Algebra-conceitos-básicos

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CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU 
NÚCLEO DE PÓS-GRADUAÇÃO E EXTENSÃO - FAVENI 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA 
ÁLGEBRA: CONCEITOS BÁSICOS 
 
 
 
 
 
ESPÍRITO SANTO 
 
 
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FUNÇÕES 
 
HTTP://BRASILESCOLA.UOL.COM.BR/MATEMATICA/FUNCOES.HTM 
 
 Função do 1º. Grau 
 Função Constante 
 Função potência 
 Função Racional 
 Função Raiz 
 Função polinomial 
 Função logarítmica 
 Função trigonométrica 
 
O conceito de função sofreu uma grande evolução ao longo dos séculos, 
sendo que a introdução do método analítico na definição de função (séc., XVI, séc. 
XVII) veio para revolucionar a Matemática. 
 
 
3 
 
É importante apontarmos a origem da noção de função, lembrando desde o 
tempo dos gregos onde a teoria dominante era a Geometria Euclidiana que tinha 
como elementos fundamentais: o ponto, a reta e o plano. 
Foi nessa época que a teoria do Cálculo Infinitesimal surgiu, e a noção de 
função tornou-se um dos fundamentos do Cálculo Infinitesimal. 
Há aspectos muito simples sobre este conceito, que podem ser encontrados 
em épocas anteriores, como operações de contagem. Mas o seu surgimento como 
conceito claramente individualizado, e como objeto de estudo corrente em 
Matemática, remonta apenas ao final do século XVII. 
 
 
 
A origem da noção de função confunde-se, então, com os primórdios do 
Cálculo Infinitesimal. Ela surgia de forma um tanto confusa nos "fluentes" e "fluxões" 
de Newton (1642 - 1727), aproximando-se bastante do sentido atual de função, com 
a utilização dos termos "relatia quantias" para designar variável dependente, e 
"genita" para designar uma quantidade obtida, a partir de outras, por intermédio das 
quatro operações aritméticas fundamentais. 
 
 
4 
 
Leibniz (1646 - 1716) teve seu papel de importância nesta História, foi ele 
quem primeiro utilizou o termo "função", em 1673, no manuscrito Latino "Methodus 
tangentium". Leibniz usou o termo apenas para designar, em termos muito gerais, a 
dependência de uma curva de quantidades geométricas, como as sub tangentes e 
sub normais. Introduziu, igualmente, a terminologia de "constante", "variável" e 
"parâmetro". 
Com o desenvolvimento do estudo de curvas por meios algébricos, tornou-se 
indispensável um termo que representasse quantidades dependentes de alguma 
variável por meio de uma expressão analítica. Com esse propósito, a palavra 
"função" foi adaptada na correspondência trocada entre 1694 e 1698 por Leibniz e 
Johann Bernoulli (1667 - 1748). 
O termo "função" não aparecia ainda no léxico matemático utilizado em 1716, 
mas, dois anos mais tarde Johann Bernoulli publicou um artigo, que viria a ter 
grande divulgação, contendo a sua definição de função de uma certa variável como 
uma quantidade que é composta de qualquer forma dessa variável e constantes. 
Não podemos nos esquecer de Euler (1707 - 1783) - um antigo aluno de 
Bernoulli – que substituiu o termo "quantidade" por "expressão analítica". Foi 
também Euler quem introduziu a notação f(x). 
A noção de função era então identificada, na prática, com a “expressão 
analítica”, situação que haveria de vigorar pelos séculos XVIII e XIX, apesar de logo 
se perceber que conduzia a diversas incoerências e limitações do significado real do 
que era a expressão analítica. 
 
 
 
5 
 
 
 
Esta noção, associada às noções de continuidade e de desenvolvimento em 
série, conheceu sucessivas ampliações e clarificações, que lhe alteraram 
profundamente a natureza e o significado. 
Com o desenvolvimento do estudo das funções foram surgindo numerosas 
aplicações da Matemática a outras ciências, pois os cientistas, partindo de 
observações, procuravam uma fórmula (uma função) para explicar os sucessivos 
resultados obtidos. A função era, então, o modelo matemático que explicava a 
relação entre as variáveis. 
Assim, o conceito de função, que hoje nos parece simples, é resultado de 
uma evolução histórica, conduzindo sempre, cada vez mais à abstracção, e que só 
no século XIX teve o seu final. 
 
Definição: 
Função é qualquer relação de A em B, que associa a cada elemento de A um 
único elemento de B. Ex: 
 
 
6 
 
 
 
Fig. 1: Conceito de Função 
 
TIPOS DE FUNÇÃO 
 
2.1) Função do 1º. grau 
2.1.1) Função Crescente e Decrescente 
A função é crescente quando, na função, o valor de x aumenta e o valor da 
imagem de x também aumenta. x2 > x1 → f(x2) > f(x1) 
Ex: 
 
Fig. 2: Função crescente 
 
 
7 
 
 
A função é decrescente quando na função, o valor de x aumenta e o valor da 
imagem de x diminui. x2 > x1 → g(x2) < g(x1) Ex: 
 
 
Fig. 3: Função decrescente 
 
Estudos dos sinais de f(x) = ax +b 
Para fazermos o estudo dos sinais da função de 1º grau, precisamos 
estabelecer uma propriedade dessa função. 
Uma função de 1º grau, f(x) = ax + b: 
- é crescente se a > 0 
- é decrescente se a < 0 
 
Demonstração: 
Sejam x1 e x2 dois números reais quaisquer, com x2 > x1. Então, temos: 
1º) f(x) = ax + b e a > 0 
x2 > x1 
 
 
8 
 
 
Multiplicando ambos os membros pelo número a positivo, o sentido da 
desigualdade se conserva. 
 
ax2 >ax1 
 
Somando b a ambos os membros desta desigualdade, teremos: 
 
ax2 +b >ax1 +b 
 
Ou seja, 
 
f(x 2 ) > f(x 1 ) 
 
2º) f(x) = ax + b e a < 0 
 
x2 > x1 
 
E, novamente, vamos multiplicar ambos os membros pelo número a negativo, 
inverte-se o sentido da desigualdade. 
 
a * x2 > a* x1 
 
Neste momento, somaremos b a ambos os membros desta desigualdade, e 
teremos: 
 
 
9 
 
 
ax2 + b < ax1 + b 
 
Ou seja, 
 
f(x2) < f(x1) 
 
Desenhando apenas o eixo Ox, o gráfico da função de 1º grau pode ser: 
 
F(x) = ax + b 
 
 
Fig. 4: Gráficos das funções descritas acima. 
 
Por exemplo, para estudar os sinais de f(x) = -4x + 3 
 
1º) Cálculo da raiz 
 
f(x) = 0 → -4x + 3 = 0 → x = 
4
3
 
 
2º) Como a = -4, a função é decrescente. 
http://www.brasilescola.com/matematica/estudo-dos-sinais.htm
 
 
10 
 
 
 
 
Portanto, o gráfico de f (x) tem o seguinte aspecto: 
 
 
Fig. 5: Gráfico 
 
Assim temos: 
 
f(x) = 0 ↔ x =
4
3
 
 
f(x) > 0 ↔ x < 
4
3
 
 
f(x) < 0 ↔ x > 
4
3
 
 
 
 
 
 
11 
 
Função Constante 
 
Função constante é toda função em que os elementos do domínio possuem 
uma mesma imagem. 
Ex: 
 
 A, f(x) = kx 
 
 
Fig. 6: Diagrama de Função Constante 
 
 
2.3) Função potência: 
Toda função do tipo y = x n, onde "n" é um número natural, é chamada 
Função Potência. São exemplos de funções potências: 
y = x2 
y = x3 
y = x4 
 
 
 
12 
 
O domínio de y = x n é o conjunto dos reais, porque sempre podemos calcular 
x n, independente do valor de "x". 
Observemos o gráfico y = x2 abaixo, onde "n" é um número par: 
 
 Para "x" positivo, o 
crescimento da função é cada 
vez mais rápido: para "x" no 
intervalo [1,2] temos "y" no 
intervalo [1,4]; para "x" no 
intervalo [2,3] temos "y" no 
intervalo [4,9]; para "x" no 
intervalo [3,4] temos "y" no 
intervalo [9,16]; e assim por 
diante. 
 Observe que o gráfico para 
"x" negativo é uma reflexão 
do gráfico para "x" positivo. 
Fig. 7: Gráfico de f(x)=x 2 
 
Para o caso "n" ímpar, temos o gráfico abaixo. 
 
 
13 
 
 
Fig. 8: Gráfico de f(x) = x elevado à potência ímpar 
 
 
2.4) Função Racional: O Conceito de Proporcionalidade Inversa 
 
Toda função do tipo y = a/x (com "a" constante e x diferente de zero) 
estabelece uma relação tal que y.x é constante. Dizemos, então, que a variação de 
"y" é inversamente proporcional à variação de "x". 
Por exemplo: 
y = 
x
1
 
 
Onde a = 1. 
Observemos a função y = a/x para "a" positivo. Podemos verificar as 
seguintes características: 
 
 
14 
 
 Quando "x" cresce, tanto quanto quisermos em valor absoluto, o valor de "y" 
fica cada vez menor em valor absoluto, aproximando-se cada vez mais de zero, sem 
nunca alcançá-lo; 
 Quando"x" se aproxima de zero, o valor de "y"fica bem grande. 
 Quando “x” assume valores cada vez mais negativo, o valor de “y” tende a 
zero, e quando “x” chega, assume valores negativos, próximos a zero, o valor de 
“y” tende a menos infinito. 
 
Figura 9: Gráfico da função a/x , com “a” positivo. 
 
Como seria o comportamento desta função para "a" negativo? 
Uma análise similar para o caso "a" negativo é mostrado no gráfico abaixo. 
 
Figura 10: Gráfico da função a/x, com “a” negativo. 
 
 
15 
 
 
 
2.4.1) Função Racional Particular 
 
Toda função do tipo y = 1/x n, com x diferente de zero, é um caso particular de 
Função Racional. São exemplos dessas funções: 
 y = 1/x2 
 y = 1/x3 
 y = 1/x4 
O domínio de y = 1/x n é o conjunto dos reais, menos o zero, pois 1/ 0 não 
está definido. 
 
A função y = 1/x também é um caso particular de Função Racional, onde "n" é um 
número ímpar. 
 
 Podemos fazer "x" crescer 
tanto quanto quisermos 
(em valor absoluto) e 
teremos um "y" cada vez 
menor, aproximando-se 
cada vez mais de zero, 
sem nunca alcançá-lo; 
 Podemos também fazer 
"x" ter um valor muito 
próximo de zero (em valor 
 
 
16 
 
absoluto), obtendo, neste 
caso, um "y" tão grande 
quanto quisermos, sem 
limite. 
 
Figura 11: Gráfico da função y=
nx
1
com n ímpar 
 
Para o caso "n" par, temos o gráfico abaixo. 
 
 
Figura 12: Gráfico da função y= 1/x, com n par. 
 
 
Função Raiz 
 
Toda função do tipo y = x 1/n, onde "n" é um número natural, é chamada Função 
Raiz. São exemplos de funções raízes: 
 
 
17 
 
 
 
O domínio de y = x 1/n depende do parâmetro "n": se "n" for um número ímpar 
o domínio será o conjunto dos reais; se "n" for um número par o domínio será os 
reais positivos, pois a raiz de índice par, e radicando negativo, não está definida no 
conjunto dos números reais. 
Observe o gráfico y = x 1/2 abaixo, onde "n" é um número par: 
 
 A função raiz é crescente e 
positiva, para qualquer valor de 
"x". 
 
 Seu crescimento é mais 
significativo para valores 
pequenos de "x"; à medida que 
aumentamos o valor de "x", 
diminuímos a velocidade de 
crescimento da função. 
Figura 13: Gráfico da função y= x 
 
 
2
1
 
 
18 
 
Exercício resolvido 1 
 
1- Anderson faz o trajeto de sua casa à escola a pé. Ele faz sempre o mesmo 
trajeto, e percorre 1800m. Sai às 7:00 para chegar às 7:30, horário em que 
começam as aulas. 
No que segue, vamos falar em gráficos tempo-distância e tempo-velocidade: 
Gráfico tempo-distância Gráfico tempo-velocidade 
registra a distância que Anderson 
encontra-se de casa, em função do tempo 
registra a velocidade com que Anderson 
faz o trajeto, em função do tempo 
Observação: A variável tempo será representada no eixo x. 
 
a) Esboce o gráfico tempo-distância que representa o trajeto de Anderson. 
 
Figura 14: Gráfico da função f(t) = 1 t 
 
b) Esboce o gráfico do tempo-velocidade com que Anderson faz o trajeto. 
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
tempo(segundos)
d
is
tâ
n
c
ia
(m
)
Distância X Tempo
 
 
19 
 
 
 
Figura 15: Gráfico da função f(t) = 1 (velocidade X tempo) 
 
 
Funções polinomiais 
 
Polinômios 
 
Um polinômio de grau n é uma função da forma: 
 
p(x) = anx
n + an-1x
n-1 +...+ a2x
2 + a1x + a0 
 
Onde os coeficientes a0, a1,..., an são números reais conhecidos, an ≠ 0 e n é um 
número natural. 
A função linear afim y = ax + b, cujo gráfico é uma reta, e a função quadrática 
y = ax2 + bx + c, cujo gráfico é uma parábola, são exemplos de polinômios de 
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Tempo (segundos)
V
e
lo
c
id
a
d
e
 (
m
/s
)
Gráfico da função Velocidade X tempo
 
 
20 
 
primeiro grau e de segundo grau, respectivamente. O polinômio de grau zero é uma 
função constante. Cada uma das parcelas aix
i de um polinômio, é chamada 
monômio de grau i. 
Dado um polinômio p(x) = anx
n + an-1x
n-1 +...+ a2x
2 + a1x + a0, verifiquemos 
qual o significado geométrico da constante a0 .Observemos o polinômio y = 2x
4 - 3x3 
-4x2 -1x + 2 cujo gráfico é dado abaixo, e somente foi alterado o valor da 
constante a0. Observe o efeito que esta mudança acarreta no gráfico da função, 
quando a0 = -20, ao = -10, ao= , ao= 10 e a=20. 
 
 
Figura 16: Gráfico da função f(x)= 2x4 - 3x3 -4x2 -1x + 2 
 
Os exemplos mais simples de polinômios são as funções de potências da 
forma 1, x, x2, ..., xn . 
ao=2 
ao= - 20 
ao=10 
ao=20 
ao= - 10 
 
 
21 
 
Abaixo, estão traçados, em conjunto, os gráficos das seguintes funções 
potência de grau ímpar: 
f(x) = x3 g(x) = x5 
 
Figura 17 Gráfico da função f(x)=x 3 Figura 18: Gráfico da função 
g(x)=x5 
 
Observemos que quando x tende a infinito, o y também aumenta. E quanto 
maior o n, temos essa característica mais atenuante. 
 
Tabelas 1 e 2: Valores de x e f(x) 
x F(x)=x^3 x g(x)=x^5 
-10 -1000 -10 -100000 
-9 -729 -9 -59049 
-8 -512 -8 -32768 
-7 -343 -7 -16807 
-6 -216 -6 -7776 
-5 -125 -5 -3125 
-4 -64 -4 -1024 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x
y
f(x)=x3
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
x
y
f(x)=x5
 
 
22 
 
-3 -27 -3 -243 
-2 -8 -2 -32 
-1 -1 -1 -1 
0 0 0 0 
1 1 1 1 
2 8 2 32 
3 27 3 243 
4 64 4 1024 
5 125 5 3125 
 
Abaixo, estão traçados, em conjunto, os gráficos das seguintes funções potência de 
grau par: 
F(x)= x 2 g(x) =x 6 
 
Figura 19: Gráfico da função g(x)=x2 Figura 20: Gráfico da função g(x)=x4 
 
Estes gráficos foram feitos no software “ Matlab” : 
 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x
y
f(x)=x2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
x
y
g(x)=x4
 
 
23 
 
 
Figura 21: Tela inicial do Matlab 
 
À direita, vemos o prompt “ >>” esperando o nosso comando, para fazer o 
gráfico da função f(x) = x 3 . Por exemplo utilizamos o seguinte comando: 
 
fplot('x^3',[-2 2]); 
 
Onde observamos que a potência é representada pelo acento circunflexo e o 
intervalo que x pertence é de -2 a 2. 
 
Para colocar nome nos eixos e o título do gráfico, abrirá uma janela 
mostrando o gráfico, clique no “Insert” (inserir), que abrirá outra janela, em que irá 
escolher Xlabel , Ylabel e Title. 
 
 
24 
 
 
Figura 22: Tela do gráfico f(x) = x 3 
 
Um estudo completo de funções: 
A princípio, conhecendo-se o gráfico da função que modela o fenômeno que 
se quer estudar, é fácil localizar, visualmente, os seus máximos, ou mínimos, no 
intervalo considerado. Abaixo, o gráfico da função: 
 
 
25 
 
Fig. 23: Gráfico da função f(x)= 4x xx 40080 23  
 
Um ponto (x0, f(x0)) é um ponto máximo (mínimo) relativo, ou local de uma 
função f, quando f(x0) é o maior (menor) valor da função, em qualquer intervalo em 
torno de x0 .Por outras palavras, (x0, f(x0)) é um ponto de máximo (mínimo) relativo 
da função f, se f(x0) é o maior (menor) valor da função, numa certa vizinhança de x0. 
 Vamos determinar inicialmente o domínio desta função: 
 
D(f) = R 
 
Determinemos, agora, o intercepto x ( x, 0) 
Para isso, deveremos igualar a função a 0: 
 
4x 040080 23  xx 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
100
200
300
400
500
600
x
y
Determinação dos extremos da função 4*x3-80*x2+400*x
 
 
26 
 
 
Nesse caso, podemos colocar o x em evidência para acharmos as raízes 
reais: 
0)10020(4 2  xxx 
 
4x=0 x=0 
 
Ou 0)40020( 2  xx 
 
Onde tiramos que x = 10 
 
As raízes reais são 0 e 10. 
 
 Derivando a primeira, teremos: F´(x) = 12x 2 -160 x+ 400 
 
 Onde igualaremos a 0 para estudarmos o sinal da função 
 
 O discriminante será = (-160) 2 - 4*12*400 =6400 
 
 E as raízes desta equação serão x 1 = (160 +80)/24=240/24 = 10 
 
 A outraraiz será x 2 = (160-80)/24 = 3,3 
 
 
 
 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 24: Gráfico da função f(x)= 12x 2 -160 x+ 400 
 
 O que observamos é que antes de 3 e depois de 10 temos a função positiva 
e, entre eles, a função fica negativa. 
Assim, 
F é crescente em ]- 3,3, [ e ]10,  [ 
F é decrescente em ] 3,3 ; 10[. 
 
Podemos verificar se existe ponto de inflexão, ou seja, se há um ponto que 
mude a concavidade da função. Para isso, observemos a segunda derivada da 
função estudada: 
 
 f ’’(x)= 24x-160 
 Igualemos a f ’’(x) =0 
 Teremos: 24x-160=0 e x=6,66. 
 O que significa que encontramos o ponto de inflexão, pois f é côncava para baixo 
em ]- 6,6; [ e côncava para cima em ]6,6 ;  [ 
-200
0
200
400
600
800
1000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
y
 
x 
Estudo do sinal da derivada primeira 
 
 
28 
 
 
Resolvendo equações polinomiais 
 
I) Raízes complexas e irracionais 
 
 
 Se o número complexo a + bi é uma raiz da equação racional inteira P(x)=0, com 
coeficientes reais, então o número complexo conjugado a-bi também é uma raiz. 
Sendo assim, toda equação racional inteira de grau ímpar com coeficientes reais 
têm pelo menos uma raiz real. 
 Se a equação racional inteira P(x)=0, com coeficientes racionais, tem a+ b como 
raiz, onde a e b são racionais e b é irracional, então a- b também é uma raiz. 
 
II) Teorema da raiz racional 
 
 Se b/c , uma fração racional irredutível, é uma raiz da equação: 
 
anx
n + an-1x
n-1 +...+ a2x
2 + a1x + a0=0 com an 0 
 
 
 
29 
 
Com coeficientes inteiros, então b é um fator de a0 e c é um fator de an. 
 
 
 Assim, se b/c é uma raiz racional de 6x 3 +5x 2 -3x+2=0 , os valores de b são 
limitados aos fatores de 2, que são ,2,1 e os valores de c são limitados aos 
fatores de 6 que são 6,3,2,1  . 
 As raízes racionais possíveis são .3/2,6/1,3/1,2/1,2,1  
 
III) Teorema da raiz inteira. 
 
 Segue-se que, uma equação P(x)=0 tem coeficientes inteiros e o coeficiente 
líder é 1: 
 
 anx
n + an-1x
n-1 +...+ a2x
2 + a1x + a0=0 
 
 
 
30 
 
Teremos que toda raiz racional d P(x) =0 é um inteiro e um fator de ao. 
 Desse modo, as raízes racionais de uma equação como: 
x 3 +2x 2 -11x-12=0 
 
Se existirem, estão limitadas a .12,4,3,2,1  
 
IV) Teorema do Valor intermediário: 
 
 
 Se P(x) =0 é uma equação polinomial com coeficientes reais, então os valores 
aproximados para as raízes reais de P(x)+0 podem ser encontrados esboçando-se 
o gráfico de y=P(x) e determinando-se os valores de x nos pontos onde o gráfico 
intercepta o eixo x. 
 O importante deste processo é o fato de que, se P(a) e P(b) têm sinais 
opostos, então P(x)=0 tem pelo menos uma raiz entre x=a e x=b; 
 
 
31 
 
 
Exercício resolvido 2: 
 
Encontre o(s) intervalo(s) em que estão as raízes de P(x)= 2x 3 -5x 2 -6x+4 
 
Solução: 
Vamos iniciar pelo intervalo [-4,4] 
P(-4) = -180 
P(-3) = -77 
P(-2) = -20 
P(-1)=3 
P(0)=4 
P(1)=-5 
P(2)=-12 
P(3)=-5 
P(4)=28 
 
Observe que P(-2) e P(-1), P(0) e P(1) e P(3) e P(4) têm sinais opostos. Ou 
seja, existe uma raiz entre -2 e -1, outra entre 0 e 1 e a terceira entre 3 e 4. 
Nem sempre é possível localizar todas as raízes reais através deste 
procedimento, porque poderia haver mais de uma raiz entre dois inteiros 
consecutivos. Quando existe um número par de raízes entre dois inteiros 
consecutivos, o Teorema do Valor Intermediário não vai revelá-las, pois utilizamos 
apenas valores inteiros para x. O Teorema do Valor Intermediário não nos diz 
 
 
32 
 
quantas raízes reais existem no intervalo, mas apenas que existe pelo menos uma 
raiz no intervalo. 
 
V. Cotas, inferior e superior, para raízes reais. 
 
Um número a é denominado cota superior, ou limite superior, para as raízes 
reais de P(x)=0 se nenhuma raiz é maior que a. 
Um número b é denominado cota inferior, ou limite inferior, para as raízes 
reais de P(x)=0 se nenhuma raiz é menor que b. 
 
Seja: 
 
anx
n + an-1x
n-1 +...+ a2x
2 + a1x + a0=0 
 
com an, an-1, .. a2, a1, a0 reais e an>0 
 
Teremos: 
(1) Se pela divisão sintética de P(x) por x-a, com a0, todos os números obtidos na 
segunda linha são positivos ou nulos, então a é uma cota superior para todas as 
raízes reais de P(x)=0. 
(2) Se pela divisão sintética de P(x) por x-b, com b0, todos os números obtidos na 
segunda linha são alternadamente positivos e negativos (ou nulos), então b é uma 
cota inferior para todas as raízes reais de P(x)=0. 
 
 
 
33 
 
Exercício resolvido 3: 
 
Encontre um intervalo através das cotas, inferior e superior, que contenha 
todas as raízes de P(x)= P(x)= 2x 3 -5x 2 +6. 
 
Vamos iniciar fazendo a divisão pelos inteiros 1,2, 3,... 
 
 
 
 
 
Na 1ª linha colocamos os coeficientes 1,-5 0 e 6 
Na 2ª linha colocamos o número 1 para iniciar a divisão. 
 
 Fazemos a operação: Abaixa o número 2 
 Fazemos 1 * 2+ (-5) = -3 
 1 * (-3) + 0 =-3 
 1*(-3) + 6 = -3 
 
Como não conseguimos todos os números da 2ª linha, positivos ou nulos, vamos 
tentar com o número 2: 
 
 
 
 
 2 -5 0 6 
1 
 
2 -3 -3 -3 
soma 
 
 
34 
 
 
 2 -5 0 6 
2 2 -1 -2 2 
(multiplica) 
 
Quando dividimos por 3, a linha do quociente é toda positiva, de modo que 3 é o 
menor inteiro, que é uma cota superior para todas as raízes. 
 
 2 -5 0 6 
3 2 1 3 15 
 
Cota superior = 3 
 
Vamos fazer a divisão sintética com -1: 
 
 2 -5 0 6 
-1 2 -7 7 -1 
 
Quando dividimos por -1 , a linha do quociente alterna o sinal, assim, -1 é o maior 
inteiro que é uma cota inferior para as raízes de P(x). 
 
Cota inferior = -1 
 
Portanto, as raízes reais de P(x) = 2x
3
-5x
2
+6 estão no intervalo (-1,3). 
 
 
 
35 
 
VI) Regra de Sinais de Descartes 
 
 Se os termos de um polinômio P(x) com coeficientes reais forem listados em 
ordem decrescente das potências de x, dizemos que ocorre uma variação de sinal, 
pois dois termos consecutivos diferem em sinal. 
 A Regra de Sinais de Descartes diz que: 
 “ O número de raízes positivas de P(x)=0 é igual ao número de variações de 
sinal de P(x) ou menor que este número, diferindo deste por um número par, e o 
número de raízes negativas de P(x)=0 é igual ao número de variações de sinal de 
P(-x) ou menor que este número.” 
 
Por exemplo: 
 
x
9
-2x
5
+2x
2
- 3x+12=0 
 
Existem 4 variações de sinal de P(x), portanto pode ter 4, (4-2) ou (4-4) raízes 
positivas. 
Quando: 
 
P(-x) = (-x)
9
-2(-x)
5
+2(-x)
2
- 3(-x)+12 
P( - x) = -x
9
+2x
5
+2x
2
+ 3x+12 
 
Apenas 1 variação de sinal, ou seja, 1 raiz negativa. 
 
E as outras raízes? 
 
 
36 
 
Elas são raízes complexas !!! 
 
Exercício resolvido 4: 
 
I) Encontre uma raiz real de x 3 +3x 2 +8=0, com uma precisão de 2 casas 
decimais. 
 
Solução: 
Pela Regra de Descartes, temos: 
 
Não há raízes positivas, não há variação de sinal em P(x) 
 
Quando P(-x) = (-x) 3 +3(-x) 2 +8 
 P(-x)= -x 3 +3x 2 +8 
 
Há 1 variação de sinal, portanto, 1 raiz negativa. 
Então, vamos verificar onde está esta raiz: 
 
P(-4) P(-3) P(-2) P(-1) 
-68 -28 -6 4 
 
Teremos uma raiz entre -2 e -1, onde há variação de sinal. 
E ainda teremos que verificar o intervalo de comprimento de um décimo, que 
contém a raiz: 
 
 
 
37 
 
x -1 -1,1 -1,2 -1,3 -1,4 -1,5 -1,6 -1,7 -1,8 
P(x) 4 3,369 2,672 1,903 1,056 0,125 -0,896 -2,013 -3,232 
 
 Podemos verificar que a mudança de sinal de P(x) ocorre quando x=-1,5 e x= -1,6 
 A procura da nova raiz entre -1,6 e -1,5, então, teremos que tentar -1,51; -1,52; -
1,53,... 
 -
1,51 -1,52 -1,53 
0,027049 
-
0,07181 
-
0,17158 
 
Temos, então, uma raiz entre -1,52 e -1,51. 
 
I) Dado que uma raiz de x 3 + 2x 2 -23x -60=0 é 5, resolva a equação. 
Pela divisão sintética, temos: 
 
 1 2 -23 -60 
5 1 7 12 0 
 
 
 
Assim, a equação derivada(mas não é a P’(x))= x 2 +7x +12=0, cujas raízes 
são: -3 e -4. 
Assim, as três raízes são: -4,-3 e 5. 
 
 
 
38 
 
II) Determine as raízes racionais de 4x 3 + 15x-36=0 
Sabendo que b é um fator de a0= -36 
E c é um fator de an,=4 
 
Assim, os valores de b são limitados em .36,12,9,6,3,2,1  
Os valores de c estão limitados a 4,2,1  
E as raízes racionais possíveis são: 
Raízes negativas: -36 , -18, -12, -9, -6, -9/2, -4, -3, -9/4, -2, -1,-3/4, -1/2, -1/4 
Raízes positivas: 1/4, 1/2, 3/4, 1,2,9/4, 3,4,9;2, 6, 9, 12, 18, 36. 
 
Teste para cota superior: 
 4 0 15 -36 
1 4 4 19 -17 
Ainda há um termo negativo 
 
 4 0 15 -36 
2 4 8 31 26 
 
Todos os números da 2ª. linha são positivos, portanto, não há raiz (real) maior que 2. 
 
Teste para cota inferior: 
 4 0 15 -36 
-1 4 -4 19 -55 
 
Determinamos que não há raiz (real) menor que -1. 
 
 
39 
 
Assim, as únicas raízes racionais possíveis, maiores que -1 e menores que 2, são: 
-3/4, -1/2, -1/4, ¾, 3/2. 
 
Assim, teremos: 
x P(x) 
-0,75 
-
48,9375 
-0,5 -44 
-0,25 
-
39,8125 
0,75 
-
23,0625 
1,5 0 
 
Descobrimos, portanto, que 3/2 é a única raiz racional. 
E as outras são as raízes da equação: 4x 2 +6x +24=0 
 
 4 0 15 -36 
1,50 4 6 24 0 
 
As outras raízes são soluções desta equação, e são: x=- i
4
87
4
3
 
 
 
 
 
 
40 
 
Função logarítmica 
 
Logaritmo 
 
 Se b x =N, onde N é um número positivo e b é um número positivo distinto de 
1, então o expoente x é o logaritmo de N na base b e é escrito da seguinte forma: 
X=log b N 
 O logaritmo tem algumas aplicações muito importantes, principalmente no que 
diz respeito à transformação de números que estão sendo multiplicados para a 
operação de adição e à transformação de números de potência para a multiplicação. 
Devido a essas facilidades, o logaritmo tem sido muito utilizado em operações, como 
na Matemática Financeira. 
 
Propriedades do logaritmo: 
 
I) log b (M*N)= log b M+ log b N 
Exemplo: log (10 * 10) = log10+log10=1+1 =2 
II) log b
N
M
= log b M - log b N 
Exemplo: log 





10
100
=log100-log10=2-1=1 
III) log b M
n =n log b M 
 Exemplo: log 10 2 = 2* log10= 2*1 = 2. 
 
 
 
41 
 
LOGARITMOS COMUNS 
 
O sistema de logaritmos cuja base é 10 é chamado de sistema de logaritmo 
comum. Quando a base é omitida , subentende-se que a base é 10. 
Por exemplo, log 12=1,07918 pois 10 07918,1 =12. 
 
N o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 
11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 
12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 
13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430 
14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732 
15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014 
16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279 
17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529 
18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765 
19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989 
20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201 
21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404 
22 3424 3444 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598 
23 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784 
24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962 
25 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133 
26 4150 4166 4183 4200 4216 4232 4249 4265 4281 4298 
27 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 4456 
28 4472 4487 4502 4518 4533 4548 4564 4579 4594 4609 
29 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 4757 
30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900 
31 4914 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038 
32 5051 5065 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 5172 
33 5185 5198 5211 5224 5237 5250 5263 5276 5289 5302 
34 5315 5328 5340 5353 5366 5378 5391 5403 5416 5428 
35 5441 5453 5465 5478 5490 5502 5514 5527 5539 5551 
36 5563 5575 5587 5599 5611 5623 5635 5647 5658 5670 
37 5682 5694 5705 5717 5729 5740 5752 5763 5775 5786 
38 5798 5809 5821 5832 5843 5855 5866 5877 5888 5899 
39 5911 5922 5933 5944 5955 5966 5977 5988 5999 6010 
40 6021 6031 6042 6053 6064 6075 6085 6096 6107 6117 
41 6128 6138 6149 6160 6170 6180 6191 6201 6212 6222 
42 6232 6243 6253 6263 6274 6284 6294 6304 6314 6325 
43 6335 6345 6355 6365 6375 6385 6395 6405 6415 6425 
44 6435 6444 6454 6464 6474 6484 6493 6503 6513 6522 
N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 
 
 
42 
 
 O dígito que precede a parte decimal do número é a característica do 
logaritmo, e a fração decimal é a sua mantissa. Portanto, nesse exemplo: 
 
Característica=1 
Mantissa= 0,7918 
 
 A mantissa do logaritmo de um número é encontrada em tabelas, na quais 
subentende-se que cada mantissa seja precedida por vírgula, uma vez que ela é 
sempre inferior a 1. 
 A característica é determinada por uma análise do número, de acordo com as 
condições: 
 
a)Para um número maior que 1 , a característica é positiva e igual à quantidade de 
dígitos antes da vírgula menos um. Por exemplo: 
 
Número: 4.768 Característica: 3 
Número: 346 Característica: 2 
Número: 567 Característica: 2 
 
b) Para um número menor que 1, a característica é negativa e igual à quantidade de 
zeros, após à vírgula, mais 1. O sinal negativo da característica é representado da 
seguinte maneira: 
_
1 , um traço em cima do numeral, que mostrará apenas uma 
casa antes da vírgula, como o número:0,3485. 
 
 
43 
 
 
Tabela de logaritmos comuns 
 
 Vamos utilizar a tabela de logaritmos. Suponha que queiramos encontrar o 
logaritmo de 456. Assim, descemos na coluna de N até 45, deslocamo-nos para a 
direita até o coluna 6 e anotamos o número: 6590. 
 Sabemos que a característica de 456 é 2, então o log456 = 2,6590. 
 
N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
45 6532 6542 6551 6561 6571 6580 6590 6599 6609 6618 
46 6628 6637 6646 6656 6665 6675 6684 6693 6702 6712 
47 6721 6730 6739 6749 6758 6767 6776 6785 6794 6803 
48 6812 6821 6830 6839 6848 6857 6866 6875 6884 6893 
49 6902 6911 6920 6928 6937 6946 6955 6964 6972 6981 49 6902 6911 6920 6928 6937 6946 6955 6964 6972 6981 
50 6990 6998 7007 7016 7024 7033 7042 7050 7059 7067 
51 7076 7084 7093 7101 7110 7118 7126 7135 7143 7152 
52 7160 7168 7177 7185 7193 7202 7210 7218 7226 7235 
53 7243 7251 7259 7267 7275 7284 7292 7300 7308 7316 
54 7324 7332 7340 7348 7356 7364 7372 7380 7388 7396 
55 7404 7412 7419 7427 7435 7443 7451 7459 7466 7474 
56 7482 7490 7497 7505 7513 7520 7528 7536 7543 7551 
57 7559 7566 7574 7582 7589 7597 7604 7612 7619 7627 
58 7634 7642 7649 7657 7664 7672 7679 7686 7694 7701 
59 7709 7716 7723 7731 7738 7745 7752 7760 7767 7774 
60 7782 7789 7796 7803 7810 7818 7825 7832 7839 7846 
61 7853 7860 7868 7875 7882 7889 7896 7903 7910 7917 
62 7924 7931 7938 7945 7952 7959 7966 7973 7980 7987 
63 7993 8000 8007 8014 8021 8028 8035 8041 8048 8055 
64 8062 8069 8075 8082 8089 8096 8102 8109 8116 8122 
65 8129 8136 8142 8149 8156 8162 8169 8176 8182 8189 
66 8195 8202 8209 8215 8222 8228 8235 8241 8248 8254 
67 8261 8267 8274 8280 8287 8293 8299 8306 8312 8319 
68 8325 8331 8338 8344 8351 8357 8363 8370 8376 8382 
69 8388 8395 8401 8407 8414 8420 8426 8432 8439 8445 
70 8451 8457 8463 8470 8476 8482 8488 8494 8500 8506 
71 8513 8519 8525 8531 8537 8543 8549 8555 8561 8567 
72 8573 8579 8585 8591 8597 8603 8609 8615 8621 8627 
73 8633 8639 8645 8651 8657 8663 8669 8675 8681 8686 
74 8692 8698 8704 8710 8716 8722 8727 8733 8739 8745 
75 8751 8756 8762 8768 8774 8779 8785 8791 8797 8802 
 
 
44 
 
76 8808 8814 8820 8825 8831 8837 8842 8848 8854 8859 
77 8865 8871 8876 8882 8887 8893 88998904 8910 8915 
78 8921 8927 8932 8938 8943 8949 8954 8960 8965 8971 
79 8976 8982 8987 8993 8998 9004 9009 9015 9020 9025 
80 9031 9036 9042 9047 9053 9058 9063 9069 9074 9079 
81 9085 9090 9096 9101 9106 9112 9117 9122 9128 9133 
82 9138 9143 9149 9154 9159 9165 9170 9175 9180 9186 
83 9191 9196 9201 9206 9212 9217 9222 9227 9232 9238 
84 9243 9248 9253 9258 9263 9269 9274 9279 9284 9289 
N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 
 
Exercício resolvido 5: 
 
Calcule log 5,638 
Vamos até à tabela de logaritmos na linha de 56 e na coluna 3: 
 
Mantissa de log 5,630=0,7505 
Mantissa de log 5,640=0,7513 
 
Fazemos a diferença tabular: 0,7513 – 0,7505 = 0,0008 
 
Assim, teremos: 0,8 * 0,0008 = 0,00064 
 
Como queremos log 5,6380, fazemos: 
 
Log 5,630 + 0,00064 = 0,7505+ 0,00064 = 0,7511 (aproximando para 4 casas 
decimais) 
Comentário adicional: A mantissa de log 5638 , log 563,8 , log 56,38, etc... é 0,7511, 
mas as características diferem: 
 
 
45 
 
 
Assim: log 5638 =3,7511 log 0,5638 = 751,1
_
 
 Log 563,8 = 2,7511 log 0,05638 = 1751,2
_
 
 Log 56,38 =1,7511 
 Log 5,638 = 0,7511 
 
Antilogaritmo é o número que corresponde a um logaritmo. O antilogaritmo de 
0,7511 “significa” o número cujo logaritmo é 0,7511, esse número é 5,6380. 
 
Logaritmos naturais 
 
O sistema de logaritmos cuja base é a constante é chamado de sistema logarítmico 
natural. 
A indicação de um logaritmo com base“ e” (2,718...) é ln Assim, ln25 = loge 25. 
 
Utilização de tabelas com logaritmos naturais 
 
Abaixo, uma parte da tabela de logaritmos naturais: 
N 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
1 0 0,01 0,0198 0,0296 0,0392 0,0488 0,0583 0,0677 0,077 0,082 
1,1 0,0953 0,1044 0,1133 0,1222 0,131 0,1398 0,1484 0,157 0,1655 0,174 
1,2 0,1823 0,1906 0,1989 0,207 0,2151 0,2231 0,2311 0,239 0,2469 0,2546 
1,3 0,2624 0,27 0,2776 0,2852 0,2927 0,3001 0,3075 0,3148 0,3221 0,3293 
1,4 0,3365 0,3436 0,3507 0,3577 0,3646 0,3716 0,3784 0,3853 0,392 0,3988 
 
 
46 
 
1,5 0,4055 0,4121 0,4187 0,4253 0,43]8 0,4383 0,4447 0,4511 0,4574 0,4637 
1,6 0,47 0,4762 0,4824 0,4886 0,4947 0,5008 0,5068 0,5128 0,5188 0,5247 
1,7 0,5306 0,5365 0,5423 0,5481 0,5539 0,5596 0,5653 0,571 0,5766 0,5822 
1,8 0,5878 0,5933 0,5988 0,6043 0,6098 0,6152 0,6206 0,6259 0,6313 0,6366 
1,9 0,6419 0,6471 0,6523 0,6575 0,6627 0,6678 0,6729 0,678 0,6831 0,6881 
2 0,6931 0,6981 0,7031 0,708 0,713 0,7178 0,7227 0,7275 0,7324 0,7372 
2, 
1 0,74]9 0,7467 0,7514 0,7561 0,7608 0,7655 0,7701 0,7747 0,7793 0,7839 
2,2 0,7885 0,793 0,7975 0,802 0,8065 0,8109 0,8154 0,8198 0,8242 0,8286 
2,3 0,8329 0,8372 0,8416 0,8459 0,8502 0,8544 0,8587 0,8629 0,8671 0,8713 
2,4 0,8755 0,8796 0,8838 0,8879 0,892 0,8961 0,9002 0,9042 0,9083 0,9123 
2,5 0,9163 0,9203 0,9243 0,9282 0,9322 0,9361 0,94 0,9439 0,9478 0,9517 
2,6 0,9555 0,9594 0,9632 0,967 0,9708 0,9746 0,9783 0,9821 0,9858 0,9895 
2,7 0,9933 0,9969 1,0006 1,0043 1,008 1,0116 1,0152 1,0188 1,0225 1,026 
2,8 1,0296 1,0332 1,0367 1,0403 1,0438 1,0473 1,0508 1,0543 1,0578 1,0613 
2,9 1,0647 1,0682 1,0716 1,075 1,0784 1,0818 1,0852 1,0886 1,0919 1,0953 
3 1,0986 1,1019 1,1053 1,1086 1,1119 1,1151 1,1184 1,1217 1,1249 1,1282 
3,1 1,1314 1,1346 1,1378 1,141 1,1442 1,1474 1,1506 1,1537 1,1569 1,16 
3,2 1,1632 1,1663 1,1694 1,1725 1,1756 1,1787 1,1817 1,1848 1,1878 1,1909 
 
Para determinação do logaritmo natural de um número entre 1 e 10 tal como 
ln 3,26 =1,1817 
Se desejarmos determinar o logaritmo natural de um número natural de um 
número maior que 10 ou menor que 1.escreveremos o número em notação 
 
 
47 
 
científica, aplicaremos as regras dos logaritmos, e usaremos a tabela de logaritmos 
naturais e o fato de ln10=2,3026. 
Exemplo: ln 326 = ln (3,26 * 10 2 ) = 
 ln 3,26 + 2*ln10= 
 1,1817 + 2 *2,3026 = 
 5,8769 
 
Exercício resolvido 6: 
 
I. Calcule, utilizando logaritmo: 
P = 3,81 * 43,4 
Solução: 
logP= log (3,81 * 43,4) 
log P = Log 3,81 + log 43,3 
log P =0,5802 + 1,6364=2,2166. 
MUDANÇA DE BASE: 
Na HP12 C, não encontramos logaritmo decimal, somente ln, como podemos 
observar na figura abaixo: 
 
Fig. 25: Calculadora HP 12c 
 
 
48 
 
 
Essa é uma das razões porque devemos saber mudar a base do logaritmo, 
caso queiramos fazer alguma operação com os logaritmos. 
A mudança de base do logaritmo obedece a seguinte condição: 
 
log c b = 
c
b
a
a
log
log
 
 
Por exemplo, se queremos saber log 100 e não temos em mãos a tábua de 
logaritmo comum, ou nenhuma calculadora científica, podemos fazer: 
 
10ln
100ln
 
 
No caso da HP 12 C, aplica-se o algoritmo: 
100 (g) (ln) (enter) 
 
10 (g) (ln) 
 
O resultado será igual a 2. 
 
Algumas outras aplicações de logaritmos: 
I) O volume L de um som (em decibéis), percebido pelo ouvido humano 
depende da relação entre a intensidade I do som e o limiar Io de audição da media 
do ouvido humano. 
 
 
49 
 
II) Os químicos utilizam o potencial de hidrogênio, pH de uma solução para 
medir sua acidez ou basicidade. O pH da água destilada é cerca de 7. Se o pH da 
solução for superior a 7, diz-se que é ácida, se for inferior, diz-se que é básica. Se [ 
H  ] é a concentração de íons de hidrogênio em mols por litro, o pH é dado pela 
fórmula (Spegel & Moyer, 2004): 
 
pH = -log [ H  ] 
 
Determine o pH da solução cuja concentração de íons de hidrogênio é 4,65 X 10 5 
mols por litro. 
pH= -log [4,65 X 10 5 ] 
pH= -log 4,65 + 5log 10 
pH= - 0,6674 + 5 =4,3326 
III) O número e está envolvido em muitas funções que ocorrem na natureza. A curva 
de crescimento de vários materiais podem ser descritas pela equação exponencial: 
A=Ao* e rt 
A população de um país era 1.200.000 em 1990, e tinha uma razão anual de 
crescimento de 3%. Se o crescimento é exponencial, qual será a população em 
2008? 
 
A=1.200.000 e 18*03,0 
A= 1.200.000 * 1,7160 =2.059.208 pessoas 
 
IV ) Sabemos que o montante calculado em operações que estão sob o regime de 
juros composto segue a seguinte regra: 
 
 
50 
 
 
FV = PV * (1 + i ) n 
 
Onde FV = valor futuro ou montante 
PV= valor presente 
i= taxa de juros 
n= período 
 
Determine o período que dobrará um capital que é investido sob regime de 
juros compostos a uma taxa de 1 % am. 
 
2PV=PV*(1+0,01) n 
2 = 1,01 n 
Log 2 = n *log 1,01 
0,3010 = n* 0,0043 
n= 70 meses. 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
1) Observe a função do gráfico de f(x) = log x 
 
 
 
 
51 
 
 
Fig. 26: Gráfico de f(x)= log x 
 
Perceba que quando x=1 temos log1, e qualquer número elevado a 0 será 1. 
 
2) Quando temos f(x)= - log x 
 
Fig. 27: Gráfico da função f(x)=- log x 
 
Obteremos valor da função somente no 4º. Quadrante (x >0 e y<0) 
 
 
 
Gráfico da função logarítmica
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
x
y=
lo
g
x
Gráfico da função f(x) = - log x
-1,4
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
x
 y
 =
 -
lo
g
 x
 
 
52 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
FRANK AYRES JR. - Álgebra Moderna - - Mcgraw-Hill do Brasil Ltda. - 1971 
 
GELSON IELZZI e OSVALDO DOLCE - Álgebra III - Editora Moderna - 1973 
 
HIGINO H. DOMINGOS - Fundamentos da Aritmética - Capítulos I, II e III - Atual 
Editora - São Paulo 1991. 
 
NACHBIN,L. - Introdução à Álgebra. McGraw-Hill do Brasil, 1971 
 
SPIEGEL, Murray e. MOYER Robert. Álgebra. São Paulo: Ed.Bookman, 2002. 
 
 
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