Slide - Unidade 1 - Eletricidade Básica

Prévia do material em texto

Unidade I 
 
 
 
 
ELETRICIDADE BÁSICA 
 
 
 
 
Prof. Dr. Francisco Sevegnani 
Unidade I 
Bloco 1 
 
 Lei de Coulomb. 
Lei de Coulomb 
Carga Elétrica 
 Carga elétrica é uma propriedade da matéria. 
 
 A matéria é composta de átomos. 
 
 Os átomos são compostos por um núcleo e uma eletrosfera. 
 
 No núcleo, existem prótons (carga positiva) e nêutrons (carga 
nula). 
 Na eletrosfera estão os elétrons com carga negativa. 
 Eles se movem em torno do núcleo. 
 
 
Lei de Coulomb 
Carga Elétrica 
 
 Carga do elétron e = - 1,6.10-19 C 
 Carga do próton e = + 1,6.10-19 C 
 
 A unidade carga elétrica Coulomb, representado por C, em 
homenagem ao físico francês Charles Augustin Coulomb. 
 
Lei de Coulomb 
Eletrostática 
 
 A Eletrostática estuda fenômenos associados às cargas 
elétricas em repouso. 
 
Princípios da Eletrostática 
 
1. Princípio da conservação da carga elétrica: 
 
 A somatória da carga elétrica de um sistema eletricamente 
isolado é constante. 
 
 
 
 
Eletrostática 
 
2.Princípio da quantização da carga elétrica: 
 A carga elétrica é quantizada, ou seja, é sempre um múltiplo 
do valor da carga elétrica elementar. 
 
A carga de um corpo é dada pela equação: 
Q = n . e 
Q – a carga elétrica total de um corpo; 
 n – o número de elétrons perdidos ou recebidos; 
 e – a carga elementar (1,6.10-19 C). 
 
Lei de Coulomb 
Lei de Coulomb 
3. Princípio da atração e repulsão das cargas elétricas: 
 Cargas elétricas de mesmo sinal se repelem e cargas de sinais 
contrários se atraem. 
 
 Carga positiva + repele carga positiva + 
 Carga negativa - repele carga negativa – 
 Carga positiva + atrai carga negativa – 
 Carga negativa – atrai carga positiva + 
 
Lei de Coulomb 
Lei de Coulomb 
 
 “A força entre duas cargas elétricas puntiformes Q e q é 
diretamente proporcional ao produto das duas cargas e 
inversamente proporcional ao quadrado da distância r entre 
elas”. 
 
 Esta força é atrativa se as cargas tiverem sinais opostos Q.q < 0 
 
 Esta força é repulsiva se as cargas tiverem o mesmo sinal Q.q > 0 
 
 
Lei de Coulomb 
Fórmula da Lei de Coulomb no espaço livre: 
 Força entre duas cargas elétricas pontuais. 
 
 
Lei de Coulomb 
Lei de Coulomb 
1. Força de um sistema discreto de N cargas. 
 Qi ( i= 1,2,3,4...N) sobre a carga q. 
 
 
 
 
 
 
Lei de Coulomb 
 Cada uma das cargas elétricas Q1, Q2 e Q3, exercem força 
elétrica sobre a carga elétrica q. 
 A foça resultante é a soma vetorial de cada força componente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lei de Coulomb 
Lei de Coulomb 
2. Em uma distribuição contínua de cargas Q, a força elétrica 
resultante que essa distribuição aplica sobre a carga q é 
expressa por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lei de Coulomb 
Distribuição contínua de cargas 
 
 Quando uma carga elétrica Q é distribuída sobre o corpo, é 
necessário dividi-lo em partes infinitesimais dQ para 
equacionar o elemento de força dF e, em seguida, aplicar o 
princípio da superposição e obter, por integração, a força 
resultante F. 
 
Lei de Coulomb 
 Exemplo de aplicação – 1 
1 – Duas cargas pontuais com cargas 
 situam-se no espaço livre, em pontos separados pela distância 
r = 80 cm. 
Calcular a intensidade das forças que essas cargas exercem 
mutuamente. 
 
Solução 
 
CqeCq 62
6
1 10.1810.40
−− −==
2
2
9
0
10.9
4
1
C
NmDado =
επ
Lei de Coulomb 
 Exemplo de aplicação – 2 
2 – É dado um triângulo equilátero ABC com lado L= 4,0m. Nos 
pontos A e B localizam-se as cargas 
respectivamente. 
Determinar a força elétrica resultante F que atua sobre uma 
terceira carga localizada no ponto C. 
 
 
 
CqeCq BA
66 10.1510.40 −− −==
CqC
610.0,3 −=
2
2
9
0
10.9
4
1
C
NmDado =
επ
Lei de Coulomb 
 Exemplo de aplicação – 2 – Solução 
 
 
Lei de Coulomb 
Exemplo de aplicação – 2 – Solução 
Lei de Coulomb 
Exemplo de aplicação – 3 
3 – Duas cargas elétricas puntiformes Q1 e Q2 são mantidas 
fixas a uma distância L. Uma terceira carga elétrica q também 
puntiforme está em equilíbrio em um ponto P que pertence a 
uma reta que passa pelas três cargas. Pede-se a posição do 
ponto P. 
Dados : Q1= 4 μ C , Q2 = 12 μ C , L = 8 m 
 
 
Lei de Coulomb 
 Exemplo de Aplicação – 3 – Solução 
 
0,,
)(4
1,
4
1
212
2
0
22
1
0
1 =+=−
−== FFFFi
xL
QqFi
x
QqF

επεπ
Lei de Coulomb 
Exemplo de Aplicação – 3 – Solução 
 
 
Interatividade 
Duas cargas elétricas puntiformes 
estão fixas no espaço livre, separadas por uma distância 
 r = 6cm . A intensidade da força elétrica resultante, que age 
sobre uma carga colocada no ponto médio do 
segmento que une vale: 
a) A intensidade da força resultante é 0,009 N. 
b) A intensidade da força resultante é 0,003 N. 
c) A intensidade da força resultante é 0,006 N. 
d) A intensidade da força resultante é 0,008 N. 
e) A intensidade da força resultante é 0,012 N. 
 
CqeCq 82
8
1 10.310.9
−− ==
Cq 83 10
−=
21 qeq
Resposta 
Duas cargas elétricas puntiformes 
estão fixas no espaço livre, separadas por uma distância 
 r = 6cm . A intensidade da força elétrica resultante, que age 
sobre uma carga colocada no ponto médio do 
segmento que une vale: 
a) A intensidade da força resultante é 0,009 N. 
b) A intensidade da força resultante é 0,003 N. 
c) A intensidade da força resultante é 0,006 N. 
d) A intensidade da força resultante é 0,008 N. 
e) A intensidade da força resultante é 0,012 N. 
 
CqeCq 82
8
1 10.310.9
−− ==
Cq 83 10
−=
21 qeq
Unidade I 
Bloco 2 
 
 Campo Elétrico 1. 
Campo elétrico I 
1 – Campo elétrico criado por cargas elétricas 
 As cargas elétricas geram campo elétrico à sua volta. Uma 
carga Q, fixa no ponto O, cria o campo E no ponto P. 
Colocando-se uma carga de prova q no ponto P surge a força 
F. 
 
 
 
 
 
 
 
Campo elétrico I 
Força Elétrica e Campo Elétrico 
 
 
 
 Força Elétrica (N). 
 q carga elétrica de prova (C). 
 campo elétrico (N/C ou V/m). 
 
 E e F têm sempre a mesma direção. 
 Se q > 0 , E e F têm o mesmo sentido. 
 Se q < 0 , E e F têm sentidos opostos. 
 
 
 
EqF

=
F

E

Campo elétrico I 
Linhas de Força 
 As linhas de força originam-se em cargas positivas e terminam 
em cargas negativas. 
 As linhas de força servem para visualizar a configuração dos 
campos elétricos. 
 O campo elétrico é tangente às linhas de força em cada ponto. 
Campo elétrico I 
1.1 Campo elétrico criado por uma carga puntiforme 
 Lei de Coulomb 
 
 
 
 
 
 O campo elétrico é diretamente proporcional à carga Q e 
inversamente proporcional ao quadrado da distância r . 
Campo elétrico I 
1.2 Campo elétrico criado por uma distribuição discreta de 
cargas 
 Para várias cargas puntiformes fixas em vários pontos P1 (Q1), 
P2 (Q2 ), ......, PN (QN ), o campo elétrico resultante no ponto P 
será a soma vetorial dos campos produzidos por cada carga 
(princípio da superposição). 
 
Campo elétrico I 
1.2 Campo elétrico criado por uma distribuição discreta de 
cargas 
 
 
Campo elétrico I 
Exemplo de aplicação – 1 
1 – Determinar a intensidade do campo elétrico no espaço livre 
devido a uma carga elétrica puntiforme Q em um ponto P cuja 
distância à carga é r. 
 
 
CNEE
r
QE
Solução
cmrCQ
C
NmDados
/900
40,0
10.1610.9
4
1
40,10.16,10.9
4
1
2
9
9
2
0
9
2
2
9
0
===
===
−
−
επ
επ
Campo elétrico I 
Exemplo de Aplicação – 2 
2 – Em pontos A e B separados pela distância AB localizam-se 
cargas puntiformes com cargas q 1 e q 2 respectivamente. 
Determinar: 
a) O campo elétrico resultante no ponto C. 
b) Sobre a reta AB o ponto D no qual o campo elétrico 
resultante é nulo. 
 
 
cmACcmAB
CqCq
C
NmDados
60,80
10.2,10.8,10.9
4
1 8
2
8
12
2
9
0
==
=== −−
επ
Campo elétrico I 
Exemplo de Aplicação – 2 – Solução 
a) 
 
 
C
NiEiiE
EEE
C
NiEC
NiE
C
NE
E
ACAB
qE
C
NEE
AC
qE
250045002000
45002000
4500
)60,080,0(
10.210.9
)(4
1
2000
60,0
10.810.9
4
1
2121
2
2
8
9
22
2
0
2
12
8
9
12
1
0
1
−=−=
+=−==
=
−
=
−
=
===
−
−


επ
επ
Campo elétrico I 
Exemplo de Aplicação – 2 – Solução 
b) 
 
cmmAD
ADADADAD
ADADADAD
ADADADAB
q
AD
q
i
ADAB
qi
AD
qE
i
ADAB
qEi
AD
qE
EEE
3,53533,0
80,0
12
)80,0(
14
)80,0(
14
)80,0(
10.210.8
0
)80,0(
10.210.80
)(
0
)(4
1
4
1
)(4
1
4
1
0
22
222
8
2
8
2
8
2
8
2
2
2
1
2
2
0
2
1
0
2
2
0
22
1
0
1
21
==
−
=
−
=
−
=
−
=
=
−
−=
−
−
=
−
−=
−
−==
=+=
−−
−−



επεπ
επεπ
Campo elétrico I 
Exemplo de aplicação – 3 
3 – Duas cargas elétricas puntiformes Q1 e Q2, separadas pela 
distância d são mantidas fixas, respectivamente, nos pontos A e 
B. Determinar: 
a) O ângulo P e os lados AP e BP. 
b) O vetor campo elétrico resultante no ponto P. 
 
cmd
CQCQ
C
NmDados
80º50º30
10.2,10.4,10.9
4
1 8
2
8
12
2
9
0
===
=−== −−
βα
επ
Campo elétrico I 
Exemplo de Aplicação – 3 – Solução 
a) 
 
mBP
BP
mAP
AP
BP
sen
AP
sensensenosdosLei
PÂngulo
41,05,0
80,0
985,0
62,0766,0
80,0
985,0
º30º50
80,0
º100
º100)º30º50(º180
==
==
==
=+−=

Campo elétrico I 
Exemplo de Aplicação – 3 – Solução 
b) 
 
C
NjiE
jiE
jsenEiEE
BP
Q
E
C
N
AP
Q
E





26,468811
5,0.52,936866,0.52,936
º30º30cos
79,1070
41,0
10.2.10.9
4
1
52,936
62,0
10.4.10.9
4
1
1
1
111
89
2
2
0
2
2
89
2
1
0
1
−−=
−−=
−−=
===
===
−
−
επ
επ
Campo elétrico I 
Exemplo de Aplicação – 3 – Solução 
b) 
 
C
NjiE
jiE
EEE
C
NjiE
jiE
jseniE
jsenEiEE







96,35152,1499
)22,82026,468()52,688811(
22,82052,688
766,0.79,1070643,0.79,1070
º5079,1070º50cos79,1070
º50º50cos
21
2
2
2
222
+−=
+−+−−=
+=
+−=
+−=
+−=
+−=
Interatividade 
O dipolo elétrico, mostrado na figura abaixo, é constituído pelas 
cargas elétricas +q e –q, que estão separadas pela distância d. 
O vetor campo elétrico produzido pelo dipolo no ponto P vale: 
Dados : d = 0,04m q = 5.10-9 C 1/4πε0 = 9.109 N. m 2 / C2 
a) E = 8 125 i (N/C) 
b) E = 11 125 i (N/C) 
c) E = 19 125 i (N/C) 
d) E = 34 125 i (N/C) 
e) E = 13 125 i (N/C) 
 
Resposta 
O dipolo elétrico, mostrado na figura abaixo, é constituído pelas 
cargas elétricas +q e –q, que estão separadas pela distância d. 
O vetor campo elétrico produzido pelo dipolo no ponto P vale: 
Dados : d = 0,04m q = 5.10-9 C 1/4πε0 = 9.109 N. m 2 / C2 
a) E = 8 125 i (N/C) 
b) E = 11 125 i (N/C) 
c) E = 19 125 i (N/C) 
d) E = 34 125 i (N/C) 
e) E = 13 125 i (N/C) 
 
Campo elétrico II 
Bloco 3 
 
 Campo elétrico 2. 
 
Campo elétrico II 
1.3 Campo elétrico de uma distribuição contínua de cargas. 
 Quando uma carga elétrica Q é distribuída sobre o corpo, 
divide-se o corpo em partes infinitesimais dQ e equaciona-se 
o elemento de campo elétrico dE no ponto P. Aplica-se o 
princípio da superposição e por integração obtém-se o campo 
elétrico resultante. 
Campo elétrico II 
Distribuições de cargas 
1 – Densidade linear de cargas λ 
 Densidade linear de cargas em um fio é a quantidade de cargas 
por unidade de comprimento. 
 
 
2 – Densidade superficial de cargas σ 
 Densidade superficial de cargas em uma área é a quantidade 
de cargas por unidade de área. 
 
 
)/( mC
Ld
Qd
=λ
)/( 2mC
Ad
Qd
=σ
Campo elétrico II 
Distribuições de cargas 
 
3 – Densidade volumétrica de cargas ρ 
 Densidade volumétrica de cargas em um volume é a 
quantidade de cargas por unidade de volume. 
 
)/( 3mC
Vd
Qd
=ρ
Campo elétrico II 
Exemplo de aplicação – 1 
1 – Um bastão AB de comprimento L= 2m está eletrizado com 
uma carga elétrica Q. A densidade linear da distribuição é: 
Determinar Q. 
 
Solução: 
 
 
Lxsendo
m
Cx ≤≤+= − 0)()10).64( 6λ
CQQxxQ
dxxQxdQxddQ
L
6262
0
2
6
2
00
6
10.20)2.62.2(10).6
2
.4(10
)64(10
−−−
−
=+=+=
+=== ∫∫ λλ
Campo elétrico II 
Exemplo de aplicação – 2 
2 – Em um disco circular, parcialmente eletrizado, de raio R = 
0,5m, a densidade superficial σ de cargas à distância r do centro 
do disco vale: 
 . Determinar a carga Q do disco. 
 
Solução: 
 
 
 
 
RrsendomC
r
≤≤= − 1,0)/(10.1 263σ
[ ] CQQ
Q
r
Q
dr
r
Qdrr
r
Q
dAQdrrdAdAdQ
dA
dQ
RR
66
6
5,0
1,0
6
1,0 2
6
1,0
6
3
10.1610210.2
1,0
1
5,0
110.2110.2
110.2210.1
2
−−
−−
−−
=+−=






+−=


−=
==
====
∫∫
∫
ππ
ππ
ππ
σπσσσ
Campo elétrico II 
Exemplo de Aplicação – 3 
3 – Uma casca esférica de raios internos r1 = 0,4m e raio externo 
r2 = 1,2m é eletrizada com densidade volumétrica de cargas 
 . 
Determinar a carga Q. 
 
 
21
36 )/(10.
4
1 rrrsendomC
r
≤≤= −
π
ρ
)(10.64,0
2
4,02,110
2
10
10410.
4
1
4
6
22
6
2,1
4,0
2
6
626
2
2
1
2
1
CQ
QrQ
drrQdrr
r
Q
dVQdrrdVdVdQ
dV
dQ
r
r
r
r
−
−−
−−
=





 −
=





=
==
====
∫∫
∫
π
π
ρπρρ
Campo elétrico II 
Exemplo de aplicação – 4 
4 – Um fio finito está eletrizado com densidade linear de cargas 
constante. Calcular o campo elétrico E em pontos fora do fio e a 
uma distância y deste ou seu prolongamento: 
 
 
Campo elétrico II 
Exemplo de aplicação – 4 – Solução 
 Considerar um elemento dx do fio que contém uma carga dQ 
dada por dQ=λ dx. Calcular o campo que esta carga produz no 
ponto P. 
 
 
αα
επ
λ
α
αααλ
επ
αλ
επ
αα
dsen
y
dE
y
sendydE
sen
r
xddE
dEdEesendEdE
x
x
x
yx
0
22
2
0
2
0
4
)sec(
)sec(
4
1
4
1
cos
=
=
=
==
Campo elétrico II 
Exemplo de aplicação – 4 – Solução 
 
[ ]jsenseni
y
E
jEiEE
seráPpontonoteresulcampoO
sensen
y
E
amenteAna
y
E
dsen
y
E
yx
y
x
x


)()cos(cos
4
:tan
)(
4
log
)cos(cos
4
4
2121
0
21
0
21
0
0
2
1
αααα
επ
λ
αα
επ
λ
αα
επ
λ
αα
επ
λ α
α
++−=
+=
+=
−=
= ∫
Campo elétrico II 
Exemplo de Aplicação – 5 
5 – Um fio finito está eletrizado com densidade linear de cargas 
constante λ. Calcular o vetor campo elétrico E em um ponto P 
fora do fio e a uma distância y deste. 
Dados: 
 
º60,º40
80,8,10.9
4
1
21
2
2
9
0
==
===
αα
µλ
επ
cmy
m
C
C
Nm
Campo elétrico II 
Exemplo de Aplicação – 5 – Solução 
 Utilizando a expressão obtida para o campo e substituindo os 
dados fornecidos, tem-se: 
 
 
 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] )/(10.357,110.394,2508,1266,090000
)866,0642,0()5,0766,0(90000
)º60º40()º60cosº40(cos
80,0
10.8.10.9
)()cos(cos
4
54
69
2121
0
CNjijiE
jiE
jsenseniE
jsenseni
y
E




+=+=
++−=
++−=
++−=
−
αααα
επ
λ
Campo elétrico II 
Exemplo de Aplicação – 6 – Solução 
6 – Obter a expressão para o cálculo do campo elétrico criado 
por um fio infinito com densidade de cargas constante λ a uma 
distância genérica y do fio, partindo da expressão do fio finito. 
Solução: 
 
 
 
 O fio sendo infinito α1=90º e α 2 = 90º. Substituindo vem: 
 
 
[ ]jsenseni
y
E

)()cos(cos
4 21210
αααα
επ
λ
++−=
Campo elétrico II 
Exemplo de Aplicação – 6 – Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O campo é perpendicular ao fio. 
 
 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
j
y
Ej
y
Ej
y
E
ji
y
E
jsenseni
y
E
jsenseni
y
E
jsenseni
y
E





000
0
0
0
2121
0
2
,2
4
,2
4
)11()00(
4
)º90º90()º90cosº90(cos
4
)º90º90()º90cosº90(cos
4
)()cos(cos
4
επ
λ
επ
λ
επ
λ
επ
λ
επ
λ
επ
λ
αααα
επ
λ
===
++−=
++−=
++−=
++−=
Campo elétrico II 
Exemplo de Aplicação – 7 – Solução 
7 – Nos vértices A, B e C de um triângulo equilátero de lado L 
situam-se cargas elétricas puntiformes q1, q 2 e q 3, 
respectivamente. 
Determinar o vetor campo elétrico E no centro de gravidade G 
do triângulo. 
Dados: 
mLCqCq
Cq
C
mN
410.6,10.5
,10.4,10.9
4
1
6
3
6
2
6
12
2
9
0
===
==
−−
−
επ
Campo elétrico II 
Exemplo de Aplicação– 7 – Solução 
 
 
 
 
 
 
 
mAMCGBGAGr
mLAM
LLLAMLAML
BMAMAB
AMBtriângulonoPitágorasdeTeorema
309,2464,3.
3
2
3
2
464,3
2
4.732,1
2
3
4
3
4
)
2
(
2
22
22222
222
======
===
=−=+=
+=
Campo elétrico II 
 Exemplo de Aplicação – 7 – Solução 
 
 
C
NEE
r
qE
C
NEE
r
qE
C
NEE
r
qE
52,12810
309,2
10.610.9
4
1
43,4408
309,2
10.510.9
4
1
35,7526
309,2
10.410.9
4
1
32
6
9
32
3
0
3
22
6
9
12
2
0
2
12
6
9
12
1
0
1
===
===
===
−
−
−
επ
επ
επ
C
NjiE
jiEjseniEE


175,376354,8475
)5,0866,0(35,7526)º30º30(cos
1
111
+=
+=+=
Campo elétrico II 
Exemplo de Aplicação – 7 – Solução 
 
jiE
jiE
EEEE
C
NjiE
jiEjseniEE
C
NjjEE






17,376376,9232
)26,064543,4408()30,771854,8475(
26,064530,7718
)5,0866,0(52,12810)º30º30cos(
43,4408
321
3
333
22
−−=
+−+−=
++=
+−=
+−=+−=
−=−=
Interatividade 
Um fio infinito está eletrizado com densidade linear de cargas 
constante λ . O vetor campo elétrico tem direção perpendicular 
ao fio e sentido saindo do fio. A intensidade do campo elétrico 
vale: 
Dados 
 
a) 400 N/C 
b) 800 N/C 
c) 600 N/C 
d) 900 N/C 
e) 2 000 N/C 
 
my
m
C
C
mNj
y
E 8,1,10.8,10.18
2
1,
2
8
2
2
9
00
==== −λ
επεπ
λ 
Resposta 
Um fio infinito está eletrizado com densidade linear de cargas 
constante λ . O vetor campo elétrico tem direção perpendicular 
ao fio e sentido saindo do fio. A intensidade do campo elétrico 
vale: 
Dados: 
 
 
a) 400 N/C 
b) 800 N/C 
c) 600 N/C 
d) 900 N/C 
e) 2 000 N/C 
 
 
my
m
C
C
mNj
y
E 8,1,10.8,10.18
2
1,
2
8
2
2
9
00
==== −λ
επεπ
λ 
Potencial elétrico 
Bloco 4 
 
 Potencial elétrico. 
 
Potencial elétrico 
Conceitos 
 Partícula eletrizada movendo-se em região com campo 
elétrico sofre uma força elétrica. 
 A força elétrica produz na partícula aceleração ou variação da 
velocidade com o tempo, realizando trabalho. 
 A variação da energia cinética da partícula é calculada pelo 
trabalho da força resultante sobre ela. 
 Há forças que possuem a propriedade de o trabalho não 
depender da trajetória percorrida pela partícula entre dois 
pontos fixos. 
 Estas forças são chamadas de Forças conservativas e a força 
elétrica é uma delas. Às forças conservativas definem-se os 
conceitos de Energia Potencial Elétrica e Potencial Elétrico. 
 
Potencial elétrico 
 1 – Trabalho no campo de uma carga puntiforme 
 Em um ponto fixo O situa-se uma carga Q. No campo desta 
carga transporta-se a carga de prova P(q) desde um ponto 
qualquer A até um ponto qualquer B, na posição genérica P a 
carga q sofre por parte da carga Q a força F. 
 
Potencial elétrico 
1 – Trabalho no campo de uma carga puntiforme 
A lei de Coulomb fornece: 
 
 
Em deslocamento elementar , o trabalho de é: 
 
 
E o trabalho de F entre os pontos A e B é dado por: 
 
 
r
r
qQF ˆ
4
1
2
0επ
=

ld
 F

ldFWd

.=
∫=
B
AAB
ldFW

.
Potencial elétrico 
1 – Trabalho no campo de uma carga puntiforme 
 






−−=



−=
=
=
=
∫
∫
∫
AB
AB
B
A
AB
B
AAB
B
AAB
B
AAB
rr
qQW
r
qQW
r
rdqQW
rd
r
qQW
ldr
r
qQW
11)1(
4
1
4
4
4
1
.ˆ
4
1
0
0
2
0
2
0
2
0
επ
επ
επ
επ
επ

Potencial elétrico 
1 – Trabalho no campo de uma carga puntiforme 
 Conclusão: o trabalho da força elétrica mostra claramente que 
ele não depende da particular trajetória entre os pontos A e B, 
mostrando de fato que a força elétrica é conservativa e, por 
isso, admite energia potencial. 
 
 






−−=
AB
AB rr
qQW 11)1(
4 0επ
Potencial elétrico 
2 – Energia potencial elétrica de uma carga puntiforme 
 Adotar um ponto de referência P0, escolhido de forma 
arbitrária e, neste ponto, a energia potencial é igual a zero. 
 A posição deste ponto de referência vai depender da 
geometria de distribuição da carga elétrica que produz o 
campo elétrico a que é submetida a carga de prova. 
 No caso mais simples, quando se considera o campo elétrico 
criado por uma carga puntiforme Q, adota-se o ponto de 
referência no infinito. 
 Considera-se, portanto, que a energia potencial U da carga de 
prova em ponto P qualquer como sendo o trabalho produzido 
pela força elétrica quando essa carga é transportada 
do ponto P até o infinito. 
 
 
 
Potencial elétrico 
2 – Energia potencial elétrica de uma carga puntiforme 
 
r
qQU
r
qQU
r
qQWU
r
qQWU
rr
rr
qQWU
WU
P
P
PP
P
PP
P
PP
PP
PP
0
0
0
0
0
4
1
4
1
10)1(
4
11)1(
4
11)1(
4
0
0
0
0
0
0
επ
επ
επ
επ
επ
=
=






−−==






−
∞
−==
∞==








−−==
=
⇒
⇒
∞
⇒
⇒
Potencial elétrico 
3 – Potencial elétrico de uma carga puntiforme 
 A carga elétrica produz ao seu redor campo elétrico e 
potencial elétrico. 
 O potencial elétrico em um ponto qualquer é a energia 
potencial elétrica U por unidade de carga elétrica q nesse 
ponto. 
 A unidade do potencial elétrico é Volt = V= 1J/C 
 
r
QV
r
Qq
q
V
U
q
V
0
0
4
1
4
11
1
επ
επ
=
=
=
Potencial elétrico 
4 – Potencial elétrico para uma distribuição contínua de cargas 
Considerar a força elétrica F sobre um carga de prova q: 
 
 
O trabalho elementar da força é: 
 
 
 
Variação elementar d U de energia potencial: 
 
 
EqF

=
ld.Eql.dFWd

==
ld.E-qdWdU

=−=
Potencial elétrico 
4 – Potencial elétrico para uma distribuição contínua de cargas 
Variação elementar dV do potencial elétrico: 
 
 
 
 
O potencial elétrico produzido por uma distribuição contínua de 
carga vale: 
 
 
ld.EdV
)ld.E-q(1
q
1dV


−=
==
q
dU
∫
∫
=
−=−
=
0
0
0
ld.E
ld.E
0VP
P
PP
P
PP
V
V


Potencial elétrico 
5 – Trabalho da força elétrica em função da variação do 
potencial elétrico 
 
 
 
)(
.
.
.
ABAB
B
AAB
B
AAB
B
AAB
B
AAB
VVqW
dVqW
dVqW
ldEdV
ldEqW
EqF
ldFW
−−=
−=
−=
−=
=
=
=
∫
∫
∫
∫




Potencial elétrico 
Exercício de Aplicação – 1 
1 – Duas cargas elétricas puntiformes q1= 4,0 µ C e q2= 8,0 µ C 
 estão fixas nos pontos A e B, separadas pela distância 
 d = 10,0m, no vácuo. Calcular: 
a) Os potenciais elétricos nos pontos C e D. 
b) O trabalho da força elétrica resultante 
 que atua em q = 0,2 µ C ao ser levada 
 de C para D. 
c) A energia potencial elétrica que adquire 
ao ser colocada em C e em D. 
 
Potencial elétrico 
Exercício de Aplicação – 1 – Solução 
 a) 
 
kVVV
V
V
BC
q
AC
qV
C
C
C
C
2121000
120009000
6
10.810.9
4
10.410.9
4
1
4
1
6
9
6
9
2
0
1
0
==
+=
+=
+=
−−
πεπε
kVVV
V
V
mBD
mAD
BD
q
AD
qV
D
D
D
D
22,1184,11226
720084,4026
10
10.810.9
94,8
10.410.9
1068
94,848
4
1
4
1
6
9
6
9
22
22
2
0
1
0
==
+=
+=
=+=
=+=
+=
−−
πεπε
Potencial elétrico 
Exercício de Aplicação – 1 – Solução 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
mJJW
W
VVqW
CD
CD
CDCD
95,100195,0
)2100084,11226(10.2,0
)(
6
==
−−=
−−=
−
mJJU
U
VqU
C
C
CC
2,40042,0
21000.10.2,0 6
==
=
=
−
mJJU
U
VqU
D
D
DD
224,2002245,0
94,11226.10.2,0 6
==
=
=
−
Potencial elétrico 
Exercício de aplicação – 2 
2 – Um anel circular fino e de raio R é eletrizado uniformemente 
com carga Q. Adotar referencial cartesiano com origem no 
centro do anel, eixo Oy perpendicular ao plano do anel. O meio 
ambiente é o vácuo. Adotar V=0 no infinito. 
a) Determinar o potencial V nos pontos do eixo Oy, operando a 
partir das cargas. 
b) Calcular o campo elétrico E a partir do potencial. 
Potencial elétrico 
Exercício de Aplicação 2 – Solução 
a) Seja P um ponto genérico do eixo Oy e y sua ordenada. Um 
elemento qualquer do anel possui carga dQ. 
 
22
0
22
0
22
0
22
0
4
1
4
1
4
1
4
1
yR
QV
yR
QdVd
yR
QdVd
yRr
r
QdVd
+
=
+
=
+
=
+=
=
∫∫
επ
επ
επ
επ
Potencial elétrico 
Exercício de aplicação 2 – Solução 
b) O campo elétrico E é dado por: 
 
j
yR
yQE
jyyRQE
j
y
VE
yRQ
yR
QV



2
3
220
2
3
22
0
2
1
22
0
22
0
)(
.
4
1
2.)(
2
1.
4
)(
44
1
+
=
+
−−=
∂
∂
−=
+=
+
=
−
−
επ
επ
επεπ
Interatividade 
Três cargas elétricas puntiformes q1 , q2 e q 3 mantidas fixas 
definem o triângulo ABC indicado na figura. A energia potencial 
elétrica U da carga q 3 vale: 
 
 
 
 
a) 200 J 
b) 0,192 J 
c) 24000 J 
d) 100 J 
e) 0,80 J 
 
Cq
CqCqmCA
mBCmAB
C
mNDados
6
3
6
2
6
1
2
2
9
0
10.8
,10.6,10.4,6
,3,8,10.9
4
1:
−
−−
=
===
===
επ
Resposta 
Três cargas elétricas puntiformes q1 , q2 e q 3 mantidas fixas 
definem o triângulo ABC indicado na figura. A energia potencial 
elétrica U da carga q 3 vale: 
 
 
 
 
a) 200 J 
b) 0,192 J 
c) 24000 J 
d) 100 J 
e) 0,80 J 
 
 
 
Cq
CqCqmCA
mBCmAB
C
mNDados
6
3
6
2
6
1
2
2
9
0
10.8
,10.6,10.4,6
,3,8,10.9
4
1:
−
−−
=
===
===
επ
 
 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA! 
	Slide Number 1
	Unidade I
	Lei de Coulomb
	Lei de Coulomb
	Lei de Coulomb
	Lei de Coulomb
	Lei de Coulomb
	Lei de Coulomb
	Lei de Coulomb
	Lei de Coulomb
	Lei de Coulomb
	Lei de Coulomb
	Lei de Coulomb
	Lei de Coulomb
	Lei de Coulomb
	Lei de Coulomb
	Lei de Coulomb
	Lei de Coulomb
	Lei de Coulomb
	Lei de Coulomb
	Interatividade 
	Resposta 
	Unidade I
	Campo elétrico I
	Campo elétrico I
	Campo elétrico I
	Campo elétrico I
	Campo elétrico I
	Campo elétrico I
	Campo elétrico I
	Campo elétrico I
	Campo elétrico I
	Campo elétrico I
	Campo elétrico I
	Campo elétrico I
	Campo elétrico I
	Campo elétrico I
	Interatividade 
	Resposta
	Campo elétrico II
	Campo elétrico II
	Campo elétrico II
	Campo elétrico II
	Campo elétrico II
	Campo elétrico II
	Campo elétrico II
	Campo elétrico II
	Campo elétrico II
	Campo elétrico II
	Campo elétrico II
	Campo elétrico II
	Campo elétrico II
	Campo elétrico II
	Campo elétrico II
	Campo elétrico II
	Campo elétrico II
	Campo elétrico II
	Interatividade 
	Resposta
	Potencial elétrico
	Potencial elétrico
	Potencial elétrico
	Potencial elétrico
	Potencial elétrico
	Potencial elétrico
	Potencial elétrico
	Potencial elétrico
	Potencial elétrico
	Potencial elétrico
	Potencial elétrico
	Potencial elétrico
	Potencial elétrico
	Potencial elétrico
	Potencial elétrico
	Potencial elétrico
	Potencial elétrico
	Potencial elétrico
	Interatividade 
	Resposta
	Slide Number 80