ebook (9) - Copia - Copia

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Cálculo de Esforços e Momentos Fletores 
em Lajes
Desenho e 
Cálculo Estrutural 
de Edificações
Diretor Executivo 
DAVID LIRA STEPHEN BARROS
Gerente Editorial 
ALESSANDRA VANESSA FERREIRA DOS SANTOS
Projeto Gráfico 
TIAGO DA ROCHA
Autoria 
FABIANA MATOS DA SILVA
AUTORIA
Fabiana Matos Da Silva
Olá! Sou formada em Engenharia de Produção Mecânica e atuei 
na indústria automobilística na Região do Vale do Paraíba. Meu interesse 
pela área técnica nasceu com minha passagem pelo SENAI, no curso de 
Aprendizagem Industrial em Eletricista de Manutenção e, depois disso, 
fiz o curso Técnico em Mecânica. Entender como as coisas funcionam 
sempre foi minha motivação maior nesse período de aprendizagem. 
Passei por algumas empresas da região, mas sempre me senti motivada 
pela vontade de aprender cada vez mais. Participei do Programa Agente 
Local de Inovação- CNPq – SEBRAE, onde auxiliávamos pequenas 
empresas fomentando ações inovadoras dentro de seus limites. Foi assim 
que me apaixonei pela Inovação e iniciei meu mestrado em Gestão e 
Desenvolvimento Regional, estudando a temática Desenvolvimento da 
Inovação em Pequenas e Médias Empresas da Região Metropolitana 
do Vale do Paraíba e Litoral Norte. Sou apaixonada pelo que faço 
e principalmente pela transmissão de conhecimento. Acredito que 
compartilhar meus conhecimentos e minha experiência de vida com 
aqueles que estão iniciando em suas profissões tem grande valia. Por isso 
fui convidada pela Editora Telesapiens a integrar seu elenco de autores 
independentes. Estou muito feliz em poder ajudar você nesta fase de 
muito estudo e trabalho. 
Conte comigo!
ICONOGRÁFICOS
Olá. Esses ícones irão aparecer em sua trilha de aprendizagem toda vez 
que:
OBJETIVO:
para o início do 
desenvolvimento 
de uma nova 
competência;
DEFINIÇÃO:
houver necessidade 
de apresentar um 
novo conceito;
NOTA:
quando necessárias 
observações ou 
complementações 
para o seu 
conhecimento;
IMPORTANTE:
as observações 
escritas tiveram que 
ser priorizadas para 
você;
EXPLICANDO 
MELHOR: 
algo precisa ser 
melhor explicado ou 
detalhado;
VOCÊ SABIA?
curiosidades e 
indagações lúdicas 
sobre o tema em 
estudo, se forem 
necessárias;
SAIBA MAIS: 
textos, referências 
bibliográficas 
e links para 
aprofundamento do 
seu conhecimento;
REFLITA:
se houver a 
necessidade de 
chamar a atenção 
sobre algo a ser 
refletido ou discutido;
ACESSE: 
se for preciso acessar 
um ou mais sites 
para fazer download, 
assistir vídeos, ler 
textos, ouvir podcast;
RESUMINDO:
quando for preciso 
fazer um resumo 
acumulativo das 
últimas abordagens;
ATIVIDADES: 
quando alguma 
atividade de 
autoaprendizagem 
for aplicada;
TESTANDO:
quando uma 
competência for 
concluída e questões 
forem explicadas;
SUMÁRIO
Exemplos de Esquemas Estáticos para Lajes Maciças ............... 12
Lajes Maciças ..................................................................................................................................... 12
Vãos Livres, Vãos Teóricos e Classificação das Lajes ....................... 14
Esquemas Estáticos ...................................................................................................................... 18
Tipos de Condições de Vinculação para Lajes Isoladas ............ 25
Lajes Isoladas .....................................................................................................................................25
Vinculação de Lajes Isoladas .................................................................................................27
Calculando os Esforços Solicitantes em uma Laje Maciça .......36
Lajes Maciças Retangulares ................................................................................................... 36
Esforços em Lajes Armadas em uma Direção ........................................37
Esforços Solicitantes ............................................................................. 38
Dimensionamento à Flexão .............................................................. 39
Esforços em Lajes Armadas em Duas Direções (Em Cruz) ...........43
Esforços nas Lajes Isoladas...............................................................45
Método Simplificado Aplicado a Pisos de Edifícios ........ 46
Calculando os Momentos Fletores em uma Laje Maciça ..........49
Momentos Fletores Solicitantes .......................................................................................... 50
Lajes Armadas em uma Direção ...................................................................... 50
Lajes Armadas em Duas Direções...................................................................54
Compatibilização dos Momentos Fletores ...............................................57
Momentos Volventes ................................................................................................ 59
9
UNIDADE
03
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
10
INTRODUÇÃO
Você sabia que para garantir a estabilidade e resistência em um 
edifício existem cálculos extremamente necessários que devem ser 
realizados nos dimensionamentos dos elementos estruturais? Tão 
importante quanto o dimensionamento de fundações, vigas e pilares, o 
dimensionamento das lajes maciças é essencial para que a edificação 
atinja sua finalidade de projeto de maneira adequada. Para esses 
dimensionamentos devemos levar em consideração os vãos existentes 
entre as lajes, as condições de vinculação entre elas, os esforços 
solicitantes que são atuantes e ainda os momentos fletores que exercem 
força sobre as lajes. Há vários sistemas que podem ser utilizados e ainda 
as diversas características presentes nas lajes para que esse processo 
seja realizado da maneira mais segura e confiável possível. Entendeu? Ao 
longo desta unidade letiva você vai mergulhar neste universo
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
11
OBJETIVOS
Olá. Seja muito bem-vindo à Unidade III. Nosso objetivo é auxiliar 
você no desenvolvimento das seguintes competências profissionais até o 
término desta etapa de estudos:
1. Identificar exemplos de esquemas estáticos para lajes maciças.
2. Avaliar e discernir sobre as condições de vinculação para lajes 
isoladas.
3. Calcular os esforços solicitantes em uma estrutura de edificação.
4. Calcular os momentos fletores em uma estrutura de edificação.
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
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Exemplos de Esquemas Estáticos para 
Lajes Maciças
OBJETIVO:
Ao término deste capítulo você será capaz de identificar 
as principais características das lajes maciças, seus 
componentes e suas indicações de uso. Você também 
vai conhecer e entender os principais esquemas estáticos 
utilizados na representação desse tipo de laje e sua 
importância para a elaboração de um projeto arquitetônico 
de edificação. E então, motivado para desenvolver mais 
algumas competências? Então vamos lá. Avante!.
Lajes Maciças
As são responsáveis por transmitir as cargas do piso para as vigas 
que a sustentam. As vigas, por sua vez, transmitem a carga aos pilares 
que as destinam às fundações para enfim chegar ao solo (BASTOS, 2021).
Geralmente as lajes são elementos dispostos na horizontal e com 
duas dimensões (bidimensionais) muito maiores que a terceira, que é a 
espessura. As cargas recebidas pelas lajes são carregamentos atuantes 
no andar que são gerados dependendo do uso da construção. São eles: 
pessoas, móveis, instalações, equipamentos e tudo aquilo que será 
utilizado no prédio (PINHEIRO et al., 2003).
Ainda sobre as cargas recebidas pelas lajes, geralmente elas 
são perpendiculares ao plano da laje e podem ser divididas na área, 
distribuídas linearmente ou concentradas. Contudo, também podem 
ocorrer ações externas na forma de momentos fletores, que normalmente 
são aplicados nas bordas das lajes. Neste caso, as ações são transmitidas 
para as vigas de apoio nas bordas da laje ou, eventualmente, podem ser 
transmitidas diretamente para os pilares (no caso da lajelisa, com ou sem 
capitel) (BASTOS, 2021).
A laje maciça é um tipo de laje que tem toda a espessura composta 
por concreto, tem armaduras longitudinais de flexão, armaduras 
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
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transversais (eventualmente) e é apoiada em vigas ou paredes ao longo 
das bordas, conforme podemos observar na figura a seguir. As lajes 
podem ser de concreto armado ou de concreto protendido, variando de 
acordo com a necessidade demonstrada no projeto. Aqui focaremos nas 
lajes retangulares de concreto armado.
Figura 1 - Laje Maciça apoiada em vigas
Fonte: Araújo (2020, p. 2).
Existem ainda outros tipos de lajes de concreto, conhecidas 
como laje lisa e laje cogumelo. Nesses tipos de lajes outras ações são 
transferidas diretamente aos pilares, sem apoios em suas bordas. Vale 
ressaltar que, no Brasil, por uma questão de hábito, se costuma chamar a 
laje de concreto apoiada nas bordas de laje maciça.
Figura 2 - Laje cogumelo e laje lisa
Fonte: Araújo (2020, p. 3).
As lajes maciças de concreto têm uma espessura que pode variar 
entre 8cm e 15cm e são projetadas para vários tipos de edificações, tais 
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
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como: edifícios de múltiplos pavimentos (residenciais, comerciais etc.), 
muros de arrimo, escadas, reservatórios e edificações de grande porte 
(escolas, indústrias, hospitais, pontes e viadutos). No esquema a seguir 
(figura 3) podemos observar um exemplo de laje e suas dimensões 
em edifícios usuais. As lajes maciças consomem muito concreto, que 
corresponde a 50% do total o material utilizado (BASTOS, 2021).
Figura 3 - Laje de Concreto
Fonte: Araújo (2020, p. 7).
De maneira geral, em edificações residenciais e de pequeno porte 
não é recomendada a aplicação das lajes maciças, mas sim das lajes 
nervuradas pré-fabricadas: além do custo reduzido em relação à laje 
maciça, elas trazem grandes vantagens nos aspectos construtivos e de 
adequação ao projeto.
Vãos Livres, Vãos Teóricos e Classificação das 
Lajes
Para elaborar um projeto de lajes maciças o primeiro passo é 
determinar os vãos livres(l0), os vãos teóricos (l) e a relação existente entre 
os vãos teóricos que irão compor as lajes (PINHEIRO et al., 2003).
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
15
Consideramos como vão livre (l0) a distância livre existente entre 
as faces dos apoios. Em caso de laje em balanço, o vão livre se refere à 
distância entre a extremidade livre e a face do apoio.
Já o vão teórico (l), também conhecido como vão de cálculo, 
trata-se da distância entre os centros dos apoios, não sendo necessário 
adotar valores maiores que os seguintes (PINHEIRO et al., 2003):
 • Em laje isolada, o vão livre acrescido da espessura da laje no meio 
do vão.
 • No vão extremo de laje contínua, o vão livre acrescido da metade 
da dimensão do apoio interno e da metade da espessura da laje 
no meio do vão.
Figura 4 - Vão livre() e vão teórico ()
Fonte: Pinheiro (2003, p. 3).
Nas lajes em balanço, o vão teórico é o comprimento entre a 
extremidade e o eixo central do apoio, não sendo necessário, portanto, 
que se considerem os valores superiores ao vão livre acrescido da metade 
da espessura da laje na face de seu apoio (PINHEIRO et al., 2003).
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
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Assim sendo, de acordo com Pinheiro (2003), ao serem identificados 
os vãos teóricos deve-se considerar que vai corresponder ao menor 
vão e será o maior. Desse modo, teremos: . Conforme o 
resultado obtido para λ, é adotada a seguinte classificação para as lajes 
maciças:
 • Laje armada em duas direções.
 • Laje armada em uma direção.
Devemos ressaltar que existe um tipo de classificação extremamente 
importante que se refere à direção (ou às direções) da armadura principal. 
Nesse caso existem dois tipos: laje armada em uma direção ou laje 
armada em duas direções.
 • Laje armada em uma direção: relação entre o lado maior e o lado 
menor superior a dois, ou seja:
Onde: 
 = lado menor.
 = lado maior.
Devemos perceber que os esforços solicitantes de maior magnitude 
acontecem de acordo com a direção do menor vão conhecido como: 
direção principal. Em relação à outra direção, chamada de: direção 
secundária, os esforços solicitantes são menores, e por esse motivo 
geralmente passam a ser desprezados na realização dos cálculos. Para o 
cálculo dos esforços solicitantes e das flechas deve-se calcular supondo 
que a laje tenha uma viga com largura de 1m, seguindo sempre a direção 
principal da laje. (BASTOS, 2021)
Figura 5 - Vãos da laje retangular armada em uma direção.
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
17
Fonte: Bastos (2021, p. 2).
 • Laje armada em duas direções (em cruz): os esforços solicitantes 
são importantes, de acordo com as duas direções principais 
encontradas na laje. A relação entre os lados é menor que dois, 
ou seja:
Onde: 
 = lado menor.
 = lado maior.
Figura 6 - Vãos da laje retangular armada em duas direções.
Fonte: Bastos (2021, p. 2).
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
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Podemos, ainda, classificar as lajes maciças por diferentes critérios, 
tais como: forma geométrica, tipos de vínculos nos apoios, direção 
etc. De acordo com Bastos (2021), as formas geométricas aplicadas às 
lajes maciças podem ter as mais variadas formas, contudo, de modo 
geral, a forma retangular é a mais adotada. Atualmente, os programas 
computacionais estão muito bem preparados e esse tipo de laje pode 
ser facilmente calculada e dimensionada utilizando quaisquer formas 
geométricas e carregamentos. 
Esquemas Estáticos
A estática das construções foi elaborada por conta da necessidade 
de exemplificar os esforços atuantes nos elementos básicos estruturais. 
Desse modo, para que consigamos efetuar o cálculo dos esforços 
solicitantes presentes nos elementos estruturais — sem esquecer 
nenhuma ação ou sem que o projeto perca o equilíbrio entre as forças — 
é realizada a execução de um esquema estático (ALMEIDA, 2006).
O esquema estático demonstra o sequenciamento de cargas a 
serem transportadas desde os pavimentos mais altos até o solo. Os 
elementos estruturais representados nesses esquemas vão sendo 
elencados e, a partir daí, realiza-se a distribuição das ações referentes a 
cada um deles. 
Os formatos adotados para representação dos elementos na 
esquematização são:
 • Barras: vigas e pilares.
 • Placas: lajes.
 • Chapas: paredes e vigas paredes.
 • Blocos: blocos de fundação.
A adoção de esquemas estáticos é uma forma de interligar os 
elementos estruturais existentes e realizar seu percurso de transmissão 
de ações até atingir o solo, sem que a estabilidade seja perdida. Em 
cada barra haverão esforços correspondentes a cada carregamento e 
vinculação (ALMEIDA, 2006).
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
19
Para entendermos como funcionam os esquemas estáticos no 
dimensionamento de um projeto estrutural, devemos primeiro entender 
que, ao se tratar de uma estrutura, estamos falando da parte da edificação 
que deve suportar os esforços nela aplicados. Os esforços que atuam em 
uma estrutura são classificados em esforços externos, que são aplicados 
por outros agentes, e esforços internos, que aparecem nos pontos 
internos dos sólidos da estrutura, oriundos da existência dos externos 
(MORILLA, 2010).
Para compor um esquema estático devemos entender quais os 
sistemas de identificação utilizados para os elementos, as ações e as 
reações que estão sendo analisadas. O primeiro passo é determinar quais 
os esforços de ação e de reação existentes nas estruturas, sua composição 
e seu respectivo detalhamento em um esquema estático.
Os esforços de ação que atuam nas estruturas podem ser 
classificados como forças (concentradas ou distribuídas) ou momentos:
 • Força concentrada: é aplicada em um único ponto. O tamanho 
do vetor representa a intensidade da força e a direção representa 
o sentido da força.No esquema a seguir podemos observar a 
representação de uma força concentrada de 5kN aplicada no 
ponto A de uma barra de três metros (MORILLA, 2010).
Figura 07 - Força concentrada aplicada 
Fonte: Morilla (2010, p. 6).
 • Força distribuída: para considerar se uma força é distribuída 
devemos observar se sua aplicação em um corpo é realizada 
em mais de um ponto específico. Em relação à essa distribuição, 
podemos classificá-las em (MORILLA, 2010): 
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
20
a. Forças distribuídas volumetricamente: são distribuídas de acordo 
com volume de um corpo. Exemplo: a força peso.
b. Forças distribuídas superficialmente: são distribuídas pela 
superfície do corpo. Exemplo: a pressão. 
c. Forças distribuídas linearmente: são distribuídas ao longo de uma 
linha. São semelhantes à força concentrada, contudo, este tipo de 
força é uma aproximação. Exemplo: uma força distribuída aplicada 
na parte superior de uma viga retangular.
 • Observe a figura a seguir.
Figura 8 - Distribuição de Força
Fonte: Morilla (2010, p. 6).
Podemos observar, na sequência de imagens agrupadas na figura 
8, um exemplo de montagem do esquema estático sobre as forças que 
são distribuídas linearmente sobre um determinado corpo. Pode-se dizer 
que a força total da distribuição (F) nada mais é do que a soma de todas 
as forças ao longo da distribuição. Dessa maneira, concluímos que a força 
total de distribuição é a integral da função q(x) ao longo de L.
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
21
De acordo com Morilla (2010), podemos observar na imagem B, 
que a posição equivalente desta força, com relação à distribuição, é o 
centro de gravidade da distribuição. Assim sendo, a força resultante de 
um carregamento é numericamente igual à área delimitada pela sua 
distribuição. A posição relativa desta força é o centro de gravidade da 
figura formada na distribuição. 
Figura 9 - Exemplos de esquemas estáticos de distribuição de forças 
Fonte: Elaborado pela autora com base em Morilla (2010, p. 6-7).
 • Momentos: na representação plana, um momento não será 
representado pelo seu vetor, mas sim pela verificação de seu 
ponto de aplicação, juntamente com o valor e o sentido dele.
Figura 10 - Representação de momento
Fonte: Morilla (2010, p. 8).
Os esforços de reação que atuam nas estruturas dependem da 
forma com que ela é apoiada. Um apoio oferece reação na direção em que 
ele faz restrição ao deslocamento. Assim, em função do comportamento, 
para as estruturas planas os apoios podem ser classificados em (MORILLA, 
2010): 
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
22
 • Apoio simples móvel: oferece apenas uma força como reação.
Figura 11 - Representação gráfica apoio simples e apoio móvel
Fonte: Fonte: Morilla (2010, p. 8).
 • Apoio simples fixo: oferece uma força de direção qualquer como 
reação.
Figura 12 - Representação gráfica das reações de apoio simples e móvel
Fonte: Morilla (2010, p. 9).
 • Engastamento: oferece como reação uma força de direção 
qualquer e um momento. Semelhante ao apoio fixo, a reação que 
é observada nesse tipo de apoio pode ser decomposta em dois 
componentes perpendiculares entre si. Por esse motivo, dizemos 
que este apoio fornece três reações, sendo elas um momento e 
duas forças cujas direções são perpendiculares entre si.
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
23
Figura 13 - Representação gráfica de engastamento
Fonte: Morilla (2010, p. 9).
 • Engastamento deslizante: oferece como reação uma força de 
direção perpendicular ao solo e um momento.
Figura 14 - Representação gráfica de engastamento deslizante
Fonte: Morilla (2010, p. 10).
O cálculo das lajes maciças é o mesmo que vem sendo utilizado 
desde as construções do século passado: os esforços solicitantes atuantes 
e as flechas são determinados de acordo com a Teoria das Placas, que foi 
originada com base na Teoria da Elasticidade. 
Devido à extensão dos cálculos e ao trabalho excessivo de 
calcular os coeficientes necessários, atualmente são utilizadas tabelas 
predefinidas como forma de tentar agilizar esse processo. Tais cálculos, 
vale lembrar, podem ser desenvolvidos manualmente, sem auxílio de 
programas computacionais, com o aval da NBR 6118/2014 (ABNT, 2014). 
Sua aplicação é considerada segura devido às inúmeras edificações já 
executadas com base nesse sistema (BASTOS, 2021).
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
24
RESUMINDO:
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
vamos resumir tudo o que vimos. 
As lajes são elementos estruturais planos bidimensionais que 
recebem cargas. As lajes são responsáveis por transmitir as cargas do piso 
para as vigas que a sustentam. As vigas, por sua vez, transmitem essa 
carga aos pilares que destinam essas cargas às fundações e ao solo.
A laje maciça tem a espessura composta por concreto, armaduras 
longitudinais de flexão e armaduras transversais (eventualmente). Ela é 
apoiada em vigas ou paredes ao longo das bordas. As lajes podem ser de 
concreto armado ou de concreto protendido, variando de acordo com a 
necessidade descrita no projeto.
Consideramos vão livre () a distância livre existente entre as faces 
dos apoios. Em caso de laje em balanço, o vão livre é a distância entre a 
extremidade livre e a face do apoio. Já o vão teórico (), também conhecido 
como vão de cálculo, é a distância entre os centros dos apoios.
O esquema estático demonstra o sequenciamento de cargas a serem 
transportadas desde os pavimentos mais altos até a transferência delas 
para o solo. Os elementos estruturais representados nesses esquemas 
vão sendo elencados e, a partir daí, realiza-se a distribuição das ações 
referentes a cada um deles. Os formatos adotados para representação 
dos elementos na esquematização são: barras, placas, chapas e blocos.
Os esforços que atuam em uma estrutura são classificados em: 
esforços externos e esforços internos. Na composição de um esquema 
estático devemos entender quais os sistemas de identificação utilizados 
para os elementos, as ações e as reações que estão sendo analisadas. O 
primeiro passo é determinar quais são os esforços de ação e de reação 
existentes nas estruturas, sua composição e seu respectivo detalhamento 
em um esquema estático.
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
25
Tipos de Condições de Vinculação para 
Lajes Isoladas
OBJETIVO:
Ao término deste capítulo você será capaz de entender 
a definição de uma laje isolada e suas características. A 
partir daí, você poderá entender como identificar os tipos 
de vínculos existentes entre as lajes de um pavimento, 
tais como o apoio simples, o engaste perfeito e o engaste 
elástico. Você poderá também compreender quais são as 
condições para que eles ocorram. E então, motivado para 
desenvolver esta competência? Então vamos lá. Avante!
Lajes Isoladas
Quando precisamos calcular as condições de vinculação em um 
determinado pavimento de uma edificação e/ou determinar esforços 
que estão atuando na superfície das lajes maciças que os compõem, 
devemos efetuar o cálculo considerando que as lajes são isoladas. Ou 
seja, isolamos as lajes existentes no pavimento e consideramos que elas 
tenham um engaste perfeito e uma continuidade em relação à laje vizinha.
EXEMPLO: Vamos tomar como exemplo um pavimento contínuo 
composto por nove lajes. Para estabelecer suas vinculações, ao invés 
de analisar todo o pavimento de modo contínuo, a análise é realizada 
isoladamente, separando o pavimento em nove lajes isoladas. 
Esse processo é equivalente à separação dos vãos de uma 
viga contínua: cada um dos vãos irá corresponder a uma viga isolada. 
Evidentemente, esse método é um cálculo aproximado, mas funciona 
bem para o cálculo de lajes contínuas apoiadas em paredes ou em vigas 
rígidas. 
Vale lembrar que esse sistema funcionaapenas para lajes, não para 
vigas.
Figura 15 - Exemplo de isolamento de Lajes
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
26
Fonte: Araújo (2020).
As lajes isoladas nada mais são do que lajes maciças, calculadas 
individualmente para estabelecimento das condições de vínculos. Dessa 
maneira, para as lajes isoladas é admitida a utilização dos seguintes tipos 
de apoio:
 • Borda engastada, quando a laje tiver vigas de apoio com grande 
rigidez.
 • Borda apoiada, quando a laje tiver vigas de apoio com rigidez 
normal.
 • Borda livre, quando não existirem vigas de apoio a serem 
consideradas na laje.
Figura 16 - Representação gráfica dos tipos de apoio
Fonte: Pinheiro (2003, p. 3).
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
27
Vinculação de Lajes Isoladas
Existem três principais tipos de apoio para sustentação das lajes: as 
paredes (de alvenaria ou de concreto), as vigas e os pilares de concreto. 
Podemos destacar, entretanto, as vigas de borda como o tipo de apoio 
mais utilizado nas lajes das edificações (BASTOS, 2021).
Para que o cálculo dos esforços solicitantes e das deformações nas 
lajes seja preciso e confiável, é necessário estabelecer os vínculos da laje 
com seus respectivos apoios — que podem ser pontuais (como os pilares) 
ou lineares (como as vigas de borda). Graças à complexidade desse 
problema, são adotadas algumas simplificações que tornam possível o 
cálculo manual (BASTOS, 2021).
Os tipos mais comuns de vinculação de lajes são o apoio simples, 
o engaste perfeito e o engaste elástico. As tabelas usuais para cálculos 
de laje admitem somente o apoio simples, o engaste perfeito e os apoios 
pontuais, mas atualmente, devido à utilização de avançados programas 
computacionais, é possível admitir também o engaste elástico (BASTOS, 
2021).
A borda livre tem como característica principal a ausência de apoio, o 
que possibilita a apresentação de deslocamentos verticais, diferentemente 
dos outros tipos de vinculação, nas quais os deslocamentos verticais são 
inexistentes. Em lajes com bordas engastadas, por exemplo, as rotações 
são impedidas. As lajes que apresentam continuidade têm o engastamento 
promovido pela laje adjacente (PINHEIRO et al., 2003).
Na figura a seguir são descritos alguns casos de vinculação com 
suas bordas simplesmente apoiadas e engastadas. Podemos destacar 
que o comprimento total dessas bordas engastadas é capaz de evoluir do 
caso 1 até o 6, não sendo considerados do caso 3 para o 4.
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
28
Figura 17 - Casos de vinculação das lajes
Fonte: Pinheiro (2003, p. 4).
As tabelas existentes para dimensionamento de lajes, de uma forma 
geral, consideram as bordas livres, as apoiadas ou engastadas, com o 
mesmo tipo de vínculo ao longo de toda a extensão dessas bordas. Na 
prática outras situações podem acontecer, devendo-se utilizar um critério 
específico para cada caso para realizar o cálculo dos momentos fletores e 
das reações de apoio (PINHEIRO et al., 2003).
 • Apoio simples: esse tipo de vinculação surge nas bordas das 
lajes, onde não existe (ou não é admitida) a continuidade da laje 
com em relação às lajes vizinhas. Esse apoio pode ser feito por 
uma parede de alvenaria ou uma viga de concreto. Nos casos 
de utilização de vigas de concreto com dimensões correntes, a 
rigidez da viga referente à torção é pequena, de tal forma que torna 
possível o giro da viga e a sua deformação. Isso acontece devido 
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
29
ao acompanhamento das pequenas rotações existentes na laje, o 
que acaba garantindo a concepção teórica do apoio simples como 
pode ser observado na figura a seguir (BASTOS, 2021).
Deve-se tomar um cuidado especial ao realizar a ligação de lajes 
com vigas de alta rigidez à torção. É considerado mais adequado engastar 
perfeitamente a laje na viga e dispor nela uma armadura, geralmente 
negativa, para a ligação com a viga. Os esforços de torção decorrentes 
desse processo devem obrigatoriamente ser levados em consideração 
para o projeto da viga de borda.
Figura 18 - Viga de borda com apoio simples
Fonte: Bastos (2021, p. 3).
 • Engaste Perfeito: é encontrado no caso de lajes em balanço, 
como marquises, varandas etc. Também é considerado nos casos 
de continuidade entre duas lajes vizinhas.
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
30
Figura 19 - Laje em balanço engastada na viga de apoio
Fonte: Bastos (2021, p. 4).
Ao nos depararmos com duas lajes contínuas que têm espessuras 
muito diferentes, como pode ser observado na figura a seguir, pode ser 
mais adequado considerar a laje de menor espessura (L2) engastada na 
laje de maior espessura (L1). Contudo, a laje com maior espessura deve 
ser considerada apenas apoiada na borda comum (BASTOS, 2021).
Figura 20 - Lajes adjacentes com espessuras diferentes
Fonte: Bastos (2021, p. 4).
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
31
Existem também os casos em que as lajes não têm continuidade 
ao longo de toda a borda comum. Para esses casos existe um critério 
simplificado a ser considerado na sua vinculação.
Figura 21 - Lajes parcialmente contínuas
Fonte: Bastos (2021, p. 5).
O critério adotado leva em consideração esse tipo de especificação 
e, de acordo com a tabela observada na figura a seguir, será estabelecido 
o vínculo.
Figura 22 - Critério para bordas com uma parte engastada e outra parte apoiada
Considera-se a borda totalmente apoiada
Calculam-se os esforços para as duas 
situações – borda totalmente apoiada e borda 
totalmente engastada – e adotam-se os 
maiores valores no dimensionamento
Considera-se a borda totalmente engastada
Fonte: Pinheiro (2003, p. 5).
Caso a laje do exemplo anterior fosse armada em uma direção, 
poderiam ser consideradas duas partes: a primeira seria relativa à borda 
engastada e a segunda à borda simplesmente apoiada. Dessa forma, 
poderiam ser admitidas condições diferentes de desvinculação para cada 
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
32
uma das partes determinadas, o que resultaria também em armaduras 
diferentes para cada uma delas (PINHEIRO et al., 2003).
Nos casos de lajes adjacentes, conforme o que foi observado 
anteriormente, vários aspectos devem ser analisados e considerados para 
que seja adotado o melhor tipo de apoio para a concepção dos vínculos 
entre essas lajes. 
EXEMPLO: Tomemos como exemplo a observação de uma diferença 
considerável entre os momentos negativos de duas lajes adjacentes. Este 
fato poderia acarretar a consideração de uma borda engastada para uma 
das lajes e de uma borda simplesmente apoiada para a outra, ao invés 
de considerarmos bordas engastada para ambas. Podemos entender 
melhor essas considerações ao observar as indicações na figura a seguir 
(PINHEIRO et al., 2003).
Vale ressaltar que critérios como este devem sempre ser 
cuidadosamente analisados e estudados para que seja possível atender 
as necessidades de cálculo sem comprometer a segurança estrutural do 
edifício.
Figura 23 - Critério para considerar bordas engastadas
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
33
Fonte: Pinheiro (2003, p. 6).
 • Engaste Elástico: em casos de utilização de apoios intermediários 
de lajes contínuas, geralmente aparecem momentos fletores 
negativos, devido à continuidade das lajes. Assim sendo, deve ser 
feita uma ponderação entre os diferentes valores dos momentos 
fletores que surgem nesses apoios para que seja possível conduzir 
ao engastamento elástico. Podemos observar isso na figura a 
seguir (BASTOS, 2021).
 • Entretanto, de acordo com Bastos (2021), para efeito de cálculo 
inicial dos momentos fletores , as lajes que apresentem 
continuidade deverão ser consideradas perfeitamente engastadas 
em seus apoios intermediários.
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
34
Figura 24 - Engastamento elástico decorrente dos momentos fletores negativos diferentes.
Fonte: Bastos (2021, p. 5).RESUMINDO:
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
vamos resumir tudo o que vimos. 
Quando precisamos calcular as condições de vinculação em um 
determinado pavimento de uma edificação e/ou determinar esforços 
que estão atuando na superfície das lajes maciças que os compõem, 
devemos efetuar esse cálculo considerando que as lajes são isoladas. 
Ou seja, isolamos as lajes existentes no pavimento, consideramos que 
tenham um engaste perfeito e continuidade com a laje vizinha.
As lajes isoladas nada mais são do que lajes maciças que são 
calculadas individualmente para estabelecimento das condições de 
vínculos. Dessa maneira, para as lajes isoladas são admitidos a utilização 
dos seguintes tipos de apoio: borda engastada, quando a laje tiver vigas 
de apoio com grande rigidez; borda apoiada, quando a laje tiver vigas de 
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
35
apoio com rigidez normal e borda livre, quando não existirem vigas de 
apoio a serem consideradas na laje.
Existem três principais tipos de apoio para sustentação das lajes: as 
paredes (de alvenaria ou de concreto), as vigas e os pilares de concreto. 
Podemos destacar, entretanto, as vigas de borda como o tipo de apoio 
mais utilizado nas lajes das edificações.
Os tipos mais comuns de vinculação de lajes são o apoio simples, o 
engaste perfeito e o engaste elástico. 
O apoio simples surge nas bordas das lajes, onde não existe (ou 
não é admitido) a continuidade da laje com outras lajes vizinhas. Esse 
apoio pode ser feito por uma parede de alvenaria ou mesmo uma viga de 
concreto. O engaste perfeito é encontrado no caso de lajes em balanço, 
como marquises, varandas etc. Também é considerado em casos de 
continuidade entre duas lajes vizinhas. Em casos de utilização de apoios 
intermediários de lajes contínuas, geralmente aparecem momentos 
fletores negativos devido à continuidade das lajes. Assim sendo, deve 
ser feita uma ponderação entre os diferentes valores dos momentos 
fletores que surgem nesses apoios para que seja possível conduzir ao 
engastamento elástico.
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
36
Calculando os Esforços Solicitantes em 
uma Laje Maciça
OBJETIVO:
Ao término deste capítulo você será capaz de entender 
como atuam os esforços solicitantes em uma laje maciça, 
as características que essas forças têm e como dimensioná-
las de maneira correta nas lajes. Poderá entender, por meio 
das imagens dos diagramas estáticos, como é realizado o 
equilíbrio dessas forças. E então, motivado para desenvolver 
esta competência? Então vamos lá. Avante!
Lajes Maciças Retangulares
As lajes, como já sabemos, são elementos estruturais planos de 
concreto armado que estão sujeitas a cargas transversais ao seu plano. 
Para que o correto dimensionamento e cálculo possam ser realizados de 
maneira mais simplificada, fazemos a separação das lajes que compõem 
o pavimento em lajes isoladas (SILVEIRA, 2000). Em outras palavras, 
isolamos as lajes das vigas e, desse modo, com apoios livres à rotação 
e indeslocáveis à translação, torna-se possível a realização dos cálculos.
De acordo com Silveira (2000), para o cálculo dos esforços 
solicitantes existentes em uma laje devemos considerar as classificações 
das lajes, pois os comportamentos poderão se alterar mediante suas 
características:
 • Lajes armadas em uma direção: refere-se às lajes que têm flexão 
(curvatura) predominante de acordo com a direção paralela a um 
dos lados. São as lajes apoiadas em lados opostos (isoladas e 
contínuas, com ou sem balanços laterais) e as lajes “alongadas” 
apoiadas ao longo do perímetro.
 • Lajes armadas em duas direções ou em cruz: refere-se às lajes 
que têm curvaturas paralelas aos lados e valores são comparáveis 
entre si. Esse tipo de laje é apoiado em todo seu contorno e tem 
lados não muito diferentes entre si: .
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
37
Esforços em Lajes Armadas em uma Direção
Vamos considerar o esquema estático de uma laje armada em uma 
direção na figura a seguir.
Figura 25 - Laje armada em uma direção
Fonte: Silveira (2000, p. 2).
O vão teórico da laje é exemplificado por e normalmente será 
igual à distância entre os eixos das vigas de apoio. , por sua vez, refere-
se ao comprimento. Os cortes AA’ e BB’ mostram, de forma esquemática, 
os deslocamentos que estão sendo apresentados pela laje quando 
submetida à uma carga distribuída uniforme de valor p. Nota-se também 
nesse esquema a presença de curvatura, o que define o momento fletor 
de acordo com o corte AA. No caso do corte BB, ocorre praticamente uma 
translação com curvatura e flexão desprezíveis (SILVEIRA, 2000).
Assim sendo, consideramos agora faixas isoladas de larguras 
unitárias paralelas ao corte AA, sendo que uma dessas faixas é o 
carregamento composto por uma carga uniforme de valor p. Em cada 
uma dessas faixas vai ser apresentado o comportamento de uma viga 
isostática e, com isso, o diagrama de momento fletor resultante será uma 
parábola ordenada igual a (SILVEIRA, 2000):
Este momento é representado pelo fletor , que será representado 
pela unidade de medida 
Com isso, a força cortante deve apresentar um diagrama linear e 
terá como valor máximo:
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
38
Para que as faces superior e inferior consigam se manter paralelas 
entre si, identificamos o momento fletor a seguir:
Este momento fletor estará atuando no plano paralelo ao lado , 
também por unidade de largura. Consideramos:
,
Consideramos também no concreto . Dessa forma, o 
momento fletor é chamado de momento fletor principal e de 
momento fletor secundário (SILVEIRA, 2000).
Esforços Solicitantes
 • Laje Isolada: no caso de lajes isoladas, a faixa de largura unitária da 
laje vai corresponder a uma viga isolada sujeita à carga distribuída 
uniforme.
Figura 26 - Esforços Máximos na Laje Isolada
Fonte: Silveira (2000, p. 14).
 • Laje em balanço: no caso de laje embalanço, a faixa de largura 
unitária da laje vai corresponder à uma viga em balanço e o 
carregamento a ser identificado consiste de carga uniforme 
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
39
distribuída para uma mais concentrada P para que seja aplicada 
junto à extremidade do balanço (SILVEIRA, 2000).
Figura 27 - Esforços máximos na laje em balanço
Fonte: Silveira (2000, p. 14).
 • Laje contínua: no caso de laje continua, essa faixa de largura 
unitária da laje será correspondente à uma viga contínua.
Figura 28 - Esforço máximo na laje continua
Fonte: Silveira (2000, p. 14).
Dimensionamento à Flexão
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
40
Para o dimensionamento da laje utiliza-se uma seção retangular de 
largura unitária, que geralmente será de b=1 e m=100cm. A altura deverá 
ser igual à espessura total da laje, representada por h (SILVEIRA, 2000).
Na armadura de flexão será distribuída a largura de 100 cm. 
Normalmente nos vãos existentes em um mesmo ponto há dois 
momentos fletores (mχ e mγ, positivos), que são perpendiculares entre si. 
Assim sendo, cada momento desses vai corresponder à uma altura útil, 
ou seja, dχ para o momento fletor mχ, e dγ para o momento fletor mγ 
(SILVEIRA, 2000).
De modo geral, mχ é maior que mγ. Por esse motivo, é comum 
adotarmos . Com isso, a armadura correspondente ao momento 
fletor é colocada sobre a armadura correspondente ao momento 
fletor :
Figura 29 - Esquema de cálculo armadura
Fonte: Silveira (2000, p. 15).
Onde c = cobertura mínima de armadura na laje, fixado em 0,5 cm 
nas lajes protegidas com argamassa de espessura mínima de 1cm — 
conforme podemos observar na tabela a seguir, disponível na NBR 6118.
Figura 30 - Tabela de correspondência entre classe de agressividade ambiental e 
cobrimento nominal para 
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
41
Tipo de estruturaComponente ou 
elemento
Classe de agressividade 
ambiental (tabela 6.1)
I II III IV3)
Cobrimento nominal mm
Concreto 
armado
Laje2) 20 25 35 45
Viga/Pilar 25 30 40 50
Concreto 
protendido1)
Todos 30 35 45 55
1) Cobrimento nominal da armadura passiva que envolve a bainha ou os fios, cabos e 
cordoalhas, sempre superior ao especificado para o elemento de concreto armado, devido 
aos riscos de corrosão fragilizante sob tensão. 
2) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, 
com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e 
acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e 
outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas por 7.4.7.5, respeitado um 
cobrimento nominal ≥ 15 mm. 
3) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e 
esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e 
intensamente agressivos, a armadura deve ter cobrimento nominal ≥ 45 mm.
Fonte: ABNT NBR 6118, p. 19.
Em lajes maciças revestidas, geralmente mais utilizadas em 
edifícios, podemos adotar, aproximadamente (SILVEIRA, 2000):
Figura 31 - Cálculo das armaduras
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
42
Fonte: Silveira (2000, p. 15).
Nas lajes, geralmente por meio da flexão, se conduz um 
dimensionamento da peça armada com armadura simples. Dessa forma, 
ao observarmos a figura anterior, podemos entender que a equação de 
equilíbrio gerada é (SILVEIRA, 2000):
Resultando, para a altura de zona comprimida, no valor:
E a armadura:
Onde:
Sobre a escolha da bitola, o espaçamento (φ) é feito para as bitolas 
comerciais com as seguintes recomendações (SILVEIRA, 2000):
 para a armação principal 
limitar 2h.
Para as bitolas, adota-se um mínimo de 4mm e um máximo 
correspondente a um décimo da espessura da laje. O espaçamento 
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
43
mínimo tem por finalidade facilitar a concretagem da laje, e o espaçamento 
máximo de 8cm visa garantir a uniformidade de comportamento admitida 
nos cálculos. Desse modo, ao adotarmos o espaçamento mínimo de 4mm, 
a área nominal da seção transversal de uma barra ( ) vai corresponder a 
0,125cm e amassa referente à barra por metro linear ( ) será de 0,10kg/m. 
A figura a seguir mostra as bitolas comerciais mais utilizadas.
Figura 32 - Bitolas Comerciais
φ (mm) As1(cm) m1(kg/m)
4,0 0,125 0,10
5,0 0,200 0,16
6,3 0,315 0,25
8,0 0,500 0,40
10,0 0,800 0,63
Fonte: Silveira (2000, p. 16).
Figura 33 - Bitolas admitidas
Fonte: Silveira (2000, p. 16).
Esforços em Lajes Armadas em Duas Direções (Em 
Cruz)
Considere a laje esquematizada na figura a seguir apoiada em todo 
o seu contorno sobre vigas, sujeita à carga distribuída p.
Figura 34 - Laje armada em duas direções
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
44
Fonte: Silveira (2000, p. 17).
Geralmente são consideradas as seguintes hipóteses sim pli fi-
cadoras:
 • Vigas rígidas à flexão.
 • Continuidade de lajes vizinhas, quando compõem o mesmo nível.
A deformação da laje segundo os cortes A (paralela a ) e B 
(paralela a ) está esquematizada na figura a seguir:
Figura 35 - Esquema deformação laje
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
45
Fonte: Silveira (2000, p. 17).
Podemos observar a presença de curvaturas comparáveis de 
acordo com os dois cortes existentes, o que sugere a existência de 
momentos fletores comparáveis (SILVEIRA, 2000):
mχ= momento por unidade de largura com plano de atuação paralelo a lχ
lγ= momento por unidade de largura com plano de atuação paralelo a lγ
Devemos considerar o corte genérico CC e a deformação sujeita a 
este corte. Identificamos também a presença de um momento, que pode 
ser expresso por:
Esforços nas Lajes Isoladas
Nas lajes os principais esforços a serem analisados são os momentos 
fletores máximos nos vãos e sobre os apoios (quando engastados). Existem 
tabelas que nos fornecem estes momentos máximos para alguns casos 
usuais de lajes maciças, algumas das mais usadas são as de Czerny e de 
Bares (Anexo 1 e Anexo 2). Nelas podemos observar mais detalhadamente 
os coeficientes adotados. Nos edifícios, onde o carregamento usual é 
constituído por carga distribuída uniforme, são muito úteis as tabelas de 
Czerny preparadas com coeficiente de Poisson (admitido para o concreto). 
Os momentos fletores extremos são dados por (SILVEIRA, 2000):
As variáveis estão tabeladas em função dos seguintes parâmetros:
 • Tipo de carga (distribuída uniforme, por exemplo).
 • Condições de apoio da laje (tipo de apoio).
 • Relação ( ).
Particularmente, interessa-nos o tipo de carga distribuída uniforme 
e os tipos de apoio indicados a seguir.
Figura 36 - Tipos de apoios considerados
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
46
Fonte: Silveira (2000, p. 18).
Método Simplificado Aplicado a Pisos de Edifícios
Para os pisos usuais de edifícios residenciais e comerciais pode ser 
aplicado o método simplificado exposto a seguir (SILVEIRA, 2000):
Lajes isoladas: inicialmente separam-se as lajes admitindo-se, 
para cada uma delas, as seguintes condições de apoio:
 • Apoio livre, quando não existir laje vizinha a este apoio.
 • Apoio engastado, quando existir laje vizinha no mesmo nível — o 
que permite a continuidade da armadura negativa de flexão de 
uma laje para a outra.
 • Vigas rígidas de apoio da laje.
Desse modo, são calculados os momentos fletores máximos (em 
valor absoluto) nestas lajes isoladas ( )
Passamos a realizar a correção dos momentos fletores devido à 
continuidade entre as lajes vizinhas da seguinte forma: (SILVEIRA, 2000)
Momentos sobre os apoios comuns às lajes adjacentes: pode ser 
adotado, para o momento fletor de compatibilização, o maior valor entre 
, onde são os valores absolutos dos 
momentos negativos nas lajes adjacentes junto ao apoio considerado, e 
m>, o maior momento entre .
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
47
Momentos nos vãos: em sobrecargas usuais nos edifícios podemos 
adotar os momentos fletores obtidos nas lajes isoladas, seguindo, portanto, 
sem nenhuma correção devido à continuidade. Para as sobrecargas 
maiores, convém efetuar essas correções.
Da mesma forma que para as lajes armadas em uma só direção, as 
alturas úteis são dadas por:
Podendo ser estimadas, nas lajes usuais, por:
Passando para o cálculo de As:
E a armadura:
Onde: 
Armaduras mínimas:
 • Armaduras de vão:
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
48
 • Armaduras sobre os apoios de continuidade:
Escolha das barras:
 • Diâmetro: 
 • Espaçamento entre barras:
 • Armadura nos vãos: 
 • Armadura nos apoios: 
RESUMINDO:
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
vamos resumir tudo o que vimos. 
Para realizar o cálculo dos esforços solicitantes existentes em 
uma laje, devemos considerar as classificações das lajes, pois os 
comportamentos poderão se alterar mediante suas características. 
Lajes armadas em uma direção são lajes que têm flexão (curvatura) 
predominante de acordo com a direção paralela a um dos lados. São 
as lajes apoiadas em lados opostos (isoladas e contínuas, com ou sem 
balanços laterais) e as lajes “alongadas” apoiadas ao longo do perímetro.
No caso de lajes isoladas, a faixa de largura unitária da laje vai 
corresponder a uma viga isolada sujeita a carga distribuída uniforme; no 
caso de laje em balanço, a faixa de largura unitária da laje vai corresponder 
à uma viga em balanço e o carregamento a ser identificado consiste na 
carga uniforme distribuída para uma mais concentrada P para que seja 
aplicada junto à extremidade do balanço; no caso de laje continua, essa 
faixa de largura unitária da laje será correspondente à uma viga contínua.
Desenho e Cálculo Estrutural deEdificações
49
Lajes armadas em duas direções ou em cruz são lajes que têm 
curvaturas paralelas aos lados e valores comparáveis entre si. Esse tipo 
de laje é apoiado em todo seu contorno e tem lados não muito diferentes 
entre si .
Nas lajes principais esforços são os momentos fletores máximos 
nos vãos e sobre os apoios (quando engastados). Existem tabelas que nos 
fornecem estes momentos máximos para alguns casos usuais de lajes 
maciças.
Pode ser adotado, para o momento fletor de compatibilização, o 
maior valor entre , onde são os valores 
absolutos dos momentos negativos nas lajes adjacentes junto ao apoio 
considerado, e , o maior momento entre .
Em sobrecargas usuais nos edifícios podemos adotar os momentos 
fletores obtidos nas lajes isoladas, seguindo, portanto, sem nenhuma 
correção devido à continuidade. Para as sobrecargas maiores, convém 
efetuar essas correções.
Calculando os Momentos Fletores em 
uma Laje Maciça
OBJETIVO:
Ao término deste capítulo você será capaz de entender 
o que são os momentos fletores e de que maneira eles 
operam nas lajes de concreto armado. Você entenderá 
também quais as características dos momentos fletores 
e como são realizados os cálculos desses esforços nas 
lajes. A partir daí, poderá entender as reações na estrutura 
decorrentes desses esforços aplicados. E então, motivado 
para desenvolver esta competência? Então vamos lá. 
Avante!
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
50
Momentos Fletores Solicitantes
Ao pensarmos nos esforços atuantes nas lajes, essencialmente 
devemos considerar os momentos fletores e as flechas nas lajes maciças: 
eles são determinados de acordo com o sistema de laje adotado, podendo 
ser armada em uma ou em duas direções. 
Quando temos lajes armadas em uma direção, elas deverão ser 
calculadas como vigas segundo a direção principal; já nas lajes armadas 
em duas direções, podem ser aplicadas diferentes teorias. As principais 
são a Teoria da Elasticidade e a Teoria das Charneiras Plásticas (BASTOS, 
2021).
Lajes Armadas em uma Direção
Nesse tipo de laje a flexão existente na direção do menor vão da 
laje é correspondente ao esforço de flexão da outra direção, de maneira 
que a laje esteja sendo suportada por uma viga com largura constante de 
um metro (100 cm), de acordo com a direção principal da laje. Na figura 
a seguir podemos observar esse fato e também os momentos fletores 
existentes (BASTOS, 2021).
Figura 37 - Momentos fletores na laje armada em uma direção
Fonte: Bastos (2021, p. 14).
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
51
Na sequência de figuras a seguir (37, 38 e 39) são esquematizados 
os casos de vinculação possíveis quando são considerados apenas os 
apoios simples e engastes perfeitos. Nas figuras também estão indicadas 
as equações referentes a cada cálculo para estabelecimento das reações 
de apoio, dos momentos fletores máximos e das flechas imediatas, para 
que se tenha um carregamento uniformemente distribuído (BASTOS, 
2021).
Figura 38 - Laje armada em uma direção sobre apoios simples e com carregamento 
uniforme. 
Fonte: Bastos (2021, p. 14).
Figura 39 - Laje armada em uma direção sobre apoio simples e engaste perfeito com 
carregamento uniforme. 
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
52
Fonte: Bastos (2021, p. 14).
Figura 40 - Laje armada em uma direção bi engastada com carregamento uniforme. 
Fonte: Bastos (2021, p. 15).
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
53
As lajes em balanço, assim como nas lajes que têm marquises e/
ou varandas, também são casos de lajes armadas em uma direção. Elas 
também devem ser calculadas de forma semelhante a uma viga e de 
acordo com a direção do menor vão (BASTOS, 2021).
Figura 41 - Laje em balanço armada em uma direção
Fonte: Bastos (2021, p. 15).
Em casos de lajes armadas em uma direção contínua que têm duas 
bordas livres, o cálculo pode ser executado considerando a mesma como 
uma viga contínua de largura de um metro e na direção dos vãos dos 
apoios (BASTOS, 2021).
Para obter os esforços e flechas máximas nas lajes devemos separar 
o carregamento total operante em dois carregamentos: permanente 
e variável. Para encontrar os esforços solicitantes máximos devemos 
aplicar os carregamentos nas lajes separadamente e, para isso, utilizamos 
primeiro o carregamento permanente e, na sequência, o carregamento 
variável. O próximo passo é somar esses esforços finais encontrados, 
para que assim seja possível obter os esforços desfavoráveis máximos 
(BASTOS, 2021).
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
54
Figura 42 - Lajes contínuas armadas em uma direção
Fonte: Bastos (2021, p. 16).
Lajes Armadas em Duas Direções
As lajes armadas em duas direções e apoiadas nos quatro lados têm 
um comportamento bem diferente das lajes armadas em uma direção e 
seu cálculo é mais trabalhoso. Quando temos a ação de um carregamento, 
a laje se apoia no trecho central dos apoios e, consequentemente, seus 
cantos tendem a se levantar. 
Figura 43 - Laje retangular com apoios simples nos quatro lados.
Fonte: Leonhardt e Mönnig (1982) apud Bastos (2021, p. 16).
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
55
De acordo com Bastos (2021), caso a laje esteja ligada às vigas de 
concreto ou caso existam pilares em seus cantos, o levantamento da laje 
fica impedido. Isso faz com que apareçam momentos fletores nos cantos 
da laje, sendo eles:
 • Negativos: que vão causar uma tração no lado superior da laje, na 
direção da diagonal.
 • Positivos: que vão operar na direção perpendicular à diagonal, 
causando tração no lado inferior da laje. 
Esses momentos que ocorrem nos cantos são chamados de 
momentos volventes ou momentos de torção, e recebem a notação de 
Mχγ. 
A principal direção dos momentos M1 e M2 pode ser observada na 
figura a seguir. Em seus cantos, os momentos principais vão ser desviados 
por influência dos momentos volventes. Já na região central da laje os 
momentos principais vão se desenvolver de maneira perpendicular às 
bordas e aos cantos com ângulos de 45°.
Figura 44 - Direção dos momentos fletores principais 
Fonte: Leonhardt e Mönnig (1982) apud Bastos (2021, p. 16).
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
56
Os esforços solicitantes e as deformações nas lajes armadas em 
duas direções podem ser determinados por diferentes teorias, sendo 
algumas delas (BASTOS, 2021):
 • Teoria das Placas, que foi elaborada a partir da Teoria da 
Elasticidade e pode determinar os esforços e flechas em qualquer 
ponto da laje.
 • Processos aproximados.
 • Método das Linhas de Ruptura ou das Charneiras Plásticas.
 • Métodos Numéricos, como os elementos finitos, de contorno etc.
Na Teoria das Placas, o material é elástico linear (Lei de Hooke), 
homogêneo e isótropo. Esse sistema vai proporcionar uma equação geral 
das placas (equação diferencial de quarta ordem, não homogênea), que 
vai relacionar a deformação elástica w da placa com a carga p unitária, a 
distribuindo uniformemente na área da placa (BASTOS, 2021). A fórmula 
da equação é:
Onde:
W = deslocamento vertical da placa.
P = carregamento na placa.
D = rigidez da placa à flexão, dada por:
Devido à resolução complexa, foram criadas diversas tabelas, 
de diferentes origens e autores, com a finalidade de estabelecer os 
coeficientes que resultam do cálculo dos momentos fletores e das flechas 
para casos já determinados de apoios e carregamentos. 
Há diversas tabelas de autores como Czerny, Stiglat/Wippel, Bares, 
Szilard etc. e todas essas tabelas abrangem os casos de lajes retangulares, 
triangulares, circulares, apoiadas em pilares, com bordas livres etc., sob 
carregamento uniforme e triangular (BASTOS, 2021).
De acordo com as tabelas de Bares, os momentos fletores, 
negativos ou positivos, são calculados pela expressão:
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Onde:
M = momento fletor (kN.m/m).
µ = coeficiente tabelado, de acordo com cadatipo de laje e em 
função de λ= lγ e lχ
µχ e µγ= coeficientes para cálculo dos momentos fletores positivos 
atuantes nas direções paralelas a lχ e lγ, respectivamente.
µ’χ e µ’γ= coeficientes para cálculo dos momentos fletores negativos 
atuantes nas bordas perpendiculares às direções lχ e lγ, respectivamente.
p = valor da carga uniforme ou triangular atuante na laje (kN/m2).
lχ = menor vão da laje (m).
Compatibilização dos Momentos Fletores
Quando consideramos as lajes de um pavimento isoladas umas das 
outras, podemos observar que os momentos fletores negativos em uma 
borda comum a duas lajes contíguas geralmente são diferentes (BASTOS, 
2021). Podemos verificar essa informação analisando a figura a seguir. 
De acordo com a NBR 6118 (2014), é permitido que seja feita uma 
compatibilização dos momentos fletores negativos, da seguinte maneira: 
Quando houver predominância de cargas permanentes, 
as lajes vizinhas podem ser consideradas isoladas, 
realizando-se a compatibilização dos momentos sobre 
os apoios de forma aproximada. No caso de análise 
plástica, a compatibilização pode ser realizada mediante 
alteração das razões entre momentos de borda e vão, 
em procedimento iterativo, até a obtenção de valores 
equilibrados nas bordas. Permite-se, simplificadamente, 
a adoção do maior valor de momento negativo em vez 
de equilibrar os momentos de lajes diferentes sobre uma 
borda comum. (NBR 6118, 2014)
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No geral, é muito utilizado um método de compatibilização no qual 
o momento fletor negativo (X) de duas lajes adjacentes é aplicado da 
seguinte maneira:
Com: 
Com a utilização desse método os momentos fletores positivos 
são corrigidos e aumentados, conforme a necessidade do caso (isso 
pode ser observado na imagem a seguir). Caso ocorra a diminuição do 
momento fletor (alívio), este passa a não ser considerado. Vale lembrar 
que a compatibilização dos momentos positivos e negativos deve ser feita 
nas duas direções da laje (BASTOS, 2021).
IMPORTANTE:
Uma opção mais simplificada ao procedimento da 
compatibilização de momentos fletores é a adoção da 
maior armadura negativa para a borda comum — o que vai 
além de simplificar o cálculo, pois resulta um procedimento 
mais econômico.
Figura 45 - Compatibilização dos momentos fletores negativos e positivos.
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
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Fonte: Bastos (2021, p. 18).
Momentos Volventes
Podemos verificar que nos cantos das lajes com bordas apoiadas 
aparecem momentos fletores negativos (que resultam em uma tração 
no lado superior da laje na direção da diagonal) e positivos (gerados na 
direção perpendicular à diagonal, que causam tração no lado inferior da 
laje). Esses momentos gerados nos cantos da laje são conhecidos como 
momentos volventes ou momentos de torção, e recebem a notação de 
Mχγ (BASTOS, 2021).
O cálculo da disposição das armaduras que deverão compor as 
lajes para equilibrar esses momentos volventes deverá ser realizado 
de maneira conveniente a essa geração de momentos (BASTOS, 2021). 
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Podemos observar a forma como eles são dispostas de acordo com a 
figura a seguir.
Figura 46 - Armadura de momentos volventes nos cantos
Fonte: Bastos (2021, p. 19).
RESUMINDO:
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
vamos resumir tudo o que vimos.
Ao pensarmos nos esforços atuantes nas lajes, essencialmente 
devemos considerar os momentos fletores e as flechas nas lajes maciças. 
Eles são determinados de acordo com o sistema de laje adotado, podendo 
ser armada em uma ou em duas direções. 
Quando temos lajes armadas em uma direção, deverão ser 
calculadas como vigas segundo a direção principal, já nas lajes armadas 
em duas direções podem ser aplicadas diferentes teorias.
Nas lajes armadas em uma direção, a flexão existente na direção do 
menor vão da laje é correspondente ao esforço de flexão da outra direção, 
de maneira que a laje esteja sendo suportada por uma viga com largura 
constante de um metro (100 cm), de acordo com a direção principal da 
laje. 
Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
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As lajes armadas em duas direções e apoiadas nos quatro lados 
têm um comportamento bem diferente das lajes armadas em uma 
direção e o cálculo delas é mais trabalhoso. Quando temos a ação 
de um carregamento, a laje se apoia no trecho central dos apoios e, 
consequentemente, seus cantos tendem a se levantar. 
Quando consideramos as lajes de um pavimento isoladas umas das 
outras, podemos observar que os momentos fletores negativos em uma 
borda comum a duas lajes contíguas geralmente são diferentes.
Podemos verificar que nos cantos das lajes com bordas apoiadas 
aparecem momentos fletores negativos (que resultam em uma tração 
no lado superior da laje na direção da diagonal) e positivos (gerados na 
direção perpendicular à diagonal, que causam tração no lado inferior da 
laje). Esses momentos gerados nos cantos da laje são conhecidos como 
momentos volventes ou momentos de torção.
Anexo 1 – Tabelas Czerny
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A seguir serão apresentadas as tabelas de Czerny, conforme 
SANTOS (2014) apud AZEVEDO (2017).
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63Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
64 Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
65Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
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Anexo 2 – Tabelas de Bares
A seguir são apresentadas as tabelas de Bares extraídas de 
PINHEIRO et al. (2010) apud AZEVEDO (2017).
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67Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
68 Desenho e Cálculo Estrutural de Edificações
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REFERÊNCIAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: 
Projeto de estruturas de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro: 
ABNT, 2014.
AZEVEDO, C. S. Comparação dos valores de momentos 
solicitantes em placas com quatro apoios com e sem a consideração 
da rigidez dos apoios. Rio de Janeiro: Universidade Federal do Rio de 
Janeiro – UFRJ, 2017.
ALMEIDA, L. C. Elementos estruturais. Campinas/SP: Universidade 
Estadual de Campinas - UNICAMP, 2006.
ARAÚJO, J. M. Lajes maciças de concreto armado. Rio Grande do 
Sul: Universidade Federal do Rio Grande - FURG, 2020.
BASTOS, P. S. Lajes de concreto armado. Bauru/SP: Universidade 
Estadual Paulista - UNESP, 2021.
MORILLA, J. C. Estática nas estruturas. São Paulo: Universidade 
Santa Cecília, 2010.
PINHEIRO, L. M. et al. Lajes maciças. Campinas/SP: Universidade 
Estadual de Campinas – UNICAMP, 2003.
SILVEIRA, M. Referência para cálculo de concreto armado. São 
Paulo: Universidade de São Paulo – USP, 2000.
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	Exemplos de Esquemas Estáticos para Lajes Maciças
	Lajes Maciças
	Vãos Livres, Vãos Teóricos e Classificação das Lajes
	Esquemas Estáticos
	Tipos de Condições de Vinculação para Lajes Isoladas
	Lajes Isoladas
	Vinculação de Lajes Isoladas
	Calculando os Esforços Solicitantes em uma Laje Maciça
	Lajes Maciças Retangulares
	Esforços em Lajes Armadas em uma Direção
	Esforços Solicitantes
	Dimensionamento à Flexão
	Esforços em Lajes Armadas em Duas Direções (Em Cruz)
	Esforços nas Lajes Isoladas
	Método Simplificado Aplicado a Pisos de Edifícios
	Calculando os Momentos Fletores em uma Laje Maciça
	Momentos Fletores Solicitantes
	Lajes Armadas em uma Direção
	Lajes Armadas em Duas Direções
	Compatibilização dos Momentos Fletores
	Momentos Volventes