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PPOONNTTIIFFÍÍCCIIAA UUNNIIVVEERRSSIIDDAADDEE CCAATTÓÓLLIICCAA DDEE MMIINNAASS GGEERRAAIISS 
Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática 
 
 
 
CADERNO DE ATIVIDADES 
 
 
MODELOS NUMÉRICOS DE APROXIMAÇÃO 
DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL 
 
 
José Luiz Giarola Andrade 
Dimas Felipe de Miranda 
 
 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte 
2014 
 
 1 
José Luiz Giarola Andrade 
 
 
 
 
 
 
 
 
CADERNO DE ATIVIDADES: 
Modelos numéricos de aproximação de funções de uma variável real 
 
 
 
 
 
 
 
 
Produto construído após aplicação e análise das 
atividades da pesquisa, apresentado ao Programa de 
Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática 
da Pontifícia Universidade Católica de Minas 
Gerais, como requisito parcial para obtenção do 
título de Mestre em Ensino de Ciências e 
Matemática. 
 
Orientador: Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte 
2014 
 2 
PREFÁCIO 
 
 
 
Este caderno de atividades é produto da dissertação de Mestrado em Ensino de 
Ciências e Matemática da PUC Minas, intitulada “Modelos numéricos de interpolação e 
ajuste de curvas como método de cálculo, aproximação e caracterização de tendência de 
dados experimentais” e tem como objetivo geral, propor atividades que possibilitem aos 
estudantes de cursos de ciências exatas, que estudam aproximação de funções de uma variável 
real, desenvolverem a habilidade de identificação, escolha e utilização de modelos de 
interpolação polinomial e ajuste de curvas por mínimos quadrados através de algoritmos e 
softwares. 
A elaboração da sequência didática das atividades, conveniente ao cronograma 
previsto no projeto, foi baseada em Zabala (1998), propiciando a comunicação e adaptação de 
lições e sugestões de estudos em livros didáticos. 
Foram utilizados três softwares gratuitos: o Visual Cálculo Numérico (VCN), o 
GeoGebra e o Box CalcX (Scilab). O Box CalcX (Scilab), cujos comandos buscam e utilizam 
algoritmos do software Scilab, foi construído durante a pesquisa de mestrado com ajuda de 
um aluno monitor de Cálculo Numérico do curso de Ciência da Computação do UNIFOR-
MG (Centro Universitário de Formiga – MG). Todos os softwares são de fácil utilização, e 
disponibilizam a forma analítica e a representação gráfica das funções obtidas. 
Foram cinco atividades, em sequência didática, especialmente preparadas e aplicadas a 
estudantes do curso de Engenharia Ambiental e Sanitária do UNIFOR-MG durante a pesquisa 
de mestrado. Cada atividade continha uma amostra de dados fictícios, uma delas de forma 
direta e não contextualizada e as outras a partir de situações contextualizadas. Após análise 
das atividades e entrevistas a alunos, revisões, adaptações e acréscimos de exercícios 
compõem este caderno de atividades. 
 
Os autores. 
 
 
 
 
 
 3 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 4 
 
2 SOFTWARES .............................................................................................................. 6 
2.1 Geogebra........................................................................................................................ 6 
2.2 Visual Cálculo Numérico ............................................................................................... 7 
2.3 Scilab ............................................................................................................................. 9 
 
3 ATIVIDADES ............................................................................................................ 12 
Atividade Piloto............................................................................................................ 13 
Atividade Aplicada 1 .................................................................................................... 15 
Atividade Aplicada 2 .................................................................................................... 16 
Atividade Aplicada 3 .................................................................................................... 17 
Atividade Aplicada 4 .................................................................................................... 19 
Atividade Aplicada 5 .................................................................................................... 20 
Atividade Aplicada 6 .................................................................................................... 21 
Atividade Complementar 1 ........................................................................................... 23 
Atividade Complementar 2 ........................................................................................... 24 
Atividade Complementar 3 ........................................................................................... 27 
 
REFERÊNCIAS................................................................................................................. 28 
 
ANEXO A – CD Aplicativo do Box CalcX (Scilab) .......................................................... 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
1 INTRODUÇÃO 
 
O professor pesquisador, primeiro autor deste produto, disserta, em seu trabalho de 
mestrado “Modelos numéricos de interpolação e ajuste de curvas como método de cálculo, 
aproximação e caracterização de tendência de dados experimentais”, sobre alguns autores 
que trabalham modelos matemáticos, delimitando seu uso em situações de aproximação de 
funções, de maneira conveniente às amostras que, por ventura os estudantes se deparem. As 
atividades especialmente elaboradas e aplicadas, permitem aos estudantes desenvolverem a 
habilidade de escolha de modelos, dentre os estudados, que serão mais ou menos viáveis. 
O embasamento metodológico da dissertação de mestrado, que gerou este produto, foi 
sustentado pela Modelagem Matemática descrita por Bassanezi (2011), visando à utilização 
de modelos matemáticos, como conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam 
o objeto estudado. Segundo Bassanezi (2011), Modelagem Matemática é um processo 
dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos. É uma forma de 
abstração e generalização, com a finalidade de previsão de tendências. As vantagens do 
emprego da modelagem em termos de pesquisa podem ser constatadas nos avanços obtidos 
em vários campos como a Física, a Química, a Biologia e a Astronomia, entre outros. 
A partir de problemas reais ou fictícios, o autor da pesquisa passou a utilizar 
diretamente a atividade intelectual, definida como Abstração por Bassanezi (2011), em que ao 
se formular hipóteses à busca ou montagem de modelos matemáticos, predefinidos ou 
escolhidos, se dá mediante uma quantidade de opções (menu) dentre as estudadas, para que 
assim, em busca de sua resolução, obtenha-se possíveis soluções. A Modificação seria uma 
das atividades consideradas como possíveis retornos ao problema inicial, repassando pelo 
sistema utilizado bem como a verificação de outros modelos, em busca de uma melhor 
validação dos mesmos. O professor pesquisador sintetizou um diagrama (Figura 1), que 
conceitua melhor seu pensamento diante da abstração pessoal quanto à escolha e utilização de 
modelos matemáticos em um processo de Modelagem Matemática, modelos que serão 
escolhidos dentre tipos variados de aproximação de funções por polinômios interpoladores e 
curvas ajustadas. 
 
 
 
 
 
 5 
Figura 1: Relação entre problemas reais e possíveis soluções via modelos matemáticos 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Elaborada pelos autores 
 
A análise de fenômenos naturais e de resultados de experimentos permitiu o avanço de 
várias ciências. Considerando que grande parte dessa análise é feita em dados quantificados, é 
necessário o uso de algoritmos matemáticos para que os dados possam ser interpretados mais 
facilmente. Um conjunto extenso de dados discretostorna necessário e viável o uso de 
softwares matemáticos, propiciando agilidade e confiabilidade na resolução de algoritmos 
modelados desses dados. 
A seção seguinte apresenta os três softwares escolhidos como ferramenta de pesquisa e 
também como sugestão de apoio para a confecção das atividades deste caderno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas Possíveis soluções 
 
 
(menu) 
 
 Modelos 
 Matemáticos 
 
 
 6 
2 SOFTWARES 
 
 
2.1 Geogebra 
 
O GeoGebra é um software gratuito de Matemática, de fácil manuseio, tanto para 
estudantes do ensino básico como superior. Foi criado por Markus Hohenwarter1, cujo projeto 
foi iniciado em 2001, na Universidade de Salzburg, Áustria. O download do software pode ser 
obtido em www.geogebra.org. 
Possibilita o trabalho em geometria, álgebra, estatística e cálculo. Sua interface 
principal de trabalho, ilustrada na Figura 2, opera em duas dimensões, sendo oferecidos vários 
tutoriais disponíveis na web, que também sugerem download de arquivo. 
 
Figura 2: Página inicial do software GeoGebra 
 
Fonte: Computador dos autores 
 
De fácil aprendizado, visualização clara e interativa, agrega valor positivo, 
principalmente pelo ganho em tempo de trabalho e resultados obtidos. A facilidade de 
tabulação e manuseio de pontos em sistemas de coordenadas, os quais podem ser interagidos 
 
1 Professor de educação matemática na Universidade Johannes Kepler, de Linz, na Áustria. 
 7 
com curvas aproximadas a partir de recurso de regressão em sua caixa de entrada (Figura 3), 
torna o software interessante para o estudo analítico, principalmente visual, que trabalha de 
forma concomitante os dados em dispersão, representação gráfica contínua e as respectivas 
formas algébricas das equações em uma mesma página, com uma ou várias amostras distintas. 
 
Figura 3: Página inicial do GeoGebra com comandos de regressão 
 
Fonte: Computador dos autores 
 
 
2.2 Visual Cálculo Numérico 
 
O software Visual Cálculo Numérico VCN é um programa gratuito de matemática 
com interface de entrada numérica direta, ou seja, não exige uma programação prévia. Foi 
desenvolvido pelos professores Célio Humberto Vasconcelos, Cristina Almeida Magalhães, 
Dimas Felipe de Miranda, Lamounier Josino de Assis, Luiz C. Picoreli de Araújo, Marcos 
Almeida Magalhães, Pedro Américo Almeida Magalhães e Pedro Américo Almeida 
Magalhães Júnior. O download do software pode ser obtido em 
www.matematica.pucminas.br/lcn/vcn1.htm. 
Trata-se de um software largamente utilizado na disciplina de Cálculo Numérico, 
oferecendo auxílio a estudantes, pesquisadores e profissionais de engenharias, computação ou 
 8 
qualquer curso de ciências exatas. 
O VCN possibilita opções como tratamento de funções reais de uma variável real; 
representações de erros e operadores numéricos, interpolação e extrapolação, derivação e 
integração numérica, equações diferenciais, cálculo de raízes, sistemas lineares, ajuste de 
curvas e aproximação de funções, otimização, somatório e produtório de termos em 
sequências numéricas, em sua maioria com opção de interpretação gráfica dos intervalos 
numéricos trabalhados. 
Seu fácil manuseio, perante conceitos prévios formados, agrega agilidade, 
confiabilidade e análise do comportamento dos dados inseridos. Segue Figura 4, página inicial 
do software. 
 
Figura 4: Página inicial do VCN em perspectiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Elaborada pelos autores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
2.3 Scilab 
 
O Scilab é um software livre de computação e programação numérica de propósito 
geral, desenvolvido na França em 1990, por pesquisadores do INRIA (Institut National de 
Recherche en Informatique et en Automatic) e do ENPC (École des Ponts ParisTech) 
(GOMEZ, 1999). Disponível em www.scilab.org. 
O software, por ser uma ferramenta computacional matemática completa, possui uma 
linguagem de programação própria. Apesar desse fato tornar o sistema muito atrativo, pois 
provê maior flexibilidade, requer de seu usuário o domínio prévio dessa linguagem. Segue 
Figura 5, página inicial do software. 
 
Figura 5: Página inicial do Scilab 
 
Fonte: Computador pessoal dos autores 
 
Muitas vezes o tempo na pesquisa científica ou na execução de trabalhos científicos é 
de extrema importância, por isso pesquisadores preferem trabalhar com outras ferramentas 
que apresentam mais dinamicidade e agilidade na inserção dos dados, embora o software 
Scilab ofereça a possibilidade de criação de interfaces pessoais mais ágeis, caixas Box de 
algoritmos próprios, em que o programador (usuário), com a utilização dos códigos 
disponíveis do programa, possa efetuar a criação desses pacotes específicos, com entradas 
mais acessíveis e diretas. Pensando na agilidade do software VCN, mas que não permite a 
inserção de mais de uma amostra de dados discretos em um mesmo sistema, que é de estrema 
valia para se fazer o levante de hipóteses e análise de comportamento de curvas simultâneas e 
distintas em uma mesma amostra, o pesquisador incluiu, em fase final da pesquisa, a criação 
de uma interface própria, a partir de um Box, com comandos básicos de aproximações de 
 
 10 
curvas a partir do software Scilab. 
O CalcX (Scilab), nome dado ao Box criado, tem como principal objetivo prover um 
meio mais acessível e direto. Sua interface permite a inserção de dados discretos com a opção, 
até o momento, de escolha entre os modelos de interpolação (Lagrange ou Splines Cúbicas) e 
ajustes (Polinomial de grau 1, grau superior ou Exponencial). Após a escolha do modelo, o 
CalcX (Scilab) fica responsável por gerar o código necessário para a representação do método 
escolhido, aplicado aos dados que foram inseridos pelo usuário. Como todo o código do 
Scilab é migrado para o CalcX (Scilab), não é preciso que o usuário do sistema tenha 
conhecimento prévio dos comandos e/ou programações de entrada do Scilab, sendo 
necessário apenas conhecimento dos modelos numéricos, que são disponibilizados no sistema, 
e suas funcionalidades. Seguem Box CalcX (Scilab) (Figura 6) e gráficos obtidos por ajustes 
simultâneos (Figura 7). 
Ao final deste caderno de atividades, Anexo A, uma unidade em CD disponibiliza o 
aplicativo do Box CalcX (Scilab) e instalador do Software Scilab, necessário para que o Box 
seja utilizado. Será também necessário, e já instalado no respectivo computador, o aplicativo 
Java, gratuito e disponível em http://www.java.com/pt_BR. 
 
Figura 6: Interface de entrada do Box CalcX (Scilab) 
 
Fonte: Edilson Anselmo Corrêa Júnior 2 
 
 
2 Edilson Anselmo Corrêa Júnior atualmente cursa o 7º período de Ciência da Computação do UNIFOR-MG, é 
monitor de Cálculo Numérico e colaborador voluntário da pesquisa. 
 11 
Figura 7: Gráfico de ajustes simultâneos no CalcX (Scilab) 
 
Fonte: Edilson Anselmo Corrêa Júnior 
 
 
A próxima seção apresenta o conjunto de atividades reelaboradas, acrescidas e/ou 
adaptadas, sugerindo uma sequência de aplicação, mas deixa ao seu tutor, liberdade de 
associar combinações entre três categorias designadas como: atividade piloto, atividades 
aplicadas e atividades complementares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
3 ATIVIDADES 
 
Na prática educativa, a unidade mais elementar que constitui o processo educativo é 
definida por Zabala (1998) como atividade ou tarefa, e pode-se considerar uma atividade 
como uma exposição, um debate, uma pesquisa, uma observação, um exercício, um estudo, 
etc. A maneira como as atividades são desenvolvidas, a ordem como são apresentadas, as 
relações que se estabelecem entre essas atividades, determinam o tipo e as características do 
ensino. 
O conjunto de dez atividades deste caderno é assim distribuído: uma atividade piloto, 
seis atividades aplicadas etrês atividades extras. Os autores sugerem a sequência, iniciando 
pela atividade piloto, com intuito de levantar a curiosidade dos estudantes quanto às 
diferentes curvas que se aproximam de dados discretos de uma amostra, uma vez que neste 
início, é possível que os alunos ainda não tenham conhecimento do assunto e menos ainda da 
obtenção dessas curvas aproximadas, já oferecidas na questão. Iniciadas a atividades 
aplicadas, a sequência sugere o estudo de polinômios interpoladores e, gradativamente, vai 
incluindo a utilização de curvas obtidas por ajustes. Dentre as atividades aplicadas, cinco 
delas fizeram parte da pesquisa de mestrado do primeiro autor, já a atividade aplicada 3, foi 
acrescida à sequência. 
Ao final das atividades aplicadas, três atividades complementares tendem a reforçá-
las, uma vez que o tutor das atividades, professor ou aluno, possa intercalar sua aplicação 
como julgar necessária. Mais atividades podem ser instrumento de estudo e exercícios 
complementares se buscadas junto a autores de Cálculo Numérico e Cálculo Diferencial e 
Integral, constantes nas referências finais deste caderno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
Atividade Piloto 
 
 
Atividade: 
Comparação dos dados de uma amostra com funções algébricas predefinidas. 
 
Proposta: 
Levantar a importância da visualização gráfica e do comportamento dos dados discretos de 
uma função real específica com funções distintas aproximadas. 
 
Objetivo: 
 Comparar modelos de diversas funções reais com os dados discretos de uma amostra, a 
fim de estabelecer uma possível semelhança de comportamento entre os dados e os 
modelos. 
 
 
QUESTÃO: 
 
Considere a função   2xf x  como sendo a função referência para esta atividade. Em 
seguida, faça o que se pede. 
 
a) No quadro abaixo são dadas, a função referência   2xf x  e outras funções diferentes. 
Utilize-as, substituindo os valores de x sugeridos, registrando os resultados com 
aproximação de três casas decimais após a vírgula. Compare, numericamente, os 
respectivos resultados obtidos em cada função, em relação à função referência. 
 
Observação: Usaremos a notação y para uma função aproximada. 
ix 1 0x  2 0,5x  3 1x  4 1,5x  5 2x  6 2,5x  7 3x  
 
  2xif x = 1,000 1,414 2,000 2,828 4,000 5,657 8,000 
 
1iy x  
 
2iy x 
 20,5 0,5 1iy x x   
 
   31/ 6 5 / 6 1iy x x   
 
2,3 0,3iy x  
 20,75 0,05 1,05iy x x   
 0,69315
i
xy e 
 
b) Utilize o software GeoGebra para representar, no sistema de eixos, os sete pares 
ordenados   ,i ix f x , obtidos nas duas primeiras linhas da tabela. 
 
c) No mesmo sistema de eixos, trace a curva de   2xf x  e verifique a coincidência(*) da 
curva com os pares ordenados inseridos anteriormente. 
 
 14 
(*) Observação: Aqui neste texto, as palavras coincidência e identidade indicam a mesma 
posição ou valor relativo de dois objetos matemáticos. Por exemplo, dois pontos 
geométricos, A e B, podem ocupar uma mesma posição em um sistema, mesmo que sejam 
nomeados diferentemente, daí dizemos que A coincide com B. Outro exemplo, seria de 
duas funções distintas,  g x e  h x , que têm a mesma imagem para um mesmo valor 
específico de x k , daí dizemos que    g k h k , significando que a função  g x 
coincide com a função  h x quando x k , ou ainda, podemos dizer que a função g 
apresenta identidade com a função h quando x k . 
 
d) Ainda no mesmo sistema, insira, uma a uma, as curvas das funções seguintes, comparando 
os pontos   ,i ix f x com as respectivas curvas. Compare as possíveis coincidências dos 
pontos com as curvas (identidade entre as funções), retornando sempre aos valores obtidos 
na tabela do item a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
Atividade Aplicada 1 
 
 
Atividade: 
Interpolação linear. 
 
Proposta: 
Obtenção de Modelo Matemático para uma interpolação linear. 
 
Objetivos: 
 A presente atividade tem por objetivo a introdução de métodos de interpolação de dados 
diante de uma amostra de pontos definidos por duas grandezas. Visa ainda à abstração da 
situação problema diante da possibilidade de obtenção de valores desconhecidos, mas de 
possível estimação, isolados da complexidade das outras relações fenomenológicas. 
 Percepção da proporção existente em um comportamento linear como método plausível 
diante de subintervalos consecutivos de toda a amostra. Por final, análise diante de uma 
amostra que não apresenta uma taxa de variação constante e inviabiliza uma única 
interpolação linear para sua totalidade. 
 
 
QUESTÃO: 
 
O volume y de bactérias, em unidades de volume, existente em uma cultura após x horas, é 
apresentado na tabela abaixo, obtida a partir de experiência em laboratório em um período de 
quatro horas. 
 
x (horas) 0 1 2 3 4 
y (volume de bactérias) 32 47 65 92 132 
 
a) Pesquise sobre interpolação linear. 
 
b) Usando o software GeoGebra, discrimine os pontos descritos na tabulação acima e analise 
sua representação gráfica. 
 
c) É possível descobrir o volume de bactérias no instante x = 3 horas e 42 minutos? E no 
instante x = 1 hora e 25 minutos? Argumente. 
 
d) É possível estimar os valores de y(3h42min) e y(1h25min)? Argumente. Sendo afirmativa 
a resposta, estimem, de forma linear, esses valores diante de intervalos consecutivos de 
horas inteiras retirados da amostra. 
 
e) É possível criar um modelo linear único que admita a obtenção dos valores y no intervalo 
 0, 4x ? Se possível, obtenha-o. 
 
f) É possível criar um modelo linear que admita a obtenção de valores estimados entre os 
valores discretos das horas para cada intervalo de limitantes inteiros consecutivos de 0 a 4, 
ou seja, um modelo linear para 0 1x  , outro modelo para 1 2x  , outro para 
2 3x  e outro para 3 4x  ? Se possível, obtenha-os. 
 
 
 
 
 
 16 
Atividade Aplicada 2 
 
 
Atividade: 
Interpolação polinomial. 
 
Proposta: 
Utilização de sistemas lineares para obtenção de polinômios interpoladores. 
 
Objetivos: 
 Em se tratando de pontos definidos por uma relação que possa expressar uma função 
 y f x , espera-se a análise diante de um intervalo fechado, a princípio contínuo, para 
obtenção de um polinômio  P x y que seja idêntico à função nos dados da amostra 
  ,k kx f x , ou seja,    k kP x f x . “Toda função contínua pode ser arbitrariamente 
aproximada por um polinômio”. (WEIERSTRASS apud FRANCO, 2006, p. 287). 
 Além do grau plausível do polinômio interpolador, pretende-se instigar o aluno a perceber a 
variabilidade de possível erro diante de diferentes graus de polinômios interpoladores em 
uma mesma amostra. 
 
 
QUESTÃO: 
 
Analise a relação e, em seguida, faça o que se pede. 
x 0 1 2 3 4 
y 32 47 65 92 132 
 
a) A representação gráfica dos pares ordenados sugere uma tendência linear ou não linear? 
Justifique. 
 
b) Tome dois pares consecutivos  ,x y e obtenha um polinômio de grau 1 que os contenha. 
Utilize sistemas lineares para tal, métodos diretos, montando-o em seu caderno e, em 
seguida, efetue os respectivos cálculos no programa VCN (Visual Cálculo Numérico). 
 
c) Tome dois pares não consecutivos  ,x y e obtenha um polinômio  P x de grau 1 que os 
contenha. Use sistemas lineares para tal e, em seguida, verifique se o(s) par(es) 
intermediário(s) aos pares escolhidos a princípio geram identidade em  P x . Houve 
algum erro cometido? Monte o sistema no caderno e efetue os cálculos no VCN. 
 
d) Tome agora três pares consecutivos  ,x y e obtenha um polinômio  P x de grau 2 que os 
contenha. Monte o sistema no caderno e efetue os cálculos no VCN. 
 
e) Tome três pares não consecutivos  ,x y e obtenha um polinômio  P x de grau 2 que os 
contenha. Use sistemas lineares para tal e, em seguida, verifique se o(s) par(es) 
intermediário(s) aos pares escolhidosa princípio geram identidade em  P x . Houve 
algum erro cometido? Monte o sistema no caderno e efetue os cálculos no VCN. 
 
f) Represente graficamente, em um mesmo sistema, os polinômios interpoladores obtidos 
explicitando os pares da amostra, principalmente as coincidências com os respectivos 
polinômios. 
 
g) Seria possível obter um polinômio  P x que seja coincidente com todos os pontos da 
amostra? Caso a resposta seja afirmativa, obtenha  P x e analise seus possíveis graus. 
 17 
Atividade Aplicada 3 
 
 
Atividade: 
Obtenção de polinômio interpolador, integração numérica e minimização de erros. 
 
Proposta: 
Otimizar valores a partir de dados discretos utilizando a interpolação como modelo auxiliar 
para a aplicação de Cálculo Diferencial Integral e também de Métodos Numéricos. 
 
Objetivo: 
 Aplicar um modelo de interpolação em uma amostra, utilizando-o como suporte para 
obtenção de resultados almejados. 
 
 
QUESTÃO: 
 
A função f, representada graficamente abaixo (Gráfico 1), descreve uma curva polinomial de 
grau 3 e evidencia três de seus pontos conhecidos A(0; 4), B(1; 2) e C(4; 5). 
 
 
 
Sabendo-se que um polinômio de grau 3 tem a forma canônica   3 2p x ax bx cx d    , com 
0a  , faça o que se pede. 
 
Dados: 
    
 4 4
 0 0
 nf x dx P x dx  , tal que  nP x é o polinômio interpolador de grau n de  f x 
no intervalo  0,4x ; 
 A área de um trapézio é dada por   
2
base maior base menorA alutra  . 
 
a) Determine    p x f x . 
 
b) Calcule a integral  
 4
 0
 f x dx . 
 
c) Calcule a medida da área delimitada pelo polígono cujos vértices são os pontos A, B, C, 
D(4; 0) e E(0; 0) (Gráfico 2). Compare o resultado obtido com o resultado da integral do 
item b. 
 
 
Gráfico 1 
 18 
 
 
d) Obtenha  2f e calcule a medida da área delimitada pelo polígono cujos vértices são os 
pontos A, B, C,   P 2; 2f , D e E (Gráfico 3). Compare o resultado obtido com o 
resultado da integral do item b. 
 
 
 
e) Obtenha  3f e calcule a medida da área delimitada pelo polígono cujos vértices são os 
pontos A, B, C, P ,   3; 3Q f , D e E (Gráfico 4). Compare o resultado obtido com o 
resultado da integral do item b. 
 
 
 
f) Se possível, obtenha mais valores desconhecidos da função f no intervalo 0 4x  , 
aumentando assim o número de pontos conhecidos da função e, em seguida, obtenha a 
área do polígono cujos vértices são formados pelos pontos conhecidos da função e os 
pontos D e E. Compare sempre os resultados obtidos com a integral do item b. 
Gráfico 2 
Gráfico 3 
Gráfico 4 
 19 
Atividade Aplicada 4 
 
 
Atividade: 
Ajuste de função e interpolação polinomial. 
 
Proposta: 
Utilização do método de Lagrange para interpolação polinomial e ajuste de curvas como 
aproximação de funções. 
 
Objetivos: 
 Verificar as inviabilidades de interpolação polinomiais diante de grandes variações 
oscilatórias; 
 Analisar e minimizar erros cometidos a partir da aproximação de funções. 
 
 
QUESTÃO: 
 
A velocidade de um móvel foi registrada em intervalos com variação de 5 minutos em um 
período de 45 minutos. 
 
t: tempo (min) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 
v: velocidade 
(km/min) 0 1,5 1,7 1,75 2,0 1,8 1,75 1,6 1,66 1,6 
 
a) A representação gráfica dos pares ordenados sugere uma tendência linear ou não linear? 
Justifique. 
 
b) Analise os ajustes polinomiais de grau 1 à grau 9. Use o software Visual Cálculo 
Numérico (VCN). 
 
c) Obtenha, por interpolação polinomial de Lagrange, uma estimativa da velocidade do 
móvel aos 7 minutos, primeiro através de um polinômio de maior grau possível e, 
segundo, através de um polinômio de grau dois que seja coincidente com três registros 
próximos dos 7 minutos. Compare os resultados obtidos, confrontando-os graficamente e 
numericamente. 
 
d) Obtenha, por interpolação polinomial de Lagrange, uma estimativa da velocidade do 
móvel aos 18 minutos, primeiro através de um polinômio de maior grau possível e, 
segundo, através de um polinômio de grau dois que seja coincidente com os três registros 
mais próximos dos 18 minutos. Compare os resultados obtidos, confrontando-os 
graficamente e numericamente. 
 
e) Repita o processo para uma estimativa de velocidade aos 43 minutos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
Atividade Aplicada 5 
 
 
Atividade: 
Ajuste de curvas e interpolação polinomial. 
 
Proposta: 
Aplicar conceitos de ajuste de curvas e interpolação de dados diante de processos numéricos 
com visualização gráfica. Estimar o momento de tendência de um crescimento logístico a 
partir de um ajuste linear. 
 
Objetivos: 
 Confirmar o ajuste como tendência de comportamento e também com aproximação de 
funções; 
 Interpretar o comportamento de polinômios ajustados de grau superior ao linear; 
 Analisar o comportamento do polinômio interpolador entre pontos consecutivos da 
amostra; 
 Priorizar ajuste e/ou interpolação diante de valores discretos. 
 
 
QUESTÃO: 
 
O volume de bactérias, em unidade v de volume, existente em uma cultura após t horas está 
apresentado na tabela abaixo, tabela esta obtida a partir de experiência em laboratório em um 
período de nove horas. 
 
T (horas) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
v (volume de 
bactérias) 32 47 65 92 132 148 158 166 172 175 
 
a) Represente a amostra em um sistema cartesiano. 
 
b) Aplique os ajustes polinomiais necessários para definir uma tendência de crescimento 
populacional. 
 
c) Diante da mesma amostra registrada e informada anteriormente durante as quatro 
primeiras horas de experimento, a interpolação polinomial pode ser considerada como 
método plausível para uma extrapolação ou até mesmo com tendência, mesmo 
desconsiderando condições fenomenológicas? 
 
d) Considerando que a população tenha atingido um volume que não assumirá grandes 
oscilações a partir das 9 horas de experimento, estime o momento em que a população 
tenderá a se estabilizar. Para isso utilize ajuste linear de pontos obtidos a partir de dados 
extraídos de variação média entre pontos consecutivos: 
 
   1 1, ,2 2
k k
k k
t tt v v x v x 
        
   
. 
 
/ 2t 0,5 
v 15 
 
 
 21 
V
ol
um
e 
V 
de
 b
ac
té
ria
s 
Tempo t (horas) 
Atividade Aplicada 6 
 
 
Atividade: 
Ajuste de função segundo equação modelo de crescimento logístico. 
 
Proposta: 
Resgatar, da atividade anterior, resultados plausíveis obtidos a partir das interpolações 
polinomiais e ajuste, aplicando-os de forma a obter os parâmetros necessários da curva 
logística que melhor se adapte à respectiva amostra de dados. 
 
Objetivos: 
 Confirmar o ajuste como tendência de comportamento e também com aproximação de 
funções; 
 Interpretar o comportamento de uma amostra que sugere um crescimento populacional e 
adaptá-la ao modelo de crescimento logístico de Verhulst. 
 
 
QUESTÃO: 
 
Na Atividade 5, item a, você percebeu que o gráfico que descrevia o aumento do volume V de 
bactérias ao longo do tempo t, apresentava uma configuração que se aproximava do modelo: 
 
 
 
 
Este exemplo mostra a forma geral como cresce uma população de seres vivos (pessoas, 
animais, plantas), isto é, uma população cresce muito em seus estágios iniciais, mas com o 
tempo tende a se estabilizar (a taxa de crescimento tende a zero), se aproxima de um valor 
chamado valor suporte, pois os próprios recursos materiais (alimento, espaço, acessibilidade, 
etc.) são limitados e impedem um crescimento ilimitado infinito. Neste contexto da Atividade 
5, item d, você montou uma tabela especial, que lhe permitiu ver que ao longo das horas as 
diferenças entre os volumes de bactérias tenderam a ser cada vez menores. Você, certamente, 
concluiu que o volume de bactérias tenderá a se estabilizar quando a diferença V for zero. 
Isto lhe permitiu usar ajuste linear e estimar o tempo t para um valor suporte da população. 
 
Pede-se: 
 
1. Qual a equação obtida com o ajuste linear na questão 5 item d e qual o valor encontrado 
de t para a populaçãosuporte? 
 
2. Agora substitua o valor encontrado de t no polinômio que você achou (julgou) mais viável 
 22 
no item b da Atividade 5 e calcule o volume de bactérias. Ele será o volume suporte de 
bactérias? Por que? 
 
 
3. O matemático Verhulst3 (Matemático e doutor na teoria dos números da Universidade de 
Gante em 1825, Bruxelas, Bélgica) estabeleceu uma equação como modelo deste tipo de 
crescimento populacional: 
 
 
   
0
0 0
at
k PP t
P k P e


 
, 
onde: 
 
P (t) : população no momento t; 
k : população suporte 
P0 : população no início do experimento; 
e : número de Euler; 
a : taxa de crescimento intrínseca; 
t : momento. 
 
 Use o 2º ponto da tabela (t =1, V = 47) e calcule o valor de a na equação acima. Reescreva 
a equação e faça sua representação gráfica. 
 
4. Use a equação do item 3 e o VCN para gerar uma tabela que possa ser comparada com a 
tabela da Atividade 5. 
 
5. Comente a tabela encontrada no item 4, comparativamente com a original. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Seu modelo de crescimento populacional, proposto em 1838, é baseado na avaliação de estatísticas disponíveis 
e complementa a teoria do crescimento exponencial com termos representando os fatores de inibição do 
crescimento. Após uma posterior elaboração foi publicada num trabalho de 1845. Desde os anos 1970 do século 
XX a equação logística tem recebido grande atenção como exemplo importante da teoria do caos. Verhulst 
publicou em 1838 a equação logística. 
 23 
Atividade Complementar 1 
 
 
Atividade: 
Interpolação polinomial e cálculo de raízes 
 
Proposta: 
Utilização de um modelo de função aproximada, talvez neste caso um polinômio interpolador, 
para obtenção do cálculo de raízes. 
 
Objetivo: 
 Mostrar necessária a obtenção de um modelo de função aproximada antecedendo o cálculo 
aplicado exigido na situação problema. 
 
 
QUESTÃO: 
 
Certo experimento em laboratório, registrou a variação de temperatura em um período de 04 
(quatro horas). De hora em hora, a partir do início da experiência, foram feitas leituras dessa 
temperatura. Sabe-se que tal variação aconteceu segundo informação gráfica abaixo, cujo 
comportamento se aproxima de uma curva polinomial de grau três, parcialmente representada 
e ilustrada no gráfico abaixo. 
 
 
 
Pede-se: 
 
Use precisão de 10-2 para a obtenção do resultado e o número mínimo de casas decimais 
após a vírgula para os cálculos. 
 
a) Determinar o momento, hora, minutos e segundos, em que a temperatura atingiu, pela 
primeira, vez 8 ºC (oito graus Celsius)? 
 
b) Determinar o momento, hora, minutos e segundos, em que a temperatura se anula depois 
do início do experimento? 
 
 
 24 
Atividade Complementar 2 
 
 
Atividade: 
Ajuste polinomial de funções com análise dos resíduos. 
 
Proposta: 
Obtenção de modelos de ajuste polinomiais em uma amostra e análise de erros e resíduos 
resultantes dos respectivos ajustes. 
 
Objetivos: 
 Iterações, a partir de software de aplicável, de diferentes graus de curvas polinomiais em 
torno de uma amostra de pontos discretos; 
 Construir o conceito visual dos erros e resíduos resultantes de ajustes diante dos pontos da 
amostra, confrontando-os com resultados numéricos obtidos por ajustes. 
 Análise acerca do melhor grau do polinômio ajustado. 
 
 
QUESTÃO: 
 
Considere a amostra entre duas grandezas, tais que y é função de x: 
x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 
y 2,450 3,450 4,500 3,800 2,000 
 
Utilize o software Visual Cálculo Numérico (VCN) para efetuar as atividades seguintes; 
 
1. Trabalhe o software VCN com aproximação de quatro casas após a vírgula. 
Abra o aplicativo → Utilitários → Precisão do Número em Casas Decimais → Aplica → Fecha 
 
2. Faça cada um dos respectivos ajustes polinomiais, utilizando os cinco pontos da amostra; 
Ajustes de curvas → Ajuste Polinomial 
 
a) Faça o ajuste polinomial de grau 1, em seguida plote seu gráfico (Comando: Gráfico >>). 
Registre e faça a análise para cada valor de x da amostra: 
 
Para 0,1x  
 
 y x
 
 Valor calculado Erro Resíduo 
Soma 
dos 
resíduos 
 
 
Para 0,2x  
 
 y x
 
 Valor calculado Erro Resíduo 
Soma 
dos 
resíduos 
 
 
Para 0,3x  
 
 y x
 
 Valor calculado Erro Resíduo 
 Soma 
dos 
resíduos 
 
 
Para 0,4x  
 
 y x
 
 Valor calculado Erro Resíduo 
 Soma 
dos 
resíduos 
 
 
Para 0,5x  
 
 y x
 
 Valor calculado Erro Resíduo 
 Soma 
dos 
resíduos 
 
 25 
b) Faça o ajuste polinomial de grau 2, em seguida plote seu gráfico (Comando: Gráfico >>). 
Registre e faça a análise para cada valor de x da amostra: 
 
Para 0,1x  
 
 y x
 
 Valor calculado Erro Resíduo 
 Soma 
dos 
resíduos 
 
 
Para 0,2x  
 
 y x
 
 Valor calculado Erro Resíduo 
 Soma 
dos 
resíduos 
 
 
Para 0,3x  
 
 y x
 
 Valor calculado Erro Resíduo 
 Soma 
dos 
resíduos 
 
 
Para 0,4x  
 
 y x
 
 Valor calculado Erro Resíduo 
 Soma 
dos 
resíduos 
 
 
Para 0,5x  
 
 y x
 
 Valor calculado Erro Resíduo 
 Soma 
dos 
resíduos 
 
 
c) Faça o ajuste polinomial de grau 3, em seguida plote seu gráfico (Comando: Gráfico >>). 
Registre e faça a análise para cada valor de x da amostra: 
 
Para 0,1x  
 
 y x
 
 Valor calculado Erro Resíduo 
 Soma 
dos 
resíduos 
 
 
Para 0,2x  
 
 y x
 
 Valor calculado Erro Resíduo 
 Soma 
dos 
resíduos 
 
 
Para 0,3x  
 
 y x
 
 Valor calculado Erro Resíduo 
 Soma 
dos 
resíduos 
 
 
Para 0,4x  
 
 y x
 
 Valor calculado Erro Resíduo 
 Soma 
dos 
resíduos 
 
 
Para 0,5x  
 
 y x
 
 Valor calculado Erro Resíduo 
 Soma 
dos 
resíduos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
d) Faça o ajuste polinomial de grau 4, em seguida plote seu gráfico (Comando: Gráfico >>). 
Registre e faça a análise para cada valor de x da amostra: 
 
Para 0,1x  
 
 y x
 
 Valor calculado Erro Resíduo 
 Soma 
dos 
resíduos 
 
 
Para 0,2x  
 
 y x
 
 Valor calculado Erro Resíduo 
 Soma 
dos 
resíduos 
 
 
Para 0,3x  
 
 y x
 
 Valor calculado Erro Resíduo 
 Soma 
dos 
resíduos 
 
 
Para 0,4x  
 
 y x
 
 Valor calculado Erro Resíduo 
 Soma 
dos 
resíduos 
 
 
Para 0,5x  
 
 y x
 
 Valor calculado Erro Resíduo 
 Soma 
dos 
resíduos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
Atividade Complementar 3 
 
 
Atividade: 
Otimização de valores de uma amostra de dados discretos. 
 
Proposta: 
Utilização de um modelo de uma função polinomial, necessário à otimização de valores. 
 
Objetivo: 
 Permitir ao estudante perceber que, diante de uma amostra de dados discretos, torna-se 
viável a obtenção de um modelo matemático que traduza, de forma mais fiel possível, o 
comportamento dos dados no respectivo intervalo, tornando esse modelo instrumento para 
estimativas confiáveis. 
 
 
QUESTÃO: (STEWART, 2011, v.1, Adaptado) 
 
Em 7 de maio de 1992, o ônibus espacial Endeavour foi lançado na missão STS-49. A tabela 
a seguir fornece os dados da velocidade do ônibus entre o lançamento e a ejeção dos foguetes 
auxiliares. 
 
Evento Tempo (s) Velocidade (m/s) 
 
Lançamento 
Começo da manobra de inclinação 
Fim da manobra de inclinação 
Regulador de combustível a 89% 
Regulador de combustível a 67% 
Regulador de combustível a 104% 
Pressão dinâmica máxima 
Separação do foguete auxiliar 
 
 0 
10 
15 
20 
32 
59 
62 
 125 
 
0 
 56,4 
 97,2 
 136,2 
 226,2 
 403,9 
 440,4 
 1 265,2 
 
a) Use uma calculadora gráfica ou computador para encontrar o polinômio cúbico que 
melhor modele a velocidade do ônibus para o intervalo de tempo  0,125t . Faça então o 
gráfico desse polinômio. 
 
b) Estime a velocidade do ônibus aos 25 segundos e tambéma 1 minuto do lançamento. 
 
c) Encontre um modelo para a aceleração do ônibus e use-o para estimar os valores, máximo 
e mínimo, da aceleração durante aos primeiros 125 segundos. 
 
 
 
 
 
 
 28 
REFERÊNCIAS 
 
 
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software. São Paulo: Thomson, 2008. 
 
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BASSANEZI, Rodney C. Ensino Aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: 
Contexto Editora, 2011. 
 
BURAK, Dionísoi. Modelagem Matemática e a Sala de Aula. In: I EPMEM -Encontro 
Paranaense da Modelagem Na Educação Matemática., 2004, Londrina, PR. Anais do I 
EPMEM, 2004. 
 
BURDEN, Richard L.; FARIES, J. Douglas. Análise Numérica: Tradução da 8ª edição 
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CAMPOS, Frederico Ferreira. Algorítmos Numéricos. Rio de Janeiro: LTC, 2007. 
 
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CHAPRA, S. C.; CANALE, R.. Métodos Numéricos para Engenharia. São Paulo, 
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DOLIS, Maria. Ensino de Cálculo e o processo de modelagem. Dissertação de Mestrado. 
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FRANCO, Neide Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
GEOGEBRA. Instituto GeoGebra no Rio de Janeiro. O que é o GeoGebra? Disponível em: 
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GOMEZ, Claude. Engineering and scientific computing: with Scilab. Boston, Mass: 
Birkhauser, 1999. 
 
LARSON, Ron; HOSTETLER, Robert P.; EDWARDS, Bruce H. Cálculo. 8 ed. São Paulo: 
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NOVAES, Diva Valério; QUEIROZ Cileda de; COUTINHO, Silva. Estatística para 
Educação: Profissional e Tecnológico. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2013. 
 
PUGA, Leila Zardo; TÁRCIA, José Henrique Mendes; PAZ, Álvaro Puga. Cálculo 
Numérico. São Paulo: LCTE Editora, 2009. 
 29 
RUGGIERO, Márcia A. Gomes; LOPES, Vera Lúcia da Rocha. Cálculo Numérico: 
Aspectos Computacionais. 2.ed. São Paulo: Makron Books, 1996. 
 
RURIAN, Reinaldo; LIMA, Antônio Carlos de; JÚNIOR, Annibal Hetem. Cálculo 
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SPERANDIO, Décio; MENDES, João Teixeira; SILVA, Luiz Henry M.. Cálculo Numérico: 
Características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos. São Paulo: Pearson, 
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STEWART, James. Cálculo: tradução da 6ª edição norte-americana. 6. ed. São Paulo: 
Gengage Learning, 2011. v.1. 
 
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ZABALA, Antoni. A prática educativa: Como ensinar. Tradução: Ernani F. da F. Rosa. 
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WIKIPÉDIA. A enciclopédia livre. Pierre François Verhulst. Disponível em: 
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre_Fran%C3%A7ois_Verhulst>. Acesso em: 20 jan. 2014. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
ANEXO A – CD Aplicativo do Box CalcX (Scilab)