Equações Diferenciais Parciais e Séries - Ta3 - Aula Atividade Tutor

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AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
AULA 
ATIVIDADE 
TUTOR 
 
Curso: 
Licenciatura em Matemática 
 
 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
Disciplina: Equações Diferenciais Parciais e Séries 
Teleaula: 03 – Introdução às Equações Diferenciais Parciais 
 
Introdução às Equações Diferenciais Parciais 
 
Prezado(a) tutor(a), 
A aula atividade tem a finalidade de promover o autoestudo das competências e 
conteúdos relacionados à Unidade de Ensino: Introdução às Equações Diferenciais 
Parciais. Ela terá a duração de 1h20min. Oriente os alunos seguindo todas as orientações 
indicadas e estimule-os a tirar as dúvidas que surgirem. 
 
Bom trabalho! 
 
 
ATIVIDADE 1 
Classifique as equações diferenciais parciais abaixo quanto a linearidade e a ordem. 
(a) 𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) 
(b) 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = 1 
(c) (𝑢𝑥(𝑥, 𝑦))
2
+ 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = 0 
Resposta esperada: 
(a) 𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦)  EDP linear de primeira ordem 
(b) 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = 1  EDP linear de segunda ordem 
(c) (𝑢𝑥(𝑥, 𝑦))
2
+ 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = 0  EDP não-linear de primeira ordem 
ATIVIDADE 2 
Para que a técnica de separação de variáveis possa ser utilizada para resolver uma 
equação diferencial parcial, é necessário que a equação seja separável. Com base nisto, 
 
 
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analise as equações diferenciais parciais abaixo e verifique qual(is) das equações não 
é(são) separável(eis). 
(a) 𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) − 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = 0 
(b) 𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) − 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) 
(c) 𝑥𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) − 𝑦𝑢𝑦(𝑥, 𝑦) = 0 
(d) 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑢𝑥𝑦(𝑥, 𝑦) + 𝑢𝑦𝑦(𝑥, 𝑦) = 0 
(e) 𝛼2𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑢𝑦𝑦(𝑥, 𝑦) 
Resposta esperada: 
A única EDP que não é separável é 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑢𝑥𝑦(𝑥, 𝑦) + 𝑢𝑦𝑦(𝑥, 𝑦) = 0, pois 
apresenta uma derivada parcial de segunda ordem em relação a 𝑥 e a 𝑦, ou seja, 
𝑢𝑥𝑦(𝑥, 𝑦). 
ATIVIDADE 3 
Considere a equação diferencial parcial 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) + 𝑢𝑡𝑡(𝑥, 𝑡) = −𝑢(𝑥, 𝑡). Verifique se a 
função 𝑢(𝑥, 𝑡) = cos(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑡) é solução da equação dada. 
Resposta esperada: 
Precisamos calcular as derivadas parciais 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) e 𝑢𝑡𝑡(𝑥, 𝑡) e substituir na EDP 
dada e verificar se a identidade é obtida. 
𝑢(𝑥, 𝑡) = cos(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑡)  𝑢𝑥(𝑥, 𝑡) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)  𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) = − cos(𝑥) 
𝑢(𝑥, 𝑡) = cos(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑡)  𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝑡)  𝑢𝑡𝑡(𝑥, 𝑡) = −𝑠𝑒𝑛(𝑡) 
Substituindo no lado esquerdo da EDP: 
𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) + 𝑢𝑡𝑡(𝑥, 𝑡) = −𝑢(𝑥, 𝑡) 
−𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑡) = −𝑢(𝑥, 𝑡) 
−(𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑡)) = −𝑢(𝑥, 𝑡) 
A identidade se verifica, portanto, a função 𝑢(𝑥, 𝑡) = cos(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑡) é solução da 
EDP 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) + 𝑢𝑡𝑡(𝑥, 𝑡) = −𝑢(𝑥, 𝑡). 
 
 
 
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ATIVIDADE 4 
Ao se utilizar o método de separação de variáveis para solucionar uma equação 
diferencial parcial, por exemplo, a equação de calor, devemos solucionar equações 
diferenciais ordinárias de segunda ordem. Considere a equação diferencial ordinária de 
segunda ordem linear homogênea de coeficientes constates dada abaixo sujeita às 
condições iniciais fornecidas. Essa equação diferencial modela o movimento retilíneo 
uniformemente variado de certo objeto. 
{
𝑥"(𝑡) + 28𝑥′(𝑡) + 196𝑥(𝑡) = 0, 𝑡 > 0, 𝑥 > 0
𝑥(0) = 0,05 𝑚 
𝑥′(0) = 0 𝑚/𝑠 
 
Encontre sua solução. 
Resposta esperada: 
Vamos encontrar a equação característica da EDO e resolvê-la aplicando a 
fórmula de Bhaskara: 
𝑥"(𝑡) + 28𝑥′(𝑡) + 196𝑥(𝑡) = 0 
𝑟2 + 28𝑟 + 196 = 0 
𝑟 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−28 ± √282 − 4(1)(196)
2(1)
= 
−28 ± √0
2
= −14 
Possíveis soluções de uma EDO de segunda ordem linear homogênea de 
coeficientes constates: 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆> 0 ∆= 0 ∆< 0 → 𝑟 = 𝑎 + 𝑖𝑏 
𝑥(𝑡) 𝑐1𝑒
𝑟1𝑡 + 𝑐2𝑒
𝑟2𝑡 𝑐1𝑒
𝑟𝑡 + 𝑐2𝑡𝑒
𝑟𝑡 𝑒𝑎𝑡(𝑐1 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) + 𝑐2 𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑡)) 
Como a equação característica possui duas raízes reais iguais, sua solução é da 
forma: 
𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑒
𝑟𝑡 + 𝑐2𝑡𝑒
𝑟𝑡 
𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑒
−14𝑡 + 𝑐2𝑡𝑒
−14𝑡 
Aplicando a as condições iniciais fornecidas: 
(1) 𝑥(0) = 0,05 𝑚 
𝑥(0) = 𝑐1𝑒
0 + 𝑐2(0)𝑒
−14(0) = 0,05  𝑐1 = 0,05 
 
 
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𝑥(𝑡) = 0,05𝑒−14𝑡 + 𝑐2𝑡𝑒
−14𝑡 
(2) 𝑥′(0) = 0 𝑚/𝑠 
𝑥′(𝑡) = 0,05(−14)𝑒−14𝑡 + 𝑐2𝑒
−14𝑡 + 𝑐2𝑡(−14)𝑒
−14𝑡 
𝑥′(0) = −0,70𝑒0 + 𝑐2𝑒
0 − 14𝑐2(0)𝑒
0 = 0  𝑐2 = 0,70 
Logo, a solução da EDO de segunda ordem é dada por: 
𝑥(𝑡) = 0,05𝑒−14𝑡 + 0,70𝑡𝑒−14𝑡 
ATIVIDADE 5 
Considere o problema de propagação de calor unidimensional dado abaixo. 
{
𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) = 𝑢𝑡(𝑥, 𝑡), 𝑡 > 0, 0 < 𝑥 < 1
𝑢(𝑥, 0) = 5𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥), 0 < 𝑥 < 1 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(1, 𝑡) = 0, t > 0 
 
Verifique se a função 𝑢(𝑥, 𝑡) = 5𝑒−4𝜋
2𝑡𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥) é solução do problema dado. 
Resposta esperada: 
Vamos verificar se a função 𝑢(𝑥, 𝑡) = 5𝑒−4𝜋
2𝑡𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥) satisfaz a equação 
diferencial parcial 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) = 𝑢𝑡(𝑥, 𝑡). 
𝑢(𝑥, 𝑡) = 5𝑒−4𝜋
2𝑡𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥) 
𝑢𝑥(𝑥, 𝑡) = 10𝜋𝑒
−4𝜋2𝑡𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑥) 
𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) = −20𝜋
2𝑒−4𝜋
2𝑡𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥) 
𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) = −20𝜋
2𝑒−4𝜋
2𝑡𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥) 
Logo: 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) = 𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) 
Agora vamos verificar se a função 𝑢(𝑥, 𝑡) = 5𝑒−4𝜋
2𝑡𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥) satisfaz as 
condições iniciais e de contorno. 
𝑢(𝑥, 0) = 5𝑒−4𝜋
2(0)𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥) = 5𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥) (ok) 
𝑢(0, 𝑡) = 5𝑒−4𝜋
2𝑡𝑠𝑒𝑛(0) = 0 (ok) 
𝑢(1, 𝑡) = 5𝑒−4𝜋
2𝑡𝑠𝑒𝑛(2𝜋) = 0 (ok) 
 
 
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ATIVIDADE 6 
Suponha que estamos interessados em escrever a equação do calor para uma barra de 
30 𝑐𝑚 condutividade térmica (𝛼) igual a 5, e cuja distribuição inicial de temperatura é 
dada pelo gráfico abaixo e tem temperaturas fixadas iguais a zero nos extremos. Como 
ficaria a equação? 
 
Dado: 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) = 𝐾𝑢𝑡𝑡(𝑥, 𝑡) onde 𝐾 = 1/𝛼
2. 
Resposta esperada: 
𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) = 𝐾𝑢𝑡(𝑥, 𝑡)  𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) =
1
𝛼2
𝑢𝑡(𝑥, 𝑡)  α
2𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) = 𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) 
A equação do calor neste caso é dada por: 25 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) = 𝑢𝑡(𝑥, 𝑡), pois a 
constante de condutividade (1/𝐾) é igual a 5. 
Precisamos, inicialmente, descrever a função 𝑢(𝑥, 0). O gráfico é composto por 
três segmentos de reta; logo, a função será dada por partes, com três expressões: 
uma função 𝑓1(𝑥) para 𝑥 ∈ [0,10]; uma função 𝑓2(𝑥) para 𝑥 ∈ [10,20]; e, finalmente, 
uma função 𝑓3(𝑥) para 𝑥 ∈ [20,30]. 
Note que o gráfico de 𝑓1(𝑥) é uma reta que passa pelos pontos (0,0) e (10,10), 
logo 𝑓1(𝑥) = 𝑥. 
Já 𝑓2(𝑥) é constante e igual a 10, logo 𝑓2(𝑥) = 10. 
Finalmente, o gráfico de 𝑓3(𝑥) é uma reta que passa por (20,10) e (30,0), logo 
𝑓3(𝑥) = 30 − 𝑥. Portanto, temos o problema de condução de calor dada por: 
{
 
 
 
 
25 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) = 𝑢𝑡(𝑥, 𝑡), 𝑡 > 0, 0 < 𝑥 < 30
𝑢(𝑥, 0) = {
𝑥, 0 < 𝑥 < 10 
10, 10 < 𝑥 < 20 
30 − 𝑥, 20 < 𝑥 < 30
 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(30, 𝑡) = 0 
 
 
 
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ATIVIDADE 7 
Considere uma barra metálica de 30 𝑐𝑚 que tem os extremos isolados. Suponha que a 
temperatura inicial da barra é de 10 °C e as extremidades são sempre mantidas a 0 °C. 
Suponha que a constante de condutividade térmica (𝛼) é igual a 1. Obtenha uma função 
que descreva a evolução da temperatura da barra. 
Dado: 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) = 𝐾𝑢𝑡𝑡(𝑥, 𝑡) onde 𝐾 = 1/𝛼
2. 
Resposta esperada: 
𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) = 𝐾𝑢𝑡(𝑥, 𝑡)  𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) =
1
𝛼2
𝑢𝑡(𝑥, 𝑡)  α
2𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) = 𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) 
O problema de propagação do calor neste caso é dado por: 
{
𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) = 𝑢𝑡(𝑥, 𝑡), 𝑡 > 0, 0 < 𝑥 < 30
𝑢(𝑥, 0) = 10, 0 ≤ 𝑥 ≤ 30 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(30, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0 
 
A solução geral da equação do calor é da forma: 
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑𝑐𝑛 𝑒
−(𝑛2𝜋2 𝐾𝐿2⁄ )𝑡𝑠𝑒𝑛
(
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
 
𝑐𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
 
Mas: 𝐿 = 30, 𝑓(𝑥) = 10 𝑒 𝐾 = 1: 
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑𝑐𝑛 𝑒
−(𝑛2𝜋2 900⁄ )𝑡𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
30
)
∞
𝑛=1
 
𝑐𝑛 =
2
30
∫ 10 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
30
) 𝑑𝑥
30
0
=
2
3
∫ 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
30
) 𝑑𝑥
30
0
=
2
3
(
30
𝑛𝜋
) [−𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋𝑥
30
)]
30
0
 
= −(
20
𝑛𝜋
) [𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) − 1] = (
20
𝑛𝜋
) [1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋)] = (
20
𝑛𝜋
) [1 − (−1)𝑛] 
𝑐𝑛 = {
40/𝑛𝜋, para 𝑛 ímpar
0, para 𝑛 par 
 
𝑢(𝑥, 𝑡) =
40
𝜋
∑
𝑒−(𝑛
2𝜋2 900⁄ )𝑡
(2𝑛 − 1)
𝑠𝑒𝑛 (
(2𝑛 − 1)𝜋𝑥
30
)
∞
𝑛=1
 
 
 
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