P1 - Fundamentos da Matemática

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UNEMAT – UNIVERIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO 
CÂMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP 
FACET – FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
PROVA 1* 
 
Disciplina: Fundamentos da Matemática 
Docente: Carlos Alberto Cjanahuiri Aroquipa 
Discente: Daniella Neia de Freitas 
 
1. Para cada expressão abaixo, responda se ela é uma tautologia, uma 
contradição ou nenhuma delas (contingência), usando tabelas da verdade ou as 
leis da lógica. 
 
a) ((𝒑 → 𝒒) → 𝒒) → 𝒒 
𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞 (𝑝 → 𝑞) → 𝑞 ((𝑝 → 𝑞) → 𝑞) → 𝑞 
V V V V V 
V F F V V 
F V V V F 
F F V F V 
 
Logo, como a última coluna não é 100% verdadeira nem 100% falsa, a expressão é 
uma contingência. 
 
b) (𝒑 ∨ 𝒒) ∧ (~𝒑 ∨ 𝒒) ∧ (𝒑 ∨ ~𝒒) 
𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 ~𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 ∨ ~𝑞 (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (~𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ ~𝑞) 
V V F F V V V V 
V F F V V F V F 
F V V F V V F F 
F F V V F V V F 
 
Logo, como a última coluna não é 100% verdadeira nem 100% falsa, a expressão é 
uma contingência. 
 
 
* Todas os textos, símbolos matemáticos, equações e quadros/tabelas foram feitos com o programa 
Microsoft Word, e todas as figuras foram editadas (realces nos gráficos da Questão Extra) com o 
programa Microsoft Paint 2021. 
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CÂMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP 
FACET – FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
c) (𝒑 → (𝒒 → 𝒓)) ↔ ((𝒑 ∧ 𝒒) → 𝒓) 
𝑝 𝑞 𝑟 𝑞 → 𝑟 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) 𝑝 ∧ 𝑞 (𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑟 (𝑝 → (𝑞 → 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑟) 
V V V V V V V V 
V V F F F V F V 
V F V V V F V V 
V F F V V F V V 
F V V V V F V V 
F V F F V F V V 
F F V V V F V V 
F F F V V F V V 
 
Logo, como a última coluna é 100% verdadeira, a expressão é uma tautologia. 
 
d) ((𝒑 → 𝒒) ∨ (𝒒 → 𝒓)) → (𝒑 → (𝒒 ∨ 𝒓)) 
𝑝 𝑞 𝑟 𝑝 → 𝑞 𝑞 → 𝑟 (𝑝 → 𝑞) ∨ (𝑞 → 𝑟) 𝑝 → (𝑞 ∨ 𝑟) ((𝑝 → 𝑞) ∨ (𝑞 → 𝑟)) → (𝑝 → (𝑞 ∨ 𝑟)) 
V V V V V V V V 
V V F V F V V V 
V F V F V V V V 
V F F F V V F F 
F V V V V V V V 
F V F V F V V V 
F F V V V V V V 
F F F V V V V V 
 
Logo, como a última coluna não é 100% verdadeira nem 100% falsa, a expressão é 
uma contingência. 
 
2. Suponha que 𝑨 ∪ 𝑩 = {𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆, 𝒇, 𝒈, 𝒉}, 𝑨 ∩ 𝑩 = {𝒅, 𝒆} e 𝑨 − 𝑩 = {𝒂, 𝒃, 𝒄}. 
Determine (𝑨 − 𝑩) × (𝑩 − 𝑨) e P(𝑩 − 𝑨). 
Se 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ} e 𝐴 − 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}, então: 𝐵 = {𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ}. 
Consequentemente: 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} e 𝐵 − 𝐴 = {𝑓, 𝑔, ℎ}. 
Portanto: (𝐴 − 𝐵) × (𝐵 − 𝐴) = {(𝑎, 𝑓), (𝑎, 𝑔), (𝑎, ℎ), (𝑏, 𝑓), (𝑏, 𝑔), (𝑏, ℎ), (𝑐, 𝑓), (𝑐, 𝑔), (𝑐, ℎ) 
P (𝐵 − 𝐴) = {∅, {𝑓}, {𝑔}, {ℎ}, {𝑓, 𝑔}, {𝑔, ℎ}, {𝑓, ℎ}, {𝑓, 𝑔, ℎ}} 
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3. Um casal tem 5 filhos: Álvaro (𝒂), Bruno (𝒃), Cláudio (𝒄), Dario (𝒅) e Erica (𝒆). 
Enumere os elementos da relação R definida no conjunto 𝑬 = {𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆} por 
𝒙R𝒚 ↔ 𝒙 é irmão de 𝒚 e responda se é uma relação de equivalência. 
Obs.: 𝒙 é irmão de 𝒚 quando 𝒙 é homem, 𝒙 ≠ 𝒚 tem os mesmos pais. 
R = {(𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑐), (𝑎, 𝑑), (𝑎, 𝑒), (𝑏, 𝑎), (𝑏, 𝑐), (𝑏, 𝑑), (𝑏, 𝑒), (𝑐, 𝑎), (𝑐, 𝑏), (𝑐, 𝑑), (𝑐, 𝑒), (𝑑, 𝑎), 
(𝑑, 𝑏), (𝑑, 𝑐), (𝑑, 𝑒)} 
A relação não é reflexiva, pois 𝑥 ≠ 𝑦 e, portanto, os pares (𝑎, 𝑎), (𝑏, 𝑏), (𝑐, 𝑐), (𝑑, 𝑑) e 
(𝑒, 𝑒) não estão contidos em R. 
A relação não é simétrica, pois 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 estão relacionados com 𝑒, mas 𝑒 não está 
relacionado com 𝑎, 𝑏, 𝑐, e 𝑑. 
A relação não é transitiva, pois, por exemplo, 𝑎 está relacionado a 𝑏 e 𝑏 está 
relacionado a 𝑎, porém 𝑎 não está relacionado a si mesmo. 
Logo, R não é uma relação de equivalência. 
 
4. Encontre o domínio e a imagem da função 𝒇(𝒙) = ||𝒙| − 𝟐|. A função é injetora? 
Função modular sem restrições de domínio, logo: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ 
Função modular gera apenas valores não negativos, logo: 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ+ 
A função não é injetora pois, por exemplo, os elementos 𝑥 = 2 e 𝑥 = −2 possuem a 
mesma imagem: ||2| − 2| = 0 = ||−2| − 2|. 
 
Questão Extra: A partir do gráfico da função 𝒚 = 𝒇(𝒙) dado abaixo, marque a 
alternativa que corresponda ao gráfico de 𝒚 =
𝒇(𝒙)+|𝒇(𝒙)|
𝟐
. 
 
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Para 𝑓(𝑥) < 0: 
𝑓(𝑥)+|𝑓(𝑥)|
2
= 0, ou seja, quando 𝑓(𝑥) for um valor negativo, ao somar 
com o seu módulo (|𝑓(𝑥)|), seu valor se anulará, e se manterá nulo após ser dividido 
por 2. 
• Trecho do gráfico em que 𝑦 assumirá o valor de 0: 
 
 
Para 𝑓(𝑥) ≥ 0: 
𝑓(𝑥)+|𝑓(𝑥)|
2
= 𝑓(𝑥), pois ao somar um número não negativo com o seu 
módulo, o valor obtido será duas vezes o valor do número inicial, porém, neste caso, 
este valor será dividido por 2, retornando, então, ao seu valor original. 
• Trecho do gráfico em que 𝑦 se manterá igual: 
 
 
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Logo, o gráfico de 𝑦 =
𝑓(𝑥)+|𝑓(𝑥)|
2
 será: 
 
• Alternativa (b).