FEA_AC_06_2022

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UNICARIOCA
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO 
ESPECIALIZAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS 
01- Uma caixa de ovos com 6 unidades possui
probabilidade de 5% de ser quebrado em 3 situações:
enquanto é manuseado, no transporte e nas gôndolas.
Qual a probabilidade de na mesma caixa de ovos
existirem 2 unidades quebradas?
EXEMPLOS
NO R
Exemplos
02- Em uma fábrica de lâmpadas há uma linha de
produção apenas para lâmpadas incandescentes.
O embalamento é feito de forma que 10 unidades das
lâmpadas são colocadas em cada embalagem.
O gestor sabe que, dessa linha de produção, a
probabilidade de sair uma lâmpada com defeito
corresponde a 5%.
Ele deseja saber...
Qual a probabilidade de serem embaladas 3 lâmpadas
com defeito na mesma embalagem?
NO R
FUNDAMENTOS DE 
ESTATÍSTICA APLICADA
ANÁLISE COMPUTACIONAL
DISTRIBUIÇÕES DE
PROBABILIDADE CONTÍNUA
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
T132 - ESTRUTURA DE DADOS - NOTA V2
MODA
ASSIMETRIA – DEFORMAÇÃO ?
MODA
T146 - ALGORITMOS-II - NOTA V1
MODA
ASSIMETRIA – DEFORMAÇÃO ?
MODA
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
1 MANUEL
T927 - ESTRUTURA DE DADOS - NOTA - V2
MODA
ASSIMETRIA - DEFORMAÇÃO
MENOR...
MODA
VIRTUAL- A – ESTATÍSTICA - NOTA V2
MODA
MODA
ASSIMETRIA ?
The Galton Board - YouTube
Tablero de Galton - YouTube
Máquina de Galton (LADIF-UFRJ) - YouTube
VOCÊ SABIA? - Tabuleiro de Galton - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=4HpvBZnHOVI
LINKS - TABULEIRO DE GALTON
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
ALTURA E PESO DE PESSOAS
NÍVEL DE CHUVAS
ALTURA DE ÁRVORES EM UMA FLORESTA
CONTROLE DE QUALIDADE
AMOSTRAGEM - TESTE DE HIPÓTESES
 INTERVALO DE CONFIANÇA
SEGUROS - ATUÁRIA
PROBABILIDADE DE UM DECLARANTE SONEGAR
IMPOSTO (MALHA FINA DA RECEITA FEDERAL)
 ..........
É A MAIS IMPORTANTE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE
PROBABILIDADE SENDO UTILIZADA PARA DESCREVER
INÚMERAS APLICAÇÕES PRÁTICAS COMO POR EXEMPLO:
DISTRIBUIÇÃO NORMAL - EXEMPLOS
DISTRIBUIÇÃO DO QUOCIENTE DE INTELIGÊNCIA (QI)
Onde será que Madonna,
Shakira, Sharon Stone,
Nicole Kidman, Luana Araújo,
Anitta... estão nesse gráfico ?
DISTRIBUIÇÃO NORMAL - EXEMPLOS
DISTRIBUIÇÃO DA ALTURA DE UM GRUPO SE INDIVÍDUOS
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
2 MANUEL
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
50% 50%
É SIMÉTRICA !
PROBABILIDADE
A área total limitada por essa curva e pelo eixo dos x é igual a 1
ou seja, é igual a soma de todas as probabilidades. A área
compreendida entre X = a e X = b dá a probabilidade de X estar
entre a e b, ou seja, P(a ≤ X ≤ b).
)(xf
 ≤≤==
b
a
bxaPdxxfÁrea )()(
Função densidade
( )
2
2
2e.
2
1
)( σ
µ
πσ
−−
=
x
xf
Onde
µ = MÉDIA
σ = DESVIO PADRÃO
π = 3.14159  VALOR DE PI
e = 2.71828  BASE DO LOGARITMO NEPERIANO
)(xf
PROBABILIDADE 
SE X TIVER UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Função densidade
PROPRIEDADES DA NORMAL
• TEM FORMA DE SINO
• É SIMÉTRICA (MÉDIA = MODA = MEDIANA)
• É UNIMODAL
• SÃO VÁLIDOS OS VALORES DE PROBABILIDADES
EXIBIDOS NA FIGURA E TABELA ABAIXO
Intervalo
Probabilidade 
(%)
µ ± 1 σ 68,26%
µ ± 2 σ 95,45%
µ ± 3 σ 99,73%
µ = Média
σ = Desvio Padrão
PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Uma distribuição Normal é perfeitamente caracterizada
por sua média µ e sua variância σ2 e é denotada por
N(µ,σ2) ou N(µ,σ) onde σ é o desvio padrão.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO 
Uma distribuição é chamada de Normal Padrão
quando tem média µ=0 variância σ2 =1 e é denotada
por N(0,1).
PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
1. MULTIPLICANDO OU DIVIDINDO OS VALORES DE UMA
VARIÁVEL POR UMA CONSTANTE, A MÉDIA FICARÁ
MULTIPLICADA OU DIVIDIDA POR ESTA CONSTANTE.
2. SOMANDO OU SUBTRAINDO OS VALORES DE UMA
VARIÁVEL UMA CONSTANTE, A MÉDIA FICARÁ
AUMENTADA OU SUBTRAÍDA DESTA CONSTANTE.
Obs. Essas propriedades valem para TODAS as MEDIDAS DE
POSIÇÃO (MÉDIA-MODA-MEDIANA).
TRANSFORMAÇÃO DE VARIÁVEL 
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
3 MANUEL
EXEMPLO: Suponha que a variável aleatória X tem média 4.
Considere as variáveis a seguir:
Y = X + 3  somando 3
Z = 2X + 1  multiplicando por 2 e somando 1
W = X/2  dividindo por 2
Então as médias de Y, Z e W serão respectivamente:
�� = 4
�� = �� + 3
	̅ = 2�� + 1

� =
��
2
�� = 4 + 3 �� = 7
	̅ = 2 × 4 + 1 	̅ = 9

� =
4
2

� = 2
Y = X + 3
Z = 2X + 1

 =
�
2
�� = 4
EXEMPLO: Considere que as notas de 4 alunos em uma
prova de Estatística foram X = {3 ; 4 ; 6 ; 7}
A média da turma será:
MÉDIA(X) = (3 + 4 + 6 + 7) / 4 = 5
Se o professor deu 1 ponto de conceito para cada aluno.
As novas notas serão X = {4 ; 5 ; 7 ; 8}
Qual a nova média da turma?
NOVA MÉDIA = (4 + 5 + 7 + 8)/4 = 24/4 = 6
Usando a propriedade bastaria fazer:
MÉDIA NOVA = MÉDIA ANTIGA + 1 = 5 + 1 = 6
Exemplo - Suponha que a MÉDIA dos salários dos
empregados de uma empresa pública é de R$ 4.000,00 !
O sindicato negociou um aumento FIXO de R$ 200,00 reais para
cada funcionário, além de um aumento percentual de 20% sobre
o salário antigo. Qual a nova MÉDIA salarial dessa empresa?
AUMENTO FIXO = R$ 200,00  cada salário será aumentado
em R$ 200,00.
AUMENTO PERCENTUAL = 20%  cada salário será
multiplicado por 1,20 !
MÉDIA ANTIGA = R$ 4.000,00
MÉDIA NOVA = 4.000 × 1,20 + 200
MÉDIA NOVA = 4.800 + 200
MÉDIA NOVA = R$ 5.000,00 !!!!
X
Y
X
Y
MEDIDAS DE DISPERSÃO
ONDE A DISPERSÃO É MAIOR  A ou B ?
GRÁFICO - A GRÁFICO - B
VARIABILIDADE
MEDIDAS DE DISPERSÃO
x
x
n
i
= =
+ + + + + + +
=
 11 9 8 12 7 10 10 13
8
80
8
y
y
n
i
= =
+ + + + + + +
=
 2 18 1 5 19 5 0 30
8
80
8
y = 10
X = 11; 9; 8; 12; 7; 10; 10; 13
Y = 2; 18; 1; 5; 19; 5; 0; 30
x = 10
Calculando as médias dos conjuntos X e Y obtemos:
Os conjuntos X e Y são semelhantes ?
QUEM TEM A MAIOR DISPERSÃO X OU Y ?
OBSERVE OS CONJUNTOS X E Y
11
9
8
12
7
10
10
13
2
18
1
5
19
5
0
30
0
5
10
15
20
25
30
35
1 2 3 4 5 6 7 8
V
A
L
O
R
E
S
 X
-Y
OBSERVAÇÕES
DISPERSÃO X - Y
X
Y
CONJUNTOS X E Y
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
4 MANUEL
CONJUNTOS X E Y
PREVISÃO - MÉDIA MÓVEL (t = 2)
11
9
8
12
7
10
10
13
2
18
1
5
19
5
0
30
0
5
10
15
20
25
30
35
1 2 3 4 5 6 7 8
V
A
L
O
R
E
S
 X
-Y
OBSERVAÇÕES
DISPERSÃO X - Y
X
Y
2 por Média Móvel (X)
2 por Média Móvel (Y)
MEDIDAS DE DISPERSÃO
QUEM TEM A MAIOR DISPERSÃO ?
VALORES
FREQUÊNCIA
MEDIDAS DE DISPERSÃO
PRINCIPAIS MEDIDAS DE DISPERSÃO
• DESVIO PADRÃO
• VARIÂNCIA
• COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
VARIÂNCIA  Símbolos  S2 ou σ2
S2  para AMOSTRA
σ2  para POPULAÇÃO
FÓRMULA 
n
xx
S i
2
2 )( −
=

MÉDIA DOS QUADRADOS DOS DESVIOS !
xxd ii −=
xxd ii −=  Desvios em relação à média 
VARIÂNCIA  é expressa na unidade dos dados ao
quadrado!
PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA
• SOMANDO ou SUBTRAINDO uma CONSTANTE a todos os
elementos de um conjunto de dados, a variância deste
conjunto NÃO DE ALTERA.
• MULTIPLICANDO ou DIVIDINDO todos os elementos de um
conjunto de dados por uma CONSTANTE, a variância deste
conjunto fica MULTIPLICADA ou DIVIDIDA pelo QUADRADO
desta constante.
PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA
X = 1 ; 4 ; 7 ; 10
Y = 3 ; 6 ; 9 ; 12
 Y = X + 2
S2y = S2x  NÃO SE ALTERA
SOMAR/SUBTRAIR UMA CONSTANTE
X = 1 ; 4 ; 7 ; 10
Y = 4 ; 16 ; 28 ; 40
 Y = 4X
S2y = 42 × S2x
MULTIPLICAR/DIVIDIR POR UMA CONSTANTE
S2y = 42×S2x  fica multiplicada pelo QUADRADO da
constante
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
5 MANUEL
PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA
22
XY SS =
222
4 XZ SS ×=
2
2
2
4
X
W
S
S =
Exemplo: Sejam X, Y, Z e W variáveis aleatórias assim definidas:
Z = 4X + 6 
 MULTIPLICAR por uma CONSTANTE a VARIÂNCIA fica
multiplicada pelo QUADRADO da constante.
 DIVIDIR por uma constante a VARIÂNCIA fica DIVIDIDA
pelo QUADRADO da constante.
Y = X + 2 
 SOMAR uma CONSTANTE não altera a variância.
W = X/4 
PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA
SOMAR UMA CONSTANTE
SUBTRAIR UMA CONSTANTE
AS DISTÂNCIAS ENTRE OS CUBOS NÃO MUDAM!
AS DISTÂNCIAS ENTRE OS CUBOS TAMBÉM NÃO MUDAM!
MEDIDASDE DISPERSÃO
DESVIO PADRÃO  é a raiz quadrada da variância.
SÍMBOLO  S ou σ
S  para AMOSTRA
σ  para POPULAÇÃO
FÓRMULA  2SS =
Mais fácil de interpretar que a variância  é expresso
na mesma unidade dos dados originais!
MEDIDAS DE DISPERSÃO
x
S
CV =
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO = DESVIO PADRÃO / MÉDIA
Exemplo: Para um conjunto de dados relativos a estaturas
têm-se: Média =161 cm e S=5,57 cm. Achar o CV deste conjunto
de dados.
x
S
CV = %45,30345,0
161
57,5
===
cm
cm
CV
ADIMENSIONAL (%)  NÃO TEM DIMENSÃO !
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Exemplo: Consideremos os resultados das medidas de altura e
peso de um mesmo grupo de indivíduos exibidos na tabela
abaixo:
Medidas Média S
Estatura 175 cm 5,0 cm
Peso 68 Kg 2,0 Kg
Qual apresenta maior grau de dispersão - Estatura ou Peso ?
%85,20285,0
175
5
===
cm
cm
sCVEstatura
%94,20294,0
68
2
===
kg
kg
CVPeso
Podemos comparar cm com kg ?
DISPERSÃO ABSOLUTA
Variância / Desvio Padrão  Dispersão ABSOLUTA
Coeficiente de Variação  Dispersão RELATIVA
TRANSFORMAÇÃO DE VARIÁVEL
POR QUE TRANSFORMAR (NORMALIZAR) OS DADOS?
ESCALAS DIFERENTES
RENDA (Y) é 2.000 vezes maior que ANOS DE ESTUDO (X) -
intervalos de variação muito diferentes!
Regressão Linear Multivariada 
A RENDA (Y) influenciará muito o resultado devido aos valores
maiores e não necessariamente porque ela é mais importante
como um preditor de C (consumo).
EXEMPLO-01 - VARIÁVEIS 
• ANOS ESTUDO (X) - varia de 0 a 30 anos
• RENDA (Y) - varia de R$ 0,00 a R$ 60.000,00 
�� = � + �� + ��
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
6 MANUEL
TRANSFORMAÇÃO DE VARIÁVEL
ALTURA(m) PESO (kg) CLASSIF
1,65 75 PEQUENO
1,85 90 GRANDE
1,88 80 ?
EXEMPLO-02 - PROBLEMA DE CLASSIFICAÇÃO
ALTURA PESO A+P Diferença
1,65 75 76,65 5,23
1,85 90 91,85 9,97
1,88 80 81,88 PEQUENO (?)
QUAL O PROBLEMA ?
ALTURA PESO A/MédA P/MédP SOMA DIF(abs)
1,65 75 0,92 0,92 1,84 0,19
1,85 90 1,03 1,10 2,13 0,11
1,88 80 1,05 0,98 2,03 GRANDE
1,79 81,67
Médias
ALTURA(m) PESO (kg) CLASSIF
1,65 75 PEQUENO
1,85 90 GRANDE
1,88 80 ?
OUTRA SOLUÇÃO - ELIMINANDO O EFEITO DAS UNIDADES (ESCALA) 
SEMPRE QUE SE USAR COMO MÉTRICA A DISTÂNCIA EUCLIDIANA....
TRANSFORMAÇÃO DE VARIÁVEL
VARIÁVEL ALEATÓRIA X
XXdeMédia 
XSXdePadrãoDesvio 
VARIÁVEL ALEATÓRIA TRANSFORMADA Z
XS
XX
Z
−
= 0=
−
=
XS
XX
ZZdeMédia
1==
X
X
Z S
S
SZdePadrãoDesvio
!!!!. CONSTANTESsãoSeXObs X
TRANSFORMAÇÃO DE VARIÁVEL
EXEMPLO - VARIÁVEL ALEATÓRIA X
4= XXdeMédia
3= XSXdePadrãoDesvio
VARIÁVEL ALEATÓRIA TRANSFORMADA Z
3
4−
=
X
Z
0
3
0
3
44
3
4
==
−
=
−
=
X
Z
1
3
3
3
=== XZ
S
S
0=Z
1=ZS
��� =
��
	�
=
1
0
=?
XS
XX
Z
−
=
Z  VARIÁVEL NORMALIZADA! 
Quando subtraímos de uma variável aleatória (X) a
sua MÉDIA e dividimos pelo seu DESVIO PADRÃO
criamos uma nova variável aleatória (Z) que tem
MÉDIA 0 (zero) e DESVIO PADRÃO 1!
XS
XX
Z
−
=
ZdeMédiaZ →= 0
ZdePadrãoDesvioSZ →=1
ZdeVariânciaSZ →=1
2
RELAÇÃO ENTRE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL E A 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO 
Uma variável aleatória (X) com distribuição Normal
N(µ,σ) pode ser transformada em uma Normal Padrão
através da seguinte TRANSFORMAÇÃO:
	 =
� − �
 
	 = !(#, %)
	 '() )é+,- .(/0 # ( 1-/,â34,- %
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
7 MANUEL
EXEMPLO
rnorm(n,media,desvio padrão)
Vamos gerar 10.000 observações de uma variável aleatória (X)
com distribuição Normal, média 5 e desvio padrão 1,5.
FUNÇÃO RNORM - gera uma Normal 
PARÂMETROS
n - número de observações 
média desejada
desvio padrão desejado
rnorm(10000,5.0,1.5)
NO R
Obs. A cada chamada da rotina é gerado um vetor
aleatório diferente!
par(mfrow=c(1,2))
x<-rnorm(10000,5,1.5)
summary(x)
hist(x) #histograma
mean(x) # média
var(x) # variância amostral
sd(x) # desvio padrão amostral 
PARÂMETROS
n - número de observações 
média desejada
desvio padrão desejado
c(1,2) uma linha (1) – duas colunas (2)
NO R
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
PRINCIPAIS FUNÇÕES 
rnorm(n,media,desvio padrão)
FUNÇÃO RNORM - gera uma Normal 
n - número de observações - média - desvio padrão
FUNÇÃO PNORM (x, média, desvio padrão) calcula P(X<x)
pnorm(x,média,desvio padrão,lower.tail=TRUE)
pnorm(x,média,desvio padrão,lower.tail=FALSE
lower.tail = TRUE – CALCULA CAUDA INFERIOR (DEFAULT)
lower.tail = FALSE – CALCULA CAUDA SUPERIOR
FUNÇÃO QNORM (p, média, desvio padrão) calcula x tal que
P(X<x)=p  o contrário da PNORM
qnorm(p,média,desvio padrão,lower.tail=TRUE)
qnorm(p,média,desvio padrão,lower.tail=FALSE
R
par(mfrow=c(1,2))
x<-rnorm(10000,5,1.5)
summary(x)
hist(x)
mean(x)
var(x)
sd(x)
#-----------------------------
z<-(x-mean(x))/sd(x)
summary(z)
hist(z)
mean(z)
var(z)
sd(z)
rnorm(n,media,desvio padrão)
	 =
� − �5
 5
�5 = 6
75 = %. 6
�9 =
�5 − �5
75
= #
79 =
75 − �5
75
79 =
75
75
= %
GERAÇÃO DA VARIÁVEL Z - NORMAL PADRÃO
NO R
#-------------------------------------------------------------------------------------
# CRIAÇÃO DA VARIÁVEL NORMALIZADA (xn) USANDO SCALE
#-------------------------------------------------------------------------------------
library('scales')
xn <- scale(x)
xn
plot(xn)
hist(xn)
summary(xn)
summary(z)
var(xn)
	 =
� − �
 
NORMAL  NORMAL PADRÃO
VARIÁVEL NORMAL
X ~ N(µ,σ)
VARIÁVEL NORMAL PADRÃO
Z ~ N(0,1)
	 =
� − �
 
O QUE VALE PARA Z VALE PARA X 
⇐ O QUE VALE PARA X VALE PARA Z 5 = � + 9 
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
8 MANUEL
	 =
� − �
 
NORMAL  NORMAL PADRÃO
VARIÁVEL NORMAL
X ~ N(µ,σ)
VARIÁVEL NORMAL PADRÃO
Z ~ N(0,1)
	 =
� − �
 
O QUE VALE PARA Z VALE PARA X 
⇐ O QUE VALE PARA X VALE PARA Z
5 = � + 9 
Quando uma variável aleatória X normalmente distribuída é transformado em
um escore-Z, a distribuição de Z será uma distribuição Normal Padrão.
Após essa transformação, a área que recai no intervalo (x1;x2) sob a curva
normal de X é a mesma que aquela sob a curva normal padrão de Z no
intervalo correspondente (z1;z2)
Exemplo-01: Seja X a variável aleatória que representa os
diâmetros de parafusos produzidos por determinada máquina
em uma linha de produção. Suponha que X tem distribuição
normal com média µ = 2,0 cm e desvio padrão σ = 0,04 cm.
Calcular a probabilidade de:
a) um parafuso produzido pela máquina ter um diâmetro
maior que 2,0 cm.
b) um parafuso produzido pela máquina ter um diâmetro
maior do que 2,04 cm.
c) um parafuso produzido pela máquina ter um diâmetro
maior do que 2,05 cm.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL- EXEMPLOS
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Temos
Média  µ = 2,00 cm
Desvio Padrão  σ = 0,04 cm.
Calcular a probabilidade de:
a)um parafuso produzido pela máquina ter um diâmetro
maior que 2,0 cm.
Resposta  Como a curva é simétrica P = 50% !
Ou seja: 50% estão abaixo da Média e 50% estão acima
da Média !
2 cm
50%50%
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Temos
Média  µ = 2,00 cm
Desvio Padrão  σ = 0,04 cm.
Calcular a probabilidade de:
b) um parafuso produzido pela máquina ter um diâmetro
maior do que 2,04 cm.
σ
µ−
=
X
Z
Nesse caso precisamos transformar a variável X na
variável Z usando a seguinte fórmula:
X = 2,04 cm
µ = 2,00 cm
σ = 0,04 cm
00,1
04,0
04,0
04,0
00,204,2
==
−
=Z
2,00 2,04
Z = 1,00
1 desvio padrão 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Temos
Média  µ = 2,00 cm
Desvio Padrão  σ = 0,04 cm.
σ
µ−
=
X
Z
2,00 2,04
Z = 1,00
O que significa Z = 1,00?
Como podemos interpretar esse valor?
X = 2,04 = 2,00 + 0,04 = µ + 1σ
X = 2,04 cm
µ = 2,00 cm
σ = 0,04 cm
Média + 1 Desvio Padrão
Segunda decimal de z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,24220,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
COMO ACHAR O VALOR DA PROBABILIDADE NA TABELA
PRIMEIRA DECIMAL Z = 1,00
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
9 MANUEL
0,3413  É A ÁREA CINZA
DESEJAMOS A ÁREA 
EM AMARELO
2,00 2,04
A ÁREA EM AMARELO = 0,50 - 0,3413 = 0,1587
ÁREA EM AZUL = 50% = 0,50
LOGO A PROBABILIDADE DO DIÂMETRO DO PARAFUSO SER MAIOR
DO QUE 2,04 É 15,87% !
CÁLCULO DA PROBABILIDADE
A PROBABILIDADE ENCONTRADA PELA TABELA É 0,3413 = 34.13%
COMO A CURVA É SIMÉTRICA A ÁREA À DIREITA DA MÉDIA É IGUAL A ÁREA À
ESQUERDA DA MÉDIA = 50% = 0,50 !
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Temos
Média  µ = 2,00 cm
Desvio Padrão  σ = 0,04 cm.
Calcular a probabilidade de:
b) um parafuso produzido pela máquina ter um diâmetro
maior do que 2,04 cm.
σ
µ−
=
X
Z
X = 2,04 cm
µ = 2,00 cm
σ = 0,04 cm
2,00 2,04
X = 2,04 cm
µ = 2,00 cm
σ = 0,04 cm
P(X > 2,04) = ?
FUNÇÃO PNORM (x, média, desvio padrão)
Calcula P(X<x) em uma curva NORMAL
0.8413447σ
µ−
=
X
Z
1 - 0.8413447
0,1587
PARÂMETROS
x - valor para o qual se quer calcular a probabilidade P(X<x)
Média da variável X
Desvio Padrão da Variável X
X deve ter Distribuição Normal
NO R
X = 2,04 cm
µ = 2,00 cm
σ = 0,04 cm
P(X > 2,04) = ?
FUNÇÃO PNORM (x, média, desvio padrão)
pnorm(2.04, 2, 0.04)
pnorm(2.04, 2, 0.04) = 0.8413447 
0.8413447σ
µ−
=
X
Z
1 - 0.8413447
0,1587
pnorm(2.04, 2, 0.04,lower.tail=TRUE) = 0.8413447 
pnorm(2.04, 2, 0.04,lower.tail=FALSE) = 0.1586553
lower.tail = TRUE – CALCULA CAUDA INFERIOR (DEFAULT)
lower.tail = FALSE – CALCULA CAUDA SUPERIOR
1 - pnorm(2.04, 2, 0.04) = 1 - 0.8413447 = 0,1587
NO R
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Temos
Média  µ = 2,00 cm
Desvio Padrão  σ = 0,04 cm.
Calcular a probabilidade de:
c) um parafuso produzido pela máquina ter um diâmetro
maior do que 2,05 cm.
σ
µ−
=
X
Z
Nesse caso precisamos transformar a variável X na
variável Z usando a seguinte fórmula:
X = 2,05 cm
µ = 2,00 cm
σ = 0,04 cm
25,1
04,0
05,0
04,0
00,205,2
==
−
=Z
Z = 1,25
2,00 2,05
Segunda decimal de z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
COMO ACHAR O VALOR DA PROBABILIDADE NA TABELA PARA 
Z = 1,25PRIMEIRA DECIMAL
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
10 MANUEL
0,3944  É A ÁREA CINZA
DESEJAMOS A ÁREA 
EM AMARELO
2,00 2,05
A ÁREA EM AMARELO = 0,50 - 0,3944 = 0,1056
ÁREA EM AZUL = 50% = 0,50
LOGO A PROBABILIDADE DO DIÂMETRO DO PARAFUSO SER
MAIOR QUE 2,05 É 10,56% !
CÁLCULO DA PROBABILIDADE
A PROBABILIDADE ENCONTRADA PELA TABELA É 0,3944 = 39.44%
COMO A CURVA É SIMÉTRICA A ÁREA À DIREITA DA MÉDIA É IGUAL A ÁREA À
ESQUERDA DA MÉDIA = 50% = 0,50 !
X = 2,05 cm
µ = 2,00 cm
σ = 0,04 cm
P(X > 2,05) = ?
FUNÇÃO PNORM (x, média, desvio padrão)
pnorm(2.05, 2, 0.04)
pnorm(2.05, 2, 0.04) = 0.8943502 
0.8943502σ
µ−
=
X
Z
1 - 0.8943502
0,1056
pnorm(2.05, 2, 0.04,lower.tail=TRUE) = 0.8943502 
pnorm(2.05, 2, 0.04,lower.tail=FALSE) = 0.1056498
NO R
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Exemplo-02: Considere que X é a variável aleatória que
representa a nota de uma prova de Estatística de 60
alunos. Suponha que X tenha distribuição normal com
média µ = 5,0 e desvio padrão σ = 1,2.
Calcular a probabilidade de:
a) Um aluno tirar nota maior do que 7,0 na prova.
b) Um aluno tirar nota maior do que 8,0 na prova.
c) Quantos alunos tiraram nota maior do que 5,0 na prova ?
d) Quantos alunos tiraram nota maior do que 6,0 na prova ?
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Temos
Média  µ = 5,0
Desvio Padrão  σ = 1,2
Calcular a probabilidade de:
a) Um aluno tirar uma nota maior do que 7,0 na prova.
σ
µ−
=
X
Z
Nesse caso precisamos transformar a variável X na
variável Z usando a seguinte fórmula:
X = 7,0
µ = 5,0
σ = 1,2
66,1
2,1
0,2
2,1
0,50,7
==
−
=Z
Z = 1,66
COMO ACHAR O VALOR DA PROBABILIDADE NA TABELA
PRIMEIRA DECIMAL Z = 1,66
Segunda decimal de z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
P = 0,4515
0,4515
DESEJAMOS A ÁREA 
EM AMARELO
5,0 7,0
A ÁREA EM AMARELO = 0,50 - 0,4515 = 0,0485
ÁREA EM AZUL = 50% = 0,50
LOGO A PROBABILIDADE DA NOTA SER MAIOR DO QUE 7,0 É 4,85% !
CÁLCULO DA PROBABILIDADE
A PROBABILIDADE ENCONTRADA PELA TABELA É 0,4515 = 45,15 %
COMO A CURVA É SIMÉTRICA A ÁREA À DIREITA DA MÉDIA É IGUAL A ÁREA À
ESQUERDA DA MÉDIA = 50% = 0,50 !
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
11 MANUEL
X = 7,0
µ = 5,0
σ = 1,2
P(X > 7,0) = ?
FUNÇÃO PNORM (x, média, desvio padrão)
pnorm(7.0, 5.0, 1.2, lower.tail=FALSE)
0.9522096σ
µ−
=
X
Z
1 - 0.9522096
0.0477
pnorm(7.0, 5.0, 1.2, lower.tail=FALSE) = 0.04779035 
P(X > 7,0) = 4.8%
NO R DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Temos
Média  µ = 5,0
Desvio Padrão  σ = 1,2
Calcular a probabilidade de:
b) Um aluno tirar uma nota maior do que 8,0 na prova.
σ
µ−
=
X
Z
Nesse caso precisamos transformar a variável X na
variável Z usando a seguinte fórmula:
X = 8,0
µ = 5,0
σ = 1,2
50,2
2,1
0,3
2,1
0,50,8
==
−
=Z
Z = 2,50
Segunda decimal de z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,49620,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
COMO ACHAR O VALOR DA PROBABILIDADE NA TABELA PARA 
Z = 2,50
P = 0,4938
PRIMEIRA DECIMAL
0,4938
DESEJAMOS A ÁREA 
EM AMARELO
5,0 8,0
A ÁREA EM AMARELO = 0,50 - 0,4938 = 0,0062
ÁREA EM AZUL = 50% = 0,50
LOGO A PROBABILIDADE DA NOTA SER MAIOR DO QUE 8,0 É 0,62% !
CÁLCULO DA PROBABILIDADE
A PROBABILIDADE ENCONTRADA PELA TABELA É 0,4938 = 49,38 %
COMO A CURVA É SIMÉTRICA A ÁREA À DIREITA DA MÉDIA É IGUAL A ÁREA À
ESQUERDA DA MÉDIA = 50% = 0,50 !
X = 8,0
µ = 5,0
σ = 1,2
P(X > 8,0) = ?
FUNÇÃO PNORM (x, média, desvio padrão)
pnorm(8.0, 5.0, 1.2, lower.tail=FALSE)
0.9937903σ
µ−
=
X
Z
1 - 0.9937903
0.0062
pnorm(8.0, 5.0, 1.2, lower.tail=FALSE) = 0.006209665 
P(X > 8,0) = 0.62%
NO R DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Temos
Média  µ = 5,0
Desvio Padrão  σ = 1,2
n = 60 alunos
c) Quantos alunos tiraram nota maior do que 5,0 na prova ?
50% 50%
5,0
Como 5,0 é o valor da Média temos 50% acima e 50%
abaixo. Logo 50% dos alunos tiraram nota maior do que 5,0
na prova = 30 alunos (30 = 0,50××××60) !
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
12 MANUEL
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Temos
Média  µ = 5,0
Desvio Padrão  σ = 1,2
n = 60 alunos
d) Quantos alunos tiraram nota maior do que 6,0 na prova?
σ
µ−
=
X
Z
X = 6,0
µ = 5,0
σ = 1,2
83,0
2,1
0,1
2,1
0,50,6
==
−
=Z
Z = 0,83
Segunda decimal de z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
COMO ACHAR O VALOR DA PROBABILIDADE NA TABELA PARA 
Z = 0,83PRIMEIRA DECIMAL
0,2967
DESEJAMOS A ÁREA 
EM AMARELO
5,0 6,0
A ÁREA EM AMARELO = 0,50 - 0,2967 = 0,2033 = 20,33%
ÁREA EM AZUL = 50% = 0,50
LOGO 20,33% DOS ALUNOS TIRARAM NOTA MAIOR DO QUE 6 !
QUANTOS SÃO ? BASTA CALCULAR 20,33% DE 60 !
CÁLCULO DA PROBABILIDADE
A PROBABILIDADE ENCONTRADA PELA TABELA É 0,2967 = 29,67 %
COMO A CURVA É SIMÉTRICA A ÁREA À DIREITA DA MÉDIA É IGUAL A ÁREA À
ESQUERDA DA MÉDIA = 50% = 0,50 !
0,2967
5,0 6,0
LOGO 20,33% DOS ALUNOS TIRARAM NOTA MAIOR DO QUE 6 !
QUANTOS SÃO ?  BASTA CALCULAR 20,33% DE 60 !
CÁLCULO DA PROBABILIDADE
TEMOS  20,33% = 0,2033
LOGO  0,2033 ×××× 60 = 12,19 = 12 ALUNOS TIRARAM
NOTA MAIOR DO QUE 6 !
X = 6,0
µ = 5,0
σ = 1,2
n = 60 alunos
na > 6,0 ?
P(X > 6,0) = ?
FUNÇÃO PNORM (x, média, desvio padrão)
pnorm(6.0, 5.0, 1.2, lower.tail=FALSE)
σ
µ−
=
X
Z
0.2023284
pnorm(6.0, 5.0, 1.2, lower.tail=FALSE) = 0.2023284
na<-n*pnorm(x,media,dp,lower.tail=FALSE)
message('número de alunos= ',round(na))
NO R DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Exemplo-02: Considere que X é a variável aleatória que
representa a nota de uma prova de Estatística de 60
alunos. Suponha que X tenha distribuição normal com
média µ = 5,0 e desvio padrão σ = 1,2.
e) Qual o intervalo de notas em torno da média que contêm
aproximadamente 68% das observações (notas).
f) Qual o intervalo em torno da média que contêm 57
observações (notas)?
g) Qual o valor de nota que deixa 15 observações abaixo e
45 acima?
h) Qual o valor de nota que é superada por 25% das
observações?
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
13 MANUEL
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
e) Qual o intervalo de notas em torno da média que contêm
aproximadamente 68% das observações.
µ = 5,0 σ = 1,2
LI < P(X) < LS = 68%
LI < P(X) < LS = 68%
Intervalo
Probabilidade 
(%)
µ ± 1 σ 68,26%
µ ± 2 σ 95,45%
µ ± 3 σ 99,73%
µ = 5,0
σ = 1,2
LI = µ - σ = 5,0 - 1,2 = 3,8
LS = µ - σ = 5,0 + 1,2 = 6,2
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
µ = 5,0 σ = 1,2
LI < P(X) < LS = 68%
LI = µ - σ = 5,0 - 1,2 = 3,8
LS = µ - σ = 5,0 + 1,2 = 6,2
COMPROVE ESSE RESULTADO USANDO O R
x<-3.8
media <- 5.0
dp <- 1.2
li<-pnorm(x,media,dp,lower.tail=FALSE)
x<-6.2
media <- 5.0
dp <- 1.2
ls<-pnorm(x,media,dp,lower.tail=FALSE)
li-ls = 0.6826895
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
µ = 5,0 σ = 1,2
LI < P(X) < LS = 68%
LI = µ - σ = 5,0 - 1,2 = 3,8
LS = µ + σ = 5,0 + 1,2 = 6,2
OUTRA SOLUÇÃO....
x<-6.2
media <- 5.0
dp <- 1.2
1-2*ls<-pnorm(x,media,dp,lower.tail=FALSE)
6.2
68,26%
x<-6.2
media <- 5.0
dp <- 1.2
pnorm(x,media,dp,lower.tail=FALSE) = 0.1586
1-2*pnorm(x,media,dp,lower.tail=FALSE)= 0.6826
0.1586
0.1586
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
µ = 5,0 σ = 1,2
LI < P(X) < LS = 68%
LI = µ - σ = 5,0 - 1,2 = 3,8
LS = µ + σ = 5,0 + 1,2 = 6,2
SOLUÇÃO LORAINE....
media <- 5.0
dp <- 1.2
pnorm(6.2,media,dp)- pnorm(3.8,media,dp)
68,26%
6.2
3.8
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
f) Qual o intervalo em torno da média que contêm 57
observações?
µ = 5,0 σ = 1,2 n = 60
LI < n < LS = 57
57/60 = 0,95 = 95% Intervalo Probabilidade 
(%)
µ ± 1 σ 68,26%
µ ± 2 σ 95,45%
µ ± 3 σ 99,73%
LI = µ - 2σ = 5,0 - 2×1,2 = 2.6
LS = µ + σ = 5,0 + 2,4 = 7.4
COMPROVE ESSE RESULTADO USANDO O R
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
14 MANUEL
7.4
95,45%
x<-7.4
media <- 5.0
dp <- 1.2
pnorm(x,media,dp,lower.tail=FALSE) =0.0227
1-2*pnorm(x,media,dp,lower.tail=FALSE)= 0.9545
0.0227
0.0227
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
g) Qual o valor da nota que deixa 15 observações abaixo e
45 acima?
Que valor é esse?
µ = 5,0 σ = 1,2 n = 60
15 é 25% de 60 logo precisamos encontrar o 1º quartil da
distribuição (q1). (15=60/4)
p = 0.25
µ = 5.0
σ = 1.2
x = ?
FUNÇÃO QNORM (p, média, desvio padrão)
0.75
σ
µ−
=
X
Z
0,25
PARÂMETROS
p - valor de probabilidade para a qual se deseja calcular o valor
da variável X
Média da variável X
Desvio Padrão da Variável X
X deve ter Distribuição Normal
NO R
p = 0.25
µ = 5.0
σ = 1.2
x = ?
FUNÇÃO QNORM (p, média, desvio padrão)
0.75
σ
µ−
=
X
Z
0,25
p<- 0.25 
media <- 5.0
dp <- 1.2
qnorm(0.25,5,1.2)
qnorm(0.25,5,1.2)= 4.190612
NO R
p = 0.25
µ = 5.0
σ = 1.2
x = ?
FUNÇÃO QNORM (p, média, desvio padrão)
0.75
σ
µ−
=
X
Z
0,25
x<- 4.190612
media <- 5.0
dp <- 1.2
pnorm(qnorm(0.25,5,1.2),5,1.2)
0,25
qnorm(0.25,5,1.2)= 4.190612
COMPROVANDO, OU SEJA CALCULANDO A PROBABILIDADE PARA 4,190612
COMO COMPROVAR ESSE RESULTADO?
NO R DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Que valor é esse?
µ = 5,0 σ = 1,2 n = 60
Nota superada por 25% das observações é o q3(75%)
h) Qual o valor da nota que é superada por 25% das
observações?
25% 25% 25% 25%
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
15 MANUEL
p = 0.75
µ = 5.0
σ = 1.2
x = ?
0.75
σ
µ−
=
X
Z
0,25
FUNÇÃO QNORM (p, média, desvio padrão)
p<- 0.75 
media <- 5.0
dp <- 1.2
qnorm(0.75,5,1.2)
qnorm(0.75,5,1.2)= 5.809388
NO R
p = 0.75
µ = 5.0
σ = 1.2
x = ?
FUNÇÃO QNORM (p, média, desvio padrão)
0.75
σ
µ−
=
X
Z
0,25
x<- 5.809388
media <- 5.0
dp <- 1.2
pnorm(qnorm(0.75,5,1.2),5,1.2)
0.75 
qnorm(0.75,5,1.2)
5.809388
COMPROVANDO, OU SEJA CALCULANDO A PROBABILIDADE PARA 5.809388
NO R
IRPF- MALHAS....
• FONTE 
• CARNÊ LEÃO
• CADASTRO• FAZENDA (Malha Fina)
MALHAS....
• FONTE (IRF_Informado (DIRF) = IRF Declarado (?)
SIMPLES...
• CARNÊ LEÃO  Informado = Declarado (?)
SIMPLES...
• CADASTRO  Valores inconsistentes ?
SIMPLES...
• FAZENDA (Malha Fina - vários parâmetros!) 
PROBLEMA... 
MUITA RETENÇÃO E POUCO RETORNO! 
MALHAS....
• FAZENDA (Malha Fina - vários parâmetros!) 
PROBLEMA... 
MUITA RETENÇÃO E POUCO RETORNO!
COMO AUMENTAR A EFICIÊNCIA? 
CRITÉRIOS DE RETENÇÃO
27 PARÂMETROS - cair UM parâmetro!  MALHA!
Como resolver? 
CADASTRO DE VALORES - CADVAL
POPULAÇÃO 
DE INTERESSE IRPF
≈≈≈≈ 34 MILHÕES
MALHADOS
CADVAL
UNIVERSO
MALHADOS
MALHADOS
Parâmetros (quais)
Retorno Malha
etc...
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
16 MANUEL
CADASTRO DE VALORES - CADVAL
MALHADOS
MALHADOS
Parâmetros
Retorno Malha
etc...
ANÁLISE
EXPLORATÓRIA MODELO
SIMULAÇÕES
RESULTADOS
Os parâmetros 
têm distribuição 
NORMAL
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Exemplo-03: Um parâmetro de malha de determinado
tributo tem distribuição Normal com média 12 e desvio
padrão 4. Considerando que ficarão retidas em malha
declarações que apresentarem o valor do parâmetro maior
do que 22, e que a população é de 10.000.000 declarantes,
calcule o número de declarações retidas no atual
exercício fiscal.
Temos  dados do problema
X = 22  Ponto de corte
µ = 12  Média
σ = 4  Desvio Padrão
N = 10.000.000  número de declarantes
MÉDIA PONTO DE CORTE
RETIDAS 
EM MALHA
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
σ
µ−
=
X
ZCálculo do valor de Z
Z = 2,50
50,2
4
10
4
1222
==
−
=Z
VAMOS CALCULAR AGORA O VALOR DA
PROBABILIDADE PARA Z = 2,50 USANDO A TABELA
NORMAL PADRÃO !
Segunda decimal de z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
COMO ACHAR O VALOR DA PROBABILIDADE NA TABELA PARA 
Z = 2,50
A PROBABILIDADE É P = 0,4938
PRIMEIRA DECIMAL
0,49388
DESEJAMOS A 
ÁREA 
EM AMARELO
12 22
A ÁREA EM AMARELO = 0,50 - 0,4938 = 0,0062
ÁREA EM AZUL = 50% = 0,50
LOGO A QUANTIDADE DE DECLARAÇÕES RETIDAS SERÁ:
0,0062 ×××× 10.000.000 = 62.000 DECLARAÇÕES !
CÁLCULO DA PROBABILIDADE E DO 
NÚMERO DE DECLARAÇÕES RETIDAS
X = 22
µ = 12
σ = 4
P(X > 22) = ?
N =10.000.000
FUNÇÃO PNORM (x, média, desvio padrão)
σ
µ−
=
X
Z
PARÂMETROS
x - valor para o qual se quer calcular a probabilidade P(X>x)
Média da variável X
Desvio Padrão da Variável X
X deve ter Distribuição Normal
MÉDIA PONTO DE CORTE
RETIDAS 
EM MALHA
NO R
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
17 MANUEL
X = 22
µ = 12
σ = 4
P(X > 22)?
N= 10.000.000
FUNÇÃO PNORM (x, média, desvio padrão)
pnorm(22, 12, 4)
σ
µ−
=
X
Z
pnorm(22, 12, 4,lower.tail= FALSE) = 0.006209665
MÉDIA PONTO DE CORTE
RETIDAS
EM MALHA
ndr<-round(n*pnorm(x,media,dp,lower.tail=FALSE))
ndr = 62097
NO R DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Exemplo-04: Um parâmetro de malha de determinado
tributo tem distribuição Normal com média 12 e desvio
padrão 4. Considerando que ficarão retidas em malha
declarações que apresentarem o valor do parâmetro maior
do que 21, e que a população é de 10.000.000 declarantes,
calcule o número de declarações retidas no atual
exercício fiscal.
Temos  dados do problema
X = 21  Ponto de corte
µ = 12  Média
σ = 4  Desvio Padrão
N = 10.000.000  número de declarantes
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
σ
µ−
=
X
ZCálculo do valor de Z
Z = 2,25
25,2
4
9
4
1221
==
−
=Z
VAMOS CALCULAR AGORA O VALOR DA
PROBABILIDADE PARA Z = 2,25 USANDO A TABELA
NORMAL PADRÃO !
Segunda decimal de z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
COMO ACHAR O VALOR DA PROBABILIDADE NA TABELA PARA 
Z = 2,25PRIMEIRA DECIMAL
A PROBABILIDADE É P = 0,4878
0,4878
DESEJAMOS A 
ÁREA 
EM AMARELO
12 21 22
A ÁREA EM AMARELO = 0,50 - 0,4878 = 0,0122
ÁREA EM AZUL = 50% = 0,50
LOGO A QUANTIDADE DE DECLARAÇÕES RETIDAS SERÁ:
0,0122 ×××× 10.000.000 = 122.000 DECLARAÇÕES
CÁLCULO DA PROBABILIDADE E DO 
NÚMERO DE DECLARAÇÕES RETIDAS
X = 21
µ = 12
σ = 4
P(X > 21)?
N= 10.000.000
FUNÇÃO PNORM (x, média, desvio padrão)
pnorm(x,12, 4)
1-pnorm(x,media,dp)
σ
µ−
=
X
Z
#Calculando diretamente na causa superior
pnorm(21, 12, 4,lower.tail= FALSE) = 0.01222447
MÉDIA PONTO DE CORTE
RETIDAS
EM MALHA
ndr<-round(n*pnorm(x,media,dp,lower.tail=FALSE))
ndr = 122.245
NO R
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
18 MANUEL
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Exemplo-05: Um parâmetro de malha de determinado
tributo tem distribuição Normal com média 12 e desvio
padrão 4. Considerando que ficarão retidas em malha
declarações que apresentarem o valor do parâmetro maior
do que 12, e que a população é de 10.000.000 declarantes,
calcule o número de declarações retidas no atual
exercício fiscal.
Temos  dados do problema
X = 12  Ponto de corte
µ = 12  Média
σ = 4  Desvio Padrão
N = 10.000.000  número de declarantes
NÚMERO DE DECLARAÇÕES RETIDAS = 5.000.000  A METADE !
OU SEJA 50% !
12
50%
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Exemplo-06: Um parâmetro de malha de determinado
tributo tem distribuição Normal com média 12 e desvio
padrão 4. Considerando que a população é de 10.000.000
declarantes, calcule qual o valor do ponto de corte para
que fiquem retidas em Malha apenas 40.000 declarações.
DADOS DO PROBLEMA
X = ?  Ponto de corte
µ = 12  Média
σ = 4  Desvio Padrão
N = 10.000.000  número de declarantes
Declarações retidas = 40.000
QUAL O ALGORITMO PARA RESOLVER ESSE PROBLEMA?
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Solução:
01) Calculamos o percentual de retidos.
Precisamos agora achar na tabela o valor de Z que
corresponde a 0,496.
004,0
000.000.10
000.40
==P
02) Precisamos calcular a área cinza (Área Tabulada - é a
que está na Tabela Normal Padrão).
P = 0,004
ÁREA TABULADA = 0,50 - 0,004 = 0,496
12 X=? 
Segunda decimal de z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,49530,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
COMO ACHAR O VALOR DE Z PARA P = 0,4960
P = 0,4960  CORRESPONDE NA TABELA A Z = 2,65
PRIMEIRA DECIMAL
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Agora podemos calcular o ponto de corte (X) usando a
mesma fórmula para o cálculo de Z 
σ
µ−
=
X
Z
Logo: X = µ + σ × Z = 12 + 4 × 2,65 = 12 + 10,6 = 22,6 !
Ou seja, para reter apenas 40.000 declarações na Malha o
Ponto de Corte do parâmetro deve ser = 22,6 !
CÁLCULO DO PONTO DE CORTE
Temos:
X = ?  Ponto de corte
µ = 12  Média
σ = 4  Desvio Padrão
Z = 2,65
NO R
X = ?
µ = 12
σ = 4
N= 10.000.000
ndr=40.000
Perceptual de retidos
pdr = 40.000/10.000.000
pdr= 0.0040 = 0,4%
FUNÇÃO QNORM (p, média, desvio padrão)
σ
µ−
=
X
Z
qnorm(pdr,12, 4,lower.tail=FALSE)
22.6083  Ponto de corte que vai reter 40.000
declarações.
MÉDIA PONTO DE CORTE
%RETIDAS EM
MALHA (pdr)
QUAL O ALGORITMO PARA RESOLVER ESSE PROBLEMA?
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
19 MANUEL
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Exemplo-07: Um parâmetro de malha de determinado
tributo tem distribuição Normal com média 12 e desvio
padrão 4. Considerando que a população é de 10.000.000
declarantes, calcule qual o valor do ponto de corte para
que fiquem retidas em Malha apenas 35.000 declarações.
DADOS DO PROBLEMA
X = ?  Ponto de corte
µ = 12  Média
σ = 4  Desvio Padrão
N = 10.000.000  número de declarantes
Declarações retidas = 35.000
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Solução:
01) Calculamos o percentual de retidos.
Precisamos agora achar na tabela o valor de Z que
corresponde a 0,4965.
0035,0
000.000.10
000.35
==P
02) Precisamos calcular a área cinza (Área Tabulada - é a
que está na Tabela Normal Padrão).
P = 0,0035
ÁREA TABULADA = 0,50 - 0,0035 = 0,4965
12 X=? 
Segunda decimal de z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
COMO ACHAR O VALOR DE Z PARA P = 0,4965
P = 0,4965  CORRESPONDE NA TABELA A Z = 2,70
PRIMEIRA DECIMAL
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Agora podemos calcular o ponto de corte (X) usando a
mesma fórmula para o cálculo de Z 
σ
µ−
=
X
Z
Logo X = µ + σ × Z = 12 + 4 × 2,70 = 12 + 10,8 = 22,8 !
Ou seja para reter apenas 35.000 declarações na Malha o
Ponto de Corte do parâmetro deve ser = 22,8 !
Temos
X = ?  Ponto de corte
µ = 12  Média
σ = 4  Desvio Padrão
Z = 2,70
X = ?
µ = 12
σ = 4
N= 10.000.000
ndr = 35.000
QUAL O ALGORITMO PARA RESOLVER ESSE PROBLEMA?
σ
µ−
=
X
Z
MÉDIA PONTO DE CORTE
FUNÇÃO QNORM (p, média, desvio padrão)
qnorm(pdr,12, 4,lower.tail=FALSE)
pdr = ndr/N
pdr = 35.000/10.000.000
pdr = 0,0035 
%RETIDAS EM
MALHA (pdr)
22.7874  Ponto de corte que vai reter 35.000
declarações.
NO R DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Exemplo-08: Um parâmetro de malha de determinado
tributo tem distribuição Normal com média 12 e
coeficiente de variação de 25%. Considerando que a
população é de 20.000.000 declarantes, calcule o número
de declarações retidas no exercício fiscal se o ponto de
corte do parâmetro for 20. Se o valor médio da multa por
declaração retida em malha é R$ 1.500,00 calcule o valor
da Renuncia Fiscal (*) no exercício caso o ponto de corte
passe de 20 para 22.
(*) Renúncia Fiscal é o que a Receita Federal deixará de arrecadar por
não reter as declarações em malha.
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
20 MANUEL
NO R
x1= 20
µ = 12
CV = 25%
N= 20.000.000
	 =
� − �
 
MÉDIA PONTO DE CORTE
RETIDAS
EM MALHA
�� =
 
�
 → �0(;,4,(3'( +( <-/,-çã0
PRECISAMOS ACHAR O DESVIO PADRÃO (σσσσ )
 = �� × ����
 = 0,25 × 12
 = 3
NO R
x1= 20
µ = 12
CV = 25%
σ = 3
N= 20.000.000
σ
µ−
=
X
Z
MÉDIA PONTO DE CORTE
RETIDAS
EM MALHA
FUNÇÃO PNORM (x, média, desvio padrão)
pnorm(x1,media,dp,lower.tail=FALSE)
ndrx1 = 76.608
ndrx1<-round(n*pnorm(x1,media,dp,lower.tail=FALSE))
NO R
x2= 22
µ = 12
σ = 3
N= 20.000.000
σ
µ−
=
X
Z
MÉDIA PONTO DE CORTE
RETIDAS
EM MALHA
FUNÇÃO PNORM (x, média, desvio padrão)
pnorm(x2,media,dp,lower.tail=FALSE)
ndrx2 = 8581
ndrx2<-round(n*pnorm(x2,media,dp,lower.tail=FALSE))
NO R
MÉDIA PONTO DE CORTE
RETIDAS
EM MALHA
RENÚNCIA FISCAL
DEIXARÃO DE SER EXAMINADAS 
ndrx1 = 76.608
ndrx2 = 8581
ndrx1 - ndrx2 = 76.608 - 8581 = 68.027
Valor médio da multa = R$ 1.500,00 
RENÚNCIA FISCAL = 68.027× 1.500
RENÚNCIA FISCAL = R$ 102.040.500
Carpe Diem... 
PÓS GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DE DADOS
ESTATÍSTICA - ANÁLISE COMPUTACIONAL
21 MANUEL