Aula 5 - função raiz, exponêncial e logarítmica

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Funções
Junilson Cerqueira
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
junilson@ufrb.edu.br
23 de maio de 2022
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Sumário
1 Função Raiz n-ésima
2 Função Exponencial
3 Função Logaŕıtmica
Short title
Função Raiz n-ésima
Função Raiz n-ésima
Definição
A função f : D(f ) ⊂ R → R, definida por f (x) = n
√
x , n ∈ N, é
denominada função raiz n-ésima de x .
Se n é um número par, D(f ) = [0;+∞) e Im(f ) = [0;+∞).
Se n é um número ı́mpar, D(f ) = R e Im(f ) = R.
Short title
Função Raiz n-ésima
Propriedades (n par)
Se n ∈ N é um número par,
∀a ∈ R, n
√
an = |a|
∀a, b ≥ 0, n
√
a · b = n
√
a · n
√
b
∀a, b < 0, n
√
a · b = n
√
−a · n
√
−b
∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
∀a < 0,∀b < 0, n
√
a
b
=
n
√
−a
n
√
−b
Short title
Função Raiz n-ésima
Propriedades (n par)
Se n ∈ N é um número par,
∀a ∈ R, n
√
an = |a|
∀a, b ≥ 0, n
√
a · b = n
√
a · n
√
b
∀a, b < 0, n
√
a · b = n
√
−a · n
√
−b
∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
∀a < 0,∀b < 0, n
√
a
b
=
n
√
−a
n
√
−b
Short title
Função Raiz n-ésima
Propriedades (n par)
Se n ∈ N é um número par,
∀a ∈ R, n
√
an = |a|
∀a, b ≥ 0, n
√
a · b = n
√
a · n
√
b
∀a, b < 0, n
√
a · b = n
√
−a · n
√
−b
∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
∀a < 0,∀b < 0, n
√
a
b
=
n
√
−a
n
√
−b
Short title
Função Raiz n-ésima
Propriedades (n par)
A função raiz n-ésima é crescente:
∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n
√
a <
n
√
b
∀a, b ≥ 0, n
√
a+ b ≤ n
√
a+ n
√
b.
Short title
Função Raiz n-ésima
Propriedades (n par)
A função raiz n-ésima é crescente:
∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n
√
a <
n
√
b
∀a, b ≥ 0, n
√
a+ b ≤ n
√
a+ n
√
b.
Short title
Função Raiz n-ésima
Propriedades (n ı́mpar)
Se n ∈ N é um número ı́mpar,
∀a ∈ R, n
√
an = a
∀a, b ∈ R, n
√
a · b = n
√
a · n
√
b
∀a ∈ R,∀b ∈ R∗, n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
A função raiz n-ésima é crescente:
∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n
√
a <
n
√
b
∀a, b ≥ 0, n
√
a+ b ≤ n
√
a+ n
√
b.
Short title
Função Raiz n-ésima
Propriedades (n ı́mpar)
Se n ∈ N é um número ı́mpar,
∀a ∈ R, n
√
an = a
∀a, b ∈ R, n
√
a · b = n
√
a · n
√
b
∀a ∈ R,∀b ∈ R∗, n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
A função raiz n-ésima é crescente:
∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n
√
a <
n
√
b
∀a, b ≥ 0, n
√
a+ b ≤ n
√
a+ n
√
b.
Short title
Função Raiz n-ésima
Propriedades (n ı́mpar)
Se n ∈ N é um número ı́mpar,
∀a ∈ R, n
√
an = a
∀a, b ∈ R, n
√
a · b = n
√
a · n
√
b
∀a ∈ R,∀b ∈ R∗, n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
A função raiz n-ésima é crescente:
∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n
√
a <
n
√
b
∀a, b ≥ 0, n
√
a+ b ≤ n
√
a+ n
√
b.
Short title
Função Raiz n-ésima
Propriedades (n ı́mpar)
Se n ∈ N é um número ı́mpar,
∀a ∈ R, n
√
an = a
∀a, b ∈ R, n
√
a · b = n
√
a · n
√
b
∀a ∈ R,∀b ∈ R∗, n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
A função raiz n-ésima é crescente:
∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n
√
a <
n
√
b
∀a, b ≥ 0, n
√
a+ b ≤ n
√
a+ n
√
b.
Short title
Função Raiz n-ésima
Propriedades (n ı́mpar)
Se n ∈ N é um número ı́mpar,
∀a ∈ R, n
√
an = a
∀a, b ∈ R, n
√
a · b = n
√
a · n
√
b
∀a ∈ R,∀b ∈ R∗, n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
A função raiz n-ésima é crescente:
∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n
√
a <
n
√
b
∀a, b ≥ 0, n
√
a+ b ≤ n
√
a+ n
√
b.
Short title
Função Raiz n-ésima
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n
√
xm =
(
n
√
x
)m
Se n é ı́mpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n
√
xm =
(
n
√
x
)m
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n
√
m
√
x = n·m
√
x
Se m e n são ı́mpares, então ∀x ∈ R, n
√
m
√
x = n·m
√
x
Short title
Função Raiz n-ésima
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n
√
xm =
(
n
√
x
)m
Se n é ı́mpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n
√
xm =
(
n
√
x
)m
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n
√
m
√
x = n·m
√
x
Se m e n são ı́mpares, então ∀x ∈ R, n
√
m
√
x = n·m
√
x
Short title
Função Raiz n-ésima
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n
√
xm =
(
n
√
x
)m
Se n é ı́mpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n
√
xm =
(
n
√
x
)m
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n
√
m
√
x = n·m
√
x
Se m e n são ı́mpares, então ∀x ∈ R, n
√
m
√
x = n·m
√
x
Short title
Função Raiz n-ésima
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n
√
xm =
(
n
√
x
)m
Se n é ı́mpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n
√
xm =
(
n
√
x
)m
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n
√
m
√
x = n·m
√
x
Se m e n são ı́mpares, então ∀x ∈ R, n
√
m
√
x = n·m
√
x
Short title
Função Raiz n-ésima
Gráfico: f (x) =
√
x
Short title
Função Raiz n-ésima
Gráfico: f (x) = 3
√
x
Short title
Função Exponencial
Função Exponencial
Definição
Seja a ∈ R, tal que a > 0 e a ̸= 1. A função f : A ⊂ R → B ⊂ R,
dada por f (x) = ax , denomina-se função exponencial de base a.
Exemplos
1 f (x) = 5x
2 f (x) =
(
1
2
)x
= 2−x
3 f (x) = ex
Short title
Função Exponencial
Função Exponencial
Definição
Seja a ∈ R, tal que a > 0 e a ̸= 1. A função f : A ⊂ R → B ⊂ R,
dada por f (x) = ax , denomina-se função exponencial de base a.
Exemplos
1 f (x) = 5x
2 f (x) =
(
1
2
)x
= 2−x
3 f (x) = ex
Short title
Função Exponencial
Observações
1 D(f ) = R
2 O par ordenado (0, 1) pertence a toda função exponencial
3 Im(f ) = R∗+ = (0;+∞)
4 Como a > 0 e a ̸= 1, temos duas possibilidades: a > 1 ou
0 < a < 1.
a > 1 ⇒ f é crescente
0 < a < 1 ⇒ f é decrescente
5 Na representação gráfica da função exponencial, temos uma
reta horizontal asśıntota (y = 0), que representa o limite
inferior da função.
Short title
Função Exponencial
Observações
1 D(f ) = R
2 O par ordenado (0, 1) pertence a toda função exponencial
3 Im(f ) = R∗+ = (0;+∞)
4 Como a > 0 e a ̸= 1, temos duas possibilidades: a > 1 ou
0 < a < 1.
a > 1 ⇒ f é crescente
0 < a < 1 ⇒ f é decrescente
5 Na representação gráfica da função exponencial, temos uma
reta horizontal asśıntota (y = 0), que representa o limite
inferior da função.
Short title
Função Exponencial
Observações
1 D(f ) = R
2 O par ordenado (0, 1) pertence a toda função exponencial
3 Im(f ) = R∗+ = (0;+∞)
4 Como a > 0 e a ̸= 1, temos duas possibilidades: a > 1 ou
0 < a < 1.
a > 1 ⇒ f é crescente
0 < a < 1 ⇒ f é decrescente
5 Na representação gráfica da função exponencial, temos uma
reta horizontal asśıntota (y = 0), que representa o limite
inferior da função.
Short title
Função Exponencial
Observações
1 D(f ) = R
2 O par ordenado (0, 1) pertence a toda função exponencial
3 Im(f ) = R∗+ = (0;+∞)
4 Como a > 0 e a ̸= 1, temos duas possibilidades: a > 1 ou
0 < a < 1.
a > 1 ⇒ f é crescente
0 < a < 1 ⇒ f é decrescente
5 Na representação gráfica da função exponencial, temos uma
reta horizontal asśıntota (y = 0), que representa o limite
inferior da função.
Short title
Função Exponencial
Gráfico da Função Exponencial (a > 1)
Short title
Função Exponencial
Gráfico da Função Exponencial (0 < a < 1)
Short title
Função Exponencial
Exemplos
Seja f (x) = 3x − 1
D(f )
Im(f )
Reta asśıntota
A função é crescente ou decrescente?
Pontos do gráfico
Gráfico
Short title
Função Exponencial
Exemplos
Seja f (x) =
(
3
5
)x
+ 7
D(f )
Im(f )
Reta asśıntota
A função é crescente ou decrescente?
Pontos do gráfico
Gráfico
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Função Exponencial
Número de Euler e
O número de Euler, denotado pela letra e, é um número irracional
dado por:
e = 2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995....
Como é irracional, possui infinitas casas decimais que não se
repetem periodicamente com uma certa frequência.
A função exponencial f (x) = ex (e suas composições) é usada
frequentemente para estudos nas finanças, f́ısica, engenharia,
biologia, astronomia e etc.
Short title
Função Exponencial
Exemplos
Seja f (x) = e−3x + 4
D(f )
Im(f )
Reta asśıntota
A função é crescente ou decrescente?
Pontos do gráfico
Gráfico
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Função Logaŕıtmica
LogaritmoDefinição
Sejam a, b ∈ R, tais que a > 0, a ̸= 1 e b > 0. O único número
real x tal que ax = b denomina-se logaritmo de b na base a e
indica-se por x = loga b. Assim,
x = loga b ⇔ ax = b.
Short title
Função Logaŕıtmica
Função Logaŕıtmica
Definição
Seja a ∈ R, tal que a > 0 e a ̸= 1. A função f : A ⊂ R∗+ → B ⊂ R,
dada por f (x) = loga x , denomina-se função logaŕıtmica de base a.
Exemplos
1 f (x) = log5 x
2 f (x) = log 1
5
x
3 f (x) = log10 x = log x
4 f (x) = loge x = ln x
Short title
Função Logaŕıtmica
Função Logaŕıtmica
Definição
Seja a ∈ R, tal que a > 0 e a ̸= 1. A função f : A ⊂ R∗+ → B ⊂ R,
dada por f (x) = loga x , denomina-se função logaŕıtmica de base a.
Exemplos
1 f (x) = log5 x
2 f (x) = log 1
5
x
3 f (x) = log10 x = log x
4 f (x) = loge x = ln x
Short title
Função Logaŕıtmica
Observações
1 D(f ) = R∗+
2 O par ordenado (1, 0) pertence a toda função logaŕıtmica
3 Im(f ) = R
4 Como a > 0 e a ̸= 1, temos duas possibilidades: a > 1 ou
0 < a < 1.
a > 1 ⇒ f é crescente
0 < a < 1 ⇒ f é decrescente
5 Na representação gráfica da função logaŕıtmica, temos uma
reta vertical asśıntota (x = 0), que representa o limite lateral
da função.
Short title
Função Logaŕıtmica
Observações
1 D(f ) = R∗+
2 O par ordenado (1, 0) pertence a toda função logaŕıtmica
3 Im(f ) = R
4 Como a > 0 e a ̸= 1, temos duas possibilidades: a > 1 ou
0 < a < 1.
a > 1 ⇒ f é crescente
0 < a < 1 ⇒ f é decrescente
5 Na representação gráfica da função logaŕıtmica, temos uma
reta vertical asśıntota (x = 0), que representa o limite lateral
da função.
Short title
Função Logaŕıtmica
Observações
1 D(f ) = R∗+
2 O par ordenado (1, 0) pertence a toda função logaŕıtmica
3 Im(f ) = R
4 Como a > 0 e a ̸= 1, temos duas possibilidades: a > 1 ou
0 < a < 1.
a > 1 ⇒ f é crescente
0 < a < 1 ⇒ f é decrescente
5 Na representação gráfica da função logaŕıtmica, temos uma
reta vertical asśıntota (x = 0), que representa o limite lateral
da função.
Short title
Função Logaŕıtmica
Observações
1 D(f ) = R∗+
2 O par ordenado (1, 0) pertence a toda função logaŕıtmica
3 Im(f ) = R
4 Como a > 0 e a ̸= 1, temos duas possibilidades: a > 1 ou
0 < a < 1.
a > 1 ⇒ f é crescente
0 < a < 1 ⇒ f é decrescente
5 Na representação gráfica da função logaŕıtmica, temos uma
reta vertical asśıntota (x = 0), que representa o limite lateral
da função.
Short title
Função Logaŕıtmica
Gráfico
Vamos construir o gráfico da função logaŕıtmica
Short title
Função Logaŕıtmica
y = logax , a > 1
Short title
Função Logaŕıtmica
y = logax , 0 < a < 1
Short title
Função Logaŕıtmica
Exemplos
Determine o doḿınio, a asśıntota vertical e esboce o gráfico das
funções abaixo.
1 f (x) = log (3x + 4)
2 f (x) = log 1
5
(3x − 7)
Short title
Função Logaŕıtmica
A função logaŕıtmica e a função exponencial
A função logaŕıtmica e a função exponencial são inversas uma da
outra.
Vejamos os gráficos de algumas funções logaŕıtmicas e
exponenciais de mesma base.
Short title
Função Logaŕıtmica
Gráficos de ax e logax
Observemos os gráficos de f (x) = log2x e de g(x) = 2
x .
Short title
Função Logaŕıtmica
Gráficos de ax e logax
Observemos os gráficos de f (x) = log 3
4
x e de g(x) =
(
3
4
)x
.
	Função Raiz n-ésima
	Função Exponencial
	Função Logarítmica