Calculo-Aula 08

Prévia do material em texto

MAT – 001 – CÁLCULO 1 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
CÁLCULO 1 – AULA 08 
1.11 – FUNÇÕES HIPERBÓLICAS: 
 
1.11.1 – INTRODUÇÃO: 
 
O estudo de Funções Hiperbólicas visa a simplificar e resolver uma infinidade de problemas 
matemáticos e físicos que envolvem combinações de Funções Exponenciais de base Natural. 
Chamamos de exponencial ou logaritmo de base natural àqueles cuja base é o número 
irracional e, chamado de Número Neperiano e aproximadamente igual a 2,718. 
Assim: ⇒xe exponencial de base natural 
 ⇒xelog logaritmo de base natural 
Teremos oportunidade de conhecer e definir este número irracional com todos os detalhes no 
próximo capítulo, quando tratarmos de Limites. 
Por enquanto, é suficiente aceitarmos a definição dada a este número e realizarmos 
operações com ele, com faríamos com qualquer outro número irracional. 
Teremos oportunidade de verificar, futuramente, que o Número Neperiano representa para o 
Cálculo uma importância igual ou até maior que alguns números irracionais conhecidos (e 
essenciais) como são os números π , 2 , 3 , etc. 
 
1.11.2 – ORIGEM DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS: 
 
Consideremos a circunferência de raio unitário e centro na origem dos eixos coordenados, 
cuja equação é 122 =+ yx . 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
122 =+ yx 
0 
y 
x 
α 
MAT – 001 – CÁLCULO 1 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
 
 
Da Trigonometria sabemos que, para um determinado ângulo α, temos: 
αcos=x ⇒abscissa da circunferência 
⇒= αseny ordenada da circunferência 
Vemos que estas expressões satisfazem a equação da circunferência 122 =+ yx . 
Vamos considerar, agora, a Hipérbole Eqüilátera 122 =− yx , cujo gráfico é mostrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos mostrar que as expressões 
2
αα −+
=
ee
x e 
2
αα −−
=
ee
y , com ℜ∈α , satisfazem a 
equação desta hipérbole eqüilátera. 
Substituindo as expressões acima na equação, teremos: 
1
4
4
4
2
4
2
22
2222
22
==
+−
−
++
=




 −
−




 + −−−− αααααααα eeeeeeee
 
Portanto, podemos afirmar que: 
2
αα −+
=
ee
x é abscissa da hipérbole eqüilátera 122 =− yx ; 
2
αα −−
=
ee
y é ordenada da hipérbole eqüilátera 122 =− yx . 
Por analogia com a Trigonometria, estas expressões recebem nomes apropriados, que são: 
2
αα −+
=
ee
x ⇒ Cosseno Hiperbólico de α ⇒ αcosh=x 
 
y 
x 
0 x 
y 
xy = 
xy −= 
122 =− yx 
MAT – 001 – CÁLCULO 1 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
2
αα −−
=
ee
y ⇒ Seno Hiperbólico de α ⇒ αsenh=y 
αα
αα
−
−
+
−
=
ee
ee
x
y
 ⇒ Tangente Hiperbólica de α ⇒ αtgh
x
y
= 
αα
αα
−
−
−
+
=
ee
ee
y
x
 ⇒ Cotangente Hiperbólica de α ⇒ αgh
y
x
cot= 
αα −+
=
eex
21
 ⇒ Secante Hiperbólica de α ⇒ αh
x
sec
1
= 
αα −−
=
eey
21
 ⇒ Cossecante Hiperbólica de α ⇒ αh
y
seccos
1
= 
O número Real α é chamado de argumento hiperbólico. 
 
 
1.11.3 – FUNÇÃO SENO HIPERBÓLICO: 
 
 
Definição: 
 
 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Paridade: Função Ímpar ⇒ ( ) xx senhsenh −=− 
 
 
 
2
senh
xx ee
xy
−−
== 
y 
x 
0 
xy senh= 
( )
( ) ℜ=
ℜ=
f
fD
Im
MAT – 001 – CÁLCULO 1 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
1.11.4 – FUNÇÃO COSSENO HIPERBÓLICO: 
 
 
Definição: 
 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
Paridade: Função Par ⇒ ( ) xx coshcosh =− 
 
1.11.5 – FUNÇÃO TANGENTE HIPERBÓLICA: 
 
Definição: 
 
 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
cosh
xx ee
xy
−+
==
 
y 
x 
0 
1 
xy cosh= ( )
( ) [ )∞=
ℜ=
,1Im f
fD
 
xx
xx
ee
ee
tghxy
−
−
+
−
==
 
y 
x 
1 
0 
1− 
tghxy = 
( )
( ) ( )1,1Im −=
ℜ=
f
fD
 
MAT – 001 – CÁLCULO 1 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
Paridade: Função Ímpar ⇒ ( ) tghxxtgh −=− 
 
1.11.6 – FUNÇÃO COTANGENTE HIPERBÓLICA: 
 
Definição: 
 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Paridade: Função Ímpar ⇒ ( ) ghxxgh cotcot −=− 
 
1.11.7 – FUNÇÃO SECANTE HIPERBÓLICA: 
 
Definição: 
 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
xx
xx
ee
ee
ghxy
−
−
−
+
== cot
 
y 
x 
1 
0 
1− 
ghxy cot= 
( )
( ) ( ) ( )∞−∞−=
ℜ=
,11,Im
*
Uf
fD
 
xx ee
hxy
−+
==
2
sec
 
y 
x 
0 
1 
hxy sec= ( )
( ) ( ]1,0Im =
ℜ=
f
fD
 
MAT – 001 – CÁLCULO 1 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
Paridade: Função Par ⇒ ( ) hxxh secsec =− 
 
1.11.8 – FUNÇÃO COSSECANTE HIPERBÓLICA: 
 
 
Definição: 
 
 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Paridade: Função Ímpar ⇒ ( ) hxxh seccosseccos −=− 
 
xx ee
hxy
−−
==
2
seccos
 
y 
x 
0 
hxy seccos= 
( )
( ) *
*
Im ℜ=
ℜ=
f
fD