MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

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MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 
O objetivo deste item é estudar o método dos Multiplicadores de Lagrange 
para resolver problemas de máximos ou mínimos condicionados, isto é, 
sujeitos a um vínculo, ou seja, a uma equação. 
Solucionar problemas de extremos vinculados requer encontrar extremos de 
uma função f de diversas variáveis quando estas não são independentes 
mais, satisfazem uma ou mais condições dadas. Essas condições, 
normalmente, são representadas por equações, as quais são chamadas 
equações de vínculos. 
Inicialmente, vamos resolver problemas de extremos condicionados, com os 
resultados tradicionais de máximo ou mínimo relativos, utilizados para 
funções de duas variáveis reais x e y. 
Exemplo 1: 
Calcular o valor máximo de f (x , y , z) = x y z , sujeito à condição 
g (x, y, z ) = 42 , onde g (x, y, z ) = x + y + z . 
Solução: 
 Equação de vínculo ⇒ x + y + z = 42 
 Resolver a equação de vínculo para uma variável, digamos para z 
 ⇓ 
z = 42 – x – y 
 Função a ser maximinizada 
 f (x , y , z ) = f ( x , y , 42 – x – y ) = x y ( 42 – x – y ) 
 Portanto, para resolver a questão proposta, basta calcular o máximo de 
L(x , y ) = x y ( 42 – x – y ) com os procedimentos conhecidos para 
máximos ou mínimos relativos de L (x , y ). 
 Neste caso, os pontos críticos de L são dados pelas soluções do sistema 
 {
𝐿𝑥 = 0
𝐿𝑦 = 0
 . 
 Resolvendo o sistema {
𝐿𝑥 = 0
𝐿𝑦 = 0
 ⇒ {
𝑦 ( 42 − 𝑥 − 𝑦 ) − 𝑥 𝑦 = 0
𝑥 ( 42 − 𝑥 − 𝑦 ) − 𝑥 𝑦 = 0
 
 ⇒ {
 42 𝑦 − 𝑥 𝑦 − 𝑦2 − 𝑥 𝑦 = 0
 42 𝑥 − 𝑥2 − 𝑥 𝑦 − 𝑥 𝑦 = 0
 
 ⇒ {
42 𝑦 − 2𝑥 𝑦 − 𝑦2 = 0
 42 𝑥 − 𝑥2 − 2𝑥 𝑦 = 0
 
 ⇒ S: {
𝑦 ( 42 − 2 𝑥 − 𝑦 ) = 0
 𝑥 ( 42 − 𝑥 − 2 𝑦 ) = 0
 
 Resolvendo o sistema S, tem-se: 
 {
y = 0 ou 42 – 2 x – y = 0
x = 0 ou 42 – x – 2 y = 0 
 ⇒ 
 Daí temos: 
 x = 0 ou y = 0 ou {
 42 – 2 x – y = 0
 42 – x – 2 y = 0 
 ⇒ 
 x = 0 ou y = 0 ou x = 14 ou y = 14 . 
 Assim, obtêm-se os pontos críticos: 
 A ( 0 , 0 ) , B ( 0 , 14 ) , C ( 14 , 0 ) e D ( 14 , 14 ) . 
 Preparativos para Aplicar o Teste da Derivada Segunda na função 
 L( x, y ) = x y ( 42 – x – y ) = 42 x y - 𝑥2y - 𝑥𝑦2 
 𝐿𝑥 = 42 y – 2xy - 𝑦
2 
 𝐿𝑥𝑥 = - 2 y 
 𝐿𝑦 = 42 x - 𝑥
2 – 2 x y 
 𝐿𝑦𝑦 = - 2x 
 𝐿𝑥𝑦 = 42 – 2 x – 2 y 
 ∆ = 𝐿𝑥𝑥 . 𝐿𝑦𝑦 – ( 𝐿𝑥𝑦 ) 
2 = ( - 2 y ) . ( - 2 x ) – ( 42 – 2y – 2x )2 
 ∆ = 4 x y - ( 42 – 2y – 2x )2 
 Testando nos pontos críticos: 
 Veja que em A ( 0 , 0 ) , B ( 0 , 14 ) e C ( 14 , 0 ) tem-se que 
 ∆ ( 𝐴 ) < o , ∆ ( 𝐵 ) < o e ∆ ( 𝐶 ) < o. 𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, esses pontos são todos 
ponto de sela. 
 Agora, no ponto D ( 14 , 14 ) tem-se: 
• ∆ ( 14 , 14 ) = 4 . 14 . 14 - ( 42 – 2. 14 – 2. 14 )2 = 
 = 784 – 196 = 588 > 0 
• 𝐿𝑥𝑥 ( 14 , 14 ) = - 2 . 14 = - 28 < o 
 Consequentemente, o ponto D ( 14, 14 ) é ponto de máximo relativo, 
 o qual na verdade fornece um valor máximo absoluto para L em D, a saber 
 L ( 14, 14 ) = 14 . 14 . ( 42 – 14 – 14 ) = 14 . 14 . 14 = 2744. 
 Dessa forma, o valor máximo de f( x, y , z ) = x y z , sujeito à condição 
 g (x, y, z ) = x + y + z = 42 é 2744. 
 Exemplos envolvendo extremos não vinculados e extremos vinculados 
 Exemplo 2 : 
 Calcular o valor máximo de f(x , y) = 4 - 𝑥2 − 𝑦2 
 Solução: 
 Resolver o sistema {
𝑓𝑥 = 0
𝑓𝑦 = 0
 ⇒ {
− 2 𝑥 = 0
− 2 𝑦 = 0
 ⇒ {
𝑥 = 0
 𝑦 = 0
 
 Logo o ponto crítico é P (0 , 0 ) 
 Análise desse ponto crítico: 
 f(x , y) = 4 – 𝑥2 − 𝑦2 
 𝑓𝑥 = - 2 x 
 𝑓𝑥𝑥 = - 2 
 𝑓𝑦 = - 2 y 
 𝑓𝑦𝑦 = - 2 
 𝑓𝑥𝑦 = 0 
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠ã𝑜: 
• ∆ = 𝑓𝑥 . 𝑓𝑦 − ( 𝑓𝑥𝑦 ) 
2= (- 2 ) . ( - 2 ) – 0 2 = 4 > 0 
• 𝑓𝑥𝑥 = - 2 
 Assim, ∆ ( 1, 1) = 4 > 0 e 𝑓𝑥𝑥( 1, 1) = - 2 < 0 
 ⇓ 
 P (0 , 0) é ponto de máximo relativo para f(x , y) = 4 – 𝑥2 − 𝑦2 e como só 
existe este ponto de máximo, trata-se de um ponto de máximo absoluto. 
Nesse caso, o valor máximo absoluto de f é f ( 0 , 0) = 4. 
 Exemplo 3: 
 Calcular o valor máximo de f(x , y) = 4 – 𝑥2 − 𝑦2 , condicionado a x + y = 2. 
Solução: 
Equação de vínculo : x + y = 2. 
Explicitando y como função de x ⇒ y = 2 – x 
Função a ser maximizada : 
L(x ) = f ( x , 2 – x ) = 4 – 𝑥2 − ( 2 − 𝑥 )2 = - 2 𝑥2 + 4 x 
Pontos críticos de L(x) = - 2 𝑥2 + 4 x 
L’ ( x) = - 4 x + 4 
L’‘ ( x ) = - 4 
L’ ( x) = 0 ⇒ - 4 x + 4 = 0 ⇒ x =1 
Mas, L’‘ ( 1 ) = - 4 < 0 ⇒ o ponto S ( 1 , L (1) ) é de valor máximo para L. 
Conclusão: 
O valor máximo de f(x , y) = 4 – 𝑥2 − 𝑦2 , condicionado a x + y = 2, é igual 
 a L(1) = - 2 . ( 1 )2 + 4 . 1 = 2 . 
Síntese sobre cálculo de extremos livres e de extremos condicionados 
Revendo os exemplos 2 e 3 fica caracterizado as duas situações: 
 
a) cálculo de extremos livres de f(x , y) = 4 - 𝑥2 − 𝑦2 , sem restrição. 
Estratégia: 
Usar resultados tradicionais e obter máximo { f(x , y )} = 4 , alcançado no 
ponto P ( 0, 0 ) . 
b) cálculo de extremos de f(x , y) = 4 - 𝑥2 − 𝑦2 , sujeito a x + y = 2. 
Estratégia: 
Explicitar a variável y em termos de x na equação de vínculo. Em seguida 
substituir essa variável y na equação de f (x , y) , obtendo a função 
auxiliar L ( x ) = f ( x , 2 – x ) = 4 - 𝑥2 − ( 2 − 𝑥)2 = - 2 𝑥2 + 4 x. 
Usar resultados tradicionais para calcular o valor máximo de L(x) em 
x = 1, a saber L(1) = -2 + 4 =2 . 
Assim, o valor máximo de f(x , y) = 4 - 𝑥2 − 𝑦2 , sujeito a condição 
x + y = 2 , é L(1) =2. 
A seguir, a configuração gráfica estabelece o entendimento desses dois 
conceitos: 
 
 
 
 
 
 
 Método dos Multiplicadores de Lagrange 
Observando o Exemplo 1 , vimos que para que ele fosse solucionado, foi 
necessário obter uma função a L( x , y ) = x y ( 42 – x – y ) de duas variáveis 
reais x e y , através da substituição de z na equação de f (x , y , z ) = x y z, 
pela expressão z = 42 – x – y obtida da equação de vínculo x +y +z = 42. 
Como nem sempre é possível explicitar na equação de vínculo, uma 
variável em função das outras duas, foi idealizado um outro procedimento 
para determinar os pontos críticos, no caso de problemas com máximos ou 
mínimos condicionados. Este método, é atribuído Joseph L. Lagrange 
(1736 – 1813), sendo conhecido como método dos Multiplicadores de 
Lagrange. 
A seguir vamos descrever em linhas gerais esse método e, inclusive, ilustrá-
lo com exemplos. 
Problemas envolvendo funções de duas variáveis e uma restrição 
Proposição: 
Seja f(x , y) diferenciável em um conjunto aberto U. Seja g(x , y) uma função 
com derivadas parciais contínuas em U tal que ∇ g ( x , y) ≠ 0 para todo 
( x , y) ∈ V , onde V = { ( x, y ) ; g( x, y) = 0 } . Uma condição necessária para 
que ( 𝒙𝒐 , 𝒚𝒐 ) ∈ V seja extremante de f em V é que, para algum 𝜆 real , 
 ∇ f ( 𝒙𝒐 , 𝒚𝒐 ) = 𝜆 ∇ g ( 𝒙𝒐 , 𝒚𝒐 ) . 
 A proposição anterior assegura que os pontos de máximo e/ou mínimo 
condicionados de f devem satisfazer, para algum 𝜆 real , as equações: 
 ( S ) : 
{
 
 
𝜕 𝑓
𝜕 𝑥
= 𝜆 
𝜕 𝑔
𝜕 𝑥
𝜕 𝑓
𝜕 𝑦
= 𝜆 
𝜕 𝑔
𝜕 𝑦
𝑔( 𝑥 , 𝑦) = 0
 
 
O número real 𝜆 que torna compatívelo sistema ( S ) é chamado 
Multiplicador de Lagrange. 
O método proposto por Lagrange consiste em: 
a) definir a função auxiliar L de três variáveis x , y e 𝜆 , tal que 
L ( x , y , 𝜆 ) = f (x , y) - 𝜆 g ( x, y) ; 
 
b) Observar que o sistema ( S) é equivalente a ∇ L = 0 ou seja, 
 
 ( 𝑆1 ):
{
 
 
 
 
𝜕 𝐿
𝜕 𝑥
= 0
𝜕𝐿 
𝜕 𝑦
= 0
𝜕 𝐿
𝜕 𝜆
= 0
 
 Nessas condições, os possíveis extremantes locais de f sobre a condição 
g ( x , y ) = 0 são pesquisados entre os pontos críticos de L , através das 
soluções do sistema ( 𝑆1 ) . 
 Assim, os valores máximos e/ou mínimos de f condicionados a 
g( x , y) = 0 coincidem com os valores máximos e/ou mínimos livres de 
L. Ressalta-se que o método dos Multiplicadores de Lagrange só 
permite determinar potenciais pontos extremantes. A classificação 
desses pontos deve ser feita por outros meios ( definições, argumentos 
geométricos etc). 
 Exemplo 4: 
 Um galpão retangular deve ser construído em um terreno com a forma 
de um triângulo delimitado pelo eixo-x, pelo eixo-y e pela reta x + 2 y = 
20, conforme figura indicada a seguir. Usar o Método dos 
Multiplicadores de Lagrange para determinar a área máxima possível 
para esse galpão. 
 10 
 
 20 
 
 
 Solução: 
A solução deste problema consiste em maximizar a área do retângulo 
dada por f( x, y ) = x y , sujeito a condição x + 2 y =20 ( isto significa 
que o retângulo tem os lados paralelos aos eixos, com um vértice 
apoiado na reta ) . 
Função lagrangeana auxiliar ⇒ L ( x , y , 𝜆 ) = f(x , y) - 𝜆 g (x , y ) 
 ⇓ 
 L ( x , y , 𝜆 ) = x y - 𝜆 ( x + 2 y – 20 ) 
 Sistema para achar os pontos críticos de L: 
 
{
 
 
 
 
𝜕 𝐿
𝜕 𝑥
= 0
𝜕𝐿 
𝜕 𝑦
= 0
𝜕 𝐿
𝜕 𝜆
= 0
 ⇒ {
𝑦 − 𝜆 = 0
𝑥 − 2𝜆 = 0
𝑥 + 2 𝑦 − 20 = 0
 
Substituindo a 1ª equação e a 2ª equação na 3ª equação temos 
2 𝜆 + 2 𝜆 = 20 ⇒ 𝜆 = 5 e daí, segue que x = 10 e y = 5 . 
Logo, o ponto ( 10 , 5 ) fornece o máximo valor para f, sujeito a 
condição x + 2 y = 20. 
Dessa forma, as dimensões do galpão que possibilitam área máxima 
são x = 10 m e y = 5 m. Consequentemente, a área máxima do galpão 
nestas condições será A = 10 m . 5 m = 50 m2. 
Problemas envolvendo funções de três variáveis e uma restrição 
Proposição: 
Seja f(x , y , z) diferenciável em um conjunto aberto U. Seja g(x , y, z ) uma 
função com derivadas parciais contínuas em U tal que ∇ g ( x , y , z ) ≠ 0 
para todo ( x , y, z ) ∈ V , onde V = { ( x, y, z ) ; g( x, y , z ) = 0 } . Uma 
condição necessária para que ( 𝒙𝒐 , 𝒚𝒐 , 𝒛𝒐) ∈ V seja extremante de f em 
V é que, para algum 𝜆 real , 
 ∇ f ( 𝒙𝒐 , 𝒚𝒐 , 𝒛𝒐) ) = 𝜆 ∇ g ( 𝒙𝒐 , 𝒚𝒐 , 𝒛𝒐) . 
 A proposição anterior assegura que os pontos de máximo e/ou mínimo 
condicionados de f devem satisfazer, para algum 𝜆 real , as equações: 
 ( s) : 
{
 
 
 
 
𝜕 𝑓
𝜕 𝑥
= 𝜆 
𝜕 𝑔
𝜕 𝑥
𝜕 𝑓
𝜕 𝑦
= 𝜆 
𝜕 𝑔
𝜕 𝑦
𝜕 𝑓
𝜕 𝑧
= 𝜆 
𝜕 𝑔
𝜕 𝑧
𝑔( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 0
 
O número real 𝜆 que torna compatível o sistema ( S ) é chamado 
Multiplicador de Lagrange. 
O método proposto por Lagrange consiste em: 
c) definir a função auxiliar L de quatro variáveis x , y , z e 𝜆 , tal que 
L ( x , y , z , 𝜆 ) = f (x , y , z ) - 𝜆 g ( x, y , z ) ; 
 
d) Observar que o sistema ( S) é equivalente a ∇ L = 0 ou seja, 
 
 ( 𝑆1 ):
{
 
 
 
 
 
 
 
 
𝜕 𝐿
𝜕 𝑥
= 0
𝜕𝐿 
𝜕 𝑦
= 0
𝜕𝐿 
𝜕 𝑧
= 0
𝜕 𝐿
𝜕 𝜆
= 0
 
 Nessas condições, os possíveis extremantes locais de f sobre a condição 
g ( x , y , z ) = 0 são pesquisados entre os pontos críticos de L , através 
das soluções do sistema ( 𝑆1 ) . 
 Assim, os valores máximos e/ou mínimos de f condicionados a 
g( x , y , z ) = 0 coincidem com os valores máximos e/ou mínimos livres 
de L. Ressalta-se que o método dos Multiplicadores de Lagrange só 
permite determinar potenciais pontos extremantes. A classificação 
desses pontos deve ser feita por outros meios ( definições, argumentos 
geométricos etc). 
 Exemplo 5: 
 Calcular o valor máximo de f (x , y , z) = x y z , sujeito à condição 
g (x, y, z ) = 42 , onde g (x, y, z ) = x + y + z . 
Solução: 
 Resolver este problema consiste em maximizar a função f(x,y, z) = xyz, 
sujeito a condição x + y + z = 42 
 Função lagrangeana auxiliar ⇒ L ( x , y , z, 𝜆 ) = f(x , y , z ) - 𝜆 g (x , y , z) 
 ⇓ 
 L ( x , y , z , 𝜆 ) = x y z - 𝜆 ( x + y + z – 42 ) 
 Sistema para achar os pontos críticos de L: 
 
 
{
 
 
 
 
𝜕 𝐿
𝜕 𝑥
= 0
𝜕𝐿 
𝜕 𝑦
= 0
𝜕𝐿 
𝜕 𝑧
= 0
𝜕 𝐿
𝜕 𝜆
= 0
 ⇒ {
𝑦 𝑧 − 𝜆 = 0
𝑥 𝑧 − 𝜆 = 0
𝑥 𝑦 − 𝜆 = 0
−( 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 42) = 0
 
 
 Multiplicando a 1ª equação por x ⇒ xyz - 𝜆𝑥 = 0 
 Multiplicando a 2ª equação por Y ⇒ xyz - 𝜆 𝑦 = 0 
 Multiplicando a 3ª equação por z ⇒ xyz - 𝜆𝑧 = 0 
 Somando as três parcelas ⇒ 3 xyz - 𝜆 ( x + y + z ) = 0 
 ⇒ 3 xyz – 42 𝜆 = 0 ⇒ xyz – 14 𝜆 =0 ⇒ xyz = 14 𝜆 
 ⇒ 𝝀 = 1 / 14 . xyz 
 Substituindo o valor de 𝜆 na 1ª , 2ª e 3ª equação, segue que: 
a) 𝑦 𝑧 − 𝜆 = 0 ⇒ yz - 
1
14
 x y z = 0 ⇒ yz ( 1 - 
1
14
 x ) = 0 
 ⇒ 1 - 
1
14
 x = 0 ⇒ x = 14 
b) 𝑥 𝑧 − 𝜆 = 0 ⇒ xz - 
1
14
 x y z = 0 ⇒ xz ( 1 - 
1
14
 y ) =0 ⇒ y = 14 
c) 𝑥 𝑦 − 𝜆 = 0 ⇒ 𝑥y - 
1
14
 x y z = 0 ⇒ xy( 1 - 
1
14
 z ) =0 ⇒ z = 14 
Veja que o ponto P (14, 14 , 14 ) está sobre o vínculo x + y + z = 42, 
pois 14 + 14 + 14 = 42. Além disso, o único ponto extremante 
condicionado da função f(x, y , z) é o ponto P (14, 14 , 14 ). Logo, o 
valor de f nesse ponto é f ( 14, 14 , 14 ) = 143 = 2744 .