Maximização de Lucro em Empresas

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Questões Maximização do Lucro
1. Suponha que você seja administrador de uma empresa fabricante de relógios de pulso, operando em um mercado competitivo. Seu custo de produção é expresso pela equação: C = 100 + Q2, em que Q é o nível de produção e C é o custo total. (O custo marginal de produção é 2Q. O custo fixo de produção é de $100.)
a.	Se o preço dos relógios for $60, quantos relógios você deverá produzir para maximizar o lucro?
Os lucros são máximos quando o custo marginal é igual à receita marginal. No caso em questão, a receita marginal é igual a $60; tendo em vista que, em um mercado competitivo, o preço é igual à receita marginal:
60 = 2Q, ou Q = 30.
b.	Qual será o nível de lucro?
O lucro é igual à receita total menos o custo total:
 = (60)(30) - (100 + 302) = $800.
c.	Qual será o preço mínimo no qual a empresa apresentará uma produção positiva?
A empresa deve produzir no curto prazo se as receitas recebidas forem superiores a seus custos variáveis. Lembre que a curva de oferta de curto prazo da empresa é o trecho de sua curva de custo marginal acima do ponto de custo variável médio mínimo. O custo variável médio é dado por: . Além disso, o CMg é igual a 2Q. Logo, o CMg é maior do que o CVMe para qualquer nível de produção acima de 0 e, conseqüentemente, a empresa produz no curto prazo para qualquer preço acima de zero.
2. Suponha que o custo marginal de uma empresa competitiva para obter um nível de produção q seja expresso pela equação: CMg(q) = 3 + 2q. Se o preço de mercado do produto da empresa for $9, então:
a.	Qual será o nível de produção escolhido pela empresa?
A empresa deve igualar a receita marginal ao custo marginal para maximizar seu lucro. Dado que a empresa opera em um mercado competitivo, o preço de mercado com que se defronta é igual à receita marginal. Logo, a empresa deve escolher um nível de produção tal que o preço de mercado seja igual ao custo marginal:
9 = 3 + 2q, ou q = 3.
3. Suponha que o custo variável médio da empresa do Exercício (2) seja expresso pela equação: CVMe(q) = 3 + q. Suponha que o custo fixo da empresa seja de $3. A empresa estará auferindo lucro positivo, negativo ou zero a curto prazo?
O lucro é igual à receita total menos o custo total. O custo total é igual ao custo variável total mais o custo fixo total. O custo variável médio é dado por (CVMe)(q). Logo, para q = 3
,
CV = (3 + 3)(3) = $18.
O custo fixo é igual a $3.
Logo, o custo total, dado por CV mais CF, é
CT = 18 + 3 = $21.
A receita total é dada pela multiplicação do preço pela quantidade:
RT = ($9)(3) = $27.
O lucro, dado pela receita total menos o custo total, é:
 = $27 - $21 = $6.
Logo, a empresa aufere lucro econômico positivo.
A solução poderia ser obtida de forma alternativa. O
 lucro é igual ao excedente do produtor menos o custo fixo; dado que, na questão 3, o excedente do produtor foi calculado em $9, o lucro deve ser igual a 9-3, ou seja, $6.
4.Uma empresa produz y utilizando dois fatores de produção x1 e x2 de acordo com a função de produção: Y = 100x1½x21/4. A empresa se depara com os preços p,w1 e w2 para y, x1 e x2, respectivamente. Encontre a demanda por fatores de produção e a oferta de produto.
Para encontrar a demanda por fatores de produção:
Max Py–w1x1–w2x2
∏ =P(100x1½x21/4)-w1x1–w2x2
∂∏/∂x1= 50Px21/4/x1½ = w1 (1)
∂∏/∂x2= 25Px1½/x23/4= w2 (2)
(1)/(2)= 50Px21/4/x1½ = 2x2/x1=w1/w2 x1=2x2w2/w1 (3)
 25Px1½/x23/4
Substituindo em (1): 50Px21/4/(2x2w2/w1)½ = w1 x2*=(50P)4/(2w2w1)2 Que é a demanda ótima pelo fator de produção x2.
Substituindo em (3):
x1={2[(50P)4/(2w2w1)2]w2}/w1 x1*=(50P)4/2w2w13
Que é a demanda ótima pelo fator de produção x1.
Para encontrar a oferta de produto substitui-se x1* e x2* na função de produção. Então:
Y = 100[(50P)4/2w2w13]½ [(50P)4/(2w2w1)2]1/4
Y* = 504P3/w2w12
Que é o nível de produto ofertado.
5. Encontre a oferta ótima quando o custo é 
C(r1,r2,y)=r11/3r21/3y2. Sendo r o preço dos fatores de produção x1 e x2 utilizados na produção do bem y.
Você pode fazer isso de duas maneiras:
1º.:
Considere y = f(x1,x2) a função de produção. Então:
Max ∏ = P.y-r11/3r21/3y2
∂∏/∂y=P-2r11/3r21/3y = 0, P=2r11/3r21/3y, y*= P/2r11/3r21/3
2º.:
Se for considerado mercado competitivo
∂C/∂y= 2r11/3r21/3y = Custo Marginal 
Sabe-se que Custo Marginal (CMg)=Receita Marginal(RMg) é a condição de primeira ordem para maximização de lucro e que em concorrência perfeita RMg=P, então:
2r11/3r21/3y=P
y*= P/2r11/3r21/3
6. Considerando o problema de maximização de lucro e a função de produção y = f(x1,x2), forneça as condições de primeira ordem para maximização de lucro e interprete.
Sendo y = f(x1,x2)a função de produção e assumindo competição perfeita:
Max ∏ = P.f(x1,x2)-r1x1-r2x2
x1,x2
∂∏/∂x1 = P.f1 – r1 = 0
∂∏/∂x2 = P.f2 – r2 = 0
Interpretação:
f1 e f2 são respectivamente o produto marginal 1 e 2
r1 e r2 são o custo marginal do fator de produção.
Então pode-se concluir que a razão dos produtos marginais 1 e 2 é igual à razão do preço dos fatores de produção.
7. Uma empresa utiliza um único fator de produção H para fazer seu produto Q. A empresa é tomadora de preços nos mercados de fatores e do produto. Suponha que p seja o preço do produto, w seja o preço do fator de produção ou insumo e que a função de produção da empresa seja 
Q = (H-1)1/2. 
a) Derive uma expressão que descreva a oferta de produto da empresa.
Max P.Q – wH
Max P. (H-1)1/2 – wH
 H
Condição de primeira ordem: 
∂∏/∂H = 1/2P(H-1)-1/2-w = 0
1/2P(H-1)-1/2=w
P(H-1)-1/2=2w ou P/(H-1)1/2=2w ou P/2w=(H-1)1/2 ou Q = P/2w
Que é a oferta de produto pela empresa.
b)Derive uma expressão que descreva como a oferta do produto da empresa se modifica com um pequeno aumento no preço do insumo. Essa resposta é positiva ou negativa?
 Q = P/2w ou Q = P.w-1/2
∂Q/∂w = - P.w-2/2 = -P/2w2 < 0
8.Uma empresa tomadora de preços tem a seguinte função de produção Q = 3K1/2+4L1/2. Onde os fatores de produção K e L tem preços r e w respectivamente e o produto gerado pela empresa tem preço p. No curto prazo K é fixo. No longo prazo ambos os fatores são variáveis.
a) Derive a função de custo total no curto prazo 
b) Derive a função de custo marginal no curto prazo
c) Derive a função de custo total no longo prazo
d) Derive a função de custo marginal no longo prazo
a)Min rK+wL
 sujeito a Q = 3K1/2+4L1/2
L1/2 = (Q-3K1/2)/4 ou L*=(Q-3K1/2)2/16 
Custo Total no curto prazo:rK + w[(Q-3K1/2)2/16]
b)∂CT/∂Q = Custo Marginal = ∂{rK + w[(Q-3K1/2)2/16]}/∂Q = 
w/8(Q-3K1/2)
c)No longo prazo:
Min rK+wL
 sujeito a Q = 3K1/2+4L1/2
 = rK+wL-(3K1/2+4L1/2-Q)
∂/∂K=r-3/2K-1/2 = 0 (1)
∂/∂L=w-2L-1/2 = 0 (2)
∂/∂=3K1/2+4L1/2=Q (3)
(1)/(2): r/w = 3L1/2/4K1/2
4rK1/2=3wL1/2 então K = (3w/4r)2L, substituindo em (3):
3.3w/4r.L1/2 + 4L1/2 = Q ou (9w/4r+4)L1/2 = Q
L*= [Q/((9w/4r)+4)]2
K*= (3w/4r)2[Q/((9w/4r)+4)]2
Custo Total(CT)= 
r 3w 2 Q 2+w Q__ 2
 4r 9w+4 9w+4 
 4r 4r
d) Custo Marginal = 2r 3w 2 Q +2w Q__ 
 4r 9w+4 2 9w+4 2
 4r 4r
9.Uma empresa competitiva opera com duas plantas ambas produzindo bens idênticos. Para a primeira planta os custos são C1 = 10 + q12 e para a segunda C2 = 3 + 1/2q22
1. Mostre os custos marginais de cada planta
1. Se o preço de mercado é $20,00. Quanto cada planta deve produzir?
1. Qual é o lucro de cada planta?
Respostas
1. CMg1 = 2q1 e CMg2 = q2
1. A condição ótima é: CMg1 = CMg2 = 20, então:
2q1 = 20, q1 = 10 e q2 = 20
1. Lucro da planta 1: ∏1 = 20q1 – (10 + q12) = 20(10)–10- (10)2 = 90
Lucro da planta 2: ∏2 = 20q2 – (3 + 1/2q22) = 20(20)–3- ½(20)2 = 197
10.Considerando o Custo total C = 10 + y + 2y2 e sendo y o nível de produção e o preço competitivo por unidade de $17,00, determine o nível ótimo de y e o lucro da empresa sob referência.
Respostas
∏ = 17y – (10 + y + 2y2) = 16y – 10 – 2y2
∂∏/∂y = 16 -4y = 0, que é a condição para lucro máximo, então y* = 4. Substituindo nafunção lucro tem-se que: ∏ = 16(4) – 10 – 2(4)2 = $22. Ou seja o lucro da firma é $22,00.
Q
Q
Q
Q
CV
=
=
2