Mat financeira - 01 a 10

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GESTÃO DE 
EMPRESA 
FAMILIAR
Vanessa Foletto da Silva
Fluxo de caixa
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir fluxo de caixa.
  Explicar por que a aplicação do fluxo de caixa é importante para a 
seleção e análise de investimentos.
  Utilizar o fluxo de caixa para avaliar o fluxo de recursos e a disponibi-
lidade de capital de giro do negócio.
Introdução
Diante das constantes transformações no mercado, manter um controle 
adequado e constante das entradas e saídas do caixa da organização é 
fundamental para que o negócio possa prosperar. O fluxo de caixa permite 
ao gestor uma melhor visão da situação financeira e, assim, facilita sua 
tomada de decisão sobre investimentos.
Neste capítulo, você vai estudar sobre o fluxo de caixa e verificar sua 
importância dentro de uma organização. Você também vai analisar a 
relação dessa ferramenta com o capital de giro da empresa.
Conceitos básicos
Diversas ferramentas auxiliam no gerenciamento da organização, sendo o fl uxo 
de caixa uma das mais importantes para uma boa administração fi nanceira do 
negócio. Esse instrumento permite a obtenção de informações extremamente 
úteis para o planejamento fi nanceiro de determinado período. Ainda, permite 
estabelecer projeções sobre as entradas e saídas e demonstra a real situação 
fi nanceira da empresa.
De forma geral, o fluxo de caixa demonstra a relação entre a despesa 
resultante das obrigações e a receita resultante da venda de produtos. Por meio 
de um comparativo entre a entrada e a saída de dinheiro, é possível verificar 
se o saldo em caixa está positivo ou negativo. Essa análise permite visualizar 
como o dinheiro da empresa está sendo administrado. Assim, ocorre um melhor 
gerenciamento dos recursos financeiros, o que evita casos de insolvência e, 
consequentemente, ameaças à continuidade do negócio. Ainda, esse instru-
mento é muito útil para auxiliar o gestor no processo de tomada de decisão.
Uma organização com um bom gerenciamento do fluxo de caixa tem co-
nhecimento do seu grau de independência financeira, a partir da mensuração 
da capacidade organizacional de saldar suas dívidas e remunerar seus gesto-
res. Gitman (2010) entende que a demonstração dos fluxos de caixa permite 
distinguir os fluxos de caixa decorrentes das operações, de investimentos e 
de financiamentos da organização, conciliando-os com as variações do caixa 
e os títulos do período apurado.
Utilizar o fluxo de caixa corretamente traz uma série de benefícios para 
o gestor, como:
  verificação da existência de caixa suficiente para as necessidades or-
ganizacionais, ou da necessidade de recurso externo; 
  comparação entre os números obtidos e o que foi definido no planeja-
mento estratégico;
  verificação dos números do período, permitindo, assim, identificar 
folgas ou falta de recursos;
  antecipação das decisões referentes à sobra ou à falta de recursos; e
  estimativa do melhor período para a realização de promoção de vendas.
Conforme aponta Frezatti (2009), o fluxo de caixa pode servir como instru-
mento tático em algumas organizações, enquanto, em outras, pode ser utilizado 
de forma estratégica. Na abordagem tática, ocorre o acompanhamento do fluxo 
de caixa, apenas para manter o rumo já definido. Já na abordagem estratégica, 
o nível de negócios da empresa é afetado no curto e no longo prazo, tendo 
efeito em questões relacionadas com as decisões estratégicas da empresa.
Com um bom gerenciamento, é possível identificar o momento ideal para 
realizar empréstimos ou financiamentos, pagar dividendos ou, ainda, realizar 
a distribuição de lucros. A empresa consegue avaliar a sua capacidade de 
financiar seu capital de giro e identificar a necessidade de buscar recursos 
externos para manter suas atividades. Além disso, consegue visualizar sua 
capacidade de expansão, com base em seus recursos disponíveis.
Segundo Assaf Neto e Silva (2002), além da área financeira, as demais 
áreas da empresa devem estar comprometidas com os resultados de caixa. Isso 
mostra a abrangência que essa ferramenta tem na organização. Por exemplo, 
se a área de produção altera prazos de fabricação dos produtos, acaba alte-
Fluxo de caixa2
rando as necessidades de caixa. No setor de compras, há a necessidade de 
sintonia entre as compras a serem realizadas com o saldo disponível em caixa, 
considerando-se os prazos obtidos para pagamento e os prazos estabelecidos 
para recebimento das vendas. No setor de cobranças, a definição de políticas 
mais ágeis e eficientes vai permitir a disponibilização de recursos financeiros 
de forma mais ágil, o que reforça o caixa. Na área de vendas, o controle dos 
prazos relativos às vendas auxilia na manutenção de um equilíbrio no caixa.
Cabe à área financeira avaliar de forma constante o seu perfil de endivi-
damento, fazendo com que os gastos necessários ocorram ao mesmo tempo 
em que ocorrem as entradas de caixa. O fluxo de caixa permite planejar, 
controlar e analisar as receitas, as despesas e os bens da organização. Com 
a elaboração de um fluxo de caixa, é possível verificar eventuais faltas de 
recursos para honrar as obrigações e, também, verificar se há dinheiro parado, 
sem representar rendimentos para o negócio.
Fazer uma análise antecipada dos números financeiros é fundamental, pois, em caso 
de verificação de falta de recursos para pagar despesas programadas, é possível tomar 
providências para que haja disponibilidade até o momento do pagamento. 
Em outras palavras, o fluxo de caixa representa o conjunto de ingressos 
e desembolsos de numerário ao longo de um período, conforme definido por 
Zdanowicz (2004). É um importante instrumento para analisar e avaliar a 
situação da empresa, fazendo uma integração entre todas as contas envolvidas 
no negócio. A finalidade do fluxo de caixa é controlar a atividade financeira, 
atingindo todas as operações da empresa; por isso, essa ferramenta acaba 
controlando a empresa de forma geral. Quando ocorre alguma falta, deve-se 
analisar todas as operações do negócio, pois estão todas envolvidas no processo.
Conforme Hoji (2017), em um fluxo de caixa, é necessário que exista pelo 
menos uma saída e pelo menos uma entrada. Quando se faz um empréstimo, 
recebe-se dinheiro, ou seja, ocorre uma entrada no caixa e, depois, quando 
se devolve o valor do empréstimo, acrescido de juros, ocorre uma saída de 
caixa. Essa operação com uma entrada e uma saída precisa ser representada no 
fluxo. A Figura 1 traz uma representação de como funciona o fluxo de caixa.
3Fluxo de caixa
Figura 1. Como funciona o fluxo de caixa.
Fonte: Sage ([201-], documento on-line).
Organize as entradas e saídas em
detalhe para ter controle
Especifique o que é cada uma das
entradas e saídas de dinheiro
Fluxo positivo Fluxo negativo
Quanto você tem de caixa?
VOCÊ ESTÁ
AQUI
PAGAMENTOS RECUPERAÇÃO
INVESTIMENTOS ARRECADAÇÃO
COMO ORGANIZAR
O FLUXO
REGISTRE TODOS OS
DIAS AS ENTRADAS E SAÍDAS
VENDAS À VISTA VENDAS A PRAZO
INÍCIO
Fornecedores
Funcionários
Despesas operacionais
Outros
Contratação de pessoal
Equipamentos
Ampliação
Publicidade
Fundo de reserva
No dia da compra
Dinheiro em espécie
Depósito em conta
Na data de entrada do dinheiro
Cartão de crédito
Carnê
Fornecedores - renegociar
Funcionários
Despesas operacionais
Outros
Liquidação
Empréstimos
Renegociar dívidas
Novos negócios
Promoções
Fluxo de caixa e seleção de investimentos
O fl uxo de caixa é composto por dados que são obtidos por meio de controles 
de contas a pagar e a receber e de valores de aplicações, vendas e despesas. Ou 
seja, ele abrange toda a movimentação dos recursos fi nanceiros da organização. 
Com um bom gerenciamento, é possível visualizar o futuro do negócio por 
meio de previsões — embora essas previsões possam sofrer variações.
Fluxo de caixa4
Com uma previsão estabelecida, é possível delinear os caminhos dos in-
vestimentos futuros do negócio, com base em um planejamento
seguro e 
qualifi cado de longo prazo. Isso porque o fl uxo de caixa permite conhecer a 
real situação da saúde fi nanceira da organização em um determinado período 
e tomar decisões mais fundamentadas. Uma forma de fazer esse controle é por 
meio da implantação de sistemas informatizados, que são capazes de produzir 
relatórios gerenciais confi áveis e efi cientes, o que é de grande auxílio para a 
identifi cação dos pontos que precisam de melhorias e a tomada de decisões. 
Além do registro básico das entradas e saídas, um bom sistema informatizado 
pode trazer melhorias para o controle dos estoques e do caixa da organização.
Tomar uma decisão de investimento é um grande desafio para o gestor. 
É necessário decidir sobre onde investir, quanto investir e qual é o melhor 
momento para realizar esse investimento. A aquisição de um equipamento, por 
exemplo, é cercada de dúvidas sobre depreciação do bem e valor do retorno 
a ser obtido com a aquisição, entre outras. O gestor precisa estar seguro de 
suas decisões e, para isso, deve estar munido do maior número de informações 
possíveis, além de dispor de informações atualizadas sobre o comportamento 
do mercado em que está inserido e os riscos envolvidos em uma decisão de 
investimento.
A seguir, são destacados os principais benefícios do fluxo de caixa no 
processo de tomada de decisão.
  Projeção de todos os lucros e todas as despesas envolvidas no negócio 
— o fluxo de caixa consegue demonstrar de forma detalhada esses 
números. A falta de um acompanhamento desses fatores pode fazer o 
gestor achar que a empresa está obtendo lucros, pois alguns problemas 
não ficam visíveis quando não se usa um fluxo de caixa constantemente.
  Verificação da viabilidade do negócio no longo prazo — a análise do 
fluxo de caixa permite que o gestor verifique se o negócio terá mais 
despesas do que receitas no longo prazo. Com o conhecimento dessa 
informação o gestor consegue tomar decisões sobre a viabilidade do 
negócio no longo prazo, alterando precificações ou fazendo renegocia-
ções, se houver necessidade.
  Identificação da aplicação dos lucros — investir os lucros obtidos é 
essencial para a promoção do crescimento do negócio. Em bons mo-
mentos de faturamento, também pode ser oportuno dar aumento para 
os colaboradores, realizar a compra de novos equipamentos, entre 
outras ações.
5Fluxo de caixa
  Identificação do mínimo de caixa que o negócio precisa ter — a empresa 
precisa ter uma reserva em caixa para possíveis imprevistos. Gastos 
que não estavam sendo esperados podem vir a paralisar as operações 
da empresa, caso não haja recursos para solucionar o problema.
  Apontamento do momento certo para investir ou captar recursos — por 
meio do controle do fluxo de caixa, o gestor consegue identificar o 
momento certo de realizar um investimento ou contrair um emprés-
timo. Em momentos de necessidade, é preciso agir com antecedência, 
buscando recursos externos para atender às demandas organizacionais.
Conforme Marion (2015), sem a utilização de um fluxo de caixa, fica 
praticamente impossível realizar projeções e planejamentos financeiros. Gerar 
um fluxo de caixa é de fundamental importância desde o início até a extinção 
do negócio. Com o fluxo alinhado aos demais relatórios contábeis, cria-se um 
grande potencial para um melhor gerenciamento das decisões. É importante 
destacar que o fluxo de caixa não deve focar somente na área financeira, 
devendo abranger informações dos demais setores da empresa.
No link abaixo, você confere dicas para melhorar a tomada de decisão sobre 
investimentos.
https://qrgo.page.link/6H6eV
Fluxo de caixa e capital de giro
Capital de giro é o volume de recursos necessários para que a empresa con-
siga realizar as suas operações — ou seja, é a quantidade de dinheiro que a 
empresa possui para alimentar seu fl uxo de caixa. Grande parte das empresas 
apresenta um desencontro entre as datas de pagamento e de recebimento. Esse 
espaço entre as datas é preenchido pelo capital de giro, que se aplica somente 
nos recursos circulantes, não contemplando investimentos e imobilizações 
existentes.
Fluxo de caixa6
Esses valores do capital de giro permitem que as operações e processos da 
produção ou os serviços prestados sejam desenvolvidos. Sem esse capital, não 
seria possível adquirir matéria-prima, manter estoques e realizar pagamentos. 
Além disso, não seria possível equilibrar e controlar o fluxo de caixa sem 
capital para pagar as obrigações e realizar investimentos.
Quando os gestores antecipam créditos ou usam o caixa frequentemente 
para suprir a necessidade de produção, acabam por prejudicar as finanças do 
negócio. Pela avaliação do fluxo de caixa, é possível verificar como o gestor 
tem feito a gestão do capital de giro da empresa. Assim, apesar de o fluxo 
de caixa e o capital de giro serem coisas distintas, ambos se complementam.
Por meio da utilização do fluxo de caixa, o gestor consegue mapear seus 
custos fixos e variáveis, obtendo, assim, um controle efetivo das suas finanças 
e um melhor alinhamento para a tomada de decisões. Devido à importância 
que essa ferramenta assume no controle das finanças organizacionais, é acon-
selhável que o processo decisório seja orientado pelas informações fornecidas 
pelo fluxo de caixa. Assim, o fluxo deve atuar como um facilitador para a 
tomada de decisão, possibilitando ao gestor tomar decisões mais acertadas.
Revisar constantemente o fluxo de caixa é necessário para produzir dados 
confiáveis. Zdanowicz (2004) lista como controles essenciais no fluxo de 
caixa: o controle diário da movimentação bancária, o boletim diário de caixa 
e de bancos e o controle financeiro diário. Controlar o fluxo de caixa permite 
à organização a identificação dos valores disponíveis para o pagamento de 
credores e acionistas e da falta de recursos para despesas ou investimentos. 
Quando ocorre insuficiência de recursos, pode ser necessário haver cortes de 
créditos e fazer a suspensão de entrega de produtos. Nesses casos, a organização 
ainda pode ficar sem crédito perante os clientes e fornecedores.
Podemos destacar como principais benefícios da utilização do fluxo de 
caixa:
  Fornecimento de um diagnóstico das contas da empresa — muitas 
vezes, as empresas apresentam um alto faturamento e, mesmo assim, 
podem estar enfrentando dificuldades financeiras. Somente por meio 
da mensuração das receitas e despesas é que será possível visualizar 
se o negócio está apresentando lucro ou prejuízo.
  Mostra os lucros reais do negócio — um controle efetivo das finanças, 
com monitoramento constante das entradas e saídas, permite que o 
gestor tome suas decisões baseadas em números, o que vai melhorar o 
desempenho do negócio.
7Fluxo de caixa
  Relacionamento com o ciclo operacional — realizar os pagamentos 
dos fornecedores após ter recebido os valores das vendas aos clientes 
é uma forma de reduzir de forma gradativa o ciclo de caixa e, assim, 
a necessidade de financiamento. Os capitais de longo prazo devem ser 
captados somente para o crescimento da empresa.
  Promoção de uma melhor organização financeira — com a utilização 
de uma projeção do fluxo de caixa, é possível verificar quanto o negócio 
vai precisar de financiamento durante o período do ciclo de caixa. Nesse 
momento, é de grande importância ter capital de giro disponível para 
manter o negócio.
Assim, é possível verificar que, para tornar a gestão financeira mais efi-
ciente e de acordo com os objetivos da organização, é preciso monitorar não 
somente o fluxo de caixa, mas todo o ciclo operacional do negócio. Uma 
forma de alcançar essa eficiência é fazer uso de sistemas informatizados, 
que forneçam controle de prazos e fluxos, principalmente quando a empresa 
trabalha com mais de um produto ou serviço simultaneamente. 
No link a seguir, você pode conferir uma forma de calcular o capital de giro necessário 
para o desenvolvimento das atividades de um negócio.
https://qrgo.page.link/JC8tP
Fluxo de caixa8
ASSAF NETO, A.; SILVA, C. A. T. Administração do capital de giro. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2002.
FREZATTI, F. Orçamento empresarial: planejamento e controle gerencial. 5. ed. São 
Paulo: Atlas, 2009.
GITMAN, L. J. Princípios de administração financeira. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010.
HOJI, M. Administração financeira e orçamentária: matemática financeira aplicada, 
estratégias financeiras, orçamento empresarial. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2017.
MARION, J. C. Contabilidade empresarial. 17. ed. São Paulo: Atlas, 2015.
SAGE. O que é fluxo de caixa e como fazer um fluxo de caixa empresarial. Blog Sage, 
[201-]. Disponível em: https://blog.sage.com.br/o-que-e-fluxo-de-caixa-como-fazer/. 
Acesso em: 8 ago. 2019.
ZDANOWICZ, J. E. Fluxo de caixa: uma decisão de planejamento e controle financeiros. 
10. ed. Porto Alegre: Sagra Luzzatto, 2004.
9Fluxo de caixa
MATEMÁTICA
FINANCEIRA
Adriana Claudia Schmidt
Juros compostos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Distinguir juros simples de juros compostos.
 � Aplicar as fórmulas utilizadas para cálculos em operações que envol-
vem juros compostos.
 � Calcular taxas de juros compostos na calculadora financeira.
Introdução
Para diferenciar os sistemas de juros, é importante estruturar alguns 
conceitos entre juros simples e juros compostos, também chamados de 
capitalizações simples e compostas. Em qualquer um dos sistemas, o 
capital, os juros, as taxas e o montante apresentam a mesma definição, e 
tanto na capitalização simples como na composta, é importante entender 
os princípios da matemática financeira, os quais podem ser calculados 
por meio de fórmulas algébricas. 
Neste capítulo, você entenderá a necessidade que as pessoas têm de 
conhecer os fundamentos básicos da matemática financeira. Além disso, será 
possível compreender como um valor aplicado a uma certa taxa de juros se 
comporta no decorrer do tempo. Após esse entendimento, você terá acesso 
ao uso da calculadora financeira, uma ferramenta essencial para quem deseja 
ter agilidade na resolução dos problemas financeiros do cotidiano.
Juros simples e juros compostos
Existem dois tipos de capitalização: simples e composta. A melhor forma de 
diferenciar uma capitalização da outra é por meio de um exemplo sucinto. 
Considere que uma pessoa obteve um empréstimo no valor de R$ 100,00 
em um banco X, que opera com uma taxa de juros de 90% ao ano. Qual será 
sua dívida após 5 anos? No Quadro 1, vemos um exemplo de como esses 
cálculos ocorrem.
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
Por meio da tabela desenvolvida, é possível verificar que, após 5 anos, a 
diferença entre os dois montantes é de R$ 1.926,10 (2.476,10 – 550,00).
Além disso, é possível verificar que o juro simples cresce linearmente ao longo 
dos 5 anos, ao passo que o juro composto cresce exponencialmente. A Figura 1, a 
seguir, apresenta um gráfico com a diferença entre os juros simples e composto.
Figura 1. Diferença entre juros simples e composto.
Ano Dívida
Juro 
simples 
Montante 
da dívida Dívida
Juro 
composto 
Montante 
da dívida
1 R$ 100,00 0,9 x 100 = 
90,00
R$ 190,00 R$ 100,00 0,9 x 100 = 
90,00
R$ 190,00 
2 R$ 190,00 0,9 x 100 = 
90,00
R$ 280,00 R$ 190,00 0,9 x 190 = 
171
R$ 361,00 
3 R$ 280,00 0,9 x 100 = 
90,00
R$ 370,00 R$ 361,00 0,9 x 361 = 
324,9
R$ 685,90 
4 R$ 370,00 0,9 x 100 = 
90,00
R$ 460,00 R$ 685,90 0,9 x 685,9 = 
617,31
R$ 1.303,21 
5 R$ 460,00 0,9 x 100 = 
90,00
R$ 550,00 R$ 1.303,21 0,9 x 1303,21 
= 1.172,89
R$ 2.476,10 
Quadro 1. Demonstrativo de cálculo de juro simples e juro composto
Juros compostos2
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
Ao somar os juros ao capital, dá-se o nome de capitalização, por isso 
podemos chamar o juro simples de capitalização simples e o juro composto 
de capitalização composta. No regime de capitalização simples, os juros são 
somados uma única vez ao capital, ou seja, o juro é calculado somente sobre 
o capital inicial, ao passo que, nos juros compostos, a remuneração se dá a 
cada período, isto é, juro sobre juro. Conforme Veras (2005, p. 56):
[...] os juros simples, pela sua facilidade de cálculo são utilizados comumente 
em negócios entre pessoas físicas. São utilizados também em operações 
comerciais como argumento de venda, pois, por esse regime, por meio de 
artifícios de cálculo, as taxas de lucro poderão parecer maiores e as taxas de 
juros menores. No mercado financeiro, só é utilizado em aplicações de curto 
prazo, como open market ou overnight e em descontos de títulos. Para todos 
os papéis de renda, sistema financeiro de habitação, crediários, utiliza-se o 
regime de capitalização composta.
Nas duas convenções, linear e exponencial, entende-se o seguinte:
 � Capital é o valor que se tem em mãos hoje, também denominado valor 
atual, principal ou valor presente. Pode ser representado por C ou PV 
(PV, neste capítulo).
 � Juro é o valor da remuneração do capital, representado pela letra J.
 � Taxa de juros é geralmente representada em porcentagem. Quando 
substituída em fórmulas, deve ser decimal, ou seja, dividida por 100. 
É a remuneração paga pelo uso de um capital, sendo representada 
pela letra i.
 � Montante é o valor final do capital aplicado, ou seja, é o capital mais 
os juros, sendo representado pelas letras M, S ou FV, pois também é 
chamado de valor futuro.
 � Tempo é o número de períodos que o capital fica aplicado ou emprestado, 
sendo representado pelas letras n ou t.
Para o cálculo das operações financeiras, são utilizadas fórmulas algébricas 
nas duas convenções, sendo que a simbologia nas duas é a mesma, conforme 
apresentado no Quadro 2.
3Juros compostos
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
Capitalização simples Capitalização composta
Juro J = PV ∙ i ∙ n J = PV[(1 + i)n – 1]
Taxa de juros
Tempo ou número 
de períodos
Capital ou valor 
principal
ou: ou:
PV = FV(1 + i)–n
Montante ou 
valor final
FV = PV(1 + i ∙ n) FV = PV(1 + i) ∙ n
Onde:
J = juro; 
FV = valor final;
PV = valor principal;
i = taxa de juros; 
n = número de períodos.
Quadro 2. Fórmulas das capitalizações simples e composta
Na resolução de muitos problemas de juros simples e compostos, é imperativo 
que se encontre o montante, o valor principal e o juro por meio das seguintes 
fórmulas:
FV = PV + J
PV = FV – J
J = FV – PV
Juros compostos4
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
É imprescindível estabelecer as relações e as diferenças entre as duas 
capitalizações, concluindo-se que, em juros simples, apenas o capital inicial 
rende juros, sendo diretamente proporcional ao tempo e à taxa. Já no juro 
composto, o juro gerado pela aplicação em um período será incorporado a 
cada período, gerando juros sobre juros.
Capitalização composta e suas aplicações 
O regime que melhor retrata a realidade nas operações financeiras é o regime de 
capitalização composta. Conforme Azevedo (2015), os financiamentos (p. ex., 
empréstimos bancários, aplicações financeiras ou crédito rotativo por meio de 
cartão de crédito) são permeados atualmente por juros compostos. No regime 
de juros compostos, diferentemente dos juros simples, os juros incidem no saldo 
devedor do período anterior, havendo, portanto, uma composição de juros.
Assim como na capitalização simples, o capital acrescido de juros compõe 
o valor futuro:
FV = PV + J
A fórmula geral da capitalização composta varia de acordo com a quantidade 
de períodos da capitalização, formando o fator de capitalização (1 + i)n, de 
modo que, por gerar juros sobre juros, a fórmula do montante é:
FV = PV(1 + i)n
Por meio da fórmula do valor futuro, tem-se a fórmula do valor principal:
ou ainda:
PV = FV(1 + i)–n
Nos cálculos com a utilização de fórmulas, o período e a taxa devem estar 
na mesma unidade de tempo. Por exemplo, se o tempo estiver em dias, a taxa 
deve ser dias; se o tempo estiver em meses, a taxa deve estar em meses,
e 
assim sucessivamente. Lembre-se de que as taxas devem ser decimais (divi-
didas por 100).
5Juros compostos
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
O Exemplo 1, a seguir, apresenta a aplicabilidade dessa fórmula.
Luiz aplicou um certo capital a uma taxa de juros compostos de 1,2% ao mês, capita-
lizado mensalmente, produzindo um montante de R$ 3.500,00 após 10 meses. Qual 
o valor aplicado por Luiz?
PV = ?
FV = 3.500
n = 10 meses 
i = 1,2% a.m. ÷ 100 = 0,012
Por meio da resolução dessa fórmula, é possível concluir que Luiz Aplicou R$ 3.106,44.
É importante que você utilize uma calculadora científica para a resolução dos cálculos.
Já os juros podem ser calculados pela diferença: 
J = FV – PV
Dessa fórmula, obtém-se: 
J = PV (1 + i)n – PV
E colocando o PV em evidência, tem-se a fórmula do juro composto:
J = PV [(1 + i)n – 1]
O fator (1 + i)n é encontrado em tabelas financeiras para cada valor de 
n e i, e pode ser calculado com as calculadoras científicas usuais ou com a 
calculadora financeira HP 12c.
Juros compostos6
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
O Exemplo 2, a seguir, traz uma demonstração da utilização da fórmula 
do juro composto.
Maria fez um empréstimo a uma taxa de juros compostos de 2,8% ao mês, durante 
6 meses, e pagou de juros o valor de R$ 7.500,00. Qual o valor que Maria pegou 
emprestado?
PV = ?
FV = ?
Nessa situação, em que se quer descobrir o valor principal que Maria pegou empres-
tado, não é possível utilizar a fórmula do PV, visto que, para calcular por essa fórmula, 
é necessário ter conhecimento do FV, de modo que, como só conhecemos o juro, 
teremos de utilizar a fórmula do juro.
J = 7.500
n = 6 meses
i = 2,8% a.m.÷ 100 = 0,028
Para o cálculo do número de períodos em juros compostos, como o n 
está sempre no expoente, ao fazermos a substituição das variáveis, caímos 
em logaritmos. Em concursos, muitas vezes a questão informa o valor do 
logaritmo, e, nas questões usuais, usa-se a calculadora científica para cálculos 
com fórmulas ou a calculadora financeira HP 12c.
Para o cálculo do tempo, tem-se a seguinte fórmula:
7Juros compostos
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
O Exemplo 3, a seguir, traz uma aplicação para o cálculo do número de 
períodos.
Se a inflação mensal está em torno 1,4%, em quanto tempo uma mercadoria que custa 
R$ 7.500,00 atingirá o preço de R$ 7.819,43?
PV = 7.500
FV = 7.819,43
i = 1,4% a.m. ÷ 100 = 0,014
n = ? 
Já para o cálculo da taxa no juro composto, faz-se necessário o uso de uma 
fórmula prática. Conforme Rohloff (2009), deve-se subtrair 1 e multiplicar 
por 100 o resultado do cálculo exponencial, como segue:
Para o cálculo da taxa, é indispensável o uso de calculadoras. Lembre-
-se de que a resposta virá sempre na forma decimal, de modo que é preciso 
multiplicar por 100 para transformar em taxa percentual, como pode ser 
visualizado no Exemplo 4.
Juros compostos8
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
Se você realizar um investimento no valor de R$ 32.000,00 em títulos de capitalização 
que lhe proporcionarão um resgate de R$ 39.753,50 após 150 dias de aplicação, qual 
será a taxa mensal de juros compostos aplicada ao seu capital?
PV = 32.000
FV = 39.753,50
N = 150 dias = 5 meses
i = ?
Resolução de taxas com a máquina financeira 
HP 12c
Taxas de juros
Na capitalização composta, as taxas de juros são definidas de uma maneira 
especial, diferentemente dos juros simples, em que a taxa de 2% ao mês 
representa o mesmo que 24% ao ano ou 12% ao semestre, ou seja, a relação 
é linear. Pode-se dizer, então, que essas taxas são proporcionais. Entretanto, 
nos juros compostos, a relação não é a mesma.
Taxa nominal
Conforme Castanheira e Macedo (2010), ao nos dirigirmos a um agente fi-
nanceiro e questionarmos sobre o valor da taxa utilizado para empréstimo 
9Juros compostos
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
à pessoa física, é comum sermos informados da taxa anual que está sendo 
praticada naquele momento. Entretanto, o prazo de formação de juros e a sua 
incorporação ao capital que o produziu costumam ser de periodicidade menor, 
geralmente mensal. À taxa informada, damos o nome de taxa nominal. 
A taxa de juros é nominal quando a unidade referencial de tempo não 
coincide com a unidade de tempo da capitalização. Por exemplo:
 � 16% ao ano, capitalizada mensalmente;
 � 18% ao ano, capitalizada trimestralmente;
 � 22% ao ano, capitalizada semestralmente.
Quando essa situação ocorrer em problemas de capitalização composta, 
deve-se calcular de forma proporcional aos juros simples. Veja:
 � 16% ao ano, capitalizada mensalmente − = 1,33% a.m.1612
 � 18% ao ano, capitalizada trimestralmente 
 � 22% ao ano, capitalizada semestralmente: 
O Exemplo 5, a seguir, apresenta o desenvolvimento desse cálculo por 
meio da fórmula e da calculadora financeira HP 12c.
Determine o montante de um valor de R$ 3.000,00 que foi aplicado à taxa nominal de 
40% ao ano, durante um ano, considerando a capitalização trimestral:
i = 40% a.a. = = 10% a.t. ÷ 100 = 0,1 a.t.
n = 1 ano = 4 trimestres
PV = 3.000
FV = ?
FV = PV (1 + i)n
FV = 3.000(1 + 0,1)4
FV = 4.392,30
Na calculadora HP 12c:
f reg (zera todos os registros)
3.000 CHS PV
10 i
4 n
FV
Juros compostos10
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
Taxas proporcionais, equivalentes e efetivas
Para Azevedo (2015, p. 32), as taxas proporcionais estão ligadas a juros simples, 
ao passo que as taxas equivalentes se associam a juros compostos. Todavia, 
pode-se dizer também que as taxas equivalentes estão ligadas às duas capita-
lizações, e, sempre que solicitadas ao cálculo, é preciso saber qual o tipo de 
capitalização. As taxas efetivas, por sua vez, estão ligadas somente aos juros 
compostos. Desse modo, sempre que for dito a taxa efetiva, não será necessário 
a especificação, visto que a taxa efetiva só é calculada no juro composto.
Conforme Assaf Neto (2012), por se tratar de capitalização exponencial, 
a expressão da taxa equivalente composta é a média geométrica da taxa de 
juros do período inteiro. Quando solicitado o cálculo da taxa efetiva ou da 
taxa equivalente em juros compostos, duas fórmulas são usuais para o cálculo:
 e 
A primeira é utilizada quando se tem a taxa com o maior período e se 
quer encontrar a taxa equivalente ao menor período, ao passo que a segunda 
é utilizada quando se tem a taxa com o menor período e se quer encontrar a 
taxa com o maior período.
Para entender melhor, veja os Exemplos 6 e 7.
Determine a taxa de juros compostos mensal equivalente a 21% ao ano:
i = 21% ao ano, porém queremos ao mês (temos a.a. e vamos para a.m., da maior 
para a menor).
Quantos meses têm um ano? 12 meses.
n = 12 meses
Na HP 12c:
100 CHS PV (usa-se como valor principal);
121 FV (valor principal somado à taxa de juros);
12 n (período que buscamos);
i (taxa equivalente).
11Juros compostos
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
A taxa de juros compostos de 2,4% ao mês corresponde à qual taxa equivalente ao 
trimestre?
i = 2,4% ao mês, porém queremos ao trimestre (temos a.m. e vamos para a.t., da 
menor para a maior).
Quantos meses têm um trimestre? 3 meses.
n = 3 meses
Na HP-12c:
100 CHS PV (usa-se como valor principal);
2,4 i (taxa de juros fornecidos);
3 n (período que buscamos);
FV (valor futuro);
100 – (subtrai-se o PV inicial para encontrar a taxa de juros).
Conforme Castanheira e Macedo (2010), na matemática financeira, independentemente 
da capitalização em estudo, é comum utilizar nas respostas duas casas após a vírgula, 
e, para isso, usa-se uma regra de arredondamento: se o terceiro número for 5, 6, 7, 8 
ou 9, o segundo número é arredondado para cima, porém se o terceiro número for 4, 
3, 2, 1 ou 0, o segundo número fica inalterado. Por exemplo:
 � 2,23673% = 2,24%
 � 3,38213% = 3,38%
Juros compostos12
Identificação interna do documento NXNT8X5PS9-A8NO8B1
Neste capítulo, para facilitar o entendimento
da capitalização composta, 
foram utilizados vários problemas envolvendo diferentes cálculos desenvolvidos 
por meio de fórmulas e pela máquina financeira HP 12c. Para Castanheira e 
Macedo (2010), pode-se considerar que a essência da capitalização composta 
está na definição de que ela é caracterizada pela reincidência de juros sobre 
o capital, ou seja, quando sobre um valor que já tem embutido uma parcela de 
juro, incide novamente a taxa de juro. Nesse contexto, vários instrumentos de 
cálculos da área financeira são utilizados, como juros simples, juros compostos 
e equivalência de taxas.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
AZEVEDO, G. H. W. Matemática financeira: princípios e aplicações. São Paulo: Saraiva, 2015.
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. 3. ed. Curitiba: 
Ibpex, 2010.
ROHLOFF, D. B. Matemática financeira: administração. São Paulo: Pearson, 2009.
VERAS, L. L. Matemática financeira: uso de calculadoras financeiras, aplicações ao 
mercado financeiro, introdução à engenharia econômica, 300 exercícios resolvidos e 
propostos com respostas. São Paulo: Atlas, 2005.
13Juros compostos
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Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
D136m Dal Zot, Wili.
 Matemática financeira : fundamentos e aplicações 
 [recurso eletrônico] / Wili Dal Zot, Manuela Longoni de 
 Castro. – Porto Alegre : Bookman, 2015.
 Editado como livro impresso em 2015.
 ISBN 978-85-8260-333-8
 1. Matemática financeira. I. Castro, Manuela Longoni 
 de. II. Título. 
CDU 51
Os autores
Wili Dal Zot
É professor de Matemática Financeira do Departamento de Matemática Pura e Aplicada da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) desde 1984. É bacharel em Ciências Econômicas pela UFRGS, espe-
cialista em Finanças pela Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas (FGV) e mes-
tre em Administração pela Escola Brasileira de Administração Pública e de Empresas (EBAPE) pela mesma 
instituição. Atualmente, é professor convidado da FGV das disciplinas de Matemática Financeira e Finanças 
Corporativas em cursos de Pós-Graduação. Tem experiência em cargos de Gerência Financeira e de Controla-
doria em empresas de setores da Indústria de Comércio e Serviços.
Manuela Longoni de Castro
É bacharel em Matemática pela UFRGS, mestre em Matemática Aplicada pela mesma universidade e Ph.D. 
em Matemática pela University of New Mexico (Estados Unidos). É professora adjunta da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul desde 2006, ministrando a disciplina de Matemática Financeira desde 2007. 
Tem experiência na área de Matemática Aplicada, atuando nas áreas de Equações Diferenciais Parciais, Aná-
lise Numérica e Ecologia Matemática.
CAPÍTULO 6
DESCONTOS
6.1 Introdução
CONCEITO 6.1 Entende-se por desconto “[…] o abatimento que se obtém ao saldar um 
compromisso antes de sua data de vencimento e por descontar o ato acima descrito.” 
(ASSAF NETO, 2009, p. 38; DAL ZOT, 2008, p. 75)
Normalmente os compromissos com vencimento no futuro são originários de empréstimos 
anteriores e são representados por documentos denominados títulos de crédito, que, desem-
penhando papel semelhante ao dos contratos, asseguram legalmente os direitos dos credores.
Os títulos de crédito possuem regras legais que preveem sua negociação de modo a fa-
cilitar a antecipação dos direitos futuros por meio da operação de desconto.
Dentre os títulos mais conhecidos, encontram-se duplicatas, notas promissórias, certifi-
cados de depósito bancário e letras de câmbio.
Uma empresa, ao descontar um título de crédito junto a um banco, recebe um valor in-
ferior ao que o título irá valer no seu vencimento. O valor líquido recebido se denomina valor 
descontado, principal ou valor presente do título. A diferença entre valor líquido recebido e 
valor nominal do título é o desconto.
O valor do título no vencimento é o seu valor de resgate, valor nominal ou valor futuro.
Alguns pontos se destacam na operação de desconto do ponto de vista da empresa que 
se desfaz do título de crédito:
 • Da parte do possuidor ou credor do título, a operação de desconto significa a antecipa-
ção da riqueza nele expressa; em troca, é oferecido um desconto de seu valor nominal 
(ou de resgate).
 • A operação de desconto pode ser comparada a um empréstimo, pois existe um princi-
pal (valor descontado = valor nominal menos o desconto), um prazo e um valor futuro 
(montante, valor nominal, valor de resgate do título).
Pontos de destaque na operação de desconto do ponto de vista do banco que adquire o 
título:
 • Da parte do banco comprador do título, a operação é semelhante a uma aplicação fi-
nanceira cujo principal é o valor pago à vista pelos títulos (valor descontado ou valor 
presente) e o rendimento é o desconto recebido (mesmo que juros).
46 Matemática Financeira
 • Na data de vencimento, o banco que o descontou receberá o valor nominal do título de 
crédito que equivale ao montante do principal oferecido na sua aquisição.
6.2 Simbologia
O objetivo primordial do cálculo financeiro nas operações de descontos é encontrar o 
principal (valor presente ou valor atual) dos títulos de crédito (principal = valor de resgate 
− desconto).
Símbolos mais utilizados
 • D = desconto
 • P = principal, valor descontado, valor atual, valor presente (nas calculadoras financei-
ras: )
 • S = valor de resgate, valor nominal, valor futuro, montante (nas calculadoras financei-
ras: )
6.3 Desconto bancário simples
CONCEITO 6.2 Um dos tipos mais conhecidos de desconto é o desconto bancário sim-
ples. Nele, o valor presente (P) de um título de crédito é obtido por:
 P = S − D (6.1)
e
 D = S·d·n (6.2)
onde
S = valor de resgate, valor de face, valor nominal ou valor futuro do título a ser 
descontado
d = taxa de desconto bancário simples
n = prazo entre o desconto e o vencimento do título
6.4 Cálculo do desconto (D)
EXEMPLO 6.1 Calcular o valor do desconto de duplicatas cujo valor nominal é de R$ 
23.000,00, descontadas a uma taxa de desconto bancário simples de 5% ao mês, 38 dias 
antes do vencimento.
Capítulo 6 Descontos 47
Dados:
D = ?
S = 23.000
n = 38 d = m
d = 5% (0,05) a.m.
Solução:
Resposta: R$ 1.456,67.
Usando a calculadora.
 
ALG RPN
23000 × 23000 ENTER
.05 × .05 ×
38 ÷ 38 ×
30 = 30 ÷
⇒1.456,66666667 ⇒1.456,66666667
6.5 Cálculo do valor descontado (P)
EXEMPLO 6.2 Uma empresa descontou duplicatas no valor de face de R$ 18.700,00 com 
52 dias de antecedência do vencimento, a uma taxa de desconto bancário simples de 4,5% 
ao mês, e deseja saber o valor líquido recebido na operação.
Dados:
P = ?
S = 18.700
n = 52 d = m
d = 4,5% (0,045) a.m.
Solução:
Como D = S·d·n e P = S – D, pode-se formular: P = S − S·d·n ou
 P = S(1 − d·n) (6.3)
Resposta: R$ 17.241,40.
48 Matemática Financeira
Usando a calculadora.
 
ALG RPN
18700 × ( 18700 ENTER
1 − ( 1 ENTER
.045 × .045 ENTER
52 ÷ 52 ×
30 = 30 ÷
⇒17.241,40000000 − ×
⇒17.241,40000000
6.6 Cálculo da taxa efetiva (i)
Calculando a taxa efetiva
EXEMPLO 6.3 Calcular a taxa efetiva mensal de uma operação de desconto de duplica-
tas no valor de face de R$ 100.000,00, 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de descon-
to bancário simples de 10% ao mês.
Dados:
i = ?
S = 100.000
n = 3 m
d = 10% (0,10) a.m.
Solução:
Como P = S(1 − d·n) e ,
 
ou
 (6.4)
Resposta: 12,62% a.m.
Capítulo 6 Descontos 49
Usando a calculadora.
 
ALG RPN
1 ÷ ( 1 ENTER
1 − ( 1 ENTER
0.1 × 0.1 ENTER
3 = yx 3 ×
3 1/x − ÷
− 3 1/x yx
1 = 1 −
⇒0,126248 ⇒0,126248
6.7 Tipos de descontos
Os tipos conhecidos de descontos são:
 • Desconto bancário simples (desconto comercial simples ) ou desconto por fora simples
 • Desconto bancário composto ou desconto por fora composto1
 • Desconto racional simples ou desconto por dentro simples
 • Desconto racional composto ou desconto por dentro composto
Tipos de descontos e fórmulas de cálculo do valor presente:
Bancário (d) Racional (i)
Simples P = S(1 − d·n)
Composto P = S(1 − d)n
Uma das diferenças entre os descontos racionais e os bancários é que aqueles utilizam taxa de 
juros (i), enquanto estes, taxas de desconto (d).
Os tipos de descontos mais utilizados são: o desconto bancário simples, para operações 
de desconto de curto prazo, em torno de 30 a 90 dias (duplicatas, notas promissórias, etc.), e 
o desconto racional composto, para prazos superiores.
1 Embora citado por alguns autores, não se tem conhecimento sobre a utilização do desconto bancário composto.
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra. 
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
D136m Dal Zot, Wili.
 Matemática financeira : fundamentos e aplicações 
 [recurso eletrônico] / Wili Dal Zot, Manuela Longoni de 
 Castro. – Porto Alegre : Bookman, 2015.
 Editado como livro impresso em 2015.
 ISBN 978-85-8260-333-8
 1. Matemática financeira. I. Castro, Manuela Longoni 
 de. II. Título. 
CDU 51
Os autores
Wili Dal Zot
É professor de Matemática Financeira do Departamento de Matemática Pura e Aplicada da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) desde 1984. É bacharel em Ciências Econômicas pela UFRGS, espe-
cialista em Finanças pela Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas (FGV) e mes-
tre em Administração pela Escola Brasileira de Administração Pública e de Empresas (EBAPE) pela mesma 
instituição. Atualmente, é professor convidado da FGV das disciplinas de Matemática Financeira e Finanças 
Corporativas em cursos de Pós-Graduação. Tem experiência em cargos de Gerência Financeira e de Controla-
doria em empresas de setores da Indústria de Comércio e Serviços.
Manuela Longoni de Castro
É bacharel em Matemática pela UFRGS, mestre em Matemática Aplicada pela mesma universidade e Ph.D. 
em Matemática pela University of New Mexico (Estados Unidos). É professora adjunta da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul desde 2006, ministrando a disciplina de Matemática Financeira desde 2007. 
Tem experiência na área de Matemática Aplicada, atuando nas áreas de Equações Diferenciais Parciais, Aná-
lise Numérica e Ecologia Matemática.
CAPÍTULO 5
TAXAS
5.1 Introdução
Na prática comercial e bancária, o termo taxa tem sido utilizado com diversos significados e em 
diferentes situações. Assim, é importante distinguir algumas dessas situações para que se pos-
sam aplicar os conceitos e as fórmulas adequadamente.
5.1.1 Diversas abordagens sobre taxas de juros
Algumas das abordagens mais frequentes são:
 • Quanto à comparação entre taxas:
 � Taxas proporcionais entre si
 � Taxas equivalentes entre si
 • Quanto à forma de capitalização:
 � Taxas de juros simples
 � Taxas de juros compostos
 � Taxas efetivas
 � Taxas nominais
 • Em ambiente inflacionário:
 � Taxas aparentes
 � Taxas de inflação ou de correção monetária
 � Taxas reais
 • Em operações de desconto:
 � Taxas racionais ou taxas por dentro
 � Taxas de desconto ou taxas por fora
34 Matemática Financeira
5.2 Taxas proporcionais
CONCEITO 5.1 Duas taxas de juros são ditas proporcionais entre si quando a relação 
de seus valores é a mesma que existe entre os tempos representados por elas (DAL ZOT, 
2008, p. 32; ASSAF NETO, 2009, p. 8).
Por exemplo: 6% ao ano é uma taxa proporcional a 3% ao semestre porque 
.
Outros exemplos de taxas proporcionais entre si:
 • 12% a.a. e 1% a.m.
 • 24% a.t. e 8% a.m.
Observe que a existência de proporcionalidade entre duas taxas é uma propriedade 
intrínseca a elas e independe do regime de capitalização dos juros.
5.3 Taxas equivalentes
CONCEITO 5.2 Duas taxas de juros são denominadas equivalentes entre si quando, 
aplicadas sobre um mesmo capital, durante um mesmo período de tempo, reproduzem 
a mesma quantia de juros ou o mesmo montante (DAL ZOT, 2008, p. 33; ASSAF NETO, 
2009, p. 8; SAMANEZ, 2002, p. 49).
No caso da equivalência de taxas, devemos considerar as diferenças entre os regimes 
de juros simples e compostos, uma vez que, nas mesmas condições, eles reproduzem juros 
diferentes.
Assim, duas taxas podem ser equivalentes em um regime (simples ou composto), mas 
não o serão no outro.
5.3.1 Juros simples
Vamos examinar a condição de equivalência (↔) entre as taxas mensal (im) e anual (ia) no 
regime de juros simples. Para que elas sejam equivalentes, devem reproduzir os mesmos 
juros, logo, o mesmo montante. Se considerarmos uma aplicação P após o período de 1 ano, 
teremos as seguintes equações:
ia ↔ im se, e somente se, garantirem a igualdade das equações a seguir:
S = P(1 + ia·1) e S = P(1 + im·12)
ou ia·1 = im·12
Logo, para que ia ↔ im, devemos ter .
Verifica-se que a relação entre as taxas equivalentes, ia e im, é o número 12, que é justa-
mente a relação de proporcionalidade entre as unidades dos prazos (1 ano tem 12 meses), ou 
seja, para essas taxas serem equivalentes, também devem ser proporcionais.
Em juros simples, duas taxas são equivalentes entre si se, e somente se, forem propor-
cionais entre si.
Capítulo 5 Taxas 35
Generalizando, as taxas i1 e i2 serão equivalentes entre si, em juros simples, consideran-
do-se um prazo medido por n1, na unidade de tempo de i1, e n2, na unidade de tempo de i2, 
que satisfaça as seguintes equações:
S = P(1 + i1·n1) e S = P(1 + i2·n2)
Resumindo:
Juros simples: i1 ↔ i2 se, e somente se, i1·n1 = i2·n2
EXEMPLO 5.1 Calcular a taxa trimestral equivalente a 13,50% a.a., em juros simples.
Dados:
ia = 13,50% (0,135) a.a.
it = ?
Solução:
it·4 = ia·1 (1 ano tem 4 trimestres)
it = 
it = = 0, 0337500 = 3,37500%
Resposta: 3,38% a.t.1
5.3.2 Juros compostos
Considere as equações a seguir:
S1 = P(1 + ia)1
S2 = P(1 + im)12
No regime de juros compostos, para que ocorra equivalência entre as taxas mensal e anual, 
im ↔ ia, é necessário que S1 = S2, ou seja:
(1 + ia)1 = (1 + im)12, de onde podemos concluir que:
e
Observe que, nos juros compostos, a relação entre os prazos encontra-se num expo-
ente. Generalizando, as taxas i1 e i2 serão equivalentes entre si, considerando-se um prazo 
medido por n1, na unidade de tempo de i1, e n2, na unidade de tempo de i2, que satisfaça as 
equações:
S = P(1 + i1)n1 e S = P(1 + i2)n2
1 Note que a resposta foi dada em taxa percentual com duas decimais, sendo essa a forma mais usual e a adotada 
como padrão neste livro, salvo menção em contrário.
36 Matemática Financeira
Logo:
se, e somente se,Juros compostos:
Taxas proporcionais, em geral, não são equivalentes no regime de juros compostos.
EXEMPLO 5.2 Calcular a taxa anual equivalente a 9% ao trimestre em juros compostos.
Dados:
ia = ?
it = 9% (0,09) a.t.
n = 1a → n1 = 1a ≡ n2 = 4t (Toma-se o prazo de 1 ano como referência para a compara-
ção entre as taxas. Ao utilizarmos a taxa anual, consideramos o tempo em 1 ano e, para 
a taxa trimestral, 4 trimestres.)
Solução:
(1 + ia)1 = (1 + it)4 ↔ ia = (1 + it)4 − 1
ia = (1 + 0,09)4 − 1 = 0,411582
Resposta: 41,16% a.a.
Usando a calculadora. (1 + 0,09)4 − 1
ALG RPN
1.09 yx 1.09 ENTER
4 − 4 yx
1 = 1 −
⇒0,411582 ⇒0,4115821
EXEMPLO 5.3 Calcular a taxa mensal equivalente a 14% ao semestre em juros compostos.
Dados:
im = ?
is = 14% (0,14) a.s.
n = 1s → n1 = 1s ≡ n2 = 6m (Toma-se o prazo de 1 semestre como referência para a 
comparação entre as taxas. Ao utilizarmos a taxa semestral, consideramos o tempo em 1 
semestre e, para a taxa mensal, 6 meses.)
Solução:
Resposta: 2,21% a.m.
Capítulo 5 Taxas 37
Usando a calculadora. 
ALG RPN
1.14 yx 1.14 ENTER
6 1/x − 6 1/x yx
1 = 1 −
⇒0,022078 ⇒0,022078
Outra maneira de calcular taxas equivalentes em juros compostos é utilizar os recur-
sos pré-programados existentes nas calculadoras financeiras. Parte-se do conceito de taxas 
equivalentes, da escolha de um principal qualquer (R$ 100,00, por exemplo) e de um prazo 
de duração (normalmente o correspondente à taxa de maior prazo) como referência de
com-
paração. Os cálculos são feitos em duas etapas:
 • Primeiro se calcula o montante considerando o principal escolhido, a taxa de juros co-
nhecida e o prazo de 1 ano ajustado à unidade de tempo da taxa conhecida.
 • Depois se calcula a taxa equivalente à taxa informada a partir dos dados anteriores 
(mesmo principal, mesmo montante e mesmo prazo), ajustando apenas a quantidade 
do prazo à unidade de tempo da taxa.
Calcular as taxas equivalentes nos exemplos anteriores usando o recurso pré-programa-
do para juros compostos da calculadora financeira.
Exemplo 2 Exemplo 3
clear fin clear fin
100 PV 100 PV
9 i 14 i
4 n 1 n
FV ⇒−141,158161 FV ⇒−114,000000
1 n 6 n
i ⇒41,158161 i ⇒2,207824
Observe que as respostas em taxas, quando utilizado o recurso pré-programado das 
calculadoras financeiras, são dadas no formato percentual.
5.4 Taxa nominal
Na prática comercial e bancária, há duas maneiras de enunciar problemas em juros compos-
tos. Seja o exemplo de um empréstimo de R$ 100,00, durante um ano, podemos enunciá-lo:
 • Calcular o valor de resgate de um empréstimo de R$ 100,00, após 1 ano, à taxa de juros 
compostos de 12% ao ano.
 • Calcular o valor de resgate de um empréstimo de R$ 100,00, após 1 ano, à taxa de juros 
compostos de 12% ao ano, capitalizados (compostos) mensalmente.
38 Matemática Financeira
Para o primeiro caso, usamos como solução a equação conhecida: S = P(1 + ia)1 = 
100(1 + 0,12) = 112,00. Observe que o juro calculado foi exatamente o esperado: 12% sobre 
o capital emprestado. A taxa que reproduz juros correspondentes ao percentual esperado é 
denominada taxa efetiva (DAL ZOT, 2008, p. 71; PUCCINI, 2009, p. 62).
Já na segunda situação temos uma novidade: a simultaneidade de duas unidades de 
tempo diferentes (ano e mês) na referência da taxa (ao ano, mas capitalizados mensalmente) 
indica, pela prática secular desse enunciado, que se deve usar uma taxa de juros compostos 
de 1% ao mês! Assim, teremos S = P(1 + i)n = 100(1 + 0,01)12 = 112, 68. Nesse caso, o resul-
tado foi 12,68% sobre o capital emprestado, bem diferente da taxa enunciada. Quando isso 
ocorre, a taxa do enunciado é denominada taxa nominal (PUCCINI, 2009, p. 73; SAMANEZ, 
2002, p. 37).
CONCEITO 5.3 Denomina-se taxa nominal (iN) a toda taxa de juros que é apresentada 
com um período de capitalização diferente da unidade de tempo da taxa.
A taxa nominal não expressa adequadamente o rendimento ou custo de um empréstimo ou apli-
cação financeira. Logo, quando ela ocorre, deve-se encontrar a taxa efetiva correspondente.
O enunciado sugere que uma taxa efetiva é a taxa proporcional da taxa nominal no 
período de capitalização.
Para calcular a taxa efetiva a partir de uma taxa nominal, deve-se seguir os seguintes 
passos:
 • Passo 1: encontrar a taxa proporcional à taxa nominal do enunciado: ela é a taxa efetiva 
do problema na unidade de tempo correspondente ao período de capitalização:
no exemplo 
 • Passo 2: por meio da equivalência em juros compostos, encontrar a taxa efetiva na uni-
dade de tempo desejada: no exemplo ia = (1 + 0,01)12 1 = 0, 126825 = 12,68% a.a.
Observe que, uma vez encontrada uma taxa efetiva a partir de um enunciado contendo 
taxa nominal, todas as demais taxas equivalentes em juros compostos são taxas efetivas do 
problema (VIEIRA SOBRINHO, 2000, p. 191).
EXEMPLO 5.4 Calcular a taxa efetiva anual de 10% ao ano, compostos mensalmente.
Dados:
i =?
iN = 10% (0,10) a.a. cap. mens.2
Solução:
Resposta: 10,47%.
2 Observe que é fundamental a identificação do período de capitalização na taxa nominal.
Capítulo 5 Taxas 39
Usando a calculadora.
 
ALG RPN FIN
.10 ÷ .10 ENTER clear fin
12 + 12 ÷ 10 ENTER
1 yx 1 + 12 ÷ i
12 − 12 yx 100 PV
1 = 1 − 12 n
⇒0,104713 ⇒0,104713 FV
1 n
i
⇒10,4713
EXEMPLO 5.5 Calcular a taxa efetiva anual correspondente à taxa de juros de 12% ao 
semestre, compostos trimestralmente.
Dados:
i =?
iN = 12% (0,12) a.s. cap. trim.
Solução:
Resposta: 26,25.
Usando a calculadora.
 
ALG RPN FIN
.12 ÷ .12 ENTER clear fin
2 + 2 ÷ 12 ENTER
1 yx 1 + 2 ÷ i
4 − 4 yx 100 PV
1 = 1 − 4 n
⇒0,262477 ⇒0,262477 FV
1 n
i
⇒26,2477
40 Matemática Financeira
EXEMPLO 5.6 Calcular o valor de resgate de uma aplicação financeira de R$ 43.000,00 
à taxa de 8% ao ano, compostos mensalmente, após 7 meses.
Dados:
S =?
P = 43.000
n = 7 m
iN = 8% (0,08) a.a. cap. mens.
Solução:
S = P(1 + i)n, mas como i é uma taxa efetiva e a taxa conhecida é uma taxa nominal, iN, 
substitui-se ajustando-se n à unidade do período de capitalização. Passamos de uma 
taxa anual para uma mensal, dividindo a taxa anual nominal por 12 que é o número de meses 
que tem um ano. Logo,
Resposta: R$ 45.047,25.
Usando a calculadora.
 
ALG RPN FIN
.08 ÷ .08 ENTER clear fin
12 + 12 ÷ 8 ENTER
1 yx 1 + 12 ÷ i (RPN)
7 × 7 yx 43000 PV
43000 = 43000 × 7 n
⇒45.047,2489. . . ⇒45.047,2489. . . FV⇒-45.047,2489. . .
Caso o problema envolva a convenção linear para períodos não inteiros, a fórmula que 
teremos que substituir, , passa a ser onde k é a parte inteira de n 
e sua parte fracionária, conforme o Capítulo “Juros Compostos”.
EXEMPLO 5.7 Qual é o valor de resgate de uma aplicação de R$ 27.000,00, à taxa de 
10% ao ano, compostos trimestralmente, após 285 dias (considerando-se a convenção 
linear para períodos não inteiros).
Dados:
S =?
P = 27.000
iN = 10% (0,10) a.a. cap. trim.
n = 285 d
Capítulo 5 Taxas 41
Solução:
1. Transforma-se a taxa nominal em efetiva: a.t.
2. Adequa-se o prazo para trimestres: t t t t
3. Fórmula da convenção linear:
Resposta: R$ 29.197,20.
Usando a calculadora.
ALG RPN FIN
.1 ÷ 4 + 1 .1 ENTER 4 ÷ 1 + clear fin
yx 3 × ( 3 yx 10 ENTER 4 ÷ i
.1 ÷ 4 × .1 ENTER 4 ÷ 285 ENTER 90 ÷ n
15 ÷ 90 + 1 ) 15 × 90 ÷ 1 + 27000 PV
× 27000 = × 27000 × FV
⇒29.197,19707. . . ⇒29.197,19707. . . ⇒29.197,19707. . .
O recurso financeiro pré-programado para a convenção linear está disponível apenas nas cal-
culadoras HP 12c; para usá-lo, é necessário que o visor não tenha a letra C, indicador de con-
venção exponencial (para se tirar ou colocar a opção deve-se teclar seguido de ).
Onde a taxa nominal é utilizada?
• A nível internacional, predomina o uso da taxa nominal; logo, contratos de financia-
mento em moeda estrangeira são feitos com taxas nominais.
• A poupança no Brasil, durante longos períodos, além de correção monetária, remune-
rava a uma taxa de juros juros de 6% a.a., capitalizados mensalmente, que equivale às
taxas efetivas de 0,5% a.m. ou 6,17% a.a.
• No mercado financeiro, a taxa-over de 3% a.m., de uma determinada aplicação, significa
que a taxa diária da referida aplicação foi de .
• O BNDES e a maioria do sistema financeiro brasileiro preferem o uso de taxas efetivas.
• A Caixa Econômica Federal tem por hábito indicar em seus contratos ambas as taxas,
nominal e efetiva, fazendo menção explícita a elas.
5.5 Taxas de inflação
Em ambiente de inflação, é importante se desdobrar a taxa efetiva em duas partes, a que cor-
responde ao componente meramente inflacionário e a dos juros propriamente ditos. Temos, 
então, as seguintes taxas:
42 Matemática Financeira
• Taxa aparente de juros é a taxa efetiva de juros contendo, porém, o componente da
inflação.
• Taxa de correção monetária corresponde à atualização da perda de poder aquisitivo do
dinheiro pela inflação.
• Taxa real de juros é também uma taxa efetiva de juros, mas sem o componente da in-
flação.
A Matemática Financeira costuma dedicar um tópico específico para o estudo da inflação. 
Neste livro, a matemática financeira da inflação será examinada no Capítulo “Correção mo-
netária”.
5.6 Taxas de desconto
Quando partimos de uma quantia futura conhecida, geralmente um direito creditício ou dí-
vida, e queremos descobrir quanto essa quantia vale hoje (qual é o seu valor presente ou 
valor atual), utilizamos as denominadas taxas de desconto.
As taxas de desconto podem ser classificadas em:
• Taxas de desconto racional ou por dentro: são as taxas de juros, simples ou compostos,
já vistas nos
tópicos anteriores.
• Taxas de desconto bancário: podem ser de juros simples ou compostos, predominando
o primeiro e, praticamente, inexistindo o segundo.
Este livro dedica o Capítulo “Descontos” para o estudo das taxas de descontos.
Capítulo 11 Correção monetária 129
11.3 Fórmula de Fischer
11.3.1 Taxas aparente, de correção monetária e real
EXEMPLO 11.7 O proprietário de um imóvel, adquirido em maio de 2009 pelo valor 
de R$ 270.000,00, deseja vendê-lo em fevereiro de 2013 a 20% acima do valor atualizado 
monetariamente pelo IGP-M/FGV. Calcular o valor de venda do imóvel.
Dados:
ireal = 20%
Valorvenda=?
Valorhistorico=270.000,00
Datacompra=mai09 ⇒ 
Datavenda = fev13 ⇒ 
Solução:
Valorvenda = Valoratualizado(1 + ireal)
Valoratualizado = Valorhistórico(1 + icm)
Valorvenda = Valorhistórico(1 + icm)·(1 + ireal)
×
Valorvenda = 270.000(1 + 0,2619481)·(1 + 0,20) = 408.871,19256. . .
Resposta: R$ 408.871,19.
CONCEITO 11.4 “A taxa aparente (chamada nominal nas transações financeiras e co-
merciais) é aquela que vigora nas operações correntes. A taxa real é calculada depois de 
serem expurgados os efeitos inflacionários.”(SAMANEZ, 2002. p. 67)
Taxas aparente e real se relacionam pela Fórmula de Fischer1:
(1 + iaparente) = (1 + icm)·(1 + ireal) (11.1)
No exemplo anterior, temos:
(1 + iaparente) = (1 + icm)·(1 + ireal) = (1 + 0,2619481).(1 + 0,20) = (1 + 0,51433775 . . . )
Valorvenda = Valorhistórico(1 + iaparente) =
Valorvenda = 270.000(1 + 0,51433775 . . . ) = 408.871,19256 . . .
Em geral, a Fórmula de Fischer ((1 + iaparente) = (1 + icm)·(1 + ireal )) é aplicada em duas 
situações:
• Quando desejamos calcular uma taxa aparente a partir do conhecimento da taxa
de inflação ou correção monetária (icm) e da taxa real de juros (ireal): iaparente = (1 +
icm)·(1 + ireal ) − 1.
1 A Fórmula, ou Efeito de Fischer, é atribuída ao economista e estatístico americano Irving Fischer, considerado um 
dos fundadores da corrente macroeconômica denominada monetarista.
130 Matemática Financeira
 • Quando se quer conhecer a taxa real de uma operação financeira, conhecidas as taxas 
aparente e de inflação: .
Os contratos de operações de empréstimos, no que diz respeito à correção monetária, são 
classificados em dois tipos:
 • Com correção monetária pré-fixada: aqueles em que não há menção explícita de cri-
tério de correção. A correção monetária é estimada a priori. Atualmente a maioria das 
operações de empréstimos de curto prazo (até um ano) são pré-fixadas.
 • Com correção monetária pós-fixada: aqueles em que os saldos são atualizados mone-
tariamente, a posteriori (PUCCINI, 2009, p. 253), por meio de algum índice de preços 
identificado no contrato. Os valores em reais somente são conhecidos após a publicação 
do respectivo índice de cada data.
EXEMPLO 11.8 Na década de 1970, a poupança rendia 0,5% a.m. sobre o saldo corri-
gido pelo IGP-DI. Sabendo-se que, em um determinado mês, a taxa de inflação medida 
pelo IGP-DI foi de 10%, calcular a taxa de remuneração da poupança naquele mês.
Dados:
ireal = 0,5%
icm = 10%
iaparente = ?
Solução:
iaparente = (1 + icm)·(1 + ireal ) − 1
iaparente = (1 + 0,10)·(1 + 0,005) − 1 = 0,1055 . . . = 10,55 . . . %
Resposta: 10,55% a.m.
Observe que, para o público em geral, a remuneração ou os rendimentos se referem a 
taxas aparentes.
EXEMPLO 11.9 Na década de 1990, antes do Plano Real lançado pelo Governo Itamar, 
uma aplicação financeira de $ 1.000,00 se converteu, após um ano, em $ 3.000,00. Saben-
do-se que a taxa de inflação média mensal foi de 11% a.m., calcule a taxa real mensal de 
juros da referida aplicação.
Dados:
P = 1.000
S = 3.000
n = 12 m
ireal = ?% a.m.
icm = 11% a.m.
Capítulo 11 Correção monetária 131
Solução:
Resposta: −1,27% a.m.
Em épocas de alta inflação, é muito frequente encontrar situações como a do exemplo em que 
a taxa real foi negativa, ou seja, a pessoa que aplicou durante um ano recebe um montante 
com menor poder de compra que o principal investido. O exemplo é tirado de um caso real.
EXEMPLO 11.10 O dono de uma loja de vestuário que financia a seus clientes pelo cré-
dito direto ao consumidor solicita que você forneça um coeficiente para calcular anuida-
des com 3 prestações postecipadas. É exigência do lojista uma remuneração real de 0,5% 
ao mês. Conside a taxa de inflação média de 1% ao mês.
Dados:
P = 1 (as anuidades obtidas a partir do principal igual a R$ 1,00 são utilizadas como 
coeficientes, conforme o Capítulo “Anuidades”)
n = 3 p.m. post.
ireal = 0, 5% (0,005) a.m.
icm = 1% (0,01) a.m.
Solução:
Observe que a taxa para anuidades não considerava a inflação nela embutida. Assim, ela está 
sendo agora considerada na taxa aparente.
iaparente = (1 + icm)·(1 + ireal) − 1 = (1 + 0,01)·(1 + 0,005) − 1 = 0,01505000 . . .
Resposta: 0,3434.
132 Matemática Financeira
Usando a calculadora.
 
RPN FIN
1.01 ENTER
1.005 ×
1 −
iaparente ⇒ 0,01505000. . .
100 ×
iaparente ⇒ 1,505000. . . %
1.01505 ENTER clear fin END
3 n yx 1 PV
.01505 × 3 n
1.01505 ENTER 1.505 i
3 n yx PMT CHS
1 − ÷ Coeficiente⇒ 0,3434166. . .
Coeficiente⇒ 0,3434166. . .
EXEMPLO 11.11 Um empresário descontou duplicatas no valor de R$ 45.000,00, 60 dias 
antes do vencimento, a uma taxa de desconto bancário simples de 5% ao mês. Sabendo 
que a taxa média de inflação é de 2,3% ao mês, calcule a taxa implícita real mensal de 
juros (taxa efetiva real) da operação.
Dados:
S = 45.000
n = 60 d = 2 m
d = 5% (0,05) a.m.
icm = 2,3% (0,023) a.m.
Solução:
Observe que, nas operações de desconto, a taxa efetiva ou implícita de juros, no capítulo 
6, é uma taxa aparente, uma vez que engloba a inflação.
P = S·(1 − d·n) = 45.000 × (1 − 0,05 × 2) = 40.500
Resposta: 3,04% a.m.
Capítulo 11 Correção monetária 133
Usando a calculadora.
 
RPN FIN
45000 ENTER
1 ENTER
.05 ENTER
2 × − ×
P⇒ 40.500,0000. . .
45000 ENTER clear fin
40500 ÷ 40500 PV
2 1/x yx 45000 CHS FV
1 − 2 n i
iaparente ⇒ 0,0540925534. . . iaparente ⇒ 5,40925534. . . %
1.0540925534 ENTER
1.023 ÷
1 −
100 ×
ireal ⇒ 3,03935028 . . . %
11.4 Tabelas de preços
11.4.1 Tabela 1 – IGP-DI/FGV: dez-2011 a ago-2013
Ano Mês Índice Var. % a.m.
Var.%
no ano
Var.%
em 12 m
2011 dez 465,586 −0,16 5,00 5,00
2012 jan 466,979 0,30 0,30 4,29
fev 467,308 0,07 0,37 3,38
mar 469,910 0,56 0,93 3,32
abr 474,683 1,02 1,95 3,86
mai 479,019 0,91 2,89 4,80
jun 482,311 0,69 3,59 5,66
jul 489,621 1,52 5,16 7,31
ago 495,949 1,29 6,52 8,04
set 500,314 0,88 7,46 8,17
out 498,739 −0,31 7,12 7,41
nov 499,989 0,25 7,39 7,22
dez 503,283 0,66 8,10 8,10
Matemática 
Financeira
Adriana Claudia Schmidt 
Taxas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir os diferentes tipos de taxas.
  Calcular os diferentes tipos de taxas na calculadora financeira.
  Analisar as abordagens sobre taxas referentes ao comparativo à forma 
de capitalização, ao ambiente inflacionário e às operações de desconto.
Introdução
As taxas de juros sempre são abordadas nos regimes de capitalização simples 
e composto. No entanto, é preciso fazer um comparativo entre as taxas, por 
meio de problemas práticos e situações cotidianas, pois nem sempre as 
condições das unidades de tempo satisfazem os períodos de capitalização. 
Neste capítulo, você conhecerá os diferentes tipos de taxas, bem como 
as diferentes denominações utilizadas pelo mercado financeiro, sendo 
as taxas mais usuais: efetiva, nominal ou proporcional e equivalente ou 
real. Além disso, aprenderá a adequá-las às categorias padronizadas pela 
calculadora HP-12c. Por fim, analisará as abordagens sobre taxas quando 
à capitalização, ao ambiente inflacionário e às operações de desconto.
Diferentes enfoques das taxas de juros
Taxa efetiva
Pode-se dizer que uma taxa é efetiva quando a taxa informada é igual àquela 
de formação e incorporação dos juros ao capital produzido. Para Puccini e 
Puccini (2006), taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial do 
seu tempo coincide com a unidade
de tempo dos períodos de capitalização. 
São exemplos de taxa efetiva:
  3% ao mês, capitalizados mensalmente;
  4% ao bimestre, capitalizados bimestralmente;
  5% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;
  8% ao ano, capitalizados anualmente.
Como as unidades de medida de tempo das taxas de juros e dos períodos 
de capitalização são as mesmas, é comum simplesmente dizer: 3% ao mês, 
4% ao bimestre, 5% ao trimestre e 8% ao ano.
Taxa nominal ou proporcional
A taxa nominal de juros refere-se a quando a taxa informada não coincide 
com a capitalização dos juros. Segundo Puccini e Puccini (2006, p. 58), “[...] 
taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não 
coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização”.
A taxa nominal vem sempre com a unidade anual, e os períodos de ca-
pitalização aparecem em dias, meses, bimestres, trimestres, quadrimestres, 
semestres ou anos. São exemplos de taxas nominais:
  13% ao ano, capitalizados mensalmente;
  14% ao ano, capitalizados bimestralmente;
  15% ao ano, capitalizados trimestralmente;
  18% ao ano, capitalizados semestralmente.
Essa taxa é extremamente empregada em negócios financeiros, porém, 
como não representa a taxa efetiva, seu uso não é indicado em juros compostos.
A taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva subentendida, 
que é a taxa de juros a ser empregado em cada período de capitalização. Essa 
taxa é calculada de forma proporcional ao regime de juros simples. As taxas 
efetivas, que estão implícitas nas taxas anuais nominais, são alcançadas em 
função do número de momentos da capitalização da taxa anual, conforme o 
número de períodos de capitalização do ano, ou seja: quando capitalizado 
diariamente, divide-se a taxa por 360, considerando-se que o ano comercial 
tem 30 dias; quando capitalizado mensalmente, divide-se a taxa por 12, pois 
o ano tem 12 meses; quando capitalizado trimestralmente, divide-se a taxa 
por 4, pois o ano tem 4 trimestres, e assim sucessivamente. 
Conforme Assaf Neto (2012, p. 8):
Taxas2
[...] essa transformação é processada pela denominada taxa proporcional de 
juros também denominada de taxa linear ou nominal. Essa taxa proporcional 
é obtida da divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número 
de vezes em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização).
Observe os exemplos:
  18% ao ano, capitalizados mensalmente:
  20% ao ano, capitalizados trimestralmente:
  22% ao ano, capitalizados semestralmente:
  36% ao ano, capitalizados diariamente:
Pode-se verificar que as taxas nominais não serão utilizadas nos cálculos 
financeiros do regime composto, e sim as taxas efetivas correspondentes, ou seja, 
1,50% ao mês, 5% ao trimestre, 11% ao semestre, 0,10 % ao dia. Para Dalzot e 
Castro (2015, p. 34), “[...] a existência da proporcionalidade entre duas taxas é uma 
propriedade intrínseca a elas e independe do regime de capitalização dos juros”.
3Taxas
No regime de capitalização simples, taxa proporcional, linear ou nominal e taxas 
equivalentes são a mesma coisa, de modo que é indiferente a classificação das duas 
taxas de juros como proporcional ou equivalente.
Taxa equivalente ou real
Na equivalência de taxas, é preciso considerar os diferentes regimes de capi-
talização — simples e compostos —, visto que, nas mesmas condições, eles 
reproduzem juros diferentes. Para Assaf neto (2012, p. 8), “[...] as taxas de juros 
se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo 
intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros”.
Simbologia para o período das taxas:
  a.d.: ao dia;
  a.b.: ao bimestre;
  a.t.: ao trimestre;
  a.q.: ao quadrimestre;
  a.s.: ao semestre;
  a.a.: ao ano.
Calculando taxas com a HP-12c
A calculadora fi nanceira HP-12c tem maior aplicabilidade no regime de juros 
compostos. A seguir, será demonstrado o cálculo das taxas equivalentes, efetivas 
e nominais somente com o uso da calculadora HP-12c na capitalização composta.
Para o cálculo da taxa equivalente a juros compostos com a calculadora finan-
ceira, observe alguns exemplos. O Exemplo 1 traz a resolução da taxa equivalente.
Taxas4
Exemplo 1
A taxa de 14% a.a. equivale a que taxa mensal?
STO EEX (liga o estado c — capitalização)
100 CHS PV (valor presente)
114 FV (valor futuro — dado pela soma do PV com a taxa de juros)
12 n (período — um ano tem 12 meses)
i (taxa mensal)
1,0978%
Arredondando o valor e trabalhando com duas casas decimais, a taxa equivalente 
a 14% ao ano em juros compostos é igual a 1,10% ao mês.
O Exemplo 2 apresenta o cálculo da taxa mensal para anual, com regime 
de capitalização composta.
Exemplo 2
A taxa de 1,10% a.m. equivale a que taxa anual?
100 CHS PV (valor presente)
1,10 i (taxa mensal)
12 n (período — um ano tem 12 meses)
FV (valor futuro)
RCL PV +
14,0286% (taxa anual)
Arredondando o valor para inteiro, tem-se que 1,10% a.m. é equivalente a 14% ao ano.
5Taxas
Para melhor compreensão dos cálculos equivalentes com a calculadora 
financeira, acompanhe os Exemplos 3 e 4, a seguir.
Exemplo 3
Em juros compostos, qual a taxa bimestral equivalente a 20% ao ano?
Sempre verifique se o estado c está ligado.
100 CHS PV (valor presente)
120 FV (valor futuro — dado pela soma do PV com a taxa de juros)
6 n (período — um ano tem 6 bimestres)
i (taxa bimestral)
3,0853%
Arredondando o valor e trabalhando com duas casas decimais, a taxa equivalente a 
20% ao ano em juros compostos é igual a 3,09% ao bimestre.
Exemplo 4
A taxa de 4% ao trimestre equivale a que taxa semestral?
100 CHS PV (valor presente)
4 i (taxa trimestral)
2 n (período — um semestre tem 2 trimestres)
FV (valor futuro)
RCL PV +
8,16% (taxa semestral)
Taxas6
Por meio dos exemplos trabalhados, é possível verificar que, conforme o 
cálculo da taxa equivalente, o modo de resolução na calculadora financeira difere.
Lembre-se de que taxa efetiva é aquela em que o período de capitalização 
é igual ao período da taxa, ao passo que taxa nominal é aquela cujo período 
difere do período de capitalização. Observe a resolução do Exemplo 5.
Exemplo 5
Calcule a taxa nominal anual, considerando que a taxa efetiva é de 19,38%, capitalizada 
mensalmente.
100 CHS PV (valor presente)
119,38 FV (valor futuro — dado pela soma do PV com a taxa de juros)
12 n (período — um ano tem 12 meses)
i (taxa mensal)
1,4871% (taxa nominal mensal)
RCL n x
17,8455% (taxa nominal anual)
Arredondando o valor e trabalhando com duas casas decimais, a taxa nominal efetiva 
é de 19,38% a.a., e a taxa nominal anual é de 17,85% a.a.
Até agora, foram realizados os cálculos das taxas com o uso da calculadora 
financeira. A seguir, serão demonstrados os cálculos por meio do uso de fórmulas.
Interpretações das taxas no regime 
de juros simples e compostos
Taxas proporcionais no juro simples
Duas taxas são ditas proporcionais quando há uma proporção entre as grandezas 
em que se expressam e as durações dos períodos a que se referem (VERAS, 2005).
7Taxas
Consideremos as taxas de 2% a.m. e 8% a.q. Essas taxas são proporcionais, 
pois 2 é a quarta parte de 8, assim como o mês é a quarta parte do quadri-
mestre. Imagine que dois capitais foram aplicados por um ano às taxas de 2% 
a.m. e 8% a.q., respectivamente. O primeiro deles ficará aplicado durante 12 
períodos, iguais a um mês, e o segundo ficará aplicado durante 3 períodos, 
iguais a um quadrimestre. Nesse caso, a proporção entre as taxas e os números 
de períodos de tempo correspondentes será inversa:
Para Veras (2005), se dois capitais forem aplicados pelo mesmo prazo de 
tempo com taxas proporcionais i1 e i2, respectivamente, e se n1 e n2 são os 
números respectivos de períodos que perfazem esse prazo de tempo para cada 
uma dessas aplicações, tem-se:
Acompanhe o Exemplo 6, para o cálculo de taxas proporcionais.
Exemplo 6
Dada a taxa de 60% a.t., determine as taxas proporcionais mensal e anual.
Solução:
Tomando o ano como prazo total da aplicação
e substituindo na fórmula, tem-se:
Mensal: i1n1 = i2n2 Anual: i1n1 = i2n2
0,60.4 = im. 12 0,60.4 = ia. 1
im = 0,20 . 100 ia = 2,4 . 100
im = 20% a.m. ia = 240% a.a.
Outra forma de solução é:
Mensal: 60% ÷ 3 = 20% a.m. (dividimos por 3 porque o trimestre tem 3 meses).
Anual: 60% . 4 = 240% a.a. (multiplicamos por 4 porque o ano tem 4 trimestres).
Taxas8
Taxas equivalentes no juro simples
Quando capitais iguais produzem juros e montantes iguais, em tempos iguais, 
são chamados de taxas equivalentes. Segundo Veras (2005, p. 70), “[...] no regime 
de juros simples, as taxas proporcionais são equivalentes”. Então, pode-se dizer 
que 40% a.a. é equivalente a 20% a.s. (40% ÷ 2, pois o ano tem 2 semestres) 
e 10% a.m. é equivalente a 30% a.t. (10% . 3, pois um trimestre tem 3 meses). 
Para o cálculo da taxa, i, em juros simples, pode-se utilizar a seguinte 
fórmula:
onde:
J = juro;
PV = valor principal (capital);
n = tempo.
O Exemplo 7, a seguir, demonstra a equivalência entre as taxas.
Exemplo 7
Um capital de R$ 25.000,00 foi aplicado pelo prazo de 18 dias, tendo produzido um 
montante de R$ 26.200,00. A que taxa mensal esteve aplicado esse capital?
Ao retirar as informações do problema, tem-se:
PV = 25.000
FV = 26.200
J = FV – PV
J = 26.200 – 25.000
J = 1.200
n = 18 dias
9Taxas
Taxa nominal no juro simples
A taxa de juros é nominal quando o período de capitalização é diferente da 
unidade de tempo da taxa. Todavia, para Veras (2005, p. 71):
[...] a taxa nominal nem sempre é igual a efetiva, que é a taxa de rendimento 
que a operação financeira proporciona efetivamente. Isso acontece em razão 
de existirem obrigações, taxas, impostos ou comissões que comprometem os 
rendimentos ou oneram os pagamentos de juros. Critérios diferentes para o 
cálculo de juros também fazem a taxa nominal diferir da efetiva, como, por 
exemplo, juros cobrados antecipadamente ou calculados sobre um total que, 
na realidade, é pago em parcelas. Esses e outros artifícios são usados cons-
cientemente para mascarar a taxa efetiva e fazer os juros parecerem maiores 
ou menores, conforme a conveniência.
Observe o Exemplo 8 para entender como isso ocorre na prática.
O capital esteve aplicado a uma taxa de 8,00% a.m.
Taxas10
Taxas proporcionais e equivalentes no juro composto
Os conceitos de equivalência e proporcionalidade das taxas no regime de capi-
talização simples e composta são os mesmos. No entanto, enquanto nos juros 
simples o cálculo das taxas equivalentes e proporcionais é o mesmo, em juros 
compostos, eles se diferem, pois as taxas proporcionais não são equivalentes, 
visto que fazem os mesmos capitais, em tempos iguais, produzirem montantes 
diferentes. Observe o Exemplo 9.
Exemplo 8
Uma agência bancária faz empréstimos e cobra 6% a.m. de juros simples, que devem 
ser pagos antecipadamente pelo devedor. Qual é a taxa efetiva que o devedor paga 
pelo empréstimo de R$ 40.000,00 por 5 meses?
Primeiramente, calcula-se os juros retidos na data do empréstimo:
J = PV ∙ i ∙ n
J = 40.000 ∙ 0,06 ∙ 5
J = 12.000,00
Empréstimo efetivo:
40.000 – 12.000 = 28.000
Então, R$ 28.000,00 é o PV efetivo.
Pagamento final: 40.000 (FV efetivo).
Taxa efetiva:
Portanto, o devedor está pagando uma taxa efetiva de 8,57% a.m.
11Taxas
No Exemplo 9, verificou-se que as taxas são proporcionais e os capitais são 
iguais e aplicados em prazos iguais, gerando montantes diferentes, observando 
que, quanto maior o número de capitalizações, maior o montante. Logo, o cálculo 
Exemplo 9
Antônio, Tiago e Gean tinham cada um R$ 20.000,00 para aplicar a juros compostos. 
Antônio aplicou a 12% a.a., Tiago aplicou a 6% a.s. e Gean aplicou a 1 % a.m. Quais os 
montantes de cada um depois de decorrido um ano?
Calcule o montante de cada um conforme as afirmações, primeiro transformando 
as taxas percentuais e decimais e, depois, o tempo de 1 ano, conforme a capitalização.
Antônio:
PV = 20.000
i = 12% a.a ÷ 100 = 0,12
n = 1 ano
FV = PV (1 + i)n
FV = 20.000(1+0,12)1
FV = 22.400,00
Tiago:
PV = 20.000
i = 6% a.s. ÷ 100 = 0,0,6
n = 1 ano = 2 semestres
FV = PV (1 + i)n
FV = 20.000(1+0,06)2
FV = 22.472,00
Gean:
PV = 20.000
i = 1% a.m. ÷ 100 = 0,01
n = 1 ano = 12 meses
FV = PV (1 + i)n
FV = 20.000(1+0,01)12
FV = 22.536,50
Os montantes de Antônio, Tiago e Gean são, respectivamente, R$ 22.400,00, R$ 
22.472,00 e R$ 22.536,50.
Taxas12
das taxas equivalentes, no regime de juros compostos, não se resume a uma 
simples proporção, como no juro simples.
Para o cálculo da taxa, i, em juros compostos, pode-se utilizar a seguinte 
fórmula:
onde:
FV = valor final ou montante;
PV = valor principal ou capital;
n = número de períodos (tempo).
Para Veras (2005), deve haver a seguinte relação entre duas taxas para que 
sejam equivalentes no regime de juros compostos:
Generalizando essa fórmula, pode-se utilizar para o cálculo da taxa equi-
valente as seguintes fórmulas:
O seguinte esquema — não é regra para o uso dessas fórmulas — pode ser 
utilizado quando se tem o tempo de capitalização menor e se deseja encontrar 
a maior capitalização:
E, quando se tem o tempo de capitalização maior e se deseja encontrar a 
menor, utiliza-se:
Pode-se verificar essa relação por meio dos Exemplos 10 e 11.
13Taxas
Exemplo 10
Qual a taxa trimestral equivalente a 30% a.s.?
Como se tem a maior capitalização (semestral) e se deseja encontrar a menor (tri-
mestral), utiliza-se a seguinte fórmula:
Como o semestre tem dois trimestres, n = 2:
A taxa é de 14,02% a.t.
Exemplo 11
Qual a taxa anual equivalente a uma inflação de 4,50% a.t.?
Como se tem a menor capitalização (trimestral) e se deseja encontrar a maior (anual), 
utiliza-se a seguinte fórmula:
Como o ano tem quatro trimestres, n = 4:
A taxa é de 19,25% a.a.
Taxas14
Taxa nominal e taxa efetiva no juro composto
Os conceitos de taxa nominal e efetiva do juro simples são semelhantes aos 
dos juros compostos, visto que, no juro composto, as taxas nominal e efetiva 
também são diferentes. Em juros compostos, é comum a taxa vir com perí-
odos de capitalização e de tempo diferentes, por exemplo: uma taxa de 33% 
ao ano, com capitalização bimestral; ou uma taxa de 20% ao semestre com 
capitalização mensal, e assim sucessivamente. Para Veras (2005), essa forma 
de expressar a taxa, largamente utilizada no mercado fi nanceiro, também é 
responsável por divergências entre as taxas nominal e efetiva. Convencionou-se, 
então, que, quando o período mencionado na taxa não corresponde ao período 
de capitalização, prevalece este último, devendo-se tomar a taxa proporcional 
correspondente como taxa efetiva e considerar a taxa dada como nominal.
O Exemplo 12 traz uma situação comum das taxas de juros.
Exemplo 12
A caderneta de poupança, além da atualização monetária, paga juros de aproximada-
mente 5% a.a., capitalizados mensalmente. Determine a taxa nominal de juros pagos 
pela caderneta de poupança, a taxa efetiva mensal e a taxa efetiva anual.
Solução:
A taxa nominal corresponde a 5% a.a.
A taxa efetiva mensal é 5% ÷ 12 = 0,42% a.m.
A taxa efetiva anual é calculada pela seguinte fórmula:
Taxa de inflação
Em momentos de instabilidade fi nanceira, o ambiente infl acionário é de suma 
importância para o entendimento correto das taxas de atualização monetária. 
Conforme Assaf Neto (2012), diante de cenários econômicos de reduzida taxa 
15Taxas
de infl ação, o conhecimento do juro real permanece muito importante para 
a matemática fi nanceira. Nessas condições, mesmo pequenas oscilações nos 
índices de preços produzem impacto relevante sobre as taxas de juros ao longo 
do tempo, alterando a competitividade dos ativos negociados no mercado.
Para Veras (2012), a taxa de atualização monetária para n períodos, taxa 
total de atualização monetária ou, ainda, taxa acumulada de atualização 
monetária, iac, pode ser calculada da seguinte forma:
Acompanhe o cálculo da taxa acumulada no Exemplo 13.
Exemplo 13
A taxa mensal de inflação de um trimestre atinge, respectivamente, 2,5%, 3,1% e 5,2%.
Determine a taxa de inflação acumulada do período:
Para Assaf Neto (2012), de maneira simplista, o processo inflacionário 
de uma economia pode ser entendido pela elevação generalizada dos preços 
dos vários bens e serviços. Em sentido contrário, diante de uma baixa pre-
dominante dos preços de mercado dos bens e serviços, tem-se o fenômeno 
definido como deflação.
Acompanhe no Exemplo 14 a variação dos preços.
Taxas16
Exemplo 14
Determinado semestre apresenta as seguintes taxas mensais de variações nos preços 
gerais da economia: 6,9%, 3,8%, – 1,1% (deflação), 3,2%, 2% e – 0,9% (deflação). Determine 
a taxa de inflação acumulada do semestre:
Taxa de desvalorização da moeda
Em decorrência da infl ação, em que ocorre um aumento nos níveis de preços, 
a taxa de desvalorização da moeda (TDM) mede a queda no poder de compra 
da moeda, causada pelos acréscimos de preços. Para Assaf Neto (2012), se, 
em determinado período, os preços em geral dobram (infl ação de 100%), 
conclui-se que a capacidade de compra das pessoas foi reduzida em 50%, 
ou seja, somente podem adquirir a metade do que costumavam consumir no 
passado. Diz-se, em outras palavras, que a capacidade aquisitiva da moeda 
diminui em 50%. 
A taxa de desvalorização da moeda pode ser calculada pela seguinte 
fórmula:
onde ii é a taxa de infl ação do período.
O Exemplo 15 traz uma demonstração de como se calcula a desvalorização 
da moeda.
17Taxas
Exemplo 15
Em um determinado período, a taxa de inflação alcançou 12%. A queda na capacidade 
de compra nesse período registra a marca de quantos por cento?
A inflação de 12% determina a redução do poder de compra, ou seja, as 
pessoas adquirem 10,71% a menos de bens e serviços do que costumam consumir.
Taxa nominal e taxa real
Para Puccini e Puccini (2006), essas duas denominações estão diretamente 
ligadas ao fenômeno da infl ação. Costuma-se denominar taxa real a taxa de 
juros obtida após se eliminar o efeito da infl ação, e taxa nominal a taxa de juros 
que inclui a infl ação. Assim, a taxa nominal, também chamada de aparente, 
é sempre maior que a taxa real.
De maneira geral, a fórmula de apuração da taxa real é:
onde:
ir = taxa real;
in = taxa nominal;
ii = taxa de inflação.
Acompanhe o Exemplo 16 para compreender o cálculo da taxa real.
Taxas18
Exemplo 16
Determine a taxa semestral de rendimento real de uma aplicação cuja taxa nominal 
foi de 16% ao semestre, em um semestre em que a inflação foi de 4,85%.
Taxa de desconto 
Segundo Dalzot e Castro (2015), quando se parte de uma quantia futura conhe-
cida, geralmente um direito creditício ou dívida, e se deseja descobrir quanto 
essa quantia vale hoje (qual o seu valor presente ou valor atual), utiliza-se as 
denominadas taxas de desconto.
Pode-se entender que desconto é a diferença entre valor futuro (nominal) e 
valor atual (valor presente). As taxas de desconto podem ser simples ou com-
postas, classificadas em racional (por dento) e comercial ou bancário (por fora).
A taxa de desconto racional simples é dada pela seguinte fórmula:
onde:
i = taxa de desconto por dentro;
N = valor futuro ou nominal;
n = tempo.
Taxa de desconto comercial simples ou por fora: nesse tipo de desconto, a 
taxa incide sobre o valor nominal:
19Taxas
Outra fórmula que pode ser utilizada nesse tipo de desconto é a seguinte:
A taxa de desconto racional composto é dada pela seguinte fórmula:
O Exemplo 17 apresenta o cálculo para os descontos racionais simples e 
composto.
Exemplo 17
Calcule o valor dos descontos racionais simples e composto de um título de R$ 
40.000,00, um ano antes do vencimento, à taxa de 10% ao semestre.
Solução:
N = 40.000
n = 1 ano = 2 semestres
i = 10% a.s. ÷ 100 = 0,10
Desconto racional simples:
Taxas20
A taxa de desconto comercial composto também incide sobre o valor 
nominal, e um desconto para um período anterior ao do nominal deve ser 
entendido como o produto do valor nominal pela taxa de desconto, conforme 
segue: D = N . i. Assim, pode-se concluir que: 
E que:
Para Azevedo (2015), o desconto nada mais é do que a diferença entre 
o valor nominal (montante) e o valor atual (principal). O desconto racional 
composto e os juros compostos possuem o mesmo modus operandi.
Em suma, no mercado financeiro, em muitos problemas práticos e situações 
cotidianas, utiliza-se das taxas de desconto, bem como do cálculo das taxas de juros.
Desconto racional composto:
21Taxas
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
AZEVEDO, G. H. W. Matemática financeira: princípio e aplicações. São Paulo: Saraiva, 2015.
DALZOT, W.; CASTRO, M. L. Matemática financeira: fundamentos e aplicações. Porto 
Alegre: Bookman, 2015.
PUCCINI, A. L.; PUCCINI, A. Matemática financeira: objetiva e aplicada. São Paulo: Sa-
raiva, 2006.
VERAS, L. L. Matemática financeira: uso de calculadoras financeiras, aplicações ao 
mercado financeiro, introdução a engenharia econômica, 300 exercícios resolvidos e 
propostos com respostas. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2005.
Taxas22
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
D136m Dal Zot, Wili.
 Matemática financeira : fundamentos e aplicações 
 [recurso eletrônico] / Wili Dal Zot, Manuela Longoni de 
 Castro. – Porto Alegre : Bookman, 2015.
 Editado como livro impresso em 2015.
 ISBN 978-85-8260-333-8
 1. Matemática financeira. I. Castro, Manuela Longoni 
 de. II. Título. 
CDU 51
Os autores
Wili Dal Zot
É professor de Matemática Financeira do Departamento de Matemática Pura e Aplicada da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) desde 1984. É bacharel em Ciências Econômicas pela UFRGS, espe-
cialista em Finanças pela Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas (FGV) e mes-
tre em Administração pela Escola Brasileira de Administração Pública e de Empresas (EBAPE) pela mesma 
instituição. Atualmente, é professor convidado da FGV das disciplinas de Matemática Financeira e Finanças 
Corporativas em cursos de Pós-Graduação. Tem experiência em cargos de Gerência Financeira e de Controla-
doria em empresas de setores da Indústria de Comércio e Serviços.
Manuela Longoni de Castro
É bacharel em Matemática pela UFRGS, mestre em Matemática Aplicada pela mesma universidade e Ph.D. 
em Matemática pela University of New Mexico (Estados Unidos). É professora adjunta da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul desde 2006, ministrando a disciplina de Matemática Financeira desde 2007. 
Tem experiência na área de Matemática Aplicada, atuando nas áreas de Equações Diferenciais Parciais, Aná-
lise Numérica e Ecologia Matemática.
CAPÍTULO 8
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
8.1 Conceito de equivalência de capitais
CONCEITO 8.1 Dois ou mais fluxos de caixa (capitais) são ditos equivalentes a uma 
determinada taxa de juros se seus valores presentes (valores atuais), em uma determi-
nada data focal, forem iguais.
Se os fluxos de caixa, a uma determinada taxa de juros, tiverem o mesmo valor presente 
(valor atual), então seus valores futuros, em qualquer n, a essa mesma taxa, serão iguais. 
Fluxos equivalentes a uma determinada taxa de juros necessariamente deixam de ser equiva-
lentes em outras taxas.
O conceito de equivalência de capitais constitui um elemento-chave nas aplicações da 
Matemática Financeira. Esse conceito pode ser considerado aplicável apenas do ponto de 
vista dos juros compostos, conforme Puccini (2009) ou apresentar-se também quanto à possi-
bilidade de se calcular por meio de juros simples (VIEIRA SOBRINHO, 2000; ASSAF NETO, 
2009). Neste livro, abordaremos a equivalência de capitais pela ótica dos juros compostos.
Quando se usa a equivalência de capitais? O conceito de equivalência de capitais é uti-
lizado pelas instituições financeiras, empresas e pessoas, especialmente na administração 
dos fluxos de caixa, isto é, na compatibilização das entradas e saídas do dinheiro ao longo do 
tempo.
O ideal para qualquer agente econômico é que os pagamentos e recebimentos coinci-
dam em valor
e vencimentos de modo a não faltar nem ter excessos de caixa. Quando ocor-
re uma falta de sintonia nos prazos e valores entre pagamentos e recebimentos os agentes 
tendem a realizar ações no sentido de minimizar esse desajuste. As situações mais frequen-
tes são:
 • Renegociação de prazos ou condições de pagamento de uma dívida: um devedor pode 
solicitar o adiamento do vencimento de uma dívida, se tiver dificuldade em pagar na-
quela data ou, ao contrário, pagar antecipadamente reduzindo juros caso tiver excesso 
de caixa no referido vencimento.
78 Matemática Financeira
 • Negociação ou troca de fluxos de caixa: para um banco, tanto os excessos de caixa como 
as faltas são dificuldades a serem evitadas; no primeiro caso, a existência de caixa signi-
fica dinheiro a ser remunerado a aplicadores sem receita correspondente, e no segundo 
caso, o banco deve recorrer a empréstimos para honrar os compromissos.
8.2 Valor atual ou valor presente de um fluxo de caixa
Considere um fluxo de caixa com termos R0, R1, R2, . . . , Rn−1, Rn vencendo nas datas focais, 
respectivamente, n0, n1, n2, . . . , nn−1, nn.
Uma representação gráfica podria ser dada por:
R0
R1
R2
Rn−1
Rn
. . .
O valor atual na data focal zero, VA0, é dado pela soma do valor atual de cada um de 
seus termos, como visto nas Equações (7.1) e (7.2):
ou
12
EXEMPLO 8.1 A partir do fluxo de caixa a seguir, deseja-se calcular1 o valor atual na 
data focal 0 (VA0), a uma taxa de juros2 de 10% ao ano:
Ano Valor corrente
0 −1.000,00
1 400,00
2 800,00
3 900,00
Cálculo do valor atual na data focal 0 (VA0) pela substituição dos dados de cada um dos 
termos na fórmula:
1 Como veremos, existe mais de uma maneira de calcular o valor atual de um fluxo de caixa, a determinadas taxa e 
data focal.
2 Quando não houver referência ao regime de juros nesse tipo de problema, deve-se considerar o uso de juros com-
postos.
Capítulo 8 Equivalência de capitais 79
Usando a calculadora.
 
Valores Valores
Ano correntes Fórmulas atuais
0 −1.000,00 −1.000,00 ⇒−1.000,00
1 400,00
400,00
(1 + 0,10 )
400, 00 ENTER 1.1 ÷ ⇒ 363,63636
2 800,00
800,00
(1 + 0,10 )2
800,00 ENTER 1.1 ENTER 2 yx ÷ ⇒ 661,15702
3 900,00
900,00
(1 + 0,10 )3
900,00 ENTER 1.1 ENTER 3 yx ÷ ⇒ 676,18332
VA0 = ∑⇒ 700,9767. . .
Cálculo do valor atual na data focal 0 (VA0) pelo uso do recurso financeiro da calculado-
ra em cada um dos termos na fórmula:
Antes do uso dos recursos abaixo, acionar as seguintes teclas: e .
Valores Valores
Ano correntes Fórmulas atuais
0 −1.000,00 −1.000,00 ⇒−1.000,0000 . . .
1 400,00
400,00
(1 + 0,10 )
400 CHS FV 1 n PV ⇒ 363,63636 . . .
2 800,00
800,00
(1 + 0,10 )2
800 CHS FV 2 n PV ⇒ 661,1570 . . .
3 900,00
900,00
(1 + 0,10 )3
900 CHS FV 3 n PV ⇒ 676,18332 . . .
VA0 = ∑⇒ 700,9767. . .
Cálculo do valor atual na data focal 0 (VA0) usando o recurso pré-programado para fluxos de 
caixa (cash-flow).
HP 12c
clear reg ( f CLX )
1000 CHS C f0 ( g PV )
400 C fj ( g PMT )
800 C fj
900 C fj
10 i
NPV ( f PV )⇒ 700,9767092. . .
80 Matemática Financeira
EXEMPLO 8.2 A partir do fluxo de caixa a seguir, deseja-se calcular o valor atual na 
data focal 2 (VA2), a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano:
Ano Valor corrente
0 −1.000,00
1 400,00
2 800,00
3 900,00
REGRA DE OURO 8.1 Sempre que possível, deve-se reduzir os valores de um fluxo de 
caixa para o valor atual em uma data focal.
A partir do valor atual nessa data focal se chega ao valor atual em outras datas focais.
No exemplo anterior, já aplicamos a regra mencionada com o cálculo de VA0 = 700, 
9767092 . . ., logo
VA2 = VA0(1 + i)2 = 700,9767092 . . . × (1 + 0,10)2 ⇒ 848,18181818 . . .
Usando a calculadora. 700,9767092 . . . × (1 + 0,10)2
RPN ALG FIN
700,9767092. . . ENTER 700,9767092. . . × clearfin ( f X≷Y )
1.1 ENTER ( 1.1 700,9767092. . . PV
2 yx yx 10 i
× 2 = 2 n
⇒ 848,18181818. . . ⇒ 848,18181818. . . FV⇒−848,18181818. . .
8.3 Verificação de equivalência
Objetivo do exemplo: demonstrar quando dois fluxos de caixa são equivalentes entre si.
EXEMPLO 8.3 Verificar se os fluxos de caixa a seguir são equivalentes, a uma taxa de 
juros compostos de 10% ao ano:
Ano Fluxo A Fluxo B
0 200,00
1 110,00
2 121,00 363,00
3 532,40 133,10
Capítulo 8 Equivalência de capitais 81
Cálculo do valor atual na data focal 0 (VA0
A) pela substituição dos dados de cada um dos 
termos na fórmula:
Usando a calculadora.
Valores Valores
Ano correntes Fórmulas atuais
0 0 0 ⇒ 0,00 . . .
1 110,00
110,00
(1 + 0,10)
110,00 ENTER 1.1 ÷ ⇒ 100,00 . . .
2 121,00
121,00
(1 + 0,10)2
121,00 ENTER 1.1 ENTER 2 yx ÷ ⇒ 100,00 . . .
3 532,40
532,40
(1 + 0,10)3
532,40 ENTER 1.1 ENTER 3 yx ÷ ⇒ 400,00 . . .
VAA0 = ∑⇒ 600,00 . . .
Cálculo do valor atual na data focal 0 (VA0
B) pela substituição dos dados de cada um dos 
termos na fórmula:
Valores Valores
Ano correntes Fórmulas atuais
0 200,00 200,00 ⇒ 200,00 . . .
1 0 0 0,00 . . .
2 363,00
363,00
(1 + 0,10)2
363,00 ENTER 1.1 ENTER 2 yx ÷ ⇒ 300,00 . . .
3 133,10
133,10
(1 + 0,10)3
133,10 ENTER 1.1 ENTER 3 yx ÷ ⇒ 100,00 . . .
VAB0 = ∑⇒ 600,00 . . .
Fluxo A Fluxo B
clear reg clear reg
0 C f0 200 C f0
110 C fj 0 C fj
121 C fj 363 C fj
532.4 C fj 133.1 C fj
10 i 10 i
NPV ⇒ 600,00000 NPV ⇒ 600,00000
Por apresentarem os mesmos valores atuais em 0 (VA0
A = VA0
B = 600,00000), dizemos que 
os fluxos A e B, à taxa de juros de 10% ao ano, são equivalentes entre si.3
3 Nem sempre os valores são exatamente iguais. Algumas vezes apresentam uma pequena diferença que, pela sua 
insignificância, considera-se nula. Para efeitos didáticos, consideraremos diferenças inferiores a R$ 1,00 como nulas 
ou iguais a zero.
82 Matemática Financeira
Objetivo do exemplo: demonstrar que dois fluxos de caixa, equivalentes a uma determi-
nada taxa, não o são a outra taxa.
EXEMPLO 8.4 Verificar se os fluxos de caixa a seguir são equivalentes, a uma taxa de 
juros compostos de 20% ao ano:
Ano Fluxo A Fluxo B
0 200,00
1 110,00
2 121,00 363,00
3 532,40 133,10
Cálculo do valor atual na data focal 0 (VA0
A) pela substituição dos dados de cada um dos 
termos na fórmula:
Usando a calculadora.
Valores Valores
Ano correntes Fórmulas atuais
0 0,00 ⇒ 0,000000000 . . .
1 110,00
110,00
(1 + 0,20)
110,00 ENTER 1.2 ÷ ⇒ 91,666666666 . . .
2 121,00
121,00
(1 + 0,20)2
121, 00 ENTER 1.2 ENTER
2 yx ÷ ⇒ 84,027777777 . . .
3 532,40
532,40
(1 + 0,20)3
532,40 ENTER 1.2 ENTER
3 yx ÷ ⇒ 308,101851852 . . .
VAA0 = ∑⇒ 483,796296297 . . .
Cálculo do valor atual na data focal 0 (VA0
B) pela substituição dos dados de cada um dos 
termos na fórmula:
Capítulo 8 Equivalência de capitais 83
Usando a calculadora.
Valores Valores
Ano correntes Fórmulas atuais
0 200,00 200,00 ⇒ 200,000000000 . . .
1 0 0 ⇒ 0,000000000 . . .
2 363,00
363,00
(1 + 0,20)2
363,00 ENTER 1.2 ENTER
2 yx ÷ ⇒ 252,083333333 . . .
3 133,10
133,10
(1 + 0,20)3
133,10 ENTER 1.2 ENTER
3 yx ÷ ⇒ 77,025462963 . . .
VAB0 = ∑⇒ 529,108796296 . . .
Usando a calculadora.
Fluxo A Fluxo B
clear reg clear reg
0 C f0 200 C f0
110 C fj 0 C fj
121 C fj 363 C fj
532.4 C fj 133.1 C fj
20 i 20 i
NPV ⇒ 483,796296296 NPV ⇒ 529,108796296
Por apresentarem valores atuais diferentes em 0 ( ), 
dizemos que os fluxos A e B, à taxa de juros de 20% ao ano, não são equivalentes entre si.
8.4 Tornando dois fluxos equivalentes entre si
Frequentemente os agentes econômicos se encontram em situações de desajuste de fluxos 
de caixa, ora concentrando pagamentos no curto prazo e recebimentos no longo prazo, ora o 
contrário. O ideal é que os prazos médios de recebimentos coincidam com os dos pagamen-
tos, mas isso é muito raro acontecer.
Uma das formas usuais de atenuar os desajustes de caixa é a negociação de fluxos de 
caixa, que ajuda a modificar a data de concentração (prazo médio) dos recebimentos ou pa-
gamentos (conforme o caso).
Como isso é feito?
Os fluxos de caixa, quando negociados, devem ser equivalentes entre si.
A primeira etapa da negociação é a definição do preço do dinheiro, ou seja, a taxa
de ju-
ros. Uma vez definida a taxa de juros, calcula-se o valor atual de cada um dos fluxos de caixa.
Quando dois fluxos de caixa não são equivalentes a uma determinada taxa de juros, 
obtém-se a equivalência somando a diferença dos valores atuais dos fluxos ao valor corrente 
na data focal zero do fluxo de menor valor atual.
84 Matemática Financeira
A diferença DIF também pode ser somada em outras datas desde que considerada a 
capitalização dos juros, ou seja, caso a data focal escolhida seja 2, o valor a ser somado será 
DIF2 = DIF(1 + i)2.
Objetivo do exercício: ajustar diferenças entre fluxos de caixa de modo a torná-los equi-
valentes entre si.
Exercício 1: Verificar se os fluxos de caixa dos Bancos ITAI e HSBX a seguir são equivalentes, 
a uma taxa de juros compostos de 20% ao ano. Se não houver equivalência, indicar qual é o 
fluxo que o banco com valor atual inferior deve apresentar, alterando a parcela na data focal 
zero.
Ano Banco ITAI Banco HSBX
0 200,00
1 110,00
2 121,00 363,00
3 532,40 133,10
Como já conhecemos os resultados dos fluxos de caixa do Banco ITAI e do Banco HSBX 
(são idênticos e calculados à mesma taxa que os Fluxos A e B do exemplo anterior) temos 
que logo, a diferença entre os fluxos, a 
ser acrescentada na data focal zero do Banco ITAI, é dada por: 
 A troca entre os bancos deverá ser feita por
Ano Banco ITAI novo fluxo Banco HSBX
0 0 + 45,31 = 45,31 200,00
1 110,00
2 121,00 363,00
3 532,40 133,10
Caso desejarmos tornar os fluxos equivalentes alterando, porém, o valor da data focal 
do ano 2, do Banco ITAI, devemos acrescentar àquele valor DIF2 = DIF0(1 + i)2 = 45, 3125 . . . 
(1 + 0,20)2 = 65,25 . . .
A troca entre os bancos deverá ser feita por
Ano Banco ITAI novo fluxo Banco HSBX
0 200,00
1 110,00
2 121,00 + 65,25 = 186,25 363,00
3 532,40 133,10
Tanto o exemplo anterior como este mostram situações de equivalência de capitais cujo 
valor atual, nos fluxos dos Bancos ITAI e HSBX, são iguais a 529,11.
Capítulo 8 Equivalência de capitais 85
Desafio: faça você mesmo a prova de verificação
Exercício 2: Considerando os fluxos de caixa dos Bancos NORTE e SUL, encontrar o valor de 
X para que os referidos fluxos sejam equivalentes a uma taxa de juros compostos de 25% ao 
ano. (Resposta: R$ 12.200,00.)
Ano Banco NORTE Banco SUL
0
1 12.000,00 16.000,00
2 14.000,00 X
3 16.000,00 12.000,00
8.5 Cálculo do fluxo equivalente
Objetivo dos exemplos: dado um fluxo conhecido, encontrar um outro equivalente com de-
terminadas características. Pode-se dividir as soluções de acordo com diferentes combina-
ções de fluxos:
 • Fluxos 1 × 1: tanto o fluxo que se tem como o que se deseja obter são fluxos de apenas 
um vencimento.
 • Fluxos n × 1: o fluxo conhecido tem mais de um vencimento, mas o que se deseja obter 
tem apenas um vencimento.
 • Fluxos n × n: ambos os fluxos têm mais de um vencimento.
8.5.1 Fluxos 1 � 1
EXEMPLO 8.5 Um empresário deseja substituir uma dívida de R$ 3.500,00, que vence 
daqui a 6 meses, por outra com vencimento em 18 meses. Sabendo-se que o banco credor 
da dívida trabalha com uma taxa de juros de 3% ao mês, qual será o valor da dívida no 
novo vencimento proposto?
Dados:
S1 = 3.500,00
im = 3% (0, 03) a.m.
S2 =?
Solução:
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Rodolfo Vieira Nunes
Séries uniformes de 
pagamentos: aplicações
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar os tipos de séries uniformes.
 � Desenvolver séries antecipadas.
 � Analisar séries postecipadas.
Introdução
De acordo com Assaf Neto (2016), uma série uniforme de pagamentos 
é vista como uma sucessão de recebimentos, desembolsos ou presta-
ções de mesmo montante, representadas pelo valor da parcela (PMT) e 
divididas regularmente num período de tempo. Em essência, uma série 
de capitais pode ser caracterizada como uma sequência de pagamentos 
ou recebimentos periódicos e consecutivos que apresentem alguma lei 
de formação.
Uma série de pagamentos se caracteriza pela definição dos critérios 
de quanto e quando deve ser paga cada parcela, como valor futuro, 
taxa de juros e número de períodos. Há basicamente cinco principais 
séries de pagamentos: antecipadas, postecipadas, infinitas, diferidas e 
variáveis. Essas modalidades diferem entre si pelo modo como o devedor 
pagará a dívida: à vista ou a prazo. Em essência, o pagamento poderá 
contar ou não com prazo de carência, além do valor do pagamento ou 
recebimento da série.
Neste capítulo, você vai entender alguns conceitos sobre as séries de 
pagamentos e estudar quais são os principais tipos de séries de paga-
mentos, bem como as diferenças existentes entre elas. Além disso, vai 
aprender ainda sobre as séries antecipadas e postecipadas.
Identificação interna do documento FHG9QH68TU-AV8YWJ1
Tipos de séries uniformes
Antes de se aprofundar nos estudos sobre as séries uniformes, veja alguns 
aspectos importantes para a classificação das séries de pagamento, de acordo 
com Hoji (2016):
 � Quanto ao tempo:
 ■ temporária – quando há um número limitado de pagamentos;
 ■ infinita – quando há um número infinito de pagamentos.
 � Quanto à periodicidade:
 ■ periódica – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo 
iguais;
 ■ não periódica – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de 
tempo variáveis.
 � Quanto ao valor de pagamento:
 ■ uniforme – quando todos os pagamentos são iguais;
 ■ variável – quando os valores dos pagamentos variam.
 � Quanto ao vencimento do primeiro pagamento:
 ■ imediata – quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no 
primeiro período da série;
 ■ diferida – quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro 
período da série, ou seja, ocorrerá em períodos subsequentes.
 � Quanto ao momento do pagamento:
 ■ antecipada – quando o primeiro pagamento ocorre no momento “0” 
da série de pagamentos (ato do negócio);
 ■ postecipada – quando o primeiro pagamento ocorre após o momento 
de fechamento do negócio.
A compreensão sobre esses conceitos servirá como um pilar de apoio para 
esclarecer ou facilitar o seu entendimento sobre o assunto deste capítulo. Assim, 
entender os conceitos básicos é crucial para conhecer a temática estudada, de 
modo a ser capaz de explicar esses elementos.
 � Present value – PV (valor presente): é o capital inicial sobre o qual os 
juros, prazos e amortizações serão aplicados. Em outras palavras, é o valor 
de um fluxo de renda esperado, determinado a partir da data de avaliação.
Séries uniformes de pagamentos: aplicações2
Identificação interna do documento FHG9QH68TU-AV8YWJ1
 � Future value – FV (valor futuro): é o montante final resultante da soma 
dos juros acumulados com o capital inicial, descontados os pagamentos (se 
houver). Mede a soma nominal futura do dinheiro que determinada quantia 
de dinheiro é "válida" em um período especificado no futuro. Também pode 
ser visto como o valor presente multiplicado pela função de acumulação.
 � Número de períodos – (n): indica o prazo que deve ser considerado 
nas transações. Pode ser dado em dias, meses, trimestres, anos, desde 
que esteja de acordo com a taxa de juros.
 � Taxa de juros do período – (i): indica a taxa de juros usada no trabalho 
com o capital, ou seja, na remuneração do dinheiro. Deve estar de acordo, 
na mesma ordem de valor, com o indicador de tempo.
 � Payment - PMT (valor da parcela): é o valor de uma parcela que pode 
ser adicionada ou subtraída do montante a cada período. Desse modo, 
são pagamentos de mesmo valor, ou seja, registrados pelo fluxo de 
caixa (pessoal ou empresarial) de forma recorrente.
O foco deste capítulo é explicar e demonstrar as diferenças entre as séries de pagamento 
uniformes: antecipadas e postecipadas com carência. Não vamos abordar o modelo 
de séries de pagamento infinitas e diferidas. No caso da série variável,
ela faz parte do 
estudo das séries não uniformes de pagamento.
Desenvolvimento de séries antecipadas
Séries antecipadas de pagamentos são aquelas que exigem um depósito inicial 
ou uma entrada, sendo mais utilizadas em investimentos (SILVA, 2012). 
Trata-se daquelas séries em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 
zero. Esse tipo de sistema de pagamento também é chamado de sistema de 
pagamento com entrada (1 + n).
No entanto, atente para o fato de que nem todas as operações que possuem 
entrada são séries antecipadas. Para que isso ocorra, é necessário que o valor 
da entrada seja o mesmo que o valor das demais prestações. Veja o compor-
tamento descrito na Figura 1.
3Séries uniformes de pagamentos: aplicações
Identificação interna do documento FHG9QH68TU-AV8YWJ1
Figura 1. Séries de parcelas iguais e consecutivas 
com entrada, ou seja, a primeira parcela é paga ou 
aplicada na data zero.
Veja as principais fórmulas utilizadas para encontrar o PV, o FV e o PMT 
das séries antecipadas.
Veja esse sistema aplicado a um exemplo. Você está em uma loja comprando 
a sua tão sonhada TV de plasma, quando recebe a seguinte oferta: R$ 12.000 
à vista ou 10 suaves parcelas mensais de R$ 1.300, com entrada, com juros 
de 1%. Nessa situação, precisamos fazer o seguinte cálculo:
Séries uniformes de pagamentos: aplicações4
Identificação interna do documento FHG9QH68TU-AV8YWJ1
Por meio dessa metodologia, a série uniforme de pagamento antecipada 
é definida como sendo a sucessão de pagamentos iguais (PMT) efetuada em 
intervalos regulares e constantes, cujo primeiro pagamento ocorra na data da 
operação financeira que lhe deu origem (ASSAF NETO, 2016).
Ao analisarmos o resultado do exemplo acima e compararmos com o valor 
original (à vista), temos um montante maior: R$ 12.435,83. Assim, note que, 
em uma série de pagamento antecipada, haverá um aumento no valor final 
do produto ou serviço (HOJI, 2016).
Em síntese, o método de pagamento antecipado se refere a operações em 
que os pagamentos ou recebimentos começam no início do primeiro período, 
ou seja, no ato do fechamento do negócio. No mercado, é comum ver essa 
situação em ofertas de pagamentos com entrada mais “n” parcelas, ou 30% 
de entrada e o saldo restante em 30, 60 e 90 dias. 
5Séries uniformes de pagamentos: aplicações
Identificação interna do documento FHG9QH68TU-AV8YWJ1
Uma série de pagamentos é dita diferida quando a primeira prestação ocorrer após o 
primeiro período. O processo de calcular o valor presente, o valor futuro e a prestação 
de uma operação financeira em que o primeiro pagamento é diferido é comum no 
comércio varejista.
Qualquer tipo de série pode ser considerada diferida, seja ela uma série uniforme, 
uma série gradiente ou mesmo uma sequência qualquer de pagamentos, já que, em 
termos financeiros, diferir significa adiar a data do primeiro pagamento.
Análise de séries postecipadas
Por definição, uma série de pagamento postecipada é aquela que não exige 
um depósito inicial, isto é, não existe uma entrada. Esse costuma ser o 
caso de empréstimos e financiamentos (CARVALHO; ELIA; DECOTELLI, 
2009), sendo caracterizados por séries cujo primeiro pagamento ocorre no 
momento 1. Esse sistema também é denominado sistema de pagamento ou 
recebimento sem entrada (0 + n). A Figura 2 descreve o comportamento 
dessa série de pagamento. 
Figura 2. Série de pagamento postecipada.
Assim, a Figura 2 demonstra que, quando ocorre uma sucessão de pagamen-
tos iguais (PMT), efetuados em intervalos regulares e constantes, o primeiro 
pagamento é realizado concomitantemente ao primeiro período posterior à 
data da operação financeira que lhes deu origem (GIMENES, 2006).
Séries uniformes de pagamentos: aplicações6
Identificação interna do documento FHG9QH68TU-AV8YWJ1
Veja a seguir as principais fórmulas utilizadas para encontrar o PV, o FV 
e o PMT das séries postecipadas.
Portanto, retomando o exemplo anterior da compra da TV de plasma, você recebe 
a mesma oferta: R$ 12.000 à vista ou 10 suaves parcelas mensais de R$ 1.300, sem 
entrada. Veja a seguir a fórmula e o cálculo da série de pagamento postecipada.
Note que o valor presente também ficou distante do valor da TV à vista. 
Porém, se comparado ao fluxo antecipado, o valor presente pelo método do 
f luxo postecipado é mais barato (HOJI, 2016). Em resumo, as operações 
postecipadas caracterizam-se como sendo aquelas em que o vencimento 
da primeira prestação é no final do período. Um termo de mercado, por 
exemplo, para essa operação são as ofertas com o primeiro pagamento 
só em 30 dias. 
7Séries uniformes de pagamentos: aplicações
Identificação interna do documento FHG9QH68TU-AV8YWJ1
O vídeo do Mundo Financeiro, disponível no link a seguir, trata de dois conceitos 
essenciais da matemática financeira, partindo da compreensão de fluxo de caixa e 
da noção do valor do dinheiro no tempo. Assista ao material e entenda as principais 
diferenças entre valor presente e valor futuro.
https://qrgo.page.link/XRqqL
Se você tem R$ 1.500,00 aplicados na poupança e for colocando R$ 100,00 todos 
os meses durante 10 anos (120 meses), quanto dinheiro você vai ter no final desse 
período?
A taxa anual nominal da poupança é de 6% ao ano, mas é capitalizada mensalmente. 
Assim, a taxa mensal é de 0,5% (ao mês), que, capitalizada (composta) em 12 meses, 
resulta em 6,1678% ao ano.
Para fazer esse cálculo em uma calculadora HP 12C, você deverá digitar os valores 
e apertar os botões indicados:
1500 <CHS> <PV>
100 <CHS> <PMT>
0.5 < i>
120 <n>
<FV>
O resultado (FV) será de R$ 19.117,03
Séries uniformes de pagamentos: aplicações8
Identificação interna do documento FHG9QH68TU-AV8YWJ1
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 13. ed. São Paulo: Atlas. 2016.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática financeira aplicada. Rio de 
Janeiro: FGV, 2009.
GIMENES, C. M. Matemática financeira com HP 12c e Excel: uma abordagem descompli-
cada. São Paulo: Pearson, 2006.
HOJI, M. Matemática financeira: didática, objetiva e prática. São Paulo: Atlas, 2016.
Leitura recomendada
BREALEY, R.; MYERS, S.; ALLEN, F. Princípios de finanças corporativas. 12. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2018.
GITMAN, L. J. Princípios da administração financeira. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2009.
ROSS, S. A. et al. Fundamentos de administração financeira. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
SILVA, J. P. Análise financeira das empresas. 13. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
9Séries uniformes de pagamentos: aplicações
Identificação interna do documento FHG9QH68TU-AV8YWJ1
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Explicar os principais conceitos do sistema de amortização.
 > Identificar os principais tipos de sistemas de amortização em uso no Brasil.
 > Utilizar planos financeiros para demonstrar cálculos, semelhanças e dife-
renças entre os sistemas de amortização.
Introdução
Ao escolher uma modalidade de crédito (empréstimo e/ou financiamento), a 
instituição financeira emitirá um contrato com os detalhes da operação, incluindo 
as taxas cobradas, o sistema de amortização adotado e o período utilizado para 
quitar a dívida. Em posse dessas informações, o tomador poderá calcular o valor 
da parcela e o montante que será pago durante todo o período.
Os contratos também podem prever uma carência para o início do pagamento 
das prestações e a possibilidade de liquidação antecipada, total ou parcial, do 
principal da dívida. No momento da contratação dos serviços, o tomador precisará 
decidir qual será o método para a amortização da dívida. É fundamental, portanto, 
conhecer as vantagens e os riscos de cada sistema de amortização.
Neste capítulo, vamos definir sistemas de amortização, as características 
que envolvem cada um deles e os principais tipos utilizados pelo mercado no 
Brasil. Além disso, explicaremos como calcular as parcelas em cada sistema de 
amortização.
Sistemas de 
amortização
Flávia Monaco Vieira
Sistemas de amortização:
conceitos gerais
Amortização, segundo Merchede (2009, p. 59), “[...] é a maneira pela qual 
uma dívida é gradativamente suprimida, mediante pagamento de presta-
ções”, ou seja, é o pagamento da dívida de forma parcelada, em um prazo 
preestabelecido. Apesar de haver diferentes sistemas de amortização, o seu 
objetivo é único: o pagamento do principal, isto é, de um determinado valor 
contraído em empréstimo ou financiamento. Nesse sentido, Puccini (2007, p. 
158) entende que “[...] um sistema de amortização nada mais é do que um 
plano de pagamento de uma dívida contraída”. 
Os diferentes sistemas de amortização de um empréstimo produzem fluxos 
de pagamentos equivalentes entre si. Por essa razão, o valor presente dos 
fluxos de pagamentos, na data focal zero, é igual ao principal do empréstimo 
(ZOT; CASTRO, 2015). Assim, a escolha do sistema de amortização influenciará 
o fluxo de caixa das partes envolvidas (credor e devedor). O devedor, então, 
precisa considerar sua capacidade de pagamento na escolha do sistema de 
amortização, pois o pagamento afetará suas finanças pessoais.
No financiamento, o valor liberado tem uma finalidade específica 
— por exemplo, para a compra de imóvel ou automóvel, ou para 
importação. Já o empréstimo é um recurso concedido sem a necessidade de 
vinculá-lo a alguma finalidade — por exemplo, conta garantida, cheque especial, 
desconto de duplicata, etc. (HOJI, 2016).
O plano financeiro, também conhecido como memória de cálculo, de-
monstra, ao longo do tempo, a ocorrência dos principais eventos que vão 
modificando o saldo de um empréstimo. Para a realização de um plano de 
pagamento, é necessário demonstrar os seguintes dados (ZOT; CASTRO, 2015).
 � Saldo inicial = saldo final anterior (na primeira linha corresponde ao 
principal). 
 � Juros calculados = saldo inicial × taxa unitária.
 � Saldo após juros = saldo inicial + juros calculados.
 � Pagamento = amortização do principal + juros a serem pagos.
 � Amortização = parcela do pagamento referente ao principal.
 � Juros a serem pagos = parcela do pagamento referente aos juros.
 � Saldo final = saldo inicial + juros calculados – pagamento.
Sistemas de amortização2
Para a plena compreensão do conteúdo deste capítulo, lembre-se dos 
seguintes conceitos de operações de empréstimo e financiamento.
 � Valor principal: soma do capital emprestado.
 � Carência: deferimento no pagamento da primeira prestação.
 � Taxas de juros: remuneração paga pelo tomador de crédito à instituição 
financeira.
Principais tipos de sistemas de amortização 
utilizados no Brasil
Os sistemas de amortização mais difundidos no mercado são o sistema de 
prestação constante (SPC), ou amortização Price, e o sistema de amortização 
constante (SAC) (BATISTA JÚNIOR, 2014). Além desses, Zot e Castro (2015) apon-
tam o sistema americano e o sistema misto como as principais modalidades 
em uso no Brasil.
Sistema de prestação constante (SPC), ou 
amortização Price
O SPC, também conhecido como sistema francês de amortização ou amorti-
zação Price, é muito utilizado em operações de crédito direto ao consumidor 
e em financiamentos habitacionais (PUCCINI, 2007). Esse modelo consiste no 
pagamento da dívida por meio de prestações (PMT), sucessivas, periódicas 
e iguais, em que os juros gerados a cada período são pagos primeiramente 
(ZOT; CASTRO, 2015).
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as 
parcelas de amortização assumem valores crescentes. Ou seja, os juros 
diminuem, enquanto a amortização aumenta, permanecendo o valor das 
prestações igual ao longo do tempo. Veja, na Figura 1, a dinâmica do SPC.
Sistemas de amortização 3
Figura 1. Comportamento de juros e amortização.
Fonte: Adaptada de Puccini (2007).
$
0 1 2 3
Tempo (períodos)
PMT = A1 + J1 = A2 + J2 = A3 + J3 = A4 + J4
4
J1 J2 J3 J4
A1 A2 A3 A4
Veja, a seguir, as expressões de cálculo do SPC.
Prestação (PTM)
O valor das prestações é obtido pelo cálculo de uma prestação postecipada:
PTM = VP × [i × (1 + i)n]/[(1 + i)n – 1]
onde VP é o valor presente (valor do empréstimo), i é a taxa de juros e n é o 
número de períodos ou parcelas. Vejamos um exemplo para fixar os conceitos.
Considerando, por exemplo, um empréstimo no valor de R$ 6.000,00 (VP), 
a ser pago em seis prestações anuais (n), com juros de 10% a.a. (i), calcule o 
valor da prestação (PMT). Manualmente, resolve-se o problema da seguinte 
maneira:
PTM = VP × [i × (1 + i)n]/[(1 + i)n – 1]
PTM = 6.000 × [0,10 × (1 + 0,10)6]/[(1 + 0,10)6 – 1]
PTM = 1.377,64
Na HP 12C, temos o seguinte:
6000 CHS PV
10 i
6 n
g END (para informar que a série é postergada)
PMT
Sistemas de amortização4
Juros ( J)
Os juros incidem sobre o saldo devedor apurado no início de cada período 
(ou ao final de cada período imediatamente anterior). A expressão de cálculo 
de juros, um momento t qualquer, é a seguinte:
Jt = SDt–1 × i
onde SD é o saldo devedor, i é a taxa de juros e t é o tempo. Vejamos um 
exemplo.
Após a ocorrência dos juros do primeiro ano (J1) no valor de R$ 600,00* 
e o pagamento da primeira prestação (PTM1) no valor de R$ 1.377,64, o saldo 
devedor (SD1) ficou em R$ 5.222,36. Com base nessas informações, calcule 
os juros do segundo ano (J2):
Jt = SDt – 1 × i
J2 = SD2–1 × i
J2 = SD1 × i
J2 = 5.222,36 × 0,10
J2 = 522,24
*O J1 é calculado pelo VP × i (R$ 6.000,00 × 10%).
Amortização (A)
A amortização é obtida pela diferença entre o valor da prestação (PMT) e o 
dos juros (J):
A1 = PMT – J1, 
A1 = PMT – (PV × i)
At = A1 × (1 + i)t–1
onde i é a taxa de juros e t é o tempo. Vejamos um exemplo para facilitar a 
compreensão.
Sabendo que o valor da amortização do ano 1 (A1) é de R$ 777,64, calcule 
o valor amortizado no terceiro ano (A3):
At = A1 × (1 + i)t–1
A3 = 777,64 × (1 + 0,10)3–1
A3 = 777,64 × (1,1)2 
Sistemas de amortização 5
A3 = 940,95
Veja, no Quadro 1, o demonstrativo simplificado do plano financeiro do SPC.
Quadro 1. Demonstrativo simplificado do plano financeiro do SPC
n Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 — — — SD0 = VP
1 PMT J1 = PV × i A1 = PMT – J1 SD1 = SD0 – A1
2 PMT J2 = SD1 × i A2 = PMT – J2 SD2 = SD1 – A2
... ... ... ... ...
n PMT Jn = SDn–1 × i An = PMT – Jn SDn = SDn–1 – An
Veja, no Quadro 2, o preenchimento do plano financeiro do SPC nas se-
guintes condições.
 � Valor do empréstimo: R$ 6.000,00.
 � Número de prestações (anuais): 6.
 � Juros: 10% a.a.
Sistemas de amortização6
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Sistemas de amortização 7
Observe que todas as prestações são iguais e que a amortização é calculada 
após o cálculo dos juros, que corresponde à diferença entre a prestação e 
os juros.
Sistema de amortização constante (SAC)
Diferentemente do sistema Price, em que as prestações é que devem ser 
iguais, no SAC, as amortizações do principal devem ser sempre iguais (ou 
constantes) em todo o prazo da operação. Veja, na Figura 2, a dinâmica do SAC.
Figura 2. Comportamento da dinâmica do SAC.
Fonte: Adaptada de Puccini (2007).
(PV = SDi1)
0 1 2 3 n
Tempo (períodos)
PMT1 = A + J1 PMT3 = A + J3
PMT2 = A + J2 PMTn = A + Jn
Veja as expressões de cálculo a seguir.
Amortização (A)
A amortização é obtida mediante a divisão do capital emprestado pelo número 
de prestações. É representada por:
A = VP/n
onde VP é o valor presente (valor do financiamento) e n é o número de 
prestações.
Sistemas de amortização8
Por exemplo, considerando o empréstimo no valor de R$ 6.000,00 (VP), a 
ser pago em seis prestações anuais (n), tem-se:
A = VP/n
A = 6.000,00/6
A = 1.000,00
Juros ( J)
Pela redução constante do saldo devedor, os juros diminuem linearmente 
ao longo do tempo, comportando-se como uma progressão aritmética de-
crescente. A expressão de cálculo dos juros para um período qualquer t é:
Jt = (VP/n) × (n – t + 1) × i
onde VP é o valor presente (valor do financiamento), n é o número de pres-
tações, i é a taxa de juros e t é o tempo.
Por exemplo, considerando o empréstimo no valor de R$ 6.000,00 (VP), a 
ser pago em seis prestações anuais (n), o valor dos juros no 5º ano será (J5):
Jt = (VP/n) × (n – t + 1) × i
J5 = (6.000,00/6) × (6 – 5 + 1) × 0,10
J5 = 1.000,00 × 2 × 0,10
J5 = 200,00
Prestação (PMT)
A prestação é obtida pela soma da amortização (A) com os juros (J), sendo a 
amortização representada por (VP/n). A expressão de cálculo da prestação 
para um período qualquer t é:
PMT = (VP/n) × [1 + (n – t + 1) × i]
onde VP é o valor presente (valor do financiamento), n é o número de pres-
tações, i é a taxa de juros e t é o tempo.
Sistemas de amortização 9
Por exemplo, considerando o empréstimo no valor de R$ 6.000,00 (VP), 
a ser pago em seis prestações anuais (n) com juros anuais de 10% a.a. (i), o 
valor da prestação no segundo ano (PMT2) é:
PMT = (VP/n) × [1 + (n – t + 1) × i]
PMT2 = (6.000/6) × [1 + (6 – 2 + 1) × 0,10]
PMT2 = 1.000,00 × [1 + (5 × 0,10)]
PMT2 = 1.000,00 × 1,5
PMT2 = 1.500,00
Veja, no Quadro 3, o demonstrativo simplificado do plano financeiro do SAC.
Quadro 3. Demonstrativo do SAC
n Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 — — — SD0 = VP
1 PMT1 = A + J1 J1 = SD0 × i A SD1 = SD0 – A
2 PMT2 = A + J2 J2 = SD1 × i A SD2 = SD1 – A
... ... ... ... ...
n PMTn = A + Jn Jn = SDn–1 × i A SDn = SDn–1 – An
Fonte: Adaptado de Camargos (2013).
Agora veja, no Quadro 4, o preenchimento do plano financeiro do SAC nas 
seguintes condições.
 � Valor do empréstimo: R$ 6.000,00.
 � Número de prestações (anuais): 6. 
 � Juros: 10% a.a.
Sistemas de amortização10
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Sistemas de amortização 11
Observe que o valor da amortização é constante durante todo o período.
Sistema de amortização americano (SAA)
O SAA se caracteriza por pagar todo o principal na última prestação, com 
pagamento periódico de juros. Como não há capitalização de juros, o saldo 
devedor não se altera ao longo do tempo. Nesse caso, os juros devidos em cada 
período são constantes. No vencimento da operação, são pagos o principal 
e a última parcela dos juros. Veja, na Figura 3, a dinâmica SAA.
Figura 3. Comportamento da dinâmica do SAA.
Fonte: Adaptada de Puccini (2007).
PMT1 = PMT2 = PMT3 =
PMTn =
SDi + Jn
J1 J2 J3
(PV = SDi1)
0 1 2 3 n
Tempo (períodos)
Veja a expressão de cálculo a seguir.
Última prestação (PMT): PMT = VP (1 + i)
onde VP é o valor presente (valor do empréstimo) e i são os juros.
Por exemplo, vamos calcular a última prestação considerando o emprés-
timo no valor de R$ 6.000,00 (VP) com pagamento de juros periódicos de 
10% a.a. (i).
PMT = VP (1 + i)
PMT = 6.000,00 (1 + 0,10)
PMT = 6.000 × 1,10
PMT = 6.600,00*
*O valor da prestação (PMT) corresponde ao valor da amortização (R$ 6.000,00) 
+ os juros do período (R$ 600,00).
Sistemas de amortização12
Veja, no Quadro 5, o demonstrativo simplificado do plano financeiro do SAA.
Quadro 5. Demonstrativo do SAA
n Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 — — — SD0 = VP
1 PMT1 = VP × i J1 = VP × i — SD1 = VP
2 PMT2 = VP × i J2 = VP × i — SD2 = VP
... ... ... ... ...
n PMTn = VP + (VP × i) Jn = PV × i An = VP SDn = SDn–1 – An
Fonte: Adaptado de Camargos (2013).
Agora, veja, no Quadro 6, o preenchimento do plano financeiro do SAA 
nas seguintes condições.
 � Valor do empréstimo: R$ 6.000,00.
 � Número de prestações (anuais): 6.
 � Juros: 10% a.a.
Sistemas de amortização 13
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Sistemas de amortização14
Observe que, periodicamente, os juros de R$ 600,00 foram pagos, perma-
necendo o valor do empréstimo como saldo devedor.
Sistema de amortização montante ou único 
O sistema de amortização montante é caracterizado pelo fato de o montante 
e os juros do período serem pagos de uma só vez, ao final. Veja, na Figura 4, 
a dinâmica do sistema montante.
Figura 4. Dinâmica do sistema montante.
Fonte: Adaptada de Puccini (2007).
PV = SDi1
FV = SDi1 + J
0 1 2 n
Tempo (períodos)
Empréstimo a i% ap
n – 1
Veja as expressões de cálculo a seguir.
Prestação única (PMT)
Os cálculos se resumem à aplicação da fórmula do valor futuro (VF):
VF = VP (1 + i)n
onde VP é o valor presente (valor do financiamento), i é a taxa de juros e n é 
o número de prestações.
Sistemas de amortização 15
Por exemplo, vamos calcular o valor da prestação (PMT) considerando o 
empréstimo no valor de R$ 6.000,00 (VP) com juros anuais de 10% a.a. (i) que 
serão pagos ao final de seis anos (n):
PMT = VP (1 + i)n
PMT = 6.000,00 (1 + 0,1)6
PMT = 6.000 × 1,77156
PMT = R$ 10.629,37*
*O saldo devedor corresponde ao valor amortizado (R$ 6.000,00) + o valor 
dos juros (R$ 4.629,37).
Juros ( J)
Os juros podem ser obtidos pela equação:
J = VP [(1 + i)n – 1]
onde VP é o valor presente (valor do financiamento), i é a taxa de juros e n é 
o número de prestações.
Veja, no Quadro 7, o preenchimento do plano financeiro do sistema misto 
nas seguintes condições.
 � Valor do empréstimo: R$ 6.000,00.
 � Número de prestações (anuais): 6.
 � Juros: 10% a.a.
Sistemas de amortização16
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Sistemas de amortização 17
Comparação entre os sistemas de 
amortização
A fim de análise, será elaborado um plano financeiro para os sistemas SPC, 
SAC e SAA com base nos seguintes dados:
 � Valor do empréstimo: R$ 20.000,00.
 � Número de prestações mensais: 24.
 � Taxa dos juros: 20% a.a. = 1,5309% a.m.
Veja, no Quadro 8, o plano financeiro comparativo entre os sistemas.
Sistemas de amortização18
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Sistemas de amortização 19
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Sistemas de amortização20
Pode-se observar, no Quadro 8, que o valor amortizado dos sistemas 
correspondem ao valor do empréstimo (R$ 20.00,00). Porém, os juros no SAA 
são superiores, por não haver amortização do principal ao longo do contrato. 
Por sua vez, os juros no SAC são menores, pois o valor amortizado ao longo 
do contrato permanece inalterado da primeira à última prestação.
Analisar os planos de financiamento somente pelo total pago é equívoco, 
uma vez que se estaria desconsiderando o princípio básico da matemática 
financeira do valor do dinheiro no tempo. Dessa forma, Camargos (2013) 
descreve que a comparação correta entre os planos de financiamento deve 
ser feita com os valores de cada um em um mesmo momento focal, ou seja, 
deve-se calcular o valor presente (VP) ou o valor futuro (VF) de cada um. 
Considerando que todos os sistemas apresentam o mesmo valor presente 
(R$ 20.000), devem também ter o mesmo valor futuro para serem equivalentes. 
De fato, capitalizando as prestações de cada plano pela taxa de 20% a.a., ao 
final de dois anos (24 meses), chega-se ao mesmo valor futuro de R$ 28.800,00, 
demonstrando, assim, que os seus fluxos de caixa são equivalentes. 
Veja a capitalização do empréstimo, pelo cálculo do valor futuro, no valor 
de R$ 20.000,00, com a taxa de 20%, no período de 2 anos:
VF = VP × (1 + i)n
VF = 20.000,00 × (1 + 0,20)2
VF = 20.000,00 × (1,20) 2
VF = 20.000,00 × 1,44
VF = 28.800,00
Por fim, veja, no Quadro 9, o resumo das características dos sistemas 
estudados.
Sistemas de amortização 21
Quadro 9. Características dos sistemas de amortização
Sistema Prestações Juros Amortização
SPC Constantes Decrescentes 
exponencialmente
Crescente 
exponencialmente
SAC Decrescentes 
linearmente
Decrescentes 
linearmente
Constante
SAA Somente dos 
juros
Constantes Não há
Montante Não há Cumulativo Não há
Fonte: Adaptado de Camargos (2013).
Assim, em resumo, pode-se inferir que o melhor sistema é aquele que 
atende à capacidade de pagamento do tomador do empréstimo.
Referências
BATISTA JÚNIOR, R. I. Matemática financeira contextualizada em sistemas de amortização 
e impostos de renda. 2014. 65 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) — Instituto de 
Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, 2014. 
CAMARGOS, M. A. Matemática financeira: aplicada a produtos financeiros e à análise 
de investimentos. São Paulo: Saraiva, 2013. 
HOJI, M. Matemática Financeira: didática, objetiva e prática. São Paulo: Atlas, 2016. 
MERCHEDE, A. HP-12C: cálculos e aplicações financeiras. São Paulo: Atlas, 2009. 
PUCCINI, E. C. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2007.
ZOT, W. D; CASTRO, M. L. Matemática financeira: fundamentos e aplicações. Porto 
Alegre: Bookman, 2015. 
Leitura recomendada
ASSAF NETO, A. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 2017. 
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Sistemas de amortização22
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Rodolfo Vieira Nunes
Sistemas de amortização
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar
os seguintes aprendizados:
  Explicar os principais conceitos dos sistemas de amortização.
  Identificar os principais tipos de sistemas de amortização em uso no Brasil.
  Utilizar planos financeiros para demonstrar os cálculos, as semelhanças 
e as diferenças entre os sistemas de amortização.
Introdução
Um empréstimo financeiro é uma operação atrelada a um contrato entre um 
cliente (tomador) e uma instituição financeira (emprestador). Por meio do 
empréstimo, o cliente recebe uma quantia em dinheiro, que deve ser devolvida 
em prazo determinado e acrescida dos juros definidos por ambas as partes.
Um empréstimo que deve ser restituído em quantias periódicas 
iguais (mensal, trimestral ou anualmente) é chamado de “empréstimo 
amortizado”. A palavra “amortização” vem do termo latino mors, que 
significa “morte”. Assim, um empréstimo amortizado é aquele empréstimo 
liquidado com o passar do tempo.
Um sistema de amortização se caracteriza pela definição de critérios que 
estabelecem quanto deve ser pago em cada parcela. Tal pagamento se divide 
em: principal (amortização) e encargos (juros, remuneração). Há basicamente 
três sistemas de amortização: Sistema de Amortização Constante (SAC), 
sistema francês ou tabela Price e Sistema de Amortização Americano (SAA).
Neste capítulo, você vai conhecer alguns conceitos relacionados aos 
sistemas de amortização. Além disso, vai se familiarizar com as principais 
características desses sistemas e verificar as diferenças existentes entre eles.
Principais conceitos
A seguir, você vai conhecer alguns conceitos importantes para o seu apren-
dizado ao longo deste capítulo. Como você sabe, estudar os conceitos básicos 
de uma área é fundamental para compreendê-la (ASSAF NETO, 2016; 
CARVALHO; ELIA; DECOTELI, 2009; GIMENES, 2006; HOJI, 2016; 
SILVA, 2012).
  Amortização: são os pagamentos do principal da dívida, ou seja, do 
montante emprestado. Não confunda a amortização com a parcela 
desembolsada total, que pode incluir juros. Os juros não fazem parte 
da amortização do principal.
  Carência: um fluxo de caixa com carência (ou f luxo diferido) é 
aquele em que os pagamentos da dívida começam a ocorrer em um 
período posterior ao término da carência. Assim, por exemplo, um 
fluxo de caixa com carência de dois períodos é aquele em que os 
pagamentos começam a ocorrer no terceiro período. Alguns autores 
usam um conceito diferente de carência, porém esse que você acabou 
de ver é o mais utilizado no mercado e o mais comum nos exames 
de certificação.
  Juros: são uma espécie de “aluguel” pago pelo uso do dinheiro, ou 
seja, uma forma de remunerar o capital que foi emprestado. Do ponto 
de vista de quem toma um empréstimo, os juros são o custo de captar 
o valor. De uma perspectiva mais financeira, os juros são o resultado 
da aplicação da taxa de juros sobre o saldo devedor.
  Prestação: é uma forma de pagamento a prazo em que o montante total 
é dividido e pago periodicamente pelo devedor como meio de quitar 
uma parte da dívida. A composição da prestação pode ser advinda da 
amortização e dos juros do empréstimo.
  Saldo devedor: é a diferença entre o valor do empréstimo atualizado e a 
soma das amortizações, ou seja, é o que já foi pago de juros e principal. 
Em uma visão simplificada, o saldo devedor é o total do principal da 
dívida em determinado momento.
Todas as definições que você viu aqui estão relacionadas a uma abordagem financeira. 
Podem existir outras explicações e entendimentos sobre esses conceitos, porém com 
uma abordagem ou explicação não financeira.
Sistemas de amortização2
Sistemas de amortização em uso no Brasil
SAC
No SAC, o pagamento do empréstimo ocorre por meio de um conjunto de 
prestações em que as amortizações do saldo devedor são constantes ao longo 
de todo o período do contrato (HOJI, 2016). Nesse sistema, as parcelas da 
amortização são sempre iguais entre si. Já os juros são calculados sobre 
o saldo devedor do período anterior. Na Figura 1, veja a composição das 
prestações no SAC.
Figura 1. Composição das prestações no SAC.
A Figura 1 mostra que as prestações são decrescentes ao longo do período, 
pois os juros incidem com um valor cada vez menor sobre o montante das 
prestações. A amortização do principal, como o próprio nome do sistema 
indica, é constante no tempo.
Para compreender melhor, considere um exemplo: existe um empréstimo 
no valor de R$ 300.000,00 a ser pago em 5 parcelas anuais com carência no 
primeiro ano. A amortização estipulada em contrato deve ser de R$ 60.000,00 
por ano. Esse empréstimo está condicionado a juros de 12% ao ano. Agora 
veja o Quadro 1, a seguir.
3Sistemas de amortização
Final do 
ano
Amortização 
(a)
Juros 
SDp – 1 × 12%
(b)
Prestação
(a) + (b)
Saldo 
devedor
(SD)
Hoje 300.000,00
1 0,00 36.000,00 36.000,00 300.000,00
2 60.000,00 36.000,00 96.000,00 240.000,00
3 60.000,00 28.800,00 88.800,00 180.000,00
4 60.000,00 21.600,00 81.600,00 120.000,00
5 60.000,00 14.400,00 74.400,00 60.000,00
6 60.000,00 7.200,00 67.200,00 0,00
Total 300.000,00 144.000,00 444.000,00
Quadro 1. Aplicação do SAC
Por meio dessa metodologia, as amortizações começam a ser pagas a partir 
do final do segundo ano, por conta do período de carência já predeterminado. 
Contudo, essa carência não interfere no pagamento dos juros, que já come-
çam a ser pagos ao final do primeiro ano, não diminuindo o valor do saldo 
devedor. O cálculo dos juros é efetuado sobre o saldo devedor do período 
anterior. Assim, o saldo devedor diminui somente com a amortização da 
dívida (GIMENES, 2006).
Veja alguns aspectos relevantes sobre o funcionamento do SAC:
  é uma opção sugerida para quem tem a possibilidade de quitar a dívida 
de forma antecipada;
  é caracterizado por uma amortização maior no início e um saldo devedor 
que cai mais rapidamente;
  demanda um capital maior para o início do financiamento.
Em síntese, no método de amortização SAC, também conhecido como 
“método hamburguês”, as prestações ao longo do contrato ou empréstimo 
reúnem a composição das amortizações constantes mais os juros variáveis 
decrescentes (ASSAF NETO, 2016).
Sistemas de amortização4
Um sistema de amortização pouco utilizado é o alemão. Ele consiste em liquidar uma dívida de 
modo que os juros sejam pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto no primeiro 
pagamento, que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. Nesse 
sistema, é necessário conhecer o valor de cada pagamento e os valores das amortizações.
Tabela Price
O sistema Price, também conhecido como “sistema francês”, consiste no paga-
mento de um empréstimo por meio de um conjunto de prestações sucessivas e 
constantes, de modo que a amortização do saldo devedor é realizada ao longo 
do contrato (HOJI, 2016). Ele é largamente utilizado no mercado fi nanceiro e 
de capitais brasileiro; é o sistema mais conhecido no País.
A denominação deve-se ao matemático, filósofo e teólogo inglês Richard 
Price, que incorporou a teoria dos juros compostos às amortizações de em-
préstimos. A principal característica desse sistema são as prestações cons-
tantes ao longo do tempo. Para que isso ocorra, é necessário que as parcelas 
da amortização sejam menores no início e maiores no final. Além disso, as 
parcelas dos juros devem ser maiores no início e menores no final. Observe 
a Figura 2 para compreender melhor esse conceito.
Figura 2. Composição das prestações no sistema Price.
5Sistemas de amortização
Utilizando o mesmo exemplo do sistema de amortização anterior, deve-se 
calcular o valor de cada uma das prestações a partir do segundo ano, consi-
derando que elas devem ser iguais entre si. Gimenes (2006) utiliza a equação 
do fluxo de caixa uniforme. Veja:
Onde:
  VP (valor presente): 300.000
  i (taxa de juros): 12% ao ano
  n (período de pagamento): 5 anos
  PMT (valor das prestações): ?
Portanto, o valor de cada prestação, que é composta da amortização so-
mada aos juros, deve ser o montante de R$
83.222,92 a partir do segundo ano. 
O Quadro 2 apresenta de outra forma o método de cálculo do sistema Price.
Final 
do ano
Amortização
(a)
Juros 
SDp – 1 × 12%
(b)
Prestação
(a) + (b)
Saldo 
devedor
(SD)
Hoje 300.000,00
1 0,00 36.000,00 36.000,00 300.000,00
2 47.222,92 36.000,00 83.222,92 252.777,08
3 52.889,67 30.333,25 83.222,92 199.887,41
4 59.236,43 23.986,49 83.222,92 140.650,98
5 66.344,80 16.878,12 83.222,92 74.306,18
6 74.306,18 8.916,74 83.222,92 0,00
Total 300.000,00 152.114,60 452.114,60
Quadro 2. Aplicação do sistema Price
Sistemas de amortização6
Nesse método, todas as prestações são iguais após o período de carência. 
Além disso, a amortização é calculada após o cálculo dos juros, sendo a 
diferença entre a prestação e os juros. A Figura 3 exemplifica o quanto a 
amortização e os juros compõem cada parcela de pagamento.
Figura 3. Prestações — juros e amortizações.
Perceba também que, por começar a amortizar com um valor menor 
no início, quem escolhe esse tipo de sistema acaba pagando mais juros 
do que no SAC. Veja alguns aspectos relevantes sobre o funcionamento 
do sistema Price:
  é caracterizado por uma amortização menor no início e por um saldo 
devedor que demora a cair;
  não é uma boa opção para quem tem a possibilidade de quitar a dívida 
de forma antecipada;
  demanda um capital menor para iniciar o financiamento.
Em resumo, no sistema Price de amortização, as prestações são constantes 
ao longo do tempo. Tais prestações são compostas em parte por amortizações 
diferentes e crescentes e em parte por juros com valores diferentes e decres-
centes ao longo do período (ASSAF NETO, 2016).
7Sistemas de amortização
SAA
No SAA, o principal da dívida só é amortizado ao final do período do 
contrato. Assim, ao longo do contrato, são quitados apenas os juros sobre 
o saldo devedor, que se mantém inalterado até o vencimento da dívida 
(HOJI, 2016).
Nesse sistema, o principal é pago em apenas uma parcela, no final 
do período. Ou seja, a amortização é paga como um todo no final do 
contrato estipulado. Na Figura 4, veja uma representação do método de 
amortização.
Figura 4. Composição das prestações no SAA.
No Quadro 3, a seguir, veja a aplicação de um exemplo. Para esse caso, 
o período de carência é de 5 anos, e não de apenas 1 ano, como nos sistemas 
que você viu anteriormente.
Sistemas de amortização8
Final 
do ano
Amortização
(a)
Juros 
SDp – 1 × 12%
(b)
Prestação
(a) + (b)
Saldo 
devedor
(SD)
Hoje 300.000,00
1 0,00 36.000,00 36.000,00 300.000,00
2 0,00 36.000,00 36.000,00 300.000,00
3 0,00 36.000,00 36.000,00 300.000,00
4 0,00 36.000,00 36.000,00 300.000,00
5 0,00 36.000,00 36.000,00 300.000,00
6 300.000,00 36.000,00 336.000,00 0,00
Total 300.000,00 216.000,00 516.000,00
Quadro 3. Aplicação do SAA
Na situação mostrada no Quadro 3, os juros pagos são os maiores dentre 
os três sistemas, pois a amortização ocorre apenas no final. Assim, correm 
juros sobre todo o saldo devedor ao longo de toda a vida do empréstimo.
A seguir, veja alguns aspectos relevantes sobre o funcionamento do SAA:
  é caracterizado pela possibilidade de o devedor quitar a sua dívida 
quando quiser;
  permite o pagamento parcial da dívida, reduzindo o valor dos juros 
proporcionalmente;
  é indicado quando está previsto o recebimento de uma quantia futura 
suficiente para quitar a dívida.
Esse tipo de sistema é muito utilizado na emissão de debêntures e títulos 
do governo com pagamentos intermediários (SILVA, 2012). Esses pagamentos 
intermediários recebem também o nome de “cupons”, que nada mais são do 
que os juros pagos sobre o saldo devedor.
9Sistemas de amortização
No modelo americano de amortização, as prestações de quase todo o período 
envolvem o pagamento de juros fixos. Assim, a amortização do principal é 
paga somente no último período do empréstimo. Ou seja, durante quase todo o 
tempo do empréstimo, a prestação é quase toda composta pelos juros; apenas 
no último período essa composição se altera, pois inclui a amortização do 
valor principal (ASSAF NETO, 2016).
A Caixa Econômica Federal possui uma política de financiamento da casa própria. Tal 
política é vinculada a um programa de incentivo e auxílio para a moradia criado pelo 
Governo Federal, o Sistema Financeiro de Habitação (SFH). No financiamento pelo 
SFH, é necessário definir:
  o valor e o prazo;
  se a taxa de juros será pré ou pós-fixada;
  a fórmula de cálculo da prestação.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 13. ed. São Paulo: Atlas, 2016.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELI, C. A. Matemática financeira aplicada. Rio de 
Janeiro: FGV, 2009.
GIMENES, C. M. Matemática financeira com HP 12c e Excel: uma abordagem descompli-
cada. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
HOJI, M. Matemática financeira: didática, objetiva e prática. São Paulo: Atlas, 2016.
SILVA, J. P. Análise financeira das empresas. 11. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
Leituras recomendadas
BREALEY, R.; MYERS, S.; ALLEN, F. Princípios de finanças corporativas. 12. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2018.
GITMAN, L. J. Princípios da administração financeira. 12 ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010.
ROSS, S. A. et al. Fundamentos de administração financeira. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
Sistemas de amortização10
AVALIAÇÃO DE 
INVESTIMENTOS
Wellington Rodrigues Silva Souza
Sistema de amortização 
constante com carência
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Relacionar o sistema de amortização constante com financiamentos 
de longo prazo.
  Calcular as parcelas no sistema de amortização constante.
  Identificar o saldo devedor.
Introdução
Entender a lógica dos juros compostos aplicados a fluxos de caixa em 
parcelas é crucial tanto para a vida pessoal quanto para decisões estra-
tégicas de endividamento de empresas. 
Neste capítulo, você vai ler sobre o sistema de amortização constante 
(SAC) na prática de empréstimos e financiamentos de longo prazo. Vai 
também estudar como calcular parcelas nesse sistema e como identificar 
o saldo devedor.
O sistema de amortização constante aplicado 
a financiamentos de longo prazo
No campo das fi nanças pessoais, por vezes há a necessidade de recorrer a um 
fi nanciamento de longo prazo para comprar bens de alto valor. É o caso do 
fi nanciamento de um veículo ou, em maior proporção em termos monetários, 
do fi nanciamento de um imóvel. No que diz respeito às fi nanças empresariais, 
há duas formas de fi nanciamento: pelo capital próprio, ou seja, injeção de 
recursos na empresa pelos seus acionistas, ou por meio do capital de terceiros, 
cenário no qual a empresa toma recursos em empréstimos e fi nanciamentos.
Em geral, estes financiamentos são realizados dada uma indisponibilidade 
de caixa para a compra do bem à vista. No entanto, no âmbito empresarial, 
muitas vezes esse não é o motivo, o que pode ser facilmente verificado nos 
balanços patrimoniais divulgados pelas empresas de capital aberto (que ne-
gociam ações em bolsas de valores). 
Veja os saldos de Caixa e equivalentes de caixa e Empréstimos e financiamentos 
divulgados pela Magazine Luiza em seu balanço patrimonial consolidado referente ao 
exercício social findo em 31/12/2018 (MAGAZINE LUIZA S.A., [2018], documento on-line).
Saldo 
(milhares de R$)
Caixa e equivalentes de caixa 548.553
Empréstimos e financiamentos (passivo circulante) 130.685
Empréstimos e financiamentos (passivo não circulante) 323.402
Total de empréstimos e financiamentos 454.087
Como você pode notar, o saldo de Caixa e equivalentes de caixa — que 
representa dinheiro em espécie, depósitos bancários e aplicações financeiras 
de alta liquidez — supera o saldo de Empréstimos e financiamentos. Isso 
significa que, mesmo dispondo de recursos financeiros imediatamente, a 
empresa usa capital de terceiros para financiar suas atividades. Uma análise 
mais aprofundada quanto à distribuição de saldos entre circulante
e não cir-
culante revela que a maior parte do montante devido pela empresa (R$ 323,4 
milhões) é dívida de longo prazo, pois vencerá em mais de 12 meses (conceito 
de passivo não circulante).
Sistema de amortização constante com carência2
Para consultar as demonstrações financeiras completas da Magazine Luiza ([2019]), 
acesse o link a seguir, selecione o período desejado e baixe o arquivo ITR/DFP.
Procure na nota explicativa de empréstimos e financiamentos (nota 19 na demons-
tração financeira de 31/12/2018) detalhes como taxas, datas de vencimento, mapa 
de movimentação e cronograma de vencimentos. Aproveite para analisar a nota 
explicativa de resultado financeiro (nota 27 na demonstração financeira de 31/12/2018), 
em que são apresentados os montantes de juros sobre empréstimos e rendimentos 
de aplicações financeiras no ano.
https://qrgo.page.link/vd8Yd
Por que, então, as empresas se endividam mesmo dispondo de recursos em 
caixa? Não existe uma resposta definitiva para essa pergunta, mas algumas 
razões são destacadas a seguir.
  A empresa não quer comprometer o seu capital de giro (caixa mantido 
para pagamentos normais do ciclo operacional da empresa) com gas-
tos em projetos de expansão. Afinal, manter uma folga de caixa para 
necessidades financeiras é extremamente importante.
  Muitas vezes, o capital de terceiros é mais barato, já que tem taxas de 
juros baixas. Por isso, vale mais a pena para a empresa captar recursos 
com empréstimos e financiamentos para novos projetos de expansão 
(como a abertura de uma nova fábrica, por exemplo) do que usar o 
recurso disponível em caixa. Esse recurso disponível em caixa, quando 
aplicado, pode gerar rentabilidade (receita financeira) superior aos juros 
dos empréstimos e financiamentos obtidos (despesa financeira). Isso 
significa que a empresa paga os juros da dívida com a rentabilidade da 
aplicação financeira e ainda apura lucro na transação.
  Empresas que optam pelo regime de lucro real para apurar tributos 
sobre lucro tomam a dedutibilidade fiscal da despesa de juros para 
apurar o lucro tributável sobre o qual incidirão tributos. No Brasil, 
essa dedutibilidade é cerca de 34%. Isso significa que a despesa efetiva 
de juros sobre os financiamentos é 66%, uma vez que os outros 34% se 
transformam em economia de caixa no pagamento de tributos.
3Sistema de amortização constante com carência
Em síntese, pessoas físicas optam por um financiamento de longo prazo 
normalmente por falta de recursos para comprar bens de alto valor. Da mesma 
forma, pessoas jurídicas (empresas ou outras entidades, como organizações 
não governamentais) podem também optar pelo endividamento para adquirir 
bens na falta de recursos imediatos. Porém, frequentemente há outras razões, 
que envolvem os benefícios que o endividamento pode oferecer à empresa, 
como as três razões listadas anteriormente. Mesmo que disponham de recursos 
imediatos, “[…] grandes e pequenas empresas tê m algo em comum: a neces-
sidade de obter capital de longo prazo” (ROSS et al., 2015).
Como os empréstimos são frequentes nas vidas tanto das pessoas físicas 
quanto das pessoas jurídicas, é importante saber como calculá-los. Um dos 
métodos de cálculo é o sistema de amortização constante (SAC). De acordo com 
Almeida (2016, p. 144), “[…] essa modalidade de pagamento também é conhe-
cida como método hamburguês e possui vasta utilização em financiamentos 
imobiliários (SFH — sistema financeiro de habitação) e em financiamentos 
às empresas por parte de várias entidades governamentais”. 
Cálculo de financiamentos por meio do sistema 
de amortização constante
Conforme Assaf Neto (2017, p. 235), “[…] o Sistema de Amortização Constante 
(SAC), como o próprio nome indica, tem como característica básica serem 
as amortizações do principal sempre iguais (ou constantes) em todo o prazo 
da operação”.
Amortização, que também pode ser chamada de principal, refere-se à parte 
que é reduzida da dívida após o pagamento de cada parcela. É extremamente 
importante distinguir amortização e parcela (pagamento). Parcela é o valor 
que será pago nos prazos acordados do empréstimo e contempla a fatia que é 
efetiva redução de dívida e a fatia que corresponde aos juros pagos ao banco 
como remuneração pelo empréstimo efetuado. Amortização, por sua vez, 
refere-se apenas à parte do pagamento que resulta em efetiva redução de dívida. 
A fórmula para determinar o montante de amortização no SAC é a seguinte:
Sistema de amortização constante com carência4
Na matemática financeira, o valor inicial de uma dívida (valor captado) ou o valor 
inicial de um investimento (valor aplicado) também pode ser referenciado como 
valor presente (VP).
Se, por exemplo, uma empresa obteve um empréstimo de R$ 120.000 e 
vai pagá-lo em 12 parcelas, aplicando-se a fórmula da amortização, o valor 
da amortização mensal é R$ 10.000:
Para determinar os juros de cada parcela, aplica-se a seguinte fórmula:
juros = saldo devedor × taxa de juros (%)
Dando continuidade ao exemplo anterior, o saldo devedor inicial corres-
ponde exatamente ao valor captado (nenhuma amortização ainda foi feita). 
Considerando que a taxa de juros é 1,5% a.m. (ao mês), então o valor de juros 
no primeiro mês é R$ 1.800:
juros = 120.000 × 1,5% = R$ 1.800
Compete ressaltar que a taxa de juros a ser aplicada sobre o saldo devedor 
deve estar na mesma grandeza do período das parcelas, isto é, se as parcelas 
são mensais, a taxa de juros também deve ser mensal. Os bancos costumam 
estabelecer taxas em grandeza anual, sendo necessário fazer a conversão. 
A princípio, pode-se imaginar que basta dividir a taxa anual por 12 meses. 
Entretanto, esse procedimento não é correto, em virtude dos conceitos de 
juros compostos. A conversão de taxas, se for o caso, deve ser efetuada de 
acordo com o conceito de taxas equivalentes (ALMEIDA, 2016). A fórmula 
de cálculo é a seguinte:
5Sistema de amortização constante com carência
onde:
iq = taxa que se quer descobrir;
it = taxa que se tem;
nq = período da taxa que se quer converter;
nt = período da taxa que se tem.
Por exemplo, se você tem como informação uma taxa de 15% a.a. (ao ano) 
e quer descobrir a equivalente a.m. (ao mês), então deve calcular:
Veja que a taxa que se tem é 15% a.a. Para aplicação na fórmula, ela 
deve ser transformada em número decimal. Para isso, divide-se a taxa em 
percentual por 100 (15 ÷ 100 = 0,15). Na sequência, no expoente da equação, 
o numerador é o prazo para o qual se quer converter a taxa, e o denomi-
nador é o período que se tem, que é o período correspondente a taxa que 
se tem. Como a taxa está em grandeza anual e queremos transformá-la em 
equivalente mensal, o período para o qual se quer converter a taxa é igual 
a 1 (correspondente a um mês) e o período que se tem é 1 ano, que, por sua 
vez, corresponde a 12 meses. 
O período que se quer e o período que se tem devem estar sempre na mesma 
grandeza equivalente em meses (p. ex., se a taxa que se tem é semestral e se quer 
convertê-la para taxa anual, então o período que se tem para a taxa semestral é de 6 
meses, correspondente a um semestre, e o período da taxa que se quer para a taxa 
anual é de 12 meses, correspondente a um ano. O Quadro 1 apresenta uma síntese 
dos expoentes a serem utilizados para a conversão de taxas.
Sistema de amortização constante com carência6
PA
R
A
 (p
er
ío
do
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A
nu
al
DE (período da 
taxa que se tem)
M
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7Sistema de amortização constante com carência
Como consequência dos conceitos
de amortização e juros, a parcela 
(pagamento) será dada por:
parcela = amortização + juros
Dando continuidade ao exemplo, a primeira parcela a ser paga corresponde 
a R$ 11.800 e é obtida como segue:
parcela = 10.000 + 1.800 = R$ 11.800
Por fim, o saldo devedor é obtido conforme fórmula a seguir:
saldo devedor = valor captado − (amortização × número de parcelas já pagas)
Ou ainda, por diferença entre o saldo devedor anterior (t − 1) e a amorti-
zação no mês (t):
saldo devedort = saldo devedort − 1 − amortizaçãot
Seguindo o exemplo anterior, o saldo devedor ao final do primeiro mês é:
saldo devedort = 120.000 − 10.000 = R$ 110.000
A demonstração completa do f luxo de parcelas (pagamentos), ju-
ros, amortização e saldo devedor pode ser feita por meio de uma tabela. 
O Quadro 2 apresenta o exemplo abordado (isto é, captação de R$ 120.000, 
prazo de pagamento de 12 meses, taxa de juros de 1,5% a.m. e cálculo 
pelo SAC).
Sistema de amortização constante com carência8
Mês
Parcela (a)
(b)t + (c)t
Juros (b)
(d) t − 1 × taxa %
Amortização 
(c)
Saldo 
devedor (d)
(d) t − 1 − (c) t
0 — — — 120.000
1 11.800 1.800 10.000 110.000
2 11.650 1.650 10.000 100.000
3 11.500 1.500 10.000 90.000
4 11.350 1.350 10.000 80.000
5 11.200 1.200 10.000 70.000
6 11.050 1.050 10.000 60.000
7 10.900 900 10.000 50.000
8 10.750 750 10.000 40.000
9 10.600 600 10.000 30.000
10 10.450 450 10.000 20.000
11 10.300 300 10.000 10.000
12 10.150 150 10.000 —
Total 131.700 11.700 120.000 —
Legenda: 
t = mês atual
t-1 = mês anterior
Quadro 2. Tabela para demonstração do fluxo de parcelas, juros, amortização e saldo 
devedor
9Sistema de amortização constante com carência
Veja que, mensalmente, a amortização (c) é constante, os juros (b) são cal-
culados aplicando-se a taxa de juros sobre o saldo devedor do período anterior 
(d)t −1, a parcela corresponde à soma dos juros do mês (b)t e da amortização 
do mês (c)t, e o saldo devedor do mês (d)t é obtido subtraindo-se o valor da 
amortização do mês (c)t do saldo devedor anterior (d)t −1.
Sistema de amortização constante com carência
Suponha que os gestores de determinada empresa tenham observado um 
crescimento na demanda pelos produtos que comercializa, mas é incapaz de 
atendê-la apenas com a capacidade produtiva atual. Então, os gestores decidem 
abrir uma nova fábrica para produzir e suprir a demanda adicional. No entanto, 
a empresa não dispõe de recursos sufi cientes para realizar esse investimento. 
Os gestores decidiram recorrer a um empréstimo bancário para viabilizar o 
projeto. Ao montar o plano fi nanceiro, identifi caram que pode haver falta de 
caixa, considerando-se apenas as vendas atuais, para começarem a pagar as 
parcelas ao banco logo após o primeiro mês da captação dos recursos. E agora? 
Qual é a saída para a empresa?
Existem modalidades de empréstimos e financiamentos em que o credor 
concede um prazo extra para o devedor começar a pagar as parcelas (ou parte 
delas, se a carência for parcial). Esse prazo corresponde ao que chamamos de 
prazo de carência ou período de carência.
Existem dois tipos de carência mais usuais: a que prevê pagamentos apenas 
dos juros no período, chamada de carência parcial, que se refere apenas à 
parte do pagamento relacionada à amortização, e a que não prevê o pagamento 
de juros nem amortização no período, a carência total (ASSAF NETO, 2017).
Carência parcial
Na modalidade de carência parcial, há carência apenas para a amortização, isto 
é, os juros apurados no período de carência devem ser pagos neste período. 
Consideremos o exemplo anterior (captação de R$ 120.000 para pagamento 
em 12 parcelas mensais a uma taxa de 1,5% a.m.), porém com 3 meses de 
carência de amortização (carência parcial), devendo a empresa liquidar neste 
período apenas os juros mensais. Neste cenário, o fl uxo de pagamentos será 
o seguinte (Quadro 3):
Sistema de amortização constante com carência10
Mês
Parcela (a)
(b)t + (c)t
Juros (b)
(d)t − 1 × taxa % Amortização (c)
Saldo 
devedor (d)
(d)t − 1 − (c)t
0 — — — 120.000
1 1.800 1.800 — 120.000
2 1.800 1.800 — 120.000
3 1.800 1.800 — 120.000
4 11.800 1.800 10.000 110.000
5 11.650 1.650 10.000 100.000
6 11.500 1.500 10.000 90.000
7 11.350 1.350 10.000 80.000
8 11.200 1.200 10.000 70.000
9 11.050 1.050 10.000 60.000
10 10.900 900 10.000 50.000
11 10.750 750 10.000 40.000
12 10.600 600 10.000 30.000
13 10.450 450 10.000 20.000
14 10.300 300 10.000 10.000
15 10.150 150 10.000 —
Total 137.100 17.100 120.000 —
Legenda:
t = mês atual
t − 1 = mês anterior
Quadro 3. SAC com parcela parcial
11Sistema de amortização constante com carência
Note que os juros são normalmente apurados sobre o saldo devedor. 
No entanto, como não há amortização em razão da carência para a amortização, 
somente os juros são pagos. Nos três primeiros meses, portanto, o saldo devedor 
vai ser exatamente o mesmo, uma vez que o pagamento de juros não o reduz. O 
saldo devedor corresponde, então, apenas à remuneração que se dá ao banco pelo 
empréstimo. A partir do quarto mês, o fluxo segue normalmente, considerando 
o pagamento de juros e a fatia que se refere à amortização do saldo devedor.
Carência total
Na modalidade de carência total, há carência tanto de amortização quanto de 
pagamento de juros, isto é, os juros apurados no período de carência elevam 
o saldo devedor. Considerando os dados do mesmo exemplo (captação de R$ 
120.000, para pagamento em 12 parcelas mensais, a uma taxa de 1,5% a.m.), 
mas com carência total de 3 meses, a tabela pelo SAC fi ca a seguinte (Quadro 4): 
Mês
Parcela (a)
No período de 
carência = 0
No período 
pós-carência:
(b)t + (c)t
Juros (b)
(d)t − 1 × 
taxa % Amortização (c)
Saldo 
devedor (d)
No período 
de carência:
(d)t − 1 + (b)t
No período 
pós-carência:
(d)t − 1 − (c)t
0 — — — 120.000,00
1 — 1.800,00 — 121.800,00
2 — 1.827,00 — 123.627,00
3 — 1.854,41 — 125.481,41
4 12.339,00 1.882,22 10.456,78 115.024,63
5 12.182,15 1.725,37 10.456,78 104.567,85
6 12.025,30 1.568,52 10.456,78 94.111,07
7 11.868,45 1.411,67 10.456,78 83.654,29
Quadro 4. SAC com carência total
(Continua)
Sistema de amortização constante com carência12
Os juros foram normalmente calculados sobre o saldo devedor. Entre-
tanto, como não houve pagamento no período, o saldo devedor aumentou ao 
longo do período de carência, uma vez que os juros apurados e não pagos são 
incorporados a esse saldo. A amortização, que seria normalmente calculada 
dividindo-se o valor captado pela quantidade de parcelas, com a carência total 
passa a ser calculada da seguinte forma:
Mês
Parcela (a)
No período 
de carência 
= 0
No período 
pós-carência:
(b)t + (c)t
Juros (b)
(d)t − 1 × 
taxa % Amortização (c)
Saldo 
devedor (d)
No período 
de carência:
(d)t − 1 + (b)t
No período 
pós-carência:
(d)t − 1 − (c)t
8 11.711,59 1.254,81 10.456,78 73.197,51
9 11.554,74 1.097,96 10.456,78 62.740,73
10 11.397,89 941,11 10.456,78 52.283,95
11 11.241,04 784,26 10.456,78 41.827,17
12 11.084,19 627,41 10.456,78 31.370,39
13 10.927,34 470,56 10.456,78 20.913,61
14 10.770,48 313,70 10.456,78 10.456,83
15 10.613,68 156,85 10.456,83(*) —
Total 137.715,85 17.715,85 125.481,41 —
Legenda:
t = mês atual
t − 1 = mês anterior
(*) A amortização do último mês foi ajustada em R$ 0,05 em razão da dízima periódica no valor 
da amortização. 
Quadro 4. SAC com carência total
(Continuação)
13Sistema de amortização constante com carência
Por isso, neste exemplo, o valor da amortização mensal é R$ 10.456,78:
Neste caso, os juros ficam maiores que os juros que teríamos no cenário 
sem carência ou com carência parcial, afinal o saldo devedor aumentou ao 
longo dos meses de carência porque os pagamentos não ocorreram.
Ao se captar um empréstimo ou financiamento, em especial de longo prazo, 
há que se observar todas as condições contratuais, como taxa de juros, prazo, 
método de amortização aplicável, além do tipo de fluxos de pagamentos: sem 
carência, com carência parcial
ou com carência total. Dessa forma, é possível 
tomar uma decisão de endividamento de forma consciente, inclusive avaliando 
a real necessidade de se postergar pagamentos por meio da carência, afinal, 
a escolha pela carência, seja parcial seja total, resulta em maior montante de 
juros e pagamentos totais.
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Sistema de amortização constante com carência14