TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO I

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estática e mecânica 
dos materiais
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Beer
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Mantendo a metodologia de ensino tradicional dos seus famosos livros-texto, 
Beer e Johnston unem nesta obra conceitos e aplicações de duas importantes 
áreas da engenharia – a estática e a mecânica dos materiais – permitindo que 
os estudantes desenvolvam a habilidade de compreender e solucionar um deter-
minado problema de maneira coesa, simples e lógica.
 Os capítulos têm início com exemplos reais e com um sumário resumido 
dos conteúdos que serão trabalhados.
 Os conceitos são introduzidos passo a passo, de forma clara e objetiva.
 Seções opcionais oferecem tópicos avançados.
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Engenharia
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Estática e mecânica dos materiais
BEER, JOHNSTON & CORNWELL
Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica, 9.ed.
BEER, JOHNSTON, MAZUREK & EISENBERG
Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática, 9.ed.
BLANK & TARQUIN
Engenharia Econômica, 6.ed.
BUDYNAS & NISBETT
Elementos de Máquinas de Shigley: Projeto de Engenharia Mecânica, 8.ed. 
*ÇENGEL & BOLES
Termodinâmica: Uma Abordagem da Engenharia, 7.ed.
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ÇENGEL & GHAJAR
Transferência de Calor e Massa, 4.ed.
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Métodos Numéricos para Engenharia, 5.ed.
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Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB® para Engenheiros e Cientistas, 3.ed.
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Introdução à Engenharia: Uma Abordagem Baseada em Projeto, 3.ed.
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Circuitos Elétricos, 4.ed. (Coleção Schaum)
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Probabilidade e Estatística para Ciências Exatas
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Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos
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Escoamento Multifásico Isotérmico 
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Fundamentos de Engenharia e Ciência dos Materiais, 5.ed.
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Mecânica dos Fluidos, 6.ed.
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E79 Estática e mecânica dos materiais / Ferdinand P. Beer ... [et al.] ; 
tradução: Antônio Eustáquio de Melo Pertence; revisão 
técnica: Antonio Pertence Júnior. – Porto Alegre : AMGH, 
2013.
xviii, 706 p. : il. color. ; 28 cm.
ISBN 978-85-8055-164-8
1. Engenharia mecânica. 2. Mecânica dos materiais. 3. Está-
tica. I. Beer, Ferdinand P. 
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Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052
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574 Estática e mecânica dos materiais
14 Transformações de tensão
��
 14.1 Introdução
 14.2 Transformação do estado 
plano de tensão
 14.3 Tensões principais e tensão 
de cisalhamento máxima
 14.4 Círculo de Mohr para o 
estado plano de tensão
 14.5 Tensões em vasos de 
pressão de paredes finas
��
14.1 Introdução
Na Seção 8.9, vimos que o estado mais geral de tensão em um dado ponto 
Q pode ser representado por seis componentes, dos quais três, σx, σy e σz, 
definem as tensões normais que atuam nas faces de um pequeno elemento 
de volume centrado em Q e com a mesma orientação dos eixos de coorde-
nadas (Fig. 14.1a). Os outros três, �xy, �yz e �zx,* definem as componentes das 
tensões de cisalhamento no mesmo elemento. Como já mencionamos, o 
mesmo estado de tensão poderá ser representado por um conjunto diferen-
te de componentes se os eixos de coordenadas sofrerem uma rotação em 
relação aos primeiros (Fig. 14.1b). Na primeira parte deste capítulo, deter-
minaremos como as componentes de tensão são transformados quando 
uma rotação dos eixos de coordenadas é realizada.
�yz
�yx
�xy
�xz
�zx
�zy
σy
�y′z′
�y′x′
�x′z′
�z′x′
�z′y′
�x′y′
σy′
σx′
σz
σx
Q
O
z
y
x
(a)
O
z
z′
y′
y
x
x′
(b)
σz′
Q
Figura 14.1
Nossa discussão sobre a transformação de tensão tratará principal-
mente do estado plano de tensão, isto é, de uma situação na qual duas fa-
ces do elemento de volume estão livres de qualquer tensão. Se o eixo z for 
escolhido como perpendicular a essas faces, teremos σz = �zx = �zy = 0, e as 
únicas componentes de tensão restantes serão σx, σy e �xy (Fig. 14.2). Uma 
situação assim ocorre em uma placa fina submetida a forças que atuam no 
plano médio da espessura da placa (Fig. 14.3). Ela ocorre também na su-
perfície livre de um elemento estrutural ou componente de máquina, isto 
é, em qualquer ponto da superfície do elemento ou componente que não 
esteja submetido a uma força externa (Fig. 14.4).
F1
F2
Figura 14.4
* Lembramos que �yx = �xy, �zy = �yz e �xz = �zx.
�yx
�xy
σy
σx
F1
F2
F3
F4
F5
F6
Figura 14.2
Figura 14.3
Cap.14_Beer.indd 574Cap.14_Beer.indd 574 03/12/2012 19:14:5303/12/2012 19:14:53
575Capítulo 14 � Transformações de tensão
Considerando, na Seção 14.2, que um estado plano de tensão em um 
dado ponto Q é caracterizado pelas componentes de tensão σx, σy e �xy as-
sociadas com o elemento mostrado na Fig. 14.5a, você aprenderá a deter-
minar as componentes σx', σy' e �x'y' associados com esse elemento depois de 
ele sofrer uma rotação de um ângulo θ em torno do eixo z (Fig. 14.5b). Na 
Seção 14.3, você determinará o valor θp de θ para o qual as tensões σxʹ e σyʹ 
são, respectivamente, o máximo e o mínimo desses valores da tensão 
normal que são as tensões principais no ponto Q, e as faces corresponden-
tes do elemento definem os planos principais de tensão nesse ponto. Você 
determinará também o valor de θc do ângulo de rotação para o qual a ten-
são de cisalhamento é máxima, bem como o valor desta.
�xy
�x'y'
σy σy′
σx
σx'Q Q
z
x x
x′
y y′
z′ = z
y
θ
θ
(a) (b)
Figura 14.5
Na Seção 14.4, será apresentado um método alternativo para a solução 
de problemas que envolvem estado plano de tensão, a transformação de 
tensões planas com base no uso do círculo de Mohr.
Os vasos de pressão de paredes finas proporcionam uma aplicação im-
portante para a análise do estado plano de tensão. Na Seção 14.5, discutiremos 
as tensões em vasos de pressão cilíndricos e esféricos (Fotos 14.1 e 14.2).
Foto 14.1 Foto 14.2
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576 Estática e mecânica dos materiais
14.2 Transformação do estado plano de tensão
Vamos considerar que existe um estado plano de tensão para o ponto Q 
(com σz = �zx = �zy = 0) e que ele é definido pelas componentes de tensão σx, 
σy e �xy associadas ao elemento mostrado na Fig. 14.5a. Propomos determi-
nar as componentes de tensão σx', σy' e �x'y' associadas ao elemento depois 
de ele sofrer uma rotação de um ângulo θ em torno do eixo z (Fig. 14.5b). 
Essas componentes devem ser expressas em termos de σx, σy �xy e θ.
�xy
�x'y'σy σy′
σx
σx'Q Q
z
x x
x′
y y′
z′ = z
y
θ
θ
(a) (b)
Figura 14.5 (repetida)
Para determinarmos a tensão normal σx' e a tensão de cisalhamento �x'y' 
que atuam na face perpendicular ao eixo x', consideramos um elemento 
prismático com faces respectivamente perpendiculares aos eixos x, y e x' 
(Fig. 14.6a). Observamos que, se a área da face oblíqua é representada por 
∆A, as áreas das faces vertical e horizontal são, respectivamente, iguais a 
∆A cos θ e ∆A sen θ. Conclui-se que as forças resultantes que atuam nas 
três faces são aquelas mostradas na Fig. 14.6b.
z
x
x′
y′ y
(a)
∆A cos θ θ
θ
∆A sen θ
∆A
x
x′
y′ y
(b)
(∆A cos )θ
(∆A cos )θ
θ
�x′y′ ∆A
�xy
(∆A sen )θ�xy
σx′ ∆Aσx
(∆A sen )θσy
Figura 14.6
(Não há forças aplicadas nas faces triangulares do elemento, visto que as 
tensões normal e de cisalhamento correspondentes foram todas considera-
das iguais a zero.) Usando as componentes ao longo dos eixos x' e y', escre-
vemos as seguintes equações de equilíbrio:
 ΣFx′ = 0: σ x′ ∆ A – σ x(∆ A cos θ) cos θ – �xy(∆ A cos θ) sen θ
– σ y (∆ A sen θ) sen θ – �xy(∆ A sen θ) cos θ = 0
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577Capítulo 14 � Transformações de tensão
 ΣFy ′ = 0: �x′y ′ ∆A + σ x(∆A cos θ) sen θ – �xy(∆A cos θ) cos θ
–σ y (∆ A sen θ) cos θ + �xy(∆ A sen θ) sen θ = 0
Resolvendo a primeira equação para σx' e a segunda para �x'y', temos
 σ x′ = σ x cos
2 θ + σ y sen2 θ + 2�xy sen θ cos θ (14.1)
 �x′y ′ = –(σ x – σ y ) sen θ cos θ + �xy(cos
2 θ – sen2 θ) (14.2)
Usando as relações trigonométricas
 sen 2θ = 2 sen θ cos θ cos 2θ = cos
2 θ – sen2 θ (14.3)
e
 
cos2 θ =
1 + cos 2θ
2
sen2 θ =
1 – cos 2θ
2 
(14.4)
escrevemos a Eq. (14.1) da seguinte maneira:
 σ x′ = σ x 
1 + cos 2θ
2
+ σ y 
1 – cos 2θ
2
+ �xy sen 2θ
ou
 
σ x′ =
σ x + σ y
2 
+
σ x – σ y
2
 cos 2θ + �xy sen 2θ 
(14.5)
Usando as relações (14.3), escrevemos a Eq. (14.2) como
 
�x′y ′ = –
x – y
2
 sen 2θ + �xy cos 2θ 
σ σ
 
(14.6)
A expressão para a tensão normal σy' é obtida substituindo θ na Eq. (14.5) 
pelo ângulo θ + 90º, formado pela associação do eixo y' com o eixo x. 
Como cos (2θ + 180º) = –cos 2θ e sen (2θ + 180º) = –sen 2θ, temos
 
σ y ′ =
σ x + σ y
2
–
σ x – σ y
2
 cos 2θ – �xy sen 2θ 
 
(14.7)
Somando as Eqs. (14.5) e (14.7) membro a membro, obtemos
 σ x′ + σ y ′ = σ x + σ y (14.8)
Como σz = σz' = 0, verificamos então que, no caso de estado plano de ten-
são, a soma das tensões normais que atuam no elemento de volume do 
material é independente da orientação desse elemento.
14.3 Tensões principais e tensão de cisalhamento 
máxima
As Eqs. (14.5) e (14.6) obtidas na seção anterior são as equações paramé-
tricas de uma circunferência. Isso significa que, se escolhermos um siste-
ma de eixos cartesianos ortogonais e representarmos um ponto M de abs-
cissa σx' e ordenada �x'y' para um dado valor do parâmetro θ, todos os pontos 
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578 Estática e mecânica dos materiais
assim obtidos pertencerão a uma circunferência. Para estabelecermos essa 
propriedade, eliminamos θ das Eqs. (14.5) e (14.6); isso é feito passando 
primeiro (σx + σy)/2 para o primeiro membro da Eq. (14.5) e elevando ao 
quadrado ambos os membros da equação, depois elevando ao quadrado 
ambos os membros da Eq. (14.6), e finalmente somando membro a mem-
bro as duas equações obtidas dessa forma. Temos
 
σ x′ –
σ x + σ y
2
2
+ � x′y ′2 =
σ x – σ y
2
2
+ � xy2 
(14.9)
Definindo
 
σ méd =
σ x + σ y
2
 e R = √
σ x – σ y
2
2
+ � xy2 
 
(14.10)
escrevemos a identidade (14.9) na forma
 (σ x′ – σ méd)
2 + � x′y ′2 = R2 (14.11)
que é a equação de uma circunferência de raio R centrado no ponto C de 
abscissa σméd e ordenada 0 (Fig. 14.7). Pode-se observar que, em virtude da 
simetria da circunferência em relação ao eixo horizontal, o mesmo resul-
tado teria sido obtido se, em vez de representarmos o ponto M, tivéssemos 
representado um ponto N de abscissa σx' e ordenada –�x'y' (Fig. 14.8). Essa 
propriedade será usada na Seção 14.4.
Os dois pontos A e B em que a circunferência da Fig. 14.7 intercepta 
o eixo horizontal são de especial interesse: o ponto A corresponde ao va-
lor máximo da tensão normal σx' enquanto o ponto B corresponde a seu 
valor mínimo. Além disso, ambos os pontos correspondem a um valor 
zero da tensão de cisalhamento �x'y'. Assim, os valores θp do parâmetro θ 
que correspondem aos pontos A e B podem ser obtidos fazendo-se �x'y' = 0 
na Eq. (14.6). Escrevemos*
 
tg 2θp =
2�xy
σ x – σ y 
 
(14.12)
Essa equação define dois valores de 2θp que estão defasados em 180º e, 
portanto, dois valores de θp que estão defasados em 90º. Qualquer um 
desses valores pode ser utilizado para determinar a orientação do elemen-
to correspondente (Fig. 14.9). Os planos que contêm as faces do elemento 
obtido dessa maneira são chamados de planos principais de tensão no 
ponto Q, e os valores correspondentes σmáx e σmín das tensões normais que 
atuam nesses planos são chamados de tensões principais em Q. Como os 
dois valores θp definidos pela Eq. (14.12) foram obtidos fazendo �x'y' = 0 na 
Eq. (14.6), está claro que nenhuma tensão de cisalhamento atua nos pla-
nos principais.
Observamos da Fig. 14.7 que
 σ máx = σ méd + R e σ mín = σ méd – R (14.13)
* Essa relação pode também ser obtida quando se determina que a derivada de σx' na Eq. (14.5) 
é igual a zero: dσx' / dθ = 0.
σmín
σmín
σmáx
σmáx
θp
θp
y
Q x
y′
x′
Figura 14.9
�x′y′
�x′y′
σx′
σx′
σmín
σmáx
σ méd
D
E
C
B AO
M
R
�x′y′
�x′y′–
σx′
σx′
σméd
C
O
R
N
Figura 14.7
Figura 14.8
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579Capítulo 14 � Transformações de tensão
Substituindo σméd e R da Eq. (14.10), escrevemos
 
σ máx, mín =
σ x + σ y
2
� √
σ x – σ y
2
2
+ � xy2 
 
(14.14)
A menos que seja possível dizer por inspeção qual dos dois planos princi-
pais está submetido a σmáx e a σmín, é necessário substituir um dos valores 
de θp na Eq. (14.5) para determinar qual dos dois planos corresponde ao 
valor máximo da tensão normal.
Voltando novamente à circunferência da Fig. 14.7, notamos que os 
pontos D e E localizados no diâmetro vertical da circunferência corres-
pondem ao maior valor numérico da tensão de cisalhamento �x'y'. Como a 
abscissa dos pontos D e E é σméd = (σx + σy)/2, os valores de θc do parâmetro 
θ correspondentes a esses pontos são obtidos fazendo σx' = (σx + σy)/2 na 
Eq. (14.5). Conclui-se que a soma dos dois últimos termos na equação deve 
ser zero. Assim, para θ = θc, escrevemos*
σ x – σ y
2
 cos 2θc + �xy sen 2θc = 0
ou
 
tg 2θc = – 
σ x – σ y
2�xy
 
 
(14.15)
Essa equação define dois valores 2θc defasados em 180º e, portanto, dois 
valores θc defasados em 90º. Qualquer um desses valores pode ser utiliza-
do para determinar a orientação do elemento correspondente à tensão de 
cisalhamento máxima (Fig. 14.10). Observando na Fig. 14.7 que o valor 
máximo da tensão de cisalhamento é igual ao raio R da circunferência e 
lembrando a segunda das Eqs. (14.10), escrevemos
 
�máx = √
σ x – σ y
2
2
+ � xy2 
 
(14.16)
Conforme observamos anteriormente, a tensão normal correspondente à 
condição de tensão de cisalhamento máxima é
 
σ ′ = σ méd =
σ x + σ y
2 
(14.17)
Quando comparamos as Eqs. (14.12) e (14.15), notamos que tg 2θc é o 
inverso negativo de tg 2θp Isso significa que os ângulos 2θc e 2θp estão 
defasados em 90º e, portanto, que os ângulos θc e θp estão defasados em 
45º. Concluímos então que os planos de tensão de cisalhamento máxima 
estão defasados em 45º dos planos principais, o que confirma os resulta-
dos obtidos anteriormente na Seção 8.9, no caso de um carregamento axial 
centrado (Fig. 8.37), e na Seção 10.4, no caso de um carregamento de tor-
ção (Fig. 10.19).
* Essa relação pode também ser obtida quando se determina que a derivada de �x'y' na Eq.(14.6) 
é igual a zero: d�x'y' /dθ = 0
�máx
�máx
θc
θc
y
Q x
x′
y′
′
′
′
′
σ
σ
σ
σ
Figura 14.10
Cap.14_Beer.indd 579Cap.14_Beer.indd 579 03/12/2012 19:14:5403/12/2012 19:14:54
580 Estática e mecânica dos materiais
Devemos estar cientes de que nossa análise da transformação da ten-
são no estado plano de tensão esteve limitada a rotações no plano da tensão. 
Se o elemento de volume da Fig. 14.5 sofrer rotações em torno de um eixo 
que não seja o eixo z, suas faces poderão estar submetidas a tensões de 
cisalhamento maiores do que a tensão definida pela Eq. (14.16). Em tais 
casos, o valor dado pela Eq. (14.16) é chamado de tensão de cisalhamento 
máxima no plano.
Exemplo 14.1. Para o estado plano de tensão mostrado na Fig. 14.11, determi-
ne (a) os planos principais, (b) as tensões principais e (c) a tensão de cisalhamento 
máxima e a tensão normal correspondente.
a. Planos principais. Com base na convenção usual de sinais, escrevemos as 
componentes de tensão como
σ x = + 50 MPa σ y = –10 MPa �xy = + 40 MPa
Substituindo na Eq. (14.12), temos
 tg 2θp =
2�xy
σ x – σ y
=
2(+ 40)
50 – (– 10)
=
80
60
2θp = 53,1º e 180º + 53,1º = 233,1º
 θp = 26,6º e 116,6º
b. Tensões principais. A Eq. (14.14) indica
σ máx, mín =
σ x + σ y
2
� √
σ x – σ y
2
2
+ � xy2
 = 20 � √(30)2 + (40)2
 σ máx = 20 + 50 = 70 MPa
 σ mín = 20 – 50 = –30 MPa
Os planos e as tensões principais estão esboçados na Fig. 14.12. Fazendo θ = 26,6º 
na Eq. (14.5), verificamos que a tensão normal que atua na face BC do elemento é 
a tensão máxima:
σ x′ =
50 – 10
2
+
50 + 10
2
 cos 53,1º + 40 sen 53,1º
 = 20 + 30 cos 53,1º + 40 sen 53,1º = 70 MPa = σ máx
(c) Tensão de cisalhamento máxima. A Eq. (14.16) indica
�máx = √
σ x – σ y
2
2
+ � xy2 = √(30)2 + (40)2 = 50 MPa
Com o σmáx e σmín têm sinais opostos, o valor obtido para �máx realmente repre-
senta o valor máximo da tensão de cisalhamento no ponto considerado. A orienta-
ção dos planos de tensão de cisalhamento máxima e o sentido das tensões de cisa-
lhamento são mais bem determinados cortando o elemento por uma seção ao longo 
do plano diagonal AC do elemento da Fig. 14.12. Como as faces AB e BC do elemen-
to estão contidas nos planos principais, o plano diagonal AC deve ser um dos planos 
de tensão de cisalhamento máxima (Fig. 14.13). Além disso, as condições de equilí-
brio para o elemento prismático ABC requerem que a tensão de cisalhamento que 
atua em AC seja direcionada conforme mostra a figura. O elemento de volume 
correspondente à tensão de cisalhamento máxima é mostrado na Fig. 14.14. A ten-
são normal em cada uma das quatro faces do elemento é dada pela Eq. (14.17)
σ ′ = σ méd =
σ x + σ y
2
=
50 – 10
2
= 20 MPa 
 
■
10 MPa
40 MPa
50 MPa
σmín = 30 MPa
σmáx = 70 MPa
θp
x
= 26,6ºA
B
C
σ
σ
mín
σmáx
'
�máx
θp = 26,6º
θc θp= =– 45º
45º
–18,4º
A
C
B
'σ
�máx
x
θp = –18,4º
= 20 MPa
'σ = 20 MPa
= 50 MPa
Figura 14.11
Figura 14.12
Figura 14.13
Figura 14.14
Cap.14_Beer.indd 580Cap.14_Beer.indd 580 03/12/2012 19:14:5403/12/2012 19:14:54
	14.1 Introdução
	14.2 Transformação do estado plano de tensão
	14.3 Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima