UNIDADE1-Distribuic3a7c3a3oNormaldeProbabilidade_ap_2019_2_Alunos

Prévia do material em texto

UNIDADE 1 -
VARIÁVEIS 
ALEATÓRIAS 
CONTINUAS 
1.3 Distribuição Normal de Probabilidade. Distribuição 
Normal Reduzida ou Padrão
1
2
Você provavelmente deve ter visto modelos Normais antes - se viu uma
"curva em forma de sino", é possível que tenha sido um modelo
Normal.
Os modelos Normais são definidos por dois parâmetros, uma média e
um desvio padrão. Por convenção, representamos os parâmetros por
letras gregas. Por exemplo, representamos a média de tal modelo com
a letra grega µ., que em grego é o equivalente ao "m" de média; e o
desvio padrão, com a letra grega 𝑠, o equivalente grego de "s"· para
desvio padrão. Assim, escrevemos 𝑁(µ , 𝑠) para representar o modelo
Normal com uma média µ. e desvio padrão s.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE 
PROBABILIDADE
A distribuição normal é 
uma das mais 
importantes 
distribuições contínuas 
de probabilidade 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE 
PROBABILIDADE
A distribuição normal é uma das 
mais importantes distribuições 
contínuas de probabilidade 
Aplicações da distribuição 
normal incluem variabilidade em 
parâmetros de componentes 
manufaturados e de organismos 
biológicos (por exemplo, altura, 
peso, inteligência)
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE 
PROBABILIDADE
Pode parecer estranho, 
modelar quantidades que só 
assumem valores positivos 
por uma distribuição normal 
onde valores negativos 
aparecem. 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE 
PROBABILIDADE
(Pode parecer estranho, 
modelar quantidades que só 
assumem valores positivos por 
uma distribuição normal onde 
valores negativos aparecem. 
Nestes casos o que ocorre 
é que os parâmetros µ e 𝜎2
devem ser escolhidos de 
modo que a probabilidade 
da variável assumir um 
valor negativo seja 
aproximadamente nula de 
modo que a representação 
seja válida.)
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
Seu gráfico, chamado de curva normal, é a curva em forma de sino.
Parâmetros da distribuição 
normal:
• Média (µ)
• Desvio-padrão (𝜎) 
• Variância (𝜎2)
7
8
Distribuição normal – Algumas características
A média, a mediana e a moda são iguais.1
A curva normal tem formato 
de sino e é simétrica em 
torno da média.
2
A área total sob a curva normal 
é igual a 1
3
A curva normal aproxima-se 
mais do eixo x à medida que 
se afasta da média em ambos 
os lados, mas nunca toca o 
eixo.
4
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
Dizemos que X tem uma distribuição Normal (ou Gaussiana) com
parâmetros µ e σ, onde µ e σ > 0 são números reais, se a função
densidade (FDP) de X é igual a:
𝑓 𝑥 𝜇, 𝜎2 =
1
2𝜋𝜎
𝑒
−
𝑥−𝜇 2
2𝜎2
onde π = 3.14159 . . . e 𝑒 = 2.71828
A densidade é simétrica em torno do parâmetro µ, e quanto menor o
parâmetro σ mais concentrada é a densidade em torno deste
parâmetro µ.
−∞ ≤ 𝑥 ≥ +∞
10
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
Tipos de Curvas Normais:
Duas curvas normais com o mesmo desvio padrão, mas diferentes médias (𝜇).
As duas curvas são idênticas na forma, mas são centradas em diferentes
posições ao longo do eixo horizontal.
11
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
Duas curvas normais com a mesma média (𝜇), mas diferentes 
desvios-padrão.
12
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
Duas curvas normais com diferentes medias ( 𝜇) e desvios
padrão diferentes. Claramente, estão centrados em diferentes
posições no eixo horizontal e as suas formas refletem os dois
valores diferentes de σ
13
Praticando no Excel
http://www.bertolo.pro.br/FinEst/Estatistica/EstatisticaNosNegocios/Como%20fazer%20um%20Gr%E1fico%
20da%20Curva%20Normal%20no%20Excel.pdf
14
15
PROPRIEDADES DA CURVA NORMAL
Propriedades da curva normal:
• O ponto sobre o eixo horizontal, onde a curva tem um valor máximo, ocorre em 𝑥 =
𝜇.
• A curva é simétrica em torno de um eixo vertical que passa pelo meio 𝜇.
• A curva tem seus pontos de inflexão em 𝑥 = 𝜇 ± 𝜎; é côncava para baixo se 𝜇 −
𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 𝜎.
• A curva normal se aproxima do eixo horizontal assintoticamente como derivamos em
qualquer direção que se afasta a partir da média.
• A área total sob a curva e acima do eixo horizontal é igual a 1.
16
PROPRIEDADES DA CURVA NORMAL
Área na Curva Normal
A curva continua de distribuição de probabilidade ou função densidade é
construída na área dentro da curva por dois valores 𝑥1 e 𝑥2 para igual
probabilidade da variável aleatória X ocorrer.
A área sob a curva entre quaisquer dois valores dependem do 
μ e do σ.
17
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
18
19
A Regro 68-95-99,7
Os modelos Normais são úteis porque indicam quão extremo um valor é
mostrando a probabilidade de encontrar um valor tão distante da média.
Em breve, veremos como encontrar esses valores para qualquer escore-z, mas,
por ora, existe uma regra simples, chamada de Regra 68-95-99,7, que informa
aproximadamente como os valores estão distribuídos.
Numa distribuição normal, aproximadamente 68% dos valores estão no
intervalo de um desvio padrão da média, aproximadamente 95% dos valores
estão no intervalo de dois desvios padrão da média e aproximadamente 99,7% -
quase todos - dos valores se encontram no intervalo de três desvios padrão da
média.
As pontuações de um teste de QI 
em adultos são normalmente 
distribuídas com 𝝁 = 𝟏𝟎𝟎 e 𝛔 =
𝟏𝟓. Calcule a probabilidade de 
um adulto escolhido ao acaso ter 
QI entre 70 e 115. 
Exemplo
21
Para calcular a P(a<x<b) como devo proceder?
A integral não pode ser calculada analiticamente, e portanto a
probabilidade indicada só poderá ser obtida, aproximadamente,
por meio de integração numérica.
A função densidade (FDP) de X é igual a:
𝑓 𝑥 𝜇, 𝜎2 =
1
2𝜋𝜎
𝑒
−
𝑥−𝜇 2
2𝜎2
Distribuição 
Normal Padrão
22
DISTRIBUIÇÃO NORMAL REDUZIDA OU PADRÃO
A dificuldade em resolver integrais de funções normais de densidade,
requer a tabulação das áreas de curva normal para rápida referência.
𝑓 𝑥 𝜇, 𝜎2 =
1
2𝜋𝜎
𝑒
−
𝑥−𝜇 2
2𝜎2
Pode ser feita a TRANSFORMAÇÃO de todas as observações de
qualquer variável aleatória X normal, em um novo conjunto de
observações de uma variável aleatória Z normal com média 0 e
variância 1.
23
DISTRIBUIÇÃO NORMAL REDUZIDA OU PADRÃO
Pode ser feita a TRANSFORMAÇÃO de todas as observações de
qualquer variável aleatória X normal, em um novo conjunto de
observações de uma variável aleatória Z normal com média 0 e
variância 1.
Isto pode ser feito por meio da transformação:
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
Sempre que X assume um valor x, o valor correspondente de Z é dada
por 𝑍 =
𝑋−𝜇
𝜎
.
24
DISTRIBUIÇÃO NORMAL REDUZIDA OU PADRÃO
Consequentemente podemos escrever:
𝑃 𝑥1 < 𝑋 < 𝑥2 =
1
2𝜋𝜎
න
𝑥1
𝑥2
𝑒
1
2𝜎2
𝑥−𝜇 2
𝑑𝑥 =
1
2𝜋
න
𝑧1
𝑧2
𝑒
1
2 𝑧
2
𝑑𝑧
න
𝑧1
𝑧2
𝑛 𝑧, 0,1 𝑑𝑧 = 𝑃(𝑧1 < 𝑍 < 𝑧2)
25
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
26
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
Se cada um dos valores dos dados de uma variável aleatória
normalmente distribuída x for transformado em um escore z,
o resultado será a distribuição normal padrão.
Quando ocorre essa transformação, a área que está no
intervalo sob a curva normal não padronizada é IGUAL
àquela que está sob a curva normal padrão com as
correspondentes fronteiras z.
Agora você aprenderá a calcular áreas que correspondem a
outros valores x. Após usar a fórmula dada anteriormente
para transformar um valor x num escore z, pode-se usar a
Tabela Normal Padrão. A tabela enumera a área acumulada
sob a curva normal padrão à esquerda de z para escores z
de —3,49 a 3,49.
28
Z é um valor relativo: será negativo para valores de x menores do que a
média e positivo para valores de x maiores do que a média.
Pela transformação uma distribuição Normal qualquer 𝑋: 𝑁 (𝜇 , 𝜎²) passa a
ser equivalente à distribuição Normal padrão 𝑍: 𝑁(0,1), um valor de
interesse x pode ser convertido em um valor z.
As probabilidades de uma variável com distribuição normal podem ser
representadas por áreas sob a curva da distribuição normal padrão. Na
Tabela, que relaciona valorespositivos de z, com áreas sob a cauda
superior da curva, os valores de z são apresentados com duas decimais. A
primeira decimal fica na coluna da esquerda e a segunda decimal na linha
do topo da tabela.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
29
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
𝑧 = 1,0 ⇒ 𝑃 = 0,8413 = 84,13%
𝑧 = 0,45 ⇒ 𝑃 = 0,6736 = 67,33%
30
Dicas para usar a tabela
31
Dicas para usar a tabela
32
Dicas para usar a tabela
33
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
Dada uma distribuição normal padrão, encontre a área da curva que:
a) encontra-se a direita de 𝑍 = 1,84.
𝑃 𝑍 > 1,84 = 1 − 0,9671
𝑃 𝑍 > 1,84 = 0,0329]
34
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
b) está entre 𝑍 = −1,97 e 𝑍 = 0,86.
𝑃 −1,97 < 𝑍 < 0,86 =
0,9756 − (1 − 0,8051) =
0,9756 − 0,1949 = 7807
35
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
Dada uma distribuição normal padrão, encontre o valor de k de 
forma que:
a) 𝑃(𝑍 > 𝑘) = 0,3015
36
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
Dada uma distribuição normal padrão, encontre o valor de k de 
forma que:
a) 𝑃(𝑍 > 𝑘) = 0,3015
37
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
Dada uma distribuição normal padrão, encontre o valor de k de 
forma que:
𝑏) 𝑃 𝑘 < 𝑍 < −0,18 = 0,4197
38
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
Dada uma distribuição normal padrão, encontre o valor de k de 
forma que:
𝑏) 𝑃 𝑘 < 𝑍 < −0,18 = 0,4197
39
Praticando....
40
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
Dada uma variável randômica X e uma distribuição normal com μ = 50 e 
σ = 10, encontre a probabilidade de X assumir valores entre 45 e 62.
Solução: Os valores correspondentes a z são encontrados pela 
transformação: 
41
Em relação à distribuição normal, assinale a afirmativa incorreta.
a) a função de densidade de probabilidade é simétrica em relação à
média.
b) se X tem distribuição normal com média Imagem 𝜇 e variância
𝜎2então a variável 𝑍 =
𝑥−𝜇
𝜎2
tem distribuição normal padrão.
c) a probabilidade de que uma variável Z que tenha distribuição
normal padrão seja maior do que 5 é aproximadamente igual a 0.
d) a média de uma variável aleatória que tenha distribuição normal
pode ser negativa.
e) o valor da mediana é igual ao valor da média.
42
About
us
Os depósitos efetuados em um Banco durante o mês de
janeiro são distribuídos normalmente, com média de
$l0.000,00 e desvio padrão de $1.500,00. Um depósito é
selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês
em questão. Encontrar a probabilidade de que o depósito
seja:
(a)$10.000,00 ou menos;
(b)pelo menos $10.000,00;
(c)um valor entre $12.000,00 e $15.000,00;
(d)maior do que $20.000,00.
About
us
Um levantamento indica que, a cada ida ao supermercado, um
comprador gasta uma média de μ = 45 minutos, com um desvio
padrão σ = 12 minutos.
O período gasto no supermercado é normalmente distribuído e
representado pela variável x.
Um comprador entra no supermercado.
(a) Obtenha a probabilidade de que o comprador fique no
supermercado por cada um dos intervalos de tempo enumerados
a seguir.
1. Entre 24 e 54 minutos
2. Mais do que 39 minutos
(b) Se 200 compradores entram no supermercado, quantos você
espera que estejam em seu interior durante cada um dos
intervalos de tempo dados abaixo?
About
us
O serviço de Call center é um canal de
relacionamento que funciona como suporte
técnico ou qualquer outra atividade especializada
para atender as necessidades dos clientes.
Suponha que o tempo necessário para
atendimento de clientes em uma central de
atendimento telefônico siga uma distribuição
normal de média de 8 minutos e desvio padrão de
2 minutos.
(a)Qual é a probabilidade de que um atendimento
dure menos de 5 minutos?
(b)E mais do que 9,5 minutos?
(c)E entre 7 e 10 minutos?
(d)75% das chamadas telefônicas requerem pelo
menos quanto tempo de atendimento?
https://cidadeverde.com/noticias/264944/balcao-do-trabalhador-recebe-curriculos-para-vagas-de-operador-de-call-center
About
us
As velocidades de veículos ao longo de
um trecho de uma via expressa têm
uma média de 56 mph e um desvio
padrão de 4 mph. Obtenha as
velocidades x correspondentes aos
escores z de 1,96; — 2,33 e 0.
Interprete seus resultados.
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&ved=2ahUKEwiC1L2cwpLdAhWOnJAKHSBvCiYQjhx6BAgBEA
M&url=https%3A%2F%2Fwww.spjornal.com.br%2F2017%2F10%2F21%2Fencontro-de-carros-antigos-acontece-em-
itaquera%2F&psig=AOvVaw3ZbZfE1zGzgkgmp-Ix0G-f&ust=1535640794174316
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
Seja X ~ N(10 ; 64) (μ= 10, σ2= 64 e σ = 8 )
Calcular:
a) 𝑃(6 < 𝑋 < 12)
b) P(X ≤ 8 ou X > 14)
c) k tal que P( X ≥ k) = 0,05
47
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
Seja 𝑋 ~ 𝑁(10 ; 64) (𝜇= 10, 𝜎2= 64 e 𝜎 = 8 )
Calcular:
a) P(6 < X<12)
b) 𝑃(𝑋 ≤ 8 ou 𝑋 > 14)
c) 𝑘 tal que 𝑃( 𝑋 ≥ 𝑘) = 0,05
48
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
49
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
50
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição
normal, com média 120 min e desvio padrão 15 min.
X: tempo gasto no exame vestibular : 𝑋 ~ 𝑁(120; 152 )
a)Sorteando um aluno ao acaso, qual é a probabilidade que ele termine o
exame antes de 100 minutos?
b) Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95% dos
vestibulandos terminem no prazo estipulado?
51
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
52
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
53