu PD2 ? 
Sendo o volante um s6Iido de revoluc;:ao, o seu volume e dado por:V=S1rD ( Teorema de Guldino) 
em que: 
D = 1350 - 200 = 1150 mm= 11,5 dm ( diametro medio) 
Logo: 
V = 1,6 • 2 • 1r • 11,5 ~ 116 dm 3 
1.40 --------------------------------
Exerc(cio 7 
0 peso do volante e dado por 
P = V 'Y = 116• 7,3 = 847 Kg 
PD2 = 84 7 • 1, 152 = 1120 Kgm2 
PD2 1120 
J = --= --- = 28,6 utm•m2 
4g 4•9,8 
2 1r 250 
w = 1 60 
= ---= 26,2 rad/seg 
60 
2 1r n2 2 1r 300 
w = ---= ---= 31,4 rad/seg 
2 60 60 
A energia que o volante absorvera sera: 
1 1 
T = -
2
- J (w; - wi )= -
2
- • 28,6 (31,42 - 26,22) ==== 4300 Kgm 
Um volante possue um PD2 = 8.820 Kgm2 . Quanta energia e capaz 
de devolver passando de 190 para 160 rpm ? Oual sera a rota<;:ao ap6s 
devolver 20.000 Kgm ? 
J -
- PD2 __ 8.820 
---= 225 utm•m2 
4g 4• 9,8 
2 1r 190 
60 
= 19,9 rad/seg 
2 1r 160 
= - -- = 16,7 rad/seg 
60 
-------------------------------'--- 1.41 
Exercicio 8 
A energia devolvida passando de 190 para 160 rpm sera: 
1 1 
T = -
2
-J ( w; -w~) = -
2
- • 225 ( 19,92 -16,72 ) = 13.160 Kgm 
A rotac;:ao que o volante tera ap6s a devoluc;:ao de 20.000 Kgm sera: 
Sendo 
1 1 
T = -- J w2 --- J w2 
2 2 2 
1 1 
20 000=--225•19 92 ---225 w 2 
. 2 ' 2 
20.000 = 112,5• 19,92 -112,5 w2 
112,5w2 = 112,5•19,92 -20.000 
w2 = 112,5 • 19,9
2 
-20.000 = 218 
112,5 
w = ,v 218 = 14,77 rad/seg 
w = 
21rn 
60 
n= 60w = 60•14,77 ==== 141 rpm 
21r 21T 
Um volante de 2.000 Kg, com diametro media = 1,80 m e acionado por 
um motor de 22 HP. Calcular o tempo pa~a alcarn;:ar 130 rpm. 
Sabemos que 
w N 
M =Fr= J- = 716,20- em que 
t t n 
J= 
PD2 
4g 
e w = 
21rn 
60 
1.42 --------------------------------
Exercfcio 9 
A 
6m 
T eremos en tao: 
PD2 21r n --· 
4g 60 
1 N 
• -- = 716 20 --
t ' n 
2000•1,802 
4•9,8 
2 1r 130 1 
2 
22 
--60- . -t- = 716, o-13_0_ 
1 
2250•-- = 121 
t 
2250 
t = --= 18,59 seg 
121 
5 t 
Calcular, desprezando as perdas: 
19 - A fon;:a e o tempo para frear a carga em desci-
da com v = 1 m/seg, sendo o percurso de frea-
gem s = 0,25 m. 
29 - 0 momenta e a fori;a de freagem no eixo do 
guindaste, sabre o qual esta montado um freio 
de fita com polia de r = 0,30 m, sendo a car -
ga arrastada em movimento circular com 
v = 0,5 m/seg e o tempo de freagem t = 3 seg. 
19 - A for<;a de inercia F da carga em movimento 
e dada por: 
1 
Fs= --mv2 
2 
1 v2 1 5000 12 
F=--m - - = --• ---•- - = 
2 s 2 9,8 0,25 
= 1.020 Kg 
------------------------------- 1.43 
Logo a forc;:a de freagem sera: 
Ff = P + F = 5000 + 1020 = 6020 Kg 
Sendo a freagem um movimento uniformemente retardado, teremos: 
2 s 2• 0,25 
t= = 
V 
= 0,5 seg 
29- Momenta de inercia das massas em relac;:ao a AA: 
a - Carga. ( P = 5000 Kg ) 
b - Troley ( P = 500 Kg ) 
c - Lanc;:a ( P = 400 Kg ) 
J = m r2 = 
5
000 • 62 = 18.367 
9,8 
500 
J = m r2 =--•62 = 1.836 
9,8 
1 1 400 
J = --m f 2 = --•--•72 = 666 
3 3 9,8 
d - Tirante ( P = 360 Kg ) 
1 1 360 
J = --m r2 = --•--•42 = 195 
3 3 9,8 
O momenta de inercia das massas de todo o sistema sera portanto: = 21 .064 
0 momenta de freagem devera ser: 
W V 1 0,5 1 
Mf = J -- = J --•-- = 21 .064 --•--= 585 Kg•m 
t r t 6 3 
A forc;:a de freagem na polia devera ser: 
Mf 585 
Ff= -- = -- = 1950 Kg 
r 0,30 · 
1.44 -----------------------------------
Exerc(cio 10 
I 
/ 
I 
/ 
I i \ 
.(_ ____ --) 
I \ 
I I 
I 
X 
Dado o bate-estaca, esquematicamente representado em figura, deter-
minar: 
1 <?- A forc;:a tangencial que a pol ia do freio devera desenvolver para 
brecar, em 1 seg, a carga O = 1000 Kg, que desce com velocidade de 5 m/seg. 
2Q- A trac;:ao no cabo na freada. 
Dados: 
Tambor: 
diametro 30 cm e 
comprimento = 40 cm 
espessura 3 cm 
e 
Engrenagem motora: 
diametro 10 
R 
cm 
largura 5 cm 
r 
espessura 3 cm 
Engrenagem movida: 
diametro 50 cm 
largura = 5 cm 
espessura 4 cm 
y Polia do freio: 
diametro = 36 cm 
largura = 7 cm 
espessura = 4 cm 
0 freio devera veneer o momenta originado pela carga O e o momenta 
devido a inercia das massas em movimento: 
w 
Mt= Q • r +J - -
t 
A favor da seguranc;:a, desprezaremo·s as perdas nos mancais, nas guias e 
a rijeza do cabo. 
--------------------------------- 1.45 
Consideremos como massas em movimento de transla9ao apenas o mar-
telo e como massas em rotac;ao apenas as coroas das engrenagens, da polia e 
do tambor, desprezando os momentos de inercia dos bra9os, dos cabos e do 
induzido do motor, por serem muito pequenos. 
0 memento de inercia de todo o sistema em relac;ao ao eixo xx e dado 
por: 
ny V 
J = J + J (--)2 + J (-- )2 
x y nx v nx 
Sendo a velocidade da descida do martelo v = 5 m/seg, a rota9ao do 
eixo do tambor sera: 
1r d n x 
v=---
60 
60 V 
n = 
X 1rd 
60•5 
- - = 318,30 rpm= 5,3 rps 
1r • 0,3 
Sendo, a rela9ao de transmissao entre o tambor e o motor: 
dx 
n =n •--
y X d 
y 
50 
= 318,30 • -- = 1591,55 rpm= 26,5 rps 
10 
1 - Momenta de inercia da polia do freio: 
'Y 1rh 7,8 
J =---- (R4 - r4)=-- • 
1 g 2 9,8 
1r • 0,7 
2 
= 5,82 utm • dm2 = 0,0582 utm•m2 
1.46 -------------------------------
2 - Momenta de inercia do tambor: 
7,8 11'•4 
J =-- •--(1,54 _ 1,24)= 
2 9,8 2 
= 14,94 utm • dm2 = 0, 1494 utm • m2 
3 - Momenta de inercia da engrenagem 2: 
7,8 11' • 0,5 4 4 
J = ------(2,5 - 2,1 ) = 
3 9,8 2 
= 12,26 utm • dm2 = 0,1226 utm • m2 
4 - Momenta de inercia da engrenagem 1 em rela9ao a xx: 
J = ~ 11' • 0,5 (0 54 - 0 24) • ( 26,5 ) 2 = 
4 9,8 2 I , 5,3 
· = 0,95 utm • dm2 = 0,0095 utm • m2 
5 - Momenta do martelo em rela9ao a xx: 
v2 1000 52 
J
5 
= m•r2 • -
2
-= -- • 0 152 • -- = 2 04 utm • m2 
nx 9,8 ' 5,32 ' 
0 momenta de inercia de todo o sistema em movimento em rela9~fo ao 
eixo xx e: 
J = 0,0582 +o, 1494 + 0, 1226 + 0,0095 + 2,04 = 2,3797 utm • m2 
0 momenta das for9as de inercia em rela9ao a xx e: 
w 211' n 211' • 318,3 
J-= J 
60 
t = 2,3797 === 80 Kg. m 
t 60 · 1 
----- --------------- ------- -------- 1.47 
0 momenta da carga Q em rela<;:ao a xx, e: 
Q • r = 1000 • 0, 15 = 150 Kgm 
0 momenta do freio devera ser: 
w 
M = F R = Q r + J -- = 150 + 80 = 230 Kg • m 
f tg t 
A for<;:a tangencial na polia do freio: 
Mt 230 
F = --=-- = 1278 Kg 
tg R 0, 18 
0 percurso da carga durante a freada sera: 
vt 5•1 
s=--=--= 25m 
2 2 ' 
A for<;:a de inercia da carga em descida, sera: 
1 
Fs=-- mv2 • 
2 
1 v2 1 1000 52 
F=-- m - - = -- ---•--=510Kg 
2 s 2 9,8 2,5 
A for<;:a de t ra<;:ao no cabo no ato da freagem sera: 
T = Q + F = 1000 + 510 = 1510 Kg. 
--------------------------------- 2.1 
MAOUINA 
Maquina e qualquer dispositivo que permite uma melhor uti lizac;:ao da 
for9a. 
As maquinas se classificam em : 
Maquinas simples: alavancas, polias, pianos inclinados, ... 
Maquinas compostas: tornos, plainas, furadeiras, turbinas, ... . 
As maquinas compostas se dividem em : 
I ndicando com 
Motores, que transformam a energia natural ( ca-
lor, eletricidade, .. . ) em energia mecanica ( moto-
res eletricos, motores a explosao, tu rbinas, maqui-
nas a vapor, ... ). 
Maquinas operatrizes, que transformam a energia 
mecanica recebida pelos motores em trabalho (Jtil 
( tornos, furadeiras, plainas, ... ). As vezes os moto-
res sao substituidos por animais ou pelo homem 
( maquinas manuais ). 
Tm o trabalho motor que a maquina recebe 
util fornece 
perdido por causa das resis-
tencias passivas 
2.2 ----------------------------------
RENDIMENTO 
0 conceito de rendimento e bastante intuitivo. De toda a energia gas-
ta para acionar uma maquina, apenas uma parte e recuperada sob forma de 
trabalho util, enquanto a parte restante e gasta para veneer as resistencias pas-
sivas, e se perde sob forma de calor. 
Rendimento de uma maquina e a rela9ao entre o trabalho util e o tra-
balho motor. 
Tu 
11 =-= 
Tm 
Tm - Tp = 
1 
_ Tp 
Tm Tm 
As perdas sao inevitaveis, porisso teremos sempre 17 < 1 
Chamando 
Fo = a for9a te6rica 
F = a for9a de atrito 
atr 
F = a forc;:a motora 
e claro que: F = Fo + F 
atr 
Tu F0s Fo ~ Mto F0 v 11 = -- = = = = -- = --= 
Tm Fs F Fr Mt Fv 
Se a maquina for composta de varios elementos, teremos : 
Y\., 
Tu Tu 
No 
N 
------------------------------2.3 
VALORES APROXIMADOS DOS RENDIMENTOS 
DOS ELEMENTOS DE MAOUINAS 
ELEMENTOS DE MAOU/NAS 
Mancais de escorregamento .. . . 0,95 
Mancais de roletes .. . . . . . . . . . . . . 
Mancais de rolamentos . . . . . . 
Engrenagens cilindricas fundidas .. . . 
" " frezadas .. . . . . 
" " conicas, fundidas .. . . . . 
" " conicas, frezadas 
Correias planas .. . . . . . . 0,96 
" emV 0,97 .. . . . . 
Correntes silenciosas .. . . . . 0,97 
" Renold 0,95 .. . . . . . . 
Cabos . . .. . . . . . .. . . 0,94 
Rosca sem fun ( a~o-bronze) com 1 entrada .. 0,50 
" " " " " 2 entradas 0,70 .. . . . . 
" " " " " 3 " 0,80 .. . . 
Parafuso de movimento com 1 entrada .. . . 0,25 
" " " " 2 entradas 0,40 .. . . . . 
Talhas com 2 roldanas .. . ... . . . . 
" " 3 " .. . . . . 
" " 4 " . . . . . . . . . . . . 
" " 5 " . . . . . .. . . . . . . 
" " 6 " . . . . . .. . . . . . . 
" " 7 " . . . . . . . .. 
" " 8 " .. . . . . . . 
" " 9 " .. . . . . . . 
" " 10 " .. . . . . . . . . . . . . 
T/ 
a 0,98 
0,98 
0,99 
0,93 
0,96 
0,92 
0,95 
a 0,97 
a 0,98 
a 0,99 
a 0,97 
a 0,96 
a 0,60 
a 0,80 
a 0,85 
a 0,30 
a 0,60 
0,94 
0,92 
0,91 
0,89 
0,87 
0,86 
0,83 
0,82 
0,80 
2.4--------------------------------
RESISTENCIAS PASSIVAS 
Ate agora estudamos os fenomenos mecanicos, considerando os corpos 
submetidos apenas as fon;as externas e a for9a de inercia, movimentando-se 
sabre superf(cies ideais, sem rugosidade, e em espa90 perfeitamente vazio. 
Na realidade, oar atmosferico, a rugosidade ea deformabilidade das su-
perf(cies de cantata, originam for9as que se op5em aos movimentos dos cor-
pos. Estas for9as se chamam: resistencias passivas. 
Entre as resistencias passivas podemos enumerar : 
19 - atrito de escorregamento, devido a rugosidade das superHdes em 
cantata com os corpos em transla9ao. 
Ex. cabe9ote de limadora. 
29 - atrito de rolamento, devido a deforma9ao das superf(des em cantata 
com os corpos em rota9ao. 
Ex. roda sabre trilho. 
39 - resistencia ao enrolamento e desenrolamento, devido a rigidez dos 
corpos enrolados sabre superfrcies cil (n-
dricas. 
Ex. cabo sabre tambor. 
49 - resistencia ao meio, devido a impenetrabilidade do meio em que os 
corpos se movimentam. 
ATRITO DE ESCORREGAMENTO 
F 
Ex. foguete no espa90. 
Consideremos um corpo apoiado sabre um 
piano horizontal com uma !'.mica forca N atuando 
sabre ele. A reta de a9ao de N e perpendicular ao 
piano de apoio. 
Pelo prindpio geral da Dinamica, este corpo deveria permanecer em 
movimento uniforme sem necessidade de fornecer-lhe energia, isto e, sem 
aplicar-lhe nenhuma for9a. 
------------------------------- 2.5 
No entanto, a experiencia nos ensina que, para mante-lo em movimen-
to, e necessario aplicar-lhe uma forc;a F para veneer a resistencia de atrito 
F atr. 
A resistencia de atrito se manifesta quando uma superfi'cie escorrega so-
bre outra, e dirigida em sentido oposto ao movimento e, e devida a inevitavel 
rugosidade das superfi'cies em contato. 
que: 
Coulomb e Morin, baseados em resultados experimentais, concluiram 
19 A forc;a de atrito e sempre contraria ao movi-
mento. 
29 A forc;a de atrito s6 existe se o corpo esta ou 
tende a se por em movimento. 
39 0 deslocamento de um corpo e mais diHcil no 
in(cio que durante o movimento. 
Seja N a componente normal da resultante do sistema de forc;as atuando 
sabre o corpo. 
A forc;a de atrito e proporcional a forc;a N que pressiona uma superf,--
cie contra outra. 
F atr = µ N ( 1) 
0 coeficiente de proporcional idade · µ e chamado 
coeficiente de atrito. 
A forc;a de atrito depende : 
19 da natureza dos corpos em contato. 
29 do grau de acabamento das superHcies em 
contato e do estado de lubrificac;ao das mes-
mas. 
2.6 ---------------------------------
A forc;:a de atrito independe : 
Pela figura 
39 da velocidade relativa das superf i'cies em con-
tato, sempre que a velocidade nao ultrapasse 
4 m/seg 
49 da extensao das superf ,des em contato sem-
pre que a pressao entre elas nao supere 0,5 Kg 
por mil ,·metro quadrado. 
F atr = tg I{) • N ( 2 ) 
Comparando a formula ( 2) com a ( 1 ), vem que : 
µ = tg I{) 
(3) 
I{) se chama: angulo de atrito. 
Pela figura temos ainda : 
A determina~ao do coeficiente de atrito e feita experimentalmente. 
A experiencia mostra que, se deixarmos, por tempo apreciavel, dois cor-
pos em repouso com as superfrcies em contato, devido a penetrac;:ao (ntima 
da rugosidade, a forc;:a de atrito no in(cio do movimento e maior que a for-
<;:a de atrito durante o movimento. 
0 coeficiente de atrito na sa(da, alcan<;:a um valor 1,5 a 3 vezes maior 
do que em regime. 
Podemos dassificar o coeficiente de atrito em : 
a) estatico - de repouso ou de sa(da 
b) dinamico - de movimento ou de regime 
Ouando se fala de atrito de escorregamento subentende-se que e dinami-
co. 
---------------------------------- 2.7 
0 atrito pode ser : 
19 seco 
29 flu(do 
ausencra de lubrificai;;ao. 0 coeficiente 
de atrito depende dos materiais e do es-
tado das superffcies em contato. 
com lubrificai;;ao. 0 coeficiente de atrito 
independe dos materiais e do acabamen-
to das superf (cies em contato, mas de-
pende da viscosidade do lubrificante. 
39 semi-flufdo - ou misto, que e intermediario entre os 
dois cases anteriores. 
Com superfrcies em contato bem lubrificadas chega-se a: 
µ = 0,05 
Em geral, para pei;;as de maquinas, toma-se : 
µ = 0,1 
2.8--------------------------------
COEFICIENTES DE ATRITO DE ESCORREGAMENTO 
Vide Prontuario do Projetista de Maquinas pag. 3.31 . 
Os valores abaixo sao de orientac;:ao. 
Desejando valores mais exatos, deveremos fazer experiencias em condic;:oes o mais poss(vel seme-
lhantes ao caso real. 
Materiais em contato 
ayo - ayo ........................................................................ 
ayo - ayo (correntes de elo) ............................................ 
ayo - aluminio ............................................................... 
ayo - ferro fundido ou bronze ········································ 
ayo- gelo ....................................................................... 
ayo - metal patente ........................................................ 
ayo- pedra ..................................................................... 
borracha - madeira ou metal .......................................... 
bronze - bronze ............................................................. 
bronze - ferro ································································ 
bronze - ferro fundido ................................................... 
corda de canhamo - ayo ···········-·-··································· 
corda de canhamo - madeira .......................................... 
couro - ferro fun dido ........ .........•................................... 
couro - madeira ............................................................. 
fibra - ferro fundido ...................................................... 
ferro - ferro ................................................................... 
ferro - madeira ............................................................... 
ferro fundido - ferro ...................................................... 
ferro fundido - ferro fun dido ......................................... 
ferro fundido - ferrodo ·················································· 
ferro fundido - madeira dura ......................................... 
madeira - gelo ································································ 
madeira dura - madeira dura .......................................... 
metal - ferro - ............................................................... 
metal - madeira dura ...................................................... 
pedra - ferro ..................................................................pedra - madeira .............................................................. 
pedra - tijolo .................................................................. 
pneus - estrada ............................................................... 
rodas - trilhos ................................................................ 
µo 
no infcio do 
movimento 
µ 
durante o 
movimento 
seco lubr. mo- seco lubr. mo-
lhado lhado 
0,15 0,1 0,12 0,009 
0,2 
0,14 
0,18 0,1 0,16 0,Q15 
0,027 0,014 
0,23 0,1 0,22 0,015 
0,9 
0,6 
0,2 0,15 
0,16 
0,21 
0,25 
0,7 0,50 0,35 
0,5 0,36 0,28 0,12 0,38 
0,47 0,30 
0,4 
0,44 0,30 
0,61 0,08 
0,18 
0,22 0,15 
0,35 0,20 
0,32 0,19 
0,03 
0,65 0,2 0,7 0,25 0,16 0,36 
0,19 
0,5 0,1 0,4 0,06 0,25 
0,5 0,45 
0,6 0,40 0,07 
0,6 
0,5 
0,18 0,1 0,16 0,Q15 
--------------------------------- 2.9 
OBSERVACOES: 
1 - No caso em figura, a forya de atrito tera dire-
yiio paralela ao plano inclinado, e estara dirigi-
da para cima se o corpo estiver descendo, e em 
sentido para baixo se o corpo estiver subindo. 
µN µ p cos 0:: 
0 corpo ficara auto-retido, isto e, ficara parado sobre a rampa apenas 
por causa do atrito, se : 
Conclusao 
1<? 
2<? 
3<? 
se o:: = I{) 
se o: > I{) 
µ P cos o:: = P sen o:: 
µ cos o:: = sen o:: 
sen o:: 
µ = ----= tg 0:: 
cos 0:: 
havera auto -retenyao 
.resultara P sen o: > µ P cos o:: isto e, a forya de atri-
to sera insuficiente para impedir a descida do corpo. 
resultara P sen o:: < u P cos o:: isto e, a for9a de atri-
to e superior, mas o corpo nao subira porque: 
"a f orfa de atrito se opoe ao movimento e aparece sempre e 
apenas durante o movimento, ou quando este se inicia': mas 
nao e capaz de provocar movimento. 
2.10 ----------------------------------
2 - Para se puxar, em subida, sobre um plano inclinado, um 
corpo pesado, e necessario aplicar-llie uma for~a F, que 
no caso ideal, sem existencia de atrito, seria igual a F 
O
, 
mas no caso real, com existencia de atrito, sera: 
= P sen -c + µ P cos ex = 
= P ( sen ex + µ cos ex) 
0 rendimento e dado por : 
Tµ. Fo •s 
11 =--= 
Tm F s 
=--= 
F 
Fo 
P sen ex sen ex 
= = - ------= 
P (sen ex + µ cos ex) sen ex + µ. cos ex 
tg ex 
= ----
tg ex = __ .c.,_ __ 
tg ex+ µ tg ex + tg I./} 
Se ex = ,p teremos auto-reten~ao e 
1 
11= --=05 = 50% 2 , 
Em um mecanismo de auto-retenriio o rendimento niio pode ultrapassar 50 % 
---------------------------------'----- 2.11 
ESCORREGAMENTO EM RANHURAS TRAPEZOIDAi$ 
p 
RANHURAS EM V: 
As ranhuras em V constituem um caso muito 
interessante do atrito de escorregamento. 
Pelo triangulo das fon;:as 
p p 
--= N sen o: :. N = --- -
2 2 sen o: 
Ouando o corpo escorrega ao longo da ranhu-
ra, nasce em cada face uma for<;a de atrito dada por 
por: 
p 
µN = µ-- - -
2 sen o: 
A resistencia de atrito total e: 
p 
F atr = 2 fl N = 2 µ ----
2 sen o: 
µ 
F =--• p 
atr sen o: 
( 4 ) 
De fato, a for<;a para deixar escorregar o prisma da figura dentro da 
ranhura em V e maior que a for<;a para deixa-lo escorregar sabre um piano. 
No caso do escorregamento do prisma sabre o piano F atr = J.'. P, em que: 
2.12 
VEICULOS EM CURVA 
y 
p 
)( 
A · DERRAPAGEM 
Um ve(culo, de peso P, em curva esta solicitado par: 
19 uma fon;:a centn'fuga 
v2 p v2 
F =m--=--•--
c r g r 
29 uma fon;:a de atrito de escorregamento entre rodas e estrada 
Fatr = µ p 
Para que o corpo nao escorregue radialmente e necessario que: 
p 
µP>--
g 
v2 
µ>--
rg 
isto e: 
A derrapagem dos corpos em curva nao depende do peso do corpo e, 
sim de sua velocidade e do raio de curvatura e do atrito rodas/estrada. 
B-TOMBAMENTO 
0 tombamento e evitado se: 
p v2 
Px>----y 
X 
y 
g r 
v2 
>-
rg 
0 tombamento de um vefculo em curva nao depende do atrito rodas/estrada. 
J 
2.13 
ATRITO DE ROLAMENTO 
Atrito de rolamento e a resistencia que se 
opoe ao rolamento de um corpo cil ,·ndrico ou es-
ferico sabre uma superf1de. F 
0 ----if------
As causas que originam esta resistencia nao 
sao bem definidas. Parecem provir do seguinte: 
s Ouando uma esfera ou cilindro roda sabre 
uma superf1cie, a fon;:a atuando sabre eles produz 
uma depressao na superf1cie, geralmente muito pe-
quena, que faz com que o cantata nao se de mais par um ponto ( esfera ) ou 
uma reta ( cil ,·ndro ) e, sim, par uma zona de cantata. 
Durante o rolamento, a resultante das rea<;:5es 
do piano, se desloca, para a frente, de 8, formando com N um binario de mo-
menta N8 a que se deve opor o momenta Fr· 
Logo: 
Fr= N 6 :. 
Podemos afirmar que a resistencia de atrito ao rolamento: 
19 - Depende da deformabilidade dos dais corpos em cantata. Convem 
usar superHcies duras. 
29 - t: proporcional a for<;:a normal que atua entre o rolo e a superHcie. 
Convem usar muitos rotas. 
39 - t: inversamente proporcional a for<;:a normal que atua entre o rolo 
e a superf(cie. Convem usar rolos de grandes diametros. 
[j e chamado "coeficiente de atrito ao rolamento" e, a diferen<;:a de 
µ, que e um numero puro, tern como dimensao [L] 
Os valores de 6 sao determinados experimentalmente. 
Embora [j varie com r, na pratica, considera-se constante. 
2.14 ----------------------------------
N 
/ Se a fon;:a, em vez de ser aplicada ao centro for 
aplicada tangencialmente, teremos: 
Se 
F • 2r = c5
1 
N + c52 N 
c5 = l) =c5 
1 2 
2Fr=2c5N isto e 
F=c5~ mesmo valor do caso anterior. 
r 
A condic;:ao para que o cilindro ROLE SEM ESCORREGAR e: 
NOTA 
As mesmas formulas do escorregamento sao validas para o rolamento, subs-
tituindo µ por 8 Ir 
Vide Prontuario do Projetista de Maquinas pag. 3.32. 
VALORES PRA TIC OS DE 6 
a90 -/ a90 .. . .. .. .... .. . ..... ... .. .... . . . . 
a90 / couro . ... .... .. . .. . ... . . .. . .. ..... . 
a90 / concreto ou asfalto . . ..... . ..... ... . . . . 
a90 / madeira .. ...... ...... . . .... ....... . 
a90 / terra batida .. . .. .. ....... .. .... .. . . . . 
esferas / aneis ( rolamentos) . . .. . .. . ....... . 
ferro / ferro ... . . . ... . .. . .. .............. . 
ferro fundido / ferro fundido ........ ... .... . 
madeira / asfalto ..... ... . .... ..... ....... . 
madeira / madeira 
0,005 cm 
0,2 " 
1 
0,1 
" 
" 
4 " 
0,001 " 
0,008 " 
0,02 
0,07 
" 
0,05 - 0,08 cm 
---------------------------------- 2.15 
ENROLAMENTO E DESENROLAMENTO DOS ELEMENTOS FLEXIVEIS 
Os elementos flex rveis ao serem enrol ados sabre um ci l (ndro, oferecem 
uma certa resistencia chamada RIGIDEZ ou rijeza. (Vide Prontuario do Pro-
jetista de Maquinas pag. 3.33). 
1 - CORDAS E CABOS: Uma corda, ou um cabo s6 se enrolar sabre uma 
polia apresenta uma certa resistencia, razao pela qual se verifica um desvio do 
eixo na corda da tangente a polia. 
As causas principais que originam a rijeza sao: 
19 Compressao das fibras situadas mais pr6ximas da polia e tra<;ao das fi-
bras mais afastadas. 
29 Atrito de escorregamento entre fibras da corda ou dos fios dos cabos. 
39 Deforma<;ao elastica do material. 
Q 
I ndicando com: 
F = for<;a motora 
0 = for<;a movida 
8 = desvio da carga Q 
Tomando os momentos de todas as for<;as em rela-
<;ao ao centro 0, teremos: 
F(R+r)=O(R+r+«S) 
O(R+r) 6 
F=----+0---
R+r R+r 
8 
F=Q+Q---
R + r 
6 
A parcel a O --- representa o atrito de enrolamento ou perdas par 
R + r 
r ijeza de enrolamento. 
Para reduzir estas perdas, na pratica costuma-se fazer: v. tab. pg. seguinte 
2.16 ---------------------------------
F 
D ;a,, 40 + 50 de Cordas de canhamo 
D ;a,, 150+200 de Cabos de ac;;o para transmissao da potencia. 
o:;;a,, 2000 df dt = diametro do fio do cabo 
D ;a,, 20 + 25 de Caba de a90 para aparelhos de levantamento. 
D ~ 450 ~ 500 df ( se sacrifica a vida do cabo em favor do espac;;o ) 
o:;;a,,50+ 1ooe Correias planas de transmissao. 
e = espessura da correia 
Desprezando o valor de r parser muito pequeno em relac;;ao a R, tere-
mos que as perdas por rijeza de enrolamento sao: 
~ 
~ 
Ouando ha enrolamentoe desenrolamento, a mesma resistencia que se 
opoe ao enrolamento, se verifica tambem no desenrolamento. 
Q 
Teremos: 
F ( R -6") = 0 ( R + 6') 
F R = 0 R + 06' + F 6" 
fazendo a hip6tese que 5 '='::!: 6 "~ 6 e, supondo que o acrescimo de forc;;a 
para veneer a rigidez de enrolamento seja o mesmo para o desenrolamento, isto 
e, para a avaliac;;ao da rijeza podemos considerar F ='::!: 0, logo a expressao acima 
se transform a em: 
FR = 0R+206 
/j 
F = 0+20 - -
R 
----------------------------------- 2.17 
As perdas por enrolamento e desenrolamento sao dadas par : 
5 
R·=2Q-
J R 
Em geral, a perda percentual devida a rijeza e 0,5 7 1% 
As perdas par rigidez nas correias planas e em V sao despreziveis pois sao 
constituidos de material bem mais homogeneo e flexivel. 
VALORES APROXIMADOS DE 5 [cm] (de=¢> cabo em cm) 
5 = 0, 12 d~ Caba de ac;;o de enrolamento (mica 
& = 0 15 d 2 
' C " " " oposto 
5 = 0,03 d~ Cordas de canhamo usadas 
& = 0,06 d2 " " novas 
C 
& = 0,09 d~ " " molhadas 
5 e desprez1vel para correias planas e em V 
2 - CORRENTES- Para uma corrente seenrolar 
numa polia, devera ser gasta uma certa energia, 
pois, entre os elos A e B, origina-se uma forc;;a de 
atrito que, percorrendo o espac;:o 00 1= s absorvera 
a energia. 
µOs=µQrcx 
Chamando R j o acrescimo de forc;;a tangencial 
que a polia devera fornecer para veneer a rijeza da 
corrente, vem que o acrescimo de energia forneci-
do pela polia devera ser: 
R- • Ra: 
J 
2.18 -------------------------,,------------
A 
Q 
2 
Q 
2 
Esta energia transformar-se-a em 
µQr a: 
Teremos portanto: 
R· ·Ra:=µ Qr a: 
J 
de onde as perdas por rijeza de enrolamento nas correntes, sao dadas par: 
r 
R·=µQ--
J R 
As perdas por rijeza de enrolamento e desenrolamento das correntes serao 
evidentemente 
r 
R·=2µQ--
J R 
NOTA: Para corrente ac;:o/ac;:o µ= 0,2 + 0,3 
2.19 
RESISTENCIA DO MEIO 
Os fluidos sao constituidos de part1culas dotadas de grande mobilidade. 
Podem ser I (quidos ou gasosos. 
Eles se deixam atravessar em qualquer dire9ao por outros corpos,toda-
via apresentam as propriedades gerais da materia: impenetrabilidade e inercia. 
Ouando um corpo se movimenta em um fluido, deslocara uma parte do 
mesmo; havera portanto uma acelera9ao. 
A massa do fluido reage resistindo ao avan90 do corpo no seu meio. Es-
ta resistencia se chama: resistencia do meio. 
Experimentalmente, conclue-se que, a resistencia do meio depende de: 
19 Densidade do fluido em que o corpo se movimenta 
29 Veloci dade relativa entre o corpo e o meio 
39 Area da sec9ao mestra 
49 Forma do corpo 
59 Acabamento superficial 
De maneira aproximada, podemos dizer que a resistencia do meio e da-
da por: 
R = C p S v2 
em que 
C = coeficiente que dep~nde do formato do corpo 
p = _ 'Y _ = densidade do fluido 
g 
'Y = peso espec,-fico do fluido em Kg/m3 
S = area, em m2 , da proje9ao do corpo em piano perpendicular ao movimento 
v = velocidade relativa, corpo/meio, em m/seg 
2 .20 ----------------------------------
Alguns autores preferem usar a formula: 
R=c-yS 
v2 
2g 
~ v2 
em que a expressao --representa a "pressao dinamica". 
2g 
Outros preferem usar: 
R = "S v2 
em que 
NOTA: - Para oar, nas condi<;:oes normais de pressao e temperatura: 
'Y 
p=--= 
9 
1,225 
9,8 = 0, 125 
Para a agua: 
'Y 1000 
p =--=--= 102 
g 9,8 
Note-se que a "resistencia hidrodinamica" e quase 800 vezes maior que 
a "resistencia aerodinamica". 
De fato 
102 
--=:::800 
0, 125 
2.21 
COEFICIENTES DE " RESISTENCIA DO MEIO" 
" 
corpo C C 
AR AGUA 
--
Chapa fina retangular normal ao movimento 0,63 1,26 0,08 63 
" " circular " " 0,55 1,08 0,07 55 
Semi-esfera convexa 0,16 0,32 0,02 16 
" " - 0,80 1,60 0,10 80 concava 
Cilindro em dire~ao axial f= 0,5 d 0,55 1,28 0,07 55 
" " " f= 7 d 0,40 0,80 0,05 40 
" " radial f = 4 d 0,32 0,60 0,04 32 
Fio 0,5 1 0,06 
Cabo 0,56 1,12 0,07 
S61ido com formato aerodinamico 0,03 0,06 0,004 3 
Barcos de remos ou a vela 0,20 0,40 20 
Navios velozes 0,04 0,08 4 
Para baixar o valor de Ce preciso dar ao corpo um formato aerodinami-
co, arredondado na parte anterior e afusalado na parte posterior, com relat;:ao 
entre o comprimento e a largura variavel entre 3 e 7, sem discontinuidade de 
superf,-cies e com a sect;:ao mestra a 1 /3 do comprimento. 
L 
-------------------------------- 2.23 
Exercacio 1 
Exercicio 2 
p 
p 
EXERCfCIOS 
Numa talha, cujo mecanismo de funciona-
mento e desconhecido, com uma for<;:a F = 30 Kg, 
conseguimos suspender um peso O = 540 Kg, no-
tando que puxando a corrente de manobra de 
40 cm, a carga se suspende de 1 cm. 
Oual e o rendimento da talha? 
Tu 540 • 1 
11 = Tm = 30 • 40 = 0.45 
Um prisma de 80 Kg deslisa sobre guias lubrificadas, com µ = 0,07. 
Determinar a resistencia de atrito no case das guias serem planas ou trape-
zoidais com angulo de semi-abertura ex: = 300. 
19 Com guias planas 
F atr = µ. P = 0,07 • 80 = 5,6 Kg 
29 Com guias trapezoidais 
F = _µ_ p = 0,07•80 = ~ = 11,2 Kg 
atr sen ex: sen 300 0,5 
2.24 ---------------------------------
Exercicio 3 
Exerc(cio 4 
Uma for<;:a de 20 Kg vence o atrito entre duas superffcies em contato 
com µ = 0, 15. Oual e o valor da for<;:a normal que pressiona as duas superf,·-
cies? 
F=µN 
. F 20 
N =--=--==== 133 Kg 
µ 0,15 
A mesa de uma plaina pesa 1.000 Kg e deslisa sobre guias em Va goo. 
A carga da mesa e de 1.600 Kg. Calcular a resistencia de atrito, supondo 
µ = 0,015. 
Se as guias forem dotadas com esferas de a<;:o de¢= 1" qual seria a for-
<;:a de atrito ? 
P = 1.000 + 1.600 = 2.600 Kg 
No caso do escorregamento: 
µ 
F =-- P 
atr sena: 
No caso de rolamento 
0,015 
= sen 450 • 2.600 = 55 Kg 
F = _1, ___ P_ = 0,005 • 2.600 = 
14
_
60 
Kg 
atr r sena: 1,27 sen 450 
--~------------------------------ 2.25 
Exercicio 5 
Um prisma de a90 de 800 Kg deslisa sabre roletes de a90 com <P = 30 
mil1-metros e estes rolam sabre um piano tambem de a90. 
Determinar: i 800 kg 
777 7r--~-;$J-));}~ t:: 19 a for9a de rolamento 
29 a for9a de escorregamento 
Exercicio 6 
39 o diametro mi'nimo dos roletes para que haja rolamento 
e nao escorregamento. 
19 for9a de rolamento 
N 800 
F = 8 --= 0 005 - = 2 6 Kg 
r ' 1,5 ' 
29 for9a de escorregamento 
F = µ. N= 0,09 • 800 = 72 Kg 
39 diametro minima dos roletes para que haja rolamento 
d 8 
r=--=--2 µ. •• 
8 0,005 
d = 2 --= 2--= 0,11 cm 
µ. 0,09 
Uma embalagem de madeira de 200 Kg deslisa sabre roletes de a90 com 
q, = 11 cm e estes rolam sabre um piano de concreto. Determinar a for9a F 
de rolamento. 
F • 11 = 0, 1 • 200 + 1 • 200 
20 +200 
F = ----= 20 Kg 
11 
2.26 ----------------------------------
Exercicio 7 
Exercicio 8 
Nas pontes metalicas, afim de dar liberdade de movimento, cada arco e 
articulado em uma extremidade e apoiado na outra. 
l N =960 t 
N = 480 t 
Os apoios simples sao constituidos de rolos como em figura. 
Se a carga sobre o apoio e de 480 t, pergunta-se: 
F = ') .. 
19 Oual o valor do empuxo lateral para que haja 
movimento no apoio, se este for construido de 
rolos de ferro fundido com <I> = 17 cm e chapa 
de ferro fundido? 
29 Oual o valor do empuxo lateral caso o apoio 
fosse constru ido a pen as com cha pas de ferro 
fundido sobre chapa de ferro fundido ? 
19 
N 480 
F = c5 -- = 0 02 --= 1 12 t 
r ' 8,5 ' 
29 F = µ N = 0,22 • 48 = 105,6 t 
Um carro, pesando 1.800 Kg, descreve uma curva horizontal de raio 
r = 50 m com a velocidade de 60 Km/h. 
Oual devera ser o valor do coeficiente de atrito pneus/estrada para se evi-
tar a derrapagem em curva? 
60 • 1000 
v = 60 Km/h=---- = 16,7 m/seg 
3600 
v2 
µ~--
rg 
16 72 >-,, , 
µ ,,,_., 50 • 9,8 
µ ~ 0,56 
I 
--------------------------------- 2.27 
Exercrcio 9 
A figura abaixo representa uma junta de discos com 6 parafusos de 1" 
dispostos sabre uma circunferencia de <t, 320 mm. 
Calcular a potencia que a junta pode transmitir a 280 rpm. 
Os parafusos deverao apertar os discosde forma a gerar entre as superf 1·-
cies em contato uma fon;a de atrito cujo momenta passa a ser transmitido. 
1 - forc;:a de cada parafuso 
Os parafusos sao solicitados a trac;:ao. 
0 parafuso Whitwort normal de 1" apresenta o 
nucleo com S = 357 mm2 (v. Prontuario.) 
Supomos que a tensao de trabalho a trac;:ao do pa-
rafuso seja a = 7 Kg/mm2 
A forc;:a de aperto de cada parafuso sera: 
F' = a S = 7 • 357 ~ 2.500 Kg 
2.28 -------------------------------
2 - forc;:a de aperto dos discos: 
F = 6 F' = 6 • 2.500 = 15.000 Kg 
3 - fon;:a tangencial ( forc;:a de atrito entre os discos ) 
Admitindo µ = 0,3 (ferro/ferro) 
Ftg = Fatr = µ F = 0,3 • 15.000 = 4.500 Kg 
4 - momenta de atrito: 
Supondo F tg agindo tangencialmente a circunferen-
cia ¢ = 320 mm:. 
320 
M = F tg • r = 4.500 2 = 720.000 Kg•mm = 72.000 Kg•cm 
5 - potencia da junta a 280 rpm 
N 
M = 71 .620--
n 
N= 
M n 72.000 • 280 
= = 280 HP 
71.620 71.620 
Exercfcio 10 
Q= 1.500 kg 
2.29 
Calcular a potencia do motor do sarilho esquematizado em figura. 
A carga de 1.500 Kg deve subir com v = 0,5 m/seg. 
Admitindo que : 
a Rendimento do cabo e tambor 'Tia = 0,96 
b " dos mancais do eixo 1 'Tlb = 0,98 
C do engrenamento 1 - 2 'Tic = 0,96 
d dos mancais do eixo 2 'Tld = 0,98 
e do engrenamento 2 - 3 'Tie = 0,96 
f dos mancais do eixo 3 'Tlf 0,98 
0 rendimento do sistema sera : 
'Tl = 'Tia • 'Tlb • 'Tic • 'Tld • 'Tie • 11f = 
= 0,96 • 0,98 • 0,96 • 0,98 • 0,96 • 0,98 = 0,83 
A potencia te6rica e dada por: 
N = F • v = 1.500•0,5 = 
10 
HP 
o 75 75 
Lembrando que: 
1'/ = 
N 
vem que 
No 10 
N=--=--=12HP 
'Tl 0,83 
2.30 --------------------------------
Exercfoio 11 
Um cabo de ac;:o com enrolamento oposto e, de = 20 mm suspende uma 
carga de 1.800 Kg enrolando-se sabre um tambor com D = 500 mm que gira 
com 50 rpm. 
1 - Calcular a potencia perdida por causa da rijeza do cabo. 
2 - Calcular a potencia do moto-redutor, considerando as perdas nos man-
cais, por meio dos rendimentos. 
A rijeza total e dada por: 
r = 25 cm 6 [, 
R·=20--+0--
J R R' 
em que 
6 = 0, 15 d~ = 0, 15 • 22 = 0,6 cm :. 
R j = 2 • 1.800 • ~: + 1.800 ~: 
! 0-11.800 kQ = 72 +43 = 115 Kg 
A potencia perdida por causa da rijeza do cabo e dada por: 
N 
Mt= 71 .620 --
n 
115 • 25 = 71.620 5~ 
2.875 = 1.432 N 
2875 
N=--~2HP 
1432 
-------------------------------- 2.31 
Exercfcio 12 
A potencia do moto-redutor, considerando o Tl de cada conjunto " eixo 
mancais" igual a 0,98. 
Mt • n 1 ( 1800 + 115 ) • 25 • 50 1 
N = ---• --= --------- • -----
71.620 111 •'llz 71 .620 0,98 • 0,98 
~35 HP 
Calcular a fon;:a P para suspender a carga O = 300 Kg levando em conta 
a rijeza da corda e as perdas nos mancais. 
Diametro da corda d= 16 mm 
Diametro das roldanas D = 200 mm 
Esquematizando o moitao • teremos que a fon;:a te6rica P
O 
e dada por: 
= 
Q 
4 
300 
4 
= 75 Kg 
2.32 -------------------------------
A rijeza da corda e: 
~ = 0 03 d2 ( cordas usadas ) 
' C 
~ = 0,03 • 0,82 = 0,02 cm logo: 
0,2 
R · = 4 • 2 • 75 --= 12 Kg 
J 10 
Adotando como rendimento eixo/roldanas 11 I = 0,98 vem que o rendi-
mento de todos os conjuntos eixo/roldana, sera: e r 
Logo: 
Tl = Tl • Tl • Tl • Tl = 114 = 0,984 = 0,92 
e/r e/r e/r e/r e/r 
1 1 
P = ( P
O 
+ R j ) -- = ( 75 + 12 ) --
2 
= 89 Kg 
0,92 0,9 
O rendimento total do moitao: 
po 75 
11 =-- =--=084=84% 
P 89 ' 
------------------------------- 2.33 
Exerdcio 13 
Determinar a forc;:a F que equilibra o sistema em figura. 
Diametro primitive da roldana D = 134 mm 
doeixo ¢ = 20 mm 
do elo da corrente d = 5 mm 
A perda por rijeza da corrente e: 
R 2 Q 
r 2,5 
· = µ -- = 2 • 0 3 • 150 • - - = 3 35 Kg 
J R ' 67 ' 
Considerando que eixo/roldana apresenta r, = 0,98, teremos que: 
1 1 
F' = ( Q + R · ) • -- = ( 150 + 3 35 ) • - = 
J r, ' 0,98 
= 156,50 Kg 
F' 156,50 
F =--= - ---= 180,7 Kg 
0,866 cos ex: 
0 rendimento total do conjunto sent 
2.34 ---------------------------......-------
Exercicio 14 
Exercicio 15 
Um submarino tern sec<;:ao mestra de 7 m2 e anda a 4, 11 m/seg. 
Oual potencia absorve a resistencia da agua, supondo " = 35? 
R = " S v2 = 35 • 7 • 4, 1 P = 4.140 Kg 
F v 4.140 • 4, 11 26 CV 
N=--=----=2 
75 75 
Determinar a area de um paraquedas para que um homem de 90 kg atin-
ja o chao com v = 4 m/seg. 
Pela rela<;:ao: 
A resistencia do ar devera ser igual ao peso do homem. 
Considerando o paraquedas como semi-esfera concava 
podemos escolher " = 0, 1 
R = "S v2 
R 90 _ 
2 
S = _"_v_2_ = 0, 1 •42 - 56 rn 
------------------------------- 2.35 
Exercrcio 16 
Para puxar um barco ao longo de um canal navegavel com v = 0,6 m/seg 
foi necessario aplicar-lhe uma fon;:a de tracao de 40 Kg. A seccao mestra da 
parte submersa e de 4,55 m2 
Calcular a potencia necessaria para rebocar tal barco a velocidade de 
8 Km/h. 
Pela relacao: 
R 40 
K = S v2 = 4,55•0,62 ~ 24 
A resistencia ao movimento, a velocidade de 
8•1000 
v = 8 Km/h = 
3600 
= 2,2 m/seg 
sera 
R = K S v2 = 24 • 4,55 • 2,22 = 530 Kg 
A potencia necessaria sera: 
R V 
N = 75 
= 530•2,2 = 15,5 HP 
75 
2.36 -------------------------------
Exerc(cio 17 
Calcular a potencia necessaria para imprimir a um navio, com sec9ao 
mestra submersa de 42 m2 uma velocidade de 30 Km/h. 
30 • 1.000 
v = = 8,33 m/seg 
3.600 
A = " S v2 = 4• 42 • 8,332 = 11.657 Kg 
N = ~ = 11 .657•8,33 = 1 _294 HP 
75 
----------------------------------- 3.1 
ACOPLAMENTOS CINEMATICOS 
Ja dissemos que maquinas sao dispositivos capazes de transmitir e modi-
ficar a ac;;ao das forc;;as. Elas sao constitu(das por elementos unidos de forma 
a permitir um movimento relativo entre si e, porisso chamados: acopla-
mentos cinematicos. 
Cada elemento do acoplamento pode ser: 
r(gido 
elastico 
flex(vel 
ex. parafuso, biela, engrenagem 
ex. mola 
ex. correias, cabos, cordas 
0 movimento relativo e (mico e bem determinado e pode ser: 
escorregamento 
rolamento 
escorregamento e 
rolamento juntos 
ex. porca/parafuso 
ex. roda sobre trilhos 
ex. coroa e rosca sem fim 
Os acoplamentos cinematicos mais simples sao: 
prismatico 
rotoidal 
helicoidal 
que permite um movimento de transla-
c;;ao. ex. sistema de cunhas. 
que permite um movimento de rotac;;ao. 
ex. eixo e mancal de escorregamento. 
que permite a translac;;ao e rotac;;ao. ex. 
parafuso e porca. 
Nos acoplamentos cinematicos as superf(cies em contato nao se abando-
nam durante o movimento e, nao sendo perfeitamente lisos, provocam incon-
taveis perdas por atrito e consequente diminuic;;ao do rendimento mecanico. 
3.2 ---------------------------------
E QUI L fB RIO DIN AM IC 0 
X 
1y 
I 
I 
A - SISTEMA PLANO 
0 corpo prismatico de peso Q se movimenta 
sabre o piano horizontal pela ac;:ao da fon;:a F 
fazendo um angulo p com a horizontal. 
No in(cio do movimento teremos a forc;:a de 
atrito µ N que, composta com N, dara a rea-
c;:ao R. 
Para o equil (brio do corpo e necessario que a soma das projec;:oes, sabre 
os eixos ortogonais xx e yy, de todas as fon;:as nele aplicadas seja nula. 
19 Com a forc;:a F dirigLda para cima: 
a) projetando sabre xx 
µ N = F cos p 
b) projetando sabre yy: 
isto e: 
N +F sen P = Q 
N = Q-F sen p 
µ Q - µ F sen p = F cos p 
µ Q = F cos p + µ F sen p 
µ Q = F ( cos p + µ sen p ) 
µQ 
F =------
cos p +µ sen p 
-------------------------------- 3.3 
Lembrando que: 
sen ip 
µ = tg ip = --, vem que: 
cos tp 
sen ip • 
0 
sen ip • 
0 
cos tp cos tp 
F=---------=---------= 
sen ip 
cos {3 + • sen {3 
cos tp 
cos {3 cos .p + sen {3 sen ip 
cos tp 
sen ip • Q 
=---------
cos {3 cos .p + sen /3 sen ip 
Q sen ip 
F=-----
cos ( {3-ip) 
29 Com a fon;:a F dirigida para baixo chegaremos a f6rmula: 
F = Q sen ip 
cos ( f3 +ip) 
A FORMULA GERAL e: 
Q sen ip 
F=-----
cos ( f3 + tp) 
em que e valido o sinal: 
para F dirigida para CIMA 
+ " BAIXO 
(A-1) 
( A-2) 
( A-3) 
3.4 ----------------------------------
CONSIDERA~OES: 
39 Coma for<;:a F dirigida paralela ao piano de apoio, isto e, com 
f3 = 0, a f6rmula acima transformar-se-a em: 
F = 0 sen v, = 0 tg V' = µ 0 
cos"' 
que coincide com a equa9ao de atrito vista no cap(tulo anterior. 
Analisando a formula geral conclue-se que: 
CONCLUI -SE: 
19 F torna-se minima se for dirigida para cima 
com f3 = v, 
F min = Q sen v, 
29 F torna-se infinita, isto e, havera impossibilida-
de de movimento, se cos ( /3 + v,) = 0 
A conditao necessaria para que haja movimento e: 
f3 +v, < 900 
f3 < 900 - V, 
isto e, F devera atuar fora do angulo de atrito. 
-------------------------- ------- 3.5 
B- PLANO INCLINADO 
Um corpo de peso Q sabre um piano incli-
nado de ex , sob a ac;;ao de F. 
19 - SUBIDA: com F para CIMA: 
Com raciocfnio analogo ao caso anterior: 
µ N = F cos J3 - 0 sen ex 
N = Q cos ex - F sen J3 
Dividindo membro a membro 
F cos J3 - 0 sen ex: 
µ= - - ----- -
0 cos ex: - F sen J3 
µ 0 cos ex - µ F sen J3 = F cos J3 - Q sen ex 
F ( cos J3 + µ sen /3 ) = Q ( µ cos o: + sen ex ) 
sen .p 
F ( cos /3 + --- sen J3 ) = Q ( 
cos <P 
sen .p 
cos <P 
cos o: + sen o: ) 
F ( cos /3 cos .p + sen J3 sen .p ) = Q ( cos o: sen.p + sen o: cos ,p ) 
F cos ( J3 - cp ) = Q sen ( ex + cp ) 
F = 
0 
sen ( ex: +cp) 
cos (/3 - IP) 
(B- 1) 
3.6 
CONSIDERA<;OES: 
29 - SUBIDA com F para BAIXO: 
Com raciocf cio analogo teremos: 
F = 
0 
sen ( o:: +IP) 
cos ( f3 + lj?) 
A FORMULA GERAL, na SUBIDA, e: 
F = 
0 
_s_en---'-( _o::_-l_- -=-IP--'-) 
cos ( f3 + lj? ) 
em que e valido o sinal : 
para F dirigida para CIMA 
+ " BAIXO 
Analisando a f6rmula geral teremos: 
19 F paralela ao plano inclinado, f3 = 0 
sen ( o:: + lj? ) 
F = Q _ _;,__~ 
cos lj? 
29 F horizontal, f3 = o:: ( sinal + ) 
sen ( o:: +!p) 
F=Q----
cos ( 0:: +!p) 
Q tg ( 0:: +4P) 
I 
( B-2 ) 
( B-3) 
(B-4) 
---------------------------------- 3.7 
RENDIMENTO 
Q 
3<? F torna-se minima se cos (/3 + r.p) = 1, isto e se: 
{3+r.p=0 {3 =±r.p 
4'? F torna-se infinita, isto e, havera a impossibilidade de movimento. se 
CONCLUE-SE: 
cos ( /3 + r.p ) = 0 
f3 + '{) = 90° 
f3 = 90° ± '{) 
Para que haja movimento e necessario que F atue fora do angulo de atrito. 
I ndicando com: 
AC=s BC = h = s•sen a: 
Tu 0 s sen a: 0 sen a: 
11=--= = 
Tm s•F cos f3 F cos /3 
= 
0 sen a: sen a: • cos ( f3 + '{) ) 
= = 
Q 
sen (a: +r.p) 
cos (3• sen ( a: + r.p ) •cos {3 
cos (/3 + '{)) 
Conclue-se que o rendimento depende da inclinac;:ao do piano, da dire-
c;:ao da forc;:a e da natureza das superf1-cies em contato. 
Se F for horizontal, {3 = o: 
11 
= sen a: • cos ( a: + r.p ) = tg o: 
cos ex: sen ( o: +r.p) tg (o: +r.p) 
( B-5) 
3.8 
39- DESCIDAcom F de RETENCAO para CIMA 
A forc;:a F tenta reter o corpo. 
Pelas condic;:oes de equil(brio teremos: 
µ N = Q sen a: - F cos J3 
N = Q cos a: - F sen J3 
µ Q cos a: - µ F sen J3 = Q sen a: - F cos J3 
F ( cos J3 - µ sen J3 ) = Q ( sen a: - µ cos a: ) 
~n~ ~n~ 
F ( cos J3 --'-- • sen J3 ) = Q ( sen a: _ _;_. cos a: ) 
cos~ cos~ 
F ( cos J3 • cos ~ - sen J3 • sen ~ ) = Q ( sen a: • cos ~ - cos a: • sen ~ ) 
F cos ( J3 +~) = Q sen (a:-~) 
F = 0 _se_n_(=-a:--~~) 
cos ( J3 +~) 
49- DESCIDA com F de RETENCAO para BAIXO 
Com raciodnio analogo, teremos: 
F = 
0 
_s_e_n _( a:_-_~-'-'-) 
cos (/3 - ~) 
A FORMULA GERAL, na DESCIDA com F de RETENCAO, e: 
F = 
0 
_s_e_n_( a:_--'-~'--) 
cos (/3 ± ~) 
( B-6) 
(B-7) 
( B-8) 
--------------------------------- 3.9 
CONSIDERA<;OES: 
em que e valido o sinat: 
+ para F dirigida para CIMA 
" BAIXO 
Analisando a f6nnula.geral conclue-se que: 
1 <? A auto-reten~o do corpo sobre o plano inclinado sera possivel se 
F = 0, isto e, quando a: = If) 
2<? Se a for~a de reten~ao F for horizontal, (3 = a: ( sinal - ) 
sen (ex - ,,, ) 
F = O ---'---'-..,, - = Q • tg ( ex - If)) 
COS (ex - If)) 
(B-9) 
59- DESCIDA com F de A<:;,AO para CIMA: 
A fon;:a F ajuda o corpo a descer. 
Pelas condic;oes de equil (brio teremos: 
µ N = 0 sen ex + F cos (3 
N = 0 cos ex - F sen (3 
µ 0 cos ex - µ F sen (3 = 0 sen ex - F cos (3 
F ( cos (3 + µ sen (3) = 0 (sen ex +µ cos ex) 
3.10 -------------------------------
F (cos 
,,_ + sen ,p 
O 
sen ,p ) 
.., -----'- sen /3) = (senex +---- cos ex 
cos '{) cos '{) 
F ( cos {3 cos ,p + sen {3 sen ,p ) = Q ( sen ex cos ,p + cos ex sen '{)) 
F cos (/3 -,p ) = Q sen (ex +,p) 
F = 
0 
sen (ex +,p) 
cos (/3 - '{)) 
6<?- DESCIDAcom F de AC:,AO para BAIXO: 
Com racioc(nio analogo, teremos: 
sen (ex+ ,p) 
F=O------'--
cos ({3 + ,p) 
A FORMULA GERAL, na DESCIDA com F de AC:,AO, e: 
F=Q 
sen (ex+ ,p) 
cos ({3 + '{)) 
em que e valido o sinal: 
com F dirigida para CIMA 
+ " BAIXO 
(B-10) 
( B-11) 
(B-12) 
---------------------------------- 3.11 
C - ROSCAS 
h 
t 
re 
rm 
Q 
Chamando com: 
e claro que: 
A rosca ou parafuso se obtem enrolando, he-
licoidalmente, um ou mais filetes em torno de uma 
haste cil (ndrica. 
h:: it 
2TT rm 
0 filete pode apresentar sec9ao transversal 
muito variavel, mas geralmente, e triangular, retan-
gular, semi-circular ou trapezoidal. 
n<? de filetes - n<? de entradas 
t passo do parafuso ou da rosca 
h passo do filete ou da helice 
ex: = inclina9ao da helice 
h = i t (C-1} 
0 deslocamento axial correspondente a 1 volta completa do parafuso e 
igual ao passo da hel ice. 
Fazendo odesenvolvimento do filete, pela figura acima, vemos que: 
(C-2) 
3.12 ------------------------ ----------
b 
Q 
A carga Q, que atua axialmente, se transmite a porca distribuindo-se 
uniformemente em toda a superffcie de contato entre o filete da porca e do 
parafuso; podemos considera-la concentrada a distancia rm. 
0 problema do equil(brio do parafuso pode ser resolvido conside-
rando-se que a porca escorrega, em relac;:ao ao parafuso, como um corpo num 
piano inclinado, sob a ac;:ao de uma forc;:a forc;:a horizontal F. 
A forc;:a F, sendo horizontal, forma um angulo ~ =ex: com a direc;:ao do 
piano incl inado. Portanto, pelo que vimos no estudo do piano inclinado, 
podemos afirmar que: 
F = 0 tg (ex: ± ip) (C-3) 
em que e valido o sinal: 
+ se F for de ACAO 
" " " " RETENCAO 
E claro que: 
Para o movimento devera ser sempre 
Mmotor > Mresistente 
isto e, no caso limite: 
M = Q • rm • tg ( ex: + 1/J) (C-4) 
---------------------------------- 3.13 
Pondo esta formula em func;:ao dos elementos da rosca, vem: 
h 
± µ 
M = O • r m 
tg ex: ± tg I{) 
1 + tg ex: tg I{) 
21r rm 
= Q -------- = 
rm h 
1+----
Nesta formula valem os sinais: 
superiores se F e de ac;:ao 
inferiores " F " " retenc;:ao 
0 que temos visto vale para as roscas de FI LETE R ET ANGULAR. 
No caso de filetes triangulares, a forc;:a normal ao filete e: 
Q 
0'= - -
cos (j 
A forc;:a se atrito sent 
Q 
µ, Q' = µ -- = µ ' 0 
cos(j 
µ ' = µ 
cos (j 
em que. 
µ 
(C-5) 
(C-6) 
Fazendo entao a substituic;:ao de µ por µ' nas formulas anteriores, as 
tornamos validas para as roscas de Fl LETES TRIANGULARES. 
3.14--------------------- --------------
CONSIDERA~OES: 
Por ser µ' > µ e evidente que no caso de filetes triangulares as perdas 
por atrito serao maiores, logo, as roscas triangulares sao aplicaveis apenas 
para parafusos de fixac;:ao. 
Os filetes retangulares sao empregados nos parafusos de movimento; 
apresentam a vantagem de maior rendimento, mas a desvantagem de for-
marem parafusos menos resistentes que os de filetes triangulares, pois pela 
fig. se ve que a secc;:ao de engastamento do filete de secc;:ao triangular e o 
dobro que a de filete retangular. 
0 caso intermediario e o filete de secc;:ao trapezoi-
dal, que tern muita aplicac;:ao em prensas, pois na des-
cida apresenta perdas menores que na subida. 
Analisando a f6nnula: 
Os filetes mais usados sao: 
Whitworth 2 {3 = 55° 
Metrico e Seller 2 {3 = 60° 
Trapezoidal {3 = 15° 
F = Q tg (o: ± If)) 
19 Havera a unpossibilidade de movimento de subida quando: 
Para ex ;;;i, 90° - If) a irnpossibilidade de movimento continua. 
µ 
µ'