TFC NSIAMINDELE Versão final

Prévia do material em texto

INSTITUTO SUPERIOR DE CIÊNCIAS DE EDUCAÇÃO
ISCED-UÍGE
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXACTAS
SECÇÃO DE ENSINO DE MATEMÁTICA
ALGORITMO PARA COMPARAÇÃO DE FRACÇÕES 
NA 6ª CLASSE
Por 
Afonso Nsiamindele
 
Trabalho apresentado para obtenção do grau de licenciado em Ciências de Educação, opção: Ensino de Matemática.
 UÍGE, 2021
AFONSO NSIAMINDELE
ALGORITMO PARA COMPARAÇÃO DE FRACÇÕES 
NA 6ª CLASSE
Orientador: Msc, Toko Marcel
 
Trabalho apresentado para obtenção do grau de licenciado em Ciências de Educação na opção de Ensino de Matemática.
 UÍGE, 2021
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho ao meu pai Afonso Mbiavanga, à minha mãe Zinga Ndongala e aos meus irmãos António Manuel Mpaxi, Afonso Mbuta e Dikizeko Afonso pelo amor, paciência, carinho e apoio Moral como financeiro durante a minha formação. 
 
AGRADECIMENTOS
A Jeová-Deus todo-poderoso, nosso pai e criador, pelo dom da vida por ter me ajudando sempre e por ter me concedido saúde, muita força para que eu pudesse concluir o meu curso de licenciatura e especificamente a conclusão deste trabalho de licenciatura;
Ao meu orientador, Toko Marcel, Msc, que incansavelmente me incentivou e manteve sempre uma visão crítica na elaboração deste trabalho; 
A todos os docentes do ISCED do Uíge que contribuíram pela minha formação com os seus ensinamentos sabiamente transmitidos e úteis para a minha vida profissional;
Ao meu pai Afonso Mbiavanga e a minha mãe Zinga Ndongala por ter apostado na minha formação;
Aos meus irmãos e irmãs, que tanto aguardaram para a conclusão da minha formação pelo apoio moral, material e financeiro merecido;
Aos alunos que participaram na recolha de dados da presente pesquisa por ter compreendido a importância dessa actividade científica; 
Ao meu irmão António Manuel Mpaxi pelo seu incomparável incentivo para o sucesso da minha formação.
Aos meus amigos e colegas do curso de ensino de Matemática, em particular António Pedro Mpanda e António José Zacarias pelos conselhos, força, ajuda , companheirismo, conversas e críticas inspiradoras nos momentos das decisões durante a elaboração desta monografia.
A todos que, directa ou indirectamente, contribuiram para a realização deste trabalho.
RESUMO
O presente trabalho foi elaborado tendo em conta as dificuldades que os alunos da 6ª classe do ensino primário apresentam sobre a resolução de exercícios envolvendo a comparação de fracções. O estudo foi realizado no primeiro trimestre de 2020 com uma amostra de 130 alunos de três turmas seleccionadas de 6ª classe da Escola Primária n°962 do Uíge com o objectivo de avaliar se uma abordagem algorítmica de ensino desse conteúdo pode minimizar essas dificuldades. Em termos metodológicos, aplicou-se um teste diagnóstico aos alunos das turmas selecionadas para avaliar o seu nível de conhecimentos sobre a comparação de fracções já estudados com professor titular da disciplina. Ao constatarmos um elevado índice de dificuldades por parte dos mesmos sobre o tema em estudo, realizamos uma intervenção didáctica elaborando primeiro uma proposta de algoritmo envolvendo o mesmo conteúdo e que, a seguir, experimentamos atravès duma sequência didáctica. Com a aplicação desse algoritmo, obtemos resultados aperfeiçoados no pós-teste, o que justifica que, no contexto da pesquisa, a comparação de fracções numa perspectiva algorítmica constitui um procedimento conveniente para o ensino e aprendizagem desse conteúdo. 
Palavras- chaves: Algoritmo; comparação de fracções.
ABSTRACT
The present work was elaborated taking into account the difficulties that the students of the 6th grade of primary education present on the resolution of exercises involving the compilations of fractions. The study was carried out in the second quarter of 2020 with a sample of 130 students from two groups selected from 6th grade of Primary School No. 962 in Uíge with the aim of minimizing these difficulties. In methodological terms, a diagnostic test was applied to the students of the selected classes to evaluate their level of knowledge about the comparation of fractions already studied with professor of the discipline. When we verified a high index of difficulties on the part of the same ones on the subject under study, we did a didactic sequence with proposal of an algorithm involving the same arithmetic comparations. Based on the application of this algorithm, we obtain satisfactory results in the post-test, which justifies that in the context of the research, the comparation of fractions in an algorithmic perspective is a good adequate result for the teaching and learning of this content.
Keywords: Algorithm, Comparation of Fractions.
ÍNDICE_Toc59515221
INTRODUÇÃO	8
CAPITULO I: ABORDAGEM TEÓRICA	12
1. 0. CONCEITO DE FRACÇÕES	12
1.1. Breve historial sobre o surgimento de números fraccionários	12
1.2. Breves noções sobre fracções	13
1.3. Técnicas auxiliares às operações com as fracções	16
1.3.1. Conversão de Fracções Impróprias em Fracções Mistas	16
1.3.2. Conversão de Fracções Mistas em Fracções Impróprias	16
CAPITULO II: ALGORITMOS PARA COMPARAÇÃO DE FRACÇÕES NA 6ª CLASSE	22
2.1. Comparação de fracções	22
2.2. Dificuldades apresentadas por alguns alunos	22
2.3. Apresentação do algoritmo	23
2. 4. Algoritmos para comparação de fracções	23
CAPITULO III: ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS DOS TESTES APLICADOS	30
3.1. Objectivo do capítulo	30
3.1 .1. Caracterização da amostra	30
3.2. Abordagem objectiva dos testes	31
3.2.1.1. Tabela ilustrativa dos dados recolhidos no teste diagnóstico	32
3.2.3.1. Apresentação dos dados recolhidos no pós-teste	35
3.3. Análise comparativa dos dados recolhidos nos testes aplicados	38
CONCLUSÃO	41
SUGESTÕES	42
BIBLIOGRAFIA	43
Apêndice	44
INTRODUÇÃO
Apresentação do tema
Em dois momentos principais durante o ano 2019 e início do ano 2020, descobrimos que o conteúdo da matemática elementar sobre a comparação de fracções apresenta dificuldades quer aos alunos da 6ª classe do ensino primário como aos adultos: As aulas de explicação que dirigimos a alguns alunos da escola nº 962 AUP/Papelão zona 3 no município do Uíge e o curso de preparação que organizamos para o ingresso no curso de ensino de infância ao ISCED do Uíge. 
Perante essa observação, optamos por desenvolver um trabalho cujo tema é intitulado «Algoritmo para a comparação de fracções na 6ª classe» com intuito de analisar os principais erros e dificuldades que eles apresentam ao resolver problemas e/ou exercícios que envolvem fracções. Esse trabalho visa mostrar como proceder para efectuar de maneira mais simples e eficaz as comparações de fracções.
Além da introdução e da última parte que trata da conclusão e sugestões sobre o tema em estudo, estruturamos o presente trabalho em três capítulos: 
· O primeiro capítulo aborda a fundamentação teórica, isto é, os conceitos básicos necessários para a comparação das fracções. Duma forma clara e mais breve, definimos o conceito de fracção, introduzindo os tipos de fracções, suas características e suas possíveis transformações.
· O segundo capítulo apresenta as estratégias para encontrar técnicas interessantes e de fácil compreensão envolvendo a comparação de fracções. Assim sendo mostramos um algoritmo para a comparação de fracções, isto é, os passos a seguir com exemplos ilustrativos de exercícios resolvidos.
· O último capítulo foi consagrado ao tratamento dos dados que foram recolhidos nos testes aplicados aos alunos antes e após a exploração metodológica no campo de pesquisa. 
Problemática
No processo de ensino e aprendizagem de fracções, um tema praticamente complexo para os alunos do nível de ensino primário, recomendam-se que sejam sempre planejadas sequências didácticas ajustadas para que cada criança consiga uma ampla compreensão de todas as ideias que serelacionam com o conceito fracção, de modo que lhe seja proporcionada, com o passar do tempo uma experiência adequada em termos de aprendizagem significativa. Muitas vezes, as dúvidas que, teoricamente deveriam ser sanadas quando ainda estavam no ensino primário passam a bloqueá-los no andamento dos seus estudos do ensino médio como superior. Assim, é preciso trabalhar o conteúdo de formas mais precisas, de maneira que o aluno seja capaz de abordar as fracções em variados contextos.
Mas, infelizmente, nem sempre todos os professores desse nível de ensino que conseguem fazer eficazmente essa atividade de planificação didáctica por vários motivos: uns avançam não possuir domínio conceitual e outros abordam no sentido de carência metodológica para o ensino dessa unidade matemática. Esses dois indicadores constituem factores que contribuem para o fraco rendimento dos alunos da 6ª classe do ensino primário na comparação de fracções.
Perante essa observação, a principal questão que se coloca é: « Como podemos contribuir para minimizar as dificuldades que apresentam os alunos da 6ª classe do ensino primário na comparação de fracções?».
Por outro lado, visto que são vários trabalhos de licenciatura em ensino de matemática, como de física e química no ISCED do Uíge que vem defendendo a positividade do procedimento algorítmico nas sequências didácticas, pensamos que é inequívoco que o nosso contributo inserisse-se nessa linha de pesquisa, mas especificamente com uma questão orientadora: «Que ganho de aprendizagem obtemos nos alunos da 6ªClasse pela abordagem algorítmica do ensino da comparação de fracções?»
Hipótese do tema
Face a problemática evocada, avançamos a nossa pesquisa com a ideia que é possível minimizar as dificuldades que os alunos da 6ª classe apresentam sobre a comparação de fracções com um ganho alto de aprendizagem se for racionalmente aplicada uma intervenção pedagógica mediada pela abordagem algorítmica de alguns parâmetros tais como a identificação e as operações de ampliação como de redução de fracções. 
Motivação do tema
Neste momento que se pensa materializar-se a nova lei do sistema educativo angolano, pensamos indispensável refletir sobre os conteúdos enquadrados no programa de matemática do ensino primário, base do ensino secundário como superior, onde se dirigem hoje muitas críticas fundamentais. Todos sabemos que hoje os alunos da 6ªclasse do ensino primário estão chegando às nossas salas de aulas com grandes dificuldades, principalmente nos conteúdos básicos de matemática. Por meio desta pesquisa, foi intencionado mostrar que existem acções didácticas sobre a comparação de fracções na 6ª classe adequadas para uma melhor aprendizagem dos mesmos. 
Objecto de investigação 
Processo de ensino e aprendizagem das fracções no ensino primário 
Campo de acção
Processo de ensino e aprendizagem da comparação de fracções. Caso dos alunos da 6ª classe da escola primária nº 962 AUP/Papelão zona 3 do município do Uíge.
Objectivos de investigação 
a) Objectivo geral
Mostrar mediante uma experimentação didáctica o ganho de aprendizagem produzido pela abordagem algorítmica do ensino da comparação de fracções na 6ª Classe que julgamos ser fundamental para minimizar várias dificuldades que apresentam os professores bem como os alunos sobre este conteúdo. 
b) Objectivos específicos
· Fundamentar o conceito de comparação de fracções;
· Apresentar um algoritmo sobre a comparação de fracções para os alunos da 6ªClasse;
· Explorar didáctica e quantitativamente a aplicação desse algoritmo perante os alunos da 6ª classe da escola primária nº 962 AUP/Papelão zona 3 do município do Uíge. 
Metodologia 
A metodologia utilizada para a elaboração deste trabalho obedeceu quatro fases importantes: primeiramente em observar as aulas do professor titular; segundo em avaliar os conhecimentos dos alunos no que disse respeito a comparação de fracções com vista a identificar os erros mais comuns produzidos pelos mesmos ; terceiro em planejar uma intervenção pedagógica a partir duma abordagem algorítmica propiciada em sala de aula e finalmente fazendo observações e registos, análises e interpretações em função da abordagem algorítmica proposta.
Para concretizar essas etapas, foram utilizados para este trabalho os seguintes métodos:
a) Método histórico-lógico onde apresentamos apoiando-se no método bibliográfico uma breve evolução do conceito de comparação de fracções para a sexta classe do ensino primário em Angola;
b) Método Hipotético-dedutivo que se apoiou em pressupostos da técnica exploratória para procurar encontrar os resultados preconizados nesta pesquisa a que nos propusemos, isto é, minimizar as dificuldades que a presentam os alunos da 6ª classe do ensino primário na comparação de fracções a partir duma intervenção pedagógica baseada numa abordagem algorítmica de ensino gradualmente proposta no contexto da pesquisa.
c) Métodos de nível empíricos que se serviram de inquéritos por questionários, um pré-teste e um pós-teste aplicados aos alunos, para medir o grau de aprendizagem comparativamente entre os dois momentos. Pelo que se envolveram as ferramentas da análise estatística matemática segundo a estatística descritiva e o critério do grau de aprendizagem normalizado proposto por Hake para analisar estudos que abarcam um pré-teste e um pós-teste;
Delimitação do tema
O tema em foco é delimitado no programa de matemática da 6ª classe do ensino primário e particularmente na unidade temática: números e operações.
CAPITULO I 
BREVES NOÇÕES SOBRE FRACÇÕES E SUAS OPERAÇÕES 
PARA O ENSINO PRIMÁRIO
1.1. Breve historial sobre o surgimento de números fraccionários 
De acordo o tema em pesquisa, e partindo do pressuposto de que não se conhece bem uma coisa se não se saber a sua história, neste capítulo, apresentamos em primeira interesse uma breve história sobre o surgimento de fracções para termos o melhor conhecimento sobre as origens das fracções em geral. 
Partindo do facto de que todo conhecimento matemático se desenvolveu a partir de uma necessidade real do homem, é importante conhecermos as origens do número fraccionário para termos em mente sua real função em nosso dia-a-dia, e mostrar sua importância aos alunos.
A criação dos números fraccionários deve-se aos egípcios , habitantes das margens do rio Nilo. Uma vez por ano, as águas do rio Nilo subiam e inundavam grandes áreas de terra, desmarcando os limites das terras daqueles que moravam próximos às suas margens. Era necessário, então, que após baixarem as águas, novos limites fossem remarcados para os seus agricultores. Nesse processo, a unidade de medida adoptada, na maior parte das vezes, não sabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno que forçou a criação de um novo tipo de número, que representassem pedaço do inteiro. Assim, surgiu o número fraccionário por volta do ano 3000 a.c quando um faraó repartiu o solo do Egipto as margens do rio Nilo entre seus agricultores.
A utilização das fracções pelos egípcios aparece em um escrito, entre os anos 2000 e 1600 a.c. Por um escriba de nome Ahmes Nesse papiro, aparece uma tabela para a decomposição de certas fracções em somas de fracções unitárias de numerado igual a um. Nas antigas sociedades literárias que são Egipto e Mesopotâmia, a representação numérica aconteceu muito antes da descoberta da escrita, quando surgiram nos registos comerciais. Além disso, os babilónios, através da sua numeração de posição com base sessenta, foram os primeiros a atribuírem às fracções uma notação racional convertendo-as em fracções sexagésimas, cujo denominador é igual a uma potência de sessenta e exprimindo-as mais ou menos como se exprimir as fracções de horas em minutos e Segundo. Os babilónios não chegaram ao uso de vírgula para diferenciar os inteiros das fracções sexagésimas da unidade.
Com o desenvolvimento do cálculo e da Aritmética, ficou claro que as fracções se submetiam às mesmas regras que os números inteiros e que eram, portanto assimiláveis aos inteiros, sendo um inteiro é uma fracção de denominadorigual a um. 
1.2. Breves noções sobre o conceito de fracções
1.2.1. Definição 
As fracções correspondem a uma representação das partes de um todo, isto é, ao dividir um objecto em partes iguais, cada parte é uma fracção do inteiro. Apalavra fracção é um termo que vem do latim “fractus” e que em português significa “quebrado” ou também “partido”. Na prática, todo e qualquer objecto que não tenha sido submetido a uma divisão recebe o nome de inteiro. A partir do momento que alguns cortes são efectuados nesse objecto, é possível aferir que ele está sendo dividido. Caso o resultado da divisão ser partes iguais, é então possível efectuar a representação desse objecto por meio de fracções. As fracções consistem em uma maneira de efectuar a representação das partes pelos quais um determinado objecto foi dividido.
Portanto, uma fracção é um par de números naturais que estão separados pelo traço de fracção, ou seja, fracção é a parte de um inteiro, que foi dividido em partes exactamente iguais.
1.2.2. Denominação dos elementos de uma fracção
O número que fica na parte de cima da fracção é chamado numerador, e o número que fica na parte de baixo é chamado denominador.
Ao falarmos de fracções, devemos ter em conta três elementos, que são:
1º) Numerador: indica quantas partes do inteiro foram tomados; 
2º) Denominador: indica quantas partes iguais em que a unidade se dividiu do inteiro.
3º) Traço de fracção: separa o numerador do denominador; 
Exemplo 1: , (b diferente de 0). Sendo a o numerador e b o denominador. As fracções também representam divisões. Nesse caso, o numerador é equivalente ao dividendo e o denominador é equivalente ao divisor.
1.2.3. Tipos de fracções
As fracções classificam-se em:
a) Fracções próprias: são aquelas cujo numerador é diferente de zero e é menor que o denominador. 
Exemplo 2: , , 
b) Fracções impróprias: são aquelas cujo numerador é maior que o denominador, exceto os casos em que são múltiplos.
Exemplo 3: 
c) Fracções mistas: são fracções constituídas por uma parte inteira e uma fraccionária ou seja, formada por um número natural juntos de uma fracção própria ou imprópria 
Exemplo 4:
; 
d) Fracções aparentes: são fracções em que o numerador é múltiplo do denominador, ou seja, representa um número inteiro escrito na forma de fracção. Como as fracções representam divisões, dividindo o numerador de uma fracção aparente pelo seu denominador, o resultado é um número inteiro. Desse modo, elas apenas têm aparência de fracção, por isso, o nome Fracção Aparente.
Exemplo 5: 
e) Fracções decimais: São fracções que possuem no denominador um múltiplo de 10.
Exemplos 6: 
f) Fracções ordinárias: quando o denominador não é 10 ou potência de 10 (100,1000,…)
Exemplo 7: , , 
g) Fracções equivalentes: para encontrar fracções equivalentes, multiplicamos o numerador e o denominador da fracção pelo mesmo número natural diferente de zero
Exemplo 8: 
 são algumas fracções equivalentes a 
1.2.4. Leitura de uma fracção
Algumas fracções recebem nomes especiais:
a) As que têm denominadores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, lêem-se, por exemplo:
 (Três meio), (Um quarto), ,
 (Um sexto),(Quatro sétimos), (Seis oitavos), (Dezasseis nonos). 
b) As que têm denominadores um múltiplo de 10: 10, 100,1000, etc, lê-se:
 (Cinco décimos), (Três centésimos), (Dois milésimos).
c) As que são lidas acompanhadas da palavra avos como, por exemplo:
(Uns onze avos); (Sete e centos e vinte avos); ( Quatro e treze avos); (Oito e trezentos avos), (Cinco e dezanove avos); ( Sete e duzentos e vinte avos). 
1.2.5.	Representação em forma geométrica de uma fracção
As fracções podem ser representadas em forma geométrica por exemplo:
	
1.3. Técnicas auxiliares às operações com as fracções
1.3.1. Conversão de Fracções Impróprias em Fracções Mistas 
O método para a realização de tal conversão é bastante simples. Dividimos o numerador pelo denominador. O resto da divisão será utilizado como o numerador da parte fraccionária. O quociente será a parte inteira e o denominador será o mesmo da fracção original.
Exemplo 9. Sendo a converter a fracção Em fracção mista. Ao dividirmos 13 por 5 iremos obter o quociente 2 que será a parte inteira da fracção mista. O resto desta divisão é igual a 3, valor este que será o numerador da parte fraccionária. O denominador da parte fraccionária continuará a ser o número 5 e escreve-se .
1.3.2. Conversão de Fracções Mistas em Fracções Impróprias 
O método para a realização desta conversão é mais simples ainda. Primeiramente pegamos o número da parte inteira e o multiplicamos pelo número do denominador da fracção, em seguida somamos este produto ao numerador da parte fraccionária para obtermos o novo numerador. O denominador da parte fraccionária continuará a ser o mesmo.
Por exemplo, para converter a fracção mista em fracção imprópria, temos que multiplicar o 5 da parte inteira pelo número 4 do denominador da fracção, obtendo 20. Em seguida, somamos este produto, sendo 20, ao numerador 2 da parte fracionária para obter o novo numerador 22 da fracção imprópria conservando o denominador da parte fraccionária. Assim sendo, teremos que efectuar:
1.3.3. Redução de fracções ao mesmo denominador
Para reduzirmos fracções ao mesmo denominador, devemos aplicar a utilização do mínimo múltiplo comum entre os denominadores. Usamos a abreviação m.m.c. Em aritmética e em teoria dos números inteiros positivos, o mínimo múltiplo comum (mmc) de dois inteiros a e b é o menor inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente de a e de b. Se não existir tal inteiro positivo, por exemplo, se a = 0 ou b = 0, então mmc (a, b) é zero por definição. Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fato ração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30. Antes de tudo, decompomos os números em factores primos. O m.m.c. é o produto dos factores primos comuns e não comuns:
12   =  2  x  2  x  3
30   =   2  x  3   x  5
m.m.c (12,30)  = 2  x  2  x  3   x  5
Escrevendo a facto ração dos números na forma de potência, temos:
12 = 22  x  3
30 = 2   x  3  x  5
m.m.c (12,30)  = 22  x  3  x  5
O m.m.c. de dois ou mais números, quando factorados, é o produto dos factores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.
Para reduzir as fracções ao mesmo denominador devemos encontrar as fracções equivalentes a cada uma delas, ou seja, fracções diferentes, mas que representam a mesma quantidade. Depois de encontrar o “novo denominador” temos que dividi-lo pelo “antigo” e multiplicar o resultado pelo numerador, 
Exemplo 10. Reduzir as fracções e ao mesmo denomiador
As fracções 3/20 e 5/6 possuem os números 20 e 6 como denominadores e o menor múltiplo comum (mmc) entre eles é 60. Assim, o denominador comum das fracções 3/20 e 5/6 será 60. Logo, temos que fazer:
:
1.3.4. Simplificação de fracção
A simplificação de fracção é o procedimento usado para encontrar fracções equivalentes formadas por números inteiros menores que os da fracção inicial. Assim sendo, simplificar uma fracção consiste em reduzir o numerador e o denominador por meio da divisão pelo máximo divisor comum aos dois números. Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 24 são 1,2,3,4 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 24 e indicamos m.d.c. (12,24) = 6. Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em factores primos. O m.d.c. é o produto dos factores primos comuns.
Uma fracção está totalmente simplificada quando verificamos que seus termos estão totalmente reduzidos a números que não possuem termos divisíveis entre si. Uma fracção simplificada sofre alteração do numerador e do denominador, mas seu valor matemático não é alterado, pois a fracção, quando tem seus termos reduzidos, torna-se uma fracção equivalente.
Observe mais alguns exemplos de simplificação:
O mdc entre 32 e 40 é 8.
O m.d.c entre 14 e 18 é 2.
O m.d.c entre 20 e 56 é 4.
1.3.5. Ampliação de fracção
Ampliação de fracções é oprocedimento usado para encontrar fracções equivalentes formadas por números inteiros que maiores os da fracção inicial. Ampliar uma fracção consiste em duplicar o numerador e denominador por meio de factor de ampliação maior que 1.
Uma fracção está ampliada quando averiguámos que seus termos estão totalmente duplicados a números maiores. Pois quando tem seus termos ampliados ou duplicados, torna-se uma fracção equivalente.
Alguns exemplos de ampliação:
1.3.6. Noção de números primos
Os Números Primos são números naturais maiores do que 1 que possuem somente dois divisores, ou seja, são divisíveis por 1 e por ele mesmo. Em outras palavras, um número chama-se primo se admitir dois e só dois divisores, isto é, o número 1 e o próprio número. O Teorema Fundamental da Aritmética faz parte da "Teoria dos Números" e garante que todo número natural maior que 1 ou é primo ou pode ser escrito de forma única, a menos da ordem dos factores, como o produto de números primos. Assim sendo, o número 1 nem é primo nem é composto porque admite apenas um divisor: ele próprio. Os restantes chamam-se compostos porque admitem mais de dois divisores.
Para escrever um número como produto de números primos ou "factores primos", utilizamos um processo de decomposição dos números chamado de factoração.
Exemplo de números primos entre 1 e 100 
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	21
	22
	23
	24
	25
	26
	27
	28
	29
	30
	31
	32
	33
	34
	35
	36
	37
	38
	39
	40
	41
	42
	43
	44
	45
	46
	47
	48
	49
	50
	51
	52
	53
	54
	55
	56
	57
	58
	59
	60
	61
	62
	63
	64
	65
	66
	67
	68
	69
	70
	71
	72
	73
	74
	75
	76
	77
	78
	79
	80
	81
	82
	83
	84
	85
	86
	87
	88
	89
	90
	91
	92
	93
	94
	95
	96
	97
	98
	99
	100
Vamos observar alguns exemplos de decomposição de números naturais em factores primos, isto é, na forma fatorada.
28=2
30=2
2
7
1
7
14
28
1
5
3
2
5
15
30
2
1.3.7. Comparação matemática envolvendo fracçoes
Definição: Dados a, b, c e d quatro números diferentes de zéro:
1) Se então 
2) Se então 
3) Se então (INIDE-MED. Matemática 6ª classe, 2003, pag 43)
Dessa definição destacam-se os seguintes casos:
1º Caso: fracções de igual numerador
Se os numeradores das fracções serem comparadas forem iguais, neste caso, é maior a fracção que tiver menor denominador.
Por exemplo, comparando as seguintes fracções: , obtemos pois 3<6<8
2º Caso: fracções de igual denominador
Neste caso, as frações podem ser: Maior, menores ou iguais. Em seguida, apresentamos estas três situações.
· A fracção maior: é aquela que tiver maior numerador
Exemplo: 
· A fracção menor: é aquela que tiver menor numerado
Exemplo:
· As fracções iguais: são iguais se tiverem os mesmos numeradores
Exemplo:
CAPITULO II
ALGORITMOS PARA COMPARAÇÃO DE FRACÇÕES NA 6ª CLASSE
2.1. Dificuldades apresentadas por alguns alunos 
Como afirma Chevallard (1992), a presença da Matemática na escola é consequência de sua utilização na sociedade e não é algo feito exclusivamente para ser ensinada na escola reduzindo seu valor social a um mero valor escolar e transformando o ensino escolar da matemática em um fim em si mesmo. Pelo contrário, o ensino da Matemática atende a uma necessidade social e também individual, visto que cada individuo deve saber um pouco de Matemática para resolver ou, simplesmente, reconhecer os problemas com os quais se depara na convivência social.
Quando se trabalha o conteúdo de comparação com fracções, as dificuldades apresentadas pelos alunos são preocupantes, sendo, portanto, relevante repensar e reestruturar a prática pedagógica com objectivo de melhorar significativamente a aprendizagem. Na comparação de fracções, os alunos preferem escolher a fracção com maior numerador como a fracção maior em todos os casos onde os numeradores e denominadores são diferentes, como por exemplo: 
 
Notamos que alguns alunos conseguem achar a fracção maior, mais tendo em conta da preferência de escolher a fracção com maior numerador como a fracção maior. 
Outra dificuldade que é possível observar prende-se com muitos alunos que não sabem como comparar e ampliar as fracções: Eles operam colocando os sinais de comparação no numerador e no denominador de fracções. Por exemplo:
 
2.3. Apresentação de Algoritmos para comparação de fracções 
Partindo do pressuposto de que um professor de Matemática, depois de alguns anos de carreira, geralmente cumpre de maneira equilibrada a tarefa de ensinar, construir uma organização didáctica para o ensino de fracções é uma actividade desejada para minimizar as dificuldades que esse conceito cria aux alunos.
Elaborar um algoritmo surge aqui como um processo facilitador de cálculo que se emprega em Matemática, com a descrição exacta e ponderada de uma série de passos bem ordenados para solucionar sistematicamente com eficiência e eficácia determinados tipos de problemas. No que segue, vamos apresentar uma abordagem algorítmica do ensino da comparação de fracções em determinados exemplos de modo a ajudar os alunos a superarem as suas dificuldades notadas ao longo da nossa pesquisa.
2.3.1. Regra geral
Para efectuar uma comparação de fracções, é necessário ter em consideração se são fracções de igual numerador, de igual denominador ou de diferente denominador. Caso elas possuam numeradores iguais, basta apenas localizar a fracção com menor denominador, se no caso as fracções possuam denominador igual, basta apenas localizar a fracção com maior numerador. No entanto, caso as fracções contenham numeradores e denominadores diferenciados entre si, é necessário encontrar fracções equivalentes que tenham denominadores iguais para evidenciar a comparação. 
2.3.2. Algoritmo para comparação de duas fracções de diferentes denominadores
1º Passo: Converter as fracções em igual denominador.
a) Multiplicar a 1ª fracção pelo denominador da 2ª fracção
b) Multiplicar a 2ª fracção pelo denominador da 1ª fracção
2º Passo: Comparar as fracções ampliadas como fracções de igual denominador.
3º Passo: Encontrar o resultado obtido 
Esquema 1
2.3.3. Algoritmo para comparação de várias fracções de diferentes denominadores
1º Passo: Converter as fracções em fracções de igual denominador.
a) Multiplicar cada uma das fracções pelo produto dos outros denominadores
2º Passo: comparar as fracções ampliadas como fracções de igual denominador
3º Passo: Encontrar o resultado obtido 
Esquema 2
2.3.3. Exemplos ilustrativos do algoritmo 
Exemplo 1: compare as seguintes fracções aplicando os passos do algoritmo.
a) 
 b) 
Resolução:	
a) 
1º Passo: Converter as fracções em igual denominador
a) Multiplicar a 1ª fracção pelo denominador 2ª fracção
b) Multiplicar a 2ª fracção pelo denominador 1ª fracção
2º Passo: Comparar as fracções ampliadas como fracções de igual denominador.
Tendo as duas fracções com denominadores iguais procuramos a fracção que tiver maior numerador, é a fracção maior, assim temos:
3º Passo: Encontrar o resultado obtido
b) 
1º Passo: Converter as fracções em igual denominador
a) Multiplicar a 1ª fracção pelo denominador 2ª fracção
b) Multiplicar a 2ª fracção pelo denominador 1ª fracção
2º Passo: Comparar as fracções ampliadas como fracções de igual denominado.
Tendo as duas fracções com denominadores iguais procuramos a fracção que tiver maior numerador, é a fracção maior, assim temos:
3º Passo: Encontrar o resultado obtido
Exemplo 2: compare as seguintes fracções:
a) 
b) 
c) 
 Resolução
a) 
1º Passo: Converter as fracções em fracções de igual denominador
a) Multiplicar cada uma das fracções pelo produto dos outros denominadores
2º Passo: comparar as fracções ampliadas como fracções de igual denominador
Tendo as fracções com denominadores iguais, procuramos a fracção que tiver maior numerador é a fracção maior, se sucessivamente, assim temos:	Comment by user: 
3º Passo: Encontrar o resultado obtido
b) 
1º Passo: Converter as fracções em fracções de igual denominador
a) Multiplicar cada uma das fracções pelo produto dos outros denominadores2º Passo: comparar as fracções ampliadas como fracções de igual denominador
Tendo as fracções com denominadores iguais, procuramos a fracção que tiver maior numerador é a fracção maior, se sucessivamente, assim temos:
3º Passo: Encontrar o resultado obtido
c) 
1º Passo: Converter as fracções em fracções de igual denominador
a) Multiplicar cada uma das fracções pelo produto dos outros denominadores
2º Passo: comparar as fracções ampliadas como fracções de igual denominador
Tendo as fracções com denominadores iguais, procuramos a fracção que tiver maior numerador é a fracção maior, se sucessivamente, assim temos:
3º Passo: Encontrar o resultado obtido
CAPITULO III
ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS DOS TESTES APLICADOS
3.1. Objectivo do capítulo 
O objectivo deste capítulo é de provar a partir dos testes aplicados a ideia de que é possível minimizar as dificuldades que os alunos da 6ª classe apresentam sobre a comparação de fracções com um ganho alto de aprendizagem se for racionalmente aplicada uma intervenção pedagógica mediada pela abordagem algorítmica exposta no segundo capítulo.
No caso da presente pesquisa, a aplicação racional dessa intervençã pedagógica decorreu obedecendo aos princípios da instrução directa que Richard I. Arends (1995) explica os procedimentos de utilização em cinco passos ou fases fundamentais:
1) Apresentar os objectivos explicando o modelo e estabelecer o contexto de aprendizagem;
2) Demonstrar a competência ou o conhecimento que se pretende ensinar;
3) Proporcionar prática guiada dando oportunidades aos alunos para praticarem o modelo;
4) Certificar-se da compreensão e facultar os alunos receberem feedback do seu desempenho;
5) Promover a transferência das competências ensinadas em sala de aula alargando a prática para outros contextos; como no caso da presente pesquisa, a instrução directa terminou com a realização de um pós-teste.
3.2. Caracterização da amostra
A pesquisa foi realizada na escola primaria nº 962 AUP do Uíge aos alunos da 6 ªclasse do período matinal, tendo uma população de 155 alunos repartidos nas três turmas D, I e J onde selecionou-se uma amostra representativa de 61 alunos (equivalente a 39% da população), a partir da fórmula estatística de Slovin (Fonseca & Martins, 2011, p. 176):
Onde:
· tamanho da amostra
· primeira aproximação da amostra, É calculado por: (comigual a margem de erro concebida)
· tamanho da população;
De acordo o tamanho da população e a margem de erro que se adoptou tem-se:
, logo a amostra é de 61 alunos.
A pesquisa foi realizada com os alunos de ambos sexos e de idades compreendidas entre 11 a 18 anos . A amostra foi extraída mediante o processo de divisão de turmas em dois grupos A e B que se aplicam actualmente nas escolas para observar as medidas de biossegurança ligadas à COVID-19. Escolhemos de trabalhar com o grupo A de cada turma aproveitando a força matinal dos alunos e priorizando nos testes os alunos mais frequentes nas aulas. A seleção foi feita a partir dos cadernos de presenças dos professores titulares observando a seguinte distribuição:
	Turmas/Grupo
	Total de alunos
	Observação
	Turma D
	Grupo A
	24
	Extraímos 20 alunos mais frequentes para a amostra 
	
	Grupo B
	24
	
	
	Total
	48
	
	Turma I
	Grupo A
	30
	Extraímos 21 alunos mais frequentes para a amostra
	
	Grupo B
	30
	
	
	Total
	60
	
	Turma J
	Grupo A
	23
	Extraímos 20 alunos mais frequentes para a amostra
	
	Grupo B
	24
	
	
	Total
	47
	
	Quadro nº1: Distribuição da amostra
3.3. Abordagem objectiva dos testes
O trabalho desenvolveu-se em quatro (4) fases fundamentais: Primeiro, com objectivo de identificar as dificuldades que os alunos da 6ª classe da Escola Primária nº 962 AUP apresentam quando comparam as fracções e estudar as possibilidades contextuais de intervenção pedagógica necessária para minimizar as mesmas dificuldades, fomos assistir nas aulas relativas a este unidade de ensino de matemática da 6ª classe. Após , procurando conciliar a teoria e a prática dos alunos por escrito, elaboramos e aplicamos um questionário pré-teste no âmbito de avaliar o nível de conhecimentos dos alunos sobre a comparação de fracções.
O tratamento dos dados recolhidos no pré-teste permitiu-nos propor uma abordagem algorítmica para melhor ensinar e aprender a comparação das fracções. Assim sendo, realizamos uma sequência didáctica que visou por instrução directa uma melhor compreensão dos alunos a respeito deste conteúdo. As actividades para a realização desta sequência foram concebidas a partir do manual de Matemática da 6ª classe e de alguns livros didácticos de Matemática que abordam os conceitos de comparação. Uma atenção especial foi dada na comparação de fracções considerando o programa e o nível da classe onde fomos realizar a nossa pesquisa-acção. Para verificar se os objectivos da instrução directa administrada, aplicamos um questionário pós-teste aos mesmos alunos seleccionados.
3.3.1. Análise e Interpretação dos dados do Pré-teste
O pré-teste foi aplicado após as aulas do Professor titular da disciplina serviu de base para o início do desenvolvimento do trabalho pois, é nesta fase onde se conseguiu identificar o nível real de conhecimento dos alunos face ao tema. O questionário tinha três objetivos principais nas três perguntas elaboradas: A primeira era para conhecer o nível do conhecimento, quando se trata de comparação de fracções com denominadores iguais. A segunda tinha como objectivo saber se os alunos dominavam ampliação de fracções enquanto se trata de comparação de fracções com duas fracções de denominadores diferentes. A terceira surgiu com o objectivo de constatar as habilidades dos alunos na comparação de varias fracções com denominadores diferentes. 
Perante este teste, os dados recolhidos são espelhados nos quadros e gráfico abaixos onde tomamos em consideração a percentagem dos alunos certos e errados, associada a natureza de erros frequentes observados assim como as notas ou valores que os alunos conseguiram obter numa escala de 0 a 20 valores. 
3.3.1.1. Quadro e gráfico dos dados do pré-teste em função dos alunos certos e errados
	
Quadro nº2: Dados do Pré-teste recolhidos
(N=61)
	Q.
	Objectivo
	Dados
	Resposta esperada
	%
Alunos certos
	%
Alunos errados
	Erros frequentes observados
	
	
	
	
	
	
	Natureza
	%
Global
	1.
	Escolher uma fracção maior entre duas com mesmo denominador
	
a) Entre e 
	
	
44,26
	
55,74
	
; ; 
	55,74
	
	
	
b) Entre e 
	
	
36,07
	
63,93
	
; 
	63,93
	
	
	Média percentual 1
	40,16
	59,84
	
	
	2.
	Comparar duas fracções com denominadores diferentes
	
a) Entre e 
	
 
	
11,48
	
88,52
	
; ; 
	88,52
	
	
	
b) Entre e 
	
 
	
37,70
	
62,30
	
; ; 
	62,30
	
	
	Média percentual 2
	24,59
	75,41
	
	
	3.
	Comparar uma série de fracções
	
a) Entre , 
	
 
	
8,20
	
91,80
	
; 
	
91,80
	
	
	
b) Entre , 
	
 
	
16,39
	
83,61
	
; ; 
 
	
83,61
	
	
	Média percentual 3
	12,30
	87,70
	
	
	Média percentual do Pré-teste
	25,68
	74,32
	
	
Observando o quadro e o gráfico que apresenta os dados do pré-teste em função dos alunos certos e errados, constatamos que a pesquisa registou uma percentagem de alunos errados muito superior em relação aos alunos certos respectivamente em cada pergunta como na média geral. O que deixa a entender que a situação de aprendizagem da comparação das fracções pelos alunos da 6ªClasse é preocupante e implica a necessidade de se encontrar uma solução interventiva promotora de habilidades esperadas. 
Interpretando as percentagens entre os alunos certos e alunos errados recolhidos, podemos induzir o seguinte sobre a aprendizagem das fracções na 6ªClasse a partir do pré-teste realizado:
1) De modo geral, aproximadamente são três alunos sobre dez que aprendem com eficiência sobre a comparação de fracções; isto é : .
2) Quase quatro alunos sobre dez são capazes de escolher com facilidade uma fracção maior entre duas com mesmo denominador; isto é: 
3) Perto de dois alunos sobre dez comparam sem dificuldades duas fracçõescom denominadores diferentes; isto é: .
4) E finalmente, somente um (01) aluno sobre dez (10) demonstra habilidades em comparar uma série de fracções; isto é: .
A natureza de erros frequentes apresentados pelos alunos é certamente consequência de falta de domínio dos diferentes passos a aplicar para corresponder com os objectivos do pré-teste prédefinidos. Esse foi o indicador capital em podermos evidenciar algoritmos apropriados para resolver as dificuldades observadas nas produções dos alunos.
3.3.1.2. Distribuição e interpretação das notas do pré-teste
Quadro nº3- Distribuição das notas do pré-teste
	
	
	
	
	
	
	
	 0
	9
	9
	0
	-5,98
	35,76
	 321,84
	 3
	10
	19
	30
	-2,98
	8,88
	88,8
	5
	19
	38
	95
	-0,98
	0,96
	18,24
	8
	6
	44
	48
	2,02
	4.08
	24,48
	10
	11
	55
	110
	4,02
	16,16
	177,76
	13
	4
	59
	 52
	7,02
	49,28
	197,12
	15
	2
	61
	30
	9,02
	81,36
	162,72
	
	61
	
	
	
	196,48
	 990,96
Cálculo da média aritmética ()
Cálculo da mediana (Me)
Analogamente ao pré-teste, a amostra é impar, logo a mediana (Me) será o elemento de ordem 
 
 
Determinação da moda (Mo)
Deforma análoga ao pré-teste e observando o quadro nº 02, conclui-se que a moda é:
Cálculo da variância
Cálculo do desvio padrão 
Cálculo do coeficiente de dispersão (C.V)
Intervalo de dispersão
 
No pré-teste as notas obtidas pelos alunos variam de 0 à 15 valores e estão distribuídas conforme mostra o quadro a seguir:
Feita a apresentação das notas do pré-teste, podemos notar que a mediana é igual a 5 valores. Isto significa que 50% dos alunos tiveram uma nota inferior à 5 valores, na qual a nota mais frequente foi de 5 valores. Com uma média aritmética igual a 5,98 e um desvio padrão igual a 4,03. O intervalo de dispersão está compreendido de (1,95 à 10,01), que é equivalente a 67% de dispersão em relação a média aritmética.
Em breve, em termo de aprendizagem, os resultados do pré-teste apresentam-se de seguinte modo:
3.3.2- Intervenção pedagógica
Depois de termos feito a aplicação do pré-teste e a devida correcção, observou-se que as produções dos alunos careciam de uma metodologia que lhes pudesse servir como base para a criação de hábitos e habilidades de resolução de exercícios sobre a comparação de fracções. Então houve uma necessidade de planificar e administrar duas aulas com variedades de exercícios, nas quais se empregou a abordagem algorítmica proposta onde os alunos repetiram a resolução dos problemas propostos no teste diagnóstico. A aplicação racional da intervençã pedagógica decorreu obedecendo aos princípios da instrução directa acima referidos para facilitar a produção e transferência de competências sobre a comparação de fracções.
3.3.3- Análise e Interpretação dos dados do pós-teste
O pós-teste é uma avaliação feita com finalidade de nos informar se os alunos instruídos directamente aprenderam ou não pela abordagem algorítmica apresentada. Foi uma das etapas mais importantes na investigação porque permitiu-nos em concluir sobre a evolução do desempenho dos alunos, comparativamente ao rendimento apresentado no pré-teste, como também verificar se as dificuldades foram ou não ultrapassadas face durante a intervenção pedagógica. Informamos que o pós-teste verificou os mesmos objectivos e os mesmos critérios de avaliação, classificação e interpretação definidos para o pré-teste. A intenção foi de reduzir ao máximo as variáveis parasitas que podem influenciar comparação dos resultados dos dois testes.
3.3.3.1. Quadro e gráfico dos dados do pós-teste em função dos alunos certos e errados
	
Quadro nº4: Dados do Pós-teste
(N=61)
	Q.
	Objectivo
	Dados
	Resposta esperada
	%
Alunos certos
	%
Alunos errados
	Erros frequentes
	
	
	
	
	
	
	Natureza
	%
	1.
	Escolher uma fracção maior entre duas com mesmo denominador
	
a) Entre 
	
	
83,61
	
16,39
	 
 
	
16,39
	
	
	
b) Entre 
	
	
75,41
	
24,59
	
 
	
24,59
	
	
	Média percentual 1
	79,51
	20,49
	
	
	2.
	Comparar duas fracções com denominadores diferentes
	
a) Entre 
	 
	
68,85
	
31,15
	 
	
22,95
	
	
	b) Entre 
	 
	
80,33
	
19,67
	
 
	
19,67
	
	
	Média percentual 2
	74,59
	25,41
	
	
	3.
	Comparar uma série de fracções
	
a)Entre
	
	
83,61
	
16,39
	
	
19,67
	
	
	b)Entre ,
	
	81,97
	18,03
	
 
	
19,67
	
	
	Média percentual 3
	82,79
	17,21
	
	
	Média percentual do Pós-teste
	78,96
	21,04
	
	
Observando o quadro e o gráfico que apresenta os dados do pós-teste em função dos alunos certos e errados, constatamos que a intervenção pedagógica produziu uma percentagem de alunos errados muito inferior em relação aos alunos certos respectivamente em cada pergunta como na média geral. O que deixa a entender que a abordagem algorítmica experimentada por instrução directa constitui uma solução interventiva promotora de habilidades positivas na aprendizagem da comparação das fracções pelos alunos da 6ªClasse .
Interpretando estatisticamente as percentagens entre os alunos certos e alunos errados recolhidas no pós-teste, podemos induzir a seguinte interpretação sobre a aprendizagem das fracções na 6ªClasse pela abordagem algorítmica evidenciada:
5) De modo geral, aproximadamente são oito alunos sobre dez que aprendem com eficiência sobre a comparação de fracções; isto é em relação aos alunos certos: .
6) Quase oito alunos sobre dez destacam-se em escolher com facilidade uma fracção maior entre duas com mesmo denominador; isto é em relação aos alunos certos: 
7) Perto também de oito alunos sobre dez comparam sem dificuldades duas fracções com denominadores diferentes; isto é em relação aos alunos certos: .
8) E finalmente, oito alunos também sobre dez (10) distinguem-se em comparar uma série de fracções; isto é em relação aos alunos certos: .
Em confirmidade com esses resultados, a natureza de erros frequentes apresentados pelos alunos não assinala erros complexos em relação aos apresentados no pré-teste. O que demonstra evidentemente que a abordagem algorítmica utilizada corrigiu muitas dificuldades aos alunos inqueridos. 
3.2.3.2. Distribuição e interpretação das notas recolhidas nos pós-teste
As notas obtidas pelos alunos nos pós-teste variam de 5 à 20 valores.
Quadro nº5: Distribuição das notas dos pós-teste
	
	
	
	
	
	
	
	 5
	2
	2
	10
	-8,34
	69,56
	139,12
	 8
	7
	9
	56
	-5,34
	28,52
	199,64
	10
	8
	17
	80
	-3,34
	11,16
	89,28
	13
	12
	29
	156
	-0,34
	0,12
	1,44
	15
	24
	53
	360
	1,66
	2.76
	66,24
	18
	4
	57
	 72
	4,66
	21,72
	86,88
	20
	4
	61
	80
	6,66
	44,36
	177,44
	
	61
	
	814
	
	1782
	760,04
Cálculo da média aritmética ()
Cálculo da mediana (Me)
Analogamente ao pré-teste, a amostra é impar, logo a mediana (Me) será o elemento de ordem 
 
 
Determinação da moda (Mo)
Deforma análoga ao pré-teste e observando o quadro nº 04, conclui-se que a moda é:
Cálculo da variância
Cálculo do desvio padrão 
Cálculo do coeficiente de dispersão (C.V)
Intervalo de dispersão
 
Podemos notar que a mediana é igual a 15 valores. Isto significa que 50% dos alunos tiveram uma nota inferior a 15 valores e 50% dos alunos obtiveram uma nota superior a 14 valores, na qual a nota mais frequente foi a de 15 valores 15) Com uma média aritmética igual a 13,34 valores e o desvio padrão é de 3,53 valores. O intervalo de dispersão está compreendido entre (9,81 à 16,87). Isto significa que, o intervalo de dispersão vai de 9,81 a 16,87 que é equivalente à 26% de dispersão baixa em relação a média aritmética.
3.3. Análise comparativa dos dados recolhidos nos testes aplicados
Com efeito, feita as análises a partir dos resultados do pré-teste e do pós-teste, temos a pretenção que a pesquisa realizada produziu um crescimento das notas no pós-teste, isto constitui provavelmente um indicador para provar que o algoritmo apresentado pode ser válido e aplicado de forma geral aos alunos dos níveis onde se ensina estes conteúdos. Nos quadros e gráfico abaixo se visualizam o possível ganho de aprendizagem observado no contexto da presente pesquisa:
3.3.1 – Comparação entre alunos certose alunos errados
3.3.1.1. Estudo do movimento de alunos em função das médias percentuais dos testes
Em função das médias percentuais acima referidas, temos o seguinte gráfico comparativo para demonstrar o movimento que se operou através da intervenção pedagógica administrada:.
 
O estudo das tendências determinou a partir de Excel, duas equações de recta com mesmo valor absoluto do coeficiente angular. O que prova o papel inverso que jogou a abordagem algorítmica nas mudanças positivas registadas no pós-teste: Entre o pré-teste e o pós-teste, o movimento dos alunos certos foi crescente e o movimento dos alunos negativos foi decrescente. A percentagem em relação aos alunos certos no pós-teste é superior a produzida no pré-teste. Isto significa que os alunos tiveram um bom aproveitamento da abordagem algorítmica administrada. Podemos também verificar essa informação comparando as medidas de tendência central produzidas a partir das disribuições de notas obtidas pelos alunos e apresantadas no quadro seguinte:
Quadro nº 06: Medidas de tendência central dos resultados dos alunos nos dois testes
	
	Média arítmética
	Mediana
	Moda
	Desvio padrão
	C.V.P
	Intervalos de disperção
	Pré-teste
	5,98
	05
	05
	
	67%
	
	Pós-teste
	13,34
	15
	15
	3,53
	26%
	
Das análises feitas, concluímos que os resultados alcançados no pós-teste são mais positivos comparativamente aos do pré-teste. Isto mostra que o algoritmo aplicado ou usado para o desenvolvimento das habilidades sobre as fracções na 6ªClasse foi adequado ao nível de compreensão e assimilação pelos alunos selecionados no âmbito da presente pesquisa.
3.3.1.2. Ganho de aprendizagem pela metodologia aplicada
Hake (2002) utiliza-se de uma equação simples que permite avaliar o quanto um aluno envolvido em actividades de aprendizagem com envolvimento interactivo progrediu na compreensão daquele determinado tópico em particular. Essa equação calcula o ganho médio normalizado <g>, o qual é definido como:
Onde a é a percentagem de aumento de acertos entre o pré-teste e o pós-teste, a é a percentagem de acertos do aluno individual ou da turma toda no pré-teste e a é a percentagem de acertos do aluno individual ou da turma toda no pós-teste. Hake calcula o factor de correlação entre (Ganho) e (conhecimentos prévios dos alunos).
Como mencionado, a comparação entre o impacto de duas metodologias sobre o aprendizado é realizada por meio de um pré e pós-teste. As notas nos testes permitem o cálculo do “ganho normalizado”, também conhecido como “ganho de Hake” (g).
Para categorizar esse ganho, esse autor define três classes: 
· Turmas de ganho baixo apresentam valores de ;
· Nas turmas de ganho médio geralmente associadas ao uso de actividades que promovem um envolvimento interativo da sequência didáctica, os valores de g estão no intervalo ;
· Já as turmas com ganhos normalizados iguais ou maiores que 0,70 representam a classe de ganho alto em termo da intervenção pedagógica aplicada.
Portanto comparando as percentagens das respostas certas entre o pré-teste e o pós-teste aplicados , obtemos o seguinte para toda a amostra selecionada:
	
Quadro nº7: Ganho < g > de aprendizagem normalizado de Hake
	
Q.
	
Objectivo
	%
Alunos certos do pré-teste
	%
Alunos certos do pós-teste
	
Crescimento
	
 
	
Observação
	1.
	Escolher uma fracção maior entre duas com mesmo denominador
	
40,16
	
79,51
	
39,35
	
0,66
	
Turma de ganho médio
	2.
	Comparar duas fracções com denominadores diferentes
	
24,59
	
74,59
	
50
	
0,66
	
Turma de ganho médio
	3.
	Comparar uma série de fracções
	
12,3
	
82,79
	
70,50
	
0,80
	
Turma de ganho alto
	Média percentual geral
	
25,68
	
78,96
	
53,28
	
0,72
	
Turma de ganho alto
Segundo a classificação padronizada pelo Hake, a média geral das respostas certas apresenta um ganho de 0,72. O que classifica a amostra seleccionada na categoria de turma de ganho alto face a metodologia aplicada. Como o desempenho dos alunos está significativamente relacionado com a intervenção pedagógica efectuada pelo professor-pesquisador, isto pressupõe que o envolvimento interactivo orientado pelo pesquisador nas condições do campo capacitou melhor os alunos em relação aos seus respectivos prérequisitos demonstrados no pré-teste. Convem assinalar que a abordagem algorítmica administrada, além de apresentar um bom rendimento, não conseguiu superar todos os 61 alunos seleccionados, pois o crescimento entre alunos certos só foi de 53,28%. 
Tendo em conta de 78,96% de alunos certos registados no pós-teste, podemos deduzir que 21,04 % dos alunos seleccionados não conseguiram aprender positivamente pela abordagem algorítmica apresentada. O que corrobora, no contexto da amostra selecionada, com a ideia de que o algorítmo sugerido pode ser determinante para a melhoria das habilidades no estudo das comparações das fracções na 6ª Classe.
CONCLUSÃO
A presente pesquisa vem uma vez mais alinhar-se na opção de outros trabalhos de licenciatura em ensino de matemática que defendem a positividade do ensino algorítmico no contexto das nossas escolas. 
As informações recolhidas a partir dos alunos seleccionados no âmbito da presente pesquisa reveleram, com um ganho alto de aprendizagem segundo a classificação de Hake, que o ensino algorítmo é uma alternativa metodologica consistente e eficaz para a aprendizagem das comparações das fracções na 6ªClasse. Observamos que cerca de 80 % dos alunos seleccionados conseguiram aprender positivamente os três objectivos testados no âmbito da pesquisa pela abordagem algorítmica apresentada pelo pesquisador comparativamente a menos de 30% identificados após a intervenção do professor titular enquanto se realizava o pré-teste.
Todavia, apesar da positividade da abordagem algorítmica do ensino identificada na presente pesquisa, resta a interrogar-se o seguinte:«Porque uma boa percentagem dos alunos até là não conseguiram aprender positivamente a comparação das fracções na 6ªClasse usando esse procedimento?».
Limitada pela natureza da pesquisa apresentada, o presente trabalho não obteve de maneira bem categorizada e classificada as diferentes causas associadas a essa preocupação.Todavia, pensamos que os diferentes erros frequentes levantados no pré-teste e pós-teste podem servir de pistas para analisar essa problemática.
Pelo que sugerimos que futuros trabalhos se orientem nessa linha de pesquisa para que a abordagem algorítmica do ensino da comparação de fracções na 6ªClasse, de modo geral, seja sistematicamente considerada como um procedimento eficaz e significativo no contexto das nossas escolas.
BIBLIOGRAFIA
André, J.D. Nascimento. Matemática 9ª Classe, Manual do aluno. Lda: Texto Editores, 2010
António Quaresma et al. Matemática 8. Alfragides: Constância Editores, 1996
Azevedo, M.J. Calejo, A.M.A. Moreira. Matemática 9, 3º Ciclo do Esino Básico, Porto: Edições- ASA, 1994.
Bernardes, M. Altas Básico da Matemática, Lisboa: Plátano Editora, 2013.
Borges, L. Questões de Aritméticas, exercícios de revisão 4ª Classe. Lda: Porto Editora, 1990.
Borges, L. Questões de Aritméticas, exercícios de revisão 6ª Classe, Lda: Porto Editora, 1990.
Bráscarmo et al. Introdução ao cálculo, Lisboa: Escola Editora, 2012.
Cruz,A. et al. Matemática 9º Ano de Escolaridade, 2ª edição. Lisboa: Porto Editor, 1990.
Hake , ...........2002
Isabel, F.N e Wandanda M,J. Matemática 6ª classe, Manual do aluno, Lda: Luanda Editor, 2003. 
Isabel, F.N e Joaquim Felizardo, A.C. Matemática 5ª classe. Lda: Okushiva Editor, 2007. 
Isabel, F.N e Alberto, A.J. Kiala. Matemática 4ª classe. Lda: Sekqma Editor, 2007. 
Libaneo, José Carlos: Didáctica. São Paulo: Cortez, (colecção Magistério. Serie Formação do professor), 1994
Mendes, Iran, A. Números: o simbólico e o racional na História, São Paulo: livraria da Física, 2006
Mónica, E. Números e Medições, Lda: Textos Editores, 2009.
 INIDE-MED. Matemática Ensino de base 6ª classe, E.P: Edimel, 2003
 Neto. M. Pedro e Maria. J. Octávio, Matemática 7ª classe, Arvore do saber, 2007
APÊNDICESANEXO 1: PRÉ-TESTE
Escola:………………………………………………………Género: M F
Classe:………………………….Turma…………..Idade………….
Caro aluno,
O processo de ensino aprendizagem é a actividade pela qual, proporciona o conhecimento teórico-prático para a formação do individuo. É uma das nossas preocupações para melhoria do mesmo. O documento que tem em sua posse é um teste; não para atribuir notas mais apenas nos ajudar a encontrar alguns problemas considerados críticos a fim de melhorar o ensino e aprendizagem de matemática.
Com ele pretende-se saber o que sabes sobre algumas questões relativas a comparação de fracções. Por favor, resolve cuidadosamente e de forma concreta as questões a seguir:
N.B: este questionário é anónimo não se preocupe com seu nome.
 
1- Qual é a fracção maior 
: a) ……. b) ………..
 
2- Compara as seguintes fracções
a) ………. b) …….. 
3- Comparem as fracções abaixo:
 a) …… ……… b) …….………..
 
Obrigado pela colaboração
ANEXO 2: PÓS-TESTE
Escola:……...…………………………………………………Género: M F
Classe:………………….Turma…………..…..Idade……………anos de idade
Caro aluno,
O processo de ensino aprendizagem é a actividade pela qual, proporciona o conhecimento teórico-prático para a formação do individuo. É uma das nossas preocupações para melhoria do mesmo. O documento que tem em sua posse é um teste; não para atribuir notas mais apenas nos ajudar a encontrar alguns problemas considerados críticos a fim de melhorar o ensino e aprendizagem de matemática.
Com ele pretende-se saber o que sabes sobre algumas questões relativas a comparação de fracções. Por favor, resolve cuidadosamente e de forma concreta as questões a seguir:
N.B: este questionário é anonimo não se preocupe com seu nome.
1- Qual é a fracção maior
 a) ……….. b) …………… 
2- Compara as seguintes fracções
 a) …………. b) …………… 
3- Comparem as fracções abaixo:
 a) ………….. ……..… 
 
Obrigado pela colaboração
PLANOS DE AULAS
FOTOGRAFIAS NO CAMPO
FOLHAS DE PRE-TESTE
FOLHAS DO PÓS-TESTE
Algoritmo para comparação de duas fracções de diferentes denominadores
Converter as fracções em igual denominador
Comparar as fracções ampliadas como fracções de igual denominador
Encontrar o resultado obtido
Multiplicar a 1ª fracção pelo denominador da 2ª fracção
Multiplicar a 2ª fracção pelo denominador da 1ª fracção
Algoritmo para comparação de várias fracções de diferentes denominadores
Converter as fracções em fracções de igual denominador
Comparar as fracções ampliadas como fracções de igual denominador
Encontrar o resultado obtido
Multiplicar a 1ª fracção pMultiplicar cada uma das fracções pelo produto dos outros elo denominador da 2ª fracção
Gráfico nº1: % de alunos certos e errados do pré-teste
% Alunos certos	1ᵃ	2ᵃ	3ᵃ	Média percentual Geral	40.159999999999997	24.59	12.3	25.68	% Alunos errados	1ᵃ	2ᵃ	3ᵃ	Média percentual Geral	59.84	75.41	87.7	74.319999999999993	Questões
Média percentual a cada pergunta
Gráfico nº2: % de alunos certos e errados do pós-teste
% Alunos certos	1ᵃ	2ᵃ	3ᵃ	Média percentual Geral	79.510000000000005	74.59	82.79	78.959999999999994	% Alunos errados	1ᵃ	2ᵃ	3ᵃ	Média percentual Geral	20.49	25.41	17.21	21.04	Questões
Média percentual a cada pergunta
Gráfico nº 3: Movimento de alunos entre os testes
Alunos certos 	
Equação da tendência
y = 53,28x - 27,6
Pré-teste	Pós-teste 	25.68	78.959999999999994	Alunos errados	Equação da tendência: y = -53,28x + 127,6
Pré-teste	Pós-teste 	74.319999999999993	21.04