Aula 9 - 260321 - Max e Min

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Cálculo II/Cálculo Dif. e Integral II
Máximos eMínimos
Equipe de Cálculo II – PAE-2
Março - 2021Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Conteúdo
2/22
1. Máximos e Mínimos Condicionados
2. Multiplicadores de Lagrange
Antes da aula de 26/03, estude o Capítulo 7 do livro Cálculo II: volume
I, disponível em Cálculo Diferencial e Integral II – Cálculo II – Vol. 1
Há arquivos auxiliares disponíveis no AVA para entendimento dos
conceitos. Eles estão indicados na parte superior do slide associado a
cada arquivo. Os .ggb devem ser abertos com o Geogebra Classic e os
scripts .txt, com o CalcPlot3D.
Além dos demais canais de comunicação com nossa equipe, você
também pode tirar dúvidas por email: nunes@ime.uerj.br (Patrícia)
https://www.ime.uerj.br/livros-apostilas-e-tutoriais-2/?cp_livro=3
https://www.geogebra.org/calculator
https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/index.html
mailto:nunes@ime.uerj.br
Máximos e mínimos com vínculos 1/22
Máximosemínimos
comvínculos
Uma restrição linear 001MLCIIonlinepagina219.ggb
Máximos e mínimos com vínculos 2/22
Determine os pontos extremos de f(x, y) = x2 + y2 tais que y+ x = 1
A análise do comportamento da função ao longo da curva definida pela
restrição, permitiu concluir que:
f não possui máximo no conjunto em que y+ x = 1
f possui um único mínimo no conjunto em que y+ x = 1
RestriçãoNL MLgeogebraPSzG4pe6.txt e MLgeogebraPSzG4pe6.ggb
Máximos e mínimos com vínculos 3/22
Determine os pontos extremos de f(x, y) = x2 + y2 tais que y2 − x = 54
A análise do comportamento da função ao longo da curva definida pela
restrição, permitiu concluir que:
f possui ummáximo local no conjunto em que y2 − x = 5
4
f possui dois mínimos locais no conjunto em que y2 − x = 5
4
ML 004LagrangeMultiplierGxYU8Md.ggb
Máximos e mínimos com vínculos 4/22
Teorema (online página 221)
Sejam f, g : A ⊂ Rn → R funções de classe C1. Denotemos por S um
conjunto de nível de g. Se f tem um ponto demáximo ou demínimo
x0 ∈ S e∇g(x0) ̸= 0, então existe λ ∈ R tal que: ∇f(x0) = λ∇g(x0).
Exemplos
Máximos e mínimos com vínculos 5/22
Determine os pontos extremos de f(x, y) = x2 + y2 tais que y+ x = 1
f(x, y) = x2 + y2, g(x, y) = y+ x, k = 1
(2x, 2y) =∇f(x, y) = λ∇g(x, y)= λ(1, 1)

2x = λ · 1
2y = λ · 1
y+ x = 1
x = y=
1
2
, λ = 1
f
(
1
2
,
1
2
)
=
1
2
Exemplos
Máximos e mínimos com vínculos 6/22
Determine os pontos extremos de f(x, y) = x2 + y2 tais que y2 − x = 54
f(x, y) = x2 + y2, g(x, y) = y2 − x, k = 5
4
(2x, 2y) =∇f(x, y) = λ∇g(x, y)= λ(−1, 2y)
2x = λ · −1
2y = λ · 2y
y2 − x = 54
,

−2x = λ
2y = −2x · 2y
y2 − x = 54
,

−2x = λ
y(1 + 2x) = 0
y2 − x = 54
y = 0, x = −5
4
, λ =
5
2
, f
(
−5
4
, 0
)
=
25
16
x = −1
2
, y = ±
√
3
2
, λ = 1, f
(
−1
2
,±
√
3
2
)
= 1
Exemplos 005MLAnton887Ex3.txt
Máximos e mínimos com vínculos 7/22
Determine os pontos da esfera x2 + y2 + z2 = 36mais próximos e mais
distantes do ponto (1, 2, 2)
Função distância até (1, 2, 2):
d(x, y, z) =
√
(x− 1)2 + (y− 2)2 + (z− 2)2
d(x0, y0, z0) ≤ d(x, y, z) ≤ d(x1, y1, z1)√
(x0−1)2+(y0−2)2+(z0−2)2≤
√
(x−1)2+(y−2)2+(z−2)2≤
√
(x1−1)2+(y1−2)2+(z1−2)2
(x0−1)2+(y0−2)2+(z0−2)2≤(x−1)2+(y−2)2+(z−2)2≤(x1−1)2+(y1−2)2+(z1−2)2
{
ext. d(x,y,z)=√(x−1)2+(y−2)2+(z−2)2
sujeito a x2 + y2 + z2 = 36
⇔
{
ext. f(x,y,z)=(x−1)2+(y−2)2+(z−2)2
sujeito a x2 + y2 + z2 = 36
Exemplos 005MLAnton887Ex3.txt
Máximos e mínimos com vínculos 8/22
Determine os pontos da esfera x2 + y2 + z2 = 36mais próximos e mais
distantes do ponto (1, 2, 2)
f(x,y,z)=(x−1)2+(y−2)2+(z−2)2, g(x,y,z)=x2+y2+z2, k=36
(2(x− 1), 2(y− 2), 2(z− 2)) =∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z)= λ(2x, 2y, 2z)
2(x− 1) = λ · 2x
2(y− 2) = λ · 2y
2(z− 2) = λ · 2z
x2 + y2 + z2 = 36
,

x(1− λ) = 1
x(y− 2) = λ · xy = y(x− 1)
x(z− 2) = λ · xz = z(x− 1)
x2 + y2 + z2 = 36
,
Exemplos 005MLAnton887Ex3.txt
Máximos e mínimos com vínculos 9/22
Determine os pontos da esfera x2 + y2 + z2 = 36mais próximos e mais
distantes do ponto (1, 2, 2)
f(x,y,z)=(x−1)2+(y−2)2+(z−2)2, g(x,y,z)=x2+y2+z2, k=36
x(1− λ) = 1
x(y− 2) = λ · xy = y(x− 1)
x(z− 2) = λ · xz = z(x− 1)
x2 + y2 + z2 = 36
,

x(1− λ) = 1
−2x = −y
−2x = −z
x2 + y2 + z2 = 36
9x2 = 36, x = ±2
x = −2, y = z = −4, λ = 3
2
, d(−2,−4,−4) = 9
x = 2, y = z = 4, λ =
1
2
, d(2, 4, 4) = 3
ML - necessária 006Canuto-Tabacco279.ggb
Máximos e mínimos com vínculos 10/22
Determine, caso existam, os extremos de f(x, y) = 5
(
x
3 −
y4
4
)
no
conjunto x− y3 = 0.
f(x, y) = 5
(
x
3
− y
4
4
)
, g(x, y) = x− y3, k = 0(
5
3
,−5y3
)
=∇f(x, y) = λ∇g(x, y)= λ(1,−3y2)
5
3 = λ · 1
−5y3 = λ · −3y2
x− y3 = 0
,

5
3 = λ
y2(1− y) = 0
x− y3 = 0
,
ML - condição apenas necessária
Máximos e mínimos com vínculos 11/22
Determine, caso existam, os extremos de f(x, y) = 5
(
x
3 −
y4
4
)
no
conjunto x− y3 = 0.
5
3 = λ
y2(1− y) = 0
x− y3 = 0
y = 0, x = 0, λ =
5
3
, f (0, 0) = 0
y = 1, x = 1, λ =
5
3
, f (1, 1) =
5
12
z = f(y3, y) = 5
(
y3
3 −
y4
4
)
ML - duas restrições
Máximos e mínimos com vínculos 12/22
Queremos determinar os extremos dew = f(x, y, z) sujeita a duas
restrições g(x, y, z) = k e h(x, y, z) = c.
ML - duas restrições
Máximos e mínimos com vínculos 13/22
Teorema
Sejam f, g, h : A ⊂ Rn → R funções de classe C1. Denotemos por S1 um
conjunto de nível de g e por S2 um conjunto de nível de h. Seja
S = S1 ∩ S2. Se f tem um ponto demáximo ou demínimo x0 ∈ S e os
vetores∇g(x0) e∇h(x0) não são paralelos, então existem λ1, λ2 ∈ R
tais que:
∇f(x0) = λ1∇g(x0) + λ2∇h(x0).
Exemplos 007MLOnline245Ex7.txt
Máximos e mínimos com vínculos 14/22
Determine os valores máximos e mínimos de f(x, y, z) = x+ 2y+ z se
x2 + y2 = 1 e y+ z = 1.
f(x, y, z) = x+ 2y+ z, g(x, y, z) = x2 + y2, k = 1,
h(x, y, z) = y+ z, c = 1
∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
(1, 2, 1) = λ1(2x, 2y, 0) + λ2(0, 1, 1)
1 = λ1 · 2x+ λ2 · 0
2 = λ1 · 2y+ λ2 · 1
1 = λ1 · 0 + λ2 · 1
x2 + y2 = 1
y+ z = 1
,

0 = λ1 · 2(x− y)
1 = λ1 · 2y
1 = λ2
x2 + y2 = 1
y+ z = 1
,
Exemplos 007MLOnline245Ex7.txt
Máximos e mínimos com vínculos 14/22
Determine os valores máximos e mínimos de f(x, y, z) = x+ 2y+ z se
x2 + y2 = 1 e y+ z = 1.
f(x, y, z) = x+ 2y+ z, g(x, y, z) = x2 + y2, k = 1,
h(x, y, z) = y+ z, c = 1
∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
(1, 2, 1) = λ1(2x, 2y, 0) + λ2(0, 1, 1)
1 = λ1 · 2x+ λ2 · 0
2 = λ1 · 2y+ λ2 · 1
1 = λ1 · 0 + λ2 · 1
x2 + y2 = 1
y+ z = 1
,

0 = λ1 · 2(x− y)
1 = λ1 · 2y
1 = λ2
x2 + y2 = 1
y+ z = 1
,
Exemplos 007MLOnline245Ex7.txt
Máximos e mínimos com vínculos 14/22
Determine os valores máximos e mínimos de f(x, y, z) = x+ 2y+ z se
x2 + y2 = 1 e y+ z = 1.
f(x, y, z) = x+ 2y+ z, g(x, y, z) = x2 + y2, k = 1,
h(x, y, z) = y+ z, c = 1
∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
(1, 2, 1) = λ1(2x, 2y, 0) + λ2(0, 1, 1)
1 = λ1 · 2x+ λ2 · 0
2 = λ1 · 2y+ λ2 · 1
1 = λ1 · 0 + λ2 · 1
x2 + y2 = 1
y+ z = 1
,

0 = λ1 · 2(x− y)
1 = λ1 · 2y
1 = λ2
x2 + y2 = 1
y+ z = 1
,
Exemplos 007MLOnline245Ex7.txt
Máximos e mínimos com vínculos 14/22
Determine os valores máximos e mínimos de f(x, y, z) = x+ 2y+ z se
x2 + y2 = 1 e y+ z = 1.
f(x, y, z) = x+ 2y+ z, g(x, y, z) = x2 + y2, k = 1,
h(x, y, z) = y+ z, c = 1
∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
(1, 2, 1) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
1 = λ1 · 2x+ λ2 · 0
2 = λ1 · 2y+ λ2 · 1
1 = λ1 · 0 + λ2 · 1
x2 + y2 = 1
y+ z = 1
,

0 = λ1 · 2(x− y)
1 = λ1 · 2y
1 = λ2
x2 + y2 = 1
y+ z = 1
,
Exemplos 007MLOnline245Ex7.txt
Máximos e mínimos com vínculos 14/22
Determine os valores máximos e mínimos de f(x, y, z) = x+ 2y+ z se
x2 + y2 = 1 e y+ z = 1.
f(x, y, z) = x+ 2y+ z, g(x, y, z) = x2 + y2, k = 1,
h(x, y, z) = y+ z, c = 1
∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
(1, 2, 1) = λ1(2x, 2y, 0) + λ2∇h(x, y, z)
1 = λ1 · 2x+ λ2 · 0
2 = λ1 · 2y+ λ2 · 1
1 = λ1 · 0 + λ2 · 1
x2 + y2 = 1
y+ z = 1
,

0= λ1 · 2(x− y)
1 = λ1 · 2y
1 = λ2
x2 + y2 = 1
y+ z = 1
,
Exemplos 007MLOnline245Ex7.txt
Máximos e mínimos com vínculos 15/22
Determine os valores máximos e mínimos de f(x, y, z) = x+ 2y+ z se
x2 + y2 = 1 e y+ z = 1.
∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
0 = λ1 · 2(x− y)
1 = λ1 · 2y
1 = λ2
x2 + y2 = 1
y+ z = 1
x = y =
√
2
2
, z =
2−
√
2
2
, λ1 =
√
2
2
, λ2 = 1
x = y = −
√
2
2
, z =
2 +
√
2
2
, λ1 = −
√
2
2
, λ2 = 1
f
(√
2
2
,
√
2
2
,
2−
√
2
2
)
= 1 +
√
2 f
(
−
√
2
2
,−
√
2
2
,
2 +
√
2
2
)
= 1−
√
2
Exemplos 007MLOnline245Ex7.txt
Máximos e mínimos com vínculos 15/22
Determine os valores máximos e mínimos de f(x, y, z) = x+ 2y+ z se
x2 + y2 = 1 e y+ z = 1.
∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
0 = λ1 · 2(x− y)
1 = λ1 · 2y
1 = λ2
x2 + y2 = 1
y+ z = 1
λ1 = 0, impossível
f
(√
2
2
,
√
2
2
,
2−
√
2
2
)
= 1 +
√
2 f
(
−
√
2
2
,−
√
2
2
,
2 +
√
2
2
)
= 1−
√
2
Exemplos 008MLOnline237Ex7-2.txt
Máximos e mínimos com vínculos 16/22
Determine o ponto da interseção dos planos x+ y+ z = 1 e
3x+ 2y+ z = 6mais próximo da origem.
Função distância até a origem: d(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2
d(x0, y0, z0) ≤ d(x, y, z)√
x20 + y
2
0 + z
2
0 ≤
√
x2 + y2 + z2
x20 + y
2
0 + z
2
0 ≤ x2 + y2 + z2

min d(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2
sujeito a x+ y+ z = 1
3x+ 2y+ z = 6
⇔

min f(x, y, z) = x2 + y2 + z2
sujeito a x+ y+ z = 1
3x+ 2y+ z = 6
Exemplos 008MLOnline237Ex7-2.txt
Máximos e mínimos com vínculos 17/22
Determine o ponto da interseção dos planos x+ y+ z = 1 e
3x+ 2y+ z = 6mais próximo da origem.
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, g(x, y, z) = x+ y+ z, k = 1,
h(x, y, z) = 3x+ 2y+ z, c = 6
∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
(2x, 2y, 2z) = λ1(1, 1, 1) + λ2(3, 2, 1)
2x = λ1 · 1 + λ2 · 3
2y = λ1 · 1 + λ2 · 2
2z = λ1 · 1 + λ2 · 1
x+ y+ z = 1
3x+ 2y+ z = 6
,

2 = 3λ1 + 6λ2
12 = 6λ1 + 14λ2
2z = λ1 · 1 + λ2 · 1
x+ y+ z = 1
3x+ 2y+ z = 6
,
Exemplos 008MLOnline237Ex7-2.txt
Máximos e mínimos com vínculos 17/22
Determine o ponto da interseção dos planos x+ y+ z = 1 e
3x+ 2y+ z = 6mais próximo da origem.
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, g(x, y, z) = x+ y+ z, k = 1,
h(x, y, z) = 3x+ 2y+ z, c = 6
∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
(2x, 2y, 2z) = λ1(1, 1, 1) + λ2(3, 2, 1)
2x = λ1 · 1 + λ2 · 3
2y = λ1 · 1 + λ2 · 2
2z = λ1 · 1 + λ2 · 1
x+ y+ z = 1
3x+ 2y+ z = 6
,

2 = 3λ1 + 6λ2
12 = 6λ1 + 14λ2
2z = λ1 · 1 + λ2 · 1
x+ y+ z = 1
3x+ 2y+ z = 6
,
Exemplos 008MLOnline237Ex7-2.txt
Máximos e mínimos com vínculos 17/22
Determine o ponto da interseção dos planos x+ y+ z = 1 e
3x+ 2y+ z = 6mais próximo da origem.
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, g(x, y, z) = x+ y+ z, k = 1,
h(x, y, z) = 3x+ 2y+ z, c = 6
∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
(2x, 2y, 2z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
2x = λ1 · 1 + λ2 · 3
2y = λ1 · 1 + λ2 · 2
2z = λ1 · 1 + λ2 · 1
x+ y+ z = 1
3x+ 2y+ z = 6
,

2 = 3λ1 + 6λ2
12 = 6λ1 + 14λ2
2z = λ1 · 1 + λ2 · 1
x+ y+ z = 1
3x+ 2y+ z = 6
,
Exemplos 008MLOnline237Ex7-2.txt
Máximos e mínimos com vínculos 17/22
Determine o ponto da interseção dos planos x+ y+ z = 1 e
3x+ 2y+ z = 6mais próximo da origem.
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, g(x, y, z) = x+ y+ z, k = 1,
h(x, y, z) = 3x+ 2y+ z, c = 6
∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
(2x, 2y, 2z) = λ1(1, 1, 1) + λ2∇h(x, y, z)
2x = λ1 · 1 + λ2 · 3
2y = λ1 · 1 + λ2 · 2
2z = λ1 · 1 + λ2 · 1
x+ y+ z = 1
3x+ 2y+ z = 6
,

2 = 3λ1 + 6λ2
12 = 6λ1 + 14λ2
2z = λ1 · 1 + λ2 · 1
x+ y+ z = 1
3x+ 2y+ z = 6
,
Exemplos 008MLOnline237Ex7-2.txt
Máximos e mínimos com vínculos 17/22
Determine o ponto da interseção dos planos x+ y+ z = 1 e
3x+ 2y+ z = 6mais próximo da origem.
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, g(x, y, z) = x+ y+ z, k = 1,
h(x, y, z) = 3x+ 2y+ z, c = 6
∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
(2x, 2y, 2z) = λ1(1, 1, 1) + λ2(3, 2, 1)
2x = λ1 · 1 + λ2 · 3
2y = λ1 · 1 + λ2 · 2
2z = λ1 · 1 + λ2 · 1
x+ y+ z = 1
3x+ 2y+ z = 6
,

2 = 3λ1 + 6λ2
12 = 6λ1 + 14λ2
2z = λ1 · 1 + λ2 · 1
x+ y+ z = 1
3x+ 2y+ z = 6
,
Exemplos 008MLOnline237Ex7-2.txt
Máximos e mínimos com vínculos 17/22
Determine o ponto da interseção dos planos x+ y+ z = 1 e
3x+ 2y+ z = 6mais próximo da origem.
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, g(x, y, z) = x+ y+ z, k = 1,
h(x, y, z) = 3x+ 2y+ z, c = 6
∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
(2x, 2y, 2z) = λ1(1, 1, 1) + λ2(3, 2, 1)
2x = λ1 · 1 + λ2 · 3
2y = λ1 · 1 + λ2 · 2
2z = λ1 · 1 + λ2 · 1
x+ y+ z = 1
3x+ 2y+ z = 6
,

2 = 3λ1 + 6λ2
2y = λ1 · 1 + λ2 · 2
2z = λ1 · 1 + λ2 · 1
x+ y+ z = 1
3x+ 2y+ z = 6
,
Exemplos 008MLOnline237Ex7-2.txt
Máximos e mínimos com vínculos 17/22
Determine o ponto da interseção dos planos x+ y+ z = 1 e
3x+ 2y+ z = 6mais próximo da origem.
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, g(x, y, z) = x+ y+ z, k = 1,
h(x, y, z) = 3x+ 2y+ z, c = 6
∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
(2x, 2y, 2z) = λ1(1, 1, 1) + λ2(3, 2, 1)
6x = 3λ1 · 1 + 3λ2 · 3
4y = 2λ1 · 1 + 2λ2 · 2
2z = λ1 · 1 + λ2 · 1
x+ y+ z = 1
3x+ 2y+ z = 6
,

2 = 3λ1 + 6λ2
12 = 6λ1 + 14λ2
2z = λ1 · 1 + λ2 · 1
x+ y+ z = 1
3x+ 2y+ z = 6
,
Exemplos
Máximos e mínimos com vínculos 18/22
Determine o ponto da interseção dos planos x+ y+ z = 1 e
3x+ 2y+ z = 6mais próximo da origem.
∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
2 = 3λ1 + 6λ2
6 = 3λ1 + 7λ2
2z = λ1 · 1 + λ2 · 1
x+ y+ z = 1
3x+ 2y+ z = 6
,

2 = 3λ1 + 6λ2
6 = 3λ1 + 7λ2
2z = λ1 · 1 + λ2 · 1
x+ y = 1− z = 83
3x+ 2y = 6− z = 233
λ2 = 4, λ1 = −
22
3
, z = −5
3
x =
7
3
, y =
1
3
, d
(
7
3
,
1
3
,−5
3
)
=
√
75
9
=
5
√
3
3
ML - hipótese violada 009Border3Ex5.txt
Máximos e mínimos com vínculos 19/22
Encontre, se existir ummínimo de f(x, y, z) = x+ z2 sujeito às restrições
g(x, y, z) = y− x2 = 0 e h(x, y, z) = y+ x2 = 0.
f(x, y, z) = x+ z2, g(x, y, z) = y− x2, k = 0,
h(x, y, z) = y+ x2, c = 0
∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
(1, 0, 2z) = λ1(−2x, 1, 0) + λ2(2x, 1, 0)
1 = λ1 · (−2x) + λ2 · 2x
0 = λ1 · 1 + λ2 · 1
2z = λ1 · 0 + λ2 · 0
y− x2 = 0
y+ x2 = 0
,

1 = 2x(λ2 − λ1)
0 = λ1 + λ2
2z = 0
y− x2 = 0
y+ x2 = 0
,
ML - hipótese violada 009Border3Ex5.txt
Máximos e mínimos com vínculos 19/22
Encontre, se existir ummínimo de f(x, y, z) = x+ z2 sujeito às restrições
g(x, y, z) = y− x2 = 0 e h(x, y, z) = y+ x2 = 0.
f(x, y, z) = x+ z2, g(x, y, z) = y− x2, k = 0,
h(x, y, z) = y+ x2, c = 0
∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
(1, 0, 2z) = λ1(−2x, 1, 0) + λ2(2x, 1, 0)
1 = λ1 · (−2x) + λ2 · 2x
0 = λ1 · 1 + λ2 · 1
2z = λ1 · 0 + λ2 · 0
y− x2 = 0
y+ x2 = 0
,

1 = 2x(λ2 − λ1)
0 = λ1 + λ2
2z = 0
y− x2 = 0
y+ x2 = 0
,
ML - hipótese violada 009Border3Ex5.txt
Máximos e mínimos com vínculos 19/22
Encontre, se existir ummínimo de f(x, y, z) = x+ z2 sujeito às restrições
g(x, y, z) = y− x2 = 0 e h(x, y, z) = y+ x2 = 0.
f(x, y, z) = x+ z2, g(x, y, z) = y− x2, k = 0,
h(x, y, z) = y+ x2, c = 0
∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
(1, 0, 2z) = λ1(−2x, 1, 0) + λ2(2x, 1, 0)
1 = λ1 · (−2x) + λ2 · 2x
0 = λ1 · 1 + λ2 · 1
2z = λ1 · 0 + λ2 · 0
y− x2 = 0
y+ x2 = 0
,

1 = 2x(λ2 − λ1)
0 = λ1 + λ2
2z = 0
y− x2 = 0
y+ x2 = 0
,
ML - hipótese violada 009Border3Ex5.txt
Máximos e mínimos com vínculos 19/22
Encontre, se existir ummínimo de f(x, y, z) = x+ z2 sujeito às restrições
g(x, y, z) = y− x2 = 0 e h(x, y, z) = y+ x2 = 0.
f(x, y, z) = x+ z2, g(x, y, z) = y− x2, k = 0,
h(x, y, z) = y+ x2, c = 0
∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
(1, 0, 2z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
1 = λ1 · (−2x) + λ2 · 2x
0 = λ1 · 1 + λ2 · 1
2z = λ1 · 0 + λ2 · 0
y− x2 = 0
y+ x2 = 0
,

1 = 2x(λ2 − λ1)
0 = λ1 + λ2
2z = 0
y− x2 = 0
y+ x2 = 0
,
ML - hipótese violada 009Border3Ex5.txtMáximos e mínimos com vínculos 19/22
Encontre, se existir ummínimo de f(x, y, z) = x+ z2 sujeito às restrições
g(x, y, z) = y− x2 = 0 e h(x, y, z) = y+ x2 = 0.
f(x, y, z) = x+ z2, g(x, y, z) = y− x2, k = 0,
h(x, y, z) = y+ x2, c = 0
∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇h(x, y, z)
(1, 0, 2z) = λ1(−2x, 1, 0) + λ2∇h(x, y, z)
1 = λ1 · (−2x) + λ2 · 2x
0 = λ1 · 1 + λ2 · 1
2z = λ1 · 0 + λ2 · 0
y− x2 = 0
y+ x2 = 0
,

1 = 2x(λ2 − λ1)
0 = λ1 + λ2
2z = 0
y− x2 = 0
y+ x2 = 0
,
ML - hipótese violada 009Border3Ex5.txt
Máximos e mínimos com vínculos 20/22
Encontre, se existir ummínimo de f(x, y, z) = x+ z2 sujeito às restrições
g(x, y, z) = y− x2 = 0 e h(x, y, z) = y+ x2 = 0.
(1, 0, 2z) = λ1(−2x, 1, 0) + λ2∇(2x, 1, 0)
1 = 2x(λ2 − λ1)
0 = λ1 + λ2
2z = 0
y− x2 = 0
y+ x2 = 0
,
x2 = y = −x2, x = 0, y = 0, z = 0,
Com x = 0, não existe solução para
1 = 2x(λ2 − λ1)
∇g(x, y, z) = ∇h(x, y, z), x = 0,
∇g(x, y, z),∇h(x, y, z) li, x ̸= 0
{y− x2 = 0} ∩ {y+ x2 = 0} = eixo z
w = f(0, 0, z) = z2, a origem émínimo!
Aplicações
Máximos e mínimos com vínculos 21/22
Aplicações
Máximos e mínimos com vínculos 21/22
Aplicações
Máximos e mínimos com vínculos 21/22
Aplicações
Máximos e mínimos com vínculos 21/22
Fontes
Máximos e mínimos com vínculos 22/22
https://www.geogebra.org/m/PSzG4pe6
https://www.geogebra.org/m/gXyun8mD
	Máximos e mínimos com vínculos