Cartas Topográficas na Topografia

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Cartas Topográficas
Topografia
Diretor Executivo 
DAVID LIRA STEPHEN BARROS
Gerente Editorial 
CRISTIANE SILVEIRA CESAR DE OLIVEIRA
Projeto Gráfico 
TIAGO DA ROCHA
Autoria 
LAIS MACEDO DANTAS
ALEXSANDRO DE ALMEIDA PEREIRA
AUTORIA
Lais Macedo Dantas
Sou formada em Arquitetura e Urbanismo, com uma pós-graduação 
em Design de Interiores, e trabalho atualmente como autônoma na área 
de arquitetura e escrevendo aulas. Sou apaixonada pelo que faço e adoro 
transmitir minha experiência de vida àqueles que estão iniciando em suas 
profissões. Por isso, fui convidada pela Editora Telesapiens a integrar seu 
elenco de autores independentes. Estou muito feliz em poder ajudar você 
nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte comigo!
Alexsandro de Almeida Pereira
Sou arquiteto e urbanista graduado pela Universidade Federal de Juiz 
de Fora (2007) e mestre pelo Programa de Pós Graduação em Arquitetura 
e Urbanismo (PPGAU) da Universidade Federal Fluminense (UFF) com 
enfoque na área de Habitação de Interesse Social. Sou membro do corpo 
docente do grupo ITEC, em que leciono para o curso de Arquitetura e 
Urbanismo da faculdade TECSOMA diversas disciplinas ligadas a projeto 
arquitetônico. Fui, ainda, membro do NDE e coordenador substituto do 
curso de Arquitetura e Urbanismo por seis meses e lecionei para o curso 
de Engenharia Civil das faculdades Atenas e FINOM de Paracatu — MG 
durante o período de dois anos e meio. Sou responsável pelo escritório 
Moinho, atuando nas mais diversas áreas de Projeto Arquitetônico, e ex-
presidente do Instituto dos Arquitetos do Brasil (IAB), núcleo de Juiz de Fora 
– MG, na gestão 2014-2016. Participei como Delegado da revisão do Plano 
Diretor da Cidade de Juiz de Fora (2015) e fui Conselheiro do Conselho 
Municipal de Meio Ambiente (CONDEMA) de Juiz de Fora, participando 
da elaboração do Plano Municipal de Saneamento Ambiental de Juiz de 
Fora (2013). Por isso, fui convidado pela Editora Telesapiens a integrar seu 
elenco de autores independentes. Estou muito feliz em poder ajudar você 
nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte comigo!
ICONOGRÁFICOS
Olá. Esses ícones irão aparecer em sua trilha de aprendizagem toda vez 
que:
OBJETIVO:
para o início do 
desenvolvimento de 
uma nova compe-
tência;
DEFINIÇÃO:
houver necessidade 
de se apresentar um 
novo conceito;
NOTA:
quando forem 
necessários obser-
vações ou comple-
mentações para o 
seu conhecimento;
IMPORTANTE:
as observações 
escritas tiveram que 
ser priorizadas para 
você;
EXPLICANDO 
MELHOR: 
algo precisa ser 
melhor explicado ou 
detalhado;
VOCÊ SABIA?
curiosidades e 
indagações lúdicas 
sobre o tema em 
estudo, se forem 
necessárias;
SAIBA MAIS: 
textos, referências 
bibliográficas e links 
para aprofundamen-
to do seu conheci-
mento;
REFLITA:
se houver a neces-
sidade de chamar a 
atenção sobre algo 
a ser refletido ou dis-
cutido sobre;
ACESSE: 
se for preciso aces-
sar um ou mais sites 
para fazer download, 
assistir vídeos, ler 
textos, ouvir podcast;
RESUMINDO:
quando for preciso 
se fazer um resumo 
acumulativo das últi-
mas abordagens;
ATIVIDADES: 
quando alguma 
atividade de au-
toaprendizagem for 
aplicada;
TESTANDO:
quando o desen-
volvimento de uma 
competência for 
concluído e questões 
forem explicadas;
SUMÁRIO
O que são e Para que Servem as Cartas Topográficas ................ 10
Conceito .................................................................................................................................................10
Orientação Magnética e Verdadeira das Cartas Topográficas .23
Conceito .................................................................................................................................................23
Direção Norte e Ângulos Notórios ....................................................................................26
Rumo e Azimute ...............................................................................................................................27
Cálculo de Áreas em Cartas Topográficas ....................................... 35
Cálculo de Áreas ............................................................................................................................35
Cálculo de Volumes em Cartas Topográficas ................................46
Cálculo de Volumes .................................................................................................................... 46
Métodos de Cálculo de Volumes ..................................................................................... 50
7
UNIDADE
03
Topografia
8
INTRODUÇÃO
Você sabia que a área da topografia é uma das mais áreas 
mais importantes da Arquitetura e Engenharia e que é responsável 
por construir cada vez mais construções? Isso mesmo, pois, sem o 
conhecimento das cartas topográficas, não é possível medir o terreno, 
e, assim, a construção não dará certo. Para uma boa obra ser realizada, 
é preciso entender o que são e para que servem as cartas topográficas, 
diferenciar a orientação magnética da verdadeira nas cartas topográficas, 
calcular áreas geográficas em cartas topográficas e calcular volumes em 
cartas topográficas, assim como seus métodos utilizados, que podem 
ser: método das alturas ponderadas, método das seções transversais, 
superfícies equidistantes e terraplanagem para plataformas. Entendeu? 
Ao longo desta unidade letiva, você vai mergulhar nesse universo!
Topografia
9
OBJETIVOS
Olá. Seja muito bem-vindo à Unidade 3. Nosso objetivo é auxiliar 
você no desenvolvimento das seguintes competências profissionais até o 
término desta etapa de estudos:
1. Entender o que são e para que servem as cartas topográficas.
2. Diferenciar a orientação magnética da verdadeira nas cartas 
topográficas.
3. Calcular áreas geográficas em cartas topográficas.
4. Calcular volumes em cartas topográficas.
Topografia
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O que são e Para que Servem as Cartas 
Topográficas
OBJETIVO:
Ao término deste capítulo, você será capaz de entender o 
que são e para que servem as cartas topográficas. Isso será 
fundamental para o exercício de sua profissão. As pessoas 
que tentaram realizar levantamentos topográficos sem a 
devida instrução tiveram problemas ao construir. Motivado 
para desenvolver essa competência? Então vamos lá. 
Avante!
Conceito
Para que se tenha uma correta interpretação do uso de mapas/
cartas topográficas e de imagens satélites, é necessário que se saiba os 
conceitos básicos. Para falar sobre cartografia, precisamos entender o uso 
das escalas. Elas têm sua definição como a relação entre as distâncias 
lineares que são representadas em mapas e as que existem no terreno. 
Nesse sentido, elas podem ser classificadas em escalas numéricas, 
gráficas ou nominais.
 • Escala numérica: de acordo com Fitz (2008):
É representada por uma fração em que o numerador 
é sempre a unidade, designando a distância medida 
no mapa, e o denominador, representa a distância 
correspondente no terreno. (FITZ, 2008, p. 19)
Pode ser representada por: 
1:10.000
1/10.000
Nesse exemplo, a leitura é feita da seguinte forma: a escala é de 
um para dez mil, ou seja, para cada unidade no mapa, equivale a dez mil 
unidades, na realidade. 
Topografia
11
EXEMPLO:
Se for representar um terreno, cada centímetro que será 
representado no mapa corresponderá a dez mil centímetros, ou seja, a 
cem metros. 
 • Escala gráfica: de acordo com Fitz (2008):
É representada por uma linha ou barra (régua) graduada, 
contendo subdivisões denominada talões. Cada talão 
apresenta a relação de seu comprimento com o valor 
correspondente no terreno, indicado sob forma numérica, 
na sua parte inferior. O talão, preferencialmente, deve ser 
expresso por um valor inteiro. (FITZ, 2008, p. 19)
Ela é dividida em duas partes: a principal, que fica localizada do zero 
para a direita, e a fracionária, localizada do zero para a esquerda. Utiliza-se 
como se fosse uma régua,fazendo a relação da distância do mapa com 
a realidade.
Figura 1 – Escala gráfica
1000 0 1000 2000 3000 4000m
Fonte: Fitz (2008, p. 20).
 • Escala nominal: de acordo com Fitz (2008):
escala nominal ou equivalente, é apresentada 
nominalmente por extenso, por uma igualdade entre o 
valor apresentado no mapa e sua correspondência no 
terreno. (FITZ, 2008, p. 20)
Por exemplo, utilizando o sistema métrico:
1 cm = 20 km
1 cm = 10 m
A leitura é interpretada como um centímetro equivale a vinte 
quilômetros, e um centímetro equivale a dez metros. 
A NBR 13133 (1994) define o conceito de cartas como:
Representação gráfica sobre uma superfície plana, dos 
detalhes físicos, naturais e artificiais, de parte ou de toda a 
superfície terrestre - mediante símbolos ou convenções e 
meios de orientação indicados, que permitem a avaliação 
Topografia
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das distâncias, a orientação das direções e a localização 
geográfica de pontos, áreas e detalhes -, podendo ser 
subdividida em folhas, de forma sistemática, obedecido 
um plano nacional ou internacional. Esta representação 
em escalas médias e pequenas leva em consideração a 
curvatura da Terra, dentro da mais rigorosa localização 
possível relacionada a um sistema de referência de 
coordenadas. A carta também pode constituir-se numa 
representação sucinta de detalhes terrestres, destacando, 
omitindo ou generalizando certos detalhes para satisfazer 
requisitos específicos. A classe de informações, que 
uma carta, ou mapa, se propõe a fornecer, é indicada, 
frequentemente, sob a forma adjetiva, para diferenciação 
de outros tipos, como, por exemplo, carta aeronáutica, 
carta náutica, mapa de comunicação, mapa geológico. 
(ABNT, 1994, p. 2)
Podem ser aplicadas em vários tipos, desde detalhes de terrenos 
urbanos a mapas de estados e países.
Figura 2 – Aplicações
Aplicação Escala
Detalhes de terrenos urbanos 1:50
Planta de pequenos lotes e edifícios 1:100 e 1:200
Planta de arruamentos e loteamentos urbanos 1:500 e 1:1000
Planta de propriedades rurais
1:1000 
1:2000 
1:5000
Planta cadastral de cidades e grandes 
propriedades rurais ou industriais
1:5000 
1:10 000 
1:25 000
Cartas de municípios 1:50 000 1:100 000
Mapas de estados, países, continentes etc. 1:200 000 a 1:10 000 000
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2012, p. 37).
Topografia
13
As cartas podem ser classificadas de acordo com suas 
características, ou seja, de acordo com os objetivos ou com a escala. Em 
relação aos objetivos, eles compreendem:
 • Mapas/cartas genéricas ou gerais: não têm finalidade específica 
e servem somente para efeitos ilustrativos, sem grande precisão. 
Um exemplo seria o mapa da divisão de um estado.
Figura 3 – Mapa divisão de estados
Fonte: Freepik
 • Mapas/cartas especiais ou técnicas: são feitos para finalidade 
específica, tendo sua precisão muito variável, como os mapas 
turísticos. 
Topografia
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Figura 4 – Mapa turístico
Fonte: Pixabay
 • Mapas/cartas temáticas: são os mapas-base que possuem 
aspectos ou temas sobre outros mapas que já existem, como os 
mapas geológicos.
 • Mapa/carta imagem: de acordo com Fitz (2008), são 
Imagem apresentada sobre um mapa-base, podendo 
abranger objetivos diversos. Utilizado para complementar 
as informações de uma maneira mais ilustrativa, a fim de 
facilitar o entendimento pelo usuário. (FITZ, 2008, p. 28)
Quanto a sua representação cartográfica de acordo com a sua 
escala, as cartas podem ser representadas como planta, carta cadastral, 
carta topográfica e carta geográfica. 
 • Planta: utilizada para um detalhamento bastante minucioso, 
quando sua escala é maior de 1:1000, como em redes de esgoto 
e água.
Topografia
15
Figura 5 – Planta
Fonte: Freepik
 • Carta cadastral: possui bastante detalhe e precisão, com 
escalas maiores que 1:5000. São utilizadas para levantamentos 
topográficos. 
 • Carta topográfica: de acordo com Fitz (2008):
compreende as escalas médias, situadas em 1:25000 e 
1:250000 e contém detalhes planimétricos e altimétricos. 
As cartas topográficas normalmente são elaboradas, com 
base em levantamentos aerofotogramétricos, com o apoio 
de bases topográficas já existentes. (FITZ, 2008, p. 29)
 • Carta geográfica: é utilizada para escalas menores que 1:500000. 
Sua simbologia é diferenciada para representar a planimetria e 
altimetria, por meio das curvas de níveis, ou cores hipsométricas, 
que representam relevos de qualquer área, com cores azuis, para 
áreas alagadas, cores verdes, para regiões baixas, e cores de tom 
amarelo e vermelho, para áreas mais altas. 
Topografia
16
Os pontos altimétricos, as curvas de níveis e cores hipsométricas 
são utilizados para representação do relevo. Campos (2008) apresenta a 
seguinte a definição para os pontos altimétricos: 
Na representação por pontos altimétricos são utilizados 
símbolos pontuais, que representam a localização 
geográfica da qual se conhece a altitude. A altitude, que é 
o atributo representado do relevo, é indicada por um texto 
adjacente ao símbolo pontual. Portanto, na representação 
por pontos altimétricos, o relevo é classificado pela 
variação em altitude, não sendo incluída a declividade. 
(CAMPOS, 2008, p. 257)
Figura 6 – Pontos altimétricos
Fonte: Campos (2008, p. 258).
Esses pontos servem para indicar pontos altos, picos, povoados, 
depressões, entre outros tipos. Eles são bastante úteis quando são 
utilizados com as curvas de níveis e as cores hipsométricas. 
IMPORTANTE:
A representação das curvas de níveis depende de dois 
elementos: a declividade e a altitude, que são intervalos 
verticais constantes. Com isso, deve-se considerar a 
natureza do terreno, a escala do mapa, as exigências do 
uso do mapa e, por fim, a dificuldade de coletar os dados.
Topografia
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A natureza do terreno dá-se pela declividade da área que será 
mapeada. Com isso, Keates (1973) afirma que são feitas duas soluções, 
caso o terreno possua declividade grande: diferentes intervalos para 
diferentes tipos de declive e curvas suplementares para áreas que 
possuem menos declive. 
Figura 7 – Relevo
Fonte: Pixabay
A escala da carta depende do uso do mapa. Quando for definir o 
menor intervalo vertical, é necessário que a escala seja maior. No caso 
do menor, é necessário fazer um estudo dos custos e das dificuldades 
impostas ao se medir o terreno. Com isso, é feita a representação 
tridimensional do terreno, por meio de linhas. 
Campos (2008) apresenta o seguinte sobre as curvas de níveis:
Em geral são numeradas algumas curvas de nível, 
chamadas de curvas mestras, sendo a numeração das 
demais dependente da necessidade do usuário da carta. 
As curvas mestras são representadas a intervalos verticais 
constantes, tendo-se como resultado um número também 
constante de curvas de nível, chamadas de curvas padrão, 
entre as curvas mestras. Tanto a qualidade dos dados 
coletados, como a classificação das curvas, em curva de 
nível mestra e curva de nível padrão, são diferenciadas na 
representação cartográfica pelas variáveis visuais: tamanho 
e luminosidade (linhas contínuas e linhas tracejadas). 
(CAMPOS, 2008, p. 260)
Topografia
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Figura 8 – Curvas de níveis
Fonte: Campos (2008, p. 258).
Existem quatro tipos de curvas de níveis para representação:
 • Mestra: mais grossa e contínua.
 • Padrão medida: mais grossa e contínua que a mestra.
 • Suplementar: mais grossa e contínua que a padrão.
 • Interpolada: linha tracejada.
Figura 9 – Simbologia
Fonte: Campos (2008, p. 261).
Topografia
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E, por último, as cores hipsométricas, de acordo com Campos 
(2008):
O problema da representação do relevo através de cores 
é basicamente a definição número de intervalos de 
altitude (intervalos de classe) entre as altitudes extremas, 
que serão representadas pelas cores e a escolha das 
próprias cores que representarão cada intervalo de 
classe. Arepresentação hipsométricas por cores é uma 
das possibilidades de representação de uma distribuição 
contínua de um fenômeno sobre a superfície terrestre. 
Pode-se de uma maneira geral representar qualquer 
ocorrência de distribuição contínua por este processo. 
(CAMPOS, 2008, p. 261) 
Figura 10 – Representação
Fonte: Campos (2008, p. 262).
Topografia
20
De acordo com Fonte e Vicente (2006), a cartografia topográfica 
pode ser definida como:
A cartografia topográfica tem como objetivo a representação 
plana da informação geográfica designada por informação 
topográfica, nomeadamente o relevo, linhas de água, 
vegetação, construções, vias de comunicação, redes de 
transporte de energia. etc. A informação geográfica não 
topográfica (por exemplo, demografia, exposição solar, 
pluviosidade, aptidão para construção etc.) é designada 
por informação temática e a sua representação sobre uma 
base topográfica é designada por cartografia temática. 
(FONTE; VICENTE, 2006, p. 20)
As cartas topográficas têm escalas maiores ou iguais a 1:500.000 e 
menores que 1:10.000. Os topógrafos, engenheiros e arquitetos utilizam-
nas no estudo das vias de comunicação, hidráulica, entre outros. 
Figura 11 – Vias de comunicação
Fonte: Pixabay
Podem ser representadas por planimetria e altimetria. A planimetria, 
por meio dos pontos na carta, e a altimetria, pela representação do relevo, 
por meio das curvas de nível.
Numa carta, as retas paralelas à meridiana formam com 
as linhas que representam os meridianos um ângulo 
Topografia
21
que aumenta à medida que nos afastamos do meridiano 
origem. Este ângulo designa-se por convergência dos 
meridianos, e pode, sem grande erro, ser considerado 
constante nas zonas em que se divide a carta de um país. 
Sendo o Norte Cartográfico (N.C.) a direção definida pelo 
meridiano central e o Norte Geográfico (N.G.) a direção 
definida pelos outros meridianos representados na carta, 
a convergência dos meridianos é o ângulo formado pelo 
N.C. e pela reta tangente ao N.G. no ponto considerado. 
(FONTE; VICENTE, 2006, p. 20)
Figura 12 – Norte cartográfico e geográfico
(NC)
MERIDIANA γ – convergência dos meridianos
PERPENDICULAR
(NG) (NC)
γ
C
Fonte: Fonte e Vicente (2006, p. 20).
As cartas representam aspectos naturais e artificiais da superfície da 
Terra, avaliando distância, direções, pontos e áreas. Para se compreender 
a carta, é imprescindível que a precisão seja coerente com a escala. Com 
a carta topográfica, é possível visualizar o que há no terreno.
Topografia
22
Figura 13 – Representação
P1 localização 
dos perfis de solo
22º 19’
30º
22º20’
28
22º21’
26
0,4 0 0,4 0,8 12 1,8 km
Fonte: Campos (2008, p. 257).
RESUMINDO:
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
vamos resumir tudo o que vimos. Você deve ter aprendido o 
conceito de cartas e para que são utilizadas, como também 
sua classificação de acordo com suas características, que 
podem ser de acordo com os objetivos ou com a escala. 
Em relação aos objetivos, esses podem ser: mapas/cartas 
genéricas ou gerais, mapas/cartas especiais ou técnicas, 
mapas/carta temáticas, mapa/carta imagem. E, em relação 
a sua representação cartográfica, são de acordo com a sua 
escala, como planta, carta cadastral, carta topográfica e 
carta geográfica.
Topografia
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Orientação Magnética e Verdadeira das 
Cartas Topográficas
OBJETIVO:
Ao término deste capítulo, você será capaz de entender 
como funciona a orientação magnética e verdadeira 
das cartas topográficas. Isso será fundamental para o 
exercício de sua profissão. As pessoas que tentaram 
realizar a orientação magnética e verdadeira das cartas 
topográficas sem a devida instrução tiveram problemas ao 
realizar as construções. Motivado para desenvolver essa 
competência? Então vamos lá. Avante!.
Conceito
Com o passar dos anos, a representação cartográfica vem crescendo 
cada vez mais. Um dos elementos que se estuda nas cartas topográficas 
é a orientação, que está relacionada ao “nascer do Sol”, em direção ao 
Oriente. A orientação também está relacionada ao nosso corpo. Nesse 
método, nossa mão direita apontada indica a direção Leste, na qual o Sol 
nasce, e o mão esquerda estendida aponta para direção Oeste, na qual o 
Sol se põe, a nossa frente seria o Norte, e as costas, o Sul. 
IMPORTANTE:
Essas orientações são simbolizadas pelos pontos cardeais:
 • Norte (N).
 • Sul (S).
 • Leste (E ou L).
 • Oeste (W ou O).
Figura 14 – Representação
Topografia
24
Zênite
Fonte: Fitz (2008, p. 35).
IMPORTANTE:
Deve-se atentar à posição do observador em relação ao 
Sol, pois nem sempre a posição latitudinal está correta, 
com isso a posição do Sol não estará na direção Leste.
É imprescindível que em todas as cartas topográficas haja a 
indicação do Norte. Geralmente, o Norte é indicado pra cima e o Sul para 
baixo. Com isso, usa-se a rosa dos ventos, que possui todas as direções 
intermediárias, a fim de que auxilie o observador sua orientação.
Figura 15 – Rosa dos ventos
Fonte: Fitz (2008, p. 35).
Mas as alterações das indicações sobre Norte e Sul podem ser 
feitas pelo observador. Antigamente, as pessoas situavam a cidade de 
Topografia
25
Meca como centro da Terra, com isso a posição Sul ficava na parte de 
cima do mapa. A figura 15 mostra o mapa do Brasil invertido, em relação 
ao posicionamento tradicional.
Figura 16 – Mapa
Brasil: divisão regional
40ºW 50ºW 60ºW 70ºW
TRÓPICO DE 
CAPRICÓRNIO
SUL
SUDESTE
EQUADOR
NORTE
CENTRO-OESTE
NORDESTE
0 1000km
30ºS
20ºS
10ºS
S
N
W
S
E
SW
NWNE
SE
Fonte: Fitz (2008, p. 36).
Direção Norte e Ângulos Notórios 
Topografia
26
Existem três tipos de norte existentes, podemos citar:
 • Norte geográfico (NG) ou norte verdadeiro. 
 • Norte magnético (NM).
 • Norte de quadrícula (NQ). 
Fitz (2008) define os três como:
O norte geográfico ou norte verdadeiro é aquele indicado 
por qualquer meridiano geográfico, ou seja, na direção do 
eixo de rotação do planeta. O norte magnético apresenta 
direção do polo norte magnético, aquela indicada pela 
agulha imantada de uma bussola. O norte de quadrícula 
é aquele representado nas cartas topográficas seguindo-
se, no sentido sul-norte, a direção das quadrículas 
apresentadas pelas cartas. (FITZ, 2008, p. 36)
Figura 17 – Representação
Fonte: Fitz (2008, p. 37).
A declinação magnética é formada pelos nortes geográfico e 
magnético. Ela pode variar de acordo com o ponto que se deseja localizar 
no globo terrestre. A declinação magnética aumenta 9 graus ao ano. 
Figura 18 – Declinação magnética
Topografia
27
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2012, p. 117).
A convergência meridiana dá-se pela diferença de ângulo do norte 
geográfico e o norte de quadrícula. 
De acordo com Junior, Neto e Andrade (2014):
O norte verdadeiro é imutável com o passar do tempo, 
porém o norte magnético é dinâmico. O norte magnético 
varia de época para época, aumentando seu ângulo em 
relação ao norte verdadeiro em 10’ por ano, chegando até 
25º em relação ao norte verdadeiro, depois ele começa 
a voltar no sentido inverso até chegar a 25º para outra 
direção. (JUNIOR; NETO; ANDRADE, 2014, p. 42)
Rumo e Azimute
Outra forma de orientação nas cartas topográficas são o azimute e 
o rumo. Fitz (2008) define-os como
O Azimute de um alinhamento pode ser definido como o 
ângulo medido no sentido horário, entre a linha norte-sul, 
e um alinhamento qualquer, com variação entre 0º e 360º. 
Já o Rumo de um alinhamento é conhecido como o menor 
ângulo formado entre linha norte-sul e um alinhamento 
qualquer. Sua variação se dá entre 0º e 90º, devendo ser 
indicado o quadrante correspondente: NE, SE, SW ou NW, 
isto é, primeiro, segundo, terceiro ou quarto quadrante, 
respectivamente. (FITZ, 2008, p. 36)
Figura19 – Rumo
Topografia
28
Fonte: Junior, Neto e Andrade (2014, p. 44).
A figura a seguir mostra o azimute.
Figura 20 – Azimute
Fonte: Junior, Neto e Andrade (2014, p. 43).
Em relação ao azimute, Junior, Neto e Andrade (2014) afirmam que 
Numa poligonal, com formato de um retângulo por 
exemplo, podem existir quatro alinhamentos no sentido 
anti-horário (0-1;1-2;2-3 e 3-0), como também quatro 
alinhamentos no sentido horário (0-3; 3-2; 2-1 e 1;0). 
(JUNIOR; NETO; ANDRADE, 2014, p. 43) 
Figura 21 – Azimute
Topografia
29
Fonte: Junior, Neto e Andrade (2014, p. 43).
Já em relação ao rumo, Junior, Neto e Andrade (2014) afirmam que
Por variar de 0º a 90º, podem existir, por exemplo, 4 rumos 
com 45º partindo de várias direções. Portanto, todos os 
rumos devem informar os pontos colaterais, NE, SE, SO e 
NO. Assim, teremos: 45º NE, 45º SE, 45º SO e 45º NO, onde 
os Rumos poderão variar de 0º a 90º (NE), 0º a 90º (SE), 
0º a 90º (SO), 0º a 90º (NO). Numa poligonal, como por 
exemplo, um retângulo, podem existir quatro alinhamentos 
no sentido anti-horário (0-1;1-2;2-3 e 3-0), como também 
quatro alinhamentos no sentido horário (0-3; 3-2; 2-1 e 1;0). 
(JUNIOR; NETO; ANDRADE, 2014, p. 44) 
Figura 22 – Rumo
Fonte: Junior, Neto e Andrade (2014, p. 44).
Topografia
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Veja a representação de quando o rumo e azimute estão no primeiro 
quadrante:
Figura 23 – Representação
Fonte: Fitz (2008, p. 38).
Agora, quando estão no segundo quadrante:
Figura 24 – Representação
Fonte: Fitz (2008, p. 38).
Topografia
31
Já no terceiro quadrante:
Figura 25 – Representação
Fonte: Fitz (2008, p. 38).
Por fim, quando estão no quarto quadrante:
Figura 26 – Representação
Fonte: Fitz (2008, p. 38).
De acordo com Veiga, Zanetti e Faggion (2012),
A determinação do Norte verdadeiro, fundamentada em 
determinações astronômicas e utilizando o sistema GPS 
ou um giroscópio, é mais precisa que a técnica que se 
baseia na determinação do Norte magnético para uma 
posterior transformação. Esta técnica deve ser evitada, 
independente da precisão solicitada, quando se aplica em 
locais onde existe exposição de rochas magnetizadas que 
porventura possam induzir a uma interpretação errônea 
por suas influências sobre a agulha imantada da bússola. 
(VEIGA; ZANETTI; FAGGION, 2012, p. 117)
Topografia
32
Quando ocorre a transformação do azimute em rumo, ou do rumo 
em azimute, de acordo com Junior, Neto e Andrade (2014):
No primeiro quadrante - Neste caso, em se tratando do 
Rumo, o alinhamento está mais próximo do Norte e no 
sentido horário. Portanto, há uma coincidência entre 
azimute e rumo. Então, Az = R para o primeiro quadrante. 
(JUNIOR; NETO; ANDRADE, 2014, p. 45)
A cor verde corresponde ao azimute, e a cor laranja, ao rumo. 
Figura 27 – Primeiro quadrante
Fonte: Junior, Neto e Andrade (2014, p. 45).
Segundo Junior, Neto e Andrade (2014), “No segundo quadrante – 
Neste caso, em se tratando do Rumo, o alinhamento está mais próximo 
do sul e no sentido anti-horário. Portanto, Az + R=180º para o segundo 
quadrante” (JUNIOR; NETO; ANDRADE, 2014, p. 45).
A cor verde corresponde ao azimute, e a cor laranja, ao rumo. 
Figura 28 – Segundo quadrante
Fonte: Junior, Neto e Andrade (2014, p. 45).
Topografia
33
De acordo com Junior, Neto e Andrade (2014): “No terceiro quadrante 
- Neste caso, em se tratando do Rumo, o alinhamento está mais próximo 
do sul e no sentido horário. Portanto, Az=180º + R para o terceiro quadrante” 
(JUNIOR; NETO; ANDRADE, 2014, p. 45).
A cor verde corresponde ao azimute e a cor laranja, ao rumo.
Figura 29 – Terceiro quadrante
Fonte: Junior, Neto e Andrade (2014, p. 46).
De acordo Junior, Neto, Andrade (2014): “No quarto quadrante - 
Neste caso, em se tratando do Rumo, o alinhamento está mais próximo 
do norte e no sentido anti-horário. Portanto, Az = 360º - R para o quarto 
quadrante” (JUNIOR; NETO; ANDRADE, 2014, p. 46).
A cor verde corresponde ao azimute, e a cor laranja ao rumo.
Figura 30 – Quarto quadrante
Fonte: Junior, Neto e Andrade (2014, p. 46).
Topografia
34
RESUMINDO:
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
vamos resumir tudo o que vimos. Você deve ter aprendido 
sobre as posições cardeais: Norte, Sul, Leste e Oeste, 
como também a rosa dos ventos, e, ainda, deve ter visto 
que existem três tipos de norte existentes: norte geográfico 
(NG) ou norte verdadeiro, norte magnético (NM) e norte de 
quadrícula (NQ). Além disso, você deve ter visto o conceito 
do rumo e azimute, que se encontram no primeiro, segundo, 
terceiro e quarto quadrantes.
Topografia
35
Cálculo de Áreas em Cartas Topográficas 
OBJETIVO:
Ao término deste capítulo, você será capaz de entender 
como funciona o cálculo de áreas em cartas topográficas. 
Isso será fundamental para o exercício de sua profissão. As 
pessoas que tentaram fazer o cálculo de área sem a devida 
instrução tiveram problemas ao fazer levantamentos 
dos dados. E então? Motivado para desenvolver essa 
competência? Vamos lá. Avante!
Cálculo de Áreas 
Para calcular as áreas regulares que são subdivididas e formadas 
por polígonos, são utilizadas as fórmulas matemáticas. 
Figura 31 – Áreas regulares
Fonte: Azeredo (2003, p. 27).
Topografia
36
No entanto, existem áreas que não são regulares.
Figura 32 – Áreas irregulares
Fonte: Azeredo (2003, p. 27).
E, para essas áreas, utiliza-se o instrumento chamado planímetro 
mecânico.
Figura 33 – Planímetro mecânico
Fonte: Azeredo (2003, p. 27).
Existem outras formas de calcular as áreas, por meio da balança de 
precisão. Assim, de acordo com Fitz (2008), 
 • Escolhe-se um retângulo de área conhecida que englobe toda a 
região a ser medida, e pesa-se a ele.
Topografia
37
 • Recorta-se o contorno da região escolhida e pesa-se o produto 
resultante.
 • Estabelece-se uma proporção entre os pesos do retângulo com 
área conhecida e da porção recortada.
 • Aplica-se o valor obtido à escala da carta. (FITZ, 2008, p. 94) 
Aplica-se também outro modo de calcular as áreas, com precisão 
razoável, seguindo os seguintes passos descritos por Fitz (2008):
 • Sobre a região escolhida, sobrepõe-se uma folha de papel vegetal 
milimetrado, em que cada milímetro quadrado corresponderá ao 
mesmo valor na carta original.
 • Traça-se, sobre a folha de papel milimetrado, o contorno da área 
em questão.
 • Estabelece-se a relação entre a quantidade dos quadriculados do 
papel que contenham a região desenhada, considerando a escala 
da carta.
 • Realiza-se o cálculo da proporção. (FITZ, 2008, p. 94)
É possível também realizar cálculos a partir de programas, como 
as imagens roster. Assim, quanto menor o pixel da imagem, mais preciso 
será o valor. 
IMPORTANTE:
Existem quatro tipos de determinação de áreas, que podem 
ser:
 • Processo gráfico.
 • Processo analítico.
 • Processo computacional.
 • Processo mecânico.
O processo gráfico, de acordo com Veiga, Zanetti e Faggion (2012), 
é definido como “a área a ser avaliada é dividida em figuras geométricas, 
Topografia
38
como triângulos, quadrados ou outras figuras, e a área final será 
determinada pela somatória de todas as áreas das figuras geométricas” 
(VEIGA; ZANETTI; FAGGION, 2012, p. 176). 
Observe, na figura a seguir, as áreas quadrículas:
Figura 34 – Área quadrícula
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2012, p. 176).
E, agora, veja a representação em figuras geométricas:
Figura 35 – Representação
Fonte: Veiga, Zanetti, Faggion (2012, p. 176).
Topografia
39
O processo analítico utiliza fórmulas matemáticas, sendo possível, 
a partir das coordenadas, determinar a poligonal para a realização dos 
cálculos. Nesse primeiro exemplo, o cálculo da área de poligonais é a 
partir dos trapézios, que são formados pelos pontos 1, 2, 3 e 4.
Figura 36 – Área poligonal
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2012, p. 178).
Logo, a partirdos pontos definidos, forma-se a área 1:
Figura 37 – Área 1
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2012, p. 178).
Topografia
40
E a área 2:
Figura 38 – Área 2
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2012, p. 178).
Ela é calculada a partir da fórmula do trapézio:
Figura 39 – Trapézio
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2012, p. 179).
Cuja fórmula é:
Figura 40 – Fórmula
Topografia
41
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2012, p. 179).
Também é possível entender pela figura:
Figura 41 – Exemplo
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2012, p. 179).
Outra forma de cálculo é por meio da multiplicação dos valores. 
Assim, é feita uma tabela com as coordenadas, mas é preciso atentar-
se para repetir o primeiro ponto no final da tabela. A área poligonal, por 
exemplo, terá os seguintes pontos:
Figura 42 – Exemplo
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2012, p. 182).
Topografia
42
E, a partir daí, é feita a multiplicação dos valores:
Figura 43 – Multiplicação de valores
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2012, p. 182).
Simplificando a tabela:
Figura 44 – Tabela
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2012, p. 182).
Substituindo os valores por um valor aleatório teremos:
Figura 45 – Substituição
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2012, p. 183).
Topografia
43
O processo computacional, de acordo com Veiga, Zanetti e Faggion 
(2012):
Atualmente é uma forma bastante prática para o cálculo 
de áreas. Baseado no emprego de algum programa gráfico 
do tipo autoCAD, no qual são desenhados os pontos que 
definem a área levantada e o programa calcula esta área, 
por métodos analíticos. (VEIGA; ZANETTI; FAGGION, 2012, 
p. 176)
Outros programas que são utilizados são Topograph, DataGeosis, 
TopoCal, Surfer, entre outros. Geralmente, é o processo em que mais se 
usa, principalmente por causa da estação total.
Figura 46 – Autocad
Fonte: Freepik
No processo mecânico, de acordo com Veiga, Zanetti e Faggion 
(2012):
Utiliza-se um equipamento denominado de planímetro. 
Este consiste em dois braços articulados, com um ponto 
fixo denominado de pólo e um cursor na extremidade dos 
braços, o qual deve percorrer o perímetro do polígono que 
se deseja calcular a área. Também apresenta um tambor 
giratório. (VEIGA; ZANETTI; FAGGION, 2012, p. 176)
Topografia
44
Figura 47 – Instrumento planímetro
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2012, p. 177).
A figura a seguir mostra como ele é utilizado:
Figura 48 – Planímetro
Fonte: Junior, Neto e Andrade (2014, p. 84).
Topografia
45
A fórmula utilizada é Área = k. (Lf - Li). 
Figura 49 – Fórmula
Onde:
- k é a constante do aparelho para um dado comprimento do braço
graduado;
- Lf é a leitura final;
- Li é a leitura inicial
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2012, p. 177).
De acordo com Veiga, Zanetti e Faggion (2012), o valor de K pode 
ser determinado planimetrando-se uma área conhecida (S) diversas vezes 
(n): k = (n .S)/ (Lf - Li).
RESUMINDO:
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
vamos resumir tudo o que vimos. Você deve ter aprendido 
que as áreas regulares que são subdivididas e formadas 
por polígonos se utilizam de fórmulas matemáticas. No 
entanto, existem áreas que não são regulares. Nesse 
caso, utiliza-se o equipamento planímetro mecânico. É 
possível também realizar cálculos a partir de programas, 
como as imagens roster. Você deve ter aprendido também 
que existem quatro tipos de determinação de áreas, que 
podem ser: processo gráfico, processo analítico, processo 
computacional e processo mecânico.
Topografia
46
Cálculo de Volumes em Cartas 
Topográficas 
OBJETIVO:
Ao término deste capítulo, você será capaz de entender 
como funciona o cálculo de volumes em cartas topográficas. 
Isso será fundamental para o exercício de sua profissão. 
As pessoas que tentaram fazer o cálculo de volume sem 
a devida instrução tiveram problemas ao fazer os aterros 
ou cortes necessários no terreno. E aí? Motivado para 
desenvolver essa competência? Então vamos lá. Avante!.
Cálculo de Volumes 
O cálculo de volume na topografia significa calcular qualquer 
quantidade de Terra do devido espaço. De acordo com Junior, Neto e 
Andrade (2014):
É necessário saber o volume inicial para poder executar 
o volume final do projeto, de forma a se fazer o menor 
movimento de terras possível, pois esse movimento é 
bastante oneroso, aproveitando-se sempre que possível, 
a terra do corte para o aterro. Como em toda Topografia, 
é necessário se imaginar que aquela determinada 
quantidade de terra é uma figura geométrica e, assim, 
possibilitar a realização de cálculos. (JUNIOR; NETO; 
ANDRADE, 2014, p. 153)
Figura 50 – Volume
Fonte: Junior, Neto e Andrade (2014, p. 153).
Topografia
47
Com isso, o cálculo é feito A = comprimento x largura x altura. Assim, 
substituindo-se pelos valores presentes na figura, tem-se 2x4x2=16m². 
O cálculo de volumes em curvas de níveis é dado pela fórmula, por 
meio de planta com curva de nível, com duas cotas consecutivas.
Figura 51 – Fórmula
Fonte: Junior, Neto e Andrade (2014, p. 154).
Veja, por exemplo, um terreno com curvas de níveis, como na figura:
Figura 52 – Fórmula
Fonte: Junior, Neto e Andrade (2014, p. 154).
Na figura a seguir, as curvas de níveis em perfil estão representadas:
Figura 53 – Perfil
Fonte: Junior, Neto e Andrade (2014, p. 154).
Topografia
48
O cálculo é a soma de todos os volumes encontrados. De acordo 
com Junior, Neto e Andrade (2014):
Considerando-se que a área da cota 100 = 1000m2; da cota 
120 = 900 m2; da cota 140 = 800 m2; e da cota 160 = 700 
m2, deseja-se descobrir o volume da cota 100 até o cume. 
Então, dividindo se em vários volumes tem-se que: V1 = 
cota 100 à cota 120; V2 = cota 120 à cota 140; V3 = cota 140 
à cota 160 e V4 = da cota 160 ao cume 166,12. (JUNIOR; 
NETO; ANDRADE, 2014, p. 153)
Figura 54 – Cálculo
Fonte: Junior, Neto e Andrade (2014, p. 154).
Com isso, é feito o cálculo para V1:
Figura 55 – V1
Fonte: Junior, Neto e Andrade (2014, p. 155).
Em seguida, o cálculo para V2:
Figura 56 – V2
Fonte: Junior, Neto e Andrade (2014, p. 155).
Topografia
49
Em seguida, cálculo para V3:
Figura 57 – V3
Fonte: Junior, Neto e Andrade (2014, p. 155).
E, por fim, cálculo para V4:
Figura 58 – V4
Fonte: Junior, Neto e Andrade (2014, p. 155).
Então, calculando-se, assim, a soma de todos os volumes, tem-se:
Figura 59 – Cálculo
Fonte: Junior, Neto e Andrade (2014, p. 155).
Topografia
50
Métodos de Cálculo de Volumes 
Existem quatro métodos de cálculo de volumes:
 • Método das alturas ponderadas.
 • Método das seções transversais.
 • Superfícies equidistantes.
 • Terraplanagem para plataformas. 
O método das alturas ponderadas, de acordo com Veiga (2007):
baseia-se na decomposição de um sólido cujo volume 
deseja-se calcular em sólidos menores, mais fáceis de 
calcular o volume. Estes sólidos são normalmente de 
base quadrada ou triangular. Sua utilização típica é em 
escavações, podendo, no entanto, também ser aplicado 
a volume de barragens e outras obras de engenharia. 
(VEIGA, 2007, p. 11) 
Por exemplo, em um sólido qualquer, de base quadrada e com as 
arestas Z1, Z2, Z3 e Z4, o volume é calculado pela seguinte fórmula:
Figura 60 – Fórmula
Fonte: Veiga (2007, p. 11).
De acordo com Veiga (2007):
Na prática o terreno é dividido em uma malha regular e 
cada ponto desta malha tem a sua cota calculada por 
algum método de nivelamento. Então é definida a cota de 
escavação, ou seja a cota em que o terreno deverá ficar 
após a retirada do material. (VEIGA, 2007, p. 11) 
Topografia
51
Com isso, é possível calcular a altura dos sólidos para o cálculo do 
volume. Para determinação da malha do terreno, de acordo com Veiga 
(2007), a primeira parte faz o desenho da quadriculação do terreno.
Figura 61 – Representação
Fonte: Veiga (2007, p. 14).
Depois, com ajuda de um teodolito, ou estação total outrena, é feita 
a marcação, em que são marcados os pontos auxiliados com o piquete, 
determinando as cotas ou altitudes dos pontos por meio de algum dos 
métodos de nivelamento. 
Figura 62 – Representação
Fonte: Veiga (2007, p. 14).
E, por fim, realiza-se a escavação, que é a desejada para a realização 
do projeto.
Topografia
52
Figura 63 – Representação
Fonte: Veiga (2007, p. 14).
O método das seções transversais ocorre quando há duas seções 
transversais A1 e A2, com uma distância d. Assim, tem-se a fórmula:
Figura 64 – Fórmula
Fonte: Veiga (2007, p. 30).
Topografia
53
De acordo com Veiga (2007):
Esta fórmula é largamente empregada em estradas 
e ferrovias, nos cálculos de corte e aterro. Para uma 
mesma seção poderemos ter áreas de corte e aterro, que 
posteriormente significarão volumes de corte e aterro. 
(VEIGA, 2007, p. 11)
Figura 65 – Representação
Fonte: Veiga (2007, p. 30).
O método de superfícies equidistantes é o mesmo princípio do 
cálculo do método das seções transversais, sendo que são seções 
horizontais. Veja a aplicação na fórmula a seguir:
Topografia
54
Figura 66 – Fórmula
Volume = d x A1+A2+A3+...+An-1+An 
Onde n é o numero de seções.
2 2
Fonte: Veiga (2007, p. 35).
No método de terraplanagem para plataformas, aplica-se o método 
de seções transversais. De acordo com Borges (1994), a terraplanagem 
pode ter quatro hipóteses para o planejamento:
1 – plano horizontal, sem a imposição de uma cota final 
2 – plano final horizontal com a imposição de uma cota 
final 3 – plano inclinado sem a imposição da altura em que 
este plano deva estar. 4 – plano inclinado impondo uma 
determinada altura para o mesmo, através da escolha da 
cota de um determinado ponto. (BORGES, 1994, p. 66)
Observe, por exemplo, uma malha com espaçamento de 20 metros:
Figura 67 – Malha
Fonte: Veiga (2007, p. 39).
Topografia
55
Com isso, é feita a tabela:
Figura 68 – Tabela
Fonte: Veiga (2007, p. 40).
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56
Por fim, tem-se a fórmula:
Figura 69 – Fórmula
Fonte: Veiga (2007, p. 40).
RESUMINDO:
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
vamos resumir tudo o que vimos. Você deve ter aprendido 
que o cálculo de volume na topografia significa calcular 
qualquer quantidade de terra do devido espaço. Existem 
quatro métodos de cálculo de volumes: método das alturas 
ponderadas, que se baseia na decomposição de um sólido 
cujo volume se deseja calcular em sólidos menores e 
mais fáceis de calcular. Além disso, você viu o método 
das seções transversais e que a fórmula utilizada nesse 
método é largamente empregada em estradas e ferrovias, 
nos cálculos de corte e aterro. Também foi comentado 
que, para uma mesma seção, poderemos ter áreas de 
corte e aterro, que, posteriormente, significarão volumes 
de corte e aterro. Por fim, você aprendeu sobre superfícies 
equidistantes e a terraplanagem para plataformas.
Topografia
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REFERÊNCIAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 13133: 
Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994, 35p.
BORGES, A. C. Topografia aplicada à Engenharia Civil. São Paulo: 
Editora Edgard Blucher, 1994.
CAMPOS, A. C. Representação do relevo nas cartas 
topográficas. Disponível em: https://cesad.ufs.br/ORBI/public/
uploadCatalago/11210904042012Cartografia_Basica_Aula_17.pdf. Acesso 
em: 3 jan 2022.
FITZ, P. R. Cartografia básica. São Paulo: Oficina de Textos, 2008.
FONTE, C. M. P. Costa; VICENTE, M. A. F. Textos de apoio de 
Topografia. Disponível em: http://www.mat.uc.pt/~vicente/Textos_de_
apoio_de_Topografia_2006_2007.pdf. Acesso em: 3 jan 2022.
JUNIOR, J. M.; NETO, F. C.; ANDRADE, J. da S. Topografia geral. 
Recife: EDUFRPE, 2014.
KEATES, J. Cartographic design and production. Nova York: 
Longman, 1973.
VEIGA, L. A.; ZANETTI, M. A.; FAGGION, P. L. Fundamentos de 
topografia. Paraná: UFPR, 2012.
VEIGA, L. A. K. Topografia: cálculo de volumes. Notas de aula –
GA033 – Levantamentos topográficos II. Disponível em: https://www.
bibliotecaagptea.org.br/agricultura/topografia/livros/TOPOGRAFIA%20
CALCULO%20DE%20VOLUMES%20NOTAS%20DE%20AULA.pdf. Acesso 
em: 6 jan 2022
Topografia