3aLista_Sequencia_e_Serie_de_Potencia

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Departamento de Matemática - UFC
Séries e Equações Diferenciais
Lista de exerćıcios: Sequência e série de potências
1. Mostre que a sequência converge e calcule seu limite.
(a) an =
n!
nn
(b) an =
(
1 +
1
n
)n
(c) an =
2n
n!
2. Sejam a e b números positivos com a > b. Seja a1 sua média aritmética
e b1, sua média geométrica:
a1 =
a+ b
2
b1 =
√
ab
Repista esse procedimento de modo que, em geral,
an+1 =
an + bn
2
bn+1 =
√
anbn
(a) Use a indução matemética para mostrar que
an > an+1 > bn+1 > bn
(b) Deduza que as sequências {an} e {bn} são ambas convergentes.
(c) Mostre que lim
n→∞
an = lim
n→∞
bn.
3. Uma sequêcia nimérica é definida por
a1 = 1 e an = (5− n)an−1
Calcule
∞∑
n=1
an.
4. O que está errado com o seguinte cálculo?
0 = 0 + 0 + 0 + · · · = (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + . . .
= 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · · = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + . . .
= 1 + 0 + 0 + 0 + · · · = 1
1
5. Se a n-ésima soma parcial de uma série
∞∑
n=1
an é
Sn =
n− 1
n+ 1
encontre an e
∞∑
n=1
an.
6. Aproxime a soma da série com a precisão de quatro casas decimais.
(a)
∞∑
n=1
(−1)n
3nn!
(b)
∞∑
i=1
(−1)nne−2n
7. Por volta de 1910, o matemático Srinivasa Ramanujan descobriu a
fórmula
1
π
=
2
√
2
9801
∞∑
n=1
(4n)! (1103 + 26390n)
(n!)4 3964n
William Gosper usou esta série em 1985 para calcular os primeiros 17
milhões de algarismos de π.
(a) Verifique que a série é convergente.
(b) Quantas casas decimais corretas de π você obtém se usar apenas
o promeiro termo da série? E se usar dois termos?
(c) Ver o filme ”O homem que viu o infinito”.
8. Teste a série quanto a convergência ou divergência.
(a)
∞∑
n=1
(−1)n
cos(1/n2)
(b)
∞∑
n=1
1
n1+1/n
(c)
∞∑
n=1
(
n
√
2− 1)n
9. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
(a)
∞∑
n=1
(−1)n xn
3
√
n
(b)
∞∑
n=1
n2 xn
2.4.6. . . . .(2n)
(c)
∞∑
n=1
(5x− 4)n
n3
2
10. Encontre uma representação em série de potências para a função e
determine o intervalo de convergência.
(a) f(x) = x
√
1 + x (b) f(x) = ex cosx
11. Use séries para aproximar a integral definida com precisão de quatro
casas decimais.
(a)
∫ 1/2
0
x
(1 + x)
√
2
dx (b)
∫ 1
0
e−x
2
dx
3