Mecânica dos Sólidos - Aula 6 - Forças em vigas diagramas de esforços internos

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Disciplina: Mecânica dos Sólidos
Aula 6: Forças em vigas – diagramas de esforços internos
Apresentação
Nesta aula, continuaremos o estudo das forças internas atuantes em vigas, mas sobre outro viés. Serão vistos não apenas os esforços internos para uma dada seção. Determinaremos expressões que mostrem como os esforços normal e cortante, além do momento fletor, variam ao longo do comprimento da viga.
A partir das expressões para os esforços internos, é possível fazer gráficos mostrando geometricamente a mudança desses esforços ao longo da viga. São os diagramas do esforço normal (DEN), do esforço cortante (DEC) e do momento fletor (DMF). A partir desses gráficos, será possível ter os valores máximos e mínimos (tração/compressão) que auxiliarão no dimensionamento de uma viga.
No decorrer das aulas, perceberemos como os gráficos se relacionam matematicamente, o que facilita a construção dos diagramas e a determinação de pontos importantes, como, por exemplo, o valor máximo do momento fletor ou o ponto da viga onde o esforço cortante é nulo.
Objetivos
· Escrever expressões para o esforço normal, cortante e fletor como função da abscissa da viga;
· Construir gráficos dos esforços normal e cortante e do momento fletor (DEN, DEC e DMF);
· Analisar as relações matemáticas entre o DEC e o DMF.
Expressão para o esforço normal em uma viga
Uma viga pode estar sob tração ou compressão, dependendo do carregamento a que esteja submetida.
Ao longo do comprimento, a condição de tração/compressão pode se alterar, inclusive o valor da intensidade.
A fim de recordarmos a situações de tração e compressão, observe um elemento sob estas duas condições:
Vamos supor uma viga AB engastada de comprimento 2m, submetida em sua extremidade livre a uma força F de 10kN, tal que o ângulo θ, com a horizontal, tenha seno 0,6 e cosseno 0,8.
Exemplo
Observe a figura 2 que resume a descrição anterior:
O objetivo deste exemplo é determinar a força normal sobre a viga. Inicialmente “trocaremos” a força F pelas suas componentes retangulares Fx e Fy.
A figura 3 mostra esta decomposição:
As componentes Fx e Fy são determinadas pelas expressões a seguir:
Fx = F. cosθ = 10 . 0,8 = 8kN Fy = F. senθ = 10 . 0,6 = 6Kn
Para relembrar a convenção de sinais adotada em nosso estudo para os esforços internos, temos a figura 4, em que todos os esforços são convencionados positivos.
Seccionando-se a viga engastada da figura 3, teremos duas “partes”:
À esquerda do corte. À direita do corte.
Observe a figura 5:
Tomando-se o lado à direita originado pelo corte feito na viga, e adotando-se vetores horizontais para a direita como positivos, temos que:
EQUILÍBRIO
- NC – 8 = 0 → NC = - 8kN (compressão)
Em termos de função, como não há variação do esforço normal, ao longo do comprimento da viga, temos uma função constante que pode ser descrita conforme a equação 1:
N(x) = - 8 (em kN), para 0 ≤≤ x ≤≤ 2
(Equação 1)
Atividade
1. Escrever a função que determina o esforço normal ao longo da viga engastada AB de comprimento 5m com o carregamento mostrado na figura a seguir, em que senθ = 0,8 e cosθ = 0,6:
Gabarito
Trocando a força de 10kN pelas componentes vertical e horizontal temos: 10 . sen 30º e 10 . cos30º, mas para o esforço normal só dependemos da componente horizontal, ou seja, 10 . cos 30º = 8,66kN.
Da mesma forma, temos a componente horizontal da força F3, isto é, 20 . cosθ = 12kN. Assim, temos, em termos de componentes horizontais o seguinte:
Do equilíbrio, RA + 8,66 = 12, logo RA = 3,34kN.
Seccionando a barra entre A e C, temos que a força normal será de 3,34kN (compressão). Depois, seccionando entre C e B, a força normal será de 12kN, também compressão.
Assim, em termos matemáticos teremos:
2. A respeito do esforço interno em uma viga denominada normal, julgue os itens e marque verdadeiro ou falso. Considere para seu julgamento uma viga plana horizontal rígida no plano xy e um carregamento de forças, também no plano xy.
Gabarito
a) Falso - Uma viga sob um carregamento uniformemente distribuído tem o esforço normal expresso por uma função linear. (Como não há componente horizontal, o esforço normal é nulo).
b) Verdadeiro - Estando a viga na horizontal e, o carregamento sendo exclusivamente de forças verticais, o esforço normal da viga, em todo seu comprimento, é nulo. (Como não há componente horizontal, uma vez que o carregamento é exclusivamente vertical, o esforço normal é nulo).
c) Verdadeiro - Forças concentradas com inclinação podem levar a esforços normais em diversas seções de uma viga. (Como haverá componente horizontal, uma vez que o carregamento não é exclusivamente vertical, o esforço normal pode ser diferente de zero em várias seções).
d) Falso - Para um carregamento distribuído senoidal, na direção vertical, o correspondente esforço interno normal será a derivada, ou seja, uma função cossenoidal. (A derivada do esforço cortante é que leva ao simétrico do carregamento. Esforço normal e carregamento não se relacionam pela derivação de uma função).
Diagrama do esforço normal (DEN)
A representação gráfica do esforço normal, como função da abscissa x da viga, isto é, N(x), é denominado Diagrama do Esforço Normal (DEN).
Atenção
É importante ressaltar que, em vigas horizontais, para carregamento exclusivamente vertical, os esforços internos normais serão nulos e, portanto, o DEN correspondente será uma reta que coincide com o eixo das abscissas.
Na figura 6, temos a ilustração de tal situação:
O DEN pode ser não nulo e, sendo assim, precisamos convencionar sua representação para valores positivos (trativos) ou valores negativos (compressivos).
Utilizaremos, para valores trativos, o diagrama acima do eixo x e, compressivos, abaixo de x.
Observe a figura 7:
Quando o carregamento não é concentrado, é possível fazer todos os cálculos a partir da equação da carga distribuída, porém a matemática envolvida é mais complexa.
Uma maneira de abreviar tal situação é fazer a troca da carga distribuída por uma concentrada equivalente, com intensidade e localização conhecidos.
Atividade
3. A partir da atividade 1, desenhe o diagrama do esforço normal para a viga engastada AB de comprimento 5m com o carregamento mostrado na figura a seguir, em que senθ = 0,8 e cosθ = 0,6:
Gabarito
Do gabarito da atividade 1, temos que:
Graficamente:
Expressão para o esforço cortante em uma viga
Neste tópico, passaremos a analisar algumas possibilidades de carregamento de uma viga horizontal e as consequentes expressões para o esforço cortante ao longo do comprimento dessa viga.
Exemplo
Iniciaremos o estudo com a situação mais simples:
Tomemos um carregamento de uma viga por uma única carga concentrada. Observe a figura 8, em que a força P = 3kN, dista 1m da extremidade A, sendo AB = 3m.
Inicialmente, determinaremos as reações nos apoios A e B.
Como já foi visto nas aulas anteriores, a partir das equações de equilíbrio do corpo rígido (∑Fx=0, ∑Fy=0 e ∑Mz=0) é possível determinar RA = 2kN e RB = 1kN.
Para avaliar a função que descreve o esforço cortante, imaginaremos que estamos caminhando sobre a viga ao longo da mesma.
Toda vez que uma força externa for interceptada, um novo corte deverá ser feito e a seção “exposta” analisada. Na sequência, estes passos serão ilustrados:
Do equilíbrio da parte esquerda da viga (figura 9), temos que:
· RA – V1 = 0
· 2 – V1 = 0
· V1 = 2kN
Caminhando sobre a viga, da esquerda para a direita, interceptamos a carga externa P. Dessa forma, devemos fazer um novo corte, apresentado na figura 10.
Do equilíbrio da parte esquerda da viga, com a carga externa P (figura 10), temos que:
RA – V2 – P = 0
2 – V2 – 3 = 0
V2 = -1kN
A partir dos valores de V1 e de V2, é possível escrever a equação para V(x) para a situação esquematizada na figura 8.
Assim, para a situação analisada podemos escrever a seguinte função para o esforço cortante:
Exemplo
Outro exemplo que podemos abordar paraaprofundarmos nosso estudo é uma viga AB bi apoiada de comprimento L, suportando um carregamento uniformemente distribuído de q kN/m.
Observe a figura 11:
Inicialmente, trocaremos a carga distribuída pela concentrada equivalente. Assim, esta carga terá intensidade q.L e atuará no ponto médio da viga. Pela simetria, cada reação vertical nos apoios A e B será igual à:
Faremos um corte em um ponto genérico da viga (comprimento x) e faremos o estudo para o esforço cortante na seção exposta por este corte. A carga distribuída q ao logo do comprimento x pode ser substituída pela concentrada de módulo q.x.
A figura 12 ilustra o que foi escrito anteriormente:
A partir do equilíbrio, podemos escrever que:
qL/2 – V – q . x = 0
V(x) = - q . x + q . L/2 (para 0 < x < L)
Observe que a expressão é do 10 grau em relação à variável x e que possui coeficiente angular (-q) negativo. Ademais, para x = 0 o valor de V é qL/2 e para x = L, V = - qL/2.
Note, ainda, que, se tomarmos na equação V(x) = -q . x + q . L/2, V = 0, teremos x = L/2, ou seja, no ponto médio da viga o esforço cortante é nulo.
Atividade
4. A respeito do esforço interno denominado cortante em uma viga, julgue os itens e marque verdadeiro ou falso. Considere para seu julgamento uma viga plana horizontal rígida no plano xy e um carregamento de forças, também no plano xy.
Gabarito
a) Verdadeiro - Uma viga, sob um carregamento uniformemente distribuído, tem o esforço normal cortante representado por uma função linear. (O esforço cortante de uma função constante é uma reta).
b) Falso - Em vigas horizontais, com carregamento exclusivamente de forças verticais, o esforço cortante é nulo nas regiões em que as forças não atuam e iguais às forças onde essas atuam. (Nas regiões onde as forças não atuam o DEC é constante e, onde elas atuam ocorre uma descontinuidade, um degrau).
c) Falso - Forças uniformemente distribuídas sobre uma viga horizontal levam ao esforço cortante máximo no ponto médio do comprimento da viga, isto é, x = L/2. (Em x = l/2, o esforço cortante é nulo).
d) Falso - Para um carregamento distribuído senoidal, na direção vertical, o correspondente esforço interno cortante será a derivada do carregamento em relação à x, ou seja, uma função cossenoidal. (A derivada do esforço cortante em relação à x é o simétrico do carregamento).
Diagrama do esforço normal (DEN)
No item anterior desta aula, aprendemos a determinar a expressão para o esforço cortante em uma viga horizontal para duas situações particulares:
As figuras 13 e 14 mostram o diagrama do esforço cortante (DEC) para cada um dos dois casos:
NOTA 1
Note que para cargas concentradas, a descontinuidade no DEC ocorre no ponto em que a carga concentrada atua. Além disso, é fácil perceber que o “salto” na função equivale ao módulo da carga (de 2 para -1, salto de 3kN) e ocorre no sentido de aplicação da carga. Quando a carga é para baixo o salto acompanha, assim como quando é para cima.
NOTA 2
Note que o DEC para cargas uniformemente distribuídas iguais à q tem coeficiente angular igual à – q.
NOTA 3
Para o DEC, na parte superior, utilizaremos valores positivos do esforço cortante e, valores 
Atividade
5. Desenhe o diagrama do esforço cortante para a viga AB de 4m de comprimento, com duas cargas concentradas, conforme a figura: negativos, na parte inferior.
Gabarito
Quando a carga é concentrada, o DEC será uma função constante com descontinuidades nos pontos onde a carga concentrada atua. A partir das equações do equilíbrio, as reações em A e B valem, respectivamente: 1,75kN e 1,25kN.
Expressão para o momento fletor em uma viga
Assim como foi feito no tópico “Expressão para o esforço cortante em uma viga” desta aula, passaremos a analisar algumas possibilidades de carregamentos de uma viga e a correspondente expressão para o momento fletor em função da posição da seção reta na viga.
Inicialmente estudaremos o carregamento com uma carga concentrada, conforme a figura 15:
Seccionando a barra em um ponto à esquerda da força F, a uma distância x de A, teremos o diagrama do corpo livre (DCL) ilustrado na figura 16:
Aplicando o momento em relação a um ponto da face direita (onde está o momento fletor M), teremos:
Seccionando a barra em um ponto à direita da força F, a uma distância x de A, teremos o diagrama do corpo livre (DCL) ilustrado na figura 17:
plicando o momento em relação a um ponto da face direita (onde está o momento fletor M), teremos:
Exemplo
Outro exemplo que podemos abordar para aprofundarmos nosso estudo é uma viga AB bi apoiada de comprimento L, suportando um carregamento uniformemente distribuído de q kN/m, conforme fizemos para o esforço cortante.
Observe a figura 18:
Como foi feito anteriormente, a carga distribuída pela concentrada equivalente. Terá intensidade q.L e atuará no ponto médio da viga. Pela simetria, cada reação vertical nos apoios A e B será igual à q.L/2.
Da mesma forma que foi feito para o esforço cortante, faremos um corte em um ponto genérico da viga (comprimento x) e faremos o estudo para o momento fletor na seção exposta por esse corte.
A carga distribuída q ao logo do comprimento x pode ser substituída pela concentrada de módulo q.x, conforme ilustrado na figura 19.
A partir do equilíbrio, podemos escrever a soma dos momentos em relação à face exposta pelo corte e igualar a zero:
Note que para x = 0 e x = L, M = 0.
Observe que fazendo a derivada de M(x) em relação à x e igualando a zero, temos que:
Assim, é possível concluir que para x = L/2 ocorre o momento fletor máximo, que vale:
Atividade
6. Suponha uma viga horizontal AB de 4 m de comprimento com um carregamento uniformemente distribuído de 60kN/m. Determine o valor do momento fletor máximo e sua localização.
Gabarito
O momento fletor máximo para um carregamento uniformemente distribuído é dado por:
A sua localização é no ponto médio da viga, ou seja, x = 4/2 = 2m
Diagrama do momento fletor (DMF)
No item anterior, aprendemos a determinar a expressão para o momento fletor atuando na seção interna de uma viga horizontal, em função da abscissa x.
Dois exemplos foram apresentados:
A figura 20 mostra o DMF para a situação de uma carga concentrada. Observe o valor máximo do momento fletor.
A figura 21 mostra o DMF para uma carga uniformemente distribuída sobre uma viga horizontal de comprimento L. A curva é um arco de parábola.
NOTA 4
Para o DMF, na parte superior, utilizaremos valores positivos do esforço cortante e, valores negativos, na parte inferior.
NOTA 5
Para cargas distribuídas polinomiais de grau “n”, o esforço cortante será um polinômio de grau “n + 1” e o momento fletor “n + 2”. Por exemplo, se o carregamento é uniformemente distribuído (função constante, n = 0), o DEC será linear (n = 1) e o DMF parabólico (n = 2).
Relação entre os diagramas de esforço cortante e o momento fletor
Observe o diagrama do esforço cortante e o correspondente diagrama do momento fletor na figura 22.
Observe que a área na primeira parte do DEC é igual à 
No DMF, partindo-se do zero (apoio de 1° ou 2° gêneros não apresentam resistência ao momento fletor) e somando-se o valor da área, chegaremos ao valor máximo.
No DEC, a função é constante (grau zero) e o DMF linear (primeiro grau).
Na segunda parte do DEC, a área é “negativa” e vale  . Somando-se “essa área” ao valor máximo do DMF, chegaremos ao valor 0, conforme o gráfico.
Outra relação é o coeficiente angular do DMF. Perceba que na primeira etapa do DMF, o coeficiente angular é dado por o que corresponde ao esforço cortante.
Na segunda etapa do DMF, o coeficiente angular é negativo e dado por o que corresponde ao esforço cortante da segunda etapa no DEC.
Essas relações facilitam na elaboração de DMF e DEC, pois, conhecendo o grau da expressão e alguns valores, é possível desenhar o gráfico diretamente, sem a necessidade de encontrar,necessariamente, a expressão de V(x) ou M(x).
Explore mais
Para saber mais sobre os assuntos abordados nesta aula, sugerimos:
· Leia o capítulo 6 (páginas 181 a 200) do livro do Resistência dos Materiais, de Hibeller (7ª edição).
Assista também aos seguintes vídeos:
· Diagramas de esforços normal, cortante e momento fletor em triângulos (parte 1);
· Diagramas de esforços normal, cortante e momento fletor com carga em balanço (parte 1);
· Diagrama de esforços cortantes e momento fletor - exercícios resolvidos (passo a passo).