Coletânea de Textos Matemáticos

Prévia do material em texto

Poesia Matemática. Às folhas tantas do livro matemático um Quo-
ciente apaixonou-se um dia doidamente por uma Incógnita. 
Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do ápice à base uma 
figura ímpar; olhos rombóides, boca trapezóide, corpo retangular, 
seios esferóides. Fez de sua uma vida paralela à dela até que se 
encontraram no infinito. "Quem és tu?", indagou ele em ânsia 
radical. "Sou a soma do quadrado dos catetos. Mas pode me cha-
mar de Hipotenusa." E de falarem descobriram que eram (o que 
em aritmética corresponde a almas irmãs) primos entre si. E assim 
se amaram ao quadrado da velocidade da luz numa sexta potenci-
ação traçando ao sabor do momento e da paixão retas, curvas, cír-
culos e linhas sinoidais nos jardins da quarta dimensão. Escan-
dalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana e os exegetas do 
Universo Finito. Romperam convenções newtonianas e pitagóri-
cas. E enfim resolveram se casar constituir um lar, mais que um 
lar, um perpendicular. Convidaram para padrinhos o Poliedro e 
a Bissetriz. E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro 
sonhando com uma felicidade integral e diferencial. E se casaram 
e tiveram uma secante e três cones muito engraçadinhos. E foram 
felizes até aquele dia em que tudo vira afinal monotonia. Foi então 
que surgiu O Máximo Divisor Comum frequentador de círculos 
concêntricos, viciosos. Ofereceu-lhe, a ela, uma grandeza absoluta e 
reduziu-a a um denominador comum. Ele, Quociente, percebeu que 
com ela não formava mais um todo, uma unidade. Era o triângulo, 
tanto chamado amoroso. Desse problema ela era uma fração, a mais 
ordinária. Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade e 
tudo que era espúrio passou a ser moralidade como aliás em qual-
quer sociedade.(Millôr Fernandes) 
 
 
 
 
 
Coletânea 
de 
Textos 
Matemáticos 
1 
SUMÁRIO 
HISTÓRIAS MATEMÁTICAS ..................................................................................................... 2 
Texto 1 - Os números racionais e as terras inundadas ....................................................... 2 
Texto 2 - Uma língua estranha ........................................................................................... 2 
Texto 3 - Queimem os livros de Matemática ...................................................................... 5 
Texto 4 - Meninas empreendedoras .................................................................................. 9 
Texto 5 - O problema do xadrez ....................................................................................... 10 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ................................................................................................. 13 
Texto 6 - Potência: História da descoberta do conceito ................................................... 13 
Texto 7 - Arquimedes e a coroa falsificada ....................................................................... 14 
Texto 8 - Classificação e tipos de equações ...................................................................... 15 
Texto 9 - História da álgebra ............................................................................................ 18 
PERSONALIDADES DA MATEMÁTICA ................................................................................... 19 
Texto 10 - Tales de Mileto ................................................................................................ 19 
Texto 11 - Emmy Noether, “a mulher mais importante da história da matemática” ........ 19 
Texto 12 - Al-Khwarizmi ................................................................................................... 22 
Texto 13 - “Souzinha”, o maior matemático da História do Brasil .................................... 23 
Texto 14 - O homem que calculava: vida e obra de Malba Tahan .................................... 26 
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS ............................................................................................ 30 
Texto 15 - Animais calculadores ....................................................................................... 30 
Texto 16 - Matemáticos feiticeiros ................................................................................... 30 
Texto 17 - Poesia Matemática .......................................................................................... 31 
Texto 18 - A fórmula é de Bhaskara? ................................................................................ 32 
Texto 19 - Os advogados e a Matemática ........................................................................ 33 
MATEMÁTICA DO COTIDIANO ............................................................................................. 35 
Texto 20 - Receita de massa de pizza ............................................................................... 35 
Texto 21 - Grupos sanguíneos e o Diagrama de Venn ...................................................... 35 
Texto 22 - Quanto dinheiro existe no mundo? ................................................................. 37 
Texto 23 - A Matemática dos dentes ................................................................................ 37 
 
 
2 
HISTÓRIAS MATEMÁTICAS 
São histórias fantasiosas que envolvem a matemática, contendo sofismas (argumento falso 
que leva alguém a cometer um erro) e situações curiosas. 
 
Texto 1 - Os números racionais e as terras inundadas 
 
Fonte: http://matematicacena.blogspot.com.br/2012/02/historia-dos-numeros-racionais-e-as.html 
 
Texto 2 - Uma língua estranha 
Os dois novos amigos continuaram a caminhar, conversando. 
Aquele homem sereno e alegre havia cativado Rodrigo. Atravessaram a colina e do outro lado o 
jovem se deparou com uma casa rústica, cercada por um belo jardim, com muitas árvores e plantas. 
— Moro aqui, meu jovem amigo Rodrigo — disse Wang. — Aceita uma xícara de chá? Nós, orien-
tais, gostamos muito. 
— Para ser sincero, detesto chá — respondeu Rodrigo. — Mas, se tiver outra coisa, aceito, estou 
com um bocado de sede. 
3 
— Se quiser, pegue algumas laranjas daquela árvore ali e prepare um suco para você, enquanto 
faço meu chá. 
— É a primeira vez na vida que tiro laranja do pé e preparo meu próprio suco — comentou Ro-
drigo entusiasmado, enquanto enchia os braços de laranjas. 
Wang foi entrando na casa, seguido por Rodrigo. Ao entrar, o jovem se surpreendeu com o que 
viu. Aquilo mais parecia um laboratório. Havia bancadas de madeira repletas de frascos e cubas de vidro 
que continham pedaços de rocha de várias cores imersos em líquidos escuros, alguns aparelhos de me-
dição, uma balança de pratos de precisão e um computador. Numa das paredes, via-se uma estante cheia 
de livros e em outra, uma lousa repleta de anotações e cálculos. 
— Como é, Rodrigo, perdeu a sede? 
— O que você faz com tudo isto? 
— Estou fazendo pesquisas e experiências com essas pedras. 
— Então você é um cientista? 
— Sou um estudioso... Interesso-me por muitas coisas. Agora estou tentando confirmar uma su-
posição sobre o material de que estas rochas são feitas. 
— Elas são preciosas? 
— Meu jovem amigo, o valor das coisas está ligado a sua importância e utilidade. Se essas pedras 
puderem mesmo eliminar a poluição que está atingindo o rio Verde, então poderemos dizer que elas 
são muito preciosas, sim. 
Rodrigo se dirigiu a uma das bancadas e comentou: 
— Wang, eu só vi uma balança assim num dos meus livros de Ciências. Você pode me mostrar 
como funciona? 
— Coloco o objeto que quero pesar num dos pratos. Vejamos, esta pedra aqui. E, utilizando estes 
pesos da balança — Wang apontou os vários pesos que ele mesmo havia feito, espalhados pela bancada 
—, preciso deixar os dois pratos em equilíbrio. Agora é a sua vez. 
Rodrigo foi experimentando colocar cada peso no prato. Depois de várias tentativas, chegou à 
seguinte situação: 
 
— Muito bem, meu jovem — incentivou Wang, que observava de perto as tentativas de Rodrigo. 
— Agora sabemos que essa pedramais 75 gramas pesa o mesmo que 500 gramas. Mas queríamos era 
saber só o peso da pedra, certo? 
— Certo! Então, o que preciso fazer agora é retirar 75 gramas do primeiro prato e deixar só a 
pedra. — E assim fez: 
4 
 
 
Wang comentou após ver o que Rodrigo fizera: 
— Lembre-se de que para pesar algo neste tipo de balança é preciso que os dois pratos estejam 
em equilíbrio, com o mesmo peso. 
— É verdade — reparou Rodrigo. — O prato da direita está mais pesado agora. Já sei! Para que 
os dois fiquem com o mesmo peso, preciso retirar 75 gramas deste outro também. O mesmo valor que 
retirei do prato da esquerda. 
Novas tentativas foram realizadas, trocando-se os pesos, e Rodrigo chegou à seguinte situação: 
 
— Isso mesmo, meu jovem, ao retirar 75 gramas dos dois pratos, você manteve a igualdade entre 
os pesos e descobriu quanto pesa esta pedra: 425 gramas. Parabéns! 
— Ora, eu só fiz uma subtração, Wang — respondeu Rodrigo, modesto. 
— Você fez mais do que uma subtração: resolveu um importante cálculo matemático. Na Anti-
guidade, era assim que os homens encontravam soluções para seus problemas de cálculos, por tentati-
vas — explicou Wang, tomando um gole de chá. E acrescentou: — Saiba que você descobriu um princí-
pio muito importante ao pesar esta pedra. 
— Mas eu sou péssimo em Matemática, fiquei até de recuperação no ano passado!— disse Ro-
drigo, sem acreditar no que estava ouvindo. 
— Meu jovem amigo, se não gosta de Matemática até hoje, talvez seja porque não a tenha com-
preendido realmente. 
— Para mim a Matemática é como uma língua estranha, não entendo nada daqueles cálculos 
cheios de sinais e letrinhas. Aquilo mais parece um código secreto que só os professores conhecem — 
acrescentou Rodrigo em tom de brincadeira, fazendo uma careta. 
— Por que então não procura decifrá-la? Na, vida, quando nos deparamos com um desafio, po-
demos tomar duas atitudes: desistir ou procurar formas de solucioná-lo. 
— Pois em relação à Matemática eu já desisti — anunciou o garoto. — Além do mais, quero ser 
piloto. Não vou precisar de Matemática para pilotar aviões e muito menos para voar em balões. 
5 
Wang percebeu que no fundo Rodrigo se sentia derrotado pela língua estranha que a Matemática 
representava para ele e resolveu contar-lhe uma história: 
— Certa vez, um homem precisou abandonar a terra onde vivia, por causa dos problemas que as 
pessoas criam. Ninguém daquela família havia sobrevivido além dele e de sua filha de poucos anos de 
idade. Conseguiram embarcar num navio que atravessaria o oceano em direção a terras distantes. Po-
rém, antes que atingissem seu destino, uma tempestade terrível fez a embarcação naufragar. — A voz 
de Wang soou trémula, mas ele prosseguiu a narrativa: — O homem conseguiu sobreviver, ficando agar-
rado a um pedaço de madeira por várias horas, até que finalmente foi socorrido por um barco salva-
vidas. 
Incentivado pela atenção com que Rodrigo o escutava, Wang prosseguiu: 
— O homem chegou a uma terra estranha, onde se falava uma língua que ele desconhecia, e sem 
a filha... Nunca mais soube dela. Mas ele tinha certeza de que ela fora salva e que um dia voltaria a en-
contrá-la. 
Depois de um breve silêncio, Wang perguntou: 
— O que você acha que esse homem deveria fazer? 
— Ora, ele teria de aprender a se comunicar com as pessoas, para arrumar um trabalho e sobre-
viver. Só dessa forma poderia continuar procurando a filha — respondeu Rodrigo. 
— Então acredita que ele deveria aceitar o desafio de decifrar aquela nova língua? — perguntou 
novamente Wang. 
— Sim, é claro, ele tinha um grande objetivo, que era o de encontrar a filha, não é mesmo? 
— Meu jovem, se acredita realmente que esse homem deveria aceitar o desafio do desconhecido, 
por que você, em sua própria história, pretende abandonar o que agora lhe parece desconhecido, ou 
seja, a Matemática? Você, como ele, precisa aprender uma língua estranha e também tem um grande 
objetivo: ser piloto de aviões e balonista, certo? 
— Sim — concordou o jovem, que compreendera o significado da história que Wang havia con-
tado. 
— Você sabe que para poder pilotar aviões terá de tirar um brevê, não sabe? E para isso precisará 
estudar bastante. Será necessário que elabore estudos sobre altitude, pressão, temperatura... E nos dois 
casos a Matemática será um instrumento de trabalho muito importante. 
Rodrigo, que prestara muita atenção no que Wang dissera, pensou bastante e disse, com um sor-
riso no olhar: 
— Quem sabe com sua ajuda poderei começar a decifrar o enigma da Matemática... 
— O que acha que estou fazendo desde o momento em que se aproximou desta bancada? Eu 
sempre gostei muito de Matemática. Ela está presente em tudo, é uma lei da natureza, já dizia Einstein. 
— Wang olhou para o relógio e avisou: — Agora é melhor voltar para a casa dos seus amigos. 
Eles devem estar preocupados com sua ausência. Mas volte amanhã para conversarmos mais. 
Rodrigo já estava fora da casa quando se voltou e perguntou: 
— No final daquela história, o homem encontrou sua filha? 
— Em primeiro lugar, lembre: as histórias nunca têm um fim; em segundo, digamos que a certeza 
de um dia encontrá-la fez com que ele se sentisse sempre perto dela — respondeu Wang com sereni-
dade, enquanto fazia uma reverência ao se despedir do jovem amigo. 
Fonte: Texto retirado do livro Encontros de Primeiro Grau, Luzia Faraco Ramos. 
 
Texto 3 - Queimem os livros de Matemática 
Contam que há muito, muito tempo vivia na China um imperador astuto e cruel. Ele queria a todo 
custo tornar-se conhecido como o mais inteligente de todos os imperadores que tinham vivido até en-
tão. 
6 
Para conseguir isso, o imperador Ti – esse era seu nome – teve uma ideia muito estranha. Tão 
estranha, que parecia brincadeira. Mas não era. 
O imperador Ti esboçou um leve sorriso. Ele adorava observar como o espanto e a surpresa iam 
tomando conta de seus súditos. Ali estavam seus mais fiéis ajudantes. Tinham sido convocados para 
uma importante missão: 
 Quero que vocês percorram todo o império. Procurem nas grandes cidades, nas pequenas al-
deias, vasculhem cada casa, cada porão, cada sótão. Descubram e queimem todos os livros de matemá-
tica que existem no reino. Não deve sobrar um único livro. Nem um! 
Todos ficaram assustados. Será que o imperador estava ficando louco? 
Que ideia genial! Foi esse o pensamento de todos quando o imperador explicou a ordem que 
tinha dado. 
 Os sábios vão escrever novos livros de matemática. Como os livros antigos foram queimados, 
todos pensarão que a matemática foi inventada durante meu reinado. 
O imperador riu, achando que era a pessoa mais brilhante do universo. 
E os sábios? Será que eles gostariam do plano do imperador? 
Não, de jeito nenhum. Os sábios nunca poderiam concordar com um plano daqueles. 
Como aceitar que fosse destruído o trabalho de tantos estudiosos? Muitos daqueles livros tinham 
demorado uma vida toda para serem escritos. Não, não deixariam que fossem queimados. 
Como castigo por sua desobediência, o imperador ordenou que os sábios fossem marcados com 
ferro em brasa. E condenou-os a quatro anos de trabalhos forçados na Grande Muralha. 
Alguns sábios se revoltaram contra o imperador. Ti ordenou que fossem enterrados vivos. 
Os livros antigos de matemática foram todos queimados. 
Mas nem tudo estava perdido. Alguns sábios conseguiram escapar das prisões da Grande Mura-
lha e refugiaram-se no reino vizinho. 
Lá havia um imperador que era exatamente o contrário do malvado Ti: educado, instruído, inte-
ligente. Protegia os escritores, os artistas e os poetas, permitindo que se dedicassem exclusivamente a 
seu trabalho. 
Bondoso Lii, assim ele era chamado. 
O imperador Lii nuca se arrependeu de ter acolhido os sábios fugitivos. Sob sua proteção, eles 
voltaram a escrever novos livros de matemática. E colocaram nessas obras muitas coisas dos livros 
queimados, que sabiam de cor. 
Lii gostava muito das histórias de matemática que seus sábioscontavam. A que o deixava mais 
curioso era aquela que falava de um quadrado mágico. Quem o encontrasse teria saúde e riqueza por 
toda a vida. 
O imperador Lii não protegia somente os súditos de seu reino. Os animais, as florestas, os rios, 
os lagos, os mares, tudo estava sob seu olhar atento e vigilante. Quem causasse poluição num de seus 
queridos rios era castigado com as mais severas penas. 
 Foi por isso que num belo dia uma pequena tartaruga atravessou de ponta a ponta um dos mais 
extensos rios da China, o rio Lo. E depositou aos pés do imperador este quadrado mágico: 
4 9 2 
3 5 7 
8 1 6 
Vejam só: 
A soma dos números em cada linha é 15. 
A soma dos números em cada coluna também é 15. 
E a soma dos números em cada diagonal mais uma vez é 15. 
O quadrado mágico causou a maior sensação. Até jogos foram inventados. 
7 
Para construir outro quadrado mágico, vamos começar colocando o 1 no centro da primeira li-
nha. Cada um dos nove quadradinhos tem o nome de cela. 
 1 
 
 
Agora imagine uma tartaruga que anda uma cela de cada vez, sempre para cima e para a direita. 
Quando a tartaruga sai fora do quadrado, no alto da tabela, ela deve descer até a última cela da 
coluna e lá colocar o 2. 
 1 
 
 2 
Quando a tartaruga sai fora do quadrado pelo lado direito da tabela, ela deve voltar e caminhar 
até a primeira cela da linha e colocar ali o número 3. 
 1 
3 
 2 
Se a tartaruga chega a uma cela ocupada, ela volta para onde estava e coloca o 4 abaixo desta 
cela: 
 1 
3 
4 2 
Em seguida a tartaruga segue seu caminho e coloca o 5 no centro do quadrado e o 6 na cela direita 
da primeira linha. 
 1 6 
3 5 
4 2 
Quando a tartaruga sai fora do quadrado pelo canto superior da tabela, ela retorna ao ponto de 
partida e coloca o 7 na cela abaixo do 6. 
 1 6 
8 
3 5 7 
4 2 
Agora a tartaruga sai fora do quadrado pelo lado direito da tabela. Ela volta até a primeira linha 
e coloca lá o 8. 
8 1 6 
3 5 7 
4 2 
Em seguida, a tartaruga coloca o 9. 
8 1 6 
3 5 7 
4 9 2 
Pronto! Aí está o jogo do quadrado mágico que fazia tanto sucesso no reino do imperador Lii. 
A notícia correu depressa. Logo o cruel Ti soube que seu vizinho Lii tinha recebido um quadrado 
mágico de presente de uma tartaruga. 
De pura inveja, não teve dúvida: mandou prender todas as tartarugas de seu reino. Até uma tar-
taruga de 100 anos foi para a cadeia! 
Ti deu uma ordem: elas só seriam liberadas quando também ele ganhasse um quadrado mágico. 
Não dava para resistir a essa maldade. As tartarugas do reino de Ti não podiam sofrer tanto. Por 
isso, um dia uma pequena tartaruga atravessou de ponta a ponta o rio Lo e depositou aos pés de Ti um 
quadrado mágico. 
O imperador não cabia em si de contente. O seu quadrado mágico era muito maior do que o de 
Lii! 
Mas, de repente, Ti e seus ajudantes ficaram mudos de susto: o quadrado mágico tinha só um 
número. 
Na torre do castelo do imperador Ti existe uma sala sempre iluminada. Algumas pessoas não 
gostam de passar lá à noite. Juram ter visto um velho de cabelos bem compridos, gesticulando muito e 
fazendo cálculos incompreensíveis. 
Outros dizem que não é nada disso. Todos os castelos têm algumas salas sempre iluminadas. 
Mas muitos acreditam que aquela sala de luz acesa está o imperador Ti. Ele ficou louco, de tanto 
passar dias e noites tentando descobrir o jogo do quadrado mágico. 
Será que você não é capaz de achar a solução? 
Este é o quadrado mágico do imperador Ti: 
 
 1 
 
 
9 
 
 
Fonte: Texto retirado do livro Contando Histórias de Matemática, Oscar Guelli. 
 
Texto 4 - Meninas empreendedoras 
Luana e Cleusa são duas amigas que moram numa cidade do litoral brasileiro. Como a renda de 
suas famílias era pouca, elas começaram a pensar em alguma maneira de ganhar dinheiro. 
Observando o pessoal que lotava as praias da cidade nos fins de semana, as meninas tiveram 
uma ideia: "Por que não vender alguma coisa rara eles? Afinal, esse pessoal está sempre comprando 
milho cozido, água-de-coco, sorvetes. pastéis... Como é uma atividade para finais de semana, a escola 
não seria prejudicada”. 
Elas pensaram em vender coxinhas, e uma tia de Luana. que fazia salgados para festas, deu-lhes 
alguma ajuda. Ensinou-lhes uma receita e recomendou que levantassem certas informações numéricas: 
“Calculem os custo, o tempo gasto, o lucro... Além disso, vocês precisam avaliar o mercado. Haverá com-
pradores? Para quantos produtos?”, disse a tia de Luana. 
Os cálculos sugeridos pela experiente senhora não interessam somente a quem fabrica salgadi-
nhos. Na verdade, eles são necessários para lançar qualquer produto no mercado, desde um automóvel 
até um pacote de balas. Os técnicos responsáveis elaboram o que costuma ser chamado modelo mate-
mático da situação (ou projeção de custos e benefícios) para verificar se vale a pena realizar o projeto. 
Trata-se de uma ideia importante e, por isso, vamos mostrar um pouco das projeções elaboradas 
por Luana e Cleusa. 
Primeiro, elas calcularam os custos. Fizeram uma lista de preços dos ingredientes. Quando as 
quantidades eram pequenas, como uma cebola ou quatro tomates, fizeram estimativas. As informações 
foram organizadas nesta tabela: 
Custo para 50 coxinhas 
Ingredientes Quantidade Custo (R$) 
Peito de frango 1 kg 
Farinha de trigo 1 kg 
Óleo para fritar 1/2 L 
Ovos 6 gemas 
Subtotal: 
Outros custos (cebola, tomate, 
farinha de rosca, gás, etc.) 
20% do subtotal 
Custo total: 
Depois, elas pensaram no tempo. Preparar de 50 coxinhas demoraria 3 horas e meia, e o tempo 
necessário para vendê-las seria de 2 horas e meia. Notaram, porém, que dobrando a quantidade de co-
xinhas, o tempo de preparo e o tempo necessário para vender aumentariam menos. Seriam cerca de 4 
10 
horas e meia e de 3 horas e meia, respectivamente. Isso porque há tarefas em que o tempo gasto não é 
proporcional ao serviço. Por exemplo, o tempo gasto para cozinhar 1 kg ou 2 kg de frango é quase o 
mesmo. 
Depois de calcularem os custos, as meninas deveriam avaliar o mercado. Grandes empresas fa-
zem pesquisas estatísticas para verificar se os produtos serão aceitos. As meninas não podiam fazê-las, 
mas confiaram no bom senso e na observação. Sem dúvida, seria possível vender de 90 a 100 coxinhas 
em cada sábado e em cada domingo. 
Bem, nossa história termina aqui. Se você quiser saber o final, terá de trabalhar por conta pró-
pria. Veja o que poderia fazer: 
 Preencher a tabela de custos. 
 Usando um preço de venda que você considera razoável, calcular o lucro em dois casos: 
1º) fabricação e venda de 50 coxinhas; 
2º) fabricação de 100 coxinhas e venda de 90. 
 Calcular o ganho por hora de cada menina, em cada um dos casos. 
 Decidir se o ganho compensa o esforço. Essa é uma decisão que varia muito de pessoa para pessoa. 
Quem é rico, provavelmente, achará o lucro pequeno. Mas quem precisa de dinheiro pensará de outra 
maneira. 
Qualquer que seja sua opinião, você percebeu que a matemática é muito importante para plane-
jar empreendimentos. 
Fonte: Texto adaptado do livro Matemática para todos, 6ª série, Imenes & Lellis 
 
Texto 5 - O problema do xadrez 
Diz uma antiga lenda que Lahur Sessa ofereceu ao rei Iodava, senhor de Ta-
ligana, o jogo de xadrez por ele inventado. O monarca, encantado com o ma-
ravilhoso presente, quis dar a Sessa uma recompensa. 
E, dirigindo-se ao jovem brâmane, disse-lhe: 
— Quero recompensar-te, meu amigo, por este maravilhoso presente que de tanto me serviu 
para alívio das velhas angústias. Dize-me, pois, o que desejas para que eu possa, mais uma vez, demons-
trar o quanto sou grato para com aqueles que se mostram dignos de prêmios. 
As palavras com que o rei traduzia o generoso oferecimento deixaram Sessa imperturbável. A 
sua fisionomia serena não traiu a menor emoção, a mais insignificante mostra de alegria ou surpresa. 
Os vizires olhavam-no atônitos e entreolhavam-se pasmados dianteda apatia de uma cobiça a que se 
dava o direito da mais livre expansão. 
— Rei poderoso! — exclamou o jovem. — Não desejo, pelo presente que hoje vos trouxe, outra 
recompensa, além da satisfação de ter proporcionado ao senhor de Taligana um passatempo agradável 
que lhe vem aligeirar as horas dantes alongadas por uma tristeza acabrunhante. Já estou, portanto, so-
bejamente aquinhoado e outra qualquer paga seria excessiva. 
Sorriu desdenhosamente o bom soberano ao ouvir aquela resposta que refletia um desinteresse 
tão raro entre os ambiciosos hindus. E, não crendo na sinceridade das palavras de Sessa, insistiu: 
— Causa-me assombro a tua simplicidade e o teu desamor aos bens materiais, ó moço! A modés-
tia, quando excessiva, é como o vento que apaga o archote, deixando o viandante nas trevas de uma 
noite interminável. Para que possa o homem vencer os múltiplos obstáculos que se lhe deparam na vida, 
precisa ter o espírito preso às raízes de uma ambição que o encaminhe a um ideal qualquer. Exijo, por-
tanto, que escolhas, sem mais demora, uma recompensa digna da tua valiosa oferta. Queres uma bolsa 
cheia de ouro? Desejas uma arca repleta de jóias? Já pensaste em possuir um palácio? Almejas a admi-
nistração de uma província? Aguardo a tua resposta por isto que à minha promessa está ligada a minha 
palavra! 
11 
— Recusar o vosso oferecimento depois de vossas últimas palavras — respondeu Sessa — seria 
menos uma descortesia do que desobediência ao rei. Vou, pois, aceitar pelo jogo que inventei uma re-
compensa que corresponda à vossa generosidade; não desejo, contudo, nem ouro nem terras ou palá-
cios. Peço o meu pagamento em grãos de trigo. 
— Grãos de trigo? — exclamou o rei, sem ocultar o espanto que lhe causava semelhante proposta. 
— Como poderei pagar-te com tão insignificante moeda? 
— Nada mais simples — elucidou Sessa. — Dar-me-eis um grão de trigo pela primeira casa do 
tabuleiro; dois, pela segunda; quatro, pela terceira, oito, pela quarta; e, assim, dobrando sucessivamente 
até a sexagésima quarta e última casa do tabuleiro. 
Peço-vos, ó rei, de acordo com a vossa magnânima oferta, que autorizeis o pagamento em grãos 
de trigo, e assim como indiquei! 
Não só o rei como os vizires e venerandos brâmanes presentes riram-se estrepitosamente ao 
ouvir a estranha solicitação do tímido inventor. A desambição que ditara aquele pedido era, na verdade, 
de causar assombro a quem menos apego tivesse aos lucros materiais da vida. O moço brâmane, que 
bem poderia obter do rei um palácio ou uma província, contentava-se com grãos de trigo! 
— Insensato! — exclamou o rei. — Onde foste aprender tão grande desamor à fortuna? A recom-
pensa que me pedes é ridícula. 
Bem sabes que há, num punhado de trigo, um número incontável de grãos. Deves, compreender, 
portanto, que com duas ou três medidas de trigo eu te pagarei, folgadamente, consoante o teu pedido, 
pelas sessenta e quatro casas do tabuleiro. É certo, pois, que pretendes uma recompensa que mal che-
gará para distrair, durante alguns dias, a fome do último "pária" do meu reino. Enfim, visto que minha 
palavra foi dada, vou expedir ordens para que o pagamento se faça imediatamente conforme teu desejo. 
Mandou o rei chamar os algebristas mais hábeis da corte e ordenou-lhes que calculassem a por-
ção de trigo que Sessa pretendia. 
Os sábios matemáticos, ao cabo de algumas horas de acurados estudos, voltaram ao salão para 
submeter ao rei o resultado completo de seus cálculos. 
Perguntou-lhes o rei, interrompendo a partida que então jogava: 
— Com quantos grãos de trigo poderei, afinal, desobrigar-me da promessa que fiz ao jovem 
Sessa? 
— Rei magnânimo — respondeu o mais sábio dos geômetras. — Calculamos o número de grãos 
de trigo que constituirá o pagamento pedido por Sessa, e obtivemos um número1, cuja grandeza é in-
concebível pela imaginação humana. Avaliamos, em seguida, com o maior rigor, a quantos sacos corres-
ponderia esse total de grãos, e chegamos à seguinte conclusão: a porção de trigo que deve ser dada a 
Lahur Sessa equivale a uma montanha que tendo por base a cidade de Taligana, fosse cem vezes mais 
alta do que o Himalaia! A Índia inteira, semeados todos os seus campos, taladas todas as suas cidades, 
não produziria, num século, a quantidade de trigo que, pela vossa promessa, cabe, em pleno direito, ao 
jovem Sessa! 
Como descrever aqui a surpresa e o assombro que essas palavras causaram ao rei ladava e a seus 
dignos vizires? O soberano hindu via-se, pela primeira vez, diante da impossibilidade de cumprir a pa-
lavra dada. 
Lahur Sessa — rezam as crônicas do tempo —, como bom súdito, não quis deixar aflito o seu 
soberano. Depois de declarar publicamente que abria mão do pedido que fizera, dirigiu-se respeitosa-
mente ao monarca e assim falou: 
— Meditai, ó rei, sobre a grande verdade que os brâmanes prudentes tantas vezes repetem: Os 
homens mais avisados iludem-se, não só diante da aparência enganadora dos números, mas também 
com a falsa modéstia dos ambiciosos. Infeliz daquele que toma sobre os ombros o compromisso de 
honra por uma dívida cuja grandeza não pode avaliar com a tábua de cálculo de sua própria argúcia. 
 
 
1 Esse número contem 20 algarismos e é o seguinte: 18.446.744.073.709.551.615 
12 
Mais avisado e o que muito pondera e pouco promete! Após ligeira pausa, acrescentou: — Menos apren-
demos com a ciência vã dos brâmanes do que com a experiência direta da vida e as suas lições de todo 
o dia, a toda hora desdenhadas! 
O homem que mais vive, mais sujeito está às inquietações morais, mesmo que não as queira. 
Achar-se-á ora triste ora alegre; hoje fervoroso, amanhã tíbio; já ativo, já preguiçoso; a compostura al-
ternará com a leviandade. Só o verdadeiro sábio, instruído nas regras espirituais, eleva-se acima dessas 
vicissitudes, paira por sobre todas essas alternativas. 
Essas inesperadas e tão sábias palavras calaram fundo no espírito do rei. Esquecido da montanha 
de trigo que, sem querer, prometera ao jovem brâmane, nomeou-o seu primeiro-vizir. 
E Lahur Sessa, distraindo o rei com engenhosas partidas de xadrez e orientando-o com sábios e 
prudentes conselhos, prestou os mais assinalados benefícios ao seu povo e ao país para maior segurança 
do trono e maior glória de sua pátria. 
Fonte: SOUZA, Júlio César de Mello. Matemática Divertida e Curiosa. 15ª edição. São Paulo: Record, 2001. 
 
 
13 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
São textos que comentam a história do conhecimento matemático envolvendo a pesquisa, a 
descoberta e a construção do conhecimento no seu sentido filogenético. 
 
Texto 6 - Potência: História da descoberta do conceito 
A humanidade demorou milhares de anos para chegar da contagem simples até os cálculos de 
potenciação. Uma importante etapa desse percurso foi desenvolvida por Arquimedes, na Grécia antiga. 
Esse matemático viveu no século 3 a.C. e fez importantes contribuições tanto no desenvolvimento teó-
rico, como prático da ciência. 
Em suas especulações, Arquimedes resolveu calcular quantos grãos de areia eram necessários 
para encher o Universo. Essa questão parecia fundamental a Arquimedes. Em sua época, o Universo era 
considerado um sistema de esferas com o mesmo centro: o Sol. Os planetas estavam fixados na superfí-
cie de cada esfera. 
Os expoentes 
Após calcular o diâmetro dessas esferas, Arquimedes calculou o volume do Universo e o volume 
médio de um grão de areia. Fez a divisão final e obteve como resultado um número enorme. Não poderia 
usar os números usuais para escrever esse número, pois resultaria numa extensa e incompreensível 
quantidade de algarismos. 
Nos cálculos de Arquimedes apareciam sempre contas de multiplicar em que o número 10 apa-
recia repetidas vezes. Fazer contas com aqueles números enormes era muito difícil. Arquimedes cons-
truiu, então, uma tabela e elaborou um método de escrever números grandes, utilizando algarismos 
especiais, que ele chamou de "miríades" - e quehoje conhecemos como expoentes. 
Para isso, ele se utilizava principalmente de potências de base dez. Veja o quadro abaixo: 
Número de vezes que o 10 aparece 
como fator na multiplicação 
Resultado 
1 10 
2 100 
3 1000 
4 10000 
5 100000 
... ... 
Arquimedes desenvolveu essa tabela até chegar ao que julgava ser o número de grãos de areia 
necessários para encher a esfera do Universo: 1051. 
Com seus cálculos, o matemático grego contribuiu para a elaboração da potenciação e formulou 
algumas leis e propriedades das potências. Assim ele criou uma tabela, em que colocava duas séries de 
números, como se vê abaixo: 
𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
2𝑛 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 
 
Os números da série de cima (superior) são os expoentes e os da série de baixo (inferior) são os 
resultados da potência de 2 elevado ao expoente correspondente. 
Quando o número de cima é 5, o de baixo é o resultado de 25, isto é, 32. 
14 
A partir dessa tabela, Arquimedes enunciou a seguinte lei: 
Se queremos multiplicar dois números quaisquer, da série inferior, 
adicionamos os números correspondentes da série superior 
e procuramos o número correspondente a esta soma na série inferior. 
Ou seja: para multiplicar o número 4 por 32, por exemplo, basta tomar os expoentes correspon-
dentes (2 e 5), somar (7), e procurar o resultado correspondente (128). 
Fonte: <https://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/potencia-2-historia-da-descoberta-do-conceito.htm> 
 
Texto 7 - Arquimedes e a coroa falsificada 
Quais foram os maiores matemáticos da história? É difícil dizer, mas Gauss e Arquimedes fica-
riam entre os mais votados. E os maiores físicos, quais seriam? Provavelmente, Einstein, Newton e... 
Arquimedes (de novo!) estariam entre os primeiros. Arquimedes deve ter sido muito criativo para figu-
rar nas duas listas, não acha? 
Arquimedes foi matemático, físico e inventor. Nasceu em 287 e morreu em 212, antes de Cristo. 
Viveu toda sua vida em Siracusa, uma cidade grega que fica na ilha da Sicília, que atualmente é território 
italiano. 
Entre seus trabalhos matemáticos mais conhecidos está a descoberta da fórmula do volume da 
esfera e um método para calcular o número 𝜋. 
Em física, são famosos seus estudos sobre corpos flutuantes, engrenagens, roldanas e alavancas. 
Aparentemente, foi ele o inventor das rodas dentadas ligadas por correntes, que foram usadas em mui-
tos motores e até nas bicicletas atuais. 
Seu lado de inventor esteve em evidência quando Siracusa foi atacada pelos romanos. Arquime-
des projetou, então, diversas máquinas de guerra, entre elas catapultas que lançavam enormes pedras 
sobre as tropas inimigas. Conta-se até que, usando espelhos e lentes, ele concentrou os raios solares 
sobre as velas dos navios romanos, incendiando parte da frota inimiga. 
Graças a essas armas prodigiosas, Siracusa resistiu ao cerco romano por três anos. Sitiada, foi 
vencida pela fome. Ao ocupar a cidade, o general romano que comandava os soldados ficou impressio-
nado com as máquinas que tinha enfrentado. Por isso, deu ordens expressas para que protegessem Ar-
quimedes, porque ele poderia ser-lhe muito útil como engenheiro militar. Entretanto, sem saber de 
quem se tratava, um soldado o matou. 
Uma das mais interessantes façanhas de Arquimedes foi o caso da coroa falsificada. O rei de Si-
racusa havia encomendado a um ourives uma coroa de ouro praticamente puro. Recebeu um trabalho 
magnífico, mas que o deixou desconfiado, pois parecia muito leve para ser de ouro puro. Teria o ourives 
se atrevido a enganar seu rei? 
O rei pediu a Arquimedes que estudasse a coroa, que descobrisse de que era feita, mas sem da-
nificá-la de forma alguma, porque, afinal, tratava-se de uma obra de arte. Respeitando essa condição, 
como seria possível atendê-lo? 
Vamos contar como o problema foi solucionado. Para a história ficar mais compreensível, toma-
mos a liberdade de adotar unidades de medida modernas, que ainda não existiam naquele tempo. Os 
valores das medidas também foram inventados, porque não restou nenhum registro dos verdadeiros. 
No restante, nossa história parece ser verídica. 
Arquimedes sabia que1 kg de ouro deveria ter um volume de 50 cm3 e verificou que a coroa 
pesava 2 kg. Assim, se ela fosse feita de ouro, seu volume seria... Mas aqui está a dificuldade. Como des-
cobrir esse volume? Não há fórmula matemática para determinar volumes de peças tão irregulares 
quanto uma coroa, repleta de detalhes rendilhados. 
Conta-se que Arquimedes estava no banho quando percebeu que, mergulhando seu corpo na 
banheira, fazia o nível de água subir. Nesse instante, teve a revelação! Diz a lenda que saiu nu pelas ruas 
15 
de Siracusa gritando entusiasmado Heureka! Heureka!, cuja tradução é "Achei! Achei!". Mas o que teria 
ele achado? 
Ele havia encontrado a maneira de medir o volume da coroa, usando um recurso em que ninguém 
tinha pensado até então. A ideia era mergulhar a coroa num tanque com água. Imagine que tenha sido 
assim: 
 
O aumento do nível da água lhe permitiria calcular o volume da coroa e resolver o problema. 
Neste ponto nós paramos de contar a história e deixamos para você a tarefa determiná-la: 
a) Examine as figuras e determine o volume da coroa. 
b) Essa coroa é de ouro maciço? Por quê? 
c) Suponha que essa coroa seja feita de ouro e prata. 0 volume de 1 kg de prata é 100 cm3. 0 de 1 kg de 
ouro, você já sabe. Com essas informações, use um sistema de equações e descubra quantos quilo-
gramas de prata e quantos de ouro foram gastos para fazer a coroa. 
Fonte: Texto adaptado do livro Matemática para todos, 7ª série, Imenes & Lellis. 
 
Texto 8 - Classificação e tipos de equações 
Em Alexandria no Egito em março de 415 d.C.; no delta do rio Nilo, gregos, romanos, judeus, 
cristãos e homens livres, andavam pelas ruas, num dos maiores centros comercial e cultural da época, 
onde o museu da cidade era ponto de encontro dos sábios e intelectuais de todo Império Romano do 
Oriente. Nesta época, era assassinada Hipátia (370–415), a primeira mulher matemática da humani-
dade. De origem grega, filha do filósofo Teon, distinguindo-se pelos comentários que fazia sobre Apolô-
nio (séc. III d.C.) e Diofanto (séc. III d.C.), de quem era muito admiradora. Até aquela data, os matemáti-
cos gregos se dedicavam à geometria, mas Diofanto se dedicava ao estudo da álgebra. A admiração de 
Hipátia por Diofanto era tão grande, que em seu túmulo foi encontrada uma dedicatória gravada por 
ela, assim escrita: 
“Caminhei! Aqui foram sepultados os restos de Diofanto. E os números podem mostrar  Oh, milagre!  
quão longa foi a sua vida, cuja sexta parte constituiu a sua famosa infância. E mais um duodécimo pedaço 
da sua vida havia transcorrido, quando de pelos se cobriu o rosto. E a sétima parte de sua existência trans-
correu em um matrimônio sem filhos. Passou-se um quinquênio mais e deixou-o muito feliz o nascimento 
do seu primeiro filho, que entregou a terra seu corpo, sua formosa vida, que durou somente a metade 
da vida de seu pai. E com profundo pesar desceu à sepultura, tendo sobrevivido apenas quatro anos ao 
descanso de seu filho.” 
16 
Após muitos séculos, historiadores e filósofos, conseguiram interpretar esta dedicatória, que re-
presentava uma equação algébrica a qual falava sobre a trajetória da vida de Diofanto e foi assim ex-
pressa: 
𝑥 =
𝑥
6
+
𝑥
12
+
𝑥
7
+ 5 +
𝑥
2
+ 4 
m dos grandes responsáveis pela interpretação da dedicatória de Hipátia foi um dos maiores e 
mais respeitados matemáticos de todos os tempos: Mohamed inb Musã, que viveu no IX e com sua 
grande sabedoria, escreveu o tratado que se chamava Hisab al-jabr Wa-al-muqabalah, tratado este, que 
falava sobre as operações al-jabr e qabalah, oferecendo assim uma contribuição de grande relevância 
para tal interpretação. O termo al-jabr significa restauração e se refere à transposição de termos para o 
outro lado da equação, ou seja: 
5𝑥 + 4 = 2𝑥 + 10 ∴ 5𝑥 = 2𝑥 + 10 − 4 
O termo qabalahsignifica redução ou equilíbrio e refere-se ao cancelamento de termos seme-
lhantes em lados opostos de uma equação, dando continuidade ao desenvolvimento iniciado anterior-
mente, se obtém: 
5𝑥 = 2𝑥 + 6 
5𝑥 − 2𝑥 = 6 
3𝑥 = 6 
𝑥 = 2 
Mohamed inb Musã, resolvia as equações de modo idêntico ao que usamos hoje, a única diferença 
é que tudo era expresso em palavras, até mesmo os números. Em suas estruturas matemáticas, Moha-
med inb Musã utilizava apenas três elementos: raízes, quadradas e números, como explicam analistas 
de textos da época, traduzindo para a álgebra simbólica: 
Raízes → 𝑥 
Quadrados → 𝑥2 
Números → Inteiros 
Apesar da genialidade, Mohamed inb Musã, como tantos outros matemáticos, não foi capaz de 
expressar equações totalmente em símbolos, onde isso só veio acontecer 700 anos mais tarde, com a 
transição da idade média para a idade moderna, especialmente nos séculos XV e XVI, com o progresso 
do comércio, ocorreu extraordinário desenvolvimento da Arte, da Ciência e da Cultura, onde surgiu o 
Renascimento. Assim, com o enorme progresso de todas as ciências, a matemática conheceu o seu 
grande florescimento. É aí então que surge Viéte (1540–1603), filósofo, matemático, apaixonado pela 
álgebra conhecido como O pai da álgebra, deu passos decisivos para que fosse feita a introdução dos 
símbolos no mundo da matemática. Viéte, aos poucos foi substituindo as palavras nas equações e a re-
presentar a incógnita por uma vogal e as palavras mais e menos, por “ p “ e “m”, onde uma equação da 
forma: 
𝑥 + 4 = 100, escrevia-se: 𝐴�̅�4 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 10; 
2𝑥 − 6 = 𝑥, escrevia-se: 𝐴2�̅�6 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝐴; 
sendo p de plus (mais) e m de moins (menos). 
O que se observa é que o traço sobre a letra, indica que ela está sendo usada como símbolo ma-
temático. Mais tarde, Viéte introduziu a palavra in, para representar a multiplicação, mas o passo mais 
importante do grande estudioso, foi a representação dos coeficientes das incógnitas, quando indicadas 
por letras, através de consoantes como seguem no exemplo abaixo: 
𝑎𝑥 = 𝑏, seria representado na forma: B in A é igual a C . 
Ou ainda, 
17 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 , seria represntado na forma: B in A �̅� C é igual a 0. 
Na corrida pelo aperfeiçoamento da álgebra, também se destacaram Robert Record (l510–1558), 
que usou retas para representar a igualdade, símbolo este, usado por Thomas Haroit (1560–162), que 
deu grandes contribuições para o desenvolvimento das equações, conseguindo também eliminar aos 
poucos palavras que restavam na álgebra de Viéte, passando assim as equações a serem escritas na 
seguinte forma: 
𝑥 − 3 = 10 → 𝐴 �̅� 3 = 10 
ou 
𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0 → 𝐴 𝑖𝑛 𝐴 �̅� 𝐴 𝑖𝑛 5 �̅� 4 = 0 
Muitos matemáticos da antiguidade egípcia e do Renascimento europeu, ajudaram na constru-
ção da álgebra moderna e a partir dessas contribuições, as equações passaram a ser interpretadas como 
as entendemos atualmente e definidas como sendo uma fórmula de igualdade entre duas quantidades, 
que contém incógnitas e só sendo satisfeitas para determinados valores dessas incógnitas. Nos dias atu-
ais, os tipos de equações que mais tem sido explorado no Ensino Fundamental e no Ensino Médio são: 
equações do primeiro grau, equações do segundo grau, equações cúbicas, equações biquadradas, equa-
ções exponenciais, equações logarítmicas e equações trigonométricas. 
Diante da importância de tais equações, será feita uma contextualização histórica, buscando ca-
racterizar tais equações. Segundo Graça (1952), o tratado de Mohamed inb Musã, inspirou todos os 
tratados que foram escritos posteriormente até os primeiros tempos do Renascimento, este tratado é 
conhecido como o mais real e importante elo de ligação entre a matemática hindu e a matemática grega, 
que tinha chegado à Índia. O referido tratado, não só apresenta a resolução das equações do primeiro e 
segundo graus, mas também traz algumas operações bem como alguns problemas. 
Foram necessários muitos séculos para que aparecessem grandes descobertas sobre as equações 
algébricas, mas foi em pleno Renascimento que começaram a surgir definições sobre as equações do 
terceiro grau. Podemos apresentar nomes que trouxeram contribuições significantes nesta área con-
forme apresentação dos tipos de equações feitas inicialmente, por exemplo: Em relação às equações do 
primeiro grau, Diofanto (325–409) d.C., famoso matemático de origem grega que pertencia à escola de 
Alexandria, foi o primeiro a anunciar uma teoria clara sobre as equações do primeiro grau, enquanto 
Galois (1811–1832), matemático de origem francesa, foi o primeiro matemático que demonstrou o te-
orema que leva seu nome, sobre as resoluções de equações do primeiro grau. 
No que se refere às equações do segundo grau, essas começaram a ser estudada por Aryabhatha 
e Brahmagupta nos séculos V e VI na Índia, mas foi Bhaskara, matemático indiano, no século XII, que 
concluiu os estudos das equações do segundo grau, demonstrando a fórmula que leva o seu nome. 
As equações cúbicas e quárticas surgiram no século XV, onde Tartaglia, (1499–1557), matemá-
tico nascido em Brescia e Cardano, (1501–1576), filósofo, médico e matemático, natural de Paiva, sus-
tentaram uma grande polemica sobre quem de fato foi o primeiro a descobrir as equações cúbicas e 
quárticas, mas Tartaglia foi de fato o grande precursor das estruturas dessas equações. As equações 
exponenciais são aquelas que possuem uma ou mais incógnitas em seu expoente e em geral para re-
solvê-las através de logaritmos, usam-se algumas propriedades básicas. John Neper (1550–1617), ma-
temático de origem inglesa, ao observar as relações entre Progressões Aritméticas e Progressões Geo-
métricas, descobriu o princípio fundamental que rege os logaritmos. As equações trigonométricas são 
aquelas que figura uma função trigonométrica, com arco desconhecido. Ptolomeo (100–175) d.C., ma-
temático egípcio, um dos maiores astrônomos da época helenística, foi um dos fundadores da trigono-
metria, mas foi Viete (1540–1603), matemático francês, um dos fundadores da álgebra moderna, que 
veio completar os estudos da trigonometria. 
Fonte: RODRIGUES, Hélio Oliveira; SILVA, JOSÉ Roberto da. “Fórmula de Bhaskara e resolução de equação do 2º grau inspirados em procedimen-
tos do papiro de Moscou e Rhind”; Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Disponível em: <http://www.sbembrasil.org.br/fi-
les/viii/pdf/02/MC06193102434.pdf> Acesso em: 31 mar. 2017. 
18 
 
Texto 9 - História da álgebra 
Estranha e intrigante é a origem da palavra “álgebra”. Ela não se sujeita a uma etimologia nítida 
como, por exemplo, a palavra “aritmética”, que deriva do grego arithmos (“número”). Álgebra é uma 
variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes, transliterada al-jebr), usada no título do livro Hisab 
al-jabr w’al-muqabalah, escrito em Bagdá, por volta do ano 825, pelo matemático árabe Mohammed 
ibn-Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm). Este trabalho de Álgebra é com fre-
quência citado, abreviadamente, como Al-jabr. 
Uma tradução literal do título completo do livro seria “ciência da restauração (ou reunião) e re-
dução”, mas matematicamente seria melhor se fosse “ciência da transposição e cancelamento”– ou, con-
forme Boher, “a transposição de termos subtraídos para o outro membro da equação” e “o cancelamento 
de termos semelhantes (iguais) em membros opostos da equação”. Assim, dada a equação: 
𝑥2 + 5𝑥 + 4 = 4 − 2𝑥 + 5𝑥3 
al-jabr fornece: 
𝑥2 + 7𝑥 + 4 = 4 + 5𝑥3 
e al-muqabalah fornece: 
𝑥2 + 7𝑥 = 5𝑥3 
Talvez a melhor tradução fosse simplesmente “a ciência das equações”. Ainda que originalmente 
“Álgebra” refira-se a equações, esta palavra hoje tem um significado muito mais amplo, e uma definição 
satisfatória requer um enfoque em duas fases: 
1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e seus métodos de resolução. 
2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis e corpos 
– para mencionarapenas algumas. 
De fato, é conveniente traçar o desenvolvimento da Álgebra em termos dessas duas fases, uma 
vez que a divisão é tanto cronológica como conceitual. 
Equações algébricas e notação 
A fase antiga (elementar), que abrange o período de 1700 a.C. a 1700 d.C., aproximadamente, 
caracterizou-se pela invenção gradual do simbolismo e pela resolução de equações (em geral coeficien-
tes numéricos) por vários métodos, apresentando progressos pouco importantes até a resolução “geral” 
das equações cúbicas e quárticas e o inspirado tratamento das equações polinomiais em geral, feito por 
François Viète, também conhecido por Vieta (1540-1603). 
O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: o retórico (ou verbal), 
o sincopado (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o simbólico. No último estágio, a notação 
passou por várias mudanças, até tornar-se razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton. É interes-
sante notar que, mesmo hoje, não há total uniformidade no uso de símbolos. Por exemplo, os america-
nos escrevem “3.1416” como aproximação de Pi, e muitos europeus escrevem “3,1416”. Em alguns paí-
ses europeus, o símbolo “÷” significa “menos”. Como a Álgebra provavelmente se originou na Babilônia, 
parece apropriado ilustrar o estilo retórico com um exemplo daquela região. O problema a seguir mos-
tra o relativo grau de sofisticação da Álgebra babilônica. É um exemplo típico de problemas encontrados 
em escrita cuneiforme, em tábuas de argila que remontam ao tempo do rei Hammurabi. A explanação, 
naturalmente, é feita em português; e usa-se a notação decimal indo-arábica em vez da notação sexage-
simal cuneiforme. 
Eis o exemplo: 
Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim a área: 252. 
Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura. 
Fonte: BAUMGART, John K. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula (álgebra). São Paulo: Atual, 1969. 
 
19 
PERSONALIDADES DA MATEMÁTICA 
São textos contando a história de personalidades envolvidas com a construção do conheci-
mento matemático. 
Texto 10 - Tales de Mileto 
Tales de Mileto nasceu em torno de 624 a.C. em Mileto, Ásia Menor (agora Turquia), e morreu 
em torno de 547 a.C. também em Mileto. É descrito em algumas lendas como homem de negócios, mer-
cador de sal, defensor do celibato ou estadista da visão, mas a verdade é que pouco se sabe sobre sua 
vida. As obras de Tales não conseguiram sobreviver até nossos 
dias mas com base em tradições pode-se reconstruir algumas 
ideias. 
 Viajando muito pelos centros antigos de conhecimento 
deve ter obtido informações sobre Astronomia e Matemática 
aprendendo Geometria no Egito. Na Babilônia, sob o governo de 
Nabucodonosor, entrou em contato com as primeiras tabelas e 
instrumentos astronômicos e diz-se que em 585 a.C. conseguiu 
predizer o eclipse solar que ocorreria neste ano, assombrando 
seus contemporâneos e é nesta data que se apoiam para indicar 
aproximadamente o ano em que nasceu, pois na época deveria 
contar com quarenta anos, mais ou menos. Calcula-se que tenha 
morrido com 78 anos de idade. 
 Tales é considerado o primeiro filósofo e o primeiro dos 
sete sábios, discípulo dos egípcios e caldeus, e recebe o título co-
mumente de "primeiro matemático'' verdadeiro, tentando orga-
nizar a Geometria de forma dedutiva. Acredita-se que durante 
sua viagem à Babilônia estudou o resultado que chega até nós 
como "Teorema de Tales" segundo o qual um ângulo inscrito 
num semicírculo é um ângulo reto. 
 A ele também se devem outros quatro teoremas fundamentais: "um círculo é bissectado por um 
diâmetro'', "os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais", "os pares de ângulos opostos for-
mados por duas retas que se cortam são iguais", e "se dois triângulos são tais que dois ângulos e um 
lado são iguais respectivamente a dois ângulos e um lado do outro, então, eles são congruentes". 
 “Parece provável que Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide do Egito observando o 
comprimento das sombras no momento em que a sombra de um bastão vertical é igual à sua altura”. 
 
Tales foi mestre de um grupo de seguidores de suas ideias, chamado "Escola Jônica'' e foi o pri-
meiro homem da História a quem se atribuem descobertas matemáticas especificas e, como disse Aris-
tóteles, "para Tales a questão primordial não era o que sabemos, mas como sabemos''. 
Fonte: Só Matemática. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/biograf/tales.php>. Acesso em: 25 mar. 2017. 
 
Texto 11 - Emmy Noether, “a mulher mais importante da história da ma-
temática” 
Nascida na Alemanha, a matemática Emmy Noether viveu entre o final do século XIX e o início 
do século XX, conseguindo destaque em sua área de atuação em uma época em que as ciências exatas 
Tales de Mileto 
20 
não tinham as portas exatamente abertas a profissionais do gênero feminino. Ela revolucionou as teo-
rias sobre anéis, corpos e álgebra, sendo considerada a criadora da álgebra moderna. Além disso, Albert 
Einstein chegou a dizer que Emmy Noether foi “a mulher mais importante da história da matemática”. 
 
Emmy Noether 
Usar nome de homem para poder lecionar 
A alemã Amalie Emmy Noether nasceu em 1882 em uma família judia. Filha de um pai matemá-
tico, Emmy inicialmente considerou ser professora de francês e inglês durante sua educação que se-
guiu os padrões tradicionais das jovens de boas famílias de sua época, mas acabou desistindo da ideia 
de trabalhar com idiomas e, aos 18 anos, decidiu estudar matemática na Universidade de Erlangen-
Nuremberg – onde seu pai lecionava. 
Por ser mulher, a instituição não permitiu que ela se inscrevesse para participar oficialmente do 
curso, mas a influência de seu pai fez com que Emmy fosse autorizada a assistir às aulas por dois anos. 
Depois, seu talento abriu portas para a realização de um exame que lhe permitiu iniciar um doutorado 
na área desejada, tornando-se uma aluna de fato. Anos mais tarde, Noether defendeu sua tese sob a 
supervisão do também matemático Paul Gordan, tornando-se a segunda mulher a obter um diploma na 
área de Matemática e, na sequência, trabalhando no Instituto Matemático de Erlangen sem receber sa-
lário por incríveis sete anos. 
Já em 1915, Emmy foi convidada para fazer parte do departamento de matemática da Universi-
dade de Göttingen, uma instituição renomada internacionalmente como um centro de investigação ma-
temática. Contudo, a Universidade foi contra conceder um posto oficial a Noether e, por isso, ela passou 
quatro anos dando aulas sob o nome de David Hilbert. Na verdade, esse não foi um nome inventado por 
Emmy para poder lecionar: ela se apropriou do nome de um colega que, juntamente com Felix Klein, 
estava trabalhando com a Teoria da Relatividade de Einstein nessa mesma universidade. A dupla con-
vidou Emmy para se juntar a seu grupo de pesquisa, e, quando a universidade se recusou a contratar 
uma mulher, Hilbert ofereceu seu nome para que a matemática conseguisse pelo menos dar palestrar, 
mesmo sem remuneração. No entanto, por possuir um talento único para trabalhar com conceitos abs-
tratos e visualizar conexões complexas, Noether conquistou o respeito de seus novos alunos e também 
do corpo docente. 
Em 1919, enfim, a matemática conseguiu o posto de Privatdozent – um título universitário ale-
mão que serve para designar professores com habilitação para lecionar, mas sem a cátedra de ensino 
ou e pesquisa. Sendo assim, um Privatdozent não recebe remuneração por parte do governo. 
Mesmo com tantos empecilhos para seguir a desejada carreira acadêmica como matemática, 
Emmy continuou sendo um dos membros mais importantes do departamento dessa ciência exata em 
Göttingen até 1933, e seus alunos muitas vezes eram chamados de “os meninos de Noether”. Mas esse 
reconhecimento somente tomou forma depois que o matemático holandês B. L. Van der Waerden se 
tornou o principal expositor das ideias da célebre matemática, fazendo com queo trabalho de Emmy se 
tornasse a base para o segundo volume de seu livro didático pra lá de influente, publicado em 1931, 
chamado “Moderne Algebra”. Com isso, Emmy Noether passou a ser considerada a criadora da álgebra 
moderna. 
21 
Ainda na década de 1930, o governo nazista decidiu expulsar os judeus que ocupavam postos em 
universidades, e Noether precisou se mudar para os Estados Unidos, onde trabalhou no Brun Mawr 
College, na Pensilvânia. Nessa instituição reconhecida mundialmente, a matemática acabou lecionando 
e convivendo apenas com mulheres pela primeira vez em seu histórico. Mas em 1935 a acadêmica des-
cobriu um cisto ovariano e, mesmo tendo realizado uma cirurgia em segredo, acabou morrendo apenas 
quatro dias depois, com apenas 53 anos de idade, surpreendendo não somente a seus colegas de traba-
lho e amigos, como toda a comunidade matemática da época. 
Trabalho que revolucionou a matemática e a física 
O trabalho de Noether pode ser dividido em três principais períodos. O primeiro durou de 1908 
a 1919, quando ela fez contribuições significativas à teoria dos invariantes e dos corpos numéricos. Foi 
nessa época que a matemática desenvolveu o Teorema de Noether, “um dos teoremas matemáticos mais 
importantes já provados dentre os que guiaram o desenvolvimento da física moderna”. 
O segundo período aconteceu entre 1920 e 1926, quando Noether começou trabalhos que mu-
daram a face da álgebra abstrata. Isso porque em seu artigo pra lá de clássico chamado Idealtheorie in 
Ringbereichen (“Teoria de ideais nos domínios dos anéis”), de 1921, Emmy transformou a teoria dos 
ideais em anéis comutativos em uma poderosa ferramenta matemática que serve para diversas aplica-
ções. 
Já o terceiro período principal de seu trabalho foi o que ocupou os anos entre 1927 e 1935, e foi 
nessa época que Noether conseguiu publicar seus principais trabalhos sobre álgebras não comutativas 
e números hipercomplexos, realizando a união entre a teoria das representações dos grupos com a te-
oria dos módulos e ideais. Além de ter publicado trabalhos autorais, Emmy também permitiu que outros 
matemáticos publicassem suas ideias e linhas de investigação, o que acabou afetando campos bastante 
distantes de seu trabalho principal, como, por exemplo, a topologia algébrica. 
Mulher, judia, gênio e militante pelos direitos femininos 
Emmy Noether publicou mais de 40 artigos em toda sua carreira como matemática, muitos deles 
que revolucionaram não somente esta área de atuação, como também a física teórica. 
Além disso, como professora ela também era atenciosa e didática, inspirando muitos de seus 
alunos a fazer suas próprias contribuições para o campo da matemática nos anos subsequentes. 
A mulher que conseguiu mostrar ao mundo que a matemática não tinha segredos para as mulhe-
res, que eram tão capazes quanto os homens também nessa área de estudo e pesquisa, viveu uma vida 
de luta pelos direitos femininos na academia e é, até os dias de hoje, um exemplo de resiliência, de força 
de vontade e de batalha pela igualdade de gêneros na academia. Além disso, Emmy superou barreiras 
que iam além das questões de gênero, pelo fato de ter sido uma judia em uma Alemanha contaminada 
por uma onda de antissemitismo. 
Na ocasião de seu falecimento, Albert Einstein – o físico teórico e um dos cientistas mais impor-
tantes da história recente, que havia usado o trabalho de Noether sobre a teoria dos invariantes para 
formular parte de seu trabalho com a relatividade – chegou a chamá-la de “o gênio matemático criativo 
mais significativo já produzido desde que a educação superior para mulheres foi iniciada”. E, bom, se 
uma mente brilhante do porte de Einstein chamou Emmy Noether de gênio, quem somos nós para re-
trucar, não é mesmo? 
Fonte: GNIPPER, Patrícia. “Mulheres Históricas: Emmy Noether, a ‘mais importante da história da matemática’”; Canaltech.Corporate. Disponível 
em: <https://canalte.ch/S1PBB>. Acesso em: 31 mar. 2017. 
 
22 
Texto 12 - Al-Khwarizmi 
Abu Abdullah Mohammed ben Musa Al-Khwarizmi foi um matemático árabe que nasceu em 
torno de 780 e morreu por volta do ano 850. Sabe-se pouco sobre sua vida. Há indícios de que ele, ou a 
sua família, era originário de Khowarezm, a região a sul do mar Aral, na altura parte da Pérsia ocupada 
pelo Árabes (atualmente parte do Uzbequistão). Foi um dos primeiros matemáticos a trabalhar na Casa 
da Sabedoria, em Baghdad, durante o reinado do califa al-Mamum (813-833). 
 Al-Khwarizmi escreveu tratados sobre aritmética, álgebra, astronomia, 
geografia e sobre o calendário. É possível que tenha escrito um tratado sobre 
o astrolábio e outro sobre relógios de sol, mas estes dois últimos não chegaram 
aos nossos dias. Tanto o tratado sobre a aritmética como o sobre a álgebra 
constituíram o ponto de partida para trabalhos posteriores e exerceram uma 
forte influência no desenvolvimento da matemática, principalmente da arit-
mética e da álgebra. 
 A versão original do pequeno tratado de aritmética de Al-Khwarizmi 
encontra-se perdida, mas este chegou a Espanha e existem traduções, do sé-
culo XII, para latim. No seu texto al-Khwarizmi introduz os nove símbolos in-
dianos para representar os algarismos e um círculo para representar o zero. 
Depois explica como escrever um número no sistema decimal de posição uti-
lizando os 10 símbolos. Descreve as operações de cálculo (adição, subtração, divisão e a multiplicação) 
segundo o método indiano e explica a extração da raiz quadrada. Depois do cálculo com números intei-
ros, aborda o cálculo com frações (expressando-as como a soma de frações unitárias). 
 De acordo com Youschkevitch, existem três textos, em latim, do século XII, que podem ser tra-
duções do tratado de aritmética de al-Khwarizmi. O Liber Algorismi de pratica arismetrice (o Livro de 
Algorismi sobre a aritmética prática), escrito por João de Sevilha (ou de Todelo), um judeu espanhol 
convertido ao catolicismo que trabalhou em Todelo de 1135 a 1153. O Liber Ysagogarum Alchorismi in 
artem astronomicam (Introdução de Algorismi sobre a arte da astronomia), do qual se conhecem várias 
cópias, uma datada de 1143. Não se sabe quem terá sido o seu autor se o inglês Adelardus de Bada, ou 
Bath (que pertencia à escola de Toledo), ou de Robert de Cherter, também inglês. Youschkevitch, refere, 
ainda, uma outra tradução, do século XIII, sem título, que se encontra na Biblioteca da Universidade de 
Cambridge, publicada por Boncompagni, em 1857, com o título Algoritmi de numero indorum e que ini-
cia com as palavras Dixit Algorismi (ou seja, Algorismi disse). 
A palavra algorismi é portanto a versão latina do nome al-Khwarizmi e que derivou na palavra 
algoritmo. 
 O tratado de álgebra escrito por Al-Khwarizmi data de cerca de 830 e tem o título Hisab al-jabr 
w'al-muqabala, uma possível tradução seria o cálculo por completação (ou restauração) e redução. Al-
jabr é a operação que consiste em adicionar termos iguais a ambos os membros da equação de forma a 
eliminar os termos com coeficiente negativo e al-muqabala a operação que se faz em seguida e que con-
siste em adicionar os termos semelhantes. 
 Al-Khwarizmi diz-nos, na introdução da sua álgebra, com o título, que o califa al-Mamum o en-
corajou a escrever um pequeno trabalho sobre o cálculo pelas regras de completação e redução, confi-
nando-o ao que é mais simples e mais útil na aritmética, tais como as que os homens constantemente 
necessitam no caso das heranças, partilhas, processos judiciais, e comércio, e em todas os seus negócios 
com outros, ou quando a medição de terras, a escavação de canais, cálculos geométricos, e outros coisas 
de várias espécies e tipos estão envolvidos. 
 O seu livro é composto por três partes. A primeira sobre a álgebra, que precede um breve capí-
tulo sobre os transações comerciais; a segunda sobre a geometria e a terceira parte sobre as questões 
de heranças. No seu livro Al-Khwarizmi não usa qualquer símbolo, nem sequer os símbolos que descre-
verá posteriormente nasua aritmética. 
 O livro foi, também, traduzido para latim, no século XII, mas essas traduções não incluíam a se-
gunda e a terceira partes. Robert de Chester, na sua tradução para latim, de 1140, traduz o tratado de 
álgebra de al-Khwarizmi com título Liber algebrae et almucabala, portanto álgebra deriva da tradução 
latina de al-jarb. 
Al-Khwarizmi 
23 
Fonte: Só Matemática. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/biograf/khwarizmi.php>. Acesso em: 30/03/2107. 
 
Texto 13 - “Souzinha”, o maior matemático da História do Brasil 
Joaquim Gomes de Souza, “O Souzinha” 
(1829-1864), é uma das figuras mais interessantes e es-
quecidas da História do Brasil. Nasceu em 15 de fevereiro 
de 1829 na Fazenda Conceição, às margens do rio Itape-
curu, no Maranhão. Filho de Antônia de Brito Gomes de 
Souza e do Major Inácio José de Souza, foi apelidado 
quando garoto de “Souzinha”. Naquele tempo, sua família 
prosperava com o cultivo do algodão. A província do Mara-
nhão se encontrava em um período de notável progresso 
econômico, o que permitia que muitos senhores tivessem o 
luxo de ter seus filhos estudando na Europa, em Pernam-
buco ou no Rio de Janeiro, de onde retornavam doutores e 
bacharéis em filosofia, leis, matemática e medicina. Os pais 
de Gomes de Souza, influenciados pelo então Barão do Ara-
guaia (Domingos J. G. de Magalhães, secretário do governo 
da província), mandaram-no em 1841 para Pernambuco, 
para se juntar ao irmão mais velho que já cursava Direito 
na cidade de Olinda. Em 1842, seu irmão José Gomes de 
Souza falece e “Souzinha” é obrigado a voltar ao Maranhão, 
desta vez para a capital. 
Seus pais decidem que Joaquim deveria ser militar. 
Ele então partiu para o Rio de Janeiro e em 1843 ingressou, 
aos 14 anos, na Escola Real Militar, como Cadete do 1º Ba-
talhão de Artilharia, onde foi o primeiro a obter o título de 
Doutor em Ciências Físicas e Matemáticas, mais tarde, aos 19 anos, com uma tese sobre Equações Dife-
renciais. 
Pela sua saúde muito frágil e pela falta de vocação para carreira das armas, pediu permissão para 
trancar sua matrícula na Escola Real Militar. Não fosse a intervenção de Tiago José Salgado, parente da 
família, para manter “Souzinha” no Rio de Janeiro, muito provavelmente ele teria retornado ao Mara-
nhão para ajudar o pai nos afazeres da fazenda. 
A busca constante pelo conhecimento, fez com que em março de 1844, ingressasse na Faculdade 
de Medicina do Rio de Janeiro, quando o intuito de investigar as ciências físico-químicas e naturais, o 
fez se aprofundar e sentir-se motivado pelos estudos matemáticos. Antônio Henriques Leal, amigo e 
conterrâneo, exalta no seu Pantheon Maranhense, as qualidades de “Souzinha”, dizendo: 
“… entregou­se todo à Física, matéria de sua particular predileção. (…) começou a estudar 
consigo mesmo as mais complicadas operações de Álgebra. E não encontrando nelas dificul-
dades, quis prosseguir em seus estudos. Muniu-se então de todos os compêndios do curso do 
segundo ano da Academia Militar. Estudados estes, e animado por tão inesperado resultado, 
entrou afoito pelo Cálculo Integral e Diferencial, pela mecânica de Francoeur, pela Astrono-
mia; e assim, quase insensivelmente e sem outro auxílio e guia que o de sua extraordinária 
inteligência, dentro do seu gabinete, e ao concluir o seu terceiro ano médico, já sabia tudo o 
quanto constituía o curso de engenharia; (…) ocupou sempre o primeiro lugar entre os mais 
distintos estudantes da escola de medicina, frequentada então por tantos talentos de pri-
mor!“ 
24 
Em 1847, concluiu o terceiro ano do 
curso de medicina e renovou sua matrícula na 
Escola Militar. Depois de muita insistência, con-
seguiu autorização da direção da Escola para re-
alizar os exames das cadeiras que faltavam para 
concluir seu curso. Muitos professores e os pró-
prios colegas não acreditavam que lograria su-
cesso nessa empreita. Sem considerar essas opi-
niões, Souza se dedicou na elaboração de sua 
tese. Desde então, já se mostrava íntimo das 
equações trigonométricas, das séries, derivadas 
e integrais. No ano de 1848, deu início à defesa 
de sua tese de doutorado: “Dissertação Sobre o 
Modo de Indagar novos Astros sem o Auxílio das 
Observações Diretas”, e em 14 de outubro do 
mesmo ano, galgou o almejado título de Doutor 
em Ciências Matemáticas, primeiro título conce-
dido pela então Escola Real Militar. 
Após esse feito regressou à sua terra, 
muito fragilizado, mas com obstinação procurou 
aprender Economia Política, Línguas e Direito 
Constitucional, quando em julho de 1849, retor-
nou ao Rio de Janeiro para ser Professor da Es-
cola Real Militar. Efetuou pesquisas sobre os mé-
todos gerais de integração, sobre a teoria dos 
sons e propagação nos meios elétricos. Seus tra-
balhos eram impressos na própria Escola Militar 
e alguns foram publicados na revista literária Guanabara, dentre os quais: Resolução das Equações Nu-
méricas e Exposição Sucinta de um Método de Integrar Equações Diferenciais Parciais por Integrais Defi-
nidas. 
Em 1854, motivado pelas ciências matemáticas, partiu para Europa com justificativa do governo 
que teria que estudar o sistema penitenciário europeu, com objetivo de melhorar a Casa de Correção da 
Corte, da qual era secretário; e obter informações sobre os observatórios astronômicos. Gomes de Souza 
se deparava com sua primeira viagem de estudos e escolheu Londres como cidade para apresentar seus 
trabalhos à Royal Society of London, uma das mais antigas instituições acadêmicas do planeta. 
Mais à frente, viajou à Paris, onde passou a assistir aos diversos cursos de Matemática na Sor-
bonne, quando estabelece contatos com diversos matemáticos franceses. Frequentou as aulas de Cau-
chy, considerado como o maior matemático de seu tempo. Conta-se que em determinada aula, Cauchy 
apresentou uma equação não integralizável. “Souzinha”, franzino e desajeitado, timidamente se levan-
tou e perguntou: “–Dá licença?”. O auditório que acompanhava atentamente as palavras de Cauchy, pas-
sou a observar o nosso “Souzinha”, que pediu o giz e demonstrou onde, por duas vezes, o sábio Cauchy 
se enganara, sendo levado a concluir erroneamente pela não integralização. Impressionado, Cauchy 
cumprimentou o jovem brasileiro, de quem veio a se tornar então um grande amigo. 
Após isso, se matricula na Faculdade de Medicina de Paris, onde obteve o grau de Doutor em 
1856 e, logo mais, apresenta seus trabalhos matemáticos na Académie des Sciences de Paris. 
Numa visita à Alemanha, encontrou Antônio Gonçalves Dias (1823-1864), poeta romancista ma-
ranhense, com quem debateu suas idéias sobre a coletânea poética que pretendia lançar no futuro. 
Negociou a publicação pela editora F.A. Brockhaus, de Leipzig, da Anthologie universelle. Choix 
dês meilleurs poésies lyriques de diveres nations dans lês langues originales, do livro com cerca de 950 
páginas das melhores poesias no original em 17 línguas. Dentre elas, alemão, dinamarquês, espanhol, 
francês, grego, inglês, italiano, latim, polonês, português, russo e sueco. Além de entregar a obra intitu-
lada “Recueil de mémoires d’Analyse e Physique Mathematiques”, que reunia todos seus trabalhos e falava 
sobre sua interpretação da Filosofia Geral das Matemáticas. 
25 
Quando ainda naquele país, no apogeu de sua produção científica, Gomes de Souza recebe a no-
tícia que havia sido eleito para representar a província do Maranhão no Parlamento Brasileiro e que, 
deveria retornar imediatamente ao Brasil. Antes disso, seguiu para a Inglaterra e se casou com Rosa 
Edith, filha de um pastor anglicano, e então regressara ao Brasil, deixando a esposa de 18 anos na In-
glaterra. 
Em maio de 1857, é empossado deputado e em seu 
primeiro discurso, em junho do mesmo ano, denuncia o 
ex-ministro da Justiça, então deputado, José Thomaz Na-
buco de Araújo (1813-1878), com as seguintes palavras: 
“[…] por crime de traição por haver atentado contra 
o livre exercício dos poderes políticos reconhecidos 
pela Constituição doImpério, e por ter aposentado 
com metade dos seus vencimentos os desembargado-
res de Pernambuco Severo Amorim do Valle e Ber-
nardo Rabello da Silva Pereira.“ 
Mesmo como político, ocupa o cargo de professor 
catedrático da disciplina de Cálculo Diferencial Integral. 
Ainda em 1857, volta à Inglaterra para buscar sua esposa 
Rosa. Das suas intervenções parlamentares, uma das mais 
interessantes ocorreu em 1860, quando discursou sobre a 
reforma das escolas militares. Em 1860 no Maranhão, sua 
esposa Rosa morre por causas desconhecidas, alegando os 
médicos doença típica dos trópicos. Em 1862 morre tam-
bém seu filho, com o mesmo laudo. 
“Souzinha”, a partir daí, tem sua saúde já frágil de-
teriorada. Mesmo assim, em fevereiro de 1864, casou-se 
novamente com uma enfermeira que o amparou em sua 
moléstia. Em março do mesmo ano, apresentando melhoras, viajou para a Inglaterra com objetivo de se 
tratar. Mas a tuberculose viria destruir rapidamente, em pleno apogeu, uma das mais brilhantes e ex-
cepcionais mentes da ciência no Brasil. Em pouco tempo, a enfermidade o transformou em farrapos. Ao 
perecer, Joaquim Gomes de Souza, deixou além das obras em vida, um trabalho sobre “Ciências Naturais, 
Sociais e Filosóficas”, o qual só faltava a introdução e a revisão. 
“Souzinha” morreu em primeiro de junho de 1864. A notícia só chegou ao Brasil no dia 6 de julho 
de 1864, quando a Câmara prontamente suspendeu a sessão por “manifestação de pesar pelo faleci­
mento de um vulto majestoso que não encontrará substituto, porque àquele molde não são vazados muitos 
homens. Era um gênio, e os gênios são raríssimos”. No dia seguinte, uma nota foi publicada no Paiz, de 
São Luiz: “Lamenta o Maranhão a perda de mais um filho ilustre, talvez a inteligência mais elevada que 
esta terra tenha produzido, o Dr. Joaquim Gomes de Souza”. 
“Souzinha” e sua contribuição para a Ciência 
Sua produção científica é analisada e comentada nas suas notas autobiográficas mencionadas 
por Inocêncio Francisco da Silva em seu Dicionário bibliográfico português, 22 volumes, da imprensa 
Nacional, Lisboa (1853-1923). A tese de Joaquim Gomes de Souza, “Disertação Sobre o Modo de Indagar 
Novos Astros sem o Auxilio das Observações Directas”, foi uma obra inovadora na Astronomia, motivada 
pela recente descoberta de Netuno por meio de cálculos, realizada por J.J. Leverrier e J.C Adams, que 
após observarem irregularidades na órbita do planeta Urano, calcularam a massa e a posição do astro, 
confirmando seus cálculos com o uso de telescópios apontados para as coordenadas indicadas e visua-
lizando o planeta. 
O que muito ajudou “Souzinha” em seus trabalhos foram os conhecimentos assimilados da obra 
recém adquirida de Laplace, Le Mécanique Céleste, além de estar muito atualizado diante dos aconteci-
mentos científicos da época. As obras de Joaquim Gomes de Souza, além de seu valor profundo, têm toda 
26 
a mística por representar o verdadeiro início da pesquisa matemática no Brasil. “Dr. Souzinha”, foi o 
primeiro matemático brasileiro em sem sentido pleno, que foi capaz de formular novos problemas e 
demonstrar o meio de resolvê-los, contribuindo significativamente para a Matemática. “Souzinha” em 
autobiografia, comentando os Métodos Gerais de Integração afirmou: 
“Amando acima de tudo as Ciências que têm por objetivo o estudo da Natureza, determinei-
me a estudar Matemática, para melhor conhecê-la. Quando, porém, se começa esse estudo, 
pára-se a cada momento diante das dificuldades insuperáveis que o Cálculo Integral oferece. 
Se há, entretanto, alguma cousa verdadeiramente sedutora é o estudo desse ramo da Análise. 
 As dificuldades do Cálculo vencidas, podemos voltar mais particularmente nosso espírito à 
observação dos fenômenos da Natureza, seguros de que, se encontrarmos uma relação qual-
quer entre o fenômeno e a causa procurada, e outras que se podem ver e medir, será sempre 
possível voltar à primeira. 
Meu primeiro fim foi atingido; quando, porém, vou proceder ao segundo, o de aplicar estas 
fórmulas e interrogar a própria Natureza, vejo-me talvez obrigado a parar! Métodos gerais 
de integral foram descobertos, é verdade, mas minha saúde está destruída e meu organismo 
consumido, o estado dos meus olhos não me permite talvez mais a me entregar às pesquisas, 
onde a mais profunda atenção e a perseverança mais assídua são absolutamente necessá-
rias. 
Se, porém, sou forçado a parar aqui, e não me é permitido ver desenrolar diante dos meus 
olhos a cena a que a minha imaginação tantas vezes tem sido lançada, terei pelo menos o 
prazer de ter aberto o caminho para os outros, e de saber que será permitido agora ao ho-
mem ler de uma maneira mais profunda no seio do Criador.” 
O excepcional esforço de autodidatismo, vivenciado nas circunstâncias mais adversas da vida, 
torna Joaquim Gomes de Souza não somente o primeiro nome notável da Matemática no Brasil, mas 
talvez, o maior representante das Ciências Exatas desse país pelo seu pioneirismo. Seu espírito foi ou-
sado e lutou com insistência por reconhecimento científico na Europa. A complexidade de seus domí-
nios demonstrou o que seus curtos 35 anos de existência terrena foram capazes de produzir na busca 
incessante dos mais variados ramos do conhecimento. Uma figura de respeito que merece um estudo 
aprofundado de suas obras e contribuições para a humanidade, principalmente para o Brasil. 
Fonte: Conhecimento Infinito. Disponível em: <https://conhecimentoinfinito.wordpress.com/2010/10/29/souzinha-matematico/>. Acesso em 
04 abr. 2017. 
Texto 14 - O homem que calculava: vida e obra de Malba Tahan 
Personalidade atraente, conversador, simples, sempre pronto a 
contar história, conferencista envolvente e carismático, professor anti-
convencional e dedicado – assim era Malba Tahan, que por mais de uma 
geração a todos encantou com seu talento de escritor e de mestre, princi-
palmente por seu livro mais lido, O homem que calculava, até hoje um 
campeão de vendas. 
Conseguiu uma verdadeira proeza: conciliar sua vida de professor 
de Matemática, cujo ensino soube tornar agradável e divertido, e a de con-
tador de histórias, legando-nos mais de cento e vinte livros publicados, 
alguns com uma dezena, uma vintena e até uma trintena de edições, e 
ainda outros inéditos. 
Viveu ativa e intensamente, sempre interessado por tudo, escre-
vendo também para jornais e revistas, e morreu, de repente, como queria, 
em plena ação. O número de apreciadores de seus livros é imenso, e não só de jovens. Sua obra tem um 
27 
sentido místico e, através dela, Malba Tahan sempre procurou ensinar, instruir, ao mesmo tempo em 
que buscava divertir. 
Criou métodos de ensino próprios, depois chamados “lúdico-didáticos”, tirando da Matemática 
a fama de matéria difícil ou desagradável. Usava de ardis durante as aulas para que seus alunos memo-
rizassem as fórmulas matemáticas, tornando as leves e fáceis. 
Escreveu livros que tanto servem para alunos como para professores, e, para estes, ministrou 
também muitos cursos, ensinando a maneira mais fácil de ensinar. Seu nome, Malba Tahan, revestiu-se 
de lenda. 
Malba Tahan, porém, não era o seu verdadeiro nome. Nem ele era árabe, como até hoje muitos 
pensam, apesar de conhecer profundamente a filosofia oriental, o islamismo e os costumes das terras 
do Oriente. Todo esse conhecimento lhe veio dos livros, de pesquisas que realizou, de ensinamentos 
que lhe advieram de um amigo árabe. Nem ele nunca pode ir à região arábica. Quando muito, chegou 
certa vez até a Espanha, de onde divisou ao longe a costa de Marrocos. 
Seu nome real era Júlio César de Mello e Souza, um brasileiro. Mas soube impregnar sua litera-
tura de forte exotismo oriental. E não só isso. Ele criou Malba Tahan como personagem autônomo: es-
creveu-lhe até uma biografia fictícia, a todos fazendo crer, por longo tempo, que aquelas histórias que 
escrevia eram traduzidas de um famoso escritor árabe, de nome Ali Iezid Izz-Edim Ibn Salim Hank 
Malba Tahan, nascido em 06/05/1885na aldeia de Muzalit, perto da antiga cidade de Meca, e que mor-
rera lutando no deserto ao lado de sua tribo. Na edição de seus livros, em que punha data mais antiga, 
colocava até o nome de pseudotradutor. 
Muitos de seus admiradores deram nome de Malba a seus filhos, e várias bibliotecas e escolas 
foram denominadas “Malba Tahan”. 
E por que toda essa mistificação? Em depoimento ao Museu da Imagem e do Som, no Rio de Ja-
neiro, o próprio escritor declarou que chegara à conclusão de que “ninguém é profeta em sua própria 
terra”, e já anteriormente usava outro pseudônimo. 
Júlio César de Mello e Souza trabalhava no jornal O Imparcial, daquela cidade, um caminho que 
julgava encontrar para a publicação de seus escritos. Certa vez, em 1918, apresentou cinco de seus con-
tos ao editor, que os deixou sobre a mesa, com um peso em cima, por vários dias, sem deles tomar co-
nhecimento. Então ele pegou os contos e neles colocou o pseudônimo de R. S. Slade, dizendo ao editor 
que aqueles eram contos que traduzira de um escritor de sucesso em Nova Iorque. E no dia seguinte um 
dos contos, “A Vingança do Judeu”, saiu no jornal com grande destaque. “Ai eu descobri que era preciso 
mistificar” – disse ele. Pelo mesmo motivo, achou que um escritor brasileiro não faria sucesso assinando 
contos orientais com seu nome verdadeiro. Assim, resolveu criar a personagem Malba Tahan (em árabe, 
com agá aspirado), com que se tornou célebre. Um nome apropriado, pois os árabes são famosos pelos 
seus contadores de histórias. Para o sobrenome, inspirou-se no de uma de suas alunas: Maria Zachsuk 
Tahan. Tahan significa “moleiro”, “aquele que prepara o trigo”. Quanto a “Malba”, filósofos e arabistas 
não são unânimes sobre o seu significado. Segundo Niebuhr (Description de l’Arabie, Paris, 1756, II vol., 
p. 304), teria havido no Iêmen (Arábia) um pequeno oásis de nome Malbher ou Mabher, e daí, a origem 
Malba. Para o Professor Jean Achar, o nome do oásis seria Malbhe. O Professor Ragy Basile diz que Malba 
é palavra de origem persa. Segundo o Professor Jamil Safady, o significado de Malba seria “aprisco”. 
Para o poeta libanês Assad Bittar, Malba, em árabe, designa a raiz de uma planta da família das maran-
táceas, de que se extrai uma farinha alimentícia. Aceitou-se, habitualmente, traduzir Malba Tahan como 
“o moleiro de Malba”. 
Malba Tahan, no depoimento ao MIS, disse que preparou a mistificação durante sete anos, de 
1918 a 1925. Leu o Alcorão e o Talmude, tomou aulas de árabe com o Professor Jean Achar. Então pro-
curou o jornalista Irineu Marinho, diretor de “A Noite”, dizendo que queria surpreender o Brasil com 
uma mistificação literária. Sua ideia era inventar um escritor árabe e publicar contos orientais educati-
vos. Irineu Marinho leu dois ou três contos e achou a ideia interessante. Recomendou ao seu secretário 
Euclides de Mattos que publicasse na primeira página de “A Noite” os contos de Malba Tahan, prece-
dendo-os de uma biografia apócrifa, sob o título de “Contos das Mil e Uma Noites”. Irineu Marinho jamais 
revelou a pessoa alguma, nem mesmo a Euclides, o segredo da mistificação literária, da qual fora não só 
cúmplice como o grande responsável. E, em 1925, saiu o primeiro livro do escritor: Contos de Malba 
Tahan. 
28 
O escritor e matemático acreditava na Numerologia e, ao escolher seu pseudônimo, o fez de 
acordo com essa ciência, para ter sorte em suas publicações. O que, de fato, aconteceu, pois teve muito 
sucesso em seus empreendimentos literários. Júlio César de Mello e Souza era de tal forma conhecido 
pelo pseudônimo que este, por decreto do Presidente Getúlio Vargas, pode até ser utilizado, ao lado do 
nome verdadeiro, em sua carteira de identidade. E usou, ainda, em suas histórias, um outro pseudô-
nimo: Melusa. 
Desde criança Malba Tahan tinha profundo interesse pela cultura árabe. Seu livro preferido era 
As Mil e Umas Noites que inspirou os contos que escreveria mais tarde. Costumava dizer: “Nada interessa 
mais ao homem do que uma boa história”. 
Júlio César de Mello e Souza nasceu na cidade do Rio de Janeiro, em 06/05/1895, mas passou 
toda a infância na bucólica cidade paulista de Queluz, que está ativando, de maneira concreta e eficiente, 
a sua memória. Era o quinto dos nove filhos do casal João de Deus de Mello e Souza, filho de portugueses, 
e Carolina Carlos de Mello e Souza, “paulista de quatrocentos anos”. Em Queluz, João de Deus fundou o 
um Colégio com seu nome, e nessa cidade se casou com a professora Carolina, conhecida por “Sinhá”, 
sobrinha do tabelião Francisco Carlos de Silveira, que era também maestro. Quando o casal já tinha três 
filhos nascidos em Queluz, João de Deus fechou o seu Colégio e se transferiu para o Rio onde nasceram 
mais três filhos, um dos quais Júlio César, o futuro Malba Tahan. 
A família voltou para Queluz e enfrentou grandes lutas e dificuldades, o que prejudicou a saúde 
de João de Deus. Sua esposa conseguiu reintegração no magistério e mantinha a escola na sala de visitas 
da própria casa onde também estudavam os filhos. 
João Baptista, o filho mais velho, que depois também se tornou escritor com o nome de J.B. Mello 
e Souza, em seu comovente livro Meninos de Queluz (Prêmio Joaquim Nabuco da Academia Brasileira de 
Letras), conta que o irmão Júlio César tinha atração pelas procissões, e sonhava em ser um seu dirigente 
quando crescesse. Porém, no que mais se realizava, era como contador de histórias, em tertúlias alegres 
que os “filhos da professora” organizavam para outros alunos da escola. João Baptista publicaria mais 
tarde numerosos livros, como o já mencionado, e Canções da Escola e do Lar, Histórias do Rio Paraíba 
e outros. 
O pai incumbiu João Baptista de preparar o irmão Júlio César para o exame que faria para in-
gresso no Colégio Militar, do Rio de Janeiro, no qual foi matriculado em 1906, aí permanecendo por três 
anos. Mas o jovem desistiu da carreira militar e, em 1909, transferiu-se para o Colégio Pedro II, com 
uma bolsa de estudo; aí lhe veio a ideia de ser professor. 
A essa época, começaram a despertar-lhe os dotes de escritor: Júlio César fazia, ao pagamento 
unitário de quatrocentos reis a dez tostões, redações de Português para colegas que tinham sempre 
nota baixa na matéria, nas aulas do Professor José Júlio da Silva Ramos. Mas seu primeiro salário fixo 
fora, ainda bem jovem, como servente e depois auxiliar interino da Biblioteca Nacional. Posteriormente, 
fez o Curso de Professor Primário na antiga Escola Normal do antigo Distrito Federal, atual Instituto de 
Educação. 
Em 1913, Júlio César se matriculou na Escola Politécnica, tendo concluído o curso de Engenharia 
Civil, mas nunca exerceu a profissão. Sua real vocação era o magistério. Já a essa época regia turmas 
suplementares no Externato do Colégio Pedro II. Foi, assim, professor por mais sessenta anos. Quando, 
porém, passou a lecionar, começou com História, a seguir Geografia e Física. Só depois é que lecionou 
Matemática. O gosto pela matéria lhe veio das aulas do Professor Henrique César de Oliveira Costa. No 
entanto, conta J.B. Mello e Souza em Meninos de Queluz, Júlio César, quando garoto, não era dos melhores 
alunos, nem em Português nem em Matemática. Era dispersivo nos estudos. E: “Se compunha uma his­
torieta, era certo criar personagens em excesso, muitos dos quais não tinham papel nenhum a desempe-
nhar, dando-lhes nomes absurdos, como Mardukbarian, Orônsio, Protocholóski”. 
Isso não impediu que se tornasse auto da vasta obra literária, docente da antiga Escola Normal 
e detentor de várias cátedras de Matemática: no próprio Colégio Pedro II (Internato), por doze anos; na 
Universidade do Brasil (Escola Nacional de Belas Artes), mais tarde transferido para a Faculdade Naci-
onal de Arquitetura, no Instituto de Educação, no Rio de Janeiro e em outros estabelecimentos. Teve, 
também, larga atuação no rádio e na televisão. Trabalhou nas Rádios Nacional, Clube e Mairink Veiga, 
do Rio; na TV – Tupi, do Rio; no Canal 2, de São Paulo. Algunsde seus contos foram radiofonizados. 
29 
Malba Tahan faleceu no dia 18-06-1974. Estava no Recife-PE, a convite da Secretaria de Educa-
ção e Cultura, a fim de dar um curso, sobre “A arte de contar histórias” e outro sobre “Jogos e Recreações 
no ensino da Matemática”, no Colégio Soares Dutra, quando foi surpreendido pela morte às 5:30 horas, 
no hotel, no Hotel Boa Viagem, onde se encontrava hospedado com a esposa. Morreu, aos setenta e nove 
anos de idade, de edema pulmonar agudo e trombose coronária. Seu corpo foi transladado para o Rio 
de Janeiro, onde foi sepultado. 
Fonte: CAVALHEIRO, Maria Theresa. Artigo publicado no Jornal Leitura, 11/1991, SP. Disponível em: <http://www.malbatahan.com.br/arti-
gos/artigo_maria_theresa_cavalheiro.pdf>. Acesso em: 04 abr. 2017 
 
 
 
30 
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS 
São textos mostrando sempre algo curioso e pitoresco envolvendo a Matemática. 
 
Texto 15 - Animais calculadores 
Um observador curioso, Leroy, querendo concluir com segurança, depois de várias experiências, 
que esses animais podem contar, sem erro, até cinco. 
Eis o artifício empregado por Leroy. 
Tendo verificado que os corvos nunca voltam para o ninho quando há alguém nas vizinhanças, 
fez construir uma choupana a pequena distância de um ninho de corvos. No primeiro dia, Leroy mandou 
que um homem entrasse na choupana e observou que os corvos não procuraram o ninho senão após o 
homem ter se retirado da choupana. No segundo dia, a experiência foi feita com dois homens; os corvos 
aguardaram que os dois homens abandonassem o improvisado esconderijo. O mesmo resultado foi ob-
tido sucessivamente, nos dias seguintes, com três, quatro e cinco homens. 
Essas experiências mostraram, claramente, que os corvos contaram os homens não só quando 
estes entraram, mas também depois, quando, com pequenos intervalos, saíam da choupana. 
Com seis homens, as coisas já não se passaram do mesmo modo; os corvos enganaram-se na 
conta — para eles muito complicada — e voltaram para o ninho quando a choupana ainda abrigava 
alguns dos emissários de Leroy. 
Os cães e os elefantes são, igualmente, dotados de admirável inteligência. Spencer, filósofo inglês, 
refere-se, no seu livro A Justiça, a um cão que contava até três. 
E Lucas, nas suas originalíssimas Récréations Mathématiques, apresenta-nos um caso bastante 
singular. Trata-se de um chimpanzé do Jardim Zoológico de Londres, que aprendeu a contar até cinco. 
Fonte: SOUZA, Júlio César de Mello. Matemática Divertida e Curiosa. 15ª edição. São Paulo: Record, 2001. 
 
Texto 16 - Matemáticos feiticeiros 
Conta-nos Rebière1 que o czar Ivan IV, apelidado o Terrível, propôs, certa vez, um problema a 
um geômetra de sua corte. 
Tratava-se de determinar quantos tijolos seriam necessários à construção de um edifício regular, 
cujas dimensões eram indicadas. A resposta foi rápida e a construção feita veio, mais tarde, demonstrar 
a exatidão dos cálculos. Ivan, impressionado com esse fato, mandou queimar o matemático, persuadido 
de que, assim procedendo, livrava o povo russo de um feiticeiro perigoso. 
François Viète (15401603) foi também acusado de cultivar a feitiçaria. 
Eis como os historiadores narram esse curioso episódio: 
"Durante as guerras civis na França, os espanhóis serviam-se, para correspondência secreta, de 
um código em que figuravam cerca de 600 símbolos diferentes, periodicamente permutados segundo 
certa regra que só os súditos mais íntimos de Filipe II conheciam. Tendo sido, porém, interceptado um 
despacho secreto da Espanha, Henrique IV, rei da França, resolveu entregar a sua decifração ao gênio 
maravilhoso de Viète. E o geômetra não só decifrou o documento apreendido como descobriu a palavra 
escrita no código espanhol. E dessa descoberta os franceses se utilizaram, com incalculável vantagem, 
durante dois anos. 
Quando Filipe II soube que seus inimigos haviam descoberto o segredo do código tido até então 
como indecifrável, foi presa de grande espanto e rancor, apressando-se em levar ao papa Gregório XIII 
31 
a denúncia de que os franceses, "contrariamente à pratica da fé cristã", recorriam aos sortilégios diabó-
licos da feitiçaria, denúncia a que o sumo pontífice não deu a mínima atenção. 
Não deixa, porém de ser curioso o fato de ter sido Viète, por causa de seu talento matemático, 
incluído entre os magos e feiticeiros de seu tempo." 
Fonte: SOUZA, Júlio César de Mello. Matemática Divertida e Curiosa. 15ª edição. São Paulo: Record, 2001. 
 
Texto 17 - Poesia Matemática 
Às folhas tantas 
do livro matemático 
um Quociente apaixonou-se 
um dia 
doidamente 
por uma Incógnita. 
Olhou-a com seu olhar inumerável 
e viu-a do ápice à base 
uma figura ímpar; 
olhos rombóides, boca trapezóide, 
corpo retangular, seios esferóides. 
Fez de sua uma vida 
paralela à dela 
até que se encontraram 
no infinito. 
"Quem és tu?", indagou ele 
em ânsia radical. 
"Sou a soma do quadrado dos catetos. 
Mas pode me chamar de Hipotenusa." 
E de falarem descobriram que eram 
(o que em aritmética corresponde 
a almas irmãs) 
primos entre si. 
E assim se amaram 
ao quadrado da velocidade da luz 
numa sexta potenciação 
traçando 
ao sabor do momento 
e da paixão 
retas, curvas, círculos e linhas sinoidais 
nos jardins da quarta dimensão. 
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana 
e os exegetas do Universo Finito. 
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas. 
E enfim resolveram se casar 
constituir um lar, 
mais que um lar, 
um perpendicular. 
Convidaram para padrinhos 
o Poliedro e a Bissetriz. 
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro 
32 
sonhando com uma felicidade 
integral e diferencial. 
E se casaram e tiveram uma secante e três cones 
muito engraçadinhos. 
E foram felizes 
até aquele dia 
em que tudo vira afinal 
monotonia. 
Foi então que surgiu 
O Máximo Divisor Comum 
frequentador de círculos concêntricos, 
viciosos. 
Ofereceu-lhe, a ela, 
uma grandeza absoluta 
e reduziu-a a um denominador comum. 
Ele, Quociente, percebeu 
que com ela não formava mais um todo, 
uma unidade. 
Era o triângulo, 
tanto chamado amoroso. 
Desse problema ela era uma fração, 
a mais ordinária. 
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade 
e tudo que era espúrio passou a ser 
moralidade 
como aliás em qualquer 
sociedade. 
Texto extraído do livro "Tempo e Contratempo", Edições O Cruzeiro - Rio de Janeiro, 1954, pág. sem número, publicado com o pseudônimo de 
Vão Gogo (Millôr Fernandes). 
 
Texto 18 - A fórmula é de Bhaskara? 
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula da equação do segundo grau se estabeleceu 
no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara 
para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado pois: 
 Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase quatro mil anos atrás, 
em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era uma receita (escrita em prosa, 
sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos 
com coeficientes numéricos. 
 Bhaskara que nasceu na Índia em 1114 e viveu até cerca de 1185 foi um dos mais importantes mate-
máticos do século 12. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati (“bela”) e Vija-
ganita (“extração de raízes”), que tratam de aritmética e álgebra respectivamente, e contêm numero-
sos problemas sobre equações lineares e quadráticas (resolvidas também com receitas em prosa), 
progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros. 
 Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do segundo 
grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso 
começou a ser feito a partir de François Viète, matemático francês que viveu de 1540 a 1603. 
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto 
atribuir a elea conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau. 
33 
Fontes: 
BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo, Edgar Blucher, 1974. 
EVES, H. Introdução a História da Matemática. São Paulo. Editora da Unicamp, 1995. 
A Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática. SBM, 1996 
 
Texto 19 - Os advogados e a Matemática 
François Viète (1562-1603) foi um advogado francês que serviu como conselheiro na corte dos 
reis Henrique III e Henrique IV. Apesar de sua profissão, Viète escreveu diversos tratados sobre Astro-
nomia e Trigonometria, nos quais utilizou frações decimais (vinte anos antes da publicação do artigo de 
Simon Stevin que difundiu o seu uso) e observou que as órbitas dos planetas eram elipses (quarenta 
anos antes de Kepler). Numa certa ocasião, um matemático holandês desafiou os matemáticos da Eu-
ropa a resolver uma dada equação de grau 45. Ao ser apresentado à tal equação, Viète a converteu num 
problema de Trigonometria e obteve a solução – correta – em questão de minutos. Sua maior contribui-
ção, no entanto, foi a introdução de letras para representar variáveis e constantes em problemas e equa-
ções. Por causa disso, esse advogado é considerado por muitos o pai da Álgebra Moderna e o maior 
matemático do século 16. 
Pierre de Fermat (1601-1665) também foi um advogado francês que serviu no Parlamento de 
Toulouse. De seu trabalho jurídico pouco se sabe. Por outro lado, nas horas vagas, Fermat inventou um 
método para achar máximos e mínimos de funções reais que é essencialmente aquele ensinado atual-
mente nos cursos de cálculo diferencial. 
Além disso, foi um dos pioneiros no desenvolvimento da Geometria Analítica, da Teoria das Pro-
babilidades e da Ótica Geométrica. Sua paixão, entretanto, era a Teoria dos Números. Devido às suas 
inúmeras descobertas nessa área, o advogado Pierre de Fermat é considerado, com justiça, o fundador 
da moderna Teoria dos Números. 
Se não foi o maior matemático do século 17, Fermat deve estar entre os três ou quatro maiores. 
Seus competidores são Isaac Newton (1642-1727), Gottfried Leibniz (1646-1716) e René Descartes 
(1596-1650). Newton dispensa maiores comentários, exceto pela observação de que, ao ingressar na 
Universidade de Cambridge em 1661, pretendia estudar Filosofia, Leis, etc. 
Leibniz possuía diversos interesses intelectuais. Em Matemática, sua maior contribuição foi, sem 
dúvida, o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral. O que nos interessa aqui, entretanto, é o 
fato de Leibniz ter obtido um doutorado em Direito pela Universidade de Nuremberg em 1666. 
A fama de Descartes deve-se principalmente a seus escritos filosóficos. No entanto, ele foi o in-
ventor da Geometria Analítica, a disciplina que estabeleceu a ponte entre a Geometria e a Álgebra e, 
assim, viabilizou a revolução matemática que foi a criação do Cálculo. Apesar de nunca ter exercido 
nenhuma profissão na área jurídica, Descartes se formou em direito pela Universidade de Poitiers em 
1616. 
Podemos citar ainda Arthur Cayley (1821-1895), que se dedicou ao Direito durante 14 anos an-
tes de assumir uma cátedra de Matemática na Universidade de Cambridge. Durante esses 14 anos, em-
bora exercesse com sucesso a profissão de advogado, publicou mais de 200 trabalhos de Matemática, 
abrangendo grupos finitos, curvas algébricas, matrizes, determinantes, invariantes algébricos e outros 
temas. Após esse período, com significativo prejuízo financeiro, abandonou o Direito e dedicou-se ape-
nas à Matemática. 
Os exemplos anteriores sugerem duas perguntas: 
1. Dado que Direito e Matemática são duas disciplinas tão diferentes e distantes uma da outra, como 
explicar os exemplos acima, de advogados (ou, pelo menos, pessoas formadas ou interessadas em 
Direito) que se revelam matemáticos de primeira grandeza? 
2. Por que hoje em dia é comum encontrar advogados que admitem detestar a Matemática e também 
jovens que só escolhem cursar uma faculdade de Direito para que nunca mais precisem abrir um 
livro ou assistir a uma aula sequer de Matemática? 
34 
A primeira pergunta começa com uma premissa falsa ou, na melhor das hipóteses, questionável. 
De fato, um exame superficial dos objetivos e da forma como são praticados o Direito e a Matemática 
mostra que essas duas áreas têm muito em comum. 
O objetivo do advogado é defender da melhor forma possível os direitos e interesses do cliente. 
Para isso, o advogado não só deve conhecer muito bem as leis, as doutrinas e a jurisprudência relativas 
ao seu ramo do Direito, mas também deve exercitar sua criatividade e seu raciocínio lógico-dedutivo a 
fim de elaborar contratos e desenvolver argumentos que consigam, ao mesmo tempo, atender às neces-
sidades do cliente e respeitar as leis vigentes. 
O objetivo do matemático é descobrir e demonstrar novos teoremas que devem ser consequên-
cias lógicas dos axiomas e de teoremas já demonstrados. Para conseguir demonstrar um novo teorema, 
o matemático não só deve conhecer muito bem os axiomas e teoremas já estabelecidos no seu ramo da 
Matemática, mas também deve exercitar sua criatividade e seu raciocínio lógico-dedutivo a fim de de-
senvolver argumentos que estabeleçam a veracidade do teorema e que, de preferência, sejam simples e 
elegantes. 
Assim, considerando essa semelhança entre o Direito e a Matemática, talvez já não seja mais tão 
surpreendente o fato de que advogados como Viète e Fermat também tenham sido matemáticos de mão 
cheia. Afinal, em suas carreiras jurídicas, ambos devem ter tido uma longa prática inventando e desen-
volvendo argumentos engenhosos e originais (criatividade), além de impecáveis (raciocínio lógico-de-
dutivo), a partir de axiomas e teoremas já existentes. Só que, no caso deles, enquanto advogados, esses 
axiomas e teoremas eram chamados de leis, doutrinas e jurisprudência. 
E quanto à segunda pergunta? Se, de fato, Direito e Matemática têm semelhanças por enfatizarem 
a criatividade e a lógica, como explicar a aversão que vários advogados e candidatos ao curso de Direito 
têm pela Matemática? 
A resposta está, talvez, no que essas pessoas entendem por Matemática. E voltamos ao problema 
da Matemática dos ensinos fundamental e médio, que, em vez de incentivar a criatividade, a experimen-
tação e o raciocínio, enfatiza mais as atividades mecânicas e repetitivas. Assim, muitos estudantes inte-
ligentes, curiosos e inventivos acabam desnecessariamente buscando refúgio em cursos universitários 
e profissões nos quais não precisem lidar com a enfadonha Matemática das contas intermináveis, dos 
problemas sem sentido e da “decoreba”. 
E continuaremos encontrando em várias profissões pessoas que, por nunca terem sido expostas 
à verdadeira Matemática, desconhecem seu eventual potencial nessa área e acreditam nunca terem tido 
“jeito para Matemática”. 
Fonte: BUFFARA, Antonio Cláudio Lage. Revista do Professor de Matemática, nº 73. Disponível em: <http://rpm.org.br/cdrpm/73/8.html>. 
Acesso em: 03 abr. 2017. 
 
 
 
35 
MATEMÁTICA DO COTIDIANO 
São textos mostrando a matemática envolvida no dia-a-dia das pessoas. 
 
Texto 20 - Receita de massa de pizza 
 
 
Texto 21 - Grupos sanguíneos e o Diagrama de Venn 
Entre os sistemas de grupos sanguíneos que podem ser identificados nos seres humanos, des-
taca-se o sistema ABO, do qual fazem parte os grupos sanguíneos A, B, AB e O. 
A classificação do tipo sanguíneo de um indivíduo em um desses grupos é realizada com base 
nos antígenos A e B que podem estar presentes em suas hemácias. O indivíduo que possui apenas 
antígeno A apresenta o tipo sanguíneo A, o que possui apenas antígeno B apresenta o tipo B, aquele que 
possui antígenos A e B apresenta o tipo AB e o indivíduo que não possui antígeno A nem antígeno B 
apresenta tipo sanguíneo O. 
Esquematicamente, o sistema sanguíneo ABO pode ser representado por meio de um diagrama 
de Venn, do seguinte modo. 
 
Além de determinar o tipo sanguíneo de um indivíduo, a presença ou ausência de antígenos em 
suashemácias estimula a produção de anticorpos no plasma sanguíneo. Observe o quadro. 
36 
 
Conforme pode ser observado, os anticorpos são produzidos contra os antígenos que o sangue 
não possui. Portanto, em uma transfusão sanguínea, o indivíduo não pode receber sangue com antíge-
nos diferentes dos que estão presentes em suas hemácias. Por esse motivo, os indivíduos do grupo san-
guíneo AB são considerados receptores universais s e os indivíduos do grupo sanguíneo O, doadores 
universais. 
O esquema abaixo ilustra as transfusões possíveis entre pessoas dos diferentes grupos sanguí-
neos. 
 
 Antígenos: Substâncias ou micro-organismos que ao penetrar no corpo de um indivíduo desencadeiam a produção de 
anticorpos. 
 Hemácias: Células sanguíneas cuja função principal é transportar oxigênio dos pulmões aos tecidos. 
 Anticorpos: Proteínas sanguíneas cuja função é reconhecer os antígenos e ligar-se a eles de modo a auxiliar o sistema 
imunológico do organismo a destruí-los. 
Fonte: SOUZA, Joamir Roberto de. Coleção Novo Olhar. Matemática. 1 ed. São Paulo: FTD, 2010. p. 21. 
 
37 
Texto 22 - Quanto dinheiro existe no mundo? 
 Temos duas respostas para a pergunta. A quantidade de dinheiro existente no mundo hoje pode 
ser a soma do PIB (Produto Interno Bruto) de todos os países do mundo, ou seja, US$ 50 trilhões, de 
acordo com dados do Banco Mundial. O Brasil colabora com cerca de US$1,5 trilhão e os EUA, com apro-
ximadamente US$ 15 tri. “O PIB mede o que chamamos de economia real, é um cálculo complicado com-
posto pelo consumo das famílias, investimento de empresas, gasto dos governos e o saldo da balança 
comercial [a diferença entre exportações e importações] dos países”, diz o professor de estratégia eco-
nômica do Insper (Instituto de Ensino e Pesquisa) e doutor em economia, Daniel Motta. 
A outra resposta para esta pergunta é US$ 170 trilhões. Esse número é quase 350% maior do 
que o PIB mundial. “Ele representa o total de ativos existentes no mundo, é o dinheiro que gira”, diz 
Motta. Essa estimativa é calculada com base em quatro dados: o valor total dos depósitos bancários, 
fornecido pelos bancos; o valor do títulos públicos e dos privados (dívidas de governos e empresas) e o 
valor atual de todas as ações no mercado. 
Mas e aí, qual destes valores é mais confiável? O mercado financeiro, contemplado no valor dos 
ativos, fica de fora do PIB. “O valor dos ativos é mais confiável e fácil de calcular porque depende do 
valor das taxas de juros dos títulos, de dados fornecidos por bancos e pela associação das bolsas de 
valores do mundo, a World Exange Federation. Já o PIB depende muito da metodologia de medição uti-
lizada por cada país, é uma hipótese, difícil de confiar.”, diz o economista. 
Fonte: Revista Galileu. Disponível em: < http://revistagalileu.globo.com/Revista/Common/0,,EMI122321-17775,00.html>. Acesso em: 03 abr. 
2017. 
 
Texto 23 - A Matemática dos dentes 
Se dissermos que o ser humano tem, já teve ou terá vinte, trinta, 32 ou zero dentes na boca, você 
acreditaria? 
Você pode acreditar nessa afirmação e vamos esclarecer melhor no texto que aqui elaboramos. 
Quando é que se tem 20 dentes? 
Quando criança, temos um total de vinte dentes na boca, dez no arco superior (maxila) e dez no 
arco inferior (mandíbula). São os dentes decíduos ou de leite. Esses dentes são divididos por grupo 
conforme a sua função em incisivos, caninos e molares. Os dentes incisivos, num total de oito dentes, 
cortam os alimentos. Se procurar no dicionário a palavra incisar, da qual origina o nome incisivo, en-
contrará como resposta o significado “cortar”. Os caninos, considerados os dentes da esquina, por se-
parar os dentes anteriores dos posteriores, tem a forma de lança e exerce a função de perfurar e rasgar 
os alimentos. São quatro dentes, dois superiores um de cada lado e dois inferiores, um do lado direito e 
outro do lado esquerdo. São conhecidos como “presas.” Os molares, num total de oito dentes, quatro em 
cada arco e dois em cada lado, concluem a preparação do bolo alimentar ao triturar o alimento como 
em um pilão. Dos seis aos doze anos esses dentes decíduos são trocados pelos dentes permanentes. 
Todos esses dentes decíduos tem a função de estimular o crescimento adequado dos ossos da face e 
manter a qualidade dos dentes permanentes. 
Incisivos  8 dentes 
Caninos  4 dentes 
Molares  8 dentes 
 TOTAL = 20 dentes 
Quando é que se tem 28 ou 32 dentes? 
38 
Por volta dos seis a sete anos de idade os dentes decíduos começam a ser trocados pelos dentes 
permanentes e no lugar dos molares decíduos nascem os Pré Molares. Os pré molares são os dois dentes 
imediatamente após o canino e exercem a função de quebrar o alimento como um martelo. Os molares 
permanentes, num total de doze dentes, seis em cada arco e três em cada lado, concluem a preparação 
do bolo alimentar ao triturar o alimento como em um pilão. O terceiro molar (3º M) é o dente Siso, dente 
do juízo. A ausência dos quatro sisos, por alguma causa, é o fator responsável por não ter os 32 dentes 
na boca. 
Incisivos  8 dentes 
Caninos  4 dentes 
Pré-Molares  8 dentes 
Molares  12 dentes 
 TOTAL = 32 dentes 
Quando são 26 ou 31, você errou a conta? 
Não, mas nestes casos, ou algum outro diferente é sempre adequado procurar um cirurgião den-
tista para avaliar se está tudo em normalidade. A falta de um elemento dentário impede o desenvolvi-
mento adequado dos maxilares e predispõe à incorreta função e posicionamento muscular. Desequilí-
brios musculares prejudica a mastigação, fonação e deglutição, além de, influenciar na articulação têm-
poro-mandibular (ATM), provocando dores na face e no corpo, interferindo na postura corporal. 
A ausência dentária pode ser causada devido uma alteração genética, na qual você tem o dente 
de leite, entretanto, não há o germe dental para o dente permanente. Esse acontecimento é chamado de 
agenesia dentária ou ausência congênita. 
Outro problema seria a falta do dente na boca, porém, houve o desenvolvimento do germe den-
tário. O espaço inadequado da arcada dentária impede que os dentes nasçam passivamente, permane-
cendo inclusos no osso ou semi-inclusos, porém em posição errada. 
Quando é que a soma total dos dentes é igual a zero? 
Do nascimento até os seis meses de idade a ausência dos dentes na boca é total. Depois nascem 
os dentes decíduos (de leite) e em torno dos sete anos nascem os permanentes que deveriam permane-
cer por toda a vida de uma pessoa. Historicamente, acreditava-se que ao envelhecer os dentes também 
envelheciam e caíam. Nesse caso, voltava-se a ficar sem nenhum dente. 
Estamos em pleno século XXI, os tempos evoluíram e sabemos que podemos manter todos os 
dentes na boca, caso vivamos até os 120 ou 150 anos. Podemos perguntar: Por que a maioria das pes-
soas que estão no processo de envelhecimento já tem perda parcial e/ou total de seus dentes? 
Seria em função da falta de conhecimento sobre a importância dos dentes e a desmotivação de 
tê-los; a falha em hábitos de higiene bucal predispondo a cárie e doença periodontal (inflamação inicial 
na gengiva, que pode agravar estendendo a inflamação ao osso e ligamentos de suporte dos dentes); 
inadequada alimentação, incluindo doces e bebidas ácidas; hábitos deletérios, como objetos entre os 
dentes, piercing na boca; trauma por acidentes provocando a avulsão dentária; e a falta de visitas pe-
riódica à consultas com um cirurgião dentista. 
Os dentes tem funções primordiais para o bem psicossocial do indivíduo, em harmonia com fo-
nação, mastigação e estética. A ausência dentária interfere na dieta, e como consequência, no estado 
nutricional. Outras consequências são a atrofia óssea pela perda do osso alveolar, mal posicionamento 
dentário, desconforto oclusal tendenciando à desequilíbrio da posição maxilo mandibular, bruxismo, 
ou seja, provoca um desequilíbrio não só na boca, mas, em todo o corpo. 
Podemos consertar a matemática dos dentes? 
Retornar aos dentes naturaisainda é impossível, porém, a odontologia dispõe-se de ferramentas 
para a reabilitação oral e ao retorno de dentes sintéticos. Essa medida depende do planejamento do 
dentista, assim como, da escolha do paciente, envolvendo a opção de gosto e também das condições 
financeiras. 
39 
Esse processo tem o objetivo de devolver a função dos dentes, sua engrenagem anatômica e criar 
uma estética satisfatória. Inúmeras são as opções para a reabilitação e o seu planejamento dependerá 
do tipo de edentulismo (ausência de dentes): parcial ou total. Na primeira hipótese indica-se próteses 
parcial removíveis (perereca), implantes, próteses fixas envolvendo pônticos e adesiva (colagem de um 
dente de estoque em dentes naturais contíguos) e attachments (encaixes). Em um desdentado total há 
a opção de próteses totais removíveis (dentadura) e implantes como o protocolo (fixa) ou a overdenture 
(presa por implante, porém, removível). 
Qual matemática escolher? 
Nada substitui o dente natural, desde sua performance até sua durabilidade. A primeira opção é 
cuidar para manter todos os dentes na boca, porém, se não foi possível, é importante reabilitar. 
Como um velho ditado, a saúde começa pela boca. Desta forma, cuide da sua saúde, faça hábitos 
de higiene bucal e faça sempre uma avaliação anual com um dentista, pois, é melhor prevenir do que 
remediar. 
A Matemática e a Odontologia 
A Matemática serve ao dentista para calcular composições de amálgamas, posologias, doses de 
anestésicos e também para auxiliar no dimensionamento de próteses e aparelhos corretivos. A Mate-
mática também é usada para implantodontistas, ortodoncistas e especialista em dentística e estética. 
No caso da ortodontia, os brackets são colados nos dentes com uma angulação e uma distância especial, 
e nos casos estéticos também é fundamental porque ao refazer um dente, terá que avaliar o tamanho 
de todos parta preencher e deixar no mesmo nível dos demais dentes. 
Curiosidades da Odontologia 
A história do tratamento dentário e antiga, a registro, em que, 5000 a.C., gregos, romanos, sumé-
rios, e egípcios, já se conheciam algumas causas das dores nos dentes. 
No início quem fazia esse trabalho era barbeiros ou ambulantes, em lugares mal higienizados e 
precários. A odontologia, como ciência, começou sendo ligada com a medicina, mas devido a evolução 
das técnicas na área, foi permitida a diferenciação entre as duas ciências. 
No século XVIII, o francês Pierre Fauchard, considerado pai da odontologia, inovou ao inventar 
o “pivot” e no desenvolvimento das dentaduras. 
A primeira escola dentária foi fundada em 1840, em Baltimore, nos EUA. 
No Brasil a criação de cursos odontológicos se deu em 1884, nas faculdades de medicina do Rio 
de Janeiro e da Bahia. 
Fonte: OLIVEIRA, Terezinha Rezende Carvalho de. Matemática dos dentes: 20; 28; 32 ou zero?. Portal Educação. Disponível em: 
<https://www.portaleducacao.com.br/conteudo/artigos/odontologia/matematica-dos-dentes-20-28-32-ou-zero/56673>. Acesso em: 04 abr. 
2017. 
