TABELA - Parametrização - Regra da Cadeia - Derivação Implicita

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CÁLCULO III 
 
 
Parametrização de Curvas 
 
a)Circunferência com Centro (x0, y0) 
 
22
0
2
0 a)()( =−+− yyxx 
 
pi20 ,)sen a()cosa()( 00 ≤≤+++= tjtyitxtr
��
�
 
 
b)Elipse com Centro na Origem 
 
1
ba 2
2
2
2
=+
yx
  pi20 ,sen bcosa)( ≤≤+= tjtittr ��� 
c)Elipse com Centro (x0, y0)  1b
)(
a
)(
2
2
0
2
2
0
=
−
+
− yyxx
 
Eq. Vetorial: pi20 ,)sen b()cosa()( 00 ≤≤+++= tjtyitxtr
��
�
 
 
Plano Tangente pelo ponto 0 0 0 0P ( , , ))x y z , onde 0 0 0( , )z f x y= 
0 0 0 0
0 0 0 0
( , ) ( , )( , ) ( ) ( )f x y f x yz f x y x x y y
x y
∂ ∂
− = − + −
∂ ∂ 
Regra da Cadeia 
Seja ( , )z f x y= , onde ( ) e ( )x x t y y t= = , então ( ) ( ( ), ( ))h t f x t y t= , tem-se dh f dx f dy
dt x dt y dt
∂ ∂
= +
∂ ∂ 
Seja ( , )z f u v= , onde ( , ) e ( , )u u x y v v x y= = , então ( , ) ( ( , ), ( , ))h x y f u x y v x y= , tem-se 
h f u f v
x u x v x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ e 
h f u f v
y u y v y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
Derivação Implícita 
a)Função implícita ( )y f x= definida pela equação ( , ) 0F x y =  
F
dy x
Fdx
y
∂
− ∂
= ∂
∂
 
b)Função implícita ( , )z f x y= definida pela equação ( , , ) 0F x y z =  
F
z x
Fx
z
∂
−∂ ∂
= ∂∂
∂
 e 
F
z y
Fy
z
∂
−∂ ∂
= ∂∂
∂
 
c)Funções ( ) e ( )y y x z z x= = definida por ( , , ) 0( , , ) 0
F x y z
G x y z
=

=
  
( , )
( , )
( , )
( , )
F G
dy x z
F Gdx
y z
∂
− ∂
= ∂
∂
 e 
( , )
( , )
( , )
( , )
F G
dz y x
F Gdx
y z
∂
− ∂
= ∂
∂
 
d)Funções ( , ) e ( , )x x u v y y u v= = definida por ( , , , ) 0( , , , ) 0
F x y u v
G x y u v
=

=
  
( , )
( , )
( , )
( , )
F G
x u y
F Gu
x y
∂
−∂ ∂
= ∂∂
∂
 e 
( , )
( , )
( , )
( , )
F G
y x u
F Gu
x y
∂
−∂ ∂
= ∂∂
∂
 
( , )
( , )
( , )
( , )
F G
x v y
F Gv
x y
∂
−∂ ∂
= ∂∂
∂
 e 
( , )
( , )
( , )
( , )
F G
y x v
F Gv
x y
∂
−∂ ∂
= ∂∂
∂