Calculo-Aula 09

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MAT – 001 – CÁLCULO 1 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
CÁLCULO 1 – AULA 09 
1.12 – RELAÇOES ENTRE AS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS: 
 
Demonstramos a seguir três tipos de relações entre as Funções Hiperbólicas. Teremos a 
oportunidade de ver que essas relações são muito parecidas com as relações que já conhecemos 
entre as funções trigonométricas. 
 
1.12.1 – RELAÇÃO FUNDAMENTAL: 
 
 
 
 
 
Demonstração: 
 
Vimos que 
2
cosh
xx ee
x
−+
= e 
2
senh
xx ee
x
−−
= . 
Portanto: 
22
22
22
senhcosh 




 −
−




 +
=−
−− xxxx eeee
xx 
4
22
senhcosh
2222
22
xxxx eeee
xx
−− −+−++
=− 
1
4
4
senhcosh 22 ==− xx 
 
1.12.2 – RELAÇÕES DERIVADAS: 
 
 
 
Demonstração: 
 
Dividindo a Relação Fundamental 1senhcosh 22 =− xx por x2cosh , obtemos: 
 
1senhcosh 22 =− xx 
1sec 22 =+ xtghxh 1seccoscot 22 =− xhxgh 
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1secsec1
cosh
1
cosh
senh
cosh
cosh 2222
22
2
2
2
=+⇒=−⇒=− xtghxhxhxtgh
xx
x
x
x
 
Dividindo a Relação Fundamental 1senhcosh 22 =− xx por x2senh , obtemos: 
1seccoscotseccos1cot
senh
1
senh
senh
senh
cosh 2222
22
2
2
2
=−⇒=−⇒=− xhxghxhxgh
xx
x
x
x
 
 
1.12.3 – RELAÇÕES COM A EXPONENCIAL: 
 
 
 
 
Demonstração: 
 
Usando as definições das Funções Hiperbólicas, temos: 
x
xxxxxxxxx
e
eeeeeeeee
xx ==
−++
=
−
+
+
=+
−−−−
2
2
222
senhcosh 
x
xxxxxxxxx
e
eeeeeeeee
xx −
−−−−−
==
+−+
=
−
−
+
=−
2
2
222
senhcosh 
 
APLICAÇÕES: 
 
01) Sendo 0<x e hxx sec3cosh = , achar todas as Funções Hiperbólicas de x . 
 
SOLUÇÃO: 
3cosh3cosh
cosh
3
cosh 2 ±=⇒=⇒= xx
x
x 
Porém, ℜ∈∀> xx ,1cosh . Portanto: 
 
Da Relação Fundamental: 1senhcosh 22 =− xx 
Portanto: ( ) 2senh2senh13senh1senh3 2222 ±=⇒=⇒−=⇒=− xxxx 
Como 0senh0 <⇒< xx . Logo: 
 
xexx =+ senhcosh xexx −=− senhcosh 
3cosh =x
 
2senh −=x
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Para obter as demais funções hiperbólicas basta usar as suas definições, ou seja: 
 
3
2
cosh
senh −
==
x
x
tghx . Racionalizando: 
 
2
3
senh
cosh
cot
−
==
x
x
ghx . Racionalizando: 
 
 
3
1
cosh
1
sec ==
x
hx . Racionalizando: 
 
2
1
senh
1
seccos
−
==
x
hx . Racionalizando: 
 
 
02) Provar que ( ) abbaba cosh.senhcosh.senhsenh +=+ 
 
SOLUÇÃO: 
 
Usando a definição do seno hiperbólico: 
( )
2
..
2
senh
babababa eeeeee
ba
−−−−+ −
=
−
=+ 
Aplicando as relações com a exponencial: 
( ) ( )( ) ( )( )
2
senhcosh.senhcoshsenhcosh.senhcosh
senh
bbaabbaa
ba
−−−++
=+ 
Mas: ( )( ) bababababbaa senh.senhcosh.senhsenh.coshcosh.coshsenhcosh.senhcosh +++=++ 
e: ( )( ) bababababbaa senh.senhcosh.senhsenh.coshcosh.coshsenhcosh.senhcosh +−−=−− 
Portanto: ( )
2
cosh.senh2senh.cosh2
senh
baba
ba
+
=+ ⇒ ( ) abbaba cosh.senhcosh.senhsenh +=+ 
 
3
6
−=tghx 
2
6
cot −=ghx
3
3
sec =hx
 
2
2
seccos −=hx
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03) Provar que ( ) bababa senh.senhcosh.coshcosh +=+ 
 
SOLUÇÃO: 
 
Usando a definição do cosseno hiperbólico: 
( )
2
..
2
cosh
babababa eeeeee
ba
−−−−+ +
=
+
=+ 
Aplicando as relações com a exponencial: 
( ) ( )( ) ( )( )
2
senhcosh.senhcoshsenhcosh.senhcosh
cosh
bbaabbaa
ba
−−+++
=+ 
Mas: ( )( ) bababababbaa senh.senhcosh.senhsenh.coshcosh.coshsenhcosh.senhcosh +++=++ 
e: ( )( ) bababababbaa senh.senhcosh.senhsenh.coshcosh.coshsenhcosh.senhcosh +−−=−− 
Portanto: ( )
2
senh.senh2cosh.cosh2
cosh
baba
ba
+
=+ ⇒ ( ) bababa senh.senhcosh.coshcosh +=+ 
 
04) Provar que xxx cosh.senh22senh = 
 
SOLUÇÃO: 
 
Do exercício 02, vimos que ( ) abbaba cosh.senhcosh.senhsenh +=+ . 
Fazendo xba == , teremos: 
( ) xxxxxx cosh.senhcosh.senhsenh +=+ 
xxx cosh.senh22senh = 
 
05) Provar que xxx 22 senhcosh2cosh += 
 
SOLUÇÃO: 
 
Do exercício 03, vimos que ( ) bababa senh.senhcosh.coshcosh +=+ . 
Fazendo xba == , teremos: 
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( ) xxxxxx senh.senhcosh.coshcosh +=+ 
xxx 22 senhcosh2cosh += 
 
06) Sendo 3senhcosh =+ xx , achar x , xsenh e xcosh . 
 
SOLUÇÃO: 
 
Das relações com a exponencial: xexx =+ senhcosh 
Portanto: log
3
3
e
x xe =⇒= 
 
Observação: 
 
O logaritmo cuja base é o Número Neperiano e é chamado de Logaritmo Natural ou Logaritmo 
Neperiano, e é indicado por eln . 
 
Então: 
 
2
3
13
322
senh
13ln3ln3ln3ln −
=
−
=
−
=
−
=
−−− eeeeee
x
xx
 ⇒ 
 
2
3
13
322
cosh
13ln3ln3ln3ln +
=
+
=
+
=
+
=
−−− eeeeee
x
xx
 ⇒ 
 
3ln=x
 
3
4
senh =x
 
3
5
cosh =x