lista7_v2

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Lista 7 - v1 - IEDO
1) O movimento de um bloco de massa m em um sistema massa-mola pode ser descrito pela
seguinte equação diferencial:
m
d2x
dt2
+ β
dx
dt
+ kx = f(t), (1)
onde x(t) é a posição do bloco, k é a constante elástica da mola, β é a constante de amortecimento
e f(t) é a força externa que age sobre o sistema. Nos itens a seguir, ache a equação do movimento
e a expressão que descreve a velocidade x′(t) do bloco.
(a) Considere que m = 2kg, k = 6N/m, que não haja forças externas atuando sobre o sistema
e que as forças de amortecimento são despreźıveis (β = 0) e suponha que no tempo t = 0s
tenhamos x(0) = 0m e x′(0) = −0, 5m/s.
(b) Considere que m = 2kg, k = 6N/m, que não haja forças externas atuando sobre o sistema
e que as forças de amortecimento são despreźıveis (β = 0) e suponha que no tempo t = 0s
tenhamos x(0) = 0, 01m e x′(0) =
√
3
10m/s.
(c) Considere que m = 2kg, β = 8Ns/m, k = 8N/m, que não haja forças externas atuando
sobre o sistema e suponha que no tempo t = 0s tenhamos x(0) = 0, 05m e x′(0) = −0, 2m/s.
(d) Considere que m = 1kg, β = 2Ns/m, k = 5N/m e que f(t) = 5cos(t) (newtons) e suponha
que no tempo t = 0s tenhamos x(0) = 0m e x′(0) = 0m/s.
(e) Considere que m = 1kg, β = 2Ns/m, k = 5N/m e que f(t) = 5cos(t) (newtons) e suponha
que no tempo t = 0s tenhamos x(0) = 0, 1m e x′(0) = 0, 5m/s.
2) A carga elétrica Q(t) de um capacitor em um circuito RLC série pode ser descrita pela seguinte
equação diferencial:
L
d2Q
dt2
+R
dQ
dt
+
1
C
Q = V (t), (2)
onde L é a indutância do indutor, R é a resistência do resistor, C é a capacitância do capacitor e
V (t) é a diferença de potencial gerada pela fonte geradora. Nos itens a seguir, ache a expressão
para a carga elétrica no capacitor e para a corrente I(t) = dQdt que passa pelo circuito.
(a) Considere que L = 0, 25H, R = 10Ω, C = 10−3F e V (t) = 0V e suponha que no tempo
t = 0s tenhamos Q(0) = 5C e I(0) = 0A.
(b) Considere que L = 0, 05H, R = 2Ω, C = 10−2F e V (t) = 2V e suponha que no tempo t = 0s
tenhamos Q(0) = 0C e I(0) = 0A.
(c) Considere que L = 0, 25H, R = 20Ω, C = 1300F e V (t) = 15V e suponha que no tempo
t = 0s tenhamos Q(0) = 0C e I(0) = 0A.
(d) Considere que L = 1H, R = 2Ω, C = 0, 25F e V (t) = sen(t) (volts) e suponha que no tempo
t = 0s tenhamos Q(0) = 0C e I(0) = 0A.
(e) Considere que L = 1H, R = 2Ω, C = 0, 25F e V (t) = sen(t) (volts) e suponha que no tempo
t = 0s tenhamos Q(0) = 0, 4C e I(0) = 0A.
1
Respostas
1) (a) x(t) = − 1
2
√
3
sen(
√
3t) e x′(t) = −12cos(
√
3t).
(b) x(t) = 1100cos(
√
3t) + 110sen(
√
3t) e x′(t) =
√
3
10 cos(
√
3t)−
√
3
100sen(
√
3t).
(c) x(t) = 120e
−2t − 110 te
−2t e x′(t) = −15e
−2t + 15 te
−2t.
(d) x(t) = e−t(−cos(2t)− 34sen(2t)) + cos(t) +
1
2sen(t) e
x′(t) = e−t(−12cos(2t) +
11
4 sen(2t)) +
1
2cos(t)− sen(t).
(e) x(t) = e−t(− 910cos(2t)−
9
20sen(2t)) + cos(t) +
1
2sen(t) e
x′(t) = 94e
−tsen(2t) + 12cos(t)− sen(t).
2) (a) Q(t) = e−20t(5cos(60t) + 53sen(60t)) e I(t) = −
1000
3 e
−20tsen(60t).
(b) Q(t) = e−20t(− 150cos(40t)−
1
100sen(40t)) +
1
50 e I(t) = e
−20tsen(60t).
(c) Q(t) = − 340e
−20t + 140e
−60t + 120 e I(t) =
3
2e
−20t − 32e
−60t.
(d) Q(t) = e−t( 213cos(
√
3t)− 1
13
√
3
sen(
√
3t))− 213cos(t) +
3
13sen(t) e
I(t) = e−t(− 313cos(
√
3t)− 5
√
3
39 sen(
√
3t)) + 313cos(t) +
2
13sen(t).
(e) Q(t) = e−t(3665cos(
√
3t) + 21
65
√
3
sen(
√
3t))− 213cos(t) +
3
13sen(t) e
I(t) = e−t(− 313cos(
√
3t)− 43
√
3
65 sen(
√
3t)) + 313cos(t) +
2
13sen(t).
2