2aLista_Serie_de_Potencia

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Departamento de Matemática - UFC
Séries e Equações Diferenciais
Lista de exerćıcios: Série de potências
1. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
(a)
∞∑
n=1
(−1)nnxn (b)
∞∑
n=1
xn
2n+ 1
(c)
∞∑
n=1
(−1)n n
2xn
2n
(d)
∞∑
n=1
(x− 2)n
n2 + 1
(e)
∞∑
n=1
n! (2x− 1)n (f)
∞∑
n=1
n
4n
(x+ 1)n
2. Encontre uma representação em série de potências para a função e
determine o intervalo de convergência.
(a) f(x) =
1
1 + x
(b) f(x) =
x
9 + x2
(c) f(x) =
1 + x
1 − x
3. Encontre uma representação em série de potências para a função f(x) =
ln(1 +x). Qual é o raio de convergência? Expresse ln 2 como uma série
alternada.
4. Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o
raio de convergência?
(a)
∫
t
1 − t8
dt (b)
∫
x2 ln(1 + x) dx (c)
∫
arctg x
x
dx
5. Encontre a série de Taylor da função abaixo e o raio de convergência
dessa série.
(a) f(x) = sen (πx) (b) f(x) = senh x (c) f(x) = x ex
6. Calcule a integral indefinida como uma série infinita.
(a)
∫
x cos(x3) dx (b)
∫
ex − 1
x
dx (c)
∫
cosx− 1
x
dx
7. Use séries para aproximar a integral definida com precisão de quatro
casas decimais.
(a)
∫ 1
0
sen (x4) dx (b)
∫ 1/2
0
x3 arctg x dx
1