Atividade A2 - Álgebra Linear Computacional

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1) A eliminação gaussiana, também conhecida como escalonamento, é um método para resolver sistemas lineares. Esse método consiste em manipular o sistema por meio de determinadas operações elementares, transformando a matriz estendida do sistema em uma matriz triangular (denominada matriz escalonada do sistema). Usando o conceito de eliminação gaussiana, assinale a alternativa correta referente à matriz triangular da seguinte matriz:
image1355e3af19e_20211113003938.gif 
R: ( * ) image1375e3af19e_20211113003938.gif
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, devemos fazer:
image1355e3af19e_20211113003938.gif
 
No primeiro passo, subtraímos da segunda linha o quádruplo da primeira e subtraímos da terceira linha o dobro da primeira:
 
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Assim, troca-se a segunda com a terceira linha:
image1375e3af19e_20211113003938.gif
2) A regra de Cramer é um dos métodos para obter soluções de sistemas lineares. A aplicação da regra de Cramer, contudo, poderá ser utilizada apenas para sistemas que apresentam número de equações iguais ao número de incógnitas. Lembre-se de que, nessa regra, usamos o conceito de determinante.
Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta a solução (x,y,z) do seguinte sistema linear:
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image0515e3af19e_20211113003936.gif 
R: ( * ) 1,3 e 2
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, quando calculamos, identificamos o determinante principal formado porimage0525e3af19e_20211113003936.gif. A partir disso, encontramos queimage0535e3af19e_20211113003936.gif,image0545e3af19e_20211113003936.gif eimage0555e3af19e_20211113003936.gif Com esses resultados, fazemos as divisõesimage0565e3af19e_20211113003937.gif Encontramos, assim, (1, 3, 2).
3) A fim de calcular determinantes image0225e3af19e_20211113003929.gif, somente multiplicamos, de maneira cruzada, os elementos. Para matrizes image1255e3af19e_20211113003929.gif, empregamos a regra de Sarrus, na qual são repetidas as duas primeiras colunas e, em seguida, multiplicamos os elementos também de maneira cruzada. No caso de matrizes de ordem maior, empregados o teorema de Laplace. Considerando o emprego do conceito do teorema de Laplace, assinale a alternativa que apresenta o valor do seguinte determinante:
image1645e3af19e_20211113003929.gif 
R: ( * ) 65
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, você usouimage1525e3af19e_20211113003929.gif, ondeimage1535e3af19e_20211113003929.gifNo caso, podemos escolher a coluna 2:
 
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4) As matrizes quadradas têm sua importância, pois, por meio do cálculo do seu determinante, podemos associar o seu valor a um escalar. Por exemplo, ele tem a sua importância no uso de sistemas lineares. Uma das técnicas usadas em matriz image0225e3af19e_20211113003947.gif seria a multiplicação pelas diagonais. Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, o valor de image0235e3af19e_20211113003947.gif, tal que  image0245e3af19e_20211113003948.gif.
R: ( * ) -4 e 1
A alternativa está correta, pois, nesse caso, devemos multiplicar cruzado os elementos da matriz:
image0275e3af19e_20211113003948.gifimage0285e3af19e_20211113003948.gif  image0245e3af19e_20211113003948.gif ?image0295e3af19e_20211113003949.gif?image0305e3af19e_20211113003949.gif? simplificando toda a equação por 3:
image0315e3af19e_20211113003949.gif
 
Ao resolver a equação, teremos queimage0325e3af19e_20211113003949.gifeimage0335e3af19e_20211113003949.gif
5) As matrizes são tipos de arranjos de números com n linha e m colunas. Podemos obter as matrizes a partir de leis de formação. Por exemplo, uma matriz 2x2 pode ter a seguinte formação:
image0015e3af19e_20211113003950.gif
image0025e3af19e_20211113003950.gif
Nessa forma, teremos a seguinte matriz: image0035e3af19e_20211113003950.gif
Situação similar podemos pensar para uma matriz 3x3. Assim, assinale a alternativa que apresenta uma matriz 3x3 que obedeça à seguinte lei de formação:
image0045e3af19e_20211113003950.gif
image0055e3af19e_20211113003950.gif 
R: ( * )image0075e3af19e_20211113003951.gif
Resposta correta. A alternativa está correta, pois você montou a matriz da seguinte forma:
 
image0065e3af19e_20211113003950.gif
Ao olhar os índices de cada elemento, podemos aplicar as condições do problema encontrando:
image0075e3af19e_20211113003951.gif
6) Considere as seguintes informações: 1) o sistema de equações não se altera quando permutamos as posições das equações; 2) o sistema de equações não se altera quando multiplicamos os membros de uma das equações por qualquer número real não nulo; 3) por inferência, podemos, então, substituir uma equação por outra obtida a partir da inclusão “membro a membro” dessa equação, na qual foi aplicada a transformação do Teorema II. Essas informações são concernentes aos três axiomas de Eliminação de Gauss. Assim, usando o conceito de eliminação gaussiana, assinale a alternativa correta referente à matriz triangular da seguinte matriz:
 
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R: ( * ) image1785e3af19e_20211113003957.gif
Resposta correta. A alternativa está incorreta, pois, nesse caso, você deveria utilizar os seguintes passos para resolver o problema:
image1745e3af19e_20211113003956.gif
 
Primeiramente, na linha 2, faremos: -2L1+L2 e -3L1+L2
image1755e3af19e_20211113003956.gif
 
Após isso, na linha 3, faremos:  -2L2+L3
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Depois, podemos trocar as linhas 2 e 3:
image1775e3af19e_20211113003956.gif
 
Por fim, na linha 3, faremos: -3L2+L3
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7) Existem várias maneiras de resolver um sistema linear. Por exemplo, podemos usar o método de substituição de variáveis ou colocar os coeficientes das equações em uma forma matricial. Desse modo, considere a seguinte equação linear:
image0345e3af19e_20211113003958.gif
  image0355e3af19e_20211113003958.gif
image0365e3af19e_20211113003958.gif
 
Esse sistema pode ser escrito na seguinte forma matricial:
image0375e3af19e_20211113003958.gif.
 
Assim, assinale a alternativa que apresenta o valor de z no sistema linear evidenciado.
R: ( * ) -10
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, o determinante dos coeficientes deve ter sido igual a -3. Após isso, temos de calcular o seguinte determinante:
 
image0385e3af19e_20211113003958.gif
 
Ao dividir o resultado do determinante apresentado por -3, encontraremos -10.
8) Na modelagem de muitos sistemas físicos, encontramos sistemas lineares, tendo a quantidade de incógnitas similar à quantidade de equações. Nessa situação, sempre podemos montar uma matriz e calcular o determinante para verificarmos a solução de sistema lineares. Assim, nessa circunstância, considere que A seja uma matriz quadrada de ordem 2 e B uma matriz quadrada de ordem 3, tal que det(A).det(B)=1. Assinale a alternativa que apresenta o valor de det(3A).det(2B).
R: ( * ) 72
Resposta correta. A alternativa está correta, pois é preciso usar a seguinte propriedade de determinante:
image1055e3af19e_20211113003959.gif
Em que n é a ordem da matriz. No nosso problema:
image1065e3af19e_20211113003959.gif
9) Para calcular determinantes image0225e3af19e_20211113004006.gif, apenas multiplicamos, de forma cruzada, os elementos. Para matrizes image1255e3af19e_20211113004006.gif, usamos a regra de Sarrus, em que repetimos as duas primeiras colunas e multiplicamos os elementos também de forma cruzada. Para matrizes de ordem maior, usamos o teorema de Laplace. Com base no uso do conceito do teorema de Laplace, assinale a alternativa que apresenta o valor de x não nulo da seguinte equação:
 
image1515e3af19e_20211113004006.gif=3
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, você usouimage1525e3af19e_20211113004006.gif, ondeimage1535e3af19e_20211113004007.gifNo caso, podemos escolher a linha 1. Assim:
image1545e3af19e_20211113004007.gif
image1555e3af19e_20211113004007.gifimage1565e3af19e_20211113004007.gif
As soluções sãoimage1575e3af19e_20211113004007.gif ouimage1585e3af19e_20211113004008.gif
10) A multiplicação de matrizes é uma operação matemática que envolve duas matrizes. A condição para que duas matrizes image0845e3af19e_20211113003931.gif e image0855e3af19e_20211113003931.gif sejam multiplicadas é que o número de colunas da matriz image0865e3af19e_20211113003931.gif deve ser igual ao número de linhas da matriz image0875e3af19e_20211113003931.gif. O resultado da multiplicação é uma matriz image0885e3af19e_20211113003932.gif
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresenta a matriz image0895e3af19e_20211113003932.gif que corresponde à solução da seguinte equação matricial:
image0905e3af19e_20211113003932.gif
 
Em que  image0915e3af19e_20211113003932.gif e image0925e3af19e_20211113003932.gif    
R: ( * ) image0955e3af19e_20211113003933.gif
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a matriz terá a seguinte forma:
image0935e3af19e_20211113003933.gif
Em seguida, escreve-se a matriz X como:
image0945e3af19e_20211113003933.gif
Assim, você encontrou queimage0955e3af19e_20211113003933.gif