Lista2_SistemasLineares

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Câmpus Campo Mourão
Profa. MSc. Tatiane Cazarin da Silva
CÁLCULO NUMÉRICO
2a Lista de exercícios
1. Classifique e resolva, se possível, os seguintes sistemas de equações lineares:
(a)

4x− y − 3z = 15
3x− 2y + 5z = −7
2x+ 3y + 4z = 7
(b)
{
x+ 4y + 6z = 0
−3
2
− 6y − 9z = 0 (c)

x+ 2y + 3z = 10
3x+ 4y + 6z = 23
3x+ 2y + 3z = 10
2. (APS) Resolva os sistemas lineares a seguir usando os métodos pedidos:
(a) Eliminação de Gauss
4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5
x1 − x2 − x3 − x4 = −1
x1 + x2 + x3 + x4 = 3
(b) Fatoração LU
2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 7
x1 − x2 + 2x3 − x4 = 1
3x1 + 2x2 − 3x3 − 2x4 = 4
4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 12
(c) Fatoração de Cholesky
16x1 + 4x2 + 8x3 + 4x4 = 32
4x1 + 10x2 + 8x3 + 4x4 = 26
8x1 + 8x2 + 12x3 + 10x4 = 38
4x1 + 4x2 + 10x3 + 12x4 = 30
4. Usando o método da Eliminação de Gauss, verificar que o sistema:
x1 + 4x2 + αx3 = 6
2x1 − x2 + 2αx3 = 3
αx1 + 3x2 + x3 = 5
(a) possui uma única solução quando α = 0;
(b) possui infinitas soluções quando α = 1;
(c) não tem solução quando α = −1.
5. Sistemas mal condicionados são aqueles nos quais pequenas mudanças nos coeficientes resultam em
grandes mudanças nas soluções. Como os erros de arredondamento podem induzir pequenas mudanças
nos coeficientes, essas mudanças artificiais são capazes de conduzir a erros grandes nas soluções nos sistemas
mal condicionados. (CHAPRA, S. C. e CANALE, R. P. Métodos Numéricos para Engenharia. McGraw-
Hill, 2008). Com base nessa informação resolva o sistema{
x1 + 2x2 = 10
1, 1x1 + 2x2 = 10, 4
Em seguida, resolva novamente com o coeficiente de x1 na segunda equação levemente modificado para
1,5. Compare as soluções encontradas.
6. Use a Eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial para resolver o sistema{
x1 + 2x2 = 10
1, 1x1 + 2x2 = 10, 4
7. Resolva o seguinte sistema de equações por decomposição LU
8x1 + 4x2 − x3 = 11
−2x1 + 5x2 + x3 = 4
2x1 − x2 + 6x3 = 7
8. Resolva o sistema linear abaixo pelo método de Cholesky
x1 + 2x2 − 1x3 = 1
2x1 + 4x2 − x3 = 1
−x1 − x2 + 2x3 − x4 = 1
−x3 + 2x4 = 1
9. É possível resolver o sistema abaixo pelo método de Cholesky? Comente.
 1 2 12 2 2
1 2 2
 .
 x1x2
x3
 =
 56
7

10. Aplicando-se a decomposição LU a matriz A =

. . . . . . 3 . . .
4 −1 10 8
. . . −3 12 11
0 −2 −5 10
, obtêm-se as matrizes
L =

. . . 0 . . . . . .
2 . . . . . . . . .
3 0 . . . 0
0 . . . 1 . . .
 e U =

. . . −1 . . . 5
. . . 1 . . . −2
. . . 0 3 −4
0 . . . 0 10
 .
Preencher os espaços pontilhados com valores adequados.
10. Considere o circuito da figura a seguir, com resistência e baterias tal como indicado. Escolheu-se
arbitrariamente as orientações das correntes.
Aplicando a Lei de Kirchoff, que diz que a soma algébrica das diferenças de potencial em qualquer
circuito fechado é zero, foram determinadas as correntes a1, a2 e a3:
6i1 + 10(i1 − i2) + 4(i1 − i3)− 26 = 0
5i2 + 5i2 + 5(i2 − i3) + 10(i2 − i1) = 0
11i3 + 4(i3 − i1) + 5(i3 − i2)− 7 = 0
(a) É possível resolver o sistema pelo método da decomposiçao LU? Justifique.
(b) É possível resolver o sistema pelo método de Cholesky? Justifique.
(c) Resolva o sistema pelo método de Gauss.