2 1-Introdução ao estudo dos limites

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Nesta webaula será introduzido o conceito de limites com suas principais características.
Limite
Uma função pode ser de�nida a partir de uma lei de formação, com domínio e contradomínio correspondentes,
podendo ser representada de forma algébrica ou geométrica. Porém, no estudo do comportamento de funções
em torno de pontos especí�cos, pertencentes ou não ao seu domínio, o principal conceito que pode ser
empregado é o de limite, o qual é fundamental para estudar, por exemplo, os conceitos de derivada e integral,
que, por sua vez, também permitem investigar as propriedades das funções reais.
Para de�nir o limite parte-se de uma função real   e de um ponto �xado , pertencente ou não ao domínio de  ,
apesar de, em geral, estudarmos o comportamento de    em torno de pontos não pertencentes ao seu domínio.
Um número real    consiste no limite da função  , para    tendendo ao valor   , se    estiver su�cientemente
próximo de   quando    for um valor su�cientemente próximo de    , com   . Assim, no limite, estuda-se o
comportamento da função em pontos su�cientemente próximos de um valor �xado, mas diferente dele. As
notações que podem ser utilizadas são:
ambas interpretadas como    é o limite de    quando    tende ao valor   . No estudo de uma função  , a
a�rmação de que o limite de   existe em um ponto   consiste em dizer que o limite da função    nesse ponto é
igual a um número real.
Pode-se também de�nir o limite de uma função a partir de um segundo formato, o qual envolve o estudo de
valores reais       (épsilon) e    delta) associados à função em estudo e relacionados com as aproximações
tanto em relação à    quanto à     . Nesse caso, chamado de de�nição formal de limite, tem-se que o limite de  
  é igual a   , quando     tende ao valor   , se, e somente se, para qualquer número    , por menor que
seja, for possível identi�car     su�cientemente pequeno de tal forma que se      então  
. Ou seja, dado uma distância qualquer  , sempre é possível identi�car valores de 
 su�cientemente próximos de    de tal modo que se aproxima de  .
f a f
f
L f x a f (x)
L x a x ≠ a
ou " com " ,lim
x→a
f (x) = L f (x) → L x→ a
L f (x) x a f
f a f
ε > 0 δ > 0
x f (x)
f (x) L x a ε > 0
δ > 0 0 < |x − a| < δ
|f(x) − L| < ε ε > 0 x
a L
Como existem situações nas quais o comportamento de uma função é diferente em torno de um ponto, em vez de
avaliar o limite no ponto em questão, discute-se a respeito dos limites quando  aproxima-se do ponto �xado por
um dos lados, seja por valores maiores ou por valores menores que o ponto. Assim, é possível de�nir os limites
laterais de uma função, à direita e à esquerda.
x
Cálculo Diferencial e Integral
Introdução ao estudo dos limites
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A partir do estudo dos limites laterais é possível obter informações sobre o limite bilateral da função devido à
seguinte relação: o limite bilateral de uma função   , quando   tende a um valor   , é igual a   se, e somente se,
os limites laterais de   em torno de   existem e são iguais entre si. Com isso, a avaliação dos limites laterais pode
permitir uma conclusão a respeito do limite bilateral no mesmo ponto em estudo. 
Saiba Mais
A notação    é empregada para o caso em que, tomando valores de   próximos de   mas maiores
do que  , implicar em     aproximando-se de  , isto é, consiste em a�rmar que     é o limite de     com   
tendendo ao valor     pela direita. Por outro lado,    representa o caso em que, ao tomar os valores
de    próximos de   , e menores que   , tivermos     su�cientemente próximos de   , ou ainda, corresponde a
dizer que    é o limite de    com     tendendo ao valor     pela esquerda. 
lim
x→a
+
f(x) = L X a
a f (x) L L f (x) X
a lim
x→a
+
f(x) = L
X a a f (x) L
L f (x) X a
Limite à direita
Fonte: elaborada pelo autor.
f x a L
f a
Uma característica importante dos limites de funções é a unicidade, isto é, quando o limite de uma
função   , em um ponto  , existe, então esse limite é único, ou seja, existe um único valor real     para o
qual  .
f a L
lim
x→a
+
f(x) = L
Além da de�nição, existem propriedades que podem ser empregadas no estudo dos limites de funções,
principalmente em associação com as operações que podem ser estudadas entre funções, como a adição, a
multiplicação, entre outras. Assim, se existem os limites de duas funções    e     em torno de um ponto   , então o
limite da soma de funções consiste na soma dos limites, sendo o mesmo válido para a diferença de funções,
produto, quociente (desde que sejam evitadas as divisões por zero), as potências e raízes, entre outras. Dessa
forma, pode-se empregar as funções cujos limites já são previamente conhecidos e podem ser relacionados entre
si a partir de operações algébricas.
f g a
Teorema do Confronto
Além das propriedades operatórias, também pode-se empregar o teorema do confronto para estudar os limites
de funções, o qual a�rma que, se existem funções   ,    e    tais que     para    su�cientemente
próximo de     (exceto possivelmente no ponto  ) e, além disso, os limites das funções   e    , em torno de   , são
ambas iguais a   , então pode-se concluir que o limite da função  , quando    aproxima-se de   , é também igual
a  .
f g h f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) x
a a f h a
L g x a
L
Logo, para que seja possível obter informações, principalmente em torno de pontos especí�cos, a respeito do
comportamento de funções reais, pode-se empregar o conceito de limite, cujo estudo pode ser simpli�cado por
intermédio das de�nições, do conceito de limite lateral e sua associação com o limite bilateral, bem como as
propriedades e teoremas correspondentes. Dessa forma, tendo em vista as propriedades e características da
função que foram apresentadas nessa webaula, pode-se, por exemplo, empregá-la na construção de modelos e,
consequentemente, para a resolução dos mais diversos problemas.
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