CAPÍTULO 2 FUNÇÕES

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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL 
UNIVERSIDADE FEDERALDO PARÁ 
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE TUCURUI 
CURSO: ENGENHARIA MECANICA 2015 
DISCIPLINA: CÁLCULO 1 
PROFESSOR: Manoel Santos 
 
CAPÍTULO 2 
 
FUNÇÕES 
 
Resumo teórico e lista de exercícios 
 
RELAÇÕES E FUNÇÕES 
 
Introdução: 
Em nosso dia a dia é cada vez mais crescente a utilização de gráficos 
devido a facilidade de compreensão de dados. Hora estão nas revistas, 
hora estão nos telejornais, nas pesquisas eleitorais e muito mais. Foi o 
matemático suíço Jean Bernoulli (1667 – 1748) o primeiro a denominar 
função as relações entre conjuntos de grandezas diferentes. 
Geometricamente, o par ordenado representa um ponto do sistema de 
eixos cartesianos. Este sistema é composto por um par de retas 
perpendiculares. A reta horizontal é chamada de eixo x, eixo das 
abscissas ou Ox. A reta vertical é o eixo y, eixo das ordenadas ou eixo Ou. 
A origem do sistema cartesiano é o ponto 0 (zero), que tem abscissa e 
ordenada zero. Os eixos x e y dividem o plano em quadrantes numerados 
de I a IV, como mostra a figura: 
 
 
No exemplo , o ponto P é representado pelo par ordenado (m ,n), 
portanto, as coordenadas de P são (m , n), ou ainda, a abscissa de P é m 
e sua ordenada é n. Da mesma forma, qualquer ponto do plano cartesiano 
está associado a um único par ordenado. Existe uma relação biunívoca 
entre os pontos do plano e os números da reta real. O método usado em 
ℝ2 deve-se ao matemático francês René Descartes (1596 – 1650) a quem 
é atribuída a criação da geometria analítica em 1637. 
 
 
FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES REAIS 
 
Entende-se por função f uma terna 
 
(𝐴, 𝐵, 𝑎 → 𝑏) 
 
Onde A e B são dois conjuntos e 𝑎 → 𝑏, uma regra que nos permite 
associar a cada elemento a de A um único b de B. o conjunto A é o 
domínio de f e indica-se por 𝐷𝑓 , assim, 𝐴 = 𝐷𝑓 . O conjunto B é o 
contradomínio de f. o único b de B associado ao elemento a de A é 
indicado por f(a) leia-se: f de a; diremos que f(a) é o valor que f assume 
em a ou que f(a) é o valor que f associa a a. 
 
Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicado por 
𝑓: 𝐴 → 𝐵. Leia-se f de A em B. 
 
Uma função de variável real a valores reais é uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵, onde 
A e B são subconjuntos de IR. Até menção em contrário, só trataremos 
com funções de uma variável real a valores reais. 
 
 
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE FUNÇÃO 
 
Domínio de uma função é o valor que atribuímos a x. No diagrama, o 
domínio é o conjunto A e representa-se: 
 
Domínio; 𝐴 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) 
Contradomínio: 𝐵 = (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3 , 𝑦4, 𝑦5) 
Imagem 𝐼 = (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3) 
 
GRÁFICO: 
 
Seja 𝑓: 𝐴 → 𝐵 uma função. O conjunto 𝑮𝒇 = {𝒙, 𝒇(𝒙)/𝒙 ∈ 𝑨} 
Denomina-se gráfico de 𝑓. Assim, o gráfico de 𝑓 é um subconjunto do 
conjunto de todos os pares ordenados (x,y) de números reais. Munindo-se 
o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico 
de 𝑓 pode então ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto 
(𝑥, 𝑓(𝑥)) quando x percorre o domínio de 𝑓. 
 
 
FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE 
 
FUNÇÃO CRESCENTE: 
)()(,, 121221 xfxfxxIRxx  
 
 FUNÇÃO DECRESCENTE: 
)()(,, 121221 xfxfxxIRxx  
 
FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA 
 
FUNÇÃO INJETORA: uma função é injetora se para cada dois 
elementos distintos do domínio temos duas imagens diferentes no 
contradomínio: )()( 2121 xfxfxx  
 
 
 
FUNÇÃO SOBREJETORA: uma função é sobrejetora quando seu 
conjunto imagem é o próprio contradomínio. (não sobram elementos 
no contradomínio) 
 
 
FUNÇÃO BIJETORA: Funções bijetoras são funções que são 
simultaneamente injetora e sobrejetora. 
 
 
 
FUNÇÃO INVERSA: 
Toda função bijetora possui a sua inversa, ou seja, se f é uma aplicação 
de A em B, sua inversa será a aplicação de B em A, conforme mostra o 
diagrama: 
 
 
Conforme mostra o diagrama, concluímos que f(x1) = y1; f(x2) = y2; f(x3) = 
y3 . Assim, a função inversa de f será ABf 
 :1 . Daí temos: f(y1) = 
x1; f(y2) = x2; f(y3) = x3 
 
Representação: f -1 
 
 
FUNÇÃO COMPOSTA: 
Considere duas funções f e g tal que BAf : e CBg : , 
conforme mostra o diagrama: 
 
 
Queremos determinar uma única função CAh : que realize as 
mesmas operações que f e g. Esta função deve levar um elemento do 
conjunto A diretamente para C, sem passar por B. A função h, assim 
determinada, será chamada de função composta 
 
Notação: h(x) = gof(x) = g(f(x)). 
 
Tecnicamente, para determinar a função composta g(f(x)), devemos, na 
função g, substituir x pela função f(x) e resolver as operações necessárias. 
 
Exemplo: Seja a função f(x) = x + 1 e g(x) = 2x, ambas funções de 
IRIR  , determinar h(x) = gof(x) 
 
Solução: 
22))(()1(2)(2))((.2)(  xxfgxxfxfgxxg 
 
Exercícios 
1. Nos gráficos a seguir, indique se a função dada é injetora, 
sobrejetora ou bijetora. Considere IRIRf : 
 
 
2. Determinar a função inversa nos casos abaixo, sendo .
IRIRf : 
a) f(x) = 6x + 2 
b) f(x) = x3 – 1 
c) 
x
x
y
2
1
 
d) f(x) = 5x – 1 
e) f(x) = x3 – 4 
f) 
3
12
)(


x
xf 
g) f(x) = 1/x 
h) 
x
x
xf


1
2
)( 
i) 
3
1
)(
x
xf  
3. Dadas as funções definidas de 
1)(,1
3
)(,5)(: 2  xxh
x
xgxxfIRIR . Determine: 
 a) fog(x) b) foh(x) c) goh(x) 
d) gof(x) e) hof(x) f) hog(x) 
 
 
 
FUNÇÃO LINEAR: 
 
Uma função 𝑓: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅 dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, a constante, denomina-se 
função linear, seu gráfico é a reta que passa pelos pontos (0,0) e (1,a) 
 
 
FUNÇÃO AFIM ou FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
Definição: 
 Chama-se função do 1° grau a função 𝑓: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅 definida por 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 , com a e b constantes e 𝑎 ≠ 0. O é uma reta que passa 
pelo ponto (o,b) e é paralela à reta gráfico de f , onde : 
 
a - é o coeficiente angular da reta e determina a sua inclinação 
b – é o coeficiente linear da reta e determina a interseção da reta com o 
eixo 0y (ponto onde a reta corta o eixo y) 
 Gráfico: 
a representação geométrica da função do 1° grau é uma reta, portanto, 
para determinar o gráfico é necessário obter dois pontos desta reta. Em 
particular, procuraremos os pontos em que a reta corta os eixos 0x e 0y 
 
Função Crescente: se a é um número positivo (a > 0) 
 
Função Decrescente: se a é um número positivo (a < 0) 
 
 
 
FUNÇÃO CONSTANTE: 
 
Seja 𝑓: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅uma função tal que f(x) = h, onde ℎ ∈ 𝐼𝑅. Dizemos que f 
é uma função constante. 
O gráfico de uma função constante é uma reta horizontal passando pelo 
ponto (0,h). O conjunto imagem é {h} 
 
Em resumo, teremos: 
 a :Coeficiente angular (responsável pela declividade da reta 
 a > 0 – função crescente 
 a < 0 – função decrescente 
 b : ponto onde a reta intercepta o eixo Y 
 
FUNÇÃO POLINOMIAL: 
 
Uma função 𝑓: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅 dada por 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎0𝑥
𝑛 + 𝑎1𝑥
𝑛 −1 + 𝑎2𝑥
𝑛−2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑥 + 𝑎𝑛 
 
Onde 𝑎0 ≠ 0 
𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑛 são numero reais fixos 
 
FUNÇÃO RACIONAL 
 
Uma função racional f é dada por 
 
 𝑓(𝑥) = 
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
 
 
Onde p e q são duas funções polinomiais. 
O domínio de f é o conjunto: 
𝑥 ∈ 𝐼𝑅 / 𝑞(𝑥) ≠ 0 
 
 
UM POUCO DE ANALÍTICA 
 
 
PONTO MÉDIO 
 
 
PONTO MÉDIO: M = (xm , ym), 









2
2
ba
m
ba
m
yy
y
xx
x
 
 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS: 
 
 
Relembrando: Teorema de Pitágoras 
 
 
 
 
CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO ENTRE TRÊS PONTOS: 
 
Dados três pontos A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), A, B e C estão alinhados, se 
somente se: 
 
 
 Ou 0
ABA
ABA
yyyy
xxxx
D 
 
 
Caso contrário, tais pontos formam um triângulo 
 
 
EQUAÇÃO GERAL DA RETA: 
 
 Equação da Reta que passa por dois pontos A=(xa, ya) e B=(xb, yb): 
 
0
1
1
1

bb
aa
yx
yx
yx
 ou 0
aba
aba
yyyyxxxx
 
 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 00  boua 
 
 
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA: 
 
Da equação geral temos que ax + by + c = 0, daí 
 by = – ax – c 
b
c
b
ax
ycaxby  , chamando 
m
b
a
 e n
b
c
 , teremos a equação reduzida da reta: 
 
 
 
 
m – coeficiente angular 
n – coeficiente linear 
 
COEFICIENTE ANGULAR: 
 
Chamando mtg  , temos: 
 
 
 
 
22 )()( ABAB yyxxd  
0
1
1
1
33
22
11

yx
yx
yx
D 
nmxy  
 
b
a
m
x
y
xx
yy
mmtg
ab
ab 





 
Equação da reta dado o seu coeficiente angular: 
 
Dado o ponto 𝑷(𝒙𝟎, 𝒚𝟎) e o coeficiente angular m, temos 
 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
 
Exemplo: encontre a equação da reta que passa pelo ponto (2,5) e tem 
como coeficiente angular m = 1/2 
 
Solução: 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
 
𝑦 − 5 =
1
2
(𝑥 − 2) ⟹ 𝑦 − 5 =
𝑥
2
− 1 
 
∴ 𝑦 = 
𝑥
2
+ 4 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS: 
 
 Dadas as retas 
𝑟 → 𝑦 = 𝑚𝑟𝑥 + 𝑏 𝑒 
𝑠 → 𝑦 = 𝑚𝑠𝑥 + 𝑐 
 
Temos: 
 
 PARALELAS 
𝑟//𝑠 ⟺ {
𝑚𝑟 = 𝑚𝑠
𝑏 ≠ 𝑐
 
 
 PERPENDICULARES 
𝑟 ⊥ 𝑠 ⟺ 𝑚𝑟 . 𝑚𝑠 = −1 
 
 COINCIDENTES 
𝑟 = 𝑠 ⟺ {
𝑚𝑟 = 𝑚𝑠
𝑏 = 𝑐
 
 
 CONCORRENTES 
{
𝑚𝑟 ≠ 𝑚𝑠
𝑏 ≠ 𝑐
 
 
Exercícios de aplicação: 
 
1. Construa o gráfico das funções abaixo: 
a) y = 3x –1 b) y = - 4x +3 c) 4
3
2
 xy 
d) f(x) = 5x e) 
4
1
2
3
)(  xxf f) f(x) = -x 
2. Obter a equação da reta que passa pelos pontos Q(4,3) e R(0,7); 
3. Esboce o gráfico de 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1| + 2 
4. Simplifique 𝑓(𝑥) = 
𝑓(𝑥)− 𝑓(𝑝)
𝑥−𝑝
 ( 𝑥 ≠ 𝑝), sendo dados: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑒 𝑝 = 1 R: x + 1 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑒 𝑝 = −1 R: x – 1 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑒 𝑝 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 R: x + p 
d) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 𝑒 𝑝 = 2 R: 2 
e) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 𝑒 𝑝 = −1 R: 2 
f) 𝑓(𝑥) = 5 𝑒 𝑝 = 2 R: 0 
g) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑒 𝑝 = 2 R: 𝑥2 + 2𝑥 + 4 
h) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑒 𝑝 = −2 R: 𝑥2 − 2𝑥 + 4 
i) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑒 𝑝 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 R: 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑝2 
j) 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥
 𝑒 𝑝 = 1 R: − 
1
𝑥
 
5. Simplifique 𝑓(𝑥) = 
𝑓(𝑥+ℎ)− 𝑓(𝑥)
ℎ
 ( ℎ ≠ 0), sendo f(x) igual a: 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 R: 2 
b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 8 R: 3 
c) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 4 R: - 2 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 R:2x + h 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 R: 2x + 3 + h 
f) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 5 R: - 2x – h 
g) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 R:2x -2 + h 
h) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 3 R: 2x -2 + h 
i) 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 3 R: -4x -2h 
j) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥 + 1 R: 4x + 1 + 2h 
k) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 R:3𝑥3 + 3𝑥ℎ + ℎ2 
6. Determine o domínio das funções abaixo: 
a) 𝑓(𝑥) = −2 
 
b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 
 
c) 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥−1
 
 
d) 𝑓(𝑥) = 
𝑥
𝑥+2
 
 
e) 𝑓(𝑥) = 
𝑥+1
2𝑥−6
 
 
f) 𝑓(𝑥) = 
𝑥
𝑥2−1
 
 
g) 𝑓(𝑥) = 
2𝑥
𝑥2+1
 
 
h) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2 
 
i) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 1 
 
j) 𝑓(𝑥) = 
𝑥+1
𝑥2+𝑥
 
 
k) 
9
)(


x
x
xf 
 
l) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥+3
+
1
𝑥2−9
 
 
m) 
3
1
4
1
)(




xx
xf 
 
n) 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1| 
 
o) 𝑓(𝑥) = {
𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2
3 𝑠𝑒 𝑥 > 2
 
 
p) 𝑓(𝑥) = 
|𝑥|
𝑥
 
 
q) 𝑓(𝑥) = √
𝑥−1
𝑥+1
 
 
r) 𝑓(𝑥) = √
2𝑥−1
1−3𝑥
 
7. (FMJ-SP) Sabe-se que os pontos (-1,3) e (2,0) pertencem ao gráfico 
da função f, afim, dada por f(x) = ax + b, com a e b constantes reais, 
é correto afirmar que: 
a) O gráfico de f passa pela origem; 
b) f é crescente 
c) f(-2) = 0 
d) a + b = - 1 
e) f(0) > 0 
8. Se os pontos de coordenadas (-3,5) e (1,1) pertencem ao gráfico da 
função afim f(x) = ax + b, então: R: a 
a) f(x) > 0 para x < 2 b) f(x) < 0 para x < 2 c) f(x) > 0 para x > 3 
d) f(x) = 0 para x = - 2 e) f(x) = 0 para x = 3 
9. O preço a pagar por uma corrida de táxi depende da distância 
percorrida. A tarifa y é composta de duas partes: uma parte fixa 
denominada bandeirada e uma variável que depende do número de x 
de quilômetros rodados. Suponha que a bandeirada esteja custando 
R$ 2,80 e o quilômetro rodado R$ 0,80: 
a) Exprima y em função de x; 
b) Quanto se pagará por uma corrida em que o táxi rodou 15 km? 
10. Calcule em cada caso a distância entre os pontos A e B: 
a) A(-2,3) e B(3,2) 
b) A(0,1) e B(-10,8) 
c) A(0,0) e B(5,5) ] 
11. Obter a equação da reta dada pelos pontos: 
a) A(-2,3) e B(3,2) 
b) A(0,1) e B(-10,8) 
c) A(0,0) e B(5,5) 
12. Determine o coeficiente angular das retas que passam pelos pontos 
A e B, nos seguinte casos abaixo; 
a) A((-1,4) e B(3,2) 
b) A(3,4) e B(-2,3) 
c) A(2,4) e B( -2,5) 
13. Você aprendeu em geometria analítica que 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) é 
a equação da reta que passa pelo ponto (𝑥0, 𝑦0) e que tem 
coeficiente angular m. Determine a equação da reta que passa pelo 
ponto dado e tem coeficiente angular m dado: 
a) (1,2) e m = 1 
b) (0,3) e m = 2 
c) (-1, - 2) e m = -3 
d) (2, - 1) e m = - 1/2 
14. Determine a para que a reta dada seja paralela: 
a) 𝑦 = 𝑎𝑥 𝑒 𝑦 = 3𝑥 − 1 
b) 𝑦 = (𝑎 + 1)𝑥 + 1 𝑒 𝑦 = 𝑥 
c) 𝑦 =
2𝑥+1
3
 𝑒 𝑦 = 2𝑎𝑥 + 1 
d) 𝑦 = −𝑥 𝑒 𝑦 = 3𝑎𝑥 + 4 
e) 𝑦 = 2𝑥 + 𝑦 𝑒 𝑦 = 2𝑥 + 2 
15. Determine a equação da reta que passa pelo ponto dado e que seja 
paralela à reta dada. 
a) 𝑦 = 2𝑥 + 3 𝑒 (1,3) 
b) 𝑦 = 2𝑥 + 3𝑦 𝑒 (0,1) 
c) 𝑥 − 𝑦 = 2 𝑒 (−1,2) 
d) 2𝑥 + 3𝑦 = 1 𝑒 (0,1) 
16. Determine a equação da reta que passa pelo ponto dado e que seja 
perpendicular à reta dada: 
a) 𝑦 = 𝑥 𝑒 (1,2) 
b) 𝑦 = 3𝑥 + 2 𝑒 (0,0) 
c) 𝑦 = −3𝑥 + 1 𝑒 (−1,1) 
d) 2𝑥 + 3𝑦 = 1 𝑒 (1,1) 
17. Um móvel desloca-se (em movimento retilíneo) de (0,0) a (x,10)m 
com uma velocidade constante de 1m/s; em seguida, de (x,10) a 
(30,10) (em movimento retilíneo) com velocidade constante de 2m/s. 
Expresse o tempo total T(x), gasto no percurso, em função de x. 
(suponha que a unidade adotada no sistema seja o metro) 
18. Na fabricação de uma caixa, de forma cilíndrica, e volume 1m3, 
utilizam-se, nas laterais e no fundo, um material que custa $ 1000 o 
metro quadrado e na tampa um outro que custa $ 2000 o metro 
quadrado. Expresse o custo C do material utilizado, em função do 
raio r da base. 
 
 
 
ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
 
(I) Equação reduzida da circunferência de centro C=(xc, yc) e raio r: 
 
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 
 
(II) Equação geral da circunferência de centro C = (a,b) e raio r: 
 
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑥2 − 𝑟2 = 0 
 
19. Determine a equação de uma circunferência com centro no ponto 
(-3; 1) e raio 3; R: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟏 = 𝟎 
20. Dê as coordenadas do centro e a raio das circunferências 
representadas pelas equações: 
a) (𝒙 + 𝟐)𝟐 + (𝒚 + 𝟔)𝟐 = 𝟓 R: C(-2; -6) e r = √𝟓 
b) 𝒙𝟐 + (𝒚 − 𝟒)𝟐 = 𝟏 R: C(0;4) e r = 1 
21. As seguintes equações representam circunferências; determine as 
coordenadas do centro e o raio em cada caso: 
a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝟓 = 𝟎 R: C(3; -4) e r = √𝟐𝟎 
b) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒚 = 𝟎 R: (0;2) e r = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES EXPONECIAIS E LOGARITMOS 
 
Resumo teórico e lista de exercícios 
 
 
 
Definição: São equações que apresentam a variável no expoente. 
 
Exemplos:93 x 
 833 23  x 
 
As equações exponenciais podem ser classificadas em dois tipos: 
 
Simples: apresentam somente dois termos: 93 x 
 
Composta: apresentam mais de dois termos: 833 2  xx 
 
Equações Compostas : Neste caso, devemos tomar iguais todas as 
potencias que tiverem a variável no expoente e em seguida trocaremos de 
variável. Exemplo: 
 
32x –10.3x + 9 = 0, chamaremos 3x = y, o que implica y2 – 10y + 9 = 0, 
chegamos então em uma equação do segundo grau, com y` = 9 e y`` = 1. 
Como y = 3x, encontramos x = 0 e x = 2 
 
FUNCOES EXPONENCIAIS: 
 
É toda função da forma: 
 
xaxf )( com 0a 1a , IRx 
 
Classificação: 
 
Crescente: a > 1 
Decrescente 0 < a < 1 
 
Gráfico: é uma curva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADE DAS POTENCIAS 
 
1. 10 a 2. aa 1 3. nmnm aaa . 
 
4. 
nm
n
m
a
a
a  5.   nmnm aa . 
6.   mmm baba ..  7.
m
mm
b
a
b
a






 
8. 
m
m
a
a
1
 9.
mm
a
b
b
a













 
 
PROPRIEDADES DE RADICIAÇÃO 
I - n
m
n m aa  
II - 
nnn baba ..  
III - 
n
n
n
b
a
b
a
 
IV -   n ppn aa  
 
 
Equações exponenciais (exercícios de aplicação) 
1. 82 x 
2. 813 x R: 4 
3. 12 32 x R: 3/2 
4. 
8
27
3
2
5






x
 R: - 3/5 
5. 12 65
2
 xx R: 2 ; 3 
6. 202.5 13 x R: 1 
7. 06255
2
x R: -2 ; 2 
8. 
124 816   xx R: 13/2 
9. 
x273  R: 1/6 
10. A solucão da equacão 
122
1
16


x
 é: 
a) 1/6 b) 6 c) –6 d) –3/2 
11. 
52
2
10
10
10  x
x
 R: 3 
12.  5 11 512128.2   xxx R:14/31 
13. 0164 21  x R: -3 
14. 
4 4 33 4 648 
x
 R: 1 
15. 
xxx aaa 233 2 .  R: 5/7 
16. 
22 2. xaxa xbxa xb ccc     R: 1/a+b 
17. 0255 3
12 x R: 5/6 
Composta 
18. 2422 1  xx R: 3 
19. 5622
14   xx R: 2 
20. 854444
321   xxxx R: 3 
 
 
 
 
FUNÇÕES EXPONÊNCIAIS (EXERCÍCIOS) 
1. As pesquisas de um antropólogo revelaram que as populações indígenas das 
reservas Parakanã e Assurini variam de acordo com as funções f(t)=2t+2+75 e 
g(t)=2t+1+139, respectivamente, em que t é o tempo, em anos, e f(t) e g(t) 
representam o número de indivíduos dessas reservas, respectivamente. Assim 
podemos afirmar que as duas reservas terão op mesmo número de habitantes 
daqui a: 
a) 2 décadas b) 25 anos c) 3 décadas 
d) 32 anos e) 45 anos 
2. (UEPA) A temperatura interna de uma geladeira ( se ela não for 
aberta) segue a lei T(t) = 25.(0,8)t onde t é o tempo, em minutos, em 
que permanece ligada e T é a temperatura, em graus Celsius. Qual é 
a média aritmética entre a temperatura interna da geladeira no 
instante em que foi ligada e dois minutos depois que começou a 
funcionar? 
a) 25°C b) 16°C c) 21,5°C d) 20,5°C e) 41,2°C 
3. (FMJ-SP) O número de bactérias de uma cultura, t horas após o 
início de certo experimento, é dado pela expressão N(t) = 1 200.2 0,4t. 
Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a 
cultura terá 38 400 bactérias? 
4. Um automóvel desvaloriza-se à taxa de 25% ao ano. Qual o 
percentual de desvalorização sofrido por um automóvel comprado 5 
anos atrás? 
5. Numa determinada cultura há 200 bactérias em condições ideais. A 
cada duas horas a quantia dobra. Determine o número de bactérias 
12 horas após o início do estudo; 
6. Um grupo de estudantes observa uma cultura de bactérias. A cada 
cinco horas a quantia de bactérias triplica. O número de bactérias 15 
horas após a primeira observação era de 8 100. Qual a quantidade 
inicial de bactérias nesse experimento? 
 
 
 
LOGARITMO 
 
Conceito algébrico: 
 Dados dois números reais a e b com 10  a e 0b . 
Chamamos de logaritmo de “b” na base “a” ao expoente que se deve 
elevar “a” para se obter “b”. Assim, teremos: 
 
 
 
 
 
Onde: b : Logaritmando ou antilogaritmo 
 
a : Base 
x : Logaritmo 
Com 10;0  ab 
Exemplo: Calcule 
16
2log 
 
Solução: 
 
4162log162  xx
x
 
 
PROPRIEDADES: 
 
1 - 0log
1 a 2 - 1log 
a
a 
 
3 - 
c
a
b
a
cb
a logloglog
.  4 - 
c
a
b
a
cb
a logloglog
/ 
 
 
5 - 
b
a
b
a m
m
loglog  6 - 
a
c
b
cb
a
log
log
log  
7 - a
b
b
a
log
1
log  8 - 
b
ab
a
m
m
log.
log
 
9 - ba
b
a 
log
 10 - 
a
b
a
b n
n log
1
log  
 
SISTEMAS DE LOGARITMOS 
 Sistemas de logaritmos é um conjunto formado por todos os 
logaritmos expressos numa mesma base. 
 Exemplo: todos os logaritmos de base 2, formam o sistema de 
base 2 
 
SISTEMAS DE LOGARITMOS DECIMAIS: é o sistema de base 10, 
também chamado de logaritmos comuns, ou Vulgares ou Biggs (*). 
Quando escrevemos logx, sem identificar a base, entendemos 
xlo10 (os 
logaritmos decimais são determinados com o auxílio de Tábuas de 
logaritmo) 
 
Temos três logaritmos decimais muitos importantes, são: 
1 - 3010,02loglog 210  
2 - 4771,03loglog310  
3 - 6990,04loglog 410  
 
SISTEMA DE LOGARITMO NEPERIANO: 
 
é o sistema onde a base de logaritmos é o número irracional e = 2,718 ... 
Esses logaritmos também são chamados de logaritmos 
naturais. Indica-se em geral, com um dos símbolos abaixo: 
lxxxxe ,lg,ln,log 
 
Obs: lembrar que 
𝑙𝑛𝑦 = 𝑘 ⇒ 𝑦 = 𝑒𝑘 
 
Sendo 
𝑙𝑛𝑦 = ln 𝑥 + 𝑘 ⇒ 𝑦 = 𝑒𝑙𝑛𝑥+𝑘 = 𝑒𝑙𝑛𝑥. 𝑒𝑘 
 
𝑒𝑙𝑛𝑥 = 𝑒𝑙𝑜𝑔𝑒
 𝑥
= 𝑥, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎
𝑥
= 𝑥 
 
FUNÇÃO LOGARITMO 
 
 
x
axf log)(  
 
GRÁFICO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
bax xba log 
 
 
 
 
Exercícios Logaritmos: 
1. Calcule os logaritmos abaixo: 
a) 
32
2log 
b) 
64
2log 
c g) 
9/1
3log 
d)
4 8
2
log 
2. Determinada grandeza (A) varia em função do tempo (t), em 
meses, de acordo com a expressão: 
)1(
2log
 tA . Pergunta-
se: 
a. Qual é a quantidade inicial da grandeza (A)? 
b. Qual é a quantidade de (A) após 15 dias? 
c. Depois de quanto tempo (A) será igual a 100? 
3. O volume de um líquido volátil diminui de 20 % por hora. Após 
um tempo t, seu volume se reduz à metade. O valor que mais se 
aproxima de t é: Dado log2 = 0,30; 
a) 2h , 30min b) 2h c) 3h d) 3h, 24 min 
e) 4h 
4. Ao aplicar a juro composto um capital C durante t meses à taxa i 
por unidade de tempo, obtém-se o montante M ao final da 
aplicação. A fórmula pára o cálculo é M = C . ( 1+i )t. Determine 
durante quanto tempo o capital R$ 10.000,00 esteve aplicado à 
taxa de juro composto de 5% ao mês, gerando o montante de 
R$ 13.400,00. (Dado: log1,34=0,12 e log1,5=0,02). 
a) 6 meses c) 9 meses e) 12 meses 
b) 8 meses d) 10 meses 
5. A temperatura interna de uma geladeira (se ela não for aberta) 
segue a Lei T(t ) = 25 . (0,8)t, t é o tempo (em minutos) em que 
permanece ligada e T é a temperatura (em graus Celsius). Qual 
a temperatura interna da geladeira no instante em que ela foi 
ligada? 
a) 10°C c) 15°C e) 20°C 
b) 25°C d) 30° 
6. Um cartão de crédito cobra juros de 9% a.m. sobre o saldo 
devedor. Um usuário desse catão tem um saldodevedor de R$ 
505,00. Em quanto tempo essa dívida chegará a R$ 600,00 se 
não for paga? Dados: log2 = 0,3; log3 = 0,48; log1,01 = 0,04; 
log1,09 = 0,038) R: 2 meses 
7. Em quantos anos 500g de uma certa substância radioativa que 
se desintegra a uma taxa de 3% ao ano, se reduza a 100g? 
(Use Q = Q0.e – r t , em que Q é a massa da substância, r ´e a 
taxa e t é o tempo em anos. Dado: ln5 = 1,6094) R: 53,6 
8. Na América latina, a população cresce a uma taxa de 3% ao 
ano, aproximadamente. Em quantos anos sua população vai 
dobrar se a taxa de crescimento continuar constante? (dado: 
log2 0,30103; log1,03 = 0,01284) R: 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
1- Determine o período, a imagem e esboce o gráfico de um 
período completo das funções abaixo: 
c) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
d) 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥 
e) 𝑓(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥 
f) 𝑓(𝑥) = −2 𝑠𝑒𝑛𝑥 
g) 𝑓(𝑥) = |− 𝑠𝑒𝑛𝑥|
 
 
h) 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 
i) 𝑓(𝑥) = −2 + 3𝑠𝑒𝑛𝑥 
j) 𝑓(𝑥) = |2 + 3𝑠𝑒𝑛𝑥| 
k) 𝑓(𝑥) = 5 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 
l) 𝑓(𝑥) = 3 + 5𝑠𝑒𝑛𝑥 
m) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥
 
 
n) 𝑓(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛4𝑥 
o) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
 
p) 𝑓(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛
𝑥
4
 
q) 𝑓(𝑥) = |1 + 3𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
| 
r) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 
𝜋
2
) 
s) 𝑓(𝑥) = 4 + 2𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
2
− 
𝜋
2
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
Cálculo vol 1, UERJ, Mauricio Vilches, Maria Correa 
Fundamentos da matemática elementar, volume 1, gelson iezzi, carlos 
\murakami, 3º edição 
Guidorizzi, Hamilton Luiz; Um curso de Cálculo, Vol. 1; 5ª ed 
Leithold Louis, O cálculo com Geometria Analítica, vol.1 3º ed.