Derivadas Parciais

Prévia do material em texto

1
Ministério da Educação
Instituto Federal Sul-Rio-Grandense
Campus Pelotas
Cursos: Engenharia Elétrica / Engenharia Qúımica
Disciplina: Cálculo II
Profa. Lisiane Ramires Meneses
Prof. Odair Noskoski
Lista de Exerćıcios 03 - Derivadas Parciais. Derivadas Parciais de Ordem
superior
Derivadas Parciais
1. Determine ∂f∂x (x, y) e
∂f
∂y (x, y), sendo f definida por:
(a) f(x, y) =
x+ y
xy − 1
(b) f(x, y) = sin2(x− 3y)
(c) f(x, y) = ln(x+ y)
(d) f(x, y) = exy sin 4y2
(e) f(x, y) = y−
3
2 arctan
(
x
y
)
2. Determine fx, fy e fz, sendo f definida por:
(a) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−
1
2
(b) f(x, y, z) = yz ln(xy)
(c) f(x, y, z) = tan(x+ 2y + 3z)
(d) f(x, y, z) = y3e2x+3z
(e) f(x, y, z) =
x2 − y2
y2 + z2
3. Se f(x, y) = 16 − 4x2 − y2, determine fx(1, 2) e fy(1, 2) e interprete esses números como in-
clinações. Ilustre graficamente.
4. Seja f(x, y) = xe−y + 5y.
(a) Determine a inclinação da superf́ıcie z = f(x, y) na direção x no ponto (3, 0).
(b) Determine a inclinação da superf́ıcie z = f(x, y) na direção y no ponto (3, 0).
5. A lei dos gases para um número de moles n de um gás ideal à temperatura T , pressão P e volume
V é dada por PV = nRT , onde R é a constante do gás. Mostre que:
(a)
∂P
∂V
∂V
∂T
∂T
∂P
= −1.
(b) T
∂P
∂T
∂V
∂T
= nR
2
6. A temperatura de um ponto (x, y) de uma placa de metal é dada por T (x, y) =
60
1 + x2 + y2
,
onde T é medido em ◦C e x e y em metros. Determine:
(a) a taxa de variação da temperatura na direção do eixo x no ponto (2, 1).
(b) a taxa de variação da temperatura na direção do eixo y no ponto (2, 1).
7. Em cada caso, mostre que u(x, y) e v(x, y) satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.
∂u
∂x
=
∂v
∂y
e
∂u
∂y
= −∂v
∂x
(a) u = ex cos y; v = ex sin y
(b) u = ln(x2 + y2); v = 2 arctan
(y
x
)
Derivadas Parciais de Ordem Superior
8. Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções definidas a seguir.
(a) f(x, y) = sinxy
(b) g(x, y) = x2y + cos y + y sinx
(c) h(x, y) = xey + y + 1
(d) r(x, y) = ln(x+ y)
(e) s(x, y) = arctan
(y
x
)
9. Considerando a função f , definida a seguir, verifique se fxy = fyx.
(a) f(x, y) = ln
√
x2 + y2
(b) f(x, y) = xy2 + x2y3 + x3y4
(c) f(x, y) = ex + x ln y + y lnx
(d) f(x, y) = x sin y + y sinx+ xy
(e) f(x, y) = x sin(x+ 2y)
10. Mostre que as funções definidas a seguir são harmônicas(
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
= 0).
(a) f(x, y) = e−2y cos 2x
(b) f(x, y) = ln
√
x2 + y2
(c) f(x, y, z) = 2z3 − 3(x2 + y2)z
(d) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−
1
2
11. Mostre que cada função definida a seguir satisfaz a equação do calor
∂z
∂t
= c2
∂2z
∂x2
, onde c > 0, contante
(a) z = e−t sin
(x
c
)
(b) z = e−t cos
(x
c
)
3
12. Quando dois resistores de resistência R1 em ohms e R2 em ohms são conectados em paralelo,
sua resistência R em ohms é R =
R1 ·R2
R1 +R2
. Mostre que
∂2R
∂R21
· ∂
2R
∂R22
=
4R2
(R1 +R2)4
13. A energia cinética de um corpo com massa m e velocidade v é K = 12mv
2. Mostre que
∂K
∂m
∂2K
∂v2
= K.
14. Determine as derivadas parciais indicadas:
(a) f(x, y) = 3xy4 + x3y2; fxxy, fyyy
(b) f(x, y, z) = cos(4x+ 3y + 2z); fxyz, fyzz
(c) f(x, y, z) = (4x− 3y + 2z)5; fzyx, fzyy, fxxyz
15. Mostre que se u(x, y) e v(x, y) satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, e se x = r cos θ e
y = r sin θ, então
∂u
∂r
=
1
r
∂v
∂θ
e
∂v
∂r
= −1
r
∂u
∂θ
.
As equações acima são as equações de Cauchy-Riemann na forma polar.