2022 6 Estatistica

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> ATIVIDADES RESOLVIDAS
 1. Uma urna contØm �� bolas idŒnticas, numeradas de � a ��. 
Retira-se uma bola ao acaso e observa-se o nœmero indicado.
Descreva, de forma explícita, os conjuntos indicados em cada 
item a seguir e dŒ o nœmero de elementos de cada um.
a) O espaço amostral U.
b) O evento A, em que o nœmero da bola Ø ímpar.
c) O evento B, em que o nœmero da bola Ø maior do que �.
Resoluçªo
a) O conjunto de todos os resultados possíveis Ø representado pelo seguinte espaço amostral: 
U = {�, �, �, �, �, �, �, �, �, ��}. Logo, n(U) = ��.
b) Se o nœmero da bola Ø ímpar, temos o evento: A = {�, �, �, �, �}. Logo, n(A) = �.
c) Se o nœmero da bola Ø maior do que �, temos o evento: B = {�, �, �, ��}. Logo, n(B) = �.
 2. Em um cesto hÆ seis bolas de vôlei: trŒs brancas e trŒs vermelhas. Desse cesto, sªo retiradas, suces-
sivamente, trŒs bolas. Calcule o nœmero de elementos dos eventos a seguir.
a) As trŒs bolas tŒm a mesma cor.
b) Duas das bolas sªo brancas.
c) As trŒs bolas sªo vermelhas.
d) O nœmero de bolas brancas Ø igual ao nœmero de bolas vermelhas.
Resoluçªo
Chamando a bola branca de B, a vermelha de V 
e construindo a Ærvore das possibilidades, temos:
O espaço amostral desse experimento Ø:
U = {(BBB), (BBV), (BVB), (BVV), (VBB), (VBV), (VVB), 
(VVV)}; n(U) = �
a) Se as trŒs bolas tŒm a mesma cor, o evento 
Ø: A = {(BBB), (VVV)} e n(A) = �.
b) Se duas das bolas sªo brancas, temos: 
B = {(BBV), (BVB), (VBB)} e n(B) = �.
c) O evento em que trŒs bolas sªo vermelhas Ø: C = {(VVV)} e n(C) = �.
d) Observando o espaço amostral, verificamos que em qualquer resultado possível o nœmero de 
bolas brancas nunca Ø igual ao nœmero de bolas vermelhas. Logo, esse evento Ø representado 
pelo conjunto vazio: D = @ e n(D) = �.
 3. Considere o lançamento de dois dados, um branco e um vermelho, e os eventos A: sair � no dado 
branco e B: sair � no dado vermelho. Calcule:
a) A ’ B b) A " B
Resoluçªo
Vamos descrever os elementos de cada um dos eventos.
A = {(�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �)} B = {(�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �)}
a) A ’ B = {(�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �)}
b) A " B = {(�, �)}
� a bola�a bola � a bola Resultados
B
V
B BV
B B B
B B V
V
B
V
B
V
B V B
B V V
B
V
V B B
V B V
B
V
V V B
V V V
5
1 7 2 8
9 10 4 6 3
E
D
IT
O
R
IA
 D
E
 A
R
T
E
114
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 1. Considere o experimento: lançamento de dois 
dados, um branco e outro verde, ambos com 
as faces numeradas de 1 a 6, e a observação 
das faces superiores. Determine:
a) o espaço amostral;
b) o evento: ocorrência de números iguais nos 
dois dados;
c) o evento: ocorrência de números cuja soma 
seja 5;
d) o número de elementos de cada item 
anterior.
 2. Considere a extração, ao acaso, de uma carta de 
um baralho completo com 52 cartas diferentes.
	■ Os quatro naipes de um 
baralho com 52 cartas.
Dê exemplo de dois eventos: 
a) impossíveis; 
b) complementares. 
 3. Em uma caixa há cinco fichas numeradas de 1 
a 5. Retiram-se duas delas ao acaso e calcula-
-se a soma dos números escritos. Determine 
os eventos para obter uma soma:
a) par e múltipla de 3; {(1, 5), (2, 4)} 
b) ímpar ou múltipla de 3;
c) múltipla de 7. {(2, 5), (3, 4)}
 4. Uma moeda e um dado cujas faces são nume-
radas de 1 a 6 são lançados simultaneamente 
e, em seguida, observam-se as faces superio-
res. Determine:
a) o espaço amostral desse experimento;
b) o evento: sai "cara" e número ímpar;
c) o evento: sai "coroa" e número par.
 5. Considere o lançamento de três dados, com as 
faces numeradas de 1 a 6. Determine o núme-
ro de possibilidades dos seguintes eventos:
a) Soma dos números das faces superiores 
dos três dados igual a 3. 1 possibilidade
b) Soma dos números das faces superiores 
dos três dados igual a 10. 27 possibilidades
Ver as Orientações 
para o professor.
Ver as Orientações para o professor.
Ver as Orientações para 
o professor.
{(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 5), 
(3, 4), (1, 5), (2, 4), (4, 5)}
Ver as Orientações para o professor.
> ATIVIDADES NÃO ESCREVA NO LIVRO
 6. Dê o espaço amostral dos seguintes 
experimentos:
a) Lançamento simultâneo de três moedas. 
(Considere C = cara, K = coroa.)
b) Distribuição dos quatro filhos de uma família, 
quanto ao gênero, por ordem de nascimento.
 7. Os experimentos de Mendel, que vimos na 
abertura do Capítulo, foram importantes 
para entender como ocorre a transmissão de 
características determinadas geneticamente. 
Podemos prever, por exemplo, como serão 
os pelos de uma ninhada de coelhos apenas 
conhecendo os pais.
Os genes que determinam a pelagem dos coe- 
lhos são chamados de c+, cch, ch e c. A combi-
nação de dois desses quatro genes indica a 
cor dos pelos, sendo que cada gene vem de 
um dos pais. Assim, temos:
Se o coelho tem as 
combinações de genes
O pelo dele será 
do tipo
c+c+ou c+cch ou c+ch ou c+c Selvagem ou aguti
cchcch ou cchch ou cchc Chinchila
chch ou chc Himalaio
cc Albino
Sabendo disso, podemos fazer uma previsão do 
cruzamento para determinar as possibilidades 
de tipo de pelagem em cada filhote e a proba-
bilidade de cada tipo. Por exemplo, vamos fazer 
essa análise para um filhote que ainda nascerá, 
sabendo que seu pai tem pelagem selvagem 
c+cch e sua mãe tem pelagem himalaio chc.
Desse modo, o espaço amostral para esse 
caso é U = {(c+ch), (c+c), (cchch), (cchc)}.
Ver as Orientações 
para o professor.
ch c
c+ c+ch c+c
cch cchch cchc
genes da mãe
genes 
do pai
duas possibilidades 
em quatro de o 
filhote ter pelagem 
do tipo selvagem. 
duas possibilidades em quatro de o 
filhote ter pelagem do tipo chinchila.
Agora, elabore uma atividade com essas in-
formações e troque com um colega. Resolva 
a dele e corrija a que foi feita por você. 
Elaboração do estudante.
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U
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115
D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 115D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 115 16/09/20 20:4316/09/20 20:43
Probabilidade
Considere as seguintes situações.
1a situação: No lançamento de um dado comum, com as faces numeradas de um a seis, a 
probabilidade de sair o número 3 é menor do que a probabilidade de sair o número 5?
Espaço amostral: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Evento A: sair 3.
A = {3} h A é um evento simples.
• Evento B: sair 5.
B = {5} h B é um evento simples.
Portanto, a probabilidade de "sair 3" é de "1 em 6". A probabilidade de "sair 5" também é 
de "1 em 6".
Dizemos que a probabilidade de ocorrer o evento A é igual a 
1
6
 = 0,1666... ou, ainda, de 
16,66...%.
Analogamente, a probabilidade de ocorrer o evento B é igual a 
1
6
 ou, ainda, de 16,66...%.
Portanto, a probabilidade de sair 3 é igual à probabilidade de sair 5.
Para cada um dos outros números do espaço amostral, a probabilidade continua a mesma: 1
6
.
2a situação: No lançamento de uma moeda, qual é a probabilidade de sair "cara"?
Espaço amostral: U = {cara, coroa}
• Evento B: sair "cara".
B = {cara} h B é um evento simples.
Nesse caso, a probabilidade de "sair cara" é de "1 em 2", ou de 
1
2
 = 0,50, ou, ainda, de 50%.
Observe que a probabilidade de "sair coroa" também é de 
1
2
.
3a situação: No Campeonato Brasileiro de Futebol, após uma partida, há 
um sorteio para definir os jogadores que vão fazer o exame antidoping.O exame antidoping detecta, 
na urina de atletas, o uso e a 
quantidade de substâncias 
não autorizadas pela Agência 
Mundial Antidoping (AMA).
SAIBA QUE...
Suponha que após um jogo entre o Atlético Mineiro e o Vitória, um jogador de cada time, entre 
os 11 titulares e os 7 reservas, fossem sorteados.
Qual é a probabilidade de o goleiro titular do time do Vitória ser sorteado?
• Evento A: ser sorteado o goleiro titular do Vitória.
Como são 18 jogadores (11 + 7), temos n(U) = 18.
O goleiro titular é um entre os 18 jogadores, isto é, n(A)
= 1.
Então, a probabilidade de ele ser escolhido é de "1 em 18", ou seja, 1
1
18
0, 0555... ou, ainda, 
aproximadamente 5,5%.
Podemos observar que qualquer jogador da equipe terá a mesma probabilidade (5,5%) de ser 
escolhido para o exame antidoping.
	■ Escudos 
dos times 
Atlético 
Mineiro e 
Vitória.MA
XW
EL
L 
D
E 
AR
AU
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RO
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G
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ATLÉTICO MINEIRO VITÓRIA
116
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Considere um experimento aleatório em que, para cada um dos n eventos simples do espaço 
amostral U, a chance de ocorrência é a mesma. Nesse caso, os eventos são chamados de equi-
prováveis, e dizemos que o espaço amostral também é equiprovável, e a probabilidade de cada 
evento simples é 
1
n
.
Para um evento simples A, em que todos os eventos unitários possuem a mesma chance 
de ocorrer, indicamos a probabilidade de A por P(A) e temos: P(A) = 
1
( )n U
em que n(U) é o número de elementos do espaço amostral U.
4a situação: No lançamento de dois dados comuns, um branco e um vermelho, qual é a proba-
bilidade de a soma dos resultados dos dois dados ser maior do que 7?
Observe o espaço amostral U desse evento:
U = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), 
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
Como U é um espaço equiprovável e n(U) = 36, a probabilidade de cada evento simples é 
1
36
.
Vamos chamar de E o evento "A soma dos resultados dos dois dados é maior do que 7".
Tem-se E = {(2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}.
Logo, n(E) = 15.
Podemos entender P(E) como a soma das probabilidades dos 15 eventos simples, cuja probabi-
lidade é 1
36
.
P(E) = 
1
36
1
36
...
1
36
15
36
15 vezes
+ + + =
� ��������� ���������
 
A probabilidade do evento E é dada por: P(E) = 15
36
=
n E
n U
( )
( )
 
Dessa maneira, podemos ampliar a definição de probabilidade de um evento simples para a 
probabilidade de um evento qualquer P(A): P(A) = 
( )
( )
n A
n U
 
em que P(A) é a razão entre o número de elementos do evento A e o número de elementos do 
espaço amostral U.
Observações:
• A probabilidade de ocorrência de um evento A qualquer é um número de zero a um, ou seja, 
0 < P(A) < 1.
• A probabilidade é sempre calculada como uma fração e pode ser expressa na forma decimal 
ou em forma percentual. Exemplo:
P(E) = 
15
36
0, 421 , ou seja, P(E) 1 42%
• Note que P(vazio) = 0.
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• Se A é um evento impossível, então P(A) = 0.
• Se A é um evento certo, então P(A) = 1.
• Sejam A e A dois eventos complementares de um espaço amostral U; então, A " A = @ e 
A ' A = U. Assim, devemos ter: n(A) + n(A) = n(U)
Como n(U) 5 0: + =
n A
n U
n A
n U
n U
n U
( )( )
( ) ( )
( )
( ) h P(A) + P(A) = 1
P(A) + P(A) = 1
5a situação: Considere um conjunto de dez frutas, em que três estão estragadas. Escolhendo aleato-
riamente duas frutas desse conjunto, determine a probabilidade de ambas não estarem estragadas.
Seja U o número de maneiras de escolher duas frutas entre dez:
n(U) = C10, 2 = 
10
2
10!
2! 8!
10 9 8!
2 1 8!
= =
? ?
? ?
( )
( )




 = 45 , que é o número de elementos do espaço amostral.
Seja A o evento "ambas as frutas escolhidas não estão estragadas".
O cálculo do número de maneiras de escolher duas frutas não estragadas entre 7 (10 _ 3 = 7) é:
n(A) = C7, 2 = 
7
2
7!
2!5!
7 6 5!
2 5!
= =
? ?
?




 = 21
Logo, a probabilidade desse evento é: P(A) = 
21
45
=
n A
n U
( )
( ) h P(A) = 
7
15
 ou P(A) 1 47%.
Considere, também, o evento B: pelo menos uma fruta está estragada.
O evento B "pelo menos uma fruta está estragada" significa que ou uma fruta ou duas frutas 
devem estar estragadas.
O evento B é complementar do evento A (ambas as frutas escolhidas estão estragadas).
Assim, 
7
15
 + P(A) = 1 h P(A) = 1 _ 
7
15
 h P(A) = 
8
15
 ou P(A) 1 53%. Portanto, P(B) 1 53%.
6a situação: Em uma caixa foram colocadas cinco fichas numeradas de 5 a 9. Sorteando ao acaso, 
sem reposição, duas fichas, qual é a probabilidade de os números das fichas sorteadas serem 
consecutivos?
Saindo no primeiro sorteio o número 5 ou o 9, verificamos o seguinte:
• 5 – temos 1 possibilidade para o segundo sorteio (o número 6);
• 9 – temos 1 possibilidade para o segundo sorteio (o número 8).
Saindo no primeiro sorteio o número 6, ou o 7, ou ainda o 8, verificamos o seguinte:
• 6 – temos 2 possibilidades para o segundo sorteio (os números 5 e 7);
• 7 – temos 2 possibilidades para o segundo sorteio (os números 6 e 8);
• 8 – temos 2 possibilidades para o segundo sorteio (os números 7 e 9).
Logo, são 8 possibilidades de os números serem consecutivos em um total de 20 possibilida-
des (5 ? 4 = 20). Portanto, probabilidade de os números das fichas sorteadas serem consecutivos 
é 
8
20
 = 0,40 ou 40%.
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> ATIVIDADES RESOLVIDAS
 4. No lançamento de um dado comum, determi-
ne a probabilidade de se obter:
a) o número 2;
b) um número par;
c) um número múltiplo de 3.
Resolução
O espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e 
n(U) = 6.
a) A = {2}; portanto, n(A) = 1.
P(A) = 
1
6
=
n A
n U
( )
( ) 1 0,1667
P(A) 1 0,1667
P(A) 1 16,67%
b) B = {2, 4, 6}; portanto, n(B) = 3.
P(B) = 
3
6
1
2
= =
n B
n U
( )
( ) = 0,50
P(B) = 50%
c) C = {3, 6}; portanto, n(C) = 2.
P(C) = 
2
6
1
3
= =
n C
n U
( )
( ) 1 0,3333
P(C) 1 33,33%
 5. Uma confederação de futebol, em respeito ao 
Estatuto do Torcedor, realiza um sorteio para 
definir os árbitros das partidas de cada rodada 
do Campeonato Brasileiro de Futebol.
Observe a quantidade de árbitros, por estado, 
que entrou no sorteio para os jogos de deter-
minada rodada do campeonato.
 Quantidade de árbitros por estado
Estado SP RJ SC PR MG GO RS DF CE PA
Quantidade 
de árbitros 19 17 11 10 7 9 9 6 5 7
Fonte: Dados fictícios.
Para um jogo entre um clube do Rio de Janeiro 
e outro de Minas Gerais, qual é a probabilidade 
de o árbitro sorteado:
a) não ser originário dos estados desses clubes;
b) não ser paranaense.
Resolução
a) Temos 17 árbitros do estado do Rio de 
Janeiro e 7 árbitros de Minas Gerais.
Portanto, temos 76 árbitros possíveis: 
100 _ (17 + 7) = 76.
Consideremos o evento A: árbitro sorteado 
não ser originário dos estados desses clubes, 
temos P(B) = 
76
100
 = 76%.
b) Se o árbitro não for paranaense, temos:
n( )PR = 90, em que PR significa não ser do 
estado do Paraná (100 _ 10).
Assim, podemos concluir que a probabi-
lidade de o árbitro não ser paranaense é 
P( )PR = 
90
100
 = 90%.
 6. Considere os números de três algarismos dis-
tintos que podem ser formados pelos algaris-
mos 2, 3 e 4. Imagine que um desses números 
foi escolhido ao acaso e considere:
Evento A – o número sorteado é múltiplo de 3.
Evento B – o número sorteado é múltiplo de 5.
Qual é a probabilidade de ocorrer cada um 
desses eventos?
Resolução
Primeiro obtemos o espaço amostral desse 
experimento:
U = {234, 243, 324, 342, 423, 432}.
Logo, n(U) = 6.
Um número é múltiplo de 3 quando a soma 
dos valores de seus algarismos é divisível por 
3. Assim, os seis números formados são múl-
tiplos de 3, ou seja, A = U. Nesse caso, A é um 
evento certo e, portanto:
P(A) = 
6
6
=
n A
n U
( )
( ) = 1 ou P(A) = 100%
Por outro lado, entre os números formados 
não há múltiplos de 5, ou seja, números que 
terminam em 0 ou 5. Assim:
P(B) = 
0
6
=
n B
n U
( )
( ) = 0 ou P(B) = 0%
Portanto, P(A) = 1 e P(B) = 0.
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> ATIVIDADES NÃO ESCREVA NO LIVRO
 8. Uma caixa contém 30 bolas de madeira, 18 azuis 
e 12 amarelas, e todas elas têm o mesmo tama-
nho. Ao retirar uma bola qualquer dessa caixa, 
qual é a probabilidade de ela ser azul? E a pro-
babilidade de ser amarela?
 9. No lançamento de um dado de forma cúbica, 
com as faces numeradas de 1 a 6, determine a 
probabilidade de se obter:
a) o número 1; 1
6
 
b) um número primo; 
1
2 
c) um número divisível por 2; 
1
2 
d) um número menor do que 5; 2
3
 
e) um número maior do que 6. 0
 10. Com os algarismos 3, 5 e 7, formamos todos 
os números de três algarismos possíveis, sem 
repetição. Escolhendo um desses números ao 
acaso, qual é a probabilidade de essa escolha 
recair em um número:
a) múltiplo de 3? b) par? 0
 11. No lançamento simultâneo de dois dados co-
muns, um vermelho e outro branco, com as 
faces numeradas de 1 a 6, determine a proba-
bilidade dos seguintes eventos:
a) Os números são iguais. 1
6
 
b) A soma dos números é igual a 9. 1
9
 
c) A soma dos números é menor do que 4.
d) A soma dos números é igual a 8, e um dos 
dados apresenta o número 6.
 12. Um envelope contém fichas numeradas de 1 a 
20. Retirando-se uma ficha ao acaso, qual é 
a probabilidade de ocorrer um número:
a) ímpar?
b) maior do que 7?
c) múltiplo de 5?
d) divisível por 3?
 13. De um baralho de 52 cartas, tira-se ao acaso 
uma delas. Determine a probabilidade de a 
carta ser:
a) uma dama de qualquer naipe;
b) uma dama de paus;
c) uma carta de ouros;
d) uma figura.
P(azul) = 
3
5
; P(amarela) = 
2
5
 
1 ou 100%
1
12
1
18
1
2 13
20
1
5
3
10
1
131
521
43
13
 14. Em uma gaveta, há três canetas de tinta azul, 
duas de tinta preta, quatro de tinta verde e 
três que estão sem carga de tinta. Escolhendo 
uma dessas canetas ao acaso, determine a 
probabilidade de a caneta:
a) escrever em qualquer cor; 3
4
 
b) não escrever; 1
4
 
c) escrever em azul. 1
4
 
 15. (Enem/MEC) Em uma central de atendimen-
to, cem pessoas receberam senhas numera-
das de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada 
ao acaso. Qual é a probabilidade de a senha 
sorteada ser um número de 1 a 20? alternativa c
a) 
1
100
 
b) 
19
100
 
c) 
20
100
 
d) 
21
100
 
e) 
80
100
 
 16. Uma pesquisa apontou que a probabilidade 
de uma mulher fumante, com idade acima de 
40 anos, ter câncer é de aproximadamente 
75,6%. Qual é a probabilidade de uma mulher 
fumante, com mais de 40 anos, não ter câncer?
 17. Pedro utilizou um dado perfeito (não viciado) 
para fazer dois lançamentos sucessivos e multi-
plicar os números obtidos, e anotou o resultado 
do produto.
a) Quais números Pedro pode ter anotado?
b) Qual é a probabilidade de Pedro ter anotado 
o número 25?
c) Qual é a probabilidade de Pedro ter anotado 
um número ímpar?
d) Qual é a probabilidade de Pedro ter anotado 
um número par?
 18. Em um jogo, dois dados comuns de seis faces 
são lançados, e os números das faces supe-
riores são somados. Antes de um lançamento, 
Jaqueline apostou que a soma das faces supe-
riores seria igual a 7 ou 11. Qual é a probabili-
dade de o palpite de Jaqueline ocorrer? 2
9
 19. (UFAL) Considere que três vértices de um he-
xágono regular são escolhidos ao acaso. Qual 
a probabilidade de que os vértices escolhidos 
formem um triângulo retângulo? 3
5
 ou 60%
24,4%
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30 e 36
1
36
1
4
3
4
120
D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 120D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 120 16/09/20 20:3416/09/20 20:34
 20. (FGV-SP)
a) Quantos conjuntos de 3 letras distintas 
podem ser formados usando as letras da 
palavra INTEGRAL? 56
b) Qual a probabilidade de, escolhendo ao 
acaso um desses conjuntos, obtermos um 
que inclua a letra L? 3
8
 
 21. (Unifesp-SP) A figura indica seis tipos de to-
madas e os pinos projetados para nelas se 
encaixarem (1-A, 2-B, 3-C, 4-D, 5-E e 6-F). Além 
dessa correspondência, sabe-se que: 
• O pino A também se encaixa na tomada 2.
• O pino D também se encaixa nas tomadas 
3 e 5.
• O pino E também se encaixa nas tomadas 
3 e 4.
a) Sorteando-se aleatoriamente um tipo de 
pino e um tipo de tomada, qual é a proba-
bilidade de que o encaixe entre eles possa 
ser feito? 11
36
 
b) Sorteando-se aleatoriamente dois tipos de 
tomadas e dois tipos de pinos, qual é a pro-
babilidade de que seja possível conectar 
um deles a uma tomada e o outro a outra?
 22. (UFPE) Escolhendo aleatoriamente um dos 
anagramas da palavra COVEST, qual a proba-
bilidade de suas primeira e última letras serem 
consoantes? alternativa d
a) 
4
7
 
b) 
5
7
 
c) 
1
5
 
d) 
2
5
 
e) 
3
5
 
13
75
 23. (ITA-SP) Lançando três dados de 6 faces, nu-
meradas de 1 a 6, sem ver o resultado, você é 
informado de que a soma dos números obser-
vados na face superior de cada dado é igual 
a 9. Determine a probabilidade de o número 
observado em cada uma dessas faces ser um 
número ímpar. 7
25
 
 24. (UERJ) Em uma urna há sete bolinhas, sendo 
duas delas vermelhas e cinco azuis. Quatro do 
total de bolinhas serão sorteadas ao acaso.
Calcule a probabilidade de pelo menos uma 
das bolinhas sorteadas ser vermelha. 6
7
 
 25. (Enem/MEC) As 23 ex-alunas de uma turma 
que completou o Ensino Médio há 10 anos 
se encontraram em uma reunião comemo-
rativa. Várias delas haviam se casado e tido 
filhos. A distribuição das mulheres, de acordo 
com a quantidade de filhos, é mostrada no 
gráfico abaixo.
Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos 
dessas ex-alunas. A probabilidade de que a 
criança premiada tenha sido um(a) filho(a) 
único(a) é: alternativa e
a) 
1
3
 
b) 
1
4
 
c) 
7
15
 
d) 
7
23
 
e) 
7
25
 
U
N
IF
ES
O
U
ER
J
EN
EM
121
D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 121D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 121 16/09/20 20:4716/09/20 20:47
O desenvolvimento da 
Probabilidade e da Estatística
O interesse pelo estudo da probabilidade 
é bem antigo na história. Leia o texto a seguir e 
confira.
O Desenvolvimento da Probabilidade 
e da Estatística
[...]
A teoria da Probabilidade apareceu como ramo da 
Matemática em meados do século XV, embora tenha se 
iniciado como ciência empírica muito antes desse período. 
Suas raízes apareceram principalmente nos jogos e apostas. 
Há registros de que, por volta do 1200 a.C., um pedaço de osso do calcanhar (astra-
galus) fosse utilizado formando faces como as de um dado. Mesmo antes disso, por 
volta de 3500 a.C., no Egito, já havia jogos utilizando ossinhos. Os Romanos também 
eram apaixonados por jogos de dados e cartas que, durante a Idade Média, foram 
proibidos pela Igreja Cristã.
No século XVI, o matemático e jogador italiano, Jerónimo Cardano (1501-1576), decidiu 
estudar as probabilidades de ganhar em vários jogos de azar. Analisou seriamente 
as probabilidades de retirar ases de um baralho de cartas e de obter "setes" com dois 
dados e publicou os resultados dessas pesquisas em um manual para jogadores chamado 
"Liber de Ludo Aleae" (O livro dos jogos de azar – 1526).
Cardano é considerado iniciador da teoria das probabilidades, pois foi o primeiro 
a fazer observações do conceito probabilístico de um dado honesto e a escrever um 
argumento teórico para calcular probabilidades. Ele afirmou que, ao jogar dados, a 
chance de se obter um, três ou cinco era a mesma de se obter dois, quatro ou seis.
Apesar disso, muitos autores atribuem a origem dessa teoria às correspondên-
cias trocadas entre Pascal e Fermat em que falavam do objetivo de se obter solução 
dos problemas de jogos de azar propostos, em 1653, por Chevalier de Méré, conhe-
cido como filósofo do jogo que também interessou-se pelo uso da Matemática para 
determinar as apostas nos jogos de azar.
[...]
LOPES, C. E.; MEIRELLES, E. O desenvolvimento da Probabilidade e da Estatística. In: XVIII ENCONTRO REGIONAL DE 
PROFESSORES DE MATEMÁTICA. Anais [...]. Campinas: Unicamp,
2005. Disponível em:
http://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc02_b.pdf. Acesso em: 27 jul. 2020.
> HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
■ Busto do matemático italiano 
Jerónimo Cardano.
MATEMÁTICA multimídia: história da estatística. Campinas: Unicamp. Podcast. 
Disponível em: https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1252. Acesso em: 29 jun. 2020.
PARA
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é bem antigo na história. Leia o texto a seguir e 
A teoria da Probabilidade apareceu como ramo da 
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http://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc02_b.pdf
https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1252
Probabilidade da união de dois eventos
Vamos estudar, agora, algumas situações em que há a probabilidade de ocorrência de duas 
condições separadas e a de ocorrência dessas condições simultaneamente.
Considere o lançamento de um dado comum. Vamos estudar a probabilidade de ocorrência 
de três eventos distintos. Qual é a probabilidade de sair a face com:
a) um número par?
O espaço amostral para o lançamento de um dado é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(U) = 6.
Assim, sendo A: um número par, temos A = {2, 4, 6} e n(A) = 3.
Logo, P(A) =
3
6
1
2
= =
n A
n U
( )
( ) .
b) um múltiplo de 3?
O conjunto formado pelos elementos que compõem o evento B: múltiplo de 3 é composto 
de apenas dois elementos: B = {3, 6}.
Assim, P(B) =
2
6
1
3
= =
n B
n U
( )
( ) .
c) um número par ou múltiplo de 3?
Vamos considerar o evento C: número par ou múltiplo de 3.
Para responder a essa questão, precisamos considerar os elementos pertencentes aos eventos A e 
B; porém, precisamos desconsiderar casos repetidos. Aqui, o número 6 é, ao mesmo tempo, 
par e múltiplo de 3.
Assim, P(C) = = =
4
6
2
3
n C
n U
( )
( ) .
Acompanhe a análise de uma situação, que envolve uma pesquisa sobre a preferência entre 
dois jornais. Nessa pesquisa, 470 pessoas foram consultadas, e o resultado foi este: das 470 
pessoas, 250 leem o jornal A, 180 leem o jornal B, e 60 leem ambos os jornais. Escolhendo um 
dos entrevistados ao acaso, vamos verificar a probabilidade de ele ser:
a) leitor dos jornais A e B;
Vamos construir um diagrama em que os leitores do jornal A são representados pelo conjunto A, 
os leitores do jornal B, pelo conjunto B, e todas as pessoas envolvidas na pesquisa, nosso espaço 
amostral, pelo conjunto U. Temos:
A B
100
120190 60
U
ED
IT
O
RI
A 
D
E 
AR
TE
123
D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 123D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 123 16/09/20 20:3416/09/20 20:34
Como 60 pessoas leem ambos os jornais, indicamos 60 na intersecção de A com B. 
Se 250 leem o jornal A, indicamos 190 (250 _ 60 = 190) na parte de A do conjunto 
que não está em B. Se 180 leem o jornal B, indicamos 120 (180 _ 60 = 120) na parte 
de B do conjunto que não está em A. Como foram consultadas 470 pessoas, e já indi-
camos 370 (190 + 60 + 120 = 370), concluímos que 100 pessoas não leem nenhum 
dos dois jornais. Assim, a probabilidade de que a pessoa leia ambos os jornais é:
P(A " B) =
"( )
( )
n A B
n U
h P(A " B) =
60
470
6
47
=
Logo, P(A " B) =
6
47
.
b) leitor do jornal A ou do jornal B.
Quando adicionarmos o número de pessoas que leem o jornal A com o número 
de pessoas que leem o jornal B, contamos duas vezes aquelas que leem os dois 
jornais; por isso, devemos subtrair esse grupo. Observe:
n(A ' B) = n(A) + n(B) _ n(A " B)
Dividindo essa igualdade por n(U), temos:
( )'
= + _
"n A B
n U
n A
n U
n B
n U
n A B
n U
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
P(A ' B) = P(A) + P(B) _ P(A " B)
Portanto, a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é dada pela soma 
das probabilidades de os dois eventos ocorrerem separadamente, menos a de 
eles ocorrerem simultaneamente.
Esse resultado vale para a situação anterior, dos leitores dos jornais e, também, 
para o caso geral de dois eventos A e B quaisquer.
Calculando a probabilidade de escolher um leitor do jornal A
ou do jornal B, temos:
P(A) = 250
470
25
47
= =
n A
n U
( )
( )
P(B) = 180
470
18
47
= =
n B
n U
( )
( )
P(A " B) = 6
47
Sendo P(A ' B) = P(A) + P(B) _ P(A " B), temos:
P(A ' B) =
25
47
18
47
6
47
37
47
+ _ =
P(A ' B) = 37
47
SKYLINES/SHUTTERSTOCK.COM
■ Atualmente 
muitas pessoas 
preferem ler 
jornais em 
meios virtuais. 
Entretanto, 
ainda há a 
versão impressa 
dos principais 
jornais.
124124
D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 124D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 124 16/09/20 20:3416/09/20 20:34
 7. Retirando uma carta de um baralho de 52 car-
tas, qual é a probabilidade de ocorrer um rei 
ou valete?
Resolução
Vamos considerar os eventos:
• A: sair um rei.
• B: sair um valete.
Vemos que não há elementos em comum 
entre os dois eventos, ou seja, A " B = @. 
Como vimos, esses eventos são chamados de 
mutuamente exclusivos; por isso, P(A " B) = 0.
Utilizando a fórmula da probabilidade da união 
de dois eventos e considerando P(A " B) = 0, 
temos: P(A ' B) = P(A) + P(B).
Como em um baralho há quatro reis e quatro 
valetes, obtemos:
P(A) = 
( )
( ) = =
4
52
1
13
n A
n U
 
P(B) = 
( )
( ) = =
4
52
1
13
n B
n U
 
P(A ' B) = P(A) + P(B)
P(A ' B) = + = h ' =
1
13
1
13
2
13
( )
2
13
P A B 
 8. (UFPE) Escolhendo aleatoriamente um núme-
ro natural no conjunto {1, 2,..., 100} de naturais 
sucessivos, seja p a probabilidade de este na-
tural ser divisível por 2 ou por 3. Indique 100p.
Resolução
Vamos considerar os eventos:
• A: ser um número natural divisível por 2.
• B: ser um número natural divisível por 3.
Veja que os elementos em comum entre os 
dois eventos, ou seja, A " B, serão dados pelos 
múltiplos de 6.
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 
30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 
56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 
84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100}, e n(A) = 50
B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 
45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 
87, 90, 93, 96, 99}, e n(B) = 33
> ATIVIDADES RESOLVIDAS
A " B = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 
72, 78, 84, 90, 96}, e n(A " B) = 16
Utilizando a fórmula da probabilidade da 
união de dois eventos, temos:
P(A ' B) = P(A) +P(B) _ P(A " B)
P(A) = 
( )
( ) =
50
100
n A
n U
 e P(B) = 
( )
( ) =
33
100
n B
n U
 
P(A " B)= 
( )
( )
"
=
16
100
n A B
n U
 
P(A ' B) = P(A) +P(B) _ P(A " B)
P(A ' B) = + _ = h ' =
50
100
33
100
16
100
67
100
( )
67
100
P A B
Como p = P(A ' B), 100p = 100 ? =
67
100
67.
 9. O gerente de uma loja de brinquedos alugou 
uma "máquina de pelúcia", na qual uma garra 
pega, aleatoriamente, um dos três bichos de 
pelúcia disponíveis: cachorro, gato ou urso. 
Evandro e Mariana vão receber, cada um, um 
brinde dessa máquina e perceberam que há 
exatamente 14 bichos de pelúcia na máquina, 
sendo sete cachorros, cinco gatos e dois ursos. 
Qual é a probabilidade de Evandro e Mariana 
receberem bichos de pelúcia iguais?
Resolução
Evandro e Mariana podem receber dois ca-
chorros (evento A), ou dois gatos (evento B), 
ou dois ursos (evento C). Como as escolhas 
são eventos mutuamente exclusivos, temos 
P(A ' B ' C) = P(A) + P(B) + P(C). 
P(A) = ? =
7
14
6
13
42
182
; P(B) = ? =
5
14
4
13
20
182
;
P(C) = ? =
2
14
1
13
2
182
 
P(A ' B ' C) = 
= + + = =
42
182
20
182
2
182
64
182
32
91
 
Logo, a probabilidade de Evandro e Mariana 
receberem bichos de pelúcia iguais é 
32
91
.
125
D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 125D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 125 16/09/20 20:3516/09/20 20:35
> ATIVIDADES NÃO ESCREVA NO LIVRO
 26. Em um grupo de 80 estudantes, 50 jogam 
futebol, 40 jogam
vôlei e 20 jogam futebol e 
vôlei. Escolhendo ao acaso um dos estudan-
tes, qual é a probabilidade de ele:
a) jogar vôlei? 
1
2 
b) jogar futebol? 
5
8 
c) jogar vôlei e futebol? 
1
4 
d) jogar vôlei ou futebol? 
7
8 
e) jogar somente futebol? 
3
8 
f) não praticar nenhum desses esportes? 
1
8 
 27. Na gaveta de um armário, há duas chaves tipo 
A e uma tipo B. Em outra gaveta, há um ca-
deado, que é aberto pelas chaves do tipo A, 
e três que são abertos pelas chaves do tipo 
B. Uma pessoa escolhe, ao acaso, uma chave 
da primeira gaveta e um cadeado da segunda 
gaveta. Qual é a probabilidade de o cadeado 
ser aberto pela chave escolhida? 5
12
 
 28. Um professor passou dez questões para seus 
estudantes Jorge, César e Teresa resolverem. 
Sabe-se que Jorge fez três questões, César 
concluiu duas, Teresa, quatro, e as ques-
tões que foram resolvidas eram diferentes. 
Escolhendo uma questão ao acaso, qual é a 
probabilidade de ela ter sido resolvida por:
a) Jorge?
b) Jorge ou César?
c) Ninguém?
 29. (FGV-SP) Roberto J., administrador recém-for-
mado, envia um currículo para duas empresas, 
A e B, à procura de emprego.
A probabilidade de ser aceito pela empresa A 
é 25% e a de ser aceito pela B é 20%; a proba-
bilidade de ser aceito por ambas é 8%.
a) Qual a probabilidade de ser aceito por ao 
menos uma das empresas? 37%
b) Qual a probabilidade de ser aceito por exa-
tamente uma empresa? 29%
 30. Retirando-se uma carta de um baralho de 
52 cartas, qual é a probabilidade de sair um rei 
ou uma carta de espadas? 4
13
 
3
10 1
2
1
10
 31. Uma urna contém 30 bolas numeradas de 1 a 
30. Retirando-se uma bola ao acaso, qual é a 
probabilidade de que seu número seja:
a) par? 
1
2 
b) ímpar? 
1
2 
c) par e menor do que 15? 
7
30 
d) múltiplo de 4 ou de 5? 
2
5 
 32. Fabiano foi convidado para uma festa temá-
tica chamada de "Festa bicolor", em que cada 
convidado deve ir vestido com exatamente 
duas cores diferentes entre branca, preta, azul, 
vermelha, amarela, verde e rosa. No armário 
de Fabiano, há camisetas e calças de acordo 
com o quadro a seguir.
Cores Camisetas Calças
Branca 3 1
Preta 5 2
Azul 3 6
Vermelha 0 1
Amarela 1 0
Verde 2 0
Rosa 1 0
Elabore um problema com as possibilidades 
de combinação de cores e a probabilidade de 
Fabiano escolher, aleatoriamente, uma dessas 
combinações. Elaboração do estudante.
 33. (UFRJ) Um ponto P é aleatoriamente selecio-
nado num retângulo S de dimensões 50 cm 
por 20 cm. Considere, a partir de S, as seguin-
tes regiões:
Região A – retângulo de dimensões 15 cm por 
4 cm com centro no centro de S e
Região B – círculo de raio 4 cm com centro no 
centro de S.
Suponha que a probabilidade de que o ponto 
P pertença a uma região contida em S seja 
proporcional à área da região.
Determine a probabilidade de que P pertença 
simultaneamente às regiões A e B.
 34. (FEI-SP) Jogando-se dois dados, qual a proba-
bilidade de que a soma dos pontos obtidos 
seja 4 ou 5?
p+16 24 3
3 000






7
36
126
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 35. (FGV-SP) Numa sala existem seis casais. Entre 
estas 12 pessoas, duas são selecionadas 
ao acaso.
a) Qual a probabilidade de selecionarmos um 
homem e sua esposa? 
1
11
 
b) Qual a probabilidade de selecionarmos 
dois homens? 5
22
 
 36. (Unicamp-SP) Três candidatos, A, B e C, concor-
rem à presidência de um clube. Uma pesqui-
sa apontou que, dos sócios entrevistados, 150 
não pretendem votar. Dentre os entrevistados 
que estão dispostos a participar da eleição, 40 
sócios votariam apenas no candidato A, 70 vo-
tariam apenas em B, e 100 votariam apenas no 
candidato C. Além disso, 190 disseram que não 
votariam em A, 110 disseram que não votariam 
em C, e 10 sócios estão na dúvida e podem 
votar tanto em A como em C, mas não em B. 
Finalmente, a pesquisa revelou que 10 entre-
vistados votariam em qualquer candidato. 
Com base nesses dados, pergunta-se:
a) Quantos sócios entrevistados estão em dú-
vida entre votar em B ou em C, mas não 
votariam em A? Dentre os sócios consulta-
dos que pretendem participar da eleição, 
quantos não votariam em B? 20; 150
b) Quantos sócios participaram da pesquisa? 
Suponha que a pesquisa represente fiel-
mente as intenções de voto de todos os 
sócios do clube. Escolhendo um sócio ao 
acaso, qual a probabilidade de que ele vá 
participar da eleição, mas ainda não tenha 
se decidido por um único candidato?
 37. (OBMEP) Em um jogo, Pedro lança uma moeda 
para decidir quantas casas avançar. Quando 
sai cara, ele avança uma casa; quando sai 
coroa, ele avança duas casas. O jogo acaba 
quando Pedro alcança ou ultrapassa a última 
casa. Faltam três casas para Pedro terminar o 
jogo. Qual é a probabilidade de que ele tire 
coroa em sua última jogada? alternativa d
a) 
7
8
 
b) 
5
6
 
c) 
2
3
 
d) 
5
8
 
e) 
3
4
 
400; 
1
10
 
 38. (Ufla-MG) Um grupo de 100 pessoas apresenta 
a seguinte composição:
Louras Morenas Total
Olhos azuis 10 20 30
Olhos castanhos 30 40 70
Total 40 60 100
Marcando-se um encontro com uma delas, 
escolhendo seu nome ao acaso, qual a pro-
babilidade de sair:
a) Uma loura? 
2
5 
b) Uma loura de olhos castanhos ou uma mo-
rena de olhos azuis? 1
2
 
c) Uma morena de olhos castanhos? 
2
5 
 39. (UFSCar-SP) A tabela indica as apostas feitas 
por cinco amigos em relação ao resultado 
decorrente do lançamento de um dado, cuja 
planificação está indicada na figura.
Ana Face branca ou número par.
Bruna Face branca ou número 5.
Carlos Face preta ou número menor que 2
Diego Face preta ou número maior que 2.
Érica Face branca ou número menor que 4.
Se trocarmos o conectivo "ou" pelo conectivo 
"e" na aposta de cada um, o jogador que terá 
maior redução nas suas chances de acertar o 
resultado, em decorrência dessa troca, será:
a) Ana.
b) Bruna.
c) Carlos.
d) Diego.
e) Érica.
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alternativa d
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Como prevenir a gravidez 
na adolescência?
Vivemos em uma época conhecida como "era da 
informação". Apesar disso, muitas adolescentes brasi-
leiras engravidam sem planejamento, sem preparo 
emocional, psicológico e financeiro.
A gravidez na adolescência ainda é uma 
realidade e atualmente é considerada, pelas 
autoridades, um problema de saúde pública, 
por causa das diversas consequências para a 
mãe, para o bebê e para todo o núcleo familiar.
Um recente estudo, elaborado pelo governo federal, 
apontou que 66% dos casos de gravidez na adolescência não 
tiveram um planejamento familiar e econômico. Uma taxa de 20%
das mães adolescentes abandona a escola e, consequentemente, elas 
anulam ou adiam o sonho de cursar uma universidade.
Observe o gráfico a seguir. Nele, observamos uma queda de cerca 
de 40% na taxa de natalidade no Brasil, considerando mães na faixa 
etária entre 15 e 19 anos, no período de 2000 a 2018.
Como prevenir a gravidez 
na adolescência?
Vivemos em uma época conhecida como "era da 
informação". Apesar disso, muitas adolescentes brasi-
leiras engravidam sem planejamento, sem preparo 
emocional, psicológico e financeiro.
A gravidez na adolescência ainda é uma 
realidade e atualmente é considerada, pelas 
autoridades, um problema de saúde pública, 
por causa das diversas consequências para a 
mãe, para o bebê e para todo o núcleo familiar.
Um recente estudo, elaborado pelo governo federal, 
apontou que 66% dos casos de gravidez na adolescência não 
tiveram um planejamento familiar e econômico. Uma taxa de 20
das mães adolescentes abandona a escola e, consequentemente, elas 
anulam ou adiam o sonho de cursar uma universidade.
Observe o gráfico a seguir. Nele, observamos uma queda de cerca 
de 40% na taxa de natalidade no Brasil, considerando mães na faixa 
etária entre 15 e 19 anos, no período de 2000 a 2018.
2000
72
1 
56
4
69
6 
95
5
66
5 
43
7
64
5 
80
6
63
5 
01
4
63
4 
38
5
60
5 
27
0
58
2 
40
9
57
0 
56
0
54
6 
95
9
52
5 
58
1
53
3 
10
3
53
1 
90
9
53
2 
00
2
53
4 
36
4
52
0 
86
4
47
7 
24
6
45
8 
77
7
43
4 
57
3
2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016 2018
Nascimentos no Brasil – faixa etária da mãe: 15 a 19 anos
quantidade 
de nascimentos
ano
Fonte: BRASIL. Ministério da Saúde. Adolescência primeiro, gravidez depois: tudotemseutempo.
Brasília, DF, c2013-2020. Disponível em: https://www.saude.gov.br/images/pdf/2020/fevereiro/03/03-02-
2010-Prevencao-gravidez-adolescencia---FINAL-3.pdf. Acesso em: 4 jul. 2020.
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DIÁLOGOSCONEXÕES>
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https://www.saude.gov.br/images/pdf/2020/fevereiro/03/03-02-2010-Prevencao-gravidez-adolescencia---FINAL-3.pdf
Fonte dos dados: COMPARE os métodos. Viva sua Vida, c2016.. Disponível em: https://www.vivasuavida.com.br/pt/metodos-
contraceptivos/comparacao/#methods-p%C3%ADlula,camisinha-feminina,camisinha-masculina. Acesso em 29 jul. 2020.
Ainda assim, são cerca de 434 mil bebês nascidos em 2018. Além disso, há o 
registro de 15,3 óbitos de bebês a cada mil nascidos de mães até 19 anos, por causa 
de diversos fatores, como a ausência do pré-natal.
Por isso, há uma necessidade de ações para a prevenção da gravidez na 
adolescência, como a Semana Nacional de Prevenção da Gravidez na Adolescência, 
que acontece anualmente na primeira semana de fevereiro, voltada para adolescen-
tes, jovens, pais ou responsáveis.
Há também uma campanha de distribuição de métodos contraceptivos, como 
preservativos masculino e feminino, anticoncepcionais, entre outros, realizado pelo 
Sistema Único de Saúde (SUS), que ajuda no planejamento familiar e na prevenção 
de algumas infecções sexualmente transmissíveis, as chamadas ISTs.
NÃO ESCREVA 
NO LIVRO
Agora, faça o que se pede nas 
atividades a seguir.
 1. O texto cita uma redução de 40% no núme-
ro de bebês nascidos de mães adolescen-
tes no período de 2000 a 2018. Junte-se a 
um colega e levantem hipóteses para esse 
decrescimento.
 2. O que significa a eficácia dos métodos contra-
ceptivos apresentada no infográfico?
 3. Considerando as informações apresentadas, 
como uma pessoa pode determinar qual mé-
todo contraceptivo utilizará? Somente a efi-
cácia é suficiente para determinar o método 
utilizado?
Ver as Orientações para o professor.
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Ver as Orientações para o professor. Ver as Orientações para o professor.
ALGUNS MÉTODOS 
CONTRACEPTIVOS
Camisinha Pílula anticoncepcional Camisinha feminina
– Eficácia de 82% no uso típico.
– Protege contra ISTs.
– Fácil de se obter.
– Eficácia de 91% no uso típico.
– Não protege contra ISTs.
– Fácil de se obter.
– Eficácia de 79% no uso típico.
– Protege contra ISTs.
– Fácil de se obter.
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https://www.vivasuavida.com.br/pt/metodos-contraceptivos/comparacao/#methods-p%C3%ADlula,camisinha-feminina,camisinha-masculina
Probabilidade condicional
Vamos voltar ao experimento do lançamento de dois dados, um branco e um 
vermelho, com as faces numeradas de um a seis. Considere os eventos:
• A: a soma dos pontos obtidos é menor do que sete;
• B: sair a face com o número quatro em, pelo menos, um dado.
O espaço amostral U é:
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
Os eventos são:
A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), 
(5, 1)}
B = {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (6, 4)}
Vamos calcular, agora, a probabilidade de a soma dos pontos obtidos ser menor 
do que sete, sabendo que, pelo menos em um dos dados, saiu a face com quatro 
pontos. Note que queremos a ocorrência de somas menores do que sete em um 
universo cujos elementos apresentem um número quatro. Nesse caso, dizemos que 
a ocorrência do evento A está condicionada à ocorrência do evento B. Indicamos: 
A/B (lê-se: A dado B).
A/B significa a ocorrência do evento A, sabendo que B vai ocorrer ou 
já ocorreu, ou seja, os eventos A e B são dependentes. Essa probabilidade é 
chamada de probabilidade condicional ou probabilidade de A dado B e é 
representada por P(A/B).
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Da definição de probabilidade de um evento, temos:
P(A/B) =
"( )
( )
n A B
n B
 I
P(A " B) =
"( )
( )
n A B
n U
h n(A " B) = n(U) ? P(A " B) II
e
P(B) =
( )
( )
n B
n U
h n(B) = n(U) ? P(B) III
Substituindo II e III em I , temos: P(A/B) = ? "
?
( )( )
( ) ( )
n U P A B
n U P B
Portanto, P(A/B) =
"( )
( )
P A B
P B
.
Voltando ao nosso experimento, temos: A " B = {(1, 4), (2, 4), (4, 1), (4, 2)}
Sendo n(A " B) = 4 e n(B) = 11, obtemos: P(A/B) =
( )
( )
"
=
4
11
n A B
n B
ou, usando a 
fórmula que acabamos de encontrar, P(A/B) =
"
= =
( )
( )
4
36
11
36
4
11
P A B
P B
.
Ainda no universo do lançamento de dados, considere apenas o lançamento de 
um dado. Se sabemos que o número da face superior é par, qual é a probabilidade 
de esse número ser 4?
Os eventos são:
A = {4}
B = {2, 4, 6}
Nesse experimento, temos: A " B = {4}.
Sendo n(A " B) = 1 e n(B) = 3, obtemos: P(A/B) =
"
=
1
3
n A B
n B
( )
( )
.
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LEONE, I. Quantas mulheres cientistas você conhece? Carta Capital, 
São Paulo, 28 fev. 2019. Disponível em: https://www.cartacapital.com.
br/blogs/sororidade-em-pauta/quantas-mulheres-cientistas-voce-co-
nhece/. Acesso em: 1 jul. 2020.
Nesse artigo, a autora discute a participação das mulheres na ciência, 
fazendo uma retrospectiva histórica de pesquisadoras emblemáticas.
PARA
LER
Considere, agora, 
que um rapaz foi 
selecionado. Qual é 
a probabilidade de 
ele se interessar pela 
área de exatas?
P(A/B) =
"
=
n A B
n B
19
49
( )
( )
PENSE E
RESPONDA
■ As mulheres têm 
ocupado cada vez mais 
espaço nos laboratórios 
de pesquisas de ponta, 
derrubando, aos 
poucos, uma antiga 
crença de que a área 
de Ciências deve ser 
predominantemente 
masculina.
Vamos ver outra situação. 
Considere um grupo de 100 adolescentes, distribuídos por gênero. 
Eles foram questionados sobre a área do conhecimento com as quais 
têm mais afinidade. Os resultados estão abaixo.
Área do conhecimento
Gênero Exatas Humanas Biológicas Total
Masculino 19 16 14 49
Feminino 14 25 12 51
Total 33 41 26 100
Um desses jovens é selecionado ao acaso e sabe-se que sua área 
de maior interesse é biológicas. Qual é a probabilidade de esse jovem 
ser uma mulher?
Os eventos são:
A: ser mulher, e n(A) = 51
B: se interessar por biológicas, e n(B) = 26
Nesse experimento, temos A " B, que corresponde a ser mulher e 
interessar-se por biológicas.
Sendo n(A " B) = 12 e n(B) = 26, obtemos:
P(A/B) =
"
= =
12
26
6
13
n A B
n B
( )
( ) .
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https://www.cartacapital.com.br/blogs/sororidade-em-pauta/quantas-mulheres-cientistas-voce-conhece/
10. Em uma escola com 600 estudantes, 40 ficaram de recuperação apenas em Matemática, dez, 
somente em Física, e cinco, nas duas disciplinas. Determine a probabilidade de um estudante 
fazer recuperação de Física, sabendo que ele ficou de recuperação de Matemática.
Resolução
Construindo um diagrama, temos:
Queremos obter P(F/M), ou seja, a probabilidade 
de um estudante fazer recuperação de Física, 
sabendo que ele fará recuperação também
de Matemática.
P(F/M) =
"
h = h =( / )
5
45
( / )
1
9
n F M
n M
P F M P F M
( )
( )
Portanto, a probabilidade de um aluno fazer recuperação de Matemática e de Física é 
1
9
.
 11. Em uma caixa há os cartões: 1 2 3 4 5
Retirando-se dois cartões, sucessivamente, sem reposição do primeiro, determine a probabilidade 
de os dois números retirados serem ímpares.
Resolução
Considerando os eventos:
• A: sair número ímpar na 1a retirada;
• B: sair número ímpar na 2a retirada;
• B/A: sair número ímpar na 2a retirada, sabendo que na 1a já saiu número ímpar.
Note que n(A) = 3 em um espaço amostral de 5 elementos, e que n (B/A) = 2 em um espaço amostral 
de 4 elementos, pois não houve reposição da 1a retirada.
Logo:
P(A) =
3
5
 e P(B/A) = =
2
4
1
2
Sabemos que: P(B/A) =
( )
( )
"P B A
P A
, então: P(B " A) = P(A) ? P(B/A)
Assim, a probabilidade de sair um número ímpar na 1a e na 2a retirada é:
P(B " A) = ? =
3
5
1
2
3
10
= 0,30 ou P(B " A) = 30%
Portanto, P(B " A) = 0,30 ou 30%.
 12. Extraindo sucessivamente e sem reposição duas bolas da 
caixa, conforme figura, qual é a probabilidade de retirar:
a) duas bolas azuis?
b) duas bolas da mesma cor?
c) uma bola vermelha na segunda extração?
d) nenhuma bola vermelha nas duas extrações?
> ATIVIDADES RESOLVIDAS
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Resolução
Vamos chamar de:
• A1 o evento tirar bola azul na primeira extração;
• A2 o evento tirar bola azul na segunda extração;
• V1 o evento tirar bola vermelha na primeira extração;
• V2: o evento tirar bola vermelha na segunda extração;
• M1: o evento tirar bola verde na primeira extração;
• M2: o evento tirar bola verde na segunda extração.
Construindo a árvore das possibilidades e escrevendo ao lado das ramificações as respectivas pro-
babilidades, temos:
a) A probabilidade de as duas bolas serem azuis é igual a:
P(A2 " A1) = P(A2/A1) ? P(A1) h P(A2 " A1) = 
4
9
5
10
2
9
? = h P(A2 " A1) = 
2
9
 
Essa probabilidade pode ser obtida por meio da árvore das possibilidades, fazendo a multiplica-
ção: P(A2 " A1) = 
4
9
5
10
2
9
? = 
Observe que a soma das probabilidades na primeira extração é 1 5
10
3
10
2
10
1+ + =


. Essa é a pro-
babilidade de tirar uma bola azul ou uma bola vermelha ou uma bola verde na primeira extração.
Em símbolos: A1 ' V1 ' M1 = U1 e A1 " V1 " M1 = @
Logo: P(A1 ' V1 ' M1) = P(A1) +P(V1) + P(M1) = P(U1) = 1, em que U1 é o espaço amostral da pri-
meira extração.
Analogamente, a soma das probabilidades de todos os casos da segunda extração é igual a 1.
b) Como as duas bolas devem ser da mesma cor, temos os casos: duas azuis ou duas vermelhas ou 
duas verdes.
Logo, devemos somar as probabilidades desses três casos, já que são eventos mutuamente exclusivos.
Observando a árvore das possibilidades, obtemos a probabilidade de saírem duas bolas da 
mesma cor:
P = 
5
10
4
9
3
10
2
9
2
10
1
9
1? + ? + ? = h P = 
20 6 2
90
+ +
 h P = 
14
45
 
c) Observando a árvore das possibilidades e sabendo que a segunda bola é vermelha, devemos 
somar as probabilidades dos três casos: azul e vermelha, vermelha e vermelha, verde e vermelha.
P(V2) = 
5
10
3
9
3
10
2
9
2
10
3
9
? + ? + ? h P = 
15 6 6
90
+ +
 h P = 
3
10
 
d) Observando a árvore e somando as probabilidades das ramificações, em que não há bola ver-
melha, temos:
P = 
5
10
4
9
5
10
2
9
2
10
1
9
2
10
5
9
? + ? + ? + ? h P = 
20 10 2 10
90
+ + +
 h P = 
7
15
 
1a extração
2a extração
2
103
10
1
9
3
9
5
9
2
9
2
9
5
9
5
10
2
9
3
9
4
9
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> ATIVIDADES NÃO ESCREVA NO LIVRO
 40. Dois jogadores, Kleber e Arnaldo, lançam um 
dado, cada um uma única vez. Vence o jogo 
quem tirar o maior número. Sabendo que 
Kleber tirou 4, qual é a probabilidade de:
a) Kleber vencer? 
1
2
b) haver empate? 
c) Arnaldo vencer? 
 41. Daniel ganhou um concurso de um programa 
de televisão. Como prêmio, uma viagem para 
conhecer um estado brasileiro. Contudo, esse 
estado seria escolhido aleatoriamente em 
um sorteio ao vivo. Cada nome dos 26 esta-
dos brasileiros foi escrito em um cartão. O 
apresentador sorteou um nome e, antes de 
indicar o estado sorteado, falou que pertencia 
à região Nordeste. Nesse caso, calcule a pro-
babilidade de o estado:
a) do Espírito Santo ter sido sorteado? 0%
b) de Alagoas ter sido sorteado? 1
9
 
 42. (Fuvest-SP) Num torneio de tênis, no qual 
todas as partidas são eliminatórias, estão 
inscritos 8 jogadores. Para definir a primeira 
rodada do torneio realiza-se um sorteio casu-
al que divide os 8 jogadores em 4 grupos de 
2 jogadores cada um.
a) De quantas maneiras diferentes pode ser 
constituída a tabela de jogos da primeira 
rodada? 105
b) No torneio estão inscritos quatro amigos, 
A, B, C e D. Nenhum deles gostaria de en-
frentar um dos outros logo na primeira 
rodada do torneio. Qual é a probabilidade 
de que esse desejo seja satisfeito? 8
35
 
c) Sabendo que pelo menos um dos jogos da 
primeira rodada envolve 2 dos 4 amigos, 
qual é a probabilidade condicional de que 
A e B se enfrentem na primeira rodada? 5
27
 
 43. Jogando um dado e sabendo que foi obtido 
um número maior do que 4, qual é a probabi-
lidade de ele ser um número par? 50%
 44. (PUCCamp-SP) Lança-se um par de dados não 
viciados. Se a soma nos dois dados é 8, calcule a 
probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles.
1
6 1
3
2
5
 45. Na extração de uma carta de um baralho de 
52 cartas, considere os eventos:
• A: sair um rei;
• B: sair uma carta de paus.
Determine:
a) P(A) e P(B). 1
13
; 
1
4
 b) P(A/B) e P(B/A)
 46. Retirando duas cartas ao acaso, sem reposi-
ção, de um baralho de 52 cartas, qual é a pro-
babilidade do naipe da primeira ser de paus 
e o da segunda ser de copas? 13
204
 
 47. Um levantamento feito com 200 funcionários de 
uma empresa apresentou o seguinte resultado:
 Funcionários fumantes
Homens (H) Mulheres (M) Total
Fumantes (F) 70 40 110
Não fumantes (F) 30 60 90
Total 100 100 200
Fonte: Dados fictícios.
Sorteia-se um funcionário ao acaso:
a) Qual é a probabilidade de que seja homem? 
E de que seja mulher?
b) Se o sorteio for feito entre os não fumantes, 
qual é a probabilidade de que seja homem? 
E de que seja mulher?
c) Calcule: P(H/F), P(M/F), P(F/M), P(F/H) e 
P(F/M).
 48. (Enem/MEC) Numa escola com 1 200 alunos foi 
realizada uma pesquisa sobre o conhecimen-
to desses em duas línguas estrangeiras, inglês 
e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 
600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol 
e 300 não falam qualquer um desses idiomas. 
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao 
acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, 
qual a probabilidade de que esse aluno fale 
espanhol?
a) 
1
2
 
b) 
5
8
 
c) 1
4
 
d) 
5
6
 
e) 5
14
 
1
13
; 
1
4
 
1
2
; 1
2
1
3
; 2
3
7
11
, 
4
11
; 
4
10
; 
7
10
; 
6
10
alternativa a
135
D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 135D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 135 16/09/20 20:3616/09/20 20:36
 49. Ana Cláudia foi a uma loja comprar um vesti-
do. Havia diferentes opções de cores e tama-
nhos, conforme a tabela a seguir.
 Opções de cores e tamanhos
Tamanho
Cor Pequeno Médio Grande Total
Verde 4 6 3 13
Vermelho 6 5 3 14
Azul 3 6 4 13
Preto 6 8 12 26
Branco
6 8 8 22
Estampado 8 6 8 22
Total 33 39 38 110
Fonte: Dados fictícios.
• Sabendo que Ana Cláudia usa tamanho médio, 
qual é a probabilidade de ela ter escolhido um 
vestido estampado? 2
13
 50. (UERJ) Um instituto de pesquisa colheu infor-
mações para saber as intenções de voto no 
segundo turno das eleições para governador 
de um determinado estado. Os dados estão 
indicados no quadro abaixo:
Intenção de voto Percentual
Candidato A 26%
Candidato B 40%
Votos nulos 14%
Votos brancos 20%
Escolhendo aleatoriamente um dos entrevis-
tados, verificou-se que ele não vota no can-
didato B. A probabilidade de que esse eleitor 
vote em branco é: alternativa d
a) 
1
6
 
b) 
1
5
 
c) 
1
4
 
d) 
1
3
 
e) 
2
5
 51. (Fuvest-SP) Dois dados cúbicos, não viciados, 
com faces numeradas de 1 a 6, serão lança-
dos simultaneamente. A probabilidade de que 
sejam sorteados dois números consecutivos, 
cuja soma seja um número primo, é de:
a) 
2
9
 
b) 
1
3
 
c) 
4
9
 
d) 
5
9
 
e) 
2
3
 
 52. (Enem/MEC) Em um determinado ano, os com-
putadores da receita federal de um país iden-
tificaram como inconsistentes 20% das decla-
rações de imposto de renda que lhe foram 
encaminhadas. Uma declaração é classificada 
como inconsistente quando apresenta algum 
tipo de erro ou conflito nas informações 
prestadas. Essas declarações consideradas 
inconsistentes foram analisadas pelos audi-
tores, que constataram que 25% delas eram 
fraudulentas. Constatou-se ainda que, dentre 
as declarações que não apresentaram incon-
sistências, 6,25% eram fraudulentas. Qual é a 
probabilidade de, nesse ano, a declaração de 
um contribuinte ser considerada inconsisten-
te, dado que ela era fraudulenta?
a) 0,0500 
b) 0,1000
c) 0,1125
d) 0,3125
e) 0,5000
 53. (FAMEMA-SP) Uma confecção de roupas pro-
duziu um lote com um total de 150 camisetas, 
distribuídas entre os tamanhos P e M, sendo 
59 lisas e as demais estampadas. Nesse lote, 
havia 100 camisetas tamanho P, das quais 67 
eram estampadas. Retirando-se, ao acaso, 
uma camiseta desse lote e sabendo que seu 
tamanho é M, a probabilidade de que seja 
uma peça estampada é igual a
a) 36%.
b) 24%.
c) 48%.
d) 60%.
e) 72%.
alternativa a
alternativa e
alternativa c
136
D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 136D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 136 16/09/20 20:3616/09/20 20:36
Eventos independentes
Considere o experimento de lançarmos, sucessivamente, uma moeda e um dado cujas faces são 
numeradas de 1 a 6. 
• Qual é a probabilidade de se obter o resultado "cara" e número 5?
• E a probabilidade de se obter "coroa" e número par?
Fazendo C = cara e K = coroa, vamos construir a árvore das possibilidades.
Para simplificar a notação, representemos por (C, 1) o evento {(C, 1)}, por (C, 2) o evento {(C, 2)}, 
e assim por diante. A probabilidade de ocorrer cada um desses eventos é igual a:
P[(C, 5)] = ? =
1
2
1
6
1
12
 e P[(K, 2), (K, 4), (K, 6)] = ? + ? + ? = =
1
2
1
6
1
2
1
6
1
2
1
6
3
12
1
4
 
Observe que, dos 12 resultados possíveis de se obter, metade 1
2




 apresenta "cara". Dessa 
metade, apenas a sexta parte 
1
6




 apresenta 5. Portanto, temos a metade da sexta parte apre-
sentando "cara" e 5, ou seja, ? =
1
2
1
6
1
12
.
Por simplificação, vamos representar por 5 o evento {5} e por C o evento {C}. Como a proba-
bilidade de ocorrer 5 não dependeu da probabilidade de sair "cara", ou seja, P[(5/C)] = P(5), esses 
eventos são denominados independentes. Acompanhe:
P[(5/C)] = 
"5( )[ ]
( )
P C
P C
 h P(5) = 
"5( )[ ]
( )
P C
P C
 h P[(5 " C)] = P(5) ? P(C) = ? =
1
6
1
2
1
12
 
Do mesmo modo, metade dos resultados possíveis apresenta "coroa" e, dessa metade, 
somente três sextos =
3
6
1
2




 apresentam número par. Temos, nesse caso, a metade da metade 
apresentando "coroa e número par", ou seja, ? =
1
2
1
2
1
4
.
Lançamento da moeda Lançamento do dado Resultados possíveis
C
K
C 1
K 1
C 2
K 2
C 3
K 3
C 4
K 4
C 5
K 5
C 6
K 6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
12 resultados
137
D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 137D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 137 18/09/20 20:0818/09/20 20:08
Note que a probabilidade de ocorrer número par não dependeu da probabi-
lidade de ocorrer "coroa", ou seja, P[(número par/K)] = P(número par); logo, esses 
eventos também são independentes. Veja:
P[(número par/K)] = 
"número par )[ ]
( )
(P K
P K
 = 
= P(número par) = 
"(número par )[ ]
( )
P K
P K
 h 
h P[(número par " K)] = P((número par) ? P(K) = ? =
1
2
1
2
1
4
 
Vejamos agora o que ocorre no caso geral. Sejam A e B dois eventos tais que a 
ocorrência de um deles não interfere na ocorrência do outro. Dessa forma, o evento 
A não é condicional ao evento B.
Como P(A/B) = P(A), temos:
P(A/B) = 
"( )
( )
P A B
P B
 h P(A) = 
"( )
( )
P A B
P B
 h P(A " B) = P(A) ? P(B)
Temos também P(B/A) = P(B) e, usando essa igualdade, chegaríamos à mesma 
expressão anterior.
O que acabamos de expor induz à seguinte definição:
Dois eventos, A e B, são ditos independentes quando a 
ocorrência de um não influi na ocorrência do outro, ou usando 
probabilidade, quando:
P(A " B) = P(A) ? P(B)
Se um acontecimento é composto de vários eventos sucessivos e independentes, 
de modo que:
• o primeiro evento é A, e sua probabilidade é p1;
• o segundo evento é B, e sua probabilidade é p2;
• o terceiro evento é C, e sua probabilidade é p3;
; ; ;
• o K-ésimo evento é K, e sua probabilidade é pk;
então a probabilidade de que os eventos A, B, C,..., K ocorram nessa ordem é:
P(A, B, C,..., K) = p1 ? p2 ? p3 ?... ? pk
Há casos em que os eventos não são sucessivos, e sim simultâneos. Entretanto, 
é conveniente tratá-los como sucessivos.
138
D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 138D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 138 16/09/20 20:3616/09/20 20:36
 13. Considere uma caixa contendo quatro bolas pretas e seis bolas azuis. Escolhendo duas bolas com 
reposição, qual é a probabilidade de:
a) a primeira bola ser preta e a segunda, azul?
b) as duas bolas serem pretas?
Resolução
a) Na caixa há dez bolas, sendo quatro pretas e seis azuis.
Vamos considerar os eventos:
A: primeira bola preta, e P(A) = 
4
10
 
B: segunda bola azul, com reposição, e P(B) = 
6
10
 
P(A " B) = P(A) ? P(B) = 
4
10
 ? 
6
10
 = =
24
100
6
25
 
b) Na caixa há dez bolas, sendo quatro pretas e seis azuis.
Consideremos os eventos:
A: primeira bola preta, e P(A) = 
4
10
 
B: segunda bola preta, com reposição, e P(B) = 
4
10
 
P(A " B) = P(A) ? P(B) = 
4
10
 ? 
4
10
 = =
16
100
4
25
 
 14. (Unifesp-SP) Um jovem possui dois despertadores. Um deles funciona em 80% das vezes em que é 
colocado para despertar e o outro em 70% das vezes. Tendo um compromisso para daqui a alguns 
dias e preocupado com a hora, o jovem pretende colocar os dois relógios para despertar.
a) Qual é a probabilidade de que os dois relógios venham a despertar na hora programada?
b) Qual é a probabilidade de que nenhum dos dois relógios venha a despertar na hora programada?
Resolução
a) Sejam os eventos A e B, respectivamente, relógio 1 despertar e relógio 2 despertar. Logo, 
P(A) = 
80
100
 e P(B) = 
70
100
. Assim, a probabilidade de ambos os relógios despertarem simulta-
neamente é:
P(A " B) = 
80
100
 ? 
70
100
 = =
5 600
10 000
56
100
 = 56%
b) A probabilidade de que nenhum dos dois relógios desperte é dada pelo cálculo das probabili-
dades dos eventos complementares. Logo, P(A) = 
20
100
 e P(B ) = 
30
100
.
Assim, a probabilidade de que ambos os relógios não despertem é:
P(A " B) = 
20
100
 ? 
30
100
 = =
600
10 000
6
100
 = 6%
> ATIVIDADES RESOLVIDAS
139
D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 139D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 139 16/09/20 20:3616/09/20 20:36
 15. Uma moeda é lançada quatro vezes. Qual é a probabilidade de sair pelo menos uma vez "cara"?
Resolução
Considere o evento A: sair pelo menos uma vez "cara".
Fazendo C = cara e K = coroa, temos a seguinte árvore de possibilidades:
Desses 16 resultados possíveis, 15 apresentam pelo menos uma "cara". Portanto: P(A) = 
15
16
.
Um modo mais prático de resolver essa questão é calcular inicialmente a probabilidade dos casos 
desfavoráveis ao evento A, isto é, a probabilidade de "não sair nenhuma cara" (evento complementar 
de A). A única maneira de não sair "cara" é sair "coroa" nos quatro lançamentos. Assim:
Portanto, a probabilidade de sair pelo menos uma "cara" é:
P(A) + P( A) = 1 h P(A) = 1 _ P( A)
P(A) = 1
1
16
16 1
16
_ =
_
 h P(A) = 
15
16
 
4o lançamento
2o lançamento
3o lançamento
1o lançamento
( )
1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
= ? ? ? =P A
1o lançamento 2o lançamento 3o lançamento 4o lançamento Resultados
C C C C
C
C C C K
C
K
C
K
C
K
C C K C
C C K K
C
K
C
K
C K C C
C K C K
C
K
C K K C
C K K K
C
K
K C C C
K
K C C K
C
K
C
K
C
K
K C K C
K C K K
C
K
C
K
K K C C
K K C K
C
K
K K K C
K K K K
C
K
140
D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 140D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 140 16/09/20 20:3616/09/20 20:36
 54. Um dado com as faces numeradas de 1 a 6, 
não viciado, é lançado duas vezes. Qual é a 
probabilidade de saírem números menores 
do que três nos dois lançamentos?
 55. Qual é a probabilidade de se obter três vezes 
o número 1 no lançamento de três dados?
 56. No lançamento de um dado e de uma moeda, 
qual é a probabilidade de obtermos "cara" e 
número maior do que 3?
 57. Qual é a probabilidade de um casal ter quatro 
filhos, todos do gênero feminino?
 58. Retirando duas cartas ao acaso, com reposi-
ção, de um baralho com 52 cartas, qual é a 
probabilidade de a primeira ser de ouros e a 
segunda, de espadas?
 59. Em um grupo de 30 pessoas há 20 italianos e 
10 portugueses; 15 homens e 15 mulheres; 5 
casados e 25 solteiros. Determine a probabili-
dade de que uma pessoa escolhida ao acaso 
seja um homem casado e português.
 60. O volante da Loteria Esportiva contém 13 
jogos. Usando somente palpites simples, qual 
é a probabilidade de:
a) acertar os 13 jogos?
b) acertar 12 jogos?
c) acertar apenas 1 jogo?
d) errar todos os jogos?
 61. (FGV-SP) Uma moeda é viciada de tal forma 
que os resultados possíveis, cara e coroa, são 
tais que a probabilidade de sair cara num lan-
çamento é o triplo da de sair coroa.
a) Lançando-se uma vez a moeda, qual a pro-
babilidade de sair cara?
b) Lançando-se três vezes a moeda, qual a pro-
babilidade de sair exatamente uma cara?
 62. (Inatel-MG) Uma caixa contém 4 cubos bran-
cos e 2 pretos; outra contém 3 cubos brancos 
e 5 pretos. Extrai-se um cubo de cada caixa. 
Calcule a probabilidade de ambos os cubos 
serem brancos.
1
9
1
216
1
4
1
16
1
16
1
36
Ver as Orientações 
para o professor.
3
4
9
64
1
4
> ATIVIDADES NÃO ESCREVA NO LIVRO
 63. (Unesp-SP) Um piloto de Fórmula 1 estima 
que suas chances de subir ao pódio numa 
dada prova são de 60% se chover no dia da 
prova e de 20% se não chover. O Serviço de 
Meteorologia prevê que a probabilidade de 
chover durante a prova é de 75%. Nessas con-
dições, calcule a probabilidade de que o pilo-
to venha a subir ao pódio.
 64. (Fuvest-SP) Uma urna contém 5 bolas bran-
cas e 3 bolas pretas. Três bolas são retiradas 
ao acaso, sucessivamente, sem reposição. 
Determine
a) a probabilidade de que tenham sido retira-
das 2 bolas pretas e 1 bola branca.
b) a probabilidade de que tenham sido re-
tiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca, 
sabendo-se que as três bolas retiradas não 
são da mesma cor.
 65. (Enem/MEC) Uma competição esportiva en-
volveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma 
denúncia à organização dizia que um dos 
atletas havia utilizado substância proibida. 
Os organizadores, então, decidiram fazer 
um exame antidoping. Foram propostos três 
modos diferentes para escolher os atletas que 
irão realizá-lo:
Modo I: sortear três atletas dentre todos os 
participantes;
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, 
desta, sortear três atletas;
Modo III: sortear primeiro três equipes e, 
então, sortear um atleta de cada uma dessas 
três equipes.
Considere que todos os atletas têm igual pro-
babilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) 
e P(III) sejam as probabilidades de que o atleta 
que utilizou a substância proibida seja um dos 
escolhidos para o exame no caso do sorteio 
ser feito pelo modo I, II ou III. Comparando-se 
essas probabilidades obtém-se alternativa e
a) P(I) , P(III) , P(II)
b) P(II) , P(I) , P(III)
c) P(I) , P(II) = P(III)
d) P(I) = P(II) , P(III)
e) P(I) = P(II) = P(III)
1
2
 ou 50%
15
56
1
3
141
D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 141D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 141 16/09/20 20:3616/09/20 20:36
Espaço amostral não equiprovável
Até aqui vimos diversos experimentos aleatórios em que a probabilidade de ocorrer cada 
evento elementar era a mesma. Por exemplo, ao lançar uma moeda e considerando o espaço 
amostral U = {cara, coroa}, a probabilidade de "cara" e a de "coroa" são as mesmas 
1
2



 . Do mesmo 
modo, quando lançamos um dado simples e consideramos o espaço amostral U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 
a probabilidade de cada uma das faces ficar voltada para cima é a mesma para cada face 1
6




.
Quando todos os eventos elementares possuem a mesma probabilidade de ocorrência, 
denominamos o espaço amostral como equiprovável.
Assim, tanto o espaço amostral do arremesso de uma moeda, quanto o espaço amostral 
do lançamento de um dado são equiprováveis. No entanto, nem todos os espaços amostrais 
possuem essa característica. Vamos ver um exemplo. 
Observe a roleta a seguir. Vamos considerar o experimento: girar o ponteiro e verificar em 
que região ele para.
L
V
A
As probabilidades desses eventos são dadas pelas razões das áreas de cada região pela área 
da roleta:
P(A) = 1
8
 P(V) = 3
8
 P(L) = =
2
4
1
2
 
Então, temos: P(L) = 4P(A) e P(L) = 4
3
P(V), ou seja, P(A) 5 P(L) 5 P(V).
Portanto, esse espaço amostral é denominado não equiprovável, pois todos os eventos 
elementares do espaço amostral não apresentam a mesma probabilidade de ocorrência. Mesmo 
assim, a soma das probabilidades é igual a 1.
É importante perceber que, em diversos experimentos, o espaço amostral ser, ou não, equi-
provável está relacionado ao evento que escolhemos e, consequentemente, ao espaço amostral 
que tomamos e não ao experimento em si. 
Por exemplo, vamos pensar no experimento lançar uma moeda duas vezes seguidas. Vamos 
observar dois espaços amostrais, dentre vários, para esse mesmo experimento:
U1 = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}.
U2 = {0 coroa, 1 coroa, 2 coroas}
Podemos notar que, no primeiro caso, cada evento elementar tem uma mesma probabili-
dade de ocorrer 
1
4



 , ou seja, U1 é um espaço amostral equiprovável. Mas será que podemos 
dizer o mesmo do segundo caso? Vamos analisar:
O espaço amostral é dado pelas regiões: U = {A, V, L}. Representando 
áreas diferentes, os eventos elementares {A}, {V} e {L} não são equipro-
váveis, isto é, não têm a mesma chance de ocorrência, pois:
• a área de A corresponde à oitava parte do círculo;
• a área de V corresponde a três oitavos do círculo;
• a área de L corresponde à metade do círculo.
ED
IT
O
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A 
D
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142
D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 142D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 142 19/09/20 19:4319/09/20 19:43
• Não sair coroa só pode ocorrer se o resultado dos lançamentos for (cara, cara), ou seja, 1 pos-
sibilidade em 4, uma probabilidade de 1
4
.
• Sair 1 coroa pode ocorrer se o resultado dos lançamentos for (cara, coroa) ou (coroa, cara), ou 
seja, 2 possibilidades em 4, uma probabilidade de 2
4
1
2
= .
• Sair 2 coroas só pode ocorrer se o resultado dos lançamentos for (coroa, coroa), ou seja, 1 pos-
sibilidade em 4, uma probabilidade de 1
4
.
Ou seja, U2 é um espaço amostral não equiprovável, pois os eventos elementares possuem
uma probabilidade diferente de ocorrer. 
Temos, dessa maneira, um mesmo experimento que nos permitiu definir dois eventos dis-
tintos, um com espaço amostral equiprovável e outro com espaço amostral não equiprovável.
Microtransações em jogos
Uma modalidade de comércio que tem crescido nos jogos eletrônicos é a chamada 
microtransação. Ela está presente em jogos pagos e gratuitos, de computador, videogame e 
smartphone. 
Uma das mais famosas microtransações é a compra de loot box, literalmente uma caixa que 
traz uma surpresa dentro. É conhecida por seu baixo custo e pela impossibilidade de escolher 
o que se compra. Ela costuma conceder skins que o jogador pode utilizar para personalizar 
seus equipamentos e seu personagem. O que vem dentro da loot box varia, sendo que quanto 
mais raro o item, menor a probabilidade de obtê-lo.
Essa tática é utilizada para que os jogadores façam muitas microtransações até adquirirem 
o tão aguardado item raro. O preço baixo da microtransação faz o jogador achar que está 
gastando pouco quando, na realidade, está gastando muito.
Para termos uma ideia de como os gastos são altos, as empresas de jogos estão registrando 
lucros bilionários com as microtransações, e em algumas delas o faturamento com essa modali-
dade já representa 
1
3
 de todo o faturamento anual. Assim, iniciou-se um movimento informal 
entre os jogadores para tentar frear essa prática por parte da indústria de jogos eletrônicos.
Fonte dos dados: PRATA, D. Em 2017 a Activision faturou US$ 4 bilhões com microtransações. Meio bit, 2019. Disponível em: https://
tecnoblog.net/meiobit/379928/em-2017-a-activision-faturou-usdollar-4-bilhoes-com-microtransacoes/. Acesso em: 28 jul. 2020.
Após ler o texto, reúna-se a um colega e façam o que se pede a seguir.
• Debatam sobre a prática de microtransações: se há vantagens ou desvantagens, os cuidados que 
se deve ter, se é uma prática justa etc.
> FÓRUM
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NÃO ESCREVA 
NO LIVRO
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 16. Considerando o experimento retirar uma bola de uma urna, sabendo que dentro dela há bolas de 
mesmo tamanho, numeradas de 1 a 15, determine: 
a) um espaço amostral que seja equiprovável.
b) um espaço amostral que seja não equiprovável.
Resolução
a) Uma resposta possível é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
Para cada número há 1 possibilidade em 15, ou seja, uma probabilidade de 
1
15
 para cada uma. 
Como a probabilidade de cada evento elementar é igual, esse é um espaço amostral equiprovável.
b) Uma resposta possível é U = {par, ímpar}.
Existem 7 possibilidades de sair um número par (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) em 15, ou seja, uma probabi-
lidade de 
7
15
.
Existem 8 possibilidades de sair um número ímpar (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) em 15, ou seja, uma pro-
babilidade de 
8
15
. Como as probabilidades de cada evento elementar não são iguais, esse é um 
espaço amostral não equiprovável. 
 17. O gerente de uma loja tem sobre sua mesa uma placa em forma de 
prisma triangular cujas faces retangulares possuem os textos a seguir.
A: ADIANTE – Estou bem-humorado
B: SILÊNCIO – Estou trabalhando
C: CUIDADO – Estou de mau humor
Sabendo que P(A) = 
1
2
 ? P(B) e P(B) = 
1
4
 ? P(C), calcule P(A) e P(C).
Resolução
Do enunciado, temos:
( )
1
2
( )
( )
1
4
( )
( )
1
8
( )
= ?
= ?
h = ?
P A P B
P B P C
P A P C






Assim: P(C) = 
8
11
 e P(A) = 
1
8
8
11
1
11
? = Portanto, P(A) = 
1
11
 e P(C) = 
8
11
.
 18. No lançamento de uma moeda viciada, a chance de ocorrer "cara" é igual a quatro vezes a chance 
de ocorrer "coroa". Calcule a probabilidade de ocorrer "cara" em um lançamento dessa moeda.
Resolução
Sejam os eventos:
• C: ocorrer "cara" • K: ocorrer "coroa", com P(C) = 4 ? P(K)
Como os eventos são exclusivos e complementares, temos:
P(C) + P(K) = 1 h 4P(K) + P(K) = 1 h 5P(K) = 1 h P(K) = 
1
5
 ou P(K) = 20%
Substituindo o valor de P(K), obtemos:
P(C) + P(K) = 1 h P(C) + 
1
5
 = 1 h P(C) = 
4
5
 ou P(C) = 80%
Daí, temos:
P(A) + P(B) + P(C) = 1
1
8
 ? P(C) + 
1
4
 ? P(C) + P(C) = 1
> ATIVIDADES RESOLVIDAS
144
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 66. Observe os espaços amostrais referentes aos ex-
perimentos aleatórios a seguir e classifique-os 
em espaço equiprovável ou não equiprovável.
a) Um ramalhete contém três rosas brancas, 
duas amarelas e cinco vermelhas. Uma rosa 
é escolhida ao acaso no ramalhete para 
ser comprada. 
b) Um ramalhete contém seis rosas cor-de-ro-
sa, duas brancas e dez amarelas. Uma rosa 
é escolhida ao acaso no ramalhete para 
ser comprada.
c) Dois vasos com meia dúzia de rosas em 
cada um, um vaso com rosas amarelas e 
outro com rosas vermelhas são escolhidos 
para compor um buquê.
 67. Observe a roleta da 
figura. O ponteiro 
gira podendo 
parar em qualquer 
número.
a) Qual é a proba-
bilidade de sair 
o número 3?
b) Qual é a probabilidade de sair o número 7?
c) Qual é a probabilidade de se obter um nú-
mero par?
d) E um número ímpar?
 68. Considere um dado em que três das faces têm 
o número 1, em duas faces, o número 2, e na 
outra, o número 3. Se você lançar esse dado e 
observar o número da face superior, qual é a 
probabilidade de se obter:
a) o número 1? 1
2
 
b) o número 2? 1
3
 
c) o número 2 ou o número 3? 1
2
 
 69. Em dada população, 35% das pessoas têm olhos 
azuis, 42% são ruivas e 20% são ruivas de olhos 
azuis. Escolhida ao acaso uma pessoa dessa po-
pulação, qual é a probabilidade de ela:
a) ser ruiva ou ter olhos azuis? 57%
b) não ser ruiva nem ter olhos azuis? 43%
c) ser ruiva, mas não ter olhos azuis? 22%
não equiprovável
não equiprovável
equiprovável
1
8
1
4
3
8 5
8
> ATIVIDADES NÃO ESCREVA NO LIVRO
 70. (Enem/MEC) Num determinado bairro há 
duas empresas de ônibus, ANDABEM e 
BOMPASSEIO, que fazem o trajeto levando e 
trazendo passageiros do subúrbio ao centro 
da cidade. Um ônibus de cada uma dessas 
empresas parte do terminal a cada 30 minutos, 
nos horários indicados na tabela.
Horário dos ônibus
ANDABEM BOMPASSEIO
... ...
6h00min 6h10min
6h30min 6h40min
7h00min 7h10min
7h30min 7h40min
... ...
Carlos mora próximo ao terminal de ônibus 
e trabalha na cidade. Como não tem hora 
certa para chegar ao trabalho nem preferên-
cia por qualquer das empresas, toma sempre 
o primeiro ônibus que sai do terminal. Nessa 
situação, pode-se afirmar que a probabilida-
de de Carlos viajar num ônibus da empresa 
ANDABEM é: alternativa d
a) um quarto da probabilidade de ele viajar 
num ônibus da empresa BOMPASSEIO.
b) um terço da probabilidade de ele viajar 
num ônibus da empresa BOMPASSEIO.
c) metade da probabilidade de ele viajar num 
ônibus da empresa BOMPASSEIO.
d) duas vezes maior do que a probabili dade 
de ele viajar num ônibus da empresa 
BOMPASSEIO.
e) três vezes maior do que a probabili dade 
de ele viajar num ônibus da empresa 
BOMPASSEIO.
 71. (UFF-RJ) Os cavalos X, Y e Z disputam uma 
prova final na qual não poderá ocorrer em-
pate. Sabe-se que a probabilidade de X vencer 
é igual ao dobro da probabilidade de Y ven-
cer. Da mesma forma, a probabilidade de Y 
vencer é igual ao dobro da probabilidade de 
Z vencer. Calcule a probabilidade de:
a) X vencer. b) Y vencer. c) Z vencer.4
7
2
7
1
7
1
2
3
45
6
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Observando probabilidade
Para que os computadores executem tarefas, é necessário que sejam progra-
mados para tal. A programação utilizada pode ser feita em diversas linguagens e 
formas. Para realizarmos a atividade
a seguir, vamos utilizar o Scratch.
O Scratch é uma linguagem de programação totalmente gratuita, disponível 
no endereço <https://scratch.mit.edu>, (acesso em: 12 set. 2020). Esse site permite 
ao usuário criar suas próprias animações, suas histórias interativas, seus jogos etc., 
e ainda compartilhar com as pessoas de sua comunidade.
Para iniciar o projeto, é necessário clicar em Criar na barra de menu. Essa é a 
página em que serão desenvolvidos os programas.
Caso queira trocar o idioma para português brasileiro, é só clicar no ícone mapa-
-múndi, na página Criar.
Nesta atividade, vamos explorar o conceito de probabilidade. Para ilustrar a 
forma de trabalhar com essa ferramenta, vamos construir um programa que vai 
sortear 30 números quaisquer, de 1 a 50, vai contar quantos desses números são 
pares e, ao final, vai calcular a probabilidade de ocorrer o evento: um número ser 
par no sorteio de 30 números quaisquer, entre 1 e 50.KEN
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I. Depois de clicar no botão Criar, clique na categoria Eventos e arraste o bloco a seguir para 
a área de trabalho.
Depois disso, será adicionado o desenvolvimento do programa. 
Para isso, é necessário:
• sortear 30 números aleatoriamente, entre 1 e 50;
• informar quantos desses números sorteados são pares.
II. Clique na categoria Controle e arraste o bloco, indicado ao lado, encai-
xando no passo anterior. Essa repetição será referente ao sorteio dos 30 
números aleatórios. Portanto, substitua o número 10, que aparece auto-
maticamente no comando, por 30, da seguinte maneira.
III. Clique na categoria Variáveis, em seguida clique em Criar uma variá-
vel e crie a variável "sorteado". Além disso, é necessário contar quantos 
números pares foram sorteados; assim, criaremos outra variável e a 
nomearemos como "pares". Por fim, é necessário, ainda, uma variável 
que armazenará o cálculo da probabilidade do número sorteado ser 
par. Essa variável será a "probabilidade".
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DIÁLOGOS> EXPLORANDO A TECNOLOGIA>
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https://scratch.mit.edu
Após a criação das três variáveis, deixe selecionada em azul apenas a variável 
"probabilidade". Dessa maneira, apenas ela ficará visível para o usuário.
 VI. Para verificar se um número natural é par, o resto da 
divisão desse número por 2 deve ser igual a zero. Assim, 
vamos introduzir um comando condicional. Na categoria 
Controle, selecione o comando indicado ao lado e colo-
que-o dentro do bloco de Repita.
 VII.Na categoria Operadores, arraste o bloco, indicado ao lado, 
para dentro do bloco Se, formando a seguinte estrutura.
No lugar do 50, é preciso colocar o operador indicado ao 
lado, que vai analisar o resto da divisão. 
Depois, coloque-o no lugar do O no bloco IV.
V. Desejamos sortear números entre 1 e 50. Assim, vá à 
categoria Operadores, escolha o comando indicado ao 
lado e substitua o valor 10 preestabelecido por 50. 
IV. Ainda em Variáveis, arraste o bloco, indicado ao lado, e 
substitua "minha variável" por "sorteado". Arraste-o para 
dentro do bloco Repita.
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Insira esse bloco dentro do bloco Se.
Vamos analisar o que foi feito até aqui. O 
programa inicia quando a bandeira verde é 
clicada. Na sequência, é repetido 30 vezes o 
processo de:
• sortear um número entre 1 e 50;
• verificar se é par; e
• se sim, adicionar um ao contador.
 IX. Para efetuar esse cálculo, clique em Variáveis e arraste 
o bloco ao lado para que fique abaixo do bloco Repita. 
Substitua "minha variável" por "probabilidade". Depois selecione, na categoria 
Operadores, o comando a seguir e coloque no bloco acima, no lugar do 0.
No primeiro espaço lacuna, insira a variável "pares" e, no segundo, o número "30".
Clicando na bandeira verde, na tela da direita, a variável "probabilidade" deve 
apresentar um valor próximo de um meio. Mas esse número pode variar, por 
ser um sorteio. Então, é natural a curiosidade em repetir o experimento para 
observar novos resultados.
 VIII. Se a condição imposta for satisfeita, a variável par 
deverá adicionar uma unidade. Para isso, clique 
na categoria Variáveis e, depois, selecione o 
comando ao lado, substituindo "minha variável" 
pela variável "pares".
Por fim, preencher com: "0", "sorteado" e "2", res-
pectivamente, para que a condição seja atendida. 
Esse bloco ficará como indicado ao lado.
Resta, agora, calcular a probabilidade de um número (entre 1 e 50) sorteado ao 
acaso, em 30 sorteios sucessivos, ser par. Sabemos o total de números pares sorte-
ados nos 30 sorteios realizados. Para calcular a probabilidade, é necessário realizar 
a divisão entre esses dois valores.
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Agora, faça o que se pede nas atividades a seguir.
 1. Crie um programa para determinar a chance de cair "coroa" em 
um lançamento de 80 moedas.
 2. Crie um programa que calcule a chance de, ao sortearmos
50 números entre 1 e 100, ele ser múltiplo de 2 ou múltiplo de 3.
O que será que pode acontecer 
se aumentarmos a quantidade 
de lançamentos realizados?
PENSE E
RESPONDA
NÃO ESCREVA 
NO LIVRO
O aumento da quantidade de sorteios au-
mentará a precisão do resultado, chegan-
do a um número mais próximo de 0,5.
Elaboração do estudante.
Observe que, se clicar diretamente para 
repetir, o número vai crescer e, eventualmente, 
vai ficar maior do que 1, o que não tem sentido 
probabilístico algum. Isso acontece pois no programa não foi zerado o contador de 
números pares. Sendo assim, ao clicar pelas próximas vezes na bandeira verde, o novo 
experimento vai ser feito adicionando-se os novos pares com o número de pares do 
experimento anterior. Para evitar esse problema, é necessário colocar no início do pro-
grama uma linha que deixe o contador de número de pares zerado antes de realizar 
um novo experimento. Assim, clique em Variáveis, arraste o bloco indicado acima para 
antes do Repita.
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Troque o "minha variável" por "pares", deixando o 0 como está. Assim, a cada 
novo experimento, o contador de números pares será zerado. O programa completo 
ficará assim:
Elaboração do estudante.
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 1. (Unirio-RJ) O Role-playing game (RPG) é um 
tipo de jogo no qual os jogadores assumem 
papéis de personagens e criam narrativas. 
Como nesses jogos sempre existem eventos 
aleatórios, é comum o uso de dados para 
decidir o fracasso ou sucesso das ações de 
cada jogador. A figura a seguir representa 
dois dados: um de 10 faces (numeradas de 
1 a 10) e outro de 5 faces (numeradas de 1 a 
5). Escolhendo-se ao acaso uma face de cada 
um desses dados, qual 
é a probabilidade de a 
soma dos números das 
faces escolhidas ser um 
número ímpar?
a)
1
5
b)
3
10
c)
1
2
d)
3
5
e)
3
4
 2. (Cesgranrio-RJ) Em uma amostra de 500 peças, 
existem exatamente quatro defeituosas. 
Retirando-se ao acaso uma peça dessa amos-
tra, a probabilidade de ela ser perfeita é de:
a) 99,0%
b) 99,1%
c) 99,2%
d) 99,3%
e) 99,4%
 3. (Vunesp-SP) Numa pesquisa feita com 200 
homens, observou-se que 80 eram casados,
20 separados, 10 eram viúvos e 90 eram sol-
teiros. Escolhido um homem ao acaso, a pro-
babilidade de ele não ser solteiro é: alternativa c
a) 0,65
b) 0,6
c) 0,55
d) 0,5
e) 0,35
 4. (UFRGS-RS) Considere um hexágono regu-
lar convexo com vértices, A, B, C, D, E e F. 
Tomando dois vértices ao acaso, a probabili-
dade de eles serem extremos de uma diago-
nal do hexágono é alternativa c
a)
1
5
b)
2
5
c)
3
5
d)
4
5
e)
1
alternativa c
alternativa c
DIÁLOGOS> ATIVIDADES COMPLEMENTARES> NÃO ESCREVA NO LIVRO
 5. (UEG-GO) Um jogo de programa de auditó-
rio entre dois participantes consiste em rodar 
dois piões idênticos, 
em forma de prisma re-
gular hexagonal, cujas 
faces laterais estão nu-
meradas de 1 a 6, con-
forme ilustra a figura 
ao lado.
Ganha o prêmio do jogo o participante que 
obtiver, na soma das faces dos dois piões, a 
maior pontuação. Por exemplo: se um par-
ticipante rodar os piões e obtiver face 3 no 
primeiro pião e face 4 no segundo pião, ele 
soma 7 pontos. Em caso de mesma pontuação 
(empate), nenhum participante ganha o prê-
mio. Dessa forma, se o primeiro participante 
roda os piões e obtém face 4 no primeiro pião 
e face 5 no segundo pião, a probabilidade de 
ele ganhar o prêmio desse jogo é de
a)
3
18
b)
5
18
c)
9
18
d)
13
18
e)
15
18
 6. (Fuvest-SP) Em uma urna, há bolas amarelas, 
brancas e vermelhas. Sabe-se que: 
 I. A probabilidade de retirar uma bola verme-
lha dessa urna é o dobro da probabilidade 
de retirar uma bola amarela.
 II. Se forem retiradas 4 bolas amarelas dessa 
urna, a probabilidade de retirar uma bola 
vermelha passa a ser 1/2.
 III. Se forem retiradas 12 bolas vermelhas dessa 
urna, a probabilidade de retirar uma bola 
branca passa a ser 1/2.
A quantidade de bolas brancas na urna é 
a) 8. b) 10. c) 12. d) 14. e) 16.
 7. (Unicamp-SP) Um dado não tendencioso de 
seis faces será lançado duas vezes. A probabi-
lidade de que o maior valor obtido nos lança-
mentos seja menor do que 3 é igual a
a)
1
3
b)
1
5
c)
1
7
d)
1
9
alternativa d
alternativa c
alternativa d
■ Figura: Pião do jogo
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 8. (Enem/MEC) Um morador de uma região me-
tropolitana tem 50% de probabilidade de atra-
sar-se para o trabalho quando chove na região; 
caso não chova, sua probabilidade de atraso é 
de 25%. Para um determinado dia, o serviço de 
meteorologia estima em 30% a probabilidade 
da ocorrência de chuva nessa região.
Qual é a probabilidade de esse morador se 
atrasar para o serviço no dia para o qual foi 
dada a estimativa de chuva? alternativa c
a) 0,075
b) 0,150
c) 0,325
d) 0,600
e) 0,800
 9. (EsPCEx-SP) A probabilidade de um casal ter 
um filho de olhos azuis é igual a 
1
3
. Se o casal 
pretende ter 4 filhos, a probabilidade de que 
no máximo dois tenham olhos azuis é:
a) 1
9
b)
7
9
c)
8
9
d)
2
3
e)
1
2
alternativa c
Neste Capítulo, estudamos o conceito de probabilidade, tanto em espaços amostrais equi-
prováveis, quanto em espaços não equiprováveis. Vimos os tipos de eventos e calculamos 
a probabilidade condicional. Em diversos cálculos, foi necessário recorrer aos métodos de 
contagem estudados no Capítulo sobre combinatória.
Nas páginas de abertura, relacionamos o estudo das probabilidades à Biologia, por meio 
das ideias de Mendel. 
Vamos refletir a respeito das aprendizagens do Capítulo 4.
• Você conhecia a definição de probabilidade?
• Ao ler o enunciado de um problema sobre probabilidade, você é capaz de identificar se os 
eventos são independentes?
• As informações presentes na seção Conexões, sobre os métodos contraceptivos que 
auxiliam tanto na prevenção da gravidez precoce, quanto na prevenção contra as ISTs con-
tribuíram para esclarecer alguma dúvida que você tinha sobre o tema?
• Na seção História da Matemática, você viu que Jerónimo Cardano se apoiou na observa-
ção dos resultados dos jogos de azar para construir sua teoria. Você tinha conhecimento 
desse trabalho?
• O programa desenvolvido na seção Explorando a tecnologia ajudou você a compreender 
melhor o cálculo de probabilidade?
> PARA REFLETIR NÃO ESCREVA NO LIVRO
 10. (Uneb-BA) Das pessoas que procuraram aten-
dimento em um posto de saúde certo dia, 
constatou-se que 60% eram mulheres, 60% 
tinham mais de 18 anos e 85% eram mulheres 
ou tinham mais de 18 anos. Escolhendo-se, ao 
acaso, a ficha de um desses pacientes, a pro-
babilidade de ele ser um homem, se tiver mais 
de 18 anos, é igual a alternativa e
a)
1
4
b)
8
25
c)
2
5
d)
9
20
e)
5
12
 11. (UFRGS-RS) As máquinas A e B produzem o 
mesmo tipo de parafuso. A porcentagem de 
parafusos defeituosos produzidos, respectiva-
mente, pelas máquinas A e B é de 15% e de 5%. 
Foram misturados, numa caixa, 100 parafusos 
produzidos por A e 100 produzidos por B. Se 
tirarmos um parafuso ao acaso e ele for de-
feituoso, a probabilidade de que tenha sido 
produzido pela máquina A é de alternativa e
a) 10%
b) 15%
c) 30%
d) 50%
e) 75%
Respostas pessoais.
151
D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 151D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C04-106-151-LA-G21.indd 151 16/09/20 20:3616/09/20 20:36
> RESPOSTAS DAS ATIVIDADES
Capítulo 1 • Noções de Estatística
Atividades
 1. a) Confederação Nacional do Comércio de Bens, 
Serviços e Turismo.
b) Resposta pessoal.
 2. a)
 Distribuição de pessoas desempregadas por 
idade (em ano) no 1o trimestre 2020
Faixa etária Frequência absoluta
Frequência 
relativa
14-17 0,9933 7,7%
18-24 4,1280 32%
25-39 4,3473 33,7%
40-59 3,0831 23,9%
60+ 0,3483 2,7%
Fonte: BRASIL. Ministério do Planejamento, Desenvolvimento 
e Gestão. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. 
Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua - PNAD 
Contínua. Brasília, DF, jan./mar. 2020. Disponível em: https://
www.ibge.gov.br/estatisticas/sociais/trabalho/9173-pesquisa-
nacional-por-amostra-de-domicilios-continua-trimestral.
html?edicao=27704&t=destaques. Acesso em: 1o ago. 2020.
b) Resposta pessoal.
 3. a) O eixo das abscissas indica os meses de outubro 
e abril de 2015 a 2018 e de janeiro de 2019.
b) Está faltando indicar que os números expressam 
porcentagem. Resposta pessoal.
c) Resposta pessoal.
 4. a) Resposta pessoal.
b) Resposta pessoal.
 5. Resposta pessoal.
 6. Resposta pessoal. 
 7. a) aproximadamente 323,33 kWh por mês 
b) Resposta pessoal.
 8. alternativa e
 9. M 1 167,08
 10. 4,5
 11. a) Resposta pessoal. 
b) Resposta pessoal. 
c) Resposta pessoal.
 12. a) x = 11,44
b) M
d
= 11
 13. I) verdadeira
II) falsa
 14. alternativa 05
 15. a) aproximadamente 591
b) Resposta pessoal. 
c) Resposta pessoal. 
 16. a) A amplitude é 9 cm e o diâmetro médio é 14,25 cm. 
b) A variância é aproximadamente 11,31 cm² e o 
desvio padrão é aproximadamente 3,36 cm. 
 17. a) Resposta pessoal.
b) Resposta pessoal.
c) Resposta pessoal.
 18. a) Com sabor: aproximadamente 2,88 (mg/g); apro-
ximadamente 80,33 (mg/fornilho)
Sem sabor: aproximadamente 35,75 (mg/g); aproxi-
madamente 663 (mg/fornilho)
Com e sem sabor: aproximadamente 16,03 (mg/g); 
aproximadamente 313,4 (mg/fornilho)
b) 39,7 (mg/g); 774 (mg/fornilho)
c) aproximadamente 16,52 mg/g
d) Resposta pessoal. 
 19. b) mediana: 56 questões; moda: 50 questões
c) aproximadamente 30,23%.
20. Resposta pessoal.
 21. a) O mais novo tem 21 anos e o mais velho 55. 
b) Sim. Resposta pessoal.
c) Há mais estudantes entre 46 e 55 anos. Resposta 
pessoal.
d) Metade dos estudantes tem idade abaixo de 37 
anos e a outra metade acima.
22. Resposta pessoal.
Atividades complementares
 1. alternativa e
 2. alternativa c
 3. alternativa a
 4. alternativa a
 5. alternativa d
 6. alternativa e
 7. alternativa c
 8. alternativa e
 9. alternativa b
 10. alternativa d
 11. alternativa e
 12. alternativa a
Capítulo 2 • Pesquisa estatística
Atividades
 1. a) Não é possível obter essa informação.
b) Sim. Resposta pessoal.
c) Aproximadamente 16 336 874 de idosos.
d) Resposta pessoal.
 2. Resposta pessoal. 
152
D3-MAT-EM-3073-LA-V6-152-160-PFI-G21.indd 152D3-MAT-EM-3073-LA-V6-152-160-PFI-G21.indd 152 18/09/20 12:5918/09/20 12:59
https://www.ibge.gov.br/estatisticas/sociais/trabalho/9173-pesquisa-nacional-por-amostra-de-domicilios-continua-trimestral.html?edicao=27704&t=destaques
 3. Amostra sistemática. 
 4. alternativa a
 5. a) Não. Resposta pessoal.
b)
346 votos.
c) 381 pessoas.
d) Resposta pessoal. 
 6. a) Amostral. Resposta pessoal.
b) A pesquisa foi realizada por telefone.
c) 90%. Resposta pessoal.
d) Resposta pessoal. 
 7. Resposta pessoal. 
 8. alternativa d
 9. a) A renda per capita não reflete a real situação do 
país nos diversos setores da sociedade, como edu-
cação e saúde.
b) Educação, saúde e renda.
c) Resposta pessoal.
 10. a) O IPCA serve para medir a inflação do país e 
monitora os preços dos alimentos que compõem a 
cesta básica brasileira.
b) Resposta pessoal. 
c) Resposta pessoal. 
 11. a) Resposta pessoal. 
b) Resposta pessoal.
 12. Muito alto: Noruega e Suíça; alto: Brasil; baixo: 
Angola; muito baixo: Níger.
 13. a) IDHM
2016
 1 0,776
IDHM
2017
 1 0,778
b) Resposta pessoal.
 14. Resposta pessoal.
 15. Resposta pessoal.
Atividades complementares
 1. alternativa d
 2. alternativa d
 3. alternativa c
 4. alternativa d
Capítulo 3 • Combinatória
Atividades
 1. 40 pares de modelos
 2. a) As possibilidades de caminho são: (x, 1), (x, 2), 
(y, 1), (y, 2), (z, 1) e (z, 2).
b) 3 ? 2 = 6
 3. a) 6 números
b) 27 números
 4. 24 números
 5. a) Possível resposta: {dó, ré, mi, fá}; {ré, mi, fá, sol}; 
{fá, sol, lá, si}; {mi, fá, sol, lá}; {dó, mi, fá, sol}
b) 1 512 melodias.
 6. 336 possibilidades
 7. Têm-se 600 modos diferentes de montar essa 
composição.
 8. Elaboração do estudante.
 9. a) 
181
30
b) 21
 10. a) n
b) 
1
3n
 11. a) S = {8} b) S = {4}
 12. S = {2}
 13. 15 120 números
 14. 504 maneiras
 15. 168 números
 16. a) 840 possibilidades
b) 480 bandeiras
 17. a) 2 160 números pares
b) 2 880 números ímpares
 18. a) 600
b) 288 ímpares
c) 126
 19. 36 números
 20. a) 720
b) 120
c) 360
d) 24
e) 144
 21. alternativa d
 22. a) 720 b) 361 c) 34
 23. a) 720 anagramas
b) 120 anagramas
 24. 1 728 modos
 25. a) 12
b) 129 729 600
c) 15 120
 26. a) 60 b) 20
 27. 210 maneiras
153
D3-MAT-EM-3073-LA-V6-152-160-PFI-G21.indd 153D3-MAT-EM-3073-LA-V6-152-160-PFI-G21.indd 153 19/09/20 18:4019/09/20 18:40
 28. 840 anagramas
 29. 24 anagramas
 30. 126 caminhos
 31. 30
 32. 56
 33. 120
 34. 200 grupos
 35. 200 provas
 36. a) 40 maneiras
b) 18 maneiras
 37. 210 tipos
 38. alternativa e
 39. 17 equipes
 40. 21 professores
 41. 45 864 grupos
Atividades complementares
 1. alternativa a
 2. alternativa 02
 3. alternativa e
 4. alternativa a
 5. alternativa c
 6. alternativa 04
 7. alternativa c
 8. alternativa d
 9. alternativa e
 10. alternativa d
Capítulo 4 • Probabilidade
Atividades
 1. a) U é o conjunto formado pelos pares ordenados 
a seguir.
Verde
Branco 1 2 3 4 5 6
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
b) E
1
 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
c) E
2
 = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
d) n(U) = 36; n(E
1
) = 6, n(E
2
) = 4
 2. a) Resposta pessoal.
b) Resposta pessoal.
 3. a) {(1, 5), (2, 4)}
b) {(1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (4, 5)}
c) {(2, 5), (3, 4)}
 4. a) U é o espaço amostral representado pelo con-
junto dos pares ordenados a seguir.
Moeda
Dado Cara (C) Coroa (K)
1 (C, 1) (K, 1)
2 (C, 2) (K, 2)
3 (C, 3) (K, 3)
4 (C, 4) (K, 4)
5 (C, 5) (K, 5)
6 (C, 6) (K, 6)
b) E = {(C, 1), (C, 3), (C, 5)}
c) E = {(K, 2), (K, 4), (K, 6)}
 5. a) 1 possibilidade
b) Total = 27 possibilidades
 6. a) U = {(CCC), (CCK), (CKC), (CKK), (KCC), (KCK), (KKC), 
(KKK)}. 
b) U = {(MMMM), (MMMF), (MMFM), (MMFF), 
(MFMM), (MFMF), (MFFM), (MFFF), (FMMM), (FMMF), 
(FMFM), (FMFF), (FFMM), (FFMF), (FFFM), (FFFF)} 
 7. Elaboração do estudante.
 8. P(azul) = 
3
5
P(amarela) = 
2
5
 9. a) 
1
6
b) 
1
2
c) 
1
2
d) 
2
3
e) 0
 10. a) 1 ou 100%
b) 0
 11. a) 
1
6
b) 
1
9
c) 
1
12
d) 
1
18
 12. a) 
1
2
b) 
13
20
c) 
1
5
d) 
3
10
 13. a) 
1
13
b) 
1
52
c) 
1
4
d) 
3
13
 14. a) 
3
4
b) 
1
4
c) 
1
4
 15. alternativa c
 16. A probabilidade é de 24,4%
154
D3-MAT-EM-3073-LA-V6-152-160-PFI-G21.indd 154D3-MAT-EM-3073-LA-V6-152-160-PFI-G21.indd 154 18/09/20 20:1818/09/20 20:18
 17. a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30 
e 36. 
b) 
1
36
c) 
1
4
d) 
3
4
 18. 
2
9
 19. 
3
5
ou 60% .
 20. a) 56 b) 
3
8
.
 21. a) 
11
36
b) 
13
75
 22. alternativa d
 23. 
7
25
 24. 
6
7
 25. alternativa e
 26. a) 
1
2
b) 
5
8
c) 
1
4
d) 
7
8
e) 
3
8
f) 
1
8
 27. 
5
12
 28. a) 
3
10
b) 
1
2
c) 
1
10
 29. a) 37%
b) 29%
 30. 
4
13
 31. a) 
1
2
b) 
1
2
c) 
7
30
d) 
2
5
 32. Elaboração do estudante.
 33. 16 24 3
3 000
p+
 34. 
7
36
 35. a) 
1
11
. b) 
5
22
.
 36. a) 20; 150 b) 400; 
1
10
 37. alternativa d
 38. a) 
2
5
b) 
1
2
c) 
2
5
 39. alternativa d
 40. a) 
1
2
b) 
1
6
c) 
1
3
 41. a) 0% b) 
1
9
 42. a) 105 b) 
8
35
c) 
5
27
 43. 50%
 44. 
2
5
 45. a) 
1
13
; 
1
4
b) 
1
13
; 
1
4
 46. 
13
204
 47. a) 
1
2
; 
1
2
b) 
1
3
; 
2
3
c) 
7
11
; 
4
11
; 
4
10
; 
7
10
; 
6
10
 48. alternativa a
 49. 
2
13
 50. alternativa d
 51. alternativa a
 52. alternativa e
 53. alternativa c
 54. 
1
9
 55. 
1
216
 56. 
1
4
 57. 
1
16
.
 58. 
1
16
 59. 
1
36
.
 60. a) 
1
1594 323
b) 
26
1594 323
c) 
53 248
1594 323
d) 
8192
1594 323
155
D3-MAT-EM-3073-LA-V6-152-160-PFI-G21.indd 155D3-MAT-EM-3073-LA-V6-152-160-PFI-G21.indd 155 18/09/20 12:5918/09/20 12:59
 61. a)
3
4
b) 
9
64
 62.
1
4
 63.
1
2
ou 50%
 64. a)
15
56
. b) 
1
3
. 
 65. alternativa e
 66. a) não equiprovável.
b) não equiprovável.
c) equiprovável.
 67. a)
1
8
b) 
1
4
c) 
3
8
d) 
5
8
 68. a)
1
2
b) 
1
3
c) 
1
2
 69. a) 57%. b) 43% c) 22%.
 70. alternativa d
 71. a)
4
7
b) 
2
7
c) 
1
7
Atividades complementares
 1. alternativa c
 2. alternativa c
 3. alternativa c
 4. alternativa c
 5. alternativa d
 6. alternativa c
 7. alternativa d
 8. alternativa c
 9. alternativa c
 10. alternativa e
 11. alternativa e
Na Base Nacional Comum Curricular (BNCC), as com-
petências são identifi cadas por números (de 1 a 10) 
e as habilidades, por códigos alfanuméricos, por 
exemplo, EM13MAT103, cuja composição é explicada 
da seguinte maneira:
� as duas primeiras letras indicam a etapa da Educação 
Básica, no caso, Ensino Médio (EM);
� o primeiro par de números indica que as habilidades 
descritas podem ser desenvolvidas em qualquer série 
do Ensino Médio (13);
� a segunda sequência de letras indica a área (três 
letras) ou o componente curricular (duas letras): MAT 
= Matemática e suas Tecnologias; LGG = Linguagens 
e suas Tecnologias; LP = Língua Portuguesa; CNT 
= Ciências da Natureza e suas Tecnologias; CHS =
Ciências Humanas e Sociais Aplicadas;
� os três números fi nais indicam a competência espe-
cífica (1o número) e a habilidade específica (dois 
últimos números).
A seguir, os textos na íntegra das competências gerais, 
competências específi cas e habilidades mencionadas 
nesta obra.
> BASE NACIONAL COMUM CURRICULAR
Competências gerais da Educação Básica
 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente 
construídos sobre o mundo físico, social, cultural e 
digital para entender e explicar a realidade, conti-
nuar aprendendo e colaborar para a construção de 
uma sociedade justa, democrática e inclusiva.
 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à 
abordagem própria das ciências, incluindo a inves-
tigação, a refl exão, a análise crítica, a imaginação 
e a criatividade, para investigar causas, elaborar e 
testar hipóteses, formular e resolver problemas e 
criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos 
conhecimentos das diferentes áreas.
 3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísti-
cas e culturais, das locais às mundiais, e também 
participar de práticas diversifi cadas da produção 
artístico-cultural.
 4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral
ou visu-
al-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, 
sonora e digital –, bem como conhecimentos das 
linguagens artística, matemática e científi ca, para 
se expressar e partilhar informações, experiências, 
ideias e sentimentos em diferentes contextos e pro-
duzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
156
D3-MAT-EM-3073-LA-V6-152-160-PFI-G21.indd 156D3-MAT-EM-3073-LA-V6-152-160-PFI-G21.indd 156 18/09/20 12:5918/09/20 12:59
 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de 
informação e comunicação de forma crítica, signifi-
cativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais 
(incluindo as escolares) para se comunicar, acessar 
e disseminar informações, produzir conhecimen-
tos, resolver problemas e exercer protagonismo e 
autoria na vida pessoal e coletiva.
 7. Argumentar com base em fatos, dados e informa-
ções confiáveis, para formular, negociar e defender 
ideias, pontos de vista e decisões comuns que 
respeitem e promovam os direitos humanos, a cons-
ciência socioambiental e o consumo responsável 
em âmbito local, regional e global, com posiciona-
mento ético em relação ao cuidado de si mesmo, 
dos outros e do planeta.
 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e 
emocional, compreendendo-se na diversidade humana 
e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com 
autocrítica e capacidade para lidar com elas.
 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de 
conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e 
promovendo o respeito ao outro e aos direitos 
humanos, com acolhimento e valorização da diver-
sidade de indivíduos e de grupos sociais, seus 
saberes, identidades, culturas e potencialidades, 
sem preconceitos de qualquer natureza.
 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, respon-
sabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, 
tomando decisões com base em princípios éticos, 
democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
Matemática e suas Tecnologias no Ensino Médio: 
competências específicas e habilidades
Competência específica 1 – Utilizar estratégias, 
conceitos e procedimentos matemáticos para interpre-
tar situações em diversos contextos, sejam atividades 
cotidianas, sejam fatos das Ciências da Natureza e 
Humanas, das questões socioeconômicas ou tecno-
lógicas, divulgados por diferentes meios, de modo a 
contribuir para uma formação geral.
(EM13MAT102) Analisar tabelas, gráficos e amostras 
de pesquisas estatísticas apresentadas em relatórios 
divulgados por diferentes meios de comunicação, iden-
tificando, quando for o caso, inadequações que possam 
induzir a erros de interpretação, como escalas e amos-
tras não apropriadas.
(EM13MAT104) Interpretar taxas e índices de natu-
reza socioeconômica (índice de desenvolvimento 
humano, taxas de inflação, entre outros), investigando 
os processos de cálculo desses números, para analisar 
criticamente a realidade e produzir argumentos.
(EM13MAT106) Identificar situações da vida cotidiana 
nas quais seja necessário fazer escolhas levando-se 
em conta os riscos probabilísticos (usar este ou aquele 
método contraceptivo, optar por um tratamento 
médico em detrimento de outro etc.).
Competência específica 2 – Propor ou participar de 
ações para investigar desafios do mundo contemporâ-
neo e tomar decisões éticas e socialmente responsáveis, 
com base na análise de problemas sociais, como os 
voltados a situações de saúde, sustentabilidade, das 
implicações da tecnologia no mundo do trabalho, entre 
outros, mobilizando e articulando conceitos, procedi-
mentos e linguagens próprios da Matemática.
(EM13MAT202) Planejar e executar pesquisa amostral 
sobre questões relevantes, usando dados coletados 
diretamente ou em diferentes fontes, e comunicar os 
resultados por meio de relatório contendo gráficos e 
interpretação das medidas de tendência central e das 
medidas de dispersão (amplitude e desvio padrão), uti-
lizando ou não recursos tecnológicos.
Competência específica 3 – Utilizar estratégias, 
conceitos, definições e procedimentos matemáticos 
para interpretar, construir modelos e resolver proble-
mas em diversos contextos, analisando a plausibilidade 
dos resultados e a adequação das soluções propostas, 
de modo a construir argumentação consistente.
(EM13MAT310) Resolver e elaborar problemas de con-
tagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não 
de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e 
aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o dia-
grama de árvore.
(EM13MAT311) Identificar e descrever o espaço amos-
tral de eventos aleatórios, realizando contagem das 
possibilidades, para resolver e elaborar problemas que 
envolvem o cálculo da probabilidade.
(EM13MAT312) Resolver e elaborar problemas que 
envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em 
experimentos aleatórios sucessivos.
(EM13MAT316) Resolver e elaborar problemas, em 
diferentes contextos, que envolvem cálculo e interpre-
tação das medidas de tendência central (média, moda, 
mediana) e das medidas de dispersão (amplitude, vari-
ância e desvio padrão).
Competência específica 4 – Compreender e uti-
lizar, com flexibilidade e precisão, diferentes registros 
de representação matemáticos (algébrico, geométrico, 
estatístico, computacional etc.), na busca de solução e 
comunicação de resultados de problemas.
157
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(EM13MAT406) Construir e interpretar tabelas e grá-
fi cos de frequências com base em dados obtidos em 
pesquisas por amostras estatísticas, incluindo ou não o 
uso de softwares que inter-relacionem estatística, geo-
metria e álgebra.
(EM13MAT407) Interpretar e comparar conjuntos de 
dados estatísticos por meio de diferentes diagramas 
e gráfi cos (histograma, de caixa (box-plot), de ramos e 
folhas, entre outros), reconhecendo os mais efi cientes 
para sua análise.
Competência específi ca 5 – Investigar e estabelecer 
conjecturas a respeito de diferentes conceitos e proprie-
dades matemáticas, empregando estratégias e recursos, 
como observação de padrões, experimentações e dife-
rentes tecnologias, identifi cando a necessidade, ou não, 
de uma demonstração cada vez mais formal na valida-
ção das referidas conjecturas.
(EM13MAT511) Reconhecer a existência de diferen-
tes tipos de espaços amostrais, discretos ou não, e de 
eventos, equiprováveis ou não, e investigar implicações 
no cálculo de probabilidades.
Ciências da Natureza e suas Tecnologias no Ensino Médio:
competências específicas
Competência específica 2 – Analisar e utilizar 
interpretações sobre a dinâmica da Vida, da Terra e do 
Cosmos para elaborar argumentos, realizar previsões 
sobre o funcionamento e a evolução dos seres vivos e 
do Universo, e fundamentar e defender decisões éticas 
e responsáveis.
Competência específica 3 – Investigar situa-
ções-problema e avaliar aplicações do conhecimento 
científi co e tecnológico e suas implicações no mundo, 
utilizando procedimentos e linguagens próprios das 
Ciências da Natureza, para propor soluções que con-
siderem demandas locais, regionais e/ou globais, e 
comunicar suas descobertas e conclusões a públicos 
variados, em diversos contextos e por meio de dife-
rentes mídias e tecnologias digitais de informação e 
comunicação (TDIC).
> BIBLIOGRAFIA COMENTADA
ALMEIDA, L. W. de.; SILVA K. P.; VERTUAN, R. E. Modelagem
Matemática na educação básica. São Paulo: Contexto, 
2016.
§ Essa obra proporciona oportunidades de integração 
envolvendo atividades normalmente desenvolvidas nas 
aulas de Matemática e situações do dia a dia, no que tange 
a aspectos econômicos, sociais e ambientais.
BONOMI, M. C.; LAURO, M. M. Funções elementares, 
equações e inequações: uma abordagem utilizando 
microcomputador. 1 ed. São Paulo: CAEM-IME/USP, 2001.
§ Esse material aborda aspectos sobre o ensino de funções 
afi m e quadrática a partir do uso de softwares.
BOYER, C. História da Matemática. Tradução de Helena 
de Castro. São Paulo: Edgard Blücher,
2012.
§ O livro aborda fatos e estudos da História da Matemática, 
destacando a fascinante relação da humanidade com 
números, formas e padrões ao longo do tempo.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum 
Curricular (BNCC). Brasília, DF, 2018. Disponível em: 
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/. Acesso em: 
14 ago. 2020.
§ Documento ofi cial contendo um conjunto de orien-
tações que norteia a (re)elaboração dos currículos de 
referência das escolas das redes pública e privada de 
ensino de todo o Brasil. Traz os conhecimentos essen-
ciais, as competências, habilidades e aprendizagens 
pretendidas para crianças e jovens em cada etapa da 
Educação Básica.
BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares 
Nacionais da Educação Básica. Brasília, DF, 2013. 
Disponível em: http://portal.mec.gov.br/docman/julho
-2013-pdf/13677-diretrizes-educacao-basica-2013-pdf/fi le. 
Acesso em: 14 ago. 2020.
§ As Diretrizes Curriculares Nacionais (DCNs) são normas 
obrigatórias para a Educação Básica que orientaram a 
elaboração da BNCC. Elas são discutidas, concebidas 
e fi xadas pelo Conselho Nacional de Educação (CNE).
BRASIL. Lei no 13.415, de 16 de fevereiro de 2017. Brasília, 
DF, 2017. Disponível em: http://www.planalto.gov.br/
ccivil_03/_ato2015-2018/2017/lei/l13415.htm. Acesso em: 14 
ago. 2020.
§ Lei que alterou a Lei de Diretrizes e Bases da Educação 
Nacional e estabeleceu uma mudança na estrutura do 
Ensino Médio, ampliando o tempo mínimo do estudante 
na escola de 800 horas para 1 000 horas anuais (até 2022) 
e defi nindo uma nova organização curricular, mais fl exí-
vel, que contemple a Base Nacional Comum Curricular 
(BNCC), conhecido como o Novo Ensino Médio.
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http://basenacionalcomum.mec.gov.br/
http://portal.mec.gov.br/docman/julho-2013-pdf/13677-diretrizes-educacao-basica-2013-pdf/file
http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/_ato2015-2018/2017/lei/l13415.htm
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/
http://portal.mec.gov.br/docman/julho-2013-pdf/13677-diretrizes-educacao-basica-2013-pdf/file
http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/_ato2015-2018/2017/lei/l13415.htm
BRASIL. Ministério da Saúde. Guia alimentar para a 
saúde. 2ª. ed. Brasília, DF, 2014. Disponível em: https://
bvsms.saude.gov.br/bvs/publicacoes/guia_alimentar_
populacao_brasileira_2ed.pdf. Acesso em: 14 ago. 2020.
 � Apresenta aspectos sobre os alimentos saudáveis e con-
tribui para a adequação de uma rotina de alimentação 
saudável.
BRASIL. Ministério da Educação. Temas contemporâneos 
transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos 
pedagógicos. Brasília, DF, 2019. Disponível em: http://
basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/
contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso 
em: 14 ago. 2020.
 � Documento explicativo sobre os temas transversais a 
serem abordados na Educação Básica.
CARRANO, P.; DAYRELL, J. Juventude e Ensino Médio: quem 
é este aluno que chega à escola In: DAYRELL, J.; CARRANO, 
P.; MAIA, C. L. Juventude e Ensino Médio: sujeitos e 
currículos em diálogo. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2014. p. 
101-133. Disponível em: https://educacaointegral.org.br/
wp-content/uploads/2015/01/livro-completo_juventude-
e-ensino-medio_2014.pdf. Acesso em: 14 ago. 2020.
 � Como o próprio título indica, trata-se de um texto que 
procura “descrever” o jovem atual.
CARVALHO, J. P. de. Um problema de Fibonacci. RPM, Rio 
de Janeiro, n. 17. Disponível em: http://www.rpm.org.br/
cdrpm/17/2.htm. Acesso em: 14 ago. 2020.
 � Apresenta uma explicação sobre a história do matemá-
tico Leonardo Fibonacci e como ele chegou à sequência 
de Fibonacci.
CERRI, C.; MONTEIRO, M. S. História dos números comple-
xos. São Paulo: CAEM – IME-USP, 2011. Disponível em: 
https://www.ime.usp.br/~martha/caem/complexos.pdf. 
Acesso em: 14 ago. 2020.
 � Apresenta informações sobre o desenvolvimento dos 
números complexos ao longo da história.
COELHO, J. R. P. O GeoGebra no ensino das funções 
exponenciais. Campos dos Goytacazes: UENF-RJ, 2016.
 � O material explora a utilização do software GeoGebra e 
de planilhas no estudo das funções exponenciais.
DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra moderna. 4. ed. 
reformulada. São Paulo: Atual, 2003.
 � Essa obra apresenta conceitos matemáticos como conjuntos, 
funções, entre outros, destacando demonstrações e a impor-
tância de uma linguagem formal na escrita matemática.
EVES, H. Introdução à história da Matemática. Tradução 
de Hygino H. Domingues. Campinas: Ed. da Unicamp, 2007.
 � O livro aborda vários fatos e estudos da Matemática 
organizados de forma cronológica.
FAZENDA, I. C. A. Interdisciplinaridade: história, teoria 
e pesquisa. 18. ed. Campinas: Papirus, 2012. (Coleção 
Magistério: Formação e Trabalho Pedagógico).
 � Essa obra propõe reflexões sobre a construção de um 
saber mais integrado e livre, destacando a integração 
de diferentes áreas de conhecimento permeando o 
processo de ensino e aprendizagem.
KENSKI, V. M. Educação e tecnologias: o novo ritmo 
da informação. 8. ed. Campinas: Papirus, 2012. (Coleção 
Papirus Educação).
 � Essa obra busca refletir sobre as relações entre educação e 
tecnologias, evitando jargões, teorias e abordagens espe-
cíficas desses campos de conhecimento, de modo que as 
discussões propostas sejam mais acessíveis a todos.
LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. 9. ed. 
Rio de Janeiro: SBM, 2006. 3 v. (Coleção do professor de 
Matemática).
 � Livro que aborda conceitos matemáticos desenvolvidos 
no Ensino Médio, destacando demonstrações e ativida-
des de aprofundamento.
LOPES, C. A. E.; NACARATO, A. M. (org.). Escritas e lei-
turas na educação matemática. 1. ed. Belo Horizonte: 
Autêntica, 2009.
 � Livro que traz um compilado de artigos discutindo 
perspectivas consideradas fundamentais no ensino de 
Matemática, que deve focalizar os saberes do aluno, 
incentivando a criação dos próprios procedimentos e 
desenvolvimento do raciocínio e da criatividade, prio-
rizando a aquisição e comunicação em linguagem 
matemática.
MACHADO, N. J. Epistemologia e didática: as concepções 
de conhecimento e inteligência e a prática docente. 6. ed. 
São Paulo: Cortez, 2005.
 � Essa obra apresenta reflexões que buscam articular 
questões epistemológicas e ações docentes, bem como 
analisar formas usuais do trabalho escolar propondo 
alternativas didáticas.
MELO, M. C. P.; JUSTULIN, A. M. A resolução de problemas: 
uma metodologia ativa na construção do conceito de 
semelhança de triângulos. In: ENCONTRO PARANAENSE 
DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, XV., 2019, Londrina. Anais 
[...]. Londrina: SBEM-PR, 2019. Disponível em: http://www.
sbemparana.com.br/eventos/index.php/EPREM/XV_ 
EPREM/paper/viewFile/1019/881. Acesso em: 14 ago. 2020.
 � Apresentação teórica e prática da metodologia de resolu-
ção de problemas.
PATERLINI, R. R. Técnicas de máximos e de mínimos. RPM, 
Rio de Janeiro, n. 35. Disponível em: http://www.rpm.org.br/
cdrpm/35/6.htm. Acesso em: 14 ago. 2020.
 � Artigo no qual são investigadas situações-problema 
por meio de diferentes técnicas para se encontrar os 
valores de máximo ou de mínimo da função.
POMMER, W. M. O número de Euler: Possíveis abordagens 
no ensino básico. São Paulo: FEUSP, 2010. Disponível em: 
https://www.nilsonjosemachado.net/sema20100831.pdf. 
Acesso em: 14 ago. 2020.
159
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https://bvsms.saude.gov.br/bvs/publicacoes/guia_alimentar_populacao_brasileira_2ed.pdf
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf
https://educacaointegral.org.br/wp-content/uploads/2015/01/livro-completo_juventude-e-ensino-medio_2014.pdf
http://www.rpm.org.br/cdrpm/17/2.htm
https://www.ime.usp.br/~martha/caem/complexos.pdf
http://www.sbemparana.com.br/eventos/index.php/EPREM/XV_EPREM/paper/viewFile/1019/881
http://www.rpm.org.br/cdrpm/35/6.htm
https://www.nilsonjosemachado.net/sema20100831.pdf
§ Esse material apresenta aspectos históricos sobre o 
número de Euler, que contribuem para ampliar o estudo 
sobre o tema.
PONTE, J. P.; BROCADO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações 
matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica 
Editora, 2003.
§ Nessa obra são apresentadas algumas vantagens em 
se trabalhar com investigações matemáticas em sala 
de aula, destacando o estabelecimento de conjecturas, 
refl exões e formalização do conhecimento matemático 
pelos estudantes.
PORTAL DA OBMEP. Disponível em: https://portaldaobmep.
impa.br/. Acesso em: 14 ago. 2020.
§ Portal que disponibiliza materiais teóricos, videoaulas
e atividades interativas sobre Matemática na Educação 
Básica.
ROQUE, T. História da matemática: uma visão crítica, des-
fazendo mitos e lendas. 1. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 2012.
§ Esse é o primeiro livro de história da Matemática publi-
cado no Brasil, escrito por uma autora que apresenta um 
olhar crítico de como a história da Matemática tem sido 
contada ao longo do tempo.
SKOVSMOSE, O. Educação matemática crítica: a questão 
da democracia. Tradução de Abgail Lins, Jussara de 
Loiola Araújo. 6. ed. Campinas: Papirus, 2013. (Coleção 
Perspectivas em Educação Matemática).
§ Neste livro, as discussões destacam a importância da 
perspectiva democrática na educação matemática e seu 
caráter emancipatório, enfatizando o papel da modela-
gem na educação matemática.
SOARES, E. C. Uma investigação histórica sobre os loga-
ritmos com sugestões didáticas para a sala de aula. 
Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências Naturais 
e Matemática) – Universidade Federal do Rio Grande do 
Norte, Natal, 2011.
§ Explora o trabalho com logaritmos em situações de sala 
de aula, considerando uma perspectiva histórica.
UNESCO. Declaração mundial sobre educação para todos: 
satisfação das necessidades básicas de aprendizagem. 
Jomtien, 1990. Brasília, DF: Unesco, 1998. Disponível em: 
https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000086291_por. 
Acesso em: 14 ago. 2020.
§ Documento importante para conhecimento do professor 
e que foi um dos suportes para a elaboração da BNCC.
WAGNER, E. Por que as antenas são parabólicas? RPM, 
Rio de Janeiro, n. 33. Disponível em: http://rpm.org.br/
cdrpm/33/3.htm. Acesso em: 14 ago. 2020.
§ Artigo que apresenta uma refl exão sobre a forma parabó-
lica das antenas.
ZABALA, A.; ARNAU, L. Como aprender e ensinar compe-
tências. Tradução de Carlos Henrique Lucas Lima. Porto 
Alegre: Artmed, 2010.
§ Uma obra que apresenta um novo enfoque no ensino 
e na aprendizagem de competências, priorizando as 
capacidades cognitivas, em relação à aquisição de 
conhecimento.
Cebraspe-PA: Centro Brasileiro de Pesquisa em Avaliação e 
Seleção e de Promoção de eventos
Cesgranrio-RJ: Fundação Cesgranrio
Ciaar: Centro de Instrução e Adaptação da Aeronáutica
Enem/MEC: Exame Nacional do Ensino Médio
EsPCEx-SP: Escola Preparatória de Cadetes do Exército
FAMEMA-SP: Faculdade de Medicina de Marília 
FCC: Fundação Carlos Chagas
FEI-SP: Faculdade de Engenharia Industrial
FGV-SP: Fundação Getulio Vargas (SP)
Fuvest-SP: Fundação Universitária para o Vestibular
IFRJ-RJ: Instituto Federal do Rio de Janeiro
IME-RJ: Instituto Militar de Engenharia
Inatel-MG: Instituto Nacional de Telecomunicações
ITA-SP: Instituto Tecnológico de Aeronáutica
OBMEP: Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas
PM-MG: Polícia Militar de Minas Gerais
PUCCamp-SP: Pontifícia Universidade Católica de Campinas
PUC-SP: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
UCSal-BA: Universidade Católica de Salvador
UEA-AM: Universidade do Estado do Amazonas
UECE: Universidade Estadual do Ceará
UEG-GO: Universidade Estadual de Goiás
UERJ: Universidade do Estado do Rio de Janeiro
UFAL: Universidade Federal de Alagoas
UFF-RJ: Universidade Federal Fluminense
UFG-GO: Universidade Federal de Goiás
UFJF-MG: Universidade Federal de Juiz de Fora
Ufl a-MG: Universidade Federal de Lavras
UFMG: Universidade Federal de Minas Gerais
Ufop-MG: Universidade Federal de Ouro Petro
UFPE: Universidade Federal de Pernambuco
UFRGS-RS: Universidade Federal do Rio Grande do Sul
UFRJ: Universidade Federal do Rio de Janeiro
UFSC: Universidade Federal de Santa Catarina
UFSCar-SP: Universidade Federal de São Carlos
UFSM-RS: Universidade Federal de Santa Maria
Unaerp-SP: Universidade de Ribeirão Preto
Uneb-BA: Universidade do Estado da Bahia
Unesp-SP: Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita 
Filho”
Unicamp-SP: Universidade Estadual de Campinas
Unifesp-SP: Universidade Federal de São Paulo
Unirio-RJ: Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro
Vunesp-SP: Fundação para o Vestibular da Universidade 
Estadual Paulista
> SIGLAS DE VESTIBULARES
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https://portaldaobmep.impa.br/
https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000086291_por
http://rpm.org.br/cdrpm/33/3.htm
Orientações 
para o professor
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Apresentação
Caro professor,
Atualmente, o ensino de Matemática, assim como o de outras áreas do conhecimento, 
está pautado pelas indicações presentes nos documentos oficiais, principalmente na 
Base Nacional Comum Curricular (BNCC).
As perspectivas desse trabalho estão voltadas para atender os estudantes do século 
XXI, reconhecendo que “as rápidas transformações na dinâmica social contemporânea 
nacional e internacional, em grande parte decorrentes do desenvolvimento tecnológico, 
atingem diretamente as populações jovens e, portanto, suas demandas de formação” 
(BNCC, 218, p. 462).
Diante desse cenário, ensinar Matemática hoje significa desenvolver nos estudantes 
competências e habilidades apoiadas em noções, conceitos e métodos matemáticos que 
possibilitem a eles empregar estratégias próprias e criar soluções por meio da obser-
vação, da análise, do estabelecimento de conexões, do levantamento de conjecturas, 
percebendo e expressando regularidades.
Promover tais ações nos estudantes requer que você, professor, tenha domínio dos 
conteúdos da área, identifique as dificuldades de aprendizagem deles e, com o apoio 
de estudos da Educação Matemática, ajude-os a superá-las, favorecendo a autonomia 
e a cooperação em sala de aula.
Cientes disso, e com a intenção de poder contribuir para o trabalho docente, ela-
boramos estas Orientações para o professor, nas quais, além das discussões sobre os 
conteúdos e métodos de ensino, procuramos fornecer subsídios para o seu trabalho 
como professor, por meio de comentários sobre as seções e os conteúdos abordados, 
além de sugerir leituras complementares a fim de colaborar com a sua formação.
Na parte específica de cada Volume, fazemos observações e sugestões que visam 
enriquecer, tanto no aspecto teórico como no metodológico, os temas abordados nos 
Capítulos, e apresentamos as respostas e resoluções das atividades.
Para finalizar, desejamos a você muito sucesso em seu trabalho e esperamos que 
estas orientações possam ajudar a aprimorar sua prática pedagógica.
Os autores
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Sumário
> O Novo Ensino Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
> A BNCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Temas Contemporâneos Transversais (TCTs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Competências socioemocionais . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
> O ensino da Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
A BNCC e o ensino de Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Metodologias ativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
O papel do professor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Pensamento computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
> Avaliação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Volumes da obra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
> Estrutura da obra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
> Bibliografia consultada e comentada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
> Comentários e sugestões de abordagem
para este Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
> Resolução das atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
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O NOVO ENSINO MÉDIO>
A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB/lei no 9.394/1996) já trazia em 
suas indicações para o Ensino Médio a necessidade de, nessa etapa da Educação Básica, 
haver para os estudantes o aprofundamento de conhecimentos adquiridos no Ensino 
Fundamental para o prosseguimento dos estudos; uma preparação básica para o trabalho 
e para a cidadania; seu aprimoramento ético; o desenvolvimento de autonomia intelectual 
e do pensamento crítico, além da compreensão dos processos produtivos vinculados a 
processos científicos e tecnológicos1. 
A lei da reforma do Ensino Médio, de 2017, conhecida como a que instaurou o Novo 
Ensino Médio, buscou tornar mais exequíveis e efetivas as ações para a consolidação do 
que foi previsto na LDB, determinando às escolas 3 000 horas de aulas para os três anos de 
curso, sendo um total máximo de 1 800 horas de formação geral básica, para atendimento 
da BNCC, e o mínimo de 1 200 horas para o cumprimento de itinerários formativos.
Novo Ensino Médio
Ampliação da carga horária
1 000 horas/ano
3 000 horas – EM
1 800
BNCC
1 200
ITINERÁRIOS
A distribuição dessa carga horária pode ser flexibilizada de acordo com as escolhas 
e necessidades de cada região, sendo possível fazer uma distribuição de horas para cada 
uma das séries do Ensino Médio. Os exemplos apresentados a seguir são algumas das 
possibilidades (em amarelo, estão destacadas as horas referentes à formação geral básica 
e, em azul, as referentes aos itinerários formativos).
Novo Ensino Médio
Possibilidades de distribuição da carga horária
1o ANO 2o ANO 3o ANO
EXEMPLO 1 
(em horas) 600 400 600 400 600 400
EXEMPLO 2 
(em horas) 600 400 400 600800 200
EXEMPLO 3 
(em horas) 600 4001 000 200 800
1 Artigo 35 da LDB. Disponível em: http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/l9394.htm. Acesso em: 5 set. 2020.
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Outro aspecto a ser considerado é que, para as 1 800 horas de formação geral básica, 
também existe a flexibilização de distribuição da carga horária dos diferentes componen-
tes de cada uma das áreas: Linguagens e suas Tecnologias (Arte, Educação Física, Língua 
Inglesa e Língua Portuguesa); Matemática e suas Tecnologias (Matemática), Ciências da 
Natureza e suas Tecnologias (Biologia, Física e Química) e Ciências Humanas e Sociais 
Aplicadas (História, Geografia, Sociologia e Filosofia). Destaca-se o fato de que os compo-
nentes Língua Portuguesa e Matemática devem ser oferecidos nas três séries.
Uma sugestão de distribuição da carga horária é destinar 600 horas para a área de 
Linguagens e suas Tecnologias (sendo 400 horas voltadas para Língua Portuguesa e 200 
horas para as Linguagens: Arte, Educação Física e Língua Inglesa) e 400 horas para cada 
uma das outras áreas.
Áreas do conhecimento Carga horária
Linguagens e suas Tecnologias 200 h
Língua Portuguesa 400 h
Matemática e suas Tecnologias 400 h
Ciências da Natureza e suas Tecnologias 400 h
Ciências Humanas e Sociais Aplicadas 400 h
Total 1 800 h
A estruturação por áreas de conhecimento se dá na perspectiva de fortalecimento 
das relações entre os componentes curriculares que delas fazem parte, tendo em vista 
a resolução de problemas contextualizados e voltados para a intervenção na realidade. 
Apoiada nesses pressupostos, a BNCC destaca a necessidade de escolas e professores pro-
porcionarem aos estudantes 
experiências e processos que lhes garantam as aprendizagens necessárias para a 
leitura da realidade, o enfrentamento dos novos desafios da contemporaneidade 
(sociais, econômicos e ambientais) e a tomada de decisões éticas e fundamentadas 
(BNCC, 2018, p. 463).
Tais aprendizagens possibilitam aos estudantes atingirem o que o Novo Ensino Médio 
propõe, que é a ampliação das condições de inclusão social por meio do acesso à ciência, 
à tecnologia, à cultura e ao trabalho, como apresentado no Parecer CNE/CEB no 5/2011.
Por outro lado, esse mesmo parecer destaca que o rápido desenvolvimento tecno-
lógico e a ampliação de seu acesso pelas pessoas em geral vêm provocando mudanças 
profundas nas dinâmicas sociais, no reconhecimento e valorização de diferentes culturas, 
nas relações com o mundo do trabalho e suas incertezas futuras. Essas mudanças afetam 
mais diretamente os jovens que, portanto, demandam uma formação mais adequada a 
esses novos tempos.
Pensar nessa formação exige a tomada de consciência de que na etapa
do Ensino 
Médio, como apontado nas Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (DCN, 
2013), temos um contingente de pessoas que precisam ser consideradas em sua multiplici-
dade e reconhecidas como participantes ativas nos diversos meios nos quais estão inseridas 
e que, por isso, carregam consigo várias culturas juvenis ou muitas juventudes.
Compreender as modificações da sociedade e, por conseguinte, as mudanças nos perfis 
dos sujeitos escolares é também um caminho que precisa ser percorrido. São várias as 
formas de sociabilidade existentes na vida cotidiana dos jovens e incorporar as manifesta-
ções juvenis ao processo educativo exige do professor a sensibilidade de estar aberto ao 
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diálogo e atento aos desafios que a contemporaneidade lança para a escola. Não é possível 
deixar de considerar que a escola é um espaço de encontro de inúmeras manifestações 
diferentes entre si, um local que se constitui de culturas diversas, de valores diversos e de 
diferentes perspectivas de olhar para o mundo e planejar o futuro.
O Novo Ensino Médio aponta que um modo de trabalhar com essa diversidade é por 
meio do estímulo à participação ativa, que pode propiciar aos jovens vivenciar valores 
como os da solidariedade e da democracia e permitir o aprendizado da alteridade. Isso 
significa, em última instância, aprender a respeitar, perceber e reconhecer o outro e suas 
diferenças, além do desenvolvimento de habilidades discursivas e argumentativas. O exer-
cício da participação pode ser, então, uma experiência decisiva para a vida dos jovens.
Esses fatores implicam numa organização escolar que promova e garanta aos estudan-
tes serem protagonistas e interlocutores em seu percurso escolar possibilitando 
[...] uma formação que, em sintonia com seus percursos e histórias, permita-lhes 
definir seu projeto de vida, tanto no que diz respeito ao estudo e ao trabalho como 
também no que concerne às escolhas de estilos de vida saudáveis, sustentáveis e 
éticos (BNCC, 2018, p. 463).
Essas considerações sobre o perfil do público-alvo da etapa do Ensino Médio e a busca 
por atender às suas necessidades e expectativas de vida reforçam a decisão de se ter uma 
composição curricular estruturada por áreas de conhecimento. Desse modo, será possível 
cada rede de ensino ou unidade escolar montar seu cronograma de trabalho, tendo em 
vista as necessidades específicas dos espaços em que estão inseridas. Assim, a distribuição 
das cargas horárias relativas a cada área e, consequentemente, a cada um dos componentes 
curriculares que as compõem pode ser feita por bimestre, trimestre ou semestre.
A BNCC>
Os desafios impostos à educação escolar de um público múltiplo e dinâmico inserido 
em uma efervescência de desenvolvimento em todas as áreas, provocado principalmente 
pelo avanço tecnológico, exigem um novo olhar e um posicionamento sobre a abordagem 
a ser dada ao conhecimento a ser construído e à constituição de um sujeito consciente de 
toda a contribuição que ele pode dar ao mundo de modo geral.
Para que essa formação integral seja possível, estudos em Educação têm indicado 
e construções curriculares de diferentes países têm assumido que o ensino precisa estar 
orientado ao desenvolvimento de competências e habilidades.
A BNCC também apresenta tal posicionamento, e diante do fato de que ao termo 
competência têm se dado diferentes significados, ela apresenta a definição a ser 
considerada: 
[...] competência é definida como a mobilização de conhecimentos (conceitos 
e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e 
valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da 
cidadania e do mundo do trabalho (BNCC, 2018, p. 8).
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No que tange ao termo habilidade, o documento também especifica:
As habilidades expressam as aprendizagens essenciais que devem ser assegu-
radas aos alunos nos diferentes contextos escolares (BNCC, 2018, p. 29).
Em outro trecho, esse documento destaca que o desenvolvimento de competências 
exige que 
[...] as decisões pedagógicas devem estar orientadas para o desenvolvimento de 
competências. Por meio da indicação clara do que os alunos devem “saber” (conside-
rando a constituição de conhecimentos, habilidades, atitudes e valores) e, sobretudo, 
do que devem “saber fazer” (considerando a mobilização desses conhecimentos, habi-
lidades, atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do 
pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho) [...] (BNCC, 2018, p. 13).
Dessa forma, a BNCC delega à escola uma função social urgente, tendo em vista o 
mundo globalizado e a consequente necessidade de pessoas que saibam fazer e que 
tenham a capacidade de planejar e resolver problemas, que saibam ler o mundo através 
de palavras, imagens, fatos, números, códigos e outras linguagens, usando esses recursos 
para saber agir e saber conviver.
As competências gerais apresentadas pela BNCC têm o propósito do desenvolvimento 
integral do estudante:
Valorizar e utilizar os conhecimentos 
historicamente construídos sobre o
mundo físico, social, cultural e digital para 
entender e explicar a realidade, continuar 
aprendendo e colaborar para a construção 
de uma sociedade justa, democrática e 
inclusiva.
1 Exercitar a curiosidade intelectual e
recorrer à abordagem própria das
ciências, incluindo a investigação, a re�exão,
a análise crítica, a imaginação e a criatividade, 
para investigar causas, elaborar e testar 
hipóteses, formular e resolver problemas e 
criar soluções (inclusive tecnológicas) com 
base nos conhecimentos das diferentes áreas.
2
Valorizar e fruir as diversas manifestações 
artísticas e culturais, das locais às mundiais, e 
também participar de práticas diversi�cadas 
da produção artístico-cultural.
3
Argumentar com base em fatos, dados e 
informações con�áveis, para formular,
negociar e defender ideias, pontos de
vista e decisões comuns que respeitem e 
promovam os direitos humanos, a consciência 
socioambiental e o consumo responsável em 
âmbito local, regional e global, com 
posicionamento ético em relação ao cuidado 
de si mesmo, dos outros e do planeta.
7
Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua
saúde física e emocional, compreendendo-se 
na diversidade humana e reconhecendo suas 
emoções e as dos outros, com autocrítica e 
capacidade para lidar com elas.
8
Exercitar a empatia, o diálogo, a
resolução de con�itos e a cooperação, 
fazendo-se respeitar e promovendo o respeito 
ao outro e aos direitos humanos, com 
acolhimento e valorização da diversidade de 
indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, 
identidades, culturas e potencialidades, sem 
preconceitos de qualquer natureza.
9
Agir pessoal e coletivamente com
autonomia, responsabilidade, �exibilidade, 
resiliência e determinação, tomando 
decisões com base em princípios éticos, 
democráticos, inclusivos, sustentáveis
e solidários.
10 Utilizar diferentes linguagens – verbal(oral ou visual-motora, como Libras, e
escrita), corporal, visual, sonora e digital –, 
bem como conhecimentos das linguagens 
artística, matemática e cientí�ca, para se 
expressar e partilhar informações, 
experiências, ideias e sentimentos em 
diferentes contextos e produzir sentidos que 
levem ao entendimento mútuo.
4
Compreender, utilizar e criar tecnologias
digitais de informação e comunicação
de forma crítica, signi�cativa, re�exiva e
ética nas diversas práticas sociais (incluindo 
as escolares) para se comunicar, acessar e 
disseminar informações, produzir 
conhecimentos, resolver problemas e exercer 
protagonismo e autoria na vida pessoal
e coletiva.
5
Valorizar a diversidade de saberes e
vivências culturais e apropriar-se de 
conhecimentos e
experiências que lhe 
possibilitem entender as relações próprias
do mundo do trabalho e fazer escolhas 
alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu 
projeto de vida, com liberdade, autonomia, 
consciência crítica e responsabilidade.
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(BNCC, 2018, p. 9 e 10)
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Tendo em vista que o desenvolvimento de 
competências é a proposta de ensino, deve-se 
repensar o estudo de conteúdos, o que significa 
não menosprezá-los, mas sim mudar o foco do 
trabalho com eles. A memorização de fatos e/ou 
procedimentos referentes aos conteúdos aborda-
dos nos diferentes componentes curriculares não 
precisa ser totalmente abandonada, porém deve 
fazer sentido para os estudantes. Na medida do 
possível, as situações propostas devem buscar 
estabelecer integração entre as diferentes áreas, 
possibilitando o emprego de noções e conheci-
mentos matemáticos, geográficos, biológicos etc., 
além de um domínio da língua.
Esses elementos apontam que o ensino por 
competências exige o repensar da prática docente. 
O professor precisa reconhecer que os objetos de 
conhecimento devem ser apresentados, sempre 
que possível, por meio de situações e problemas 
contextualizados que provoquem conflitos e exijam 
que os estudantes mobilizem seus processos cog-
nitivos de observação, visualização, compreensão, 
organização, análise e síntese como suporte para a 
elaboração de argumentação consistente. É neces-
sário lembrar que muitas situações matemáticas 
podem ser contextualizadas por meio de ques-
tões internas à própria Matemática e por meio da 
análise de seus procedimentos. Tais ações se con-
cretizam com propostas a serem desenvolvidas em 
grupo, pois o trabalho colaborativo direciona para 
discussões, considerações e reconsiderações das 
estratégias e dos erros. Ao propor a resolução das 
atividades presentes no livro, é importante formar 
duplas ou quartetos colaborativos.
2 BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Temas contemporâneos transversais
na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF, 2019. Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. 
Acesso em: 25 jul. 2020.
TEMAS 
CONTEMPORÂNEOS 
TRANSVERSAIS NA 
BNCC
MULTICULTURALISMO
• Diversidade Cultural
• Educação para 
valorização do 
multiculturalismo nas 
matrizes históricas e 
culturais Brasileiras
SAÚDE
• Saúde
• Educação 
Alimentar e 
Nutricional
ECONOMIA
• Trabalho
• Educação 
Financeira
• Educação Fiscal
MEIO AMBIENTE
• Educação 
Ambiental
• Educação para 
o Consumo
CIDADANIA E CIVISMO
• Vida Familiar e Social
• Educação para o Trânsito
• Educação em Direitos Humanos
• Direitos da Criança e do 
Adolescente
• Processo de envelhecimento, 
respeito e valorização do idoso
CIÊNCIA E 
TECNOLOGIA
• Ciência e 
Tecnologia
Temas Contemporâneos Transversais (TCTs)
Trazer para a sala de aula problematizações sobre temas vividos pelas pessoas em seu 
dia a dia e que influenciam suas vidas é uma forma de tratar dos Temas Contemporâneos 
Transversais (TCTs), que são referidos na BNCC. Esses temas não se vinculam a uma deter-
minada área ou disciplina escolar, pelo contrário, devem ser abordados por todas elas. Eles 
devem ser considerados como um conjunto de aprendizagens essenciais e indispensáveis 
a que todos os estudantes, crianças, jovens e adultos têm direito.
A importância desse trabalho é a possibilidade de transformar a escola em um espaço 
voltado para a compreensão da realidade social e dos direitos e responsabilidades de todos em 
relação à sua vida pessoal, coletiva e ambiental. Esses temas são indicados por serem “aqueles 
que são intensamente vividos pelas comunidades, pelas famílias, pelos estudantes e pelos edu-
cadores no dia a dia, que influenciam e são influenciados pelo processo educacional”2.
Veja a seguir os temas propostos.
(BRASIL, 2019, p. 13)
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É preciso considerar as possibilidades de integração dos assuntos específicos de cada 
área com esses temas, pois eles têm um caráter social e político e são um caminho promissor 
para os estudantes reconhecerem suas reais possibilidades de ação sobre a realidade em 
que vivem. Ao mesmo tempo, essa integração pode contribuir muito para a valorização dos 
conhecimentos escolares. Além disso, essa abordagem é profundamente significativa para 
a construção da cidadania e para a participação ativa do estudante na vida em sociedade. 
Além da possibilidade do desenvolvimento das habilidades específicas da área, há um grande 
potencial para que atitudes e valores sejam colocados em discussão dentro da sala de aula.
Competências socioemocionais
A incorporação de atitudes e valores pelos estudantes está intimamente ligada ao 
desenvolvimento de competências socioemocionais. Tais competências são consideradas 
cruciais para a construção de um percurso escolar que promova a educação integral do 
estudante, preparando-o para sua vida futura.
Tais competências dizem respeito ao se relacionar com os outros e consigo mesmo, 
a compreender e gerir emoções, a estabelecer e atingir objetivos, a tomar decisões autô-
nomas e responsáveis e a enfrentar situações adversas de maneira criativa e construtiva.
Estudos e discussões sobre quais estudantes se saem melhor em atividades escolares 
indicam aqueles que apresentam características como organização, persistência, resiliência, 
enfrentamento e resolução de conflitos com controle da frustração e da ansiedade, além de 
autoestima, confiança e criatividade. A partir dessas conclusões, torna-se, então, evidente 
que o desenvolvimento cognitivo do jovem não se dá de modo isolado do seu desenvol-
vimento socioemocional. Desse modo, as propostas do Novo Ensino Médio, com indicação 
de novos enfoques para o ensino, com sugestão de abordagens em que a aprendizagem 
colaborativa e a autonomia estejam presentes, estão apontando para um caminho promis-
sor que conduz a uma educação mais abrangente.
De forma coerente com as políticas integradoras, essas transformações devem se 
manifestar em diferentes oportunidades de aprendizagem, tendo o professor um papel 
fundamental, tanto na criação de novas atividades quanto no planejamento e na condução 
das rotinas e ações que já têm lugar na escola. O professor, como mediador, pode integrar 
a esses momentos propostas em que os estudantes, distribuídos em duplas, trios ou quar-
tetos, possam discutir e colaborar entre si na resolução de problemas.
Em trabalhos colaborativos, o objetivo não é a homogeneização do pensamento e do 
conhecimento dos sujeitos participantes. Deve-se rejeitar o autoritarismo e a condução 
pedagógica com motivação hierárquica. Ao contrário, a colaboração entre os pares tem 
como objetivo a reconstrução do conhecimento dos participantes. Para isso, é importante 
respeitar a individualidade de cada sujeito, seus recursos e seu ritmo pessoal. Esse tipo de 
trabalho permite que as pessoas nele envolvidas passem a reconhecer o que sabem, o que 
os outros sabem e o que todos não sabem, resultando na busca de superação dos limites 
de cada um e do grupo como um todo.
Para que esse tipo de interação ocorra nos grupos colaborativos é essencial que o 
professor determine quais serão os participantes não pela amizade ou proximidade de 
localização na sala, mas sim por características que possibilitem que todos tenham voz no 
grupo e sejam considerados como participantes necessários. Essa ação favorece o desen-
volvimento da autoestima, confiança e criatividade, o que promoverá o desenvolvimento 
cognitivo dos estudantes, além de fornecer as bases para a aceitação social.
A mediação do professor é o ponto-chave de todo esse processo por meio de suas 
intervenções,
com a acolhida de diferentes pontos de vista e de discussões realizadas prin-
cipalmente com perguntas que instiguem os estudantes a justificarem seu posicionamento 
e conclusões. As questões podem ser do tipo: “Todos chegaram a essa conclusão ou alguém 
teve alguma consideração um pouco diferente dessa?”; “E se fosse de tal forma? Vocês pen-
saram nessa outra possibilidade?”; “Vocês levaram em consideração outros pontos de vista?”; 
“Apoiaram-se no que já estudamos antes a respeito desse assunto?”; “Que tal olharem também 
em outros livros e sites para dar maior respaldo ao que estão afirmando?” etc.
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O ENSINO DA MATEMÁTICA>
Pensar o ensino de Matemática exige pensar o que significa aprender Matemática. As 
perspectivas atuais de educadores matemáticos consagram que para aprender Matemática 
é preciso fazer Matemática.
Esse fazer significa se engajar em uma atividade que promova a observação e análise 
de dados e informações, o estabelecimento de conexões e relações, a criação de conjec-
turas, a identificação e expressão de regularidades, a busca de explicações, a criação de 
soluções, a invenção de estratégias próprias que envolvam noções, conceitos e procedi-
mentos matemáticos, a validação de suas produções e a sua comunicação com seus pares.
Assim, ensinar Matemática é, para um professor, criar as condições que possibilitarão 
que os estudantes façam Matemática. Embora possa parecer que essa seja uma missão 
impossível, na verdade, trata-se de promover em sala de aula uma atitude investigativa 
por parte dos estudantes, possibilitando a eles mobilizarem sua intuição e conhecimentos 
antigos em alternativas diversas de exploração. Esse tipo de atividade
ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, cons-
tituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um 
matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e 
refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação 
com os seus colegas e o professor (PONTE; BROCADO; OLIVEIRA, 2003, p. 23).
Tendo como pressuposto que todos podem produzir Matemática, nas suas diferentes 
expressões, as atividades de investigação podem contribuir para aulas de Matemática mais 
dinâmicas e interessantes.
Chamar o estudante a agir como um matemático não implica obrigatoriamente em traba-
lhar com problemas muito difíceis. Ponte, Brocado e Oliveira (2003) destacam que, pelo contrário, 
investigar significa trabalhar com questões que nos interpelam e, por isso, constitui uma 
poderosa forma de construir conhecimento. Assim, é em torno de um ou mais problemas que 
uma investigação matemática se desenvolve, porém as descobertas que ocorrem durante a 
busca da solução podem ser tão ou mais importantes do que a própria solução.
A BNCC e o ensino de Matemática
No Ensino Médio, a área de Matemática e suas Tecnologias, de acordo com a BNCC, tem 
a responsabilidade de aproveitar todo o potencial já constituído por esses estudantes no 
Ensino Fundamental para promover ações que ampliem o letramento matemático iniciado 
na etapa anterior. O conceito de letramento matemático considerado pelo documento 
apoia-se naquele utilizado pelo Programa Internacional de Avaliação dos Estudantes (Pisa). 
Assim, é
[...] definido como as competências e habilidades de raciocinar, representar, 
comunicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabelecimento 
de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de con-
textos, utilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas [...] 
(BNCC, 2018, p. 266).
Nessa etapa da Educação Básica, há que se considerar que o desenvolvimento intelec-
tual dos jovens permite maior capacidade de abstração e potencializa o pensar de modo 
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rigoroso e criativo na resolução de problemas. Desse modo, para além da simples amplia-
ção de conteúdo, é importante destacar a perspectiva integradora da Matemática, como 
uma organização que se estabelece em torno de temas, questões e problemas cuja finali-
dade de aprendizagem não é apenas saber os conteúdos matemáticos, mas saber usá-los 
como suporte para a realização de uma reflexão crítica. Pretende-se que, ao final do Ensino 
Médio, os estudantes tenham se apropriado de seu papel como cidadãos em um contexto 
social, político, cultural e econômico.
Tal posicionamento exige que a postura no trato com as propostas matemáticas esco-
lares considere a busca de problemas fora da Matemática, de modo a proporcionar aos 
estudantes a consciência de que essa área do conhecimento se abre para muitas outras 
nas quais ela pode ser utilizada como uma ferramenta de compreensão e análise. Porém, 
é preciso destacar que a presença da Matemática nas diversas áreas do conhecimento não 
ocorre somente por meio dos registros fornecidos pelos fatos e fenômenos estudados, mas 
também pelo seu amplo conjunto de procedimentos para cálculo, análise, medição e esti-
mativa dos fenômenos da realidade e de suas relações. Esse fato é o que traz a necessidade 
de também se trabalhar de modo cuidadoso a linguagem, definições e procedimentos 
matemáticos que darão suporte às resoluções dos problemas.
As competências específicas e as habilidades vinculadas à área de Matemática, apresen-
tadas na BNCC, expressam esses aspectos conferindo a professores e estudantes maiores 
oportunidades de reconhecer a presença da Matemática em situações reais e também em 
outras áreas do conhecimento. A Matemática pode ser identificada na base de uma série 
de processos que organizam a vida contemporânea, ao mesmo tempo em que aponta os 
conhecimentos específicos a serem construídos, como pode ser visto no quadro a seguir.
Competências 
específicas Habilidades
Competência específica 1
Utilizar estratégias, conceitos 
e procedimentos matemáticos 
para interpretar situações 
em diversos contextos, 
sejam atividades cotidianas, 
sejam fatos das Ciências da 
Natureza e Humanas, das 
questões socioeconômicas ou 
tecnológicas, divulgados por 
diferentes meios, de modo a 
contribuir para uma formação 
geral.
(EM13MAT101) Interpretar criticamente situações econômicas, sociais e fatos 
relativos às Ciências da Natureza que envolvam a variação de grandezas, pela análise 
dos gráficos das funções representadas e das taxas de variação, com ou sem apoio de 
tecnologias digitais.
(EM13MAT102) Analisar tabelas, gráficos e amostras de pesquisas estatísticas 
apresentadas em relatórios divulgados por diferentes meios de comunicação, 
identificando, quando for o caso, inadequações que possam induzir a erros de 
interpretação, como escalas e amostras não apropriadas.
(EM13MAT103) Interpretar e compreender textos científicos ou divulgados pelas 
mídias, que empregam unidades de medida de diferentes grandezas e as conversões 
possíveis entre elas, adotadas ou não pelo Sistema Internacional (SI), como as 
de armazenamento e velocidade de transferência de dados, ligadas aos avanços 
tecnológicos.
(EM13MAT104) Interpretar taxas e índices de natureza socioeconômica (índice de 
desenvolvimento humano, taxas de inflação, entre outros), investigando os processos 
de cálculo desses números, para analisar criticamente a realidade e produzir 
argumentos.
(EM13MAT105) Utilizar as noções de transformações isométricas (translação, 
reflexão, rotação e composições destas) e transformações homotéticas para construir 
figuras e analisar elementos da natureza e diferentes produções humanas (fractais, 
construções civis, obras de arte, entre outras).
(EM13MAT106) Identificar situações da vida cotidiana nas quais seja necessário fazer 
escolhas levando-se em conta os riscos probabilísticos (usar este ou aquele método 
contraceptivo, optar
por um tratamento médico em detrimento de outro etc.).
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D2-MAT-EM-3073-MP-V6-PARTEGERAL-MP-G21.indd 171D2-MAT-EM-3073-MP-V6-PARTEGERAL-MP-G21.indd 171 21/09/20 21:1621/09/20 21:16
Competências 
específicas Habilidades
Competência específica 2
Propor ou participar de ações 
para investigar desafios do 
mundo contemporâneo 
e tomar decisões éticas e 
socialmente responsáveis, 
com base na análise de 
problemas sociais, como 
os voltados a situações de 
saúde, sustentabilidade, das 
implicações da tecnologia 
no mundo do trabalho, 
entre outros, mobilizando 
e articulando conceitos, 
procedimentos e linguagens 
próprios da Matemática.
(EM13MAT201) Propor ou participar de ações adequadas às demandas da região, 
preferencialmente para sua comunidade, envolvendo medições e cálculos de 
perímetro, de área, de volume, de capacidade ou de massa.
(EM13MAT202) Planejar e executar pesquisa amostral sobre questões relevantes, 
usando dados coletados diretamente ou em diferentes fontes, e comunicar os 
resultados por meio de relatório contendo gráficos e interpretação das medidas de 
tendência central e das medidas de dispersão (amplitude e desvio padrão), utilizando 
ou não recursos tecnológicos.
(EM13MAT203) Aplicar conceitos matemáticos no planejamento, na execução e 
na análise de ações envolvendo a utilização de aplicativos e a criação de planilhas 
(para o controle de orçamento familiar, simuladores de cálculos de juros simples e 
compostos, entre outros), para tomar decisões.
Competência específica 3
Utilizar estratégias, conceitos, 
definições e procedimentos 
matemáticos para interpretar, 
construir modelos e resolver 
problemas em diversos 
contextos, analisando a 
plausibilidade dos resultados 
e a adequação das soluções 
propostas, de modo a construir 
argumentação consistente.
(EM13MAT301) Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de 
outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando 
técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT302) Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1o ou 
2o graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de 
tecnologias digitais.
(EM13MAT303) Interpretar e comparar situações que envolvam juros simples com 
as que envolvem juros compostos, por meio de representações gráficas ou análise de 
planilhas, destacando o crescimento linear ou exponencial de cada caso.
(EM13MAT304) Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais 
seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em 
contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
(EM13MAT305) Resolver e elaborar problemas com funções logarítmicas nos quais 
seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em 
contextos como os de abalos sísmicos, pH, radioatividade, Matemática Financeira, 
entre outros.
(EM13MAT306) Resolver e elaborar problemas em contextos que envolvem 
fenômenos periódicos reais (ondas sonoras, fases da lua, movimentos cíclicos, entre 
outros) e comparar suas representações com as funções seno e cosseno, no plano 
cartesiano, com ou sem apoio de aplicativos de álgebra e geometria.
(EM13MAT307) Empregar diferentes métodos para a obtenção da medida da área 
de uma superfície (reconfigurações, aproximação por cortes etc.) e deduzir expressões 
de cálculo para aplicá-las em situações reais (como o remanejamento e a distribuição 
de plantações, entre outros), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT308) Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno 
ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que 
envolvem triângulos, em variados contextos.
(EM13MAT309) Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas 
totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais 
(como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos 
cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de 
tecnologias digitais.
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D2-MAT-EM-3073-MP-V6-PARTEGERAL-MP-G21.indd 172D2-MAT-EM-3073-MP-V6-PARTEGERAL-MP-G21.indd 172 21/09/20 21:1621/09/20 21:16
Competências 
específicas Habilidades
(EM13MAT310) Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo 
agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios 
multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de 
árvore.
(EM13MAT311) Identificar e descrever o espaço amostral de eventos aleatórios, 
realizando contagem das possibilidades, para resolver e elaborar problemas que 
envolvem o cálculo da probabilidade.
(EM13MAT312) Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de 
probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.
(EM13MAT313) Utilizar, quando necessário, a notação científica para expressar 
uma medida, compreendendo as noções de algarismos significativos e algarismos 
duvidosos, e reconhecendo que toda medida é inevitavelmente acompanhada de 
erro.
(EM13MAT314) Resolver e elaborar problemas que envolvem grandezas 
determinadas pela razão ou pelo produto de outras (velocidade, densidade 
demográfica, energia elétrica etc.).
(EM13MAT315) Investigar e registrar, por meio de um fluxograma, quando possível, 
um algoritmo que resolve um problema.
(EM13MAT316) Resolver e elaborar problemas, em diferentes contextos, que 
envolvem cálculo e interpretação das medidas de tendência central (média, moda, 
mediana) e das medidas de dispersão (amplitude, variância e desvio padrão).
Competência específica 4
Compreender e utilizar, com 
flexibilidade e precisão, 
diferentes registros de 
representação matemáticos 
(algébrico, geométrico, 
estatístico, computacional 
etc.), na busca de solução e 
comunicação de resultados de 
problemas.
(EM13MAT401) Converter representações algébricas de funções polinomiais de 
1o grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos 
nos quais o comportamento é proporcional, recorrendo ou não a softwares ou 
aplicativos de álgebra e geometria dinâmica.
(EM13MAT402) Converter representações algébricas de funções polinomiais de 
2o grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os 
casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, 
recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre 
outros materiais.
(EM13MAT403) Analisar e estabelecer relações, com ou sem apoio de tecnologias 
digitais, entre as representações de funções exponencial e logarítmica expressas 
em tabelas e em plano cartesiano, para identificar as características fundamentais 
(domínio, imagem, crescimento) de cada função.
(EM13MAT404) Analisar funções definidas por uma ou mais sentenças (tabela do 
Imposto de Renda, contas de luz, água, gás etc.), em suas representações algébrica e 
gráfica, identificando domínios de validade, imagem, crescimento e decrescimento, 
e convertendo essas representações de uma para outra, com ou sem apoio de 
tecnologias digitais.
(EM13MAT405) Utilizar conceitos iniciais de uma linguagem de programação na 
implementação de algoritmos escritos em linguagem corrente e/ou matemática.
(EM13MAT406) Construir e interpretar tabelas e gráficos de frequências com base 
em dados obtidos em pesquisas por amostras estatísticas, incluindo ou não o uso de 
softwares que inter-relacionem estatística, geometria e álgebra.
(EM13MAT407) Interpretar e comparar conjuntos de dados estatísticos por meio de 
diferentes diagramas e gráficos (histograma, de caixa (box-plot), de ramos e folhas, 
entre outros), reconhecendo os mais eficientes para sua análise.
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Competências 
específicas Habilidades
Competência específica 5
Investigar e estabelecer 
conjecturas a respeito 
de diferentes conceitos e 
propriedades matemáticas,
empregando estratégias e 
recursos, como observação 
de padrões, experimentações 
e diferentes tecnologias, 
identificando a necessidade, 
ou não, de uma demonstração 
cada vez mais formal na 
validação das referidas 
conjecturas.
(EM13MAT501) Investigar relações entre números expressos em tabelas para 
representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para 
generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando 
essa representação é de função polinomial de 1o grau.
(EM13MAT502) Investigar relações entre números expressos em tabelas para 
representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para 
generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando 
essa representação é de função polinomial de 2o grau do tipo y = ax2.
(EM13MAT503) Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas 
em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre 
outros, com apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, 
pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das 
fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras.
(EM13MAT505) Resolver problemas sobre ladrilhamento do plano, com ou sem 
apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjecturar a respeito dos tipos ou 
composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando 
padrões observados.
(EM13MAT506) Representar graficamente a variação da área e do perímetro de 
um polígono regular quando os comprimentos de seus lados variam, analisando e 
classificando as funções envolvidas.
(EM13MAT507) Identificar e associar progressões aritméticas (PA) a funções afins 
de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e 
resolução de problemas.
(EM13MAT508) Identificar e associar progressões geométricas (PG) a funções 
exponenciais de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de 
algumas fórmulas e resolução de problemas.
(EM13MAT509) Investigar a deformação de ângulos e áreas provocada pelas 
diferentes projeções usadas em cartografia (como a cilíndrica e a cônica), com ou sem 
suporte de tecnologia digital.
(EM13MAT510) Investigar conjuntos de dados relativos ao comportamento de duas 
variáveis numéricas, usando ou não tecnologias da informação, e, quando apropriado, 
levar em conta a variação e utilizar uma reta para descrever a relação observada.
(EM13MAT511) Reconhecer a existência de diferentes tipos de espaços amostrais, 
discretos ou não, e de eventos, equiprováveis ou não, e investigar implicações no 
cálculo de probabilidades.
Nesta Coleção, as oportunidades de reconhecer a presença da 
Matemática em situações reais e em outras áreas do conhecimento se dão 
em vários momentos como na Abertura de cada Capítulo, nas seções 
Atividades resolvidas e Atividades, bem como na seção Conexões, entre 
outras. Esses são os elementos que dão suporte ao professor para propor 
aos estudantes os trabalhos em grupos colaborativos em diferentes situa-
ções de investigação.
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Metodologias ativas
Todos temos consciência de que a educação formal não acontece apenas no espaço 
físico da sala de aula e, atualmente, considerando as possibilidades de uso das tecnologias 
que promovem uma integração de diferentes espaços e tempos, esse fato se tornou mais 
evidente. Dessa forma, é necessário fornecer aos estudantes possibilidades de aprendiza-
gem que rompam com sua atitude passiva e ultrapassem o espaço físico da sala de aula.
Se queremos que os estudantes sejam proativos, precisamos adotar metodologias em que 
eles se envolvam em atividades cada vez mais complexas, em que tenham de tomar decisões e 
avaliar os resultados, com apoio de materiais relevantes. Se queremos que sejam criativos, eles 
precisam experimentar inúmeras novas possibilidades de mostrar sua iniciativa (MORÁN, 2015).
Segundo Morán (2015), os estudantes devem ser mobilizados por meio de desafios e ativi-
dades bem planejadas e avaliadas por meio de acompanhamento do professor. Tais desafios 
contribuem para mobilizar competências intelectuais, emocionais, pessoais e de comunicação. 
Ainda segundo o mesmo autor, as metodologias ativas são o ponto de partida para 
processos de reflexão, de integração cognitiva e de generalização. Desafios e atividades 
propostos devem ser do tipo investigativo que exigem aprender pela descoberta por meio 
de pesquisas, análise de situações, identificação de diferentes aspectos envolvidos, reco-
nhecendo regularidades, fazendo escolhas e validando suas conclusões. As metodologias 
ativas mais aplicadas são a aprendizagem por projetos, por resolução de problemas, sala 
de aula invertida e rotação por estações.
Na metodologia por projetos, os estudantes são motivados a trabalhar de forma cola-
borativa em propostas interdisciplinares nas quais se abordam conceitos-chave dos objetos 
de conhecimento envolvidos. As aprendizagens são vinculadas a experiências e interesses 
deles, o que implica em um questionamento constante e na reconstrução de certezas. Os 
conteúdos surgem de acordo com o desenvolvimento da pesquisa e são explorados de 
modo mais profundo do que se tivessem sido determinados anteriormente. O ponto de 
partida deve ser a definição de uma questão central, que irá determinar o que investigar. 
A seguir, um conjunto de certezas provisórias e dúvidas temporárias estarão presentes ao 
longo da pesquisa, podendo também o professor prever a amplitude do projeto a partir dos 
conhecimentos prévios que os estudantes apresentam. A busca de informação na internet, 
em livros, revistas, entrevistas vai requerer a elaboração de registros importantes para o 
processo em desenvolvimento e para a socialização de ideias.
A metodologia de resolução de problemas propõe uma abordagem em que a cons-
trução do conhecimento se faz a partir de problemas geradores, propostos como ponto 
de partida para o ensino de conceitos e conteúdos matemáticos. O problema matemático 
é apresentado antes de se iniciar o conteúdo, e o estudante, ao resolvê-lo, construirá um 
conceito que ainda não conhece. Segundo Huanca e Onuchic (2011), pesquisadores citados 
por Melo e Justulin (2019), nessa metodologia “os professores, através e durante a resolução 
dos problemas, devem fazer conexões entre diferentes ramos da Matemática, gerando 
novos conceitos e novos conteúdos”. Eles indicam que as atividades podem ser organizadas 
em dez etapas:
(1) proposição do problema, 
(2) leitura individual, 
(3) leitura em conjunto, 
(4) resolução do problema, 
(5) observar e incentivar, 
(6) registro das soluções na lousa, 
(7) plenária, 
(8) busca do consenso, 
(9) formalização do conteúdo, e 
(10) proposição e resolução de novos 
problemas. 
175
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Se surgirem dúvidas, o professor poderá auxiliar, porém as ações são exclusivamente 
dos estudantes; ele age como observador e incentivador, estimulando o trabalho em grupo, 
incentivando a reflexão e a troca de ideias entre eles. Depois de os grupos concluírem 
suas resoluções, um representante é convidado a registrar na lousa a sua resolução, esteja 
certa ou errada. Diante das respostas, os estudantes são convidados a refletir e discutir os 
diferentes métodos utilizados na solução. Depois desse momento, o professor busca, com 
toda a turma, chegar a um consenso sobre o resultado obtido. Ao final das discussões, o 
professor formaliza o conteúdo matemático do qual emergiu o problema gerador, institu-
cionaliza os conceitos, destaca diferentes formas operatórias e/ou demonstra propriedades 
específicas sobre o assunto. É importante que sejam propostos novos problemas relacio-
nados ao conteúdo que foi formalizado, para a familiarização com o novo conhecimento 
e reconhecimento de sua aplicação a diferentes contextos.
A sala de aula invertida se caracteriza por inverter o ciclo típico das aulas, no qual 
o professor apresenta o conteúdo e este é aplicado. Nessa metodologia, os estudantes 
devem ter contato antecipado com o conhecimento necessário antes da aula, para que, 
no ambiente da sala de aula possam interagir de forma ativa para esclarecer, trabalhar e 
aplicar o conhecimento com o qual tiveram contato. Embora muitas pesquisas apontem 
resultados positivos sobre o emprego dessa metodologia, há também pesquisadores que 
apresentam críticas sobre ela. Segundo Valente (2014), citado por Honório (2016), alguns 
críticos destacam a dependência que esse modelo tem da tecnologia, o que pode criar 
um ambiente de aprendizagem desigual, tanto em termos do acesso à tecnologia quanto 
à motivação para os estudos independentes. Outra crítica é a de o estudante vir para a 
sala de aula sem se preparar e, com isso, não ter condições de acompanhar as discussões 
ou prejudicar as interações possíveis. No entanto, essas críticas são rebatidas, apoiadas 
justamente nessas interações entre os participantes do processo colaborativo, que tem 
como paradigma o predomínio da comunicação, da coordenação e da cooperação e, por 
isso, as aprendizagens podem ocorrer. Nesse modelo, o professor disponibiliza materiais, 
normalmente em ambiente virtual (videoaula, tutorial, textos e questões) de acordo com 
seu planejamento de trabalho e, na sala de aula, dará o feedback de modo a esclarecer 
dúvidas e corrigir erros, pois agora seu papel é amparar e não mais transmitir informações.
Na metodologia de rotação por estações de aprendizagem, os estudantes são 
divididos em pequenos grupos, que participarão de algumas estações de trabalho, sendo 
recomendado que, em pelo menos uma delas, a proposta envolva o uso de ambiente 
virtual. Essas estações podem estar alocadas em diferentes ambientes da escola. Os grupos 
executam um rodízio por essas estações, cada uma com uma atividade que se comunica 
com o objetivo central da aula. As estações precisam ser planejadas de forma que sejam 
independentes, sem exigência de algum pré-requisito ou exercício prévio, levando em 
consideração que cada grupo iniciará as atividades em uma estação diferente. Desse modo, 
o professor necessita ocupar-se de diferentes ações que cercam o planejamento das esta-
ções: definir quantas, quais serão e qual deve ser a quantidade de estudantes em cada 
estação; organizar o(s) espaço(s); delimitar o tempo necessário para cada estação e qual 
será o tempo limite para a mudança de estação de trabalho; pensar nos recursos didáticos 
necessários para cada estação. As propostas em cada estação podem variar abrangendo 
tarefas de leitura, escrita, produção, discussão, exercícios, atividades em plataformas vir-
tuais, atividades envolvendo aplicativos e recursos tecnológicos, podendo, por exemplo, 
haver uma estação com o professor, uma na qual se realizem atividades individualizadas e 
uma com computadores para o desenvolvimento da atividade on-line.
A escolha de qual metodologia utilizar e para qual ou quais assuntos elas poderão 
ser aplicadas cabe ao professor. O livro didático não determina o emprego de uma ou 
outra metodologia, ele apenas oferece suporte para a estruturação e desenvolvimento dos 
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objetos de conhecimento matemático a serem explorados e sistematizados pelos estudan-
tes do Ensino Médio.
Atividades investigativas precisam estar presentes em qualquer das metodologias 
ativas que se queira aplicar em sala de aula, sejam elas de resolução de problemas, baseadas 
em projetos, sala de aula invertida, rodízio por estações etc.
Para exemplificar como utilizar os recursos fornecidos pelo livro didático para a elabo-
ração e o desenvolvimento de propostas de atividades investigativas, vamos considerar 
o trecho da introdução de um capítulo desta Coleção que propõe o estudo de função 
quadrática:
Situações envolvendo trajetórias parabólicas, como lançamentos de projéteis, 
podem ser modeladas por meio de funções quadráticas, assim como certos tipos de 
movimentos estudados pela Física. Além disso, alguns objetos, como antenas parabó-
licas e faróis de veículos, são construídos utilizando propriedades da parábola, a curva 
que representa o gráfico de funções quadráticas.
Nesse parágrafo, podemos destacar os seguintes temas que podem gerar investigações 
a serem realizadas:
• lançamento de projéteis;
• movimentos em Física;
• construção de antenas parabólicas e faróis.
Considerando que, no Ensino Fundamental, os estudantes já podem ter tido contato 
com as funções quadráticas, como expresso pelas habilidades:
(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que 
possam ser representados por equações polinomiais de 2º grau do tipo ax2 = b.
[...]
(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca 
entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar 
esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas 
variáveis.
(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, 
com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar pro-
blemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau (BNCC, 
2018, p. 313-317).
Uma proposta investigativa envolvendo esse tema – funções quadráticas – é essencial 
para a consolidação da aprendizagem construída, ampliação dos conhecimentos e identi-
ficação das possibilidades de sua aplicação em diferentes contextos, como propõe a BNCC.
Partindo, então, desses pressupostos é possível elaborar um planejamento para a 
efetivação de uma atividade investigativa. As competências e habilidades, cujo desenvol-
vimento será promovido, estão listadas no início do Capítulo e são elas que balizarão a 
sua mediação, dando suporte às suas intervenções no desenrolar do trabalho realizado 
pelos estudantes. Porém, em atividades investigativas, os estudantes percorrem diferentes 
caminhos e, levando em consideração que farão explorações sobre a função quadrática, 
certamente outras habilidades poderão ser mobilizadas, consolidadas ou desenvolvidas, 
como as que são referentes a números e grandezas e medidas. Analise quais foram os cami-
nhos percorridos pelos estudantes para destacar também as habilidades desses objetos de 
conhecimento.
177
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O ponto de partida consiste em mobilizar a turma para a realização da atividade inves-
tigativa, nesse caso específico, a partir da proposta da leitura do texto inicial do Capítulo 3 
deste Volume e sua introdução, e do seguinte questionamento:
• Vocês conseguem imaginar como e por que situações como o lançamento de pro-
jéteis, movimentos estudados pela Física, e a construção de antenas parabólicas e 
faróis estão ligados às funções quadráticas?
As respostas dos estudantes já fornecem dados para o levantamento inicial do conhe-
cimento prévio que eles têm sobre o assunto. Outras questões podem ser propostas:
• Será que essas são as únicas situações em que essas funções se aplicam?
Essas são as questões que vamos tentar responder, mas vamos nos dividir em grupos de 
modo que cada um vá em busca de algumas respostas, para, ao final, juntarmos as partes 
para uma conclusão geral da classe.
A formação dos grupos para atividades investigativas, como já destacado anterior-
mente, é determinada pelo professor, levando em conta as possibilidades de participação 
e contribuição de cada um no grupo. Deve-se procurar evitar formações nas quais alguns 
estudantes fazem e outros esperam as respostas, além de buscar a constituição de grupos
colaborativos de até quatro integrantes. Essa montagem pode ser feita quando da apre-
sentação da proposta à classe.
Feita a organização dos grupos, apresentar a todos as partes das questões iniciais a 
serem respondidas, para que cada grupo decida sobre qual questão trabalhará, porém 
verificar que todas sejam respondidas pela turma.
• Por que o lançamento de projéteis está ligado às funções quadráticas e como elas 
se aplicam?
• Quais dos movimentos estudados pela Física são modelados pela função quadrá-
tica? Como usá-la para resolver problemas de Física?
• O que a construção de antenas parabólicas e faróis tem a ver com as funções qua-
dráticas? Como empregá-las nessas construções?
• Há outras aplicações da função quadrática nas diversas áreas de conhecimento? 
Quais são e como são aplicadas?
Como fonte de consulta, os estudantes poderão utilizar os próprios livros didáticos 
de todas as áreas, outros livros da biblioteca da escola e a internet. No caso do livro de 
Matemática, eles poderão apoiar-se nas atividades resolvidas e apresentar exemplos de 
aplicação retirados das demais atividades. Durante todo o processo, eles devem documen-
tar suas descobertas, tanto por meio de relatórios, como por fotos e/ou vídeos de modo 
que, quando encerrarem as investigações, possam compilar essa documentação para a 
apresentação à classe. Se achar interessante, pode também sugerir que façam registros 
em seu portfólio.
O acompanhamento dos trabalhos dos estudantes e a intervenção do professor em 
cada grupo é essencial para conhecer as dificuldades presentes com objetivo de atuar 
sobre elas. É, também, por esse acompanhamento que será possível perceber se há alguma 
dificuldade comum a todos na sala, o que pode requerer uma abertura da discussão com 
todos os grupos.
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Atividades desse tipo demandam mais do que uma aula para serem realizadas, sendo 
o professor, pelo seu acompanhamento das discussões e preparação dos estudantes para 
a apresentação de suas descobertas à classe, quem determinará o momento em que as 
equipes devem encerrar esta etapa de trabalho.
Em seguida, cada grupo deve apresentar à sala suas descobertas, validando-as com 
argumentações consistentes. Pesquisas indicam que ao ser solicitado a explicar, elaborar 
ou defender seu posicionamento perante outros, o indivíduo constrói para si uma maior 
estrutura de compreensão sobre o que está abordando. Dessa forma, cabe ao professor 
incentivar essa prática ao comentar e explicitar os raciocínios desenvolvidos usando, essen-
cialmente, três fases dos processos argumentativos: a formulação de ideias, a explicação 
e justificação dos procedimentos e os algoritmos utilizados. Para orientar o suporte 
que deve ser dado aos estudantes para a constituição de seus processos argumentativos 
e para a observação pelo professor do desenvolvimento desse processo, foi criado, por 
pesquisadores3, o quadro a seguir.
Quadro 1: Avaliação da Argumentação Cientí� ca dentro da Sala de Aula (AACS)
3 Ferramenta denominada Assessment of Scientific Argumentation in the Classroom (ASAC) criada por SAMPSON, V. et al., 2012, 
apud CARMO, A. B. Argumentação matemática em aulas investigativas de física. USP, 2015. Disponível em: https://www.teses.
usp.br/teses/disponiveis/48/48134/tde-12052015-135710/publico/ALEX_BELLUCCO_DO_CARMO.pdf. Acesso em: 1o jul. 2020.
Aspectos conceituais 
e cognitivos
Aspectos epistêmicos Aspectos sociais
1. A conversa centrou-se na geração 
ou validação de alegações ou 
explicações.
8. Os participantes invocaram as 
“ferramentas da retórica” para 
apoiar ou contestar ideias.
15. Os participantes foram refl exivos 
sobre o que e como conhecem.
2. Os participantes procuram e 
discutem conclusões e explicações 
alternativas.
9. Os participantes usaram 
evidências para apoiar e desafi ar 
as ideias ou dar sentido ao 
fenômeno sob investigação.
16. Os participantes respeitam o que o 
outro tem a dizer.
3. Os participantes modifi caram sua 
conclusão ou explicação quando 
notaram uma inconsistência 
ou descobriram informações 
anômalas.
10. Os participantes examinaram 
a relevância, a coerência e a 
sufi ciência das provas.
17. Os participantes discutiram uma 
ideia quando ela foi introduzida na 
conversa.
4. Os participantes estavam céticos 
sobre ideias e informações. 
11. Os participantes avaliaram a forma 
como os dados disponíveis foram 
interpretados ou o método usado 
para coletar os dados.
18. Os participantes encorajaram 
ou convidam outros para 
compartilhar ou criticar ideias.
5. Os participantes forneceram 
razões enquanto apoiavam ou 
contestavam uma ideia.
12. Os participantes usaram as teorias 
científi cas, leis ou modelos para 
apoiar e desafi ar ideias ou para 
ajudar a atribuir sentido ao 
fenômeno sob investigação.
19. Os participantes reafi rmam 
ou sumarizam comentários e 
perguntavam uns aos outros 
para esclarecer ou detalhar seus 
comentários.
6. Os participantes basearam 
as suas decisões ou ideias 
sobre estratégias de raciocínio 
inadequadas.
13. Os participantes fi zeram distinções 
e conexões entre inferências e 
observações explícitas por outros.
7. Os participantes tentaram avaliar 
os méritos de cada explicação 
ou alegação alternativa de forma 
sistemática.
14. Os participantes usam a 
linguagem científi ca para 
comunicar ideias.
179
D2-MAT-EM-3073-MP-V6-PARTEGERAL-MP-G21.indd 179D2-MAT-EM-3073-MP-V6-PARTEGERAL-MP-G21.indd 179 21/09/20 21:1621/09/20 21:16
Após cada apresentação, o professor faz sua validação e complementa, se necessário, a 
justificativa final. Terminada a apresentação de todos os grupos, as perguntas iniciais devem 
ser retomadas e a classe deve ser questionada no sentido de avaliar se o conjunto das apre-
sentações foi suficiente para respondê-las, solicitando, então, a todos a elaboração de uma 
síntese do que foi exposto, que pode ser tomado como mais um instrumento de avaliação.
A partir daí, todos poderão passar à resolução das atividades propostas no livro e 
indicadas pelo professor, para que ocorra a familiarização do conhecimento construído 
durante a vivência da atividade investigativa. Para resolver essas atividades, podem ser 
formados outros grupos, porém sempre grupos colaborativos, e os problemas propostos 
devem abordar diferentes contextos e diferentes aplicações, tanto externas à Matemática 
como internas a ela.
O exemplo de atividade investigativa sobre funções quadráticas, descrito anterior-
mente, pode ser adaptado para os diferentes conteúdos de cada um dos Volumes. Em 
todos os Capítulos, existe a possibilidade de criar esse tipo de atividade a partir da abertura, 
da introdução, ou de outras seções que sempre propõem elementos interessantes, tendo 
como suporte o próprio livro didático.
O papel do professor
Aulas de investigação podem representar um desafio à prática do professor, pois elas 
demandam um equilíbrio entre garantir que o trabalho dos estudantes ocorra e seja sig-
nificativo do ponto de vista do conhecimento matemático e conceder a eles a autonomia 
necessária para possibilitar a autoria da investigação.
Considerando esse equilíbrio, o professor precisa interagir com os estudantes para estar 
ciente de suas necessidades e características particulares, sem perder de vista os aspectos 
gerais da gestão da situação didática. Desse modo, o professor é levado a desempenhar 
diversos papéis no decorrer de uma atividade de investigação.
Criar o cenário e desafiar os estudantes: O sucesso de uma investigação depende 
do ambiente de aprendizagem que se cria na sala de aula, de modo que o estudante se 
sinta à vontade e lhe seja dado tempo para pensar, colocar questões, explorar suas ideias 
e exprimi-las. Dependendo da situação proposta, é preciso disponibilizar aos estudantes 
materiais diversos para manipulação ou consulta, sendo o livro didático o ponto de partida 
essencial
para as suas buscas e pesquisas.
Ao propor uma atividade, é fundamental garantir que todos os estudantes entendam 
o sentido da tarefa proposta, aquilo que se espera deles no decurso da aula, levando-os a 
compreenderem o que significa investigar e aprender a fazê-lo. A proposta inicial da tarefa 
não pode ser demasiadamente pormenorizada sobre o que é para ser feito, uma vez que 
a interpretação pelo estudante sobre o que se propõe é um dos objetivos dessas aulas, 
esperando-se que ele evolua para realizá-la autonomamente.
O professor precisa dar uma atenção especial à própria tarefa docente, escolhendo 
questões ou situações iniciais e no decorrer da atividade que, potencialmente, constituam 
um verdadeiro desafio aos estudantes.
Acompanhar o progresso dos estudantes: Uma vez que os estudantes já estejam em 
processo de investigação, cabe ao professor manter uma posição de retaguarda, procu-
rando compreender como eles estão pensando, fazendo algumas questões ou solicitando 
explicações.
É um desafio para o professor perceber aonde os estudantes querem chegar, uma vez 
que ele pode não ter acompanhado todo o processo de discussão dentro do grupo. Aqui 
o professor deve considerar que os estudantes podem ainda não ter os registros organiza-
dos e sua comunicação matemática oral é limitada e contém erros, precisando, assim, se 
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esforçar para compreendê-los e evitando corrigir cada afirmação ou conceito matemático 
apresentado de forma imprecisa.
Acompanhar o progresso dos estudantes possibilita ao professor sinalizar que eles 
podem continuar por estarem indo na direção correta ou intervir, de acordo com a neces-
sidade do grupo, ou ainda fornecendo apoio mais direto para influenciar positivamente o 
trabalho deles.
A avaliação do desenvolvimento dos estudantes durante a atividade pode também 
levar o professor a decidir por conceder mais tempo para a investigação, ou a fazer uma 
pequena discussão intermediária com toda a turma, ou passar à discussão final.
Apoiar o trabalho dos estudantes: Na condução da aula, o apoio a ser dado precisa 
estar pautado na manutenção dos aspectos característicos do processo investigativo. Assim, 
a intervenção do professor pode assumir várias formas como colocar questões, fornecer 
ou recordar informações relevantes, fazer sínteses e promover a reflexão por parte dos 
estudantes.
A postura interrogativa é a que o professor deve privilegiar e suas questões podem ter 
diferentes intenções, como a de esclarecer ideias, suas e dos jovens, refazer uma questão 
proposta por um estudante para que ele pense melhor sobre a sua dúvida, ou a de trans-
formar uma questão em uma sugestão orientadora para a atividade.
Essa postura tem, também, a função de ajudar os estudantes a compreender que o 
papel principal do professor é apoiá-los em seu trabalho e não simplesmente dizer se estão 
certos ou não, o que, aliás, deve ocorrer cada vez menos nessas aulas.
Em alguns momentos, a atividade investigativa pode sofrer bloqueio porque os estudantes 
não compreendem certos conceitos ou representações importantes para a sua continuidade. 
A intervenção do professor nesses momentos precisa ser a de fornecer ou recordar conceitos 
anteriormente estudados para que os estudantes possam dar continuidade a sua tarefa.
Outra prática importante por parte do professor é a de promover a reflexão dos estu-
dantes sobre o trabalho realizado e ajudá-los a fazer uma síntese da atividade, descrevendo 
avanços e recuos, os objetivos que tinham em mente e as estratégias que seguiram.
Raciocinar matematicamente: Em atividades de investigação, é natural que os estu-
dantes apresentem questões ou conjecturas que o professor não havia pensado antes. É 
preciso avaliar rapidamente se será apropriado parar para pensar junto com os estudantes 
ou deixar para um momento posterior.
Construir o raciocínio matemático junto com os estudantes pode ser interessante, pois 
é uma oportunidade de acompanharem o desenvolvimento da ideia, enquanto o professor 
pensa em voz alta, colocando a questão debatida em termos matemáticos e buscando a 
sua justificativa.
Tudo o que foi exposto até este ponto deixa claro que em toda atividade de investi-
gação devem ser dados um tempo e uma oportunidade aos estudantes para que possam 
organizar e desenvolver seus modos de pensar, expressá-los para os colegas e para o pro-
fessor e registrá-los utilizando linguagem matemática adequada. Desse modo, será possível 
a todos reconhecer o valor dos processos matemáticos, adquirir confiança em sua capaci-
dade de fazer Matemática e, finalmente, tornar-se aptos a resolver problemas.
No entanto, isso não quer dizer que as atividades matemáticas a serem propostas se 
restrinjam apenas às investigativas. Depois de propor problemas de investigação, o pro-
fessor deve abordar problemas de familiarização com o novo conhecimento apresentando 
diferentes domínios matemáticos e contextos.
Os contextos podem variar entre propostas envolvendo aspectos da história da 
Matemática, explorações de situações envolvendo a Etnomatemática, e, como os jovens 
estão conectados o tempo todo – inclusive durante as aulas –, atividades envolvendo as 
Tecnologias da Informação e Comunicação são potencialmente ricas nesse processo.
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Pensamento computacional
O desenvolvimento do pensamento computacional, iniciado no Ensino Fundamental, 
pode ser aprofundado nesta etapa da escolaridade. A BNCC aponta que esse tipo de 
pensamento
[...] envolve as capacidades de compreender, analisar, definir, modelar, resolver, 
comparar e automatizar problemas e suas soluções, de forma metódica e sistemática, 
por meio do desenvolvimento de algoritmos (BNCC, 2018, p. 474).
Desse modo, ele pode ser entendido como um processo de formulação e resolução 
de problemas cujas soluções são representadas por meio de passos claros, de tal forma 
que uma pessoa ou uma máquina possam executá-los eficazmente. Esse processo envolve 
ações de pensamento que tratam da decomposição do problema em etapas, do reco-
nhecimento de padrões e suas repetições, da abstração e generalização que permite a 
construção de algoritmos e, por fim, da avaliação da solução.
Para auxiliar os estudantes a desenvolver seu pensamento computacional, é necessário 
orientá-los para que empreguem estas quatro ações no momento da resolução de problemas:
• ponto de partida: decomposição do problema em partes, dividindo-o em problemas 
menores e mais fáceis de manejar. Tal ação, além de tornar todo o processo de solução 
mais explícito, facilita a detecção de erros pelo caminho.
• reconhecimento de padrões: essa ação é composta de dois momentos, um primeiro 
em que se deve buscar características e/ou propriedades que sejam comuns às várias 
partes do problema decomposto e que podem ser replicadas em cada uma delas. No 
segundo momento, deve ocorrer uma busca de soluções já utilizadas anteriormente 
que possam ser empregadas no problema atual, mesmo que com adaptações. Esse 
segundo momento é o passo necessário para a próxima ação.
• abstração e generalização: trata-se de identificar, em uma situação, quais elementos não 
são relevantes reduzindo, assim, o foco de atenção aos detalhes substanciais para a reso-
lução do problema. Nesse movimento, é possível detectar características/propriedades 
comuns a um conjunto de dados e identificar, por generalização, quais procedimentos 
ou algoritmos poderão ser adotados e, por fim, escrever o algoritmo. Reconhecer tipos 
de estruturas que podem ser reaplicadas faz os problemas se tornarem mais simples.
• avaliação: ela ocorre a todo momento, desde que se toma conhecimento sobre o 
problema a resolver até se chegar ao algoritmo que o resolve. É necessário que, em 
cada uma das ações, aspectos
como eficácia, consumo de recursos, rapidez, facilidade, 
abrangência da solução, entre outros sejam analisados para que se tenha, ao final, um 
resultado mais robusto e confiável. Outra característica da avaliação é a de manter 
controle sobre as necessidades e propósitos das estratégias adotadas para prevenir 
que pequenos erros de percurso não se tornem grandes complicações ao final.
Muitos dos problemas discutidos em sala de aula podem ser analisados sob esse ponto 
de vista, sendo recomendado propor aos estudantes que representem as soluções por meio 
de fluxogramas que descrevam o processo de solução ou que realizem descrições orais e/
ou escritas do passo a passo de suas resoluções.
Por outro lado, é também necessário que, no planejamento de sequências de trabalho 
e de ações pedagógicas a serem desenvolvidas em sala de aula, sejam consideradas as 
descobertas recentes, as novas tecnologias e a sua influência no conhecimento científico. 
Nesse contexto, destaca-se a importância do recurso a tecnologias digitais e aplicativos 
para o ensino e a aprendizagem matemática. Essas explorações devem, na medida do 
possível, ser feitas também por meio de atividades investigativas. Nesta Coleção, a seção 
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Explorando a tecnologia, presente em todos os Volumes, relaciona explorações matemá-
ticas a softwares específicos, que atendem ao proposto na BNCC referente à cultura digital
[...] fluência no uso da tecnologia digital para expressão de soluções e manifes-
tações culturais de forma contextualizada e crítica (BNCC, 2018, p. 474).
Os softwares explorados na Coleção são o GeoGebra, o LibreOffice e o Scratch, todos 
eles gratuitos e com facilidade de acesso on-line.
O GeoGebra é um software específico de Matemática voltado para o estudo de 
Geometria, Álgebra, Planilha de Cálculo, Gráficos, Probabilidade e Estatística. Ele é conhe-
cido como um software de matemática dinâmica por proporcionar movimentações e 
modificações do objeto matemático construído, permitindo, assim, o desenvolvimento de 
processos investigativos nas diferentes frentes estudadas, graças à interconexão que possui 
entre geometria, álgebra e planilha de cálculo. Em todos os Capítulos em que se propõe 
sua utilização, há uma sugestão de uso com suporte para a exploração pelos estudantes.
O LibreOffice também é apresentado nesta Coleção como um recurso gratuito para 
o uso de planilhas eletrônicas, editor de fórmulas matemáticas e gráficos, além de textos e 
apresentações. Nos Capítulos em que seu uso é sugerido, há indicações de possibilidades de 
exploração pelos estudantes, cabendo ao professor mobilizar os processos investigativos por 
meio de questões que os incentivem a realizar ações de busca para a aprendizagem esperada.
O Scratch é um software voltado para a programação de animações ou jogos, uti-
lizando imagens e sons disponíveis. Essa programação é feita a partir de blocos com os 
comandos básicos para a movimentação pretendida do personagem em cena. Seu uso 
em sala de aula é favorecido por ser extremamente intuitivo e visual com manipulação 
simples de suas estruturas e construção dos comandos. Esse recurso dá respaldo ao tra-
balho do desenvolvimento do pensamento computacional, pois favorece a capacidade 
analítica de antecipação da ação que se espera do personagem, montada por meio de 
blocos preestabelecidos, passíveis de serem encaixados uns com os outros de acordo com 
a lógica desejada. Sua aplicação também tem caráter investigativo, uma vez que os resulta-
dos podem ser imediatamente testados e observados na tela, de modo a permitir a análise 
do erro e sua correção a cada etapa construída.
AVALIAÇÃO>
Diante de diferentes propostas metodológicas que podem ser utilizadas pelo professor 
em sala de aula, é preciso considerar que apenas os processos tradicionais de avaliação não 
são suficientes para revelar a qualidade das aprendizagens reais dos estudantes e para for-
necer essa informação a todos que dela vão fazer uso – gestores, professores, estudantes.
A avaliação é base para tomadas de decisão e, por isso, deve ser considerada como 
uma ação que está sempre a serviço de desvelar a qualidade da realidade. De acordo com 
Luckesi (2016), precisamos “ter clareza de que nossos atos avaliativos sempre operam com 
um único algoritmo metodológico, que se resume em coletar dados da realidade e quali-
ficá-la tendo por base um padrão de qualidade”.
Coletar dados da realidade significa considerar a educação integral do estudante, isto 
é, observá-lo não somente do ponto de vista do desenvolvimento cognitivo, mas também 
de seu aprimoramento socioemocional, como apontado pela BNCC.
183
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No novo cenário mundial, reconhecer-se em seu contexto histórico e cultural, comuni-
car-se, ser criativo, analítico-crítico, participativo, aberto ao novo, colaborativo, resiliente, 
produtivo e responsável requer muito mais do que o acúmulo de informações. Requer o 
desenvolvimento de competências para aprender a aprender, saber lidar com a informação 
cada vez mais disponível, atuar com discernimento e responsabilidade nos contextos 
das culturas digitais, aplicar conhecimentos para resolver problemas, ter autonomia para 
tomar decisões, ser proativo para identificar os dados de uma situação e buscar soluções, 
conviver e aprender com as diferenças e as diversidades (BNCC, 2018, p. 14).
Note que esse parágrafo traz elementos substanciais para a construção de uma pauta de 
observação para se realizar uma avaliação que de fato possa qualificar a realidade da aprendiza-
gem desenvolvida. Essa pauta de observação deve ser feita pelo professor durante a elaboração 
de seu planejamento e deve estar sempre presente no decorrer de todo o processo vivido pelo 
estudante, o que caracteriza uma avaliação processual. Cabe aqui ressaltar que esse processo 
avaliativo não descarta a verificação das aprendizagens específicas de cada objeto de conhe-
cimento trabalhado, que, normalmente, estão presentes nas avaliações externas como Saeb, 
Enem, vestibulares, que também são abordadas nos Volumes desta Coleção.
Embora para cada um dos componentes curriculares seja preciso eleger as habilidades 
específicas, uma pauta de observação pode ter a seguinte configuração:
Aplicar conhecimentos para resolver problemas
Habilidades específicas Qualidade
Identificar uma ...
Realizar transformações entre ...
Realizar cálculos envolvendo números...
Determinar ... e reconhecer que ...
Resolver problemas que envolvam ... validando estratégias e resultados
Identificar regularidades e padrões em ...
Identificar e utilizar diferentes formas e propriedades ...
Reconhecer que os valores obtidos são ...
Construir argumentos consistentes para explicar ...
Analisar os elementos obtidos e produzir a comunicação de suas conclusões a 
serem apresentadas tanto oralmente como por escrito.
Habilidades socioemocionais
Utilizar as informações disponíveis de modo ético.
Atuar com discernimento e responsabilidade nos contextos das culturas digitais.
Ter autonomia para tomar decisões.
Ser proativo para identificar os dados de uma situação e buscar soluções.
Conviver e aprender com as diferenças e as diversidades.
No registro da qualidade observada, pode-se dar valores, por exemplo, de 0 a 2:
• 0 – a ser desenvolvida, requer investimento do professor e do estudante.
• 1 – em desenvolvimento, apresenta instabilidade e requer intervenções de suporte 
por parte do professor.
• 2 – desenvolvida e consolidada.
Essa pauta de observação deve ser ainda apoiada pelo quadro de acompanhamento 
da construção dos processos argumentativos pelos estudantes.
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Outro aspecto
da avaliação a ser tratado é o da autoavaliação, que contribui para esti-
mular o estudante a tomar consciência de seu próprio percurso de aprendizagem e se 
responsabilizar pelo seu empenho em avançar.
Nessa perspectiva, entende-se que a autoavaliação é um componente importante ao 
ser utilizada como um instrumento da avaliação formativa, pois auxilia os estudantes a 
adquirirem uma capacidade cada vez maior de analisar suas próprias responsabilidades, 
atitudes, comportamento, pontos fortes e fracos, sua condição de aprendizagem e suas 
necessidades para atingir os objetivos. Com o exercício constante da autoavaliação, os 
estudantes serão capazes de desenvolver sentimentos de responsabilidade pessoal e de 
apreciação da força dos empenhos individuais e de grupo. Além disso, aprendem a encarar 
prontamente as capacidades em várias empreitadas e a afinar suas potencialidades e contri-
buições, além de desenvolver a capacidade de análise contínua na qual leva em conta o que 
já aprendeu, o que ainda não aprendeu, os aspectos facilitadores e os dificultadores do seu 
trabalho, conseguindo planejar suas ações. Além disso, a autoavaliação também incentiva 
os jovens a pensar sobre si mesmos e os conduz a uma modalidade de apreciação que se 
pratica durante a vida inteira e os ajuda a avançar em sua autonomia.
A autoavaliação também deve ser orientada pelo professor por meio de questões que 
estimulem os estudantes a refletir sobre suas ações durante a realização das atividades. No 
quadro a seguir, há exemplos de questões para esse fim.
AUTOAVALIAÇÃO
1. Entre os assuntos abordados, qual você considerou mais interessante? E o menos interessante? Explique suas escolhas.
2. Comparando o trabalho de seu grupo com os dos outros, como você avalia a produção de vocês?
3. Considerando a avaliação feita anteriormente, você acha que a produção do seu grupo poderia ter sido melhor? Em 
qual(is) aspecto(s)?
4. Como você avalia a participação de cada um dos integrantes de seu grupo para a realização do trabalho? Como você 
se classifica dentro do seu grupo de trabalho: colaborativo(a), proativo(a), coordenador(a), inovador(a), organizador(a)?
5. As discordâncias entre você e seus colegas de grupo ocorreram de modo a chegarem a um consenso, com respeito 
pelas ideias do outro e a construção de argumentação consistente, proposta com cordialidade? Dê um exemplo.
6. Você e seu grupo criaram estratégias para evitar distrações e manter a concentração, o esforço e a motivação 
durante a realização das tarefas? Dê um exemplo.
7. Durante as apresentações dos vários grupos, você se manteve envolvido e participante das discussões? O que você 
aprendeu que não sabia?
8. Quais conhecimentos matemáticos você adquiriu com a elaboração desse trabalho? 
9. Quais conhecimentos de outras áreas você adquiriu com a elaboração desse trabalho?
10. Em que medida a seção Para refletir contribuiu para a análise de sua aprendizagem em cada um dos Capítulos 
que compuseram os temas desse período? 
Volumes da obra
Esta Coleção é formada por seis Volumes, sendo cada um constituído por um conjunto 
de objetos de conhecimento que estão integrados dentro da própria Matemática. Além 
disso, apresentam também situações cuja contextualização evidencia os modelos mate-
máticos que representam fatos e fenômenos de outras áreas de conhecimento e presentes 
no cotidiano.
Tal estruturação pode ser observada em todos os Volumes da Coleção, uma vez que 
essas integrações são destacadas em várias das seções que compõem os Capítulos – 
Abertura, Conexões, História da Matemática, além de destaques sobre alguns aspectos 
do conhecimento matemático, que embasam reflexões sobre temas transversais e aspectos 
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ESTRUTURA DA OBRA>
Esta obra foi elaborada tendo em vista atender à BNCC, contemplando propostas de tra-
balho que promovam o desenvolvimento das competências gerais, específicas e habilidades 
presentes nesse documento, sem, no entanto, deixar de lado suas características essenciais de 
atendimento às expectativas de professores e estudantes do Ensino Médio.
Cada um dos livros que compõem esta Coleção está estruturado com seções e boxes que 
possibilitam ao professor uma exploração mais dinâmica do material, podendo indicar aos 
estudantes por qual das propostas iniciar o trabalho.
A Abertura de Capítulo sempre apresenta uma contextualização interessante de aplicação 
do conteúdo que será abordado. Considerando a diversidade possível de uso dos conteú-
dos matemáticos, ora são apresentadas situações atuais, da história da Matemática, ora sobre 
alguma profissão, porém sempre tendo em vista o estabelecimento de uma relação entre o 
que está sendo apresentado e os conteúdos a serem desenvolvidos no Capítulo. O professor 
poderá usá-la para um levantamento diagnóstico dos conhecimentos prévios que os estudan-
tes já possuem sobre o conteúdo a ser desenvolvido. Além disso, estão também indicadas as 
habilidades e competências que os assuntos abordados no Capítulo possibilitam desenvolver.
A seção Atividades resolvidas tem por princípio a apresentação de uma forma organi-
zada de resolução e de emprego da linguagem matemática. Um aspecto dessa seção a ser 
considerado e analisado, tanto pelos professores como pelos estudantes, é que há situações 
nas quais diferentes caminhos são discutidos para se chegar à solução de uma questão, bus-
cando destacar o fato de que não há um único modo de resolução em Matemática e que os 
estudantes têm liberdade de criar estratégias próprias de resolução.
Com as Atividades, busca-se a familiarização dos estudantes com os conteúdos estudados 
no Capítulo, tanto com problemas envolvendo diferentes contextos do dia a dia como com 
questões específicas para a sistematização de procedimentos necessários para utilização em 
diferentes situações. Estão presentes nessa seção questões do Enem ou de vestibulares de 
instituições de Ensino Superior de todas as regiões do país e outras elaboradas pelos autores 
para que os estudantes tenham maiores oportunidades de desenvolvimento das competências 
e habilidades desenvolvidas em cada Capítulo.
A seção Conexões explora temas diversos, com foco na interdisciplinaridade, com o pro-
pósito de desenvolver a competência leitora, a cidadania e o senso crítico dos estudantes. A 
curiosos de sua presença na vida e no desenvolvimento humano, apontados nos boxes Fórum, 
Saiba que... e Pense e responda.
Essa estruturação permite que os Volumes possam ser utilizados nas diferentes séries do Ensino 
Médio, de acordo com a proposta curricular que embasa o planejamento do professor e da sua 
escola, e com a distribuição da carga horária destinada à formação geral e aos itinerários formativos.
Outro aspecto a ser destacado é que como o mais indicado ao desenvolvimento das pro-
postas é que sejam feitas de modo investigativo, não se considera como requisito de trabalho 
o conhecimento prévio dos estudantes. Consideramos que se não houver por parte dos estu-
dantes algum conhecimento necessário para o desenvolvimento da atividade proposta, essa 
ausência de conhecimento passa também a ser um aspecto da investigação. Essa condição 
é também significativa para a flexibilidade de uso dos livros que compõem esta Coleção. O 
professor, ao diagnosticar a ausência de estabilidade no emprego de algum conhecimento 
requerido na situação proposta, deve indicar aos estudantes a necessidade de buscar apoio 
em outros materiais disponíveis ou na internet e em aplicativos.
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seção apresenta um texto seguido de algumas questões que relacionam a Matemática com 
temas do cotidiano, explorando gráficos, infográficos, tabelas etc. que se conectam com o 
conteúdo tratado no Capítulo. As questões apresentadas nessa seção são principalmente
voltadas a atividades investigativas a serem realizadas em duplas ou grupos colaborativos e 
vão exigir processos reflexivos e/ou tomadas de decisão sobre intervenções na comunidade. 
Outro aspecto importante dessa seção é o fato de em muitas propostas os estudantes serem 
convidados a apresentar suas produções aos colegas e ao professor, o que possibilita o desen-
volvimento de sua comunicação matemática.
A seção História da Matemática aborda fatos históricos ligados à Matemática, a fim de 
contextualizar o conteúdo abordado no Capítulo e/ou apresentar o desenvolvimento e a evo-
lução de determinada ideia ou teoria, ao longo do tempo. A abordagem histórica é sempre um 
modo interessante de motivar os estudantes para as possibilidades de criação em Matemática 
e para destacar aspectos referentes à observação, análise e percepção de regularidades que 
estão por trás dessas descobertas.
Explorando a tecnologia é uma seção que promove o desenvolvimento e/ou apro-
fundamento de conhecimentos matemáticos, por meio de explorações de softwares livres, 
propiciando um trabalho interativo com alternativas para investigar possibilidades de resolu-
ção e de análise de consequências em uma representação ao se fazer modificações em outra, 
por exemplo. Para essas discussões, há orientações iniciais de como utilizar o software indicado 
para cada situação, além de indicação de endereço para a realização do download e orienta-
ções para sua instalação. O pensamento computacional também poderá ser desenvolvido por 
meio de atividades chamadas de desplugadas, por não dependerem de uso do computador, 
e que colocam em evidência o emprego da lógica de programação.
A seção Atividades complementares tem por objetivo apresentar questões do tipo múl-
tipla escolha presentes em exames oficiais como Enem, olimpíadas nacionais e vestibulares 
realizados em todas as regiões brasileiras, priorizando os mais recentes. Sua presença no livro 
e as possíveis discussões a serem realizadas pelos professores a partir deles apontam para a 
necessidade da sistematização de alguns aspectos e procedimentos abordados no Capítulo.
Com a seção Para refletir, os estudantes são estimulados a realizar reflexões para identi-
ficar possíveis conexões com o que foi estudado no Capítulo e avaliar sua aprendizagem com 
as ações desenvolvidas no decorrer do trabalho. São ótimas oportunidades para a realização 
da autoavaliação pelos estudantes.
Além das seções, os Volumes apresentam também boxes que enriquecem as propostas 
apresentadas e ampliam as possibilidades de os estudantes desenvolverem as competências 
gerais da BNCC.
No boxe Fórum é apresentada uma situação referente a um tema contemporâneo, que 
possui alguma relação com o conteúdo abordado no Capítulo, seguido de algumas ques-
tões, com o intuito de promover debates e/ou trocas e compartilhamento de conhecimentos. 
Tais ações exigem a mobilização de estratégias de debate e de construção de argumentação 
coerente para defesa de seu ponto de vista. Além disso, há a possibilidade de ser utilizado 
em momentos on-line por meio de grupos fechados de discussão em e-mail, rede social ou 
aplicativos de troca de mensagens.
O Pense e responda é um boxe que traz perguntas curtas e diretas sobre propostas a 
serem investigadas pelos estudantes, incentivando-os a elaborar hipóteses e buscar sua com-
provação ou negação.
O boxe Saiba que... tem como função principal fornecer uma dica interessante ou informa-
ção relevante a respeito do conteúdo. Pode ser referente à teoria apresentada, a uma determinada 
forma de resolução de um problema ou, ainda, para implementar o conteúdo apresentado.
Nos boxes Para ler, Para assistir, Para acessar e Para ouvir, como o próprio nome indica, 
são fornecidas sugestões de livros, links, filmes, podcasts etc. Sua finalidade é a de fornecer um 
canal confiável com informações complementares a respeito do tópico que está em estudo.
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BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 
E COMENTADA
>
BONOMI, M. C.; LAURO, M. M. Funções elementares, equações e inequações: uma abordagem utili-
zando microcomputador. 1. ed. São Paulo: CAEM-IME/USP, 2001.
� Aborda aspectos sobre o ensino de funções afi m e quadrática a partir do uso de softwares.
BOYER, C. História da Matemática. 4. ed. Tradução de Elza Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 2002.
� O livro aborda fatos e estudos da História da Matemática.
BRASIL. Lei no 13.415, de 16 de fevereiro de 2017. Brasília, DF: Presidência da República, 2017. Disponível 
em: http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/_ato2015-2018/2017/lei/l13415.htm. Acesso em: 14 ago. 2020.
� Lei que alterou a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional e estabeleceu uma mudança na estrutura 
do Ensino Médio, ampliando o tempo mínimo do estudante na escola de 800 horas para 1 000 horas anuais 
(até 2022) e defi nindo uma nova organização curricular, mais fl exível, que contemple a Base Nacional Comum 
Curricular (BNCC), conhecida como o Novo Ensino Médio.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF, 2018. 
Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofi nal_site.pdf. 
Acesso em: 14 ago. 2020.
� Documento ofi cial contendo um conjunto de orientações que norteia a (re)elaboração dos currículos de refe-
rência das escolas das redes pública e privada de ensino de todo o Brasil. Traz os conhecimentos essenciais, as 
competências, habilidades e aprendizagens pretendidas para crianças e jovens em cada etapa da Educação Básica.
BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica. Brasília, DF, 
2013. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman&view=download&alias=
15548-d-c-n-educacao-basica-nova-pdf&Itemid=30192. Acesso em: 14 ago. 2020.
� As Diretrizes Curriculares Nacionais (DCNs) são normas obrigatórias para a Educação Básica e orientaram a 
elaboração da BNCC. Elas são discutidas, concebidas e fi xadas pelo Conselho Nacional de Educação (CNE).
BRASIL. Ministério da Saúde. Secretaria de Atenção à Saúde. Guia alimentar para a população brasi-
leira. 2a ed. Brasília, DF, 2014. Disponível em: https://bvsms.saude.gov.br/bvs/publicacoes/guia_alimentar
_populacao_brasileira_2ed.pdf. Acesso em: 14 ago. 2020.
� Apresenta aspectos sobre os alimentos saudáveis e contribui para a adequação de uma rotina de alimen-
tação saudável.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Temas Contemporâneos Transversais 
na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF, 2019. Disponível em: http://
basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/contextualizacao_temas_contemporaneos.
pdf. Acesso em: 14 ago. 2020.
� Documento explicativo sobre os Temas Contemporâneos Transversais a serem abordados na Educação Básica.
CARRANO, P.; DAYRELL, J. Juventude e Ensino Médio: quem é este aluno que chega à escola. In: DAYRELL, J.; 
CARRANO, P.; MAIA, C. L. Juventude e Ensino Médio: sujeitos e currículos em diálogo. Belo Horizonte: Ed. 
UFMG, 2014. p. 101-133. Disponível em: https://educacaointegral.org.br/wp-content/uploads/2015/01/
livro-completo_juventude-e-ensino-medio_2014.pdf. Acesso em: 14 ago. 2020.
� Como o próprio título indica, trata-se de um texto que procura “descrever” o jovem atual.
CARDOSO, M. C.; HORA, D. M. Competências e habilidades: alguns desafi os para a formação de profes-
sores. Disponível em: http://www.histedbr.fe.unicamp.br/acer_histedbr/jornada/jornada11/artigos/7/
artigo_simposio_7_713_micheli_ccardoso@yahoo.com.br.pdf. Acesso em: 14 ago. 2020.
� Texto sobre a formação de professores frente às novas demandas educativas no mundo contemporâneo.
CARVALHO, J. P. de. Um problema de Fibonacci. RPM, Rio de Janeiro, n. 17. Disponível em:
http://www.rpm.org.br/cdrpm/17/2.htm. Acesso em: 14 ago. 2020.
� Apresenta uma explicação sobre a história de Fibonacci
e como ele chegou à sequência de Fibonacci.
COELHO, J. R. P. O GeoGebra no ensino das funções exponenciais. Campos dos Goytacazes: UENF, 2016.
� O material explora a utilização do software GeoGebra e de planilhas no estudo das funções exponenciais.
DAMIANI, M. F. Entendendo o trabalho colaborativo em educação e revelando seus benefícios. Educar, 
Curitiba, n. 31, p. 213-230, 2008. Disponível em: https://www.scielo.br/pdf/er/n31/n31a13.pdf. Acesso 
em: 14 ago. 2020.
� Refl exões sobre o trabalho colaborativo e seu uso em sala de aula.
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EVES, H. Introdução à história da Matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. Campinas: Editora 
da Unicamp, 2007.
 � O livro aborda vários fatos e estudos da Matemática cronologicamente. 
FAJARDO, R. A. S. Teoria dos Conjuntos. IME-USP. São Paulo, 2017. Disponível em: https://www.ime.usp.
br/~fajardo/Conjuntos.pdf. Acesso em: 14 ago. 2020.
 � Texto produzido para estudantes do curso de graduação, disciplina de Teoria dos Conjuntos. Nele o assunto 
é abordado de forma acadêmica, possibilitando o aprimoramento do estudo por parte do professor.
HONÓRIO, H. L. G. Sala de aula invertida: uma abordagem colaborativa na aprendizagem de matemática 
– estudos iniciais. In: EBRAPEM, XX. Artigo [...]. Paraná, 2016. Disponível em: http://www.ebrapem2016.
ufpr.br/wp-content/uploads/2016/04/gd6_Hugo_Hono%CC%81rio.pdf. Acesso em: 14 ago. 2020.
 � Reflexões sobre a metodologia ativa de sala de aula invertida a partir de sua aplicação prática.
LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v. 1. 
 � Livro que aborda os conceitos de conjuntos, números e funções. 
LUCKESI, C. Tipificação da avaliação em educação: uma questão epistemológica. Artigo 109, 2016. 
Disponível em: http://luckesi.blogspot.com.br/. Acesso em: 14 ago. 2020.
 � Nesse artigo, há discussões sobre as adjetivações aplicadas ao ato de avaliar, discutindo como são colocadas 
de acordo com os momentos de sua execução.
MELO, M. C. P.; JUSTULIN, A. M. A resolução de problemas: uma metodologia ativa na construção do 
conceito de semelhança de triângulos. In: Encontro Paranaense de Educação Matemática, XV. Anais 
[...]. Londrina, 2019. Disponível em: http://www.sbemparana.com.br/eventos/index.php/EPREM/XV_ 
EPREM/paper/viewFile/1019/881. Acesso em: 14 ago. 2020.
 � Apresentação teórica e prática da metodologia ativa de resolução de problemas.
MONTEIRO, M. S.; CERRI, C. História dos números complexos. São Paulo: CAEM – IME-USP, 2011. 
Disponível em: https://www.ime.usp.br/~martha/caem/complexos.pdf. Acesso em: 14 ago. 2020.
 � Apresenta informações sobre o desenvolvimento dos números complexos ao longo da história.
MORÁN, J. Mudando a educação com metodologias ativas. Coleção Mídias Contemporâneas. 
Convergências Midiáticas, Educação e Cidadania: aproximações jovens. vol. II. Carlos Alberto de Souza e 
Ofélia Elisa Torres Morales (Org.). PG: Foca Foto-PROEX/UEPG, 2015. Disponível em: https://www.uniavan.
edu.br/uploads/arquivo/N62vWDM7yb.pdf. Acesso em: 14 ago. 2020.
 � Discussões do pesquisador brasileiro sobre a importância do trabalho com metodologias ativas no ensino atual.
PONTE, J. P.; BROCADO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: 
Autêntica, 2003.
 � Nessa obra são apresentadas algumas vantagens em se trabalhar com investigações matemáticas em sala de 
aula, destacando o estabelecimento de conjecturas, reflexões e formalização do conhecimento matemático 
pelos estudantes.
SOARES, E. C. Uma investigação histórica sobre os logaritmos com sugestões didáticas para a sala 
de aula. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2011.
 � Explora o trabalho com logaritmos em situações de sala de aula, considerando uma perspectiva histórica.
TARDIF, M. Saberes docentes e formação profissional. Petrópolis: Vozes, 2002.
 � Nessa obra, o autor discute e qualifica quais são os saberes que servem de base ao ofício de professor.
TENENTE, L. 30% dos domicílios no Brasil não têm acesso à internet; veja números que mostram difi-
culdades no ensino à distância. G1, 26 maio 2020. Disponível em: https://g1.globo.com/educacao/
noticia/2020/05/26/66percent-dos-brasileiros-de-9-a-17-anos-nao-acessam-a-internet-em-casa-veja 
-numeros-que-mostram-dificuldades-no-ensino-a-distancia.ghtml. Acesso em: 14 ago. 2020.
 � Apresenta alguns dos desafios do ensino remoto emergencial, necessário na pandemia, devido à limitação 
de acesso à internet e de equipamentos adequados para estudo.
UNESCO. Declaração Mundial sobre Educação para Todos: satisfação das necessidades básicas de 
aprendizagem. Jomtien, 1990. Brasília, DF, 1990. Disponível em: https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/
pf0000086291_por. Acesso em: 14 ago. 2020.
 � Documento importante para conhecimento do professor e que foi um dos suportes para a elaboração da BNCC.
WAGNER, E. Por que as antenas são parabólicas? RPM, Rio de Janeiro, n. 33. Disponível em: 
http://rpm.org.br/cdrpm/33/3.htm. Acesso em: 14 ago. 2020.
 � Artigo que apresenta uma reflexão sobre a forma parabólica das antenas.
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Os conteúdos propostos e desenvolvidos nesta obra buscam despertar no estudante 
sua curiosidade intelectual, explorando diversas situações de forma reflexiva e crítica, no 
contexto da própria Matemática, do dia a dia e de outras áreas de conhecimento, interpre-
tando e analisando dados para tomar decisões éticas e socialmente responsáveis. Nesse 
sentido, espera-se que o estudante reconheça a relação entre o conhecimento matemático 
e as práticas sociais, inerente à relação do ser humano com o mundo e à necessidade de 
resolver problemas diversos.
Do ponto de vista didático-pedagógico, os conceitos matemáticos em estudo devem 
ser bem fundamentados e possibilitar aos estudantes novos saberes que estimulem pro-
cessos mais elaborados de reflexão e de abstração, dando sustentação ao pensamento 
que permite formular e resolver problemas, bem como construir de forma autônoma 
uma visão integrada da Matemática e de outras áreas. Para isso, as situações de apren-
dizagem devem ser planejadas tendo como perspectiva o protagonismo do estudante 
para que possa assumir uma postura ativa nos diversos contextos em que a Matemática 
está presente.
O objetivo deste material é oferecer subsídios para a atividade docente, que assume 
um papel relevante dentro do complexo processo de ensino e aprendizagem, de forma 
articulada com as propostas apresentadas no Livro do estudante.
Nesta parte das Orientações para o professor, são apresentadas algumas estra-
tégias para auxiliar o processo de ensino-aprendizagem de forma a contribuir para o 
desenvolvimento de competências e habilidades previstas na BNCC. Além disso, há 
sugestões de atividades complementares e referências de outros materiais atualizados 
que podem ser utilizados. Vale pontuar que esta não pretende ser a única referência 
de consulta, ou ainda, apresentar soluções plenas para os desafios enfrentados pelos 
professores, mas constituir mais uma alternativa para auxiliar a atividade docente e a 
aprendizagem, contribuindo para otimização do tempo do professor quanto ao plane-
jamento de suas aulas.
Este Volume é organizado em quatro capítulos e destacamos, entre seus objetivos, a 
oportunidade de propiciar ao estudante momentos em que ele possa exercitar a curiosi-
dade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, por meio de investigação, 
reflexão e análise crítica das situações apresentadas para identificar causas e elaborar hipó-
teses, além de poder argumentar com base em dados e informações confiáveis a fim de 
formular pontos de vista e defender ideias. Isso é feito de modo a valorizar diferentes mani-
festações culturais, conhecendo-se
e cuidando da saúde física e emocional, desenvolvendo, 
entre outras, as competências gerais 2, 3, 7 e 8.
No primeiro Capítulo, os estudantes exploram noções de Estatística para que possam 
utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos para interpretar várias situa-
ções a partir da análise de tabelas, gráficos e pesquisas estatísticas divulgadas por diferentes 
meios, o que favorece principalmente o desenvolvimento da competência específica 1 da 
área de Matemática e suas Tecnologias, de modo particular, a habilidade EM13MAT102. 
COMENTÁRIOS E SUGESTÕES DE 
ABORDAGEM PARA ESTE VOLUME
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Além disso, esse estudo possibilita compreender e utilizar, com flexibilidade e precisão, 
diferentes registros de representação matemáticos para construir modelos e resolver pro-
blemas, analisando os resultados, colaborando com o desenvolvimento das competências 
específicas 3 e 4 da área de Matemática e suas Tecnologias, em particular, as habilidades 
EM13MAT316, EM13MAT406 e EM13MAT407.
O segundo Capítulo leva o estudante a conhecer as características e os procedimen-
tos de uma pesquisa estatística, saber diferenciar os tipos de pesquisa e reconhecer e 
compreender a aplicação de índices estatísticos, colaborando com o desenvolvimento 
da competência específica 1 da área de Matemática e suas Tecnologias, em particular, 
as habilidades EM13MAT102 e EM13MAT104. Nesse Capítulo, o estudante também é 
direcionado a elaborar pesquisas estatísticas a partir dos conceitos estudados, pro-
pondo ou participando de ações que servem de investigação de situações-problema 
do dia a dia, fazendo uso de diferentes registros de representação, colaborando com 
o desenvolvimento das competências específicas 2 e 4 da área de Matemática e suas 
Tecnologias, em particular, as habilidades EM13MAT202, EM13MAT406 e EM13MAT407.
No terceiro Capítulo, ao abordar o tema criptografia e outros que envolvem con-
textos sociais, o estudante é levado a refletir e analisar de maneira crítica como pode 
aplicar os conceitos de análise combinatória para resolver diferentes problemas e 
averiguar a plausibilidade dos resultados, colaborando com o desenvolvimento da 
competência específica 3 da área de Matemática e suas Tecnologias, em particular, 
a habilidade EM13MAT310.
No quarto Capítulo, ao propor a discussão e a reflexão sobre organismos genetica-
mente modificados (OGM), considerando os conceitos de probabilidade para entender 
e analisar o problema, o estudante é levado a argumentar com base em fatos, dados 
e informações confiáveis, para conseguir elaborar e defender pontos de vista, desen-
volvendo a competência geral 7. Isso é feito ao utilizar conceitos e procedimentos 
matemáticos relacionados à probabilidade para resolver diferentes situações-problema, 
verificando como os resultados são interpretados nessas situações, o que colabora com 
o desenvolvimento das competências específicas 1 e 3 da área de Matemática e suas 
Tecnologias, em particular, as habilidades EM13MAT106, EM13MAT311 e EM13MAT312. 
Além disso, o estudante analisa as propriedades matemáticas das probabilidades, desen-
volvendo a habilidade EM13MAT511, o que também contribui para o desenvolvimento 
da competência específica 5 da área de Matemática e suas Tecnologias.
As atividades propostas buscam possibilitar ao estudante o desenvolvimento da investi-
gação e da reflexão. Na seção Explorando a tecnologia, por exemplo, ao utilizar o Scratch 
será possível elaborar algoritmos que auxiliam na resolução de problemas de contagem 
e no estudo de probabilidade, além de verificar aspectos da linguagem computacional.
Temas como IDH, meio ambiente, saúde, entre outros, figuram na seção Conexões, 
contribuindo para um trabalho integrado com a área de Ciências da Natureza e suas 
Tecnologias, possibilitando analisar e compreender a realidade à luz de conhecimentos 
de diferentes áreas do conhecimento. As questões coletivas, propostas nas Aberturas e 
no boxe Fórum, bem como em diversos momentos, assumem um papel importante, pois 
oportunizam a construção de ideias, promovem o diálogo e o respeito mútuo.
No quadro a seguir, são apresentados os principais tópicos trabalhados neste 
Volume e algumas das relações possíveis de serem feitas com outros temas explora-
dos na coleção.
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Tópicos Temas relacionados
Capítulo 1
Noções de 
Estatística
• População, amostra e variável
• Frequência absoluta e frequência relativa
• Gráfico de barras, gráfico de setores, gráfico 
de linha, gráfico pictórico
• Histograma de frequências
• Medidas de tendência central
• Medidas de dispersão
• Diagrama de ramo e folhas
• Box-plot
• Porcentagem
• Proporção
Capítulo 2
Pesquisa 
estatística
• Pesquisa estatística
• Etapas de uma pesquisa estatística
• Pesquisa amostral
• Tipos de amostra
• Indicadores
• Índice de Desenvolvimento Humano (IDH)
• Porcentagem
• Proporção
Capítulo 3
Combinatória
• Princípio multiplicativo
• Princípio aditivo
• Fatorial
• Arranjo
• Permutação
• Combinação
• Conjuntos
Capítulo 4
Probabilidade
• Experimentos aleatórios
• Espaço amostral e evento
• Tipos de eventos
• Probabilidade
• Probabilidade da união de dois eventos
• Probabilidade condicional
• Eventos independentes
• Espaço amostral não equiprovável
• Porcentagem
• Análise combinatória
• Conjuntos
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Cronograma
O quadro a seguir apresenta uma sugestão de cronograma semestral, considerando 
cinco aulas semanais. No entanto, é importante que o professor avalie sua realidade e 
realize as adequações necessárias de modo a privilegiar o desenvolvimento dos estudantes 
de acordo com suas necessidades e com as escolhas feitas pela comunidade escolar, em 
especial, pelo próprio estudante.
Semana
(5 aulas)
Capítulo Tópicos
1a 1
Abertura / O que é Estatística / População / Amostra / Frequência absoluta e 
frequência relativa / Representação gráfica
2a 1 Histograma de frequências / Medidas de tendência central
3a 1 Medidas de dispersão / Diagrama de ramo e folhas / Box-plot 
4a 1 Conexões / História da Matemática / Explorando a tecnologia / Para refletir
5a 2 Abertura / Pesquisar e informar / Pesquisa estatística
6a 2 Pesquisa amostral / Conexões
7a 2 Indicadores / Índice de Desenvolvimento Humano (IDH)
8a 2 Explorando a tecnologia / Para refletir
9a 3 Abertura / Introdução / Princípio multiplicativo
10a 3 Princípio aditivo / Fatorial
11a 3 Problemas de contagem
12a 3 Explorando a tecnologia / Conexões / Para refletir
13a 4 Abertura / Introdução / Experimentos aleatórios / Espaço amostral e evento
14a 4 Tipos de eventos / Probabilidade / História da Matemática
15a 4 Probabilidade da união de dois eventos / Conexões / Probabilidade condicional
16a 4
Eventos independentes / Espaço amostral não equiprovável / Explorando a tecnologia / 
Para refletir
Para todos os blocos semanais, estão disponíveis atividades resolvidas e atividades pro-
postas. Recomenda-se a seleção de parte das atividades para ser desenvolvida em sala de 
aula (individualmente, em duplas ou grupos maiores) e outra parte para ser realizada fora 
do horário de aula. Além disso, é fundamental estabelecer um cronograma de avaliações 
que permita acompanhar os processos de aprendizagens dos estudantes no decorrer dos 
capítulos. No cronograma apresentado anteriormente, sugere-se que ocorra no fim de cada 
ciclo de duas semanas de estudo. 
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A BNCC neste Capítulo
Este Capítulo proporciona oportunidades de desenvolver competências gerais da 
BNCC, bem como competências específicas e habilidades.
A seguir, estão apontados os códigos das competências gerais, competências especí-
ficas, habilidades, e listados os Temas Contemporâneos Transversais trabalhados. O texto 
completo referente a cada um dos códigos da BNCC está apresentado nas páginas 156, 157 
e 158 deste livro.
 > Competências gerais: 2, 4, 5, 7 e 8
 > Competências específicas e habilidades:
 Área de Matemática e suas Tecnologias
• Competência específica 1: EM13MAT102
• Competência específica 3: EM13MAT316
• Competência específica 4: EM13MAT406 e EM13MAT407
 Área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias
• Competência específica 3
 > Temas Contemporâneos Transversais:
• Educação Ambiental, Educação Alimentar e Nutricional, Processo de envelheci-
mento, respeito e valorização do Idoso, Educação em Direitos Humanos, Saúde, 
Ciência e Tecnologia
Orientações didáticas
Abertura de Capítulo
A Estatística é imprescindível para os estudos científicos em diversas áreas do conhe-
cimento além de estar presente no cotidiano social por meio de noticiários. Desse modo, 
compreendê-la se faz necessário tanto para a formação de um cidadão leitor crítico como 
para a formação de pesquisadores e cientistas.
O uso do conhecimento estatístico data de cerca de 2000 a.C., aplicado no recensea-
mento das populações. No decorrer do tempo, desenvolveu-se de modo a especializar suas 
ferramentas e ampliar seu campo de estudo, tornando-se mais complexo.
A Estatística permite coletar informações, organizá-las, analisá-las e chegar a conclusões 
que respondam às questões de interesse. Para que o estudo produza conclusões válidas é 
necessário estar atento aos apontamentos e aos conceitos estudados em Estatística.
Noções de 
Estatística1
C A P Í T U L O
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O texto a seguir destaca a importância da Estatística na análise de situações em dife-
rentes campos de estudo.
[...] Sua principal função é evitar determinados erros analíticos que são comuns 
quando utilizamos métodos heurísticos.
Por exemplo, muitas pessoas resolvem incentivar seus filhos a treinarem bas-
quete durante a infância esperando que esse esporte os tornem mais altos quando 
chegarem à vida adulta. O raciocínio simplista dessas pessoas está baseado na cons-
tatação de que a maioria dos atletas profissionais de basquete é formada por atletas 
muito altos. Na verdade, o que ocorre é exatamente o contrário, sendo chamado viés 
de sobrevivência: apenas as crianças que começam a ficar mais altas do que os 
colegas ganham destaque nos times juvenis de basquete e, com isso, têm maiores 
chances de chegar às ligas profissionais, enquanto as crianças de estatura mediana 
tentam escolher outras profissões. De outra forma, vários estudos médicos compro-
varam que a maioria dos jogadores de basquete que são altos também possuem os 
pais altos, o que aponta fatores genéticos como principais influenciadores da altura 
de uma pessoa na vida adulta.
Outro exemplo comum que podemos destacar é o uso da Estatística para analisar 
se determinadas políticas públicas atingiram ou não seus objetivos.
Hoje em dia, os métodos estatísticos são usados em diversos campos de investi-
gação científica, como Medicina, Demografia, Meteorologia, Economia etc.
HOLANDA F. B. Estatística básica: o início. OBMEP. Disponível em: https://cdnportalda 
obmep.impa.br/portaldaobmep/uploads/material_teorico/cfcdxhltnhsso.pdf. Acesso em: 2 set. 2020.
As pesquisas eleitorais, conforme mencionado na abertura, são exemplos de aplica-
ção da Estatística. Elas permitem observar conceitos importantes como a margem de erro, 
associando a estatística à probabilidade e à incerteza: ideias essenciais para a compreensão 
dessa ciência.
As questões da abertura permitem estabelecer um debate entre os estudantes, possi-
bilitando verificar o conhecimento prévio apresentado por eles a respeito do assunto que 
será tratado no Capítulo.
Sugere-se começar a conversa com a leitura da imagem apresentada, a qual mostra 
uma entrevista estatística acontecendo. Podem-se fazer perguntas como: “Você já parti-
cipou de alguma pesquisa estatística?”; “Já viu uma entrevista estatística acontecendo?”; 
“Para que você acha que serve uma pesquisa estatística?”.
Na atividade 1, pretende-se que o estudante reflita sobre o tratamento dos dados 
e perceba que o uso de tabelas e gráficos auxilia na organização e na visualização das 
informações, possibilitando analisá-las.
A atividade 2 refere-se aos erros das projeções realizadas pelas pesquisas de intenção de 
voto. Isso está relacionado a diversos fatores, desde a mudança de intenção do eleitor até a 
confiabilidade da fonte de pesquisa. Nessa conversa, cabe ressaltar aos estudantes que na 
realização de projeções, por mais cuidadosa que seja a coleta e análise de informações, traba-
lha-se com a probabilidade e, consequentemente, com o erro em suas projeções, uma vez que 
lida com a incerteza do futuro. O conceito de probabilidade será abordado em capítulos pos-
teriores deste Volume, mas cabe aqui associar o termo ao estudo das possibilidades/chances 
e perspectivas de que algo ocorra. Pode-se comentar, também, que uma amostra de eleitores 
escolhida de maneira inadequada pode influenciar o resultado da pesquisa, por exemplo, se 
o perfil dos eleitores for muito parecido, seja em relação à idade ou à escolaridade.
A atividade 3 aproxima o estudante de dados obtidos na realidade dele e pode, ainda, 
ser uma oportunidade para gerar uma análise e discussão sobre política. Uma parceria com 
professores da área de Ciências Humanas e Sociais Aplicadas contribui nesse sentido. 
Utilizar esse momento para discutir a respeito das pesquisas estatísticas eleitorais: como 
são feitas, em quais épocas são realizadas, quem as promove ou as encomenda, como os 
dados são apresentados, o que é uma margem de erro etc.
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Recomenda-se que os estudantes assistam ao vídeo Entenda como o Datafolha faz 
suas pesquisas, disponível em: <https://youtu.be/qII03g997rU> (acesso em: 2 set. 2020). 
Em pouco mais de dois minutos, tem-se uma ideia geral de como funciona a coleta de 
informações e de como são possíveis inferências nas conclusões. Para aprofundar mais os 
aspectos matemáticos presentes nas pesquisas eleitorais, pode-se consultar a dissertação 
de Mestrado Profissional A matemática por meio da estatística ajudando a entender 
o processo eleitoral, pela Universidade Federal de Alagoas, disponível em: <http://www.
repositorio.ufal.br/handle/riufal/6707> (acesso em: 2 set. 2020).
O que é Estatística
Pode-se dizer que a Estatística é formada por duas áreas principais. A primeira é 
a Estatística Descritiva, que tem como objetivo coletar dados, organizá-los e analisá-
-los. Isso é feito ao coletar informações representativas, escolher formas apropriadas 
de apresentar tais informações (gráficos adequados, por exemplo) e utilizar medidas 
que analisem a distribuição e a variabilidade dos dados. A segunda área é a Estatística 
Inferencial (ou Inferência Estatística), a qual permite realizar conclusões sobre todo 
um grupo a partir de dados de uma parte da população. Para que isso seja possível, 
utiliza-se a teoria das probabilidades.
Os seguintes vídeos podem ser indicados aos estudantes nesse momento inicial:
• O Prazer da Estatística, disponível em: <https://www.ime.usp.br/ativestat/atividades/ 
filmes/fv18.php> (acesso em: 2 set. 2020). Trata-se de um documentário com cerca de 
1 hora e pode ser trabalhado em partes. No endereço eletrônico mencionado, há uma 
descrição das partes do vídeo e sugestões de questões para discutir cada assunto.
• O que é Estatística, disponível em: <https://www.ime.usp.br/ativestat/atividades/
filmes/fv10.php> (acesso em: 2 set. 2020). Em aproximadamente 15 minutos de vídeo, 
apresenta-se para que serve essa ciência.
Explorar
o exemplo da covid-19 como uma aplicação da Estatística. No boxe Pense 
e responda, espera-se que os estudantes apresentem outras formas de representação 
dos dados, por exemplo, gráficos e texto descritivo. Uma possibilidade de comparação 
desses dados com os relacionados a uma região específica do Brasil é utilizando gráficos 
de barras, a fim de visualizar com maior rapidez como a covid-19 está presente nessa 
região. Para ampliar essa discussão, pode-se propor aos estudantes que consultem o site 
do Ministério da Saúde para buscar mais dados sobre a covid-19. Esse trabalho explora 
o Tema Contemporâneo Transversal Saúde e pode ser realizado em parceria com os 
professores da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, colaborando com o 
desenvolvimento da competência específica 3 dessa área.
Termos importantes
Nesse tópico, os estudantes têm contato com termos que aparecem com frequência 
no estudo da Estatística. Ao explorar cada um desses termos, verificar o que os estudantes 
já conheciam a respeito do assunto.
Sugere-se apresentar o vídeo Dando IBOBE, disponível em: <https://m3.ime.unicamp.
br/recursos/1082> (acesso em: 2 set. 2020). Esse vídeo explica o conceito de amostragem 
e indica diferentes maneiras de se selecionar uma amostra. Esse assunto será melhor 
explorado no próximo Capítulo deste Volume.
Ao apresentar os tipos de variável, é importante destacar aos estudantes que uma 
mesma característica pode ser considerada variável quantitativa ou qualitativa, dependendo 
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da maneira que os dados são coletados. Por exemplo, ao perguntar a lutadores profissio-
nais qual é a massa deles, a resposta pode ser informada em faixas de quilograma, sendo 
uma variável quantitativa contínua, ou ser informada de acordo com a classificação das 
categorias de luta (peso-pena, peso-leve, peso-pesado, etc.), sendo então uma variável 
qualitativa ordinal. Outro exemplo é a variável idade, que pode ser informada em faixa 
etária, sendo quantitativa contínua, ou em anos completos, sendo quantitativa discreta. 
Vale destacar, também, que nem toda representação numérica é indicação de que a variá-
vel é quantitativa. Por exemplo, o número do CPF é uma variável qualitativa, pois não indica 
uma contagem.
O conhecimento do tipo de variável auxilia na escolha de quais ferramentas utilizar 
para a análise de dados (os tipos de gráfico mais adequados para cada uma das variáveis 
e quais medidas podem ser utilizadas).
Frequência absoluta e 
frequência relativa
Se necessário, ao realizar o estudo de frequências, retomar o conceito de porcentagem 
estudado no Ensino Fundamental. É necessário que os estudantes saibam a equivalência 
entre a escrita na forma de porcentagem, de fração e decimal, por exemplo:
37% = 
37
100
 = 0,37
Pode-se aproveitar o exemplo da variável quantitativa contínua “peso” e abordar aspec-
tos da saúde, como questões relacionadas à alimentação e à obesidade (fatores psicológicos, 
ansiedade e problemas de saúde). Também é possível abordar aspectos das relações sociais 
ligados ao “peso” e à discriminação que muitas pessoas sofrem devido a padrões esta-
belecidos pela sociedade (dificuldades no trabalho, na representatividade em mídia e no 
consumo de roupas). Esse trabalho pode ser feito em parceria com os professores das áreas 
de Ciências da Natureza e suas Tecnologias e Ciências Humanas e Sociais Aplicadas, 
explorando os Temas Contemporâneos Transversais Saúde e Educação Alimentar e 
Nutricional, bem como desenvolvendo a competência geral 8, levando o estudante a se 
conhecer e cuidar da sua saúde física e emocional. Para enriquecer essa discussão, os estu-
dantes podem pesquisar dados estatísticos e reportagens referentes a esse assunto.
O estudo das tabelas apresentadas nesse tópico e dos gráficos explorados no decorrer 
do Capítulo contribui para o desenvolvimento da competência específica 4 da área de 
Matemática e suas Tecnologias, em particular, a habilidade EM13MAT406, uma vez que 
são exploradas diferentes maneiras de registro matemático.
Representação gráfica
Nesse tópico, abordam-se características de diferentes gráficos, assunto estudado no 
Ensino Fundamental que agora é retomado e aprimorado. O tema possibilita desenvolver 
as competências gerais 2 e 4, à medida que se amplia a análise de diferentes gráficos, forne-
cendo subsídios para que essa linguagem seja compreendida e utilizada pelos estudantes 
para compartilhar informações em diferentes contextos. Além disso, possibilita exercitar 
a investigação, a análise crítica e o estabelecimento de conclusões embasadas em dados.
Ao trabalhar a construção do gráfico de setores é oportuno realizar as construções 
com transferidor e compasso, observando, cuidadosamente, a relação entre a medida do 
ângulo central do setor circular e a parte do todo que esse setor representa.
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Ao estudar os gráficos de linha, ressaltar a característica temporal desse tipo de 
gráfico, que permite realizar uma análise de dados em relação ao crescimento ou decres-
cimento no decorrer do tempo. Mostrar exemplos de uso inadequado desse gráfico. Isso 
ajuda os estudantes a compreender a questão proposta no boxe Pense e responda. 
Espera-se que eles percebam que, no caso apresentado, o leitor do gráfico pode concluir 
equivocadamente que houve grande variação de temperatura.
Para estudar a característica de séries temporais, para as quais o gráfico de linha é 
adequado, recomenda-se realizar o experimento Séries temporais, disponível em <https://
m3.ime.unicamp.br/recursos/1034> (acesso em: 2 set. 2020). Nele, os estudantes vão coletar 
dados ao longo de um tempo e, posteriormente, analisar tais informações.
Ao analisar o pictograma apresentado, enfatizar a informação dada no boxe Saiba 
que... a respeito da perda de água tratada no Brasil. Pode-se pedir aos estudantes que pes-
quisem informações atuais desse assunto consultando o Sistema Nacional de Informações 
sobre Saneamento (SNIS).
O tópico Erros em gráficos contribui para que o estudante desenvolva a criticidade 
ao ler e elaborar informações, conforme prevê a competência geral 2. O boxe Pense e 
responda favorece esse estudo ao indicar uma reportagem sobre gráficos utilizados 
na pandemia da covid-19 e propor a análise de leituras equivocadas por decorrência 
de representações que induzem ao erro; isso contribui para o desenvolvimento da 
competência específica 1 da área de Matemática e suas Tecnologias, em particular, a 
habilidade EM13MAT102.
Por fim, recomenda-se aos estudantes o vídeo Cada gráfico no seu galho, disponível 
em <https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1059> (acesso em: 2 set. 2020). Além de mostrar 
diferentes tipos de gráfico, esse vídeo mostra como cada um pode ser utilizado.
> ATIVIDADE RESOLVIDA E ATIVIDADES
A atividade resolvida 1 explora o conceito, a interpretação e a construção de um 
gráfico. Nessa atividade, é importante interpretar cada motivo indicado no gráfico, com 
base em condições reais. Recomenda-se promover um debate com a turma sobre os 
dados do gráfico, questionando: “Qual é o risco de fazer compras para outra pessoa 
e ela não pagá”; “Qual é o impacto de esquecer a data de vencimento do cartão de 
crédito?”; “Por que vocês acham que a quantidade de pessoas que estão desempregadas 
e sem dinheiro é igual em relação à inadimplência no cartão de crédito?”.
As atividades propostas buscam oportunizar que o estudante coloque em 
prática os conceitos estudados até o momento, além de permitir discussões de 
temas importantes para a vida dos estudantes.
A atividade 2 explora a estatística obtida pelo IBGE. É oportuno um trabalho 
conjunto com o professor de Geografia, da área de Ciências Humanas e Sociais 
Aplicadas, ampliando as possibilidades para desenvolver a competência geral 7,
levando os estudantes a argumentar com base em informações confiáveis para defen-
der pontos de vista.
O assunto abordado na atividade 4, a obesidade, pode trazer uma reflexão para 
os estudantes a respeito de hábitos saudáveis que eles praticam, explorando o Tema 
Contemporâneo Transversal Saúde, além de contribuir para o desenvolvimento da 
competência geral 8.
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Histograma de frequências
O estudo do histograma contribui para o desenvolvimento da competência espe-
cífica  4 da área de Matemática e suas Tecnologias, em particular, a habilidade 
EM13MAT407, pois amplia as possibilidades de interpretação e comparação de dados 
estatísticos por meio de um novo tipo de gráfico.
Enfatizar a diferença entre o histograma e o gráfico de barras: a representação gráfica 
em forma de histograma é utilizada para representar distribuições de frequências cujos 
dados são agrupados em classes.
Pode-se aproveitar o assunto do boxe Saiba que... para propor aos estudantes que 
pesquisem a respeito das sete ferramentas da qualidade, técnicas e métodos reunidos por 
Kaoru Ishikawa, explorando o Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia.
Medidas de tendência central
O estudo desse tópico permite desenvolver a competência específica 3 da área de 
Matemática e suas Tecnologias, em particular, a habilidade EM13MAT316, pois envolvem 
os conceitos de média, moda e mediana.
O boxe Pense e responda do tópico Média aritmética tem como objetivo explorar 
a média aritmética ponderada. Ajudar os estudantes a interpretar a definição de média 
aritmética ponderada e estimulá-los a se lembrar desse assunto que, em geral, costuma 
ser trabalhado no Ensino Fundamental.
Ao trabalhar o tópico Mediana, enfatizar a informação apresentada no boxe Saiba 
que... desse tópico. Espera-se que os estudantes percebam que podem organizar os dados 
em ordem crescente ou decrescente para obter a mediana.
No tópico Moda, pode-se propor exemplos próximos dos estudantes para que eles 
compreendam como obter a moda de um conjunto de dados. Por exemplo, a idade deles 
e a medida da altura.
Aproveitar a informação mencionada no boxe Saiba que..., do tópico Medidas de 
tendência central com dados agrupados, sobre os batimentos cardíacos para propor 
aos estudantes que pesquisem a respeito da importância de realizar atividades físicas e 
como isso colabora com a qualidade de vida das pessoas e com a longevidade, explorando, 
assim, os Temas Contemporâneos Transversais Processo de envelhecimento, respeito e 
valorização do Idoso e Saúde. O texto a seguir pode colaborar com essa reflexão.
[...]
A Organização Mundial da Saúde (OMS) recomenda 150 minutos semanais de 
atividade física leve ou moderada (cerca de 20 minutos por dia) ou, pelo menos, 
75 minutos de atividade física de maior intensidade por semana (cerca de 10 minutos 
por dia). Mas a falta de tempo com a rotina apertada de trabalho, estudo, cuidados 
com a casa, faz com que muitas pessoas não façam nenhuma atividade física.
Para se ter uma ideia, a Pesquisa Nacional de Saúde (PNS) mostrou que um a 
cada dois adultos não pratica o nível de atividade física recomendado pela OMS. Além 
disso, as pessoas sedentárias têm de 20% a 30% mais risco de morte por doenças 
crônicas, como doenças do coração e diabetes, que as pessoas que realizam ao 
menos 30 minutos de atividade física moderada, cinco vezes por semana. Por isso, é 
fundamental planejar a rotina para praticar atividade física e alcançar uma melhor 
qualidade de vida. Para aqueles que ainda não conseguem reservar o tempo ideal, 
qualquer atividade, ainda que de curta duração, já é uma importante evolução.
Com a prática de atividades físicas, você passará a ter mais disposição para 
realizar outras tarefas, se sentirá mais forte, com mais flexibilidade e capacidade 
funcional, entre muitos outros benefícios.
[...]
BRASIL. Ministério da Saúde. Atividade física. Brasília, DF, 2017. Disponível em: 
https://www.saude.gov.br/component/content/article/781-atividades-fisicas/ 
40390-atividade-fisica. Acesso em: 2 set. 2020.
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Para finalizar este tópico, recomendam-se propor aos estudantes as atividades intera-
tivas Média, moda e mediana e Entre médias, disponíveis em <https://portaldaobmep.
impa.br/index.php/modulo/ver?modulo=64&tipo=5> (acesso em: 2 set. 2020). A partir delas, 
os estudantes podem verificar que a média, sozinha, pode não ser uma boa representante 
de um conjunto de dados e, por isso, outras medidas auxiliam nessa descrição.
> ATIVIDADES RESOLVIDAS E ATIVIDADES
Na seção Atividades resolvidas, são exploradas situações em que se calculam 
as medidas de tendência central estudadas até o momento. Verificar se os estudantes 
compreendem, na atividade resolvida 3, a necessidade de utilizar os pontos médios no 
cálculo da média aritmética a partir dos dados da tabela de distribuição de frequências.
Compartilhar as respostas dadas pelos estudantes na atividade proposta 6, a 
fim de verificar o que eles compreendem da utilização da palavra “média” na notícia 
apresentada.
FÓRUM
Orientar os estudantes a pesquisar dados sobre a produção e a distribuição 
de energia elétrica no Brasil, investigando os impactos ambientais causados por 
esse tipo de atividade. Além disso, eles poderão comparar o preço cobrado pela 
energia em diferentes regiões do Brasil, produzindo gráficos e textos que comuni-
quem essas informações.
Discutir sobre fontes limpas de produção de energia elétrica e medidas que pro-
movam a economia e redução no consumo também devem fomentar esse debate. 
Se possível, propor um trabalho integrado com os professores de Biologia e de 
Geografia, respectivamente, das áreas de Ciências da Natureza e suas Tecnologias 
e Ciências Humanas e Sociais Aplicadas, favorecendo a exploração dos Temas 
Contemporâneos Transversais Educação Ambiental e Ciência e Tecnologia.
Medidas de dispersão
O estudo desse tópico permite trabalhar a competência específica 3 da área de 
Matemática e suas Tecnologias, em particular, a habilidade EM13MAT316, pois envolve 
os conceitos de amplitude, variância, desvio médio e desvio padrão.
No tópico Amplitude, explorar a situação apresentada envolvendo as medidas das 
peças usinadas. O boxe Pense e responda leva os estudantes a aplicar o conceito de 
amplitude na situação sobre o controle de qualidade em peças industriais.
No tópico Desvio médio, apresentar exemplos do símbolo de somatório mencio-
nado no boxe Saiba que..., a fim de que os estudantes se familiarizem com a utilização 
desse símbolo.
Ao trabalhar com o tópico Variância, enfatizar as questões propostas no boxe Pense 
e responda a fim de que os estudantes compreendam que essa medida estatística não 
pode ter como resultado um valor negativo. Logo, se isso acontecer na resolução de alguma 
situação-problema é necessário rever os cálculos, pois houve algum erro.
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No tópico Desvio padrão, é esperado que os estudantes percebam que o fato de essa 
medida ser igual a zero significa que a variância também é zero, conforme explorado no 
boxe Pense e responda.
> ATIVIDADE RESOLVIDA E ATIVIDADES
Na seção Atividade resolvida são explorados os cálculos das medidas de dispersão 
estudadas anteriormente. Verificar se os estudantes compreendem os procedimentos 
realizados em cada item e, se necessário, retomar os conceitos apresentados.
A atividade 16 apresenta um instrumento elaborado por uma professora que auxilia 
a desenvolver a consciência fonológica nos estudantes. Esse tipo de atividade auxilia o 
desenvolvimento da competência geral 4, pois os estudantes reconhecem diferentes 
linguagens para se expressar.
A atividade 17 propõe uma atividade
prática a ser realizada com dados obtidos 
pela turma. É importante que os estudantes compartilhem as maneiras de obtenção 
desses dados e o modo como realizam os cálculos pedidos.
Aproveitar a atividade 18 para colocar em evidência o Tema Contemporâneo 
Transversal Saúde e discutir como o fumo pode ser prejudicial à saúde física e 
emocional das pessoas. Esse trabalho pode ser desenvolvido em parceria com os 
professores da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, desenvolvendo 
a competência específica 3 dessa área.
Diagrama de ramo e folhas
Ao explorar este e o próximo tópico, os estudantes têm a oportunidade de desenvolver 
a competência específica 4 da área de Matemática e suas Tecnologias, em particular, a 
habilidade EM13MAT407.
O diagrama de ramo e folhas facilita a localização de medidas estatísticas como a 
mediana e a moda, além de ajudar no cálculo da amplitude. Recomenda-se enfatizar 
a necessidade de uma legenda quando utilizar esse tipo de representação gráfica, 
pois a escolha da composição dos ramos e das folhas pode variar (décimos, unidades, 
dezenas etc.).
Para a construção desse diagrama, sugere-se utilizar papel quadriculado indicando 
que o espaço ocupado por cada dígito deve ser o mesmo para que não ocorram distorções 
visuais das informações. O mesmo pode ser feito com a utilização de planilhas eletrônicas.
O boxe Pense e responda traz uma questão que serve de reflexão aos estudantes 
sobre como é possível obter informações nesse tipo de representação gráfica.
Pode-se aproveitar o tema explorado neste tópico, atletismo paralímpico, e a indica-
ção no boxe Para acessar, a respeito do Comitê Paralímpico Brasileiro para discutir a 
inclusão de pessoas com deficiência nas práticas esportivas. Esse trabalho pode ser 
desenvolvido em parceria com o professor de Educação Física, da área de Linguagens 
e suas Tecnologias, explorando assim o Tema Contemporâneo Transversal Educação 
em Direitos Humanos.
Para acompanhar o estudo do tópico Box-plot, sugere-se utilizar o objeto de apren-
dizagem Conhecendo o Box-plot, disponível em <http://www.cdme.im-uff.mat.br/
conheceboxplot/conheceboxplot-html/conheceboxplot_intro.html> (acesso em: 2 set. 
2020). De forma interativa, o estudante visualiza quais as características e etapas da cons-
trução de um box-plot, além de responder a perguntas que auxiliam em seu estudo. Além 
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disso, recomenda-se ao professor o artigo Sobre o Box-plot no GeoGebra, disponível em 
<https://revistas.pucsp.br/index.php/IGISP/article/view/8115> (acesso em: 2 set. 2020), que 
faz uma análise do uso do software GeoGebra para a construção do box-plot.
O boxe Pense e responda, ao final desse tópico, promove uma interpretação do 
box-plot utilizado como exemplo. Sempre que possível, durante o trabalho com exem-
plos de representações gráficas, propor questionamentos que levem os estudantes a 
interpretar as situações analisadas.
> ATIVIDADES RESOLVIDAS E ATIVIDADES
Na seção Atividades resolvidas, são explorados os conceitos de diagrama de ramo 
e folhas e box-plot para a construção desses tipos de representação gráfica.
Na atividade proposta 20, os estudantes precisam elaborar situações-problema 
com base nas representações gráficas apresentadas. Após resolverem essa atividade, 
compartilhar as situações elaboradas para que possam verificar semelhanças e dife-
renças entre elas.
O contexto da atividade proposta 21, a educação de jovens e adultos, pode servir 
para discutir a importância dessa modalidade de ensino para a camada da sociedade 
que não completou os anos da Educação Básica na adolescência.
> EXPLORANDO A TECNOLOGIA
Ao utilizar as planilhas eletrônicas para o estudo de conceitos estatísticos e, também, 
analisar de maneira crítica informações estatísticas, os estudantes estão desenvolvendo a 
competência geral 5.
O boxe Saiba que... traz a indicação de onde os estudantes podem fazer o download da 
planilha eletrônica utilizada nesta seção. Comentar que é possível obter as medidas estatísticas 
em outras planilhas eletrônicas, podendo ter variações em relação aos comandos utilizados.
Na atividade 1, propõe-se que sejam coletadas informações das idades dos estudantes da 
sala de aula para a realização dos cálculos utilizando a planilha eletrônica. Para ampliar essa 
atividade, pode-se pedir aos estudantes que obtenham outras variáveis, por exemplo, a altura, 
a medida do palmo da mão, o número do calçado e a quantidade de irmãos. Assim, cada 
grupo de estudantes pode ser responsável por realizar os cálculos de uma variável diferente.
Para a atividade 2, é necessário que os estudantes realizem uma pesquisa e verifiquem 
o número de medalhas alcançadas pelo Brasil em Jogos Olímpicos, analisem as informações 
e descrevam as conclusões obtidas.
Para consultar o número de medalhas conquistadas pelo Brasil, acessar <https://www.
cob.org.br/pt/cob/time-brasil/brasil-nos-jogos/medalhas-olimpicas> (acesso em: 2 set. 2020).
A seguir, reproduzimos o número de medalhas por Jogos Olímpicos.
Edição Total de medalhas
Rio 2016 19
Londres 2012 17
Pequim 2008 17
Atenas 2004 10
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203
Edição Total de medalhas
Sydney 2000 12
Atlanta 1996 15
Barcelona 1992 3
Seul 1988 6
Los Angeles 1984 8
Moscou 1980 4
Montreal 1976 2
Munique 1972 2
Cidade do México 1968 3
Tóquio 1964 1
Roma 1960 2
Melbourne 1956 1
Helsinque 1952 3
Londres 1948 1
Antuérpia 1920 3
COMITÊ OLÍMPICO BRASILEIRO. Medalhas olímpicas. Disponível em: 
https://www.cob.org.br/pt/cob/time-brasil/brasil-nos-jogos/medalhas-olimpicas. Acesso em: 2 set. 2020.
Aplicando esses dados na planilha eletrônica utilizada nessa seção, espera-se que os 
estudantes encontrem os seguintes valores em relação ao número de medalhas olímpicas 
obtidas pelo Brasil.
• Média: aproximadamente 7
• Mediana: 3
• Moda: 3
• Desvio padrão: aproximadamente 5,3
• Variância: aproximadamente 38,8
• Desvio médio: aproximadamente 6,2
Há vários aspectos que podem ser informados na conclusão dos estudantes. Pode-se 
comentar que o Brasil conquistou 129 medalhas desde a primeira participação, tendo 
obtido, por exemplo, 3 medalhas na maioria das participações. O resultado referente à 
variância indica que há muita variabilidade em relação ao número de medalhas obtidas 
nas edições em que o Brasil participou. Isso pode ser notado na tabela; pois, nas últimas 
edições, o Brasil obteve muito mais medalhas do que nas primeiras.
Compartilhar as conclusões apresentadas pelos estudantes para verificar semelhan-
ças e diferenças, bem como avaliar se há algum erro conceitual cometido nas explicações 
dadas por eles.
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> CONEXÕES
De acordo com o debate envolvendo o Tema Contemporâneo Transversal Educação 
Ambiental, essa seção aborda o tema Amazônia Legal, sendo uma oportunidade para 
desenvolver um trabalho integrado com os professores de Biologia e Geografia para apro-
fundar o assunto.
Após explorar o texto, o gráfico e a tabela apresentados, conversar com os estudan-
tes a respeito das opiniões deles envolvendo o desmatamento. As questões desta seção 
ajudam a aprofundar essa conversa, bem como aplicar conceitos matemáticos nas análises 
propostas.
Na atividade 1, espera-se que os estudantes indiquem que a média não é suficiente para 
representar esses dados. Sugere-se, como atividade complementar, solicitar aos estudantes 
que calculem outras medidas estatísticas, como a moda e a mediana, além de medidas 
de dispersão.
A atividade 2 propicia uma discussão ampla a respeito das atitudes pessoais perante o 
meio ambiente. Caso se estabeleça a parceria sugerida com outros componentes, pode-se 
orientar a discussão e abordar aspectos
do aquecimento global ou das reservas indígenas, 
as quais têm importante colaboração no que se refere à preservação do meio ambiente. 
Além disso, podem-se utilizar mapas virtuais vistos por satélite e, a partir do estudo da 
escala, realizar os cálculos de áreas.
Para realizar a atividade 3, basta somar a quantidade de quilômetros quadrados da 
Amazônia Legal desmatados a cada ano de 2004 a 2016, obtendo 160 702 km2. Para com-
parar com a área do Distrito Federal, basta dividir o valor encontrado anteriormente por 
5 802 km2, obtendo assim aproximadamente 27,7.
> ATIVIDADES COMPLEMENTARES
As atividades desse tópico oportunizam aos estudantes que possam aprofundar o 
estudo dos conceitos estatísticos abordados neste Capítulo. Há diversos problemas retirados 
de vestibulares e concursos, auxiliando os estudantes na preparação para exames oficiais.
Os contextos apresentados em algumas dessas atividades podem servir de discussão 
a respeito de temas relacionados à realidade dos estudantes, bem como de temas sociais, 
como desemprego, saúde, escolaridade e o uso de tecnologias. É importante propor que 
as atividades sejam resolvidas em grupo, e a socialização das resoluções seja feita por meio 
de um debate com a turma. Esse trabalho, desenvolvido em grupo, pode também figurar 
como uma avaliação do processo de aprendizagem dos estudantes, no qual eles poderão 
verificar se precisam retomar algum conceito que necessite ser mais bem trabalhado, bem 
como esclarecer dúvidas.
> PARA REFLETIR
Essa seção é uma oportunidade para a reflexão do estudante em relação a seu próprio 
processo de aprendizagem e pode, inclusive, ser pensada como uma autoavaliação. Esse 
momento contribui para o desenvolvimento da autopercepção e da autonomia, pois com-
preender os avanços e investigar as dificuldades pessoais é uma maneira de se perceber no 
processo de aprendizagem e incentivá-los a agir de forma responsável e comprometida.
As questões propostas trazem respostas pessoais, pois dependem do processo de 
aprendizagem realizado pelo estudante no decorrer das aulas deste Capítulo. É importante 
separar um momento para compartilhar as respostas e verificar se ainda há algum conceito 
que precisa ser retomado.
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A BNCC neste Capítulo
Este Capítulo proporciona oportunidades de desenvolver competências gerais da 
BNCC, bem como competências específicas e habilidades.
A seguir, estão apontados os códigos das competências gerais, competências especí-
ficas, habilidades, e listados os Temas Contemporâneos Transversais trabalhados. O texto 
completo referente a cada um dos códigos da BNCC está apresentado nas páginas 156, 157 
e 158 deste livro.
 > Competências gerais: 1, 2, 4, 5, 7, 9 e 10
 > Competências específicas e habilidades:
 Área de Matemática e suas Tecnologias
• Competência específica 1: EM13MAT102 e EM13MAT104
• Competência específica 2: EM13MAT202
• Competência específica 3: EM13MAT316
• Competência específica 4: EM13MAT406 e EM13MAT407
 Área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias
• Competência específica 2
• Competência específica 3
 > Temas Contemporâneos Transversais:
• Educação Alimentar e Nutricional; Processo de envelhecimento, respeito e valo-
rização do Idoso; Educação em Direitos Humanos; Saúde; Educação Fiscal; 
Educação para a valorização do multiculturalismo das matrizes históricas e cultu-
rais Brasileiras
Orientações didáticas
Abertura de Capítulo
Este Capítulo promove o estudo da Estatística com foco nas pesquisas estatísticas, de 
maneira que os estudantes possam aplicar estratégias e procedimentos matemáticos para 
analisar questões de diferentes áreas, desenvolvendo a competência específica 1 da área 
de Matemática e suas Tecnologias, em particular, a habilidade EM13MAT102, ao analisar 
gráficos, tabelas e amostras de pesquisas estatísticas.
Para começar, apresentam-se informações numéricas, tais como a taxa de analfabe-
tismo e a quantidade de escolas de Ensino Médio no Brasil, obtidas pelo Instituto Brasileiro 
de Geografia e Estatística (IBGE). Recomenda-se mostrar aos estudantes que essas infor-
mações podem ser comparadas considerando um período de tempo ou índices de outros 
países para que seja possível realizar conclusões mais detalhadas.
Para exemplificar essa reflexão, sugere-se trabalhar o vídeo 80 anos contando a 
história do Brasil e dos brasileiros, disponível em <https://educa.ibge.gov.br/jovens/
Pesquisa 
estatística2
C A P Í T U L O
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conheca-o-brasil/populacao/20590-introducao.html> (acesso em: 31 ago. 2020). Por meio 
de um relato da história de dois personagens, um nascido em 1960, e outro, em 2000, é feita 
uma comparação entre os dados da população brasileira nesse período, evidenciando as 
mudanças na população, contando parte da história do país e mostrando como as infor-
mações coletadas pelo IBGE são importantes para esse processo.
Outro vídeo que pode ser analisado pelos estudantes é o Muito prazer, sou o IBGE!, 
disponível em <https://www.youtube.com/watch?v=6Q5DWTY34Bg&feature=youtu.be> 
(acesso em: 31 ago. 2020). Narrado em primeira pessoa, o vídeo faz uma apresentação do 
IBGE contando sua história e sua função social.
As questões da abertura têm o intuito de proporcionar aos estudantes um momento de 
reflexão, discussão e interação a respeito das pesquisas estatísticas, servindo para verificar 
os conhecimentos prévios deles sobre o assunto abordado no Capítulo. Antes de respon-
dê-las, recomenda-se realizar uma discussão, retomando os conceitos do Capítulo anterior 
a fim de que possam comentar de que maneira esses conceitos podem ser aplicados nas 
pesquisas estatísticas.
Na atividade 1 pretende-se verificar quais conhecimentos os estudantes têm em 
relação a pesquisas amostrais e pesquisas censitárias. Além dos conhecimentos trazidos 
do Ensino Fundamental, os estudantes podem resgatar ideias iniciais do Capítulo anterior 
deste Volume: a primeira, ao tratar dos termos amostra e população e a segunda, ao ser 
apresentada a história da estatística, que se iniciou com a realização de censos. Espera-se 
que eles recordem que a pesquisa amostral colhe informações de parte da população esta-
tística, enquanto a pesquisa censitária colhe informações de toda a população estatística. 
Para complementar a conversa, pode-se perguntar aos estudantes quais deles já foram 
entrevistados para alguma dessas pesquisas.
A atividade 2 verifica o conhecimento dos estudantes em relação a índices e taxas, 
podendo ter diversas respostas. Espera-se que eles já tenham ouvido falar, por exemplo, 
de taxa de natalidade, de mortalidade, do índice de desenvolvimento humano (IDH) etc. 
Pode-se aproveitar a citação da taxa de analfabetismo no Brasil em 2019 para explorar um 
pouco mais o tema, apresentando dados de cada região do Brasil, por exemplo, o índice de 
analfabetismo entre pessoas de 15 anos de idade ou mais, como indicado a seguir. 
Fonte: IBGE EDUCA. Conheça o Brasil – População: educação. 
Disponível em: https://educa.ibge.gov.br/jovens/conheca-o-brasil/populacao/ 
18317-educacao.html. Acesso em: 31 ago. 2020.
IB
G
E
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Comentar com os estudantes que há limitações nas informações que os índices comu-
nicam e que sempre podem ser melhor analisados em seus detalhes ou, ainda, em conjunto 
com outras taxas. Nesse sentido, pode-se retomar algumas medidas de tendência central.
A reflexão proposta na atividade 3 contribui para o desenvolvimento da criticidade dos 
estudantes. Espera-se que eles percebam que essas informações mostram se a qualidade 
de vida da população brasileira está melhorando ou piorando e que, para isso, o IBGE deve 
divulgar os dados de maneira
completa e isenta. Destacar que, além das características da 
população, o IBGE também gera informações que servem de apoio para estudos científicos 
e para o planejamento de políticas públicas. Por isso, a publicação de todos os seus dados 
contribui para avanços científicos e sua autonomia deve ser preservada a fim de evitar que 
os dados sejam utilizados em favor de interesses que não sejam coletivos e que não visem 
à melhoria da vida de todos.
Pesquisar e informar
Esse tópico possibilita aos estudantes perceber como as informações estatísticas geram 
impactos importantes ao informar, a cientistas e outros profissionais, fatos e dados que 
possam ser analisados. Ressaltar como a Estatística é essencial para o desenvolvimento de 
pesquisas científicas, podendo-se realizar atividades que instiguem a curiosidade dos estu-
dantes quanto ao método científico, por exemplo, e contribuindo para o desenvolvimento 
da competência geral 2, uma vez que aproxima o processo de investigação científica dos 
estudantes.
O texto Hábitos saudáveis evitariam 63 mil mortes por câncer por ano, aponta 
estudo favorece o desenvolvimento de atividades relacionadas ao Tema Contemporâneo 
Transversal Saúde, explorando um exemplo de análise estatística em uma pesquisa cien-
tífica na área de Saúde e, consequentemente, seus impactos sociais nas políticas públicas. 
Elencado a essa reflexão, retoma-se o tema IMC, conforme explicado no boxe Saiba 
que..., permitindo uma ampliação desse assunto alinhando-o ao Tema Contemporâneo 
Transversal Educação Alimentar e Nutricional, que pode ser trabalhado em conjunto 
com professores da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, desenvolvendo a 
competência específica 2 dessa área.
O boxe Pense e responda contribui para que os estudantes identifiquem as fontes das 
informações apresentadas no texto. Enfatizar a importância de deixar explícita a fonte dos 
dados durante o desenvolvimento de uma pesquisa estatística.
Pesquisa estatística
O estudo da Estatística, as etapas de uma pesquisa e a credibilidade das informações 
geradas contribuem para o desenvolvimento da competência geral 7, uma vez que permite 
que o estudante desenvolva melhores ferramentas para construir argumentação consistente.
Inicialmente, são apresentados alguns exemplos de pesquisa amostral e censitária a 
fim de que os estudantes consigam diferenciá-las. Em seguida, exploram-se as etapas que 
podem ser realizadas durante o desenvolvimento de uma pesquisa.
Para aprofundar o tópico Etapas de uma pesquisa estatística, recomenda-se desen-
volver um projeto de pesquisa com os estudantes, que podem ser organizados em grupos 
para realizar a pesquisa sobre determinado tema. Sugere-se explorar contextos relacionados 
aos Temas Contemporâneos Transversais Saúde ou Educação Alimentar e Nutricional, 
para dar continuidade ao trabalho realizado no tópico anterior. Assim, oportuniza-se que 
o estudante seja agente no processo de aprendizagem, exercitando o diálogo, a resolução 
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de conflitos e a cooperação, desenvolvendo as competências gerais 9 e 10. Além disso, o 
processo de investigação ocasionado pela pesquisa estatística colabora para o desenvol-
vimento da competência específica 2 da área de Matemática e suas Tecnologias, em 
particular, a habilidade EM13MAT202, uma vez que o estudante planeja e executa uma 
pesquisa estatística.
O projeto de pesquisa a ser desenvolvido pode ser orientado segundo as etapas des-
critas no tópico Etapas de uma pesquisa estatística. Podem-se sistematizar essas etapas 
em esquemas que possibilitem uma visualização de todas as fases da pesquisa, como o 
sugerido a seguir. Os estudantes podem ler o conteúdo desse tópico e criar o próprio 
esquema, para compartilhar depois com os colegas da turma.
1. Escolha do tema
5. Conclusões
4. Análise dos dados
Utilização de softwares
Elaboração de gráficos e cálculo de medidas
2. Elaboração do questionário
Elaboração inicial
Questionário piloto
Finalização do questionário
3. Coleta de dados
Definição da amostra
Aplicação do questionário
Tabulação
Após estudar o tópico Escolha do tema, do público-alvo e do tipo de pesquisa, 
os estudantes podem escolher o tema da pesquisa e a população de interesse. O 
tipo de pesquisa é prioritariamente amostral, mas caso a população de interesse seja 
pequena e de fácil acesso, cabe uma discussão sobre a possibilidade de realizar uma 
pesquisa censitária.
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É importante orientar os estudantes para que a escolha da população se dê com a pos-
sibilidade de fazer uma coleta amostral de informações. Por exemplo, se um grupo deseja 
saber a “opinião da população sobre o sistema de saúde público brasileiro”, é necessário 
perguntar ao grupo como, diante das reais possibilidades, é possível coletar informações 
que representem toda essa população. Assim, sugere-se aos estudantes que restrinjam 
o público-alvo da pesquisa de modo que este seja de possível acesso: o exemplo citado 
pode ser modificado para “opinião de frequentadores da unidade básica de saúde X sobre 
o serviço prestado”, em que X é um local determinado no qual se tem acesso (posto de 
saúde da cidade, por exemplo).
Vale lembrar que populações que fazem parte da comunidade escolar tornam a 
pesquisa mais viável (estudantes da escola, professores da escola, formandos do ano, estu-
dantes do Ensino Fundamental, funcionários da escola, responsáveis pelos estudantes etc).
É necessário que cada grupo avalie as possibilidades de se coletarem os dados amos-
trais ao mesmo tempo em que se decide qual será a população de interesse. Recomenda-se 
que o tema da pesquisa seja de livre escolha do grupo, permitindo o exercício da autonomia 
e ampliando as possibilidades do engajamento do grupo no projeto. Todavia, também é 
possível que os temas sejam preestabelecidos para que os grupos escolham o que for de 
interesse, podendo explorar algum dos Temas Contemporâneos Transversais, como Saúde 
ou Educação Alimentar e Nutricional, sugeridos anteriormente.
As possibilidades de tema são inúmeras, por exemplo: gosto musical dos estudantes de 
Ensino Médio, engajamento nos estudos, planos de carreira, saúde física e mental etc. Após 
escolhido o tema, é necessário que se escolha a pergunta que direcionará a pesquisa ou, 
dito de outra maneira, qual pergunta pretende-se responder com a pesquisa. A pergunta 
precisa estar bem definida, de modo que seja possível respondê-la por meio da pesquisa.
O planejamento e a elaboração do questionário devem estar bem ajustados a essa per-
gunta de pesquisa para que a coleta de dados seja eficaz ao seu objetivo. Para a construção 
do questionário, recomenda-se que utilizem em torno de cinco variáveis. É interessante 
buscar ao menos uma variável de cada um dos tipos estudados no Capítulo anterior. Além 
disso, recomenda-se que alguma(s) das variáveis apresentem alternativas de resposta, com 
a opção “outros”, possibilitando que o entrevistado se comunique melhor. Enfatizar aos 
estudantes que são possíveis perguntas abertas, mas recomenda-se que sejam poucas, 
pois a tabulação não é imediata: serão necessários a classificação e o agrupamento das 
respostas. 
Elaborado o questionário, recomenda-se realizar um teste piloto, no qual possibili-
ta-se perceber se as questões estão objetivas para o entrevistado e se há a necessidade 
de ajustes. O cuidado na elaboração de um questionário é importante para garantir uma 
coleta de dados consistente e que permita, após a análise, uma conclusão a respeito 
do que se deseja. Um questionário mal elaborado compromete toda a pesquisa. Desse 
modo, ao elaborar as perguntas os estudantes devem se atentar à objetividade, à clareza 
no texto e cuidar para que elas não influenciem a resposta do entrevistado.
O boxe Pense
e responda ao final do tópico Coleta dos dados leva os estudantes a 
identificar o tema e o público-alvo de uma pesquisa, bem como justificar o tipo de pesquisa 
que foi exemplificado.
No tópico Tratamento e análise dos dados são retomados os cálculos de algumas 
medidas estatísticas. Ao utilizar conceitos e definições como modelos matemáticos para 
auxiliar a análise dos dados, os estudantes desenvolvem a competência específica 3 da área 
de Matemática e suas Tecnologias, em particular, a habilidade EM13MAT316.
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Pesquisa amostral
Ao explorar o tópico Pesquisa amostral e conhecer diferentes técnicas de amos-
tragem, os estudantes poderão aplicar procedimentos matemáticos estatísticos para 
interpretar situações em diferentes contextos, desenvolvendo a competência específica 
1 da área de Matemática e suas Tecnologias, em particular, a habilidade EM13MAT102. 
Possibilitar que eles analisem e comparem cada tipo de amostra apresentada e explorem 
os exemplos, além de incentivar que pesquisem outras situações nas quais esses tipos de 
amostras foram utilizados.
No boxe Pense e responda do tópico Cuidados no tratamento de dados, os estu-
dantes têm a oportunidade de retomar, no exemplo analisado, conceitos estudados no 
Capítulo anterior referentes às medidas estatísticas. Além disso, eles poderão comparar 
os dados de geração de emprego com outras informações, como o total de habitantes 
do município, o total de pessoas que fazem parte da População Economicamente Ativa, 
as taxas de desemprego em cada ano etc. Esse trabalho poderá ser realizado de maneira 
integrada com os professores da área de Ciências Humanas e Sociais Aplicadas.
O boxe Para ler traz a indicação de um livro que pode gerar uma discussão em sala de 
aula a respeito do uso da Estatística e da confiabilidade dos dados, tornando os estudantes 
leitores mais críticos e atentos às afirmações envolvendo dados numéricos.
Após o estudo dos tipos de amostragem, da margem de erro e dos cuidados no tra-
tamento de dados, os estudantes podem escolher o tipo de amostragem que será mais 
adequado e viável para a realização de sua pesquisa, determinar a amostra e planejar 
como coletar os dados dessa amostra. Após finalizados o questionário e o planejamento 
da amostra, realizam-se as aplicações do questionário.
Com os dados coletados, inicia-se a tabulação das informações. Para isso, recomenda-se 
utilizar uma planilha eletrônica. Nessa planilha, cada coluna pode ser destinada a uma das 
variáveis e, cada linha, à resposta de um questionário. Para melhor organização, sugere-se 
numerar os questionários antes de começar a tabulação e que a primeira coluna da plani-
lha seja a de identificação numérica do questionário. Assim, caso ocorra erro de digitação, 
facilita-se a verificação.
Com os dados tabulados é possível realizar a análise dos dados. Ao usar planilhas ele-
trônicas, os estudantes podem perceber que o trabalho é facilitado, pois é possível criar 
diferentes gráficos e utilizar fórmulas próprias da planilha para calcular as medidas estatís-
ticas de maneira rápida e precisa. Para essa etapa, sugere-se retomar o tópico Cuidados 
no tratamento de dados, assim como as medidas e os tipos de gráfico estudados no 
Capítulo anterior.
A utilização da linguagem científica e gráfica para se comunicar contribui para o 
desenvolvimento da competência geral 4. Ao calcular as medidas estatísticas para rea-
lizar a análise dos dados coletados, os estudantes aplicam registros de representação 
matemáticos, desenvolvendo a competência específica 4 da área de Matemática e suas 
Tecnologias, em particular, as habilidades EM13MAT406 e EM13MAT407.
Por fim, recomenda-se propor aos estudantes que produzam um relatório da pesquisa 
realizada. Nele, devem-se conter uma descrição da metodologia do projeto elaborado pelos 
estudantes (tema, população de interesse, tipo de amostra escolhido, como foi realizada 
a coleta de dados etc.) e, principalmente, a análise dos gráficos e das tabelas por eles ela-
borados, de modo a apresentar as conclusões principais da pesquisa, argumentando com 
base em fatos e informações confiáveis, o que contribui para o desenvolvimento da com-
petência geral 7. Além disso, sugere-se que cada grupo elabore um vídeo no qual apresente 
as principais conclusões de sua pesquisa e, se possível, compartilhem esses resultados com 
os entrevistados.
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> ATIVIDADES RESOLVIDAS E ATIVIDADES
Na seção Atividades resolvidas são utilizados os conceitos de pesquisa e análise 
de dados. Explorar detalhes conceituais envolvidos nas resoluções para proporcionar 
a compreensão dos conceitos e esclarecer as dúvidas.
Aproveitar o item d da atividade resolvida 1 para propor aos estudantes que apre-
sentem outras conclusões possíveis ao observar os dados apresentados.
A atividade proposta 1 pode trazer à discussão aspectos relacionados ao Tema 
Contemporâneo Transversal Processo de envelhecimento, respeito e valorização 
do Idoso. Aproveitar essa atividade para que os estudantes possam exercitar o diálogo 
e o acolhimento à diversidade de grupos por meio dessa temática, desenvolvendo a 
competência geral 9.
Na atividade proposta 2 é importante que a troca dos exemplos aconteça para que 
os estudantes possam identificar as características de cada tipo de pesquisa.
A atividade proposta 7 propõe a realização do projeto descrito anteriormente, que 
pode ser realizado ao decorrer do estudo, conforme sugerido, ou depois de todos os 
conceitos terem sido trabalhados.
FÓRUM
Ao trazer as fake news para o debate em sala de aula, os estudantes têm a 
oportunidade de argumentar com base em dados e informações confiáveis para 
defender pontos de vista, desenvolvendo a competência geral 7.
Discutir as consequências que esse tipo de notícia pode causar em pessoas 
ou grupos específicos. Para complementar essa discussão, pode-se comentar que 
há tecnologias recentes que ajudam a espalhar notícias falsas por meio de vídeos, 
conhecidas por deep fakes, em que é possível colocar o rosto de alguma pessoa 
no corpo de outra que esteja em vídeo. O texto a seguir trata um pouco sobre isso.
O perigo dos ‘deep fakes’
Ferramenta tecnológica que permite a criação de vídeos extremamente rea-
listas, colocando pessoas em situações constrangedoras e inusitadas, pode servir 
perigosamente para a desinformação política, em meio às novas campanhas elei-
torais. Plataformas digitais se preparam para evitar problemas
[...]
Há o temor de que os deep fakes sejam utilizados para encenar declarações 
absurdas de políticos e influenciar em processos eleitorais. Já se preparando 
para isso, o Facebook anunciou em janeiro deste ano, provavelmente de olho 
nas eleições presidenciais dos EUA, que estará na lista de conteúdos banidos 
da plataforma, junto com nudez e discurso de ódio.
[...]
“Transpõe uma fronteira. Em pouco tempo teremos vídeos e áudios que a 
própria pessoa supostamente flagrada não terá como provar que não fez aquilo”, 
supõe Eugenio Bucci, professor da Escola de Comunicações e Artes da USP. Ele 
explica que a nossa sociedade convencionou que documentos como fotos e vídeos 
são confiáveis, mas que o deep fake pode colocar isso à prova.
SETTE, G. O perigo dos 'deep fakes'. Istoé, 28 fev. 2020. Disponível em: https://
istoe.com.br/o-perigo-dos-deep-fakes/. Acesso em: 21 set. 2020.
Orientar os estudantes a identificar os erros e as possíveis relações com a Estatística 
nas notícias trazidas por eles, uma vez que as fake news podem utilizar algumas caracte-
rísticas dessa ciência para aparentar credibilidade.
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212212
> CONEXÕES
Esta seção aborda o Índice de Desenvolvimento Humano (IDH)
e o Índice de 
Desenvolvimento Humano Municipal (IDHM), colaborando para o trabalho com o Tema 
Contemporâneo Transversal Educação em Direitos Humanos. Ao ter contato com 
esses índices, os estudantes exploram conhecimentos construídos historicamente que 
ajudam a colaborar com uma sociedade mais inclusiva, desenvolvendo a competência 
geral 1.
Também têm a oportunidade de utilizar conceitos e procedimentos matemáticos 
para interpretar situações de natureza socioeconômica, conforme menciona a com-
petência específica 1 da área de Matemática e suas Tecnologias, em particular, a 
habilidade EM13MAT104. Além disso, pode-se desenvolver um trabalho voltado espe-
cialmente para o índice longevidade, em parceria com a área de Ciências da Natureza 
e suas Tecnologias, desenvolvendo a competência específica 3 dessa área.
Enfatizar que esses índices variam de 0 até 1, conforme é mencionado no boxe 
Saiba que..., e, após discutirem o texto propor aos estudantes questões que ajudam a 
interpretar o IDHM, bem como a pesquisa a respeito da localidade deles.
Na atividade proposta nessa seção, o estudante deve pesquisar características 
específicas do IDHM de seu município, analisando os dados e comparando com os 
municípios vizinhos. Para esse estudo, recomenda-se o portal Atlas Brasil, disponível 
em <http://www.atlasbrasil.org.br/2013/pt/home/> (acesso em: 21 set. 2020), no qual 
há o banco de dados que permite a pesquisa de cada IDHM (no ícone Consulta) para 
fazer a comparação solicitada.
Pode-se propor aos estudantes que discutam com os colegas e enumerem ações, já 
existentes ou não, que afetam positivamente o desenvolvimento dos pilares contidos 
no IDHM. Depois, eles podem elaborar um folheto com essas informações. Essa reflexão 
permite aos estudantes perceberem como os indicadores podem desencadear políticas 
e ações públicas para a melhoria da sociedade. Essa discussão pode ser realizada em 
parceria com os professores da área de Ciências Humanas e Sociais Aplicadas, de 
modo a explorar aspectos mais específicos da área.
Indicadores
Inicialmente, pode-se retomar as ideias discutidas na abertura do Capítulo sobre 
índices. Compreender os indicadores e as taxas possibilita interpretar criticamente situações 
econômicas e sociais, desenvolvendo a competência específica 1 da área de Matemática 
e suas Tecnologias, em particular, a habilidade EM13MAT104.
Pontuar que qualquer índice, por mais sofisticado que seja, apresenta informações rele-
vantes, mas também possui limitações. Para evitar conclusões equivocadas a respeito de 
índices e indicadores, é necessário compreender como eles são determinados e analisá-los 
considerando as especificidades do contexto em que estão inseridos.
A taxa de analfabetismo funcional, por exemplo, é considerada pelo IBGE como sendo 
o percentual da população de 15 anos de idade ou mais que possui menos de quatro anos 
de estudo completos, ou seja, a população que não concluiu o Ensino Fundamental  I 
no Brasil. Já no Índice de Analfabetismo Funcional (Inaf), realizado pelo Instituto Paulo 
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Montenegro e pela ONG Ação Educativa, com apoio do IBOPE, utiliza-se a metodologia 
de pesquisa descrita no texto a seguir.
[...]
A população pesquisada, brasileiros entre 15 e 64 anos de idade, engloba residen-
tes de zonas urbanas e rurais em todas as regiões do Brasil, quer estejam estudando 
ou não. Em entrevistas domiciliares, são aplicados questionários e testes práticos. 
O intervalo de confiança estimado é de 95% e a margem de erro máxima estimada é 
de 2,2 pontos percentuais para mais ou para menos sobre os resultados encontrados 
no total da amostra. [...]
A partir de 2007 foi adotada a Teoria da Resposta ao Item (TRI) como metodolo-
gia estatística, que propõe modelos teóricos que representam o comportamento das 
respostas atribuídas a cada uma das questões como uma função da habilidade do 
indivíduo. Ou seja, cada questão do teste tem seu grau de dificuldade definido a priori 
e a pontuação (proficiência ou escore) de cada indivíduo respondente varia de acordo 
com o grau de dificuldade das questões que foi capaz de responder corretamente.
[...]
INSTITUTO PAULO MONTENEGRO. Metodologia, c2017. Disponível em: 
https://ipm.org.br/inaf. Acesso em: 21 set. 2020.
A diferença na metodologia das instituições pode gerar dados diferentes e, por con-
siderarem aspectos distintos, as conclusões também podem ser consideradas diferentes.
O boxe Pense e responda traz uma oportunidade de discutir o aumento do número 
de analfabetos funcionais com o passar dos anos. Essa discussão pode ser realizada em 
conjunto com os professores da área de Ciências Humanas e Sociais Aplicadas. Espera-se 
que os estudantes percebam que esse crescimento pode estar relacionado à condição 
social e educativa das pessoas.
Sugere-se propor aos estudantes uma atividade complementar de pesquisa na qual 
cada dupla ou trio de estudantes fica responsável por pesquisar um índice ou uma taxa 
estatística e compartilhar com os demais. Os temas podem ficar a critério dos grupos 
ou pode-se apresentar uma lista com temas para escolha e, assim, evita-se repetição e 
mais índices poderão ser conhecidos. Com isso, os estudantes exercitam a curiosidade 
intelectual e conseguem investigar causas e elaborar hipóteses, desenvolvendo a com-
petência geral 2.
Índice de Desenvolvimento 
Humano (IDH)
Estudar como o IDH é calculado permite aos estudantes compreender melhor o que, 
de fato, está sendo medido. Comentar que o termo “desenvolvimento humano” pode ser 
interpretado de diferentes maneiras e, por isso, é necessário saber do que se trata exata-
mente esse índice para evitar conclusões equivocadas.
Destacar que a sociedade é complexa e que o estudo e a análise de tendências e de 
diferentes movimentos de grupos sociais não se devem limitar a um único índice. O con-
junto de fatores, estudos, dados e o aprimoramento de pesquisas e técnicas de análise 
possibilitam uma melhor compreensão da realidade.
Estudar esses indicadores auxilia na compreensão da sociedade e contribui para uma 
possível transformação, uma vez que embasa políticas públicas. Por meio dessa investigação 
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e análise crítica, trabalham-se as competências gerais 1 e 2 e a competência específica 1 da 
área de Matemática e suas Tecnologias, em particular, a habilidade EM13MAT104.
No estudo de cada um dos aspectos que integram o IDH (longevidade, educação e 
renda), recomenda-se indicar quais são as limitações de cada um deles. O índice de educa-
ção, por exemplo, não leva em consideração a qualidade do aprendizado.
Para aprofundar esse tema, sugerem-se os vídeos da Univesp “IDH – parte 1” e “IDH 
– parte 2”, disponíveis em <https://www.youtube.com/watch?v=fARlTzyUPgY> e <https://
www.youtube.com/watch?v=07L2dP4nKlg> (acessos em: 21 set. 2020). Neles, mostra-se 
como o cálculo do IDH funciona.
Um complemento que pode ser realizado nesse estudo é destacar aos estudantes que 
no IDH não se evidencia a desigualdade do país. Porém, isso pode ser contornado com o 
estudo do Índice de Desenvolvimento Humano Ajustado à Desigualdade (IDHAD) que leva 
em consideração as desigualdades nas três dimensões do IDH.
O boxe Pense e responda leva os estudantes a utilizar as faixas de desenvolvimento 
humano para classificar um país. Relembrar que essa faixa traz uma classificação de 0 até 
1. Espera-se que percebam que o índice 0,7933 classifica o país com um IDH muito alto.
O boxe Saiba que... traz informações importantes sobre o Índice de Desenvolvimento 
Humano Municipal (IDHM), que utiliza a média geométrica de valores. Se necessário, apre-
sentar outros exemplos de cálculo da média geométrica para que os estudantes comparem 
com o cálculo da média aritmética.
> ATIVIDADES RESOLVIDAS E ATIVIDADES
Na seção Atividades resolvidas são utilizados os conceitos de índices relacionados 
ao IDH e IDHM. Explorar detalhes conceituais envolvidos nas resoluções para propor-
cionar a compreensão dos conceitos e esclarecer as dúvidas. Essas atividades, junto 
às atividades propostas, levam os estudantes a analisarem diferentes índices e taxas, 
desenvolvendo a competência específica 1 da área de Matemática e suas Tecnologias, 
em particular, a habilidade EM13MAT104.
Na atividade proposta 8 é apresentado o índice Gini. Uma possibilidade para com-
plementar esse estudo é propor aos estudantes que pesquisem como ele é calculado. 
Para isso, são utilizados índices de renda e conceitos de área, sendo uma oportunidade 
para retomar as habilidades relacionadas a esse assunto.
Na atividade proposta 10 aborda-se o Índice Nacional de Preços ao Consumidor 
Amplo (IPCA), possibilitando o trabalho com o Tema Contemporâneo Transversal 
Educação Fiscal, uma vez que a compreensão do índice permite um acompanhamento 
de questões relacionadas à inflação.
A atividade proposta 11 traz uma oportunidade de discutir com os estudantes o 
respeito e a preservação das diferentes culturas, em particular, a indígena. Com isso, 
pode-se explorar o Tema Contemporâneo Transversal Educação para a valorização 
do multiculturalismo das matrizes históricas e culturais Brasileiras. Se possível, 
propor um trabalho integrado com os professores da área de Ciências Humanas e 
Sociais Aplicadas.
Destinar um momento da aula para que os estudantes possam apresentar o rela-
tório desenvolvido na atividade 15 a respeito dos índices da região em que moram e 
de ações que poderiam ser realizadas para melhorar esses índices, desenvolvendo a 
competência específica 2 da área de Matemática e suas Tecnologias.
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215
> EXPLORANDO A TECNOLOGIA
Nesta seção utiliza-se o GeoGebra para criar diagramas de ramo e folhas e box-plot, 
gráficos estudados no Capítulo anterior, ampliando o repertório dos estudantes para se 
comunicar por meio de diferentes linguagens a partir da utilização de tecnologias digitais, 
desenvolvendo as competências gerais 4 e 5.
Além disso, contribui para o desenvolvimento da competência específica 4 da área 
de Matemática e suas Tecnologias, em particular, as habilidades EM13MAT406 e 
EM13MAT407, uma vez que permite ao estudante construir, interpretar e analisar diferen-
tes tipos de gráfico.
Orientar os estudantes a fazer o download do GeoGebra, conforme mencionado no 
boxe Saiba que..., caso eles ainda não o tenham utilizado.
Ao final da seção, são propostas duas atividades cujas respostas dependem da pesquisa 
realizada pelos estudantes. Na atividade 1, eles devem selecionar 10 estudantes de cada turma 
da 1a série do Ensino Médio da escola para anotar a idade e construir um diagrama de ramo 
e folhas e um box-plot com esses dados. Na atividade 2, eles devem comparar os gráficos 
elaborados na atividade anterior para verificar semelhanças e diferenças.
Sugere-se destinar um tempo de aula para uma discussão a respeito dos gráficos 
construídos pelos estudantes a fim de que possam apresentar conclusões a partir das 
informações obtidas.
> ATIVIDADES COMPLEMENTARES
As atividades dessa seção permitem que o estudante desenvolva ainda mais seu apren-
dizado sobre os assuntos abordados neste Capítulo. Sugere-se propor a eles que, antes de 
resolverem as atividades, elaborem um esquema contendo as principais informações do 
Capítulo, como as etapas de uma pesquisa, os tipos de amostragem e índices estudados. 
Uma possibilidade de trabalho é propor que as atividades sejam resolvidas em grupo, e a 
socialização das resoluções seja feita por meio de um debate. Essa proposta pode também 
figurar como uma avaliação do processo de aprendizagem dos estudantes, em que eles 
poderão verificar se precisam retomar algum conceito que necessite ser mais bem traba-
lhado, bem como esclarecer dúvidas.
O contexto da atividade complementar 2 permite que sejam trabalhados aspectos do 
Tema Contemporâneo Transversal Saúde ao tratar da dengue. Pode-se sugerir aos estu-
dantes que pesquisem informações de prevenção e ações realizadas no contexto local 
para combater a dengue. Esse estudo pode ser desenvolvido de forma integrada com os 
professores de Biologia e Geografia.
> PARA REFLETIR
Para finalizar o Capítulo, recomenda-se que os estudantes tenham a oportunidade de 
refletir e analisar seu próprio processo de aprendizagem, identificando as dificuldades que 
surgiram. Por isso, é importante destinar um tempo de aula para que eles respondam às 
questões propostas nesta seção. As respostas a essas questões dependem do envolvimento 
do estudante no processo de aprendizado.
Espera-se que eles reflitam sobre o comportamento que tiveram nas aulas, relembrem 
os tipos de amostragem, indiquem as principais etapas de uma pesquisa estatística e expli-
quem como os índices estatísticos podem ser analisados para compreender a sociedade e 
orientar políticas públicas que visem à solução de problemas sociais.
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A BNCC neste Capítulo
Este Capítulo proporciona oportunidades de desenvolver competências gerais da 
BNCC, bem como competências específicas e habilidades.
A seguir, estão apontados os códigos das competências gerais, específicas e habilidades 
e listado o Tema Contemporâneo Transversal trabalhado. O texto completo referente a 
cada um dos códigos da BNCC está apresentado nas páginas 156, 157 e 158 deste livro.
 > Competências gerais: 1, 3 e 5
 > Competências específicas e habilidades:
 Área de Matemática e suas Tecnologias
• Competência específica 3: EM13MAT310
• Competência específica 4: EM13MAT405
 Área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias
• Competência específica 3
 > Tema Contemporâneo Transversal:
• Ciência e Tecnologia
Orientações didáticas
Abertura de Capítulo
Neste Capítulo, trabalha-se a valorização e a utilização dos conhecimentos histori-
camente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital com o objetivo de 
entender e explicar a realidade, desenvolvendo, assim, a competência geral 1. Outro 
objetivo é compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comuni-
cação de forma crítica, como descreve a competência geral 5. São utilizados conceitos 
matemáticos e estratégias para interpretar, construir modelos e resolver problemas em 
diversos contextos, desenvolvendo a competência específica 3 da área de Matemática 
e suas Tecnologias. Além disso, possibilita-se investigar situações-problema e avaliar 
aplicações do conhecimento científico e tecnológico e suas implicações no mundo, utili-
zando procedimentos e linguagens próprios das Ciências da Natureza, como descreve a 
competência específica 3 da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, desen-
volvendo também o Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia.
Os estudantes terão a oportunidade de estudar a análise combinatória envolvendo situa-
ções que relacionam o cálculo de quantidade de combinações possíveis entre elementos.
As ideias de probabilidade e análise combinatória relacionadas aos fenômenos natu-
rais e ao cotidiano são de grande importância para que os estudantes possam agir com 
autonomia e flexibilidade na sociedade em que vivem, tomando decisões com base em 
conhecimentos fundamentados na ciência e na tecnologia.
A Abertura deste Capítulo propõe reflexão e discussão a respeito da imagem e do texto 
apresentado, possibilitando aos estudantes que relacionem os conhecimentos matemáticos às 
situações reais e, ainda, pode ser usada para levantar os conhecimentos prévios dos estudantes.
Combinatória3
C A P Í T U L O
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217
Recomenda-se
iniciar a conversa com a observação da imagem apresentada e solici-
tar aos estudantes que comentem o que ela sugere. Nela, pode-se observar uma pessoa 
digitando a senha para desbloqueio de um aparelho celular. Nesse momento, deixar que 
os estudantes comentem as percepções que têm sobre isso e incentivá-los a aprofundá-las 
no momento de responderem às questões propostas.
O texto de abertura trata da criptografia, relacionando-a à Matemática. Perguntar aos 
estudantes se eles sabem que muitos sistemas de envio de mensagens secretas envolvem 
os conhecimentos matemáticos comumente estudados no Ensino Fundamental e no 
Ensino Médio. A criptografia é a área que trabalha com meios e métodos capazes de 
enviar mensagens com segurança.
Sugere-se que os estudantes se reúnam em duplas para que possam compartilhar as 
informações e esclarecer as dúvidas que surgirem durante as questões da Abertura.
A atividade 1 propõe aos estudantes que descrevam qual é o conhecimento deles em 
relação à criptografia. É interessante estimular que os estudantes compartilhem o que 
sabem com os colegas. É possível que eles conheçam algumas informações a respeito do 
tema, mas não as relacionem à criptografia, como é o caso da brincadeira da língua do "p" 
citada no texto. Estimular o debate para que essa conexão seja feita.
A atividade 2 verifica se os estudantes reconhecem a importância da utilização de 
senhas para a segurança das informações, que tem o objetivo de garantir que os dados 
pessoais ou de uma organização sejam armazenados de maneira segura, não permitindo 
o acesso por estranhos e, consequentemente, tendo uma utilização indevida. Atualmente, 
as senhas são necessárias para desbloquear um telefone celular, acessar o e-mail pessoal 
e fazer compras on-line, por exemplo.
A atividade 3 propõe uma pesquisa sobre o matemático Alan Turing e sua atuação na 
Segunda Guerra Mundial. Para informações sobre esse importante matemático, acessar o 
artigo Alan Turing, o pai da computação, disponível em: http://www.invivo.fiocruz.br/cgi/
cgilua.exe/sys/start.htm?infoid=1370&sid=7 (acesso em: 6 set. 2020). Mais adiante no Capítulo, 
no tópico Problemas de contagem, esse tema é retomado, com a indicação do filme O jogo 
da imitação, no boxe Para assistir, que aborda a vida e a contribuição do matemático Alan 
Turing para desvendar o código inventado pelos nazistas na Segunda Guerra Mundial.
Com base nas propostas das atividades 2 e 3 e no vídeo indicado, sugere-se o desenvol-
vimento de um trabalho, em parceria com o professor do componente curricular História da 
área de Ciências Humanas e Sociais Aplicadas, a respeito da contribuição da criptografia 
para o fim da Segunda Guerra Mundial. Esse trabalho pode ser realizado em grupos e apre-
sentado aos demais estudantes por meio de cartazes que destaquem aquilo que mais chamou 
a atenção do grupo na pesquisa. Em seguida, propõe-se um debate sobre esse tema. As dis-
cussões podem envolver assuntos como a guerra, a importância da criptografia na guerra, 
a segurança da informação e a discriminação contra mulheres e homossexuais.
O texto a seguir pode contribuir com a pesquisa dos estudantes.
[...] Alan Turing se torna responsável por duas grandes contribuições para a 
história: a vitória dos aliados na Segunda Grande Guerra e a invenção do compu-
tador. Curiosamente, muitos anos após a Segunda Guerra, a criptografia ainda era 
considerada arma de guerra e, portanto, item de segurança nacional.
De fato, muitos detalhes sobre a criptografia e criptoanálise utilizados durante 
essa guerra, bem como os principais atores que participaram desses trabalhos foram 
omitidos, com a desculpa de serem segredos de estado durante décadas.
Após a Segunda Guerra e com o advento dos computadores, a criptografia passa 
a exercer um novo e importante papel na sociedade moderna: garantir a segurança 
das informações. Todas as vezes que um computador é acessado e uma senha utili-
zada, ou quando um pagamento é feito pela internet, ou então uma conta bancária é 
acessada ou mesmo quando uma mensagem é postada no Facebook, a criptografia 
está sendo utilizada.
[...]
BRUNO, O. M. Criptografia: de arma de guerra a pilar da sociedade moderna. 
Jornal da USP, São Paulo, 9 jan. 2017. Disponível em: https://jornal.usp.br/artigos/ 
criptografia-de-arma-de-guerra-a-pilar-da-sociedade-moderna/. Acesso em: 6 set. 2020.
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http://www.invivo.fiocruz.br/cgi/cgilua.exe/sys/start.htm?infoid=1370&sid=7
https://jornal.usp.br/artigos/criptografia-de-arma-de-guerra-a-pilar-da-sociedade-moderna/
218218
Introdução
Comentar com os estudantes que, neste Capítulo, eles vão conhecer diferentes 
agrupamentos de elementos para que possam contá-los de maneira organizada. A com-
binatória analisa e conta o número de possibilidades de como os elementos de um 
conjunto podem ser agrupados de acordo com regras estabelecidas.
Aproveitar esse momento para que os estudantes falem a respeito do que entendem 
por combinatória a fim de levantar os conhecimentos prévios deles sobre esse assunto.
Ao final desse tópico, é oportuno que os estudantes apresentem a opinião deles a 
respeito de como se poderia construir uma listagem com todas as combinações possíveis 
do algarismo 9, seguido de outros oito algarismos quaisquer, para que percebam a neces-
sidade de outras estratégias.
Para auxiliar o trabalho com conceitos de análise combinatória, sugerimos a leitura 
da dissertação de mestrado Análise combinatória: uma abordagem diferenciada sem 
a utilização de fórmulas, apresentada no Programa de Mestrado Profissionalizante 
da Universidade Federal de São Carlos, disponível em <https://repositorio.ufscar.br/ 
bitstream/handle/ufscar/10400/RODA_Thiago_2018.pdf?sequence=4&isAllowed=y> 
(acesso em: 6 set. 2020).
Princípio multiplicativo
Explicar aos estudantes que, para realizar uma boa contagem, são necessárias duas 
condições: saber o que deve ser contado e organizar a contagem, ou seja, buscar uma 
estratégia útil para realizar a contagem.
Pode-se apresentar o exemplo das roupas dispostas no manequim e pedir aos estu-
dantes que façam as combinações possíveis com uma bermuda, uma calça e quatro 
camisetas. Depois de eles dizerem como fazem para combinar as roupas, mostrar a utiliza-
ção da árvore de possibilidades e da tabela de dupla entrada, que auxiliam a organização 
das informações do problema.
Enfatizar que, nos casos em que há muitas alternativas de escolha, a aplicação de 
diagramas é pouco prática. Para essas situações utilizamos o princípio multiplicativo, 
também chamado de princípio fundamental da contagem, que é um método algébrico 
para determinar o número total de possibilidades.
Sugere-se citar que a linguagem braile pode ser apontada como um exemplo para 
abordar a combinatória, conforme mencionado no texto a seguir. Esse trabalho pode ser 
desenvolvido em parceria com o professor de Língua Portuguesa da área de Linguagens 
e suas Tecnologias.
[...]
 • O código Braille é baseado em uma disposição 3 x 2 de pontos. Para registrar 
uma letra do alfabeto, alguns desses 6 pontos são marcados ou perfurados, 
para que fiquem sobressalentes e possam ser sentidos com a ponta dos dedos 
das mãos.
 • Como temos seis pontos no sistema 3 x 2, pelo Princípio Multiplicativo, a quanti­
dade de padrões diferentes que pode ser formada é 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26 = 64.
 • Há artifícios adicionais para que seja possível representar números, letras maiús­
culas e minúsculas, sinais de pontuação e de operações matemáticas, usando a 
linguagem Braille.
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219
 • Há outros métodos, todos baseados no Princípio Multiplicativo de Contagem, para 
calcular quantas configurações podemos formar usando a linguagem Braille: o 
método que foca na quantidade de pontos, independente de estarem
pintados ou 
não e o método que foca na quantidade de pontos pintados.
[...]
MORAIS FiLHO, D. C.; MALAGUTTI, Pedro L. A. Matemática discreta: módulo II. 
Cuiabá: Central de Texto, 2013. (Matemática na prática: curso de especialização em ensino 
de matemática para o ensino médio, p. 68). Disponível em: https://educapes.capes.gov.
br/bitstream/capes/401690/1/Matem%C3%A1tica%20na%20Pr%C3%A1tica%20Mod2_F3_
Matematica_Discreta.pdf. Acesso em: 6 set. 2020.
No primeiro item do primeiro boxe Pense e responda, valorizar as estratégias com-
partilhadas pelos estudantes. Eles podem, por exemplo, construir um diagrama de árvore, 
fazer uma tabela de dupla entrada ou aplicar o princípio multiplicativo para concluir que há 
18 possibilidades para vestir o manequim com três bermudas e seis camisetas (3 ? 6 = 18). 
Para essa situação, a tabela de dupla entrada fica da seguinte maneira:
 Opções de montagem do manequim
Camisetas
Bermudas
C1 C2 C3 C4 C5 C6
B1 B1C1 B1C2 B1C2 B1C4 B1C5 B1C6
B2 B2C1 B2C2 B2C3 B2C4 B2C5 B2C6
B3 B3C1 B3C2 B3C3 B3C4 B3C5 B3C6
Fonte: Dados fictícios.
No segundo item desse boxe, espera-se que os estudantes concluam que poderíamos 
começar o diagrama de árvore pelas camisetas e teríamos chegado ao mesmo resultado.
O segundo boxe Pense e responda tem por objetivo auxiliar os estudantes a constatar 
que algumas situações apresentam restrições que devem ser consideradas ao se calcular o 
número de possibilidades do agrupamento desejado.
Se possível, reservar um momento da aula para que os estudantes possam assistir ao 
vídeo A César o que é de César, indicado no boxe Para assistir. O objetivo desse vídeo 
é contribuir para a compreensão do conceito de criptografia e apresentar, por meio de 
exemplos, sua importância até os dias atuais. Caso não seja possível assisti-lo em aula, 
sugerir que o façam em casa e tragam as dúvidas para a sala de aula. Após assistir ao vídeo, 
sugere-se uma breve discussão dos conceitos apresentados.
No terceiro boxe Pense e responda, espera-se que os estudantes concluam que podería-
mos começar o diagrama de árvore pela ordem das unidades e teríamos chegado ao mesmo 
resultado. No entanto, como essa situação possui algumas restrições, verificar se os estudantes 
compreendem que começar pelas posições em que há essas restrições facilita a organização 
dos dados e a resolução do problema. Salientar também que, ao começar pela ordem das 
unidades, o diagrama não fica simétrico por causa das restrições da ordem das centenas e 
que deixar para resolver essa restrição no final pode complicar bastante o raciocínio, tor-
nando a resolução trabalhosa e aumentando a chance de o estudante cometer algum erro.
Princípio aditivo
Se for oportuno, apresentar aos estudantes a definição de princípio aditivo a partir da 
noção de conjuntos. Usando a notação de conjuntos, o princípio aditivo pode ser definido 
da forma a seguir.
Se A e B são conjuntos disjuntos com p e q elementos, respectivamente, então A ' B 
possui p + q elementos.
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FÓRUM
Nesse boxe, trabalham-se a valorização de manifestações artísticas e culturais, 
além da participação de práticas diversificadas da produção artístico-cultural, 
desenvolvendo a competência geral 3.
Esse boxe apresenta o livro Cem mil bilhões de poemas, publicado por Raymond 
Queneau, que contempla o conceito de combinação na literatura. É importante des-
tacar que, apesar de essas áreas parecerem tão distintas, a aproximação entre a 
literatura e a Matemática existe.
Sugere-se desenvolver uma atividade em parceria com o professor do com-
ponente curricular Língua Portuguesa da área de Linguagens e suas Tecnologias, 
envolvendo a leitura de um livro que contemple algum conceito da área de 
Matemática e suas Tecnologias. Os estudantes podem também promover atividades 
como debates e a realização de uma mostra de trabalhos na escola.
Algumas possibilidades literárias em Matemática são o conto “Biblioteca de 
Babel”, de Jorge Luis Borges, que aborda uma realidade em que o mundo é consti-
tuído por uma biblioteca com uma infinidade de livros, e o livro O enigma do infinito, 
de Jacques Fux, que propõe questões matemáticas em seu conteúdo.
Para mais informações a respeito de Raymond Queneau, acessar o site <http://
tede2.pucrs.br/tede2/bitstream/tede/6611/2/DIS_ISRAEL_MENDES_COMPLETO.
pdf> (acesso em: 6 set. 2020).
Fatorial
O fatorial é uma forma de facilitar a notação do produto de n números naturais con-
secutivos, começando em n e decrescendo até chegar em 1. Verificar se os estudantes 
conseguem calcular o fatorial de um número utilizando uma calculadora científica, lem-
brando que pode haver variações no modelo que eles possuem.
> ATIVIDADES RESOLVIDAS E ATIVIDADES
As atividades resolvidas e as atividades propostas trabalham a resolução de pro-
blemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por 
meio dos princípios multiplicativo e aditivo, desenvolvendo a competência específica 3 
da área de Matemática e suas Tecnologias, em particular, a habilidade EM13MAT310.
Explorar detalhes conceituais envolvidos nas resoluções das atividades resolvidas 
para proporcionar a compreensão dos conceitos e esclarecer as dúvidas. Verificar 
se os estudantes apresentam outra maneira de resolver essas atividades, a fim de 
explorar diferentes formas de raciocínio e de representação matemáticos.
Recomenda-se orientar os estudantes a sanar as dúvidas das atividades propostas, 
retornando às atividades resolvidas sempre que for necessário rever algum conceito 
ou procedimento.
Na atividade 5, os estudantes precisam perceber que se trata de uma combinação 
das notas sem poder repeti-las. Assim, há sete possibilidades para a primeira nota e 
seis possibilidades para a segunda. Como não é possível repetir apenas a nota utilizada 
na segunda opção, há seis possibilidades também para a terceira e, sem repetir a nota 
utilizada na terceira opção, seis possibilidades para a quarta opção. Portanto, o total 
de possibilidades de combinação é dado por 7 ? 6 ? 6 ? 6 = 1 512.
Os objetivos da atividade proposta 8 são que os estudantes usem sua criatividade 
para elaborar e resolver uma situação-problema que contemple o diagrama de árvore 
apresentado no enunciado. Pelo princípio multiplicativo, eles devem concluir que há 
16 opções, pois 2 ? 4 ? 2 = 16.
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Problemas de contagem
Nesse tópico, são trabalhadas a resolução e a elaboração de problemas de con-
tagem, colaborando para o desenvolvimento da competência específica 3 da área de 
Matemática e suas Tecnologias, em particular, a habilidade EM13MAT310.
Explicar aos estudantes que, para resolver os problemas propostos até esse momento, 
foram utilizados diversos instrumentos, como a árvore de possibilidades, as tabelas 
descritivas e os diagramas. Agora, neste tópico, serão apresentadas diversas situações 
envolvendo contagem em que serão observadas algumas características dos agrupa-
mentos. Essa caracterização auxiliará na resolução dos problemas.
Conforme comentado anteriormente, o boxe Para assistir traz a indicação do filme 
O jogo da imitação, que conta a história de Alan Turing. Se possível, proporcionar um 
momento para que os estudantes assistam ao filme, seguido de uma roda de conversa 
para que debatam os principais pontos do filme, o que mais lhes chamou a atenção, do 
que mais gostaram etc. Esse trabalho pode ser feito em conjunto com os professores de 
Arte e de Língua Portuguesa, da área de Linguagens e suas Tecnologias.
Verificar se os estudantes compreendem as principais diferenças entre as situações 
que podem ser resolvidas pelo cálculo de um arranjo e as que podem ser solucionadas 
utilizando o cálculo de permutação.
No boxe Para ouvir, há a indicação do podcast O que é permutação?, que traz o signifi-
cado da palavra permutação no contexto da Matemática. Uma opção de trabalho com esse 
material é solicitar aos estudantes que ouçam o podcast previamente e tragam para a aula 
as dúvidas e observações que tiveram. Desse modo, os estudantes já vêm para a aula com 
alguma informação sobre o tema e são convidados a participar do processo de aprendizagem.
Na situação 5 apresentada, sugere-se estimular os estudantes a elaborarem possi-
bilidades de resolução para as questões iniciais. Desse modo, estarão trabalhando a 
argumentação e a elaboração de hipóteses. Verificar se percebem que as letras repetidas 
ficam indistinguíveis e serão contadas repetidas vezes. Ao longo da explicação, é interes-
sante retomar as hipóteses levantadas pelos estudantes para verificar se elas se confirmam.
O boxe Pense e responda, localizado no fim do tópico, sugere algumas reflexões para 
valores de p e n que, inicialmente, não estão contemplados na definição de combinação 
simples. Para respondê-las, é interessante pensar na estrutura de conjuntos. No primeiro 
item, é esperado que os estudantes percebam que um conjunto com n elementos admite 
um único subconjunto com zero elemento, que é o conjunto vazio. Esse caso também está 
contemplado na fórmula do número de combinações. Se n [ n* e p = 0, temos:
⋅
!
0!( 0)!
!
1 !
1,0C
n
n
n
nn
=
_
= =
No segundo item, é possível pensar da mesma maneira. Assim, um conjunto com zero 
elemento admite um único subconjunto com zero elemento, que é o próprio conjunto 
vazio. Esse caso também está contemplado na fórmula do número de combinações. 
Se n = p = 0, temos:
0!
0!(0 0)!
0!
0!
10, 0C = _
= =
Ao final do tópico, é importante que os alunos compreendam que as fórmulas apre-
sentadas são apenas uma sistematização do raciocínio desenvolvido em cada situação e 
que existem situações que não se encaixam em nenhuma das fórmulas ou que são uma 
combinação delas. Valorizar o raciocínio lógico dos estudantes e estimular a compreensão 
dos enunciados, identificando o que são perguntas, o que são condições e o que são res-
trições nos contextos apresentados.
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> ATIVIDADES RESOLVIDAS E ATIVIDADES
As atividades resolvidas contemplam problemas de contagem, envolvendo os con-
ceitos estudados até o momento sobre combinações, arranjos e permutações, o que 
favorece o desenvolvimento da competência específica 3 da área de Matemática e 
suas Tecnologias, habilidade EM13MAT310. Explorar detalhes conceituais das reso-
luções para proporcionar a compreensão dos estudantes e esclarecer as dúvidas. 
Podem-se propor pequenas alterações nos enunciados de algumas dessas atividades 
para que os estudantes percebam como detalhes podem alterar a interpretação de 
situações envolvendo esses conceitos.
Atividades relacionadas aos problemas de contagem são uma ótima oportunidade 
para que os estudantes compartilhem seu raciocínio e sua resolução pois, em geral, 
existe mais de uma maneira de resolvê-los. Comparar as resoluções apresentadas, 
verificando se há alguma que é mais simples do que outra, mais trabalhosa etc, mas 
sempre valorizando as respostas trazidas pelos estudantes.
A atividade resolvida 6 trata de anagramas. Retomar esse conceito com os estu-
dantes e propor que pesquisem mais a respeito disso. Esse trabalho de pesquisa 
pode ser realizado em parceria com o professor do componente curricular Língua 
Portuguesa área de Linguagens e suas Tecnologias. É possível propor aos estudantes 
que elaborem um parágrafo ou trecho de poema que apresente anagramas de uma 
mesma palavra a fim de exercitarem a criatividade.
O boxe Pense e responda dessa atividade visa estimular os estudantes a parti-
ciparem da resolução apresentada, pensando nas situações propostas. No primeiro 
item, os estudantes podem responder, por exemplo, IROLV e IOLRV. No segundo item, 
espera-se que eles identifiquem que as repetições são os anagramas que começam 
com I e terminam com V e que estão sendo contados duas vezes.
Se for oportuno, explicar aos estudantes algumas etapas que podem auxiliar na 
resolução de problemas de contagem: ler o problema com bastante atenção; verificar 
se é possível dividir o problema em casos; resolver os casos por ordem de dificuldade 
(os casos que têm mais restrições devem ser resolvidos primeiro); usar diagramas, 
criando uma maneira pessoal de solucionar os problemas; e evitar o uso indiscriminado 
de fórmulas.
Na atividade 16, pode-se indicar aos estudantes que façam alguns esboços das 
bandeiras para observar o que acontece nessa situação antes de calcular o número de 
possibilidades em cada item.
Para calcular o número de anagramas na atividade 29, deve-se considerar que 
as letras AR aparecem juntas e nessa ordem. Assim, pode-se considerar que elas são 
uma única letra e pode-se calcular o número de anagramas da seguinte maneira: 
4 ? 3 ? 2 ? 1 = 24.
Ao resolver a atividade 30, propor aos estudantes que apresentem o raciocínio 
utilizado para determinar o número de caminhos possíveis diferentes que podem ser 
feitos de A até B seguindo as orientações do enunciado.
Para ampliar essas atividades, solicitar aos estudantes que elaborem uma situação-
-problema que possa ser resolvida aplicando algum dos conceitos de combinatória 
estudados até o momento. Depois, eles podem trocar entre si as situações elaboradas 
e conferir juntos as resoluções.
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> EXPLORANDO A TECNOLOGIA
O trabalho desenvolvido nessa seção leva os estudantes a compreender, utilizar e criar 
tecnologias digitais de maneira significativa, refletindo a respeito das práticas adotadas 
por essa tecnologia e conhecendo o funcionamento matemático dela, desenvolvendo a 
competência geral 5. Por meio de estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos, 
os estudantes criam um código de programação para calcular o fatorial de um número e 
analisam os resultados, desenvolvendo a competência específica 4 da área de Matemática 
e suas Tecnologias, habilidade EM13MAT405.
A proposta é utilizar o Scratch, um software que permite criar códigos de programação, 
que podem auxiliar na resolução de problemas, como os de contagem, em particular, no 
uso do fatorial. A lógica de programação para a resolução de problemas e as atividades 
em grupo na criação de algoritmos proporcionam aulas mais dinâmicas e motivadoras. 
Os recursos tecnológicos incentivam o desenvolvimento do pensamento sistemático, pos-
sibilitam conhecer o modo de funcionamento da programação e contribuem para que os 
estudantes verifiquem a aplicação das definições estudadas, por meio da investigação e da 
experimentação, explorando o Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia.
No site <https://scratch.mit.edu/educators/> (acesso em: 6 set. 2020) há guias, em inglês, 
que podem auxiliar os educadores a preparar e conduzir aulas e oficinas com o Scratch, 
além de outras informações sobre os recursos do software.
No primeiro boxe Pense e responda, espera-se que os estudantes percebam que, no 
passo VIII, haverá uma repetição (looping) correspondente ao valor digitado pelo usuário, 
que será responsável por efetuar as sucessivas multiplicações do fatorial. No segundo boxe 
Pense e responda, espera-se que os estudantes percebam, em relação aos passos IX e X, que 
a variável x guarda, a cada repetição, as sucessivas multiplicações n ? 1, depois n ? (n _ 1), até 
a variável y assumir o valor 1. É preciso inicializar a variável x com o valor 1 para que, cada vez 
que o programe rode, a variável retorne ao valor inicial, que é 1.
Na atividade 1, os estudantes precisam refletir a respeito da instrução dada no 
passo VIII. Espera-se que eles percebam que, substituir 10 pelo bloco resposta, significa 
que a repetição das operações será feita pelo número de vezes digitado pelo usuário. 
No contexto do
cálculo do fatorial de um número, isso significa realizar as sucessivas 
multiplicações. Por exemplo, se o usuário digitar o número 4, o programa irá repetir as 
multiplicações quatro vezes, para efetuar 4 ? 3 ? 2 ? 1.
Na atividade 2, os estudantes analisam o passo X. É esperado que eles compreendam 
que a ideia de excluir 1 de y a cada repetição refere-se à construção do conceito de fatorial 
de um número: fatorial de n é o produto dos n números naturais consecutivos de 1 a n. 
Assim, a cada nova interação, constrói-se o produto n ? (n _ 1) ? (n _ 2) ? ... ? 3 ? 2 ? 1.
Na atividade 3, os estudantes precisam analisar o motivo de o programa calcular o fato-
rial de um número ao realizar os procedimentos indicados. Espera-se que eles percebam 
que o programa permite, em primeiro lugar, que o usuário entre com o número desejado. 
Em seguida, armazena esse valor em uma variável e vai repetindo o produto de n por 1, 
n _ 1 por n, (n _ 2) por n(n _ 1), e assim, sucessivamente, n vezes.
A atividade 4 propõe aos estudantes que pensem em outra maneira de criar um pro-
grama para o cálculo do fatorial de um número. Há diversas maneiras para se desenvolver 
esse programa. No entanto, algumas são mais “longas”, usam mais linhas de programação. 
Analisar as variações na resolução de um problema ajuda a desenvolver o pensamento 
computacional dos estudantes.
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> CONEXÕES
Nessa seção, trabalha-se com a valorização e a utilização dos conhecimentos historica-
mente construídos sobre o mundo físico, social e cultural ao explorar as placas dos carros, 
desenvolvendo a competência geral 1. Também se faz presente o Tema Contemporâneo 
Transversal Ciência e Tecnologia e a competência específica 3 da área de Matemática e 
suas Tecnologias, em particular, a habilidade EM13MAT310 que trata de situações envol-
vendo análise combinatória.
Nessa seção, são apresentadas informações que envolvem o agrupamento de elemen-
tos, como foi estudado neste Capítulo, e situações relacionadas ao contexto social, como é 
o caso das placas de identificação de veículos.
Pode-se aproveitar o tema desta seção e propor aos estudantes que pesquisem um 
pouco da história dos veículos. Esse trabalho pode ser realizado em parceria com o professor 
do componente curricular História, da área de Ciências Humanas e Sociais Aplicadas. 
O texto a seguir pode colaborar com essa pesquisa.
Como foi inventado o automóvel?
Como tantas outras máquinas complexas, ele foi resultado de uma longa e lenta 
evolução. Ainda durante a Renascença, no século 15, o pintor e inventor italiano 
Leonardo da Vinci projetou um triciclo movido a corda, como um relógio. A ideia, 
porém, nunca saiu do papel e o automóvel só começou a ganhar vida três séculos 
depois, a partir do aperfeiçoamento da máquina a vapor. Bastou isso ocorrer para que 
o engenheiro francês Nicolas-Joseph Cugnot criasse, em 1769, a carruagem movida 
a vapor, uma das primeiras versões do que viria a ser o automóvel. A invenção de 
Cugnot demorou um pouco para se popularizar, mas em 1800 já existiam ônibus a 
vapor circulando pelas ruas de Paris. Esses veículos, que funcionavam queimando 
carvão, eram pesados, barulhentos e fedorentos – tanto que foram proibidos na 
Inglaterra, onde os trens já eram o principal meio de transporte.
O automóvel como o conhecemos exigia um novo salto tecnológico, que seria 
dado com a invenção do motor a explosão e a descoberta de que se podia usar petró-
leo como combustível, o que ocorreu a partir de 1850. Ainda no final do século XIX, 
dois engenheiros alemães, Karl Benz e Gottlieb Daimler, montaram duas fábricas 
concorrentes de automóveis movidos a gasolina e, por isso, são considerados os pio-
neiros do carro moderno. Daimler e Benz iriam, aliás, se unir em 1926, criando a 
Daimler-Benz, cujos carros, com o nome Mercedes-Benz, são vendidos ainda hoje. 
Todos os primeiros quilômetros da evolução da máquina foram percorridos na Europa. 
Os Estados Unidos, que até o início do século 20 só copiavam os avanços tecnológicos, 
mudaram essa história em 1908, quando o industrial Henry Ford passou a produzir 
carros padronizados em massa.
De um brinquedo para ricos, o veículo se tornou um bem acessível: “o cavalo da 
família”, como dizia Ford. Essa popularização levou à construção de estradas e ruas 
asfaltadas, influenciando a evolução das cidades e da vida moderna. Não à toa, o 
século 20 foi diversas vezes chamado de “o século do automóvel”.
GODINHO, R. D. Como foi inventado o automóvel? Superinteressante, 14 fev. 2020. 
Disponível em: https://super.abril.com.br/mundo-estranho/como-foi-inventado-o-automovel/. 
Acesso em: 6 set. 2020.
Para realizar as atividades dessa seção, sugere-se que os estudantes utilizem uma 
calculadora.
Na atividade 1, os estudantes precisam determinar o número de placas possíveis de 
serem criadas do sistema Renavam com base nas informações de cada item. No item a, 
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deve-se considerar que são utilizadas três letras do alfabeto e quatro algarismos, portanto, 
o número de placas possíveis de serem criadas é dado por:
26 ? 26 ? 26 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 = 175 760 000
No item b, deve-se considerar a não repetição de letras e números, portanto, o número 
de placas possíveis de serem criadas nessas condições é dado por:
26 ? 25 ? 24 ? 10 ? 9 ? 8 ? 7 = 78 624 000
No item c, a resposta será pessoal, pois depende do nome do estudante. 
Na atividade 2, os estudantes precisam considerar o sistema de placa do modelo 
Mercosul para responder aos itens. No item a, devem-se considerar três letras iniciais, segui-
das de um número, uma letra e finalizadas com dois números. Portanto, o número de placas 
possíveis de serem criadas nesse caso é dado por:
26 ? 26 ? 26 ? 10 ? 26 ? 10 ? 10 = 456 976 000
No item b, deve-se calcular a quantidade de placas a mais que podem ser criadas nesse 
novo modelo:
456 976 000 _ 175 760 000 = 281 216 000
A atividade 3 propõe uma pesquisa das cores utilizadas nas novas placas. Para saber a 
respeito desse assunto, acessar o link <https://www.portaldotransito.com.br/noticias/voce-
-sabe-o-significado-das-cores-das-placas-de-veiculos-veja-aqui-2/> (acesso em: 6 set. 2020). 
> ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Essa seção possibilita o aprofundamento dos conceitos estudados neste Capítulo a 
partir da resolução de atividades que possuem maior grau de complexidade, pois abrangem 
os diversos exames nacionais e de vestibular do país. É importante reservar um tempo da 
aula para que os estudantes resolvam as atividades e compartilhem as diferentes maneiras 
de resolução. Outra opção é selecionar algumas atividades para serem feitas fora do horário 
de aula. Estas podem ser entregues como parte do processo avaliativo dos estudantes.
Sugere-se propor aos estudantes que escrevam no caderno a justificativa da alterna-
tiva correta em cada atividade, a fim de treinar a escrita em língua materna. Por vezes, os 
estudantes compreendem os conceitos matemáticos, mas têm dificuldades em expressá-los 
por escrito. Nesse sentido, incentivá-los a fazer isso colabora para o desenvolvimento da 
aprendizagem deles.
As atividades complementares 3, 5 e 10 trazem contextos que colaboram com o desen-
volvimento da competência geral 1, pois os estudantes analisam situações envolvendo 
conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social e digital.
Pode-se aproveitar o tema da atividade complementar 5, código para leitura ótica, e 
solicitar aos estudantes que pesquisem a respeito do código de barras. O texto a seguir 
traz informações a respeito disso.
[...]
O código de barras está em praticamente todos os produtos que encontramos 
no mercado, e se você trabalha com o varejo, provavelmente está nos seus produtos 
também. Mas você sabe como ele funciona?
Foi criado em 1974
nos Estados Unidos pela empresa UCC (Uniform Code Council) 
– que desde 2005 se chama The Global Language for Business – para agilizar o pro-
cesso de entrada e saída de produtos nos mercados.
O código é uma sequência de barras brancas e pretas que representa um con-
junto de números que identificam um determinado produto.
[...]
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Cada produto tem um desenho diferente de barras, ou seja, ele é único. As barras 
pretas retêm a luz emitida pelo leitor de códigos, e as barras brancas a refletem. 
Assim, o leitor capta os sinais e interpreta os números.
O código EAN/UPC é o mais usado no mundo e tem 13 dígitos que variam de 
acordo com o tipo de produto, onde ele foi cadastrado e qual empresa cadastrou, por 
exemplo.
[...]
 • Os três primeiros dígitos identificam onde o produto foi cadastrado. O número do 
Brasil, por exemplo, é o 789;
 • A segunda sequência de números, que variam de 4 a 7 dígitos, identifica a 
empresa fabricante, e não necessariamente onde o produto foi fabricado;
 • A terceira sequência identifica o produto – esses números mudam conforme 
tamanho, peso, quantidade e embalagem;
 • E o último número do código verifica todos os outros. O leitor faz um cálculo e, 
se a leitura estiver correta, o resultado será igual ao último dígito da sequência.
[...]
SEBRAE. Como funciona o código de barras. Florianópolis, 9 ago. 2012. 
Blogue do Sebrae Santa Catarina. Disponível em: https://blog.sebrae-sc.com.br/
como-funciona-o-codigo-de-barras/#:~:text=Cada%20produto%20tem%20um%20 
desenho,sinais%20e%20interpreta%20os%20n%C3%BAmeros.&text=Os%20tr%C3%AAs%20 
primeiros%20d%C3%ADgitos%20identificam%20onde%20o%20produto%20foi%20cadastrado. 
Acesso em: 6 set. 2020.
Pode-se propor, ainda, uma atividade de elaboração de situação-problema para que os 
estudantes se inspirem nos contextos apresentados nessas atividades complementares e 
criem algo que possa ser resolvido utilizando conceitos estudados no Capítulo. Em seguida, 
eles podem trocar a situação elaborada entre si, para cada um resolver aquela que receber. 
Por fim, podem conferir juntos as resoluções.
> PARA REFLETIR
Nessa seção, são relacionados os conceitos abordados no Capítulo, possibilitando aos 
estudantes realizar questionamentos que auxiliam na reflexão sobre o que estudaram. Por 
meio das questões propostas, os estudantes podem refletir a respeito das atitudes tomadas 
durante as aulas, bem como sobre o crescimento do aprendizado deles. Elas servem, 
também, como um momento de autoavaliação para identificar e retomar conceitos que 
causaram mais dificuldades nos estudantes.
O primeiro item relaciona a situação de criar senhas de seis dígitos ao grande número 
de possibilidades de criação.
O segundo item tem por objetivo levar os estudantes a verificar se conseguem iden-
tificar, em um problema de combinatória, se a ordem dos elementos é relevante para o 
contexto apresentado.
O terceiro item retoma a estratégia de resolver um problema dividindo-o em casos. 
Espera-se que os estudantes apresentem um exemplo de utilidade dessa estratégia em 
algum momento deste Capítulo ou em alguma situação externa em que aplicaram isso.
O quarto item leva os estudantes a observar se já viram, na cidade em que vivem, algum 
carro com a nova placa do Mercosul, bem como se sabiam das regras dessa nova placa.
O quinto item traz uma reflexão sobre o programa criado na seção Explorando a 
tecnologia e utilizado pelos estudantes.
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227
A BNCC neste Capítulo
Este Capítulo proporciona oportunidades de desenvolver competências gerais da 
BNCC, bem como competências específicas e habilidades.
A seguir, estão apontados os códigos das competências gerais, competências específicas e 
habilidades, e listados os Temas Contemporâneos Transversais trabalhados. O texto completo 
referente a cada um dos códigos da BNCC está apresentado nas páginas 156, 157 e 158 deste livro.
 > Competências gerais: 1, 2, 4, 7 e 8
 > Competências específicas e habilidades:
 Área de Matemática e suas Tecnologias
• Competência específica 1: EM13MAT106
• Competência específica 3: EM13MAT311 e EM13MAT312
• Competência específica 5: EM13MAT511
 Área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias
• Competência específica 2
 > Temas Contemporâneos Transversais
• Saúde
• Vida Familiar e Social
• Educação para o Consumo
• Ciência e Tecnologia
Orientações didáticas
Abertura de Capítulo
O texto da Abertura propõe uma reflexão a respeito da genética e sua relação com 
a probabilidade. Pode-se utilizar o contexto apresentado nessa abertura para explorar 
atividades junto aos professores da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, 
particularmente, do componente curricular Biologia, explorando a relação entre genética 
e probabilidade.
Desta maneira, pode-se contribuir para o desenvolvimento da competência especí-
fica 2 da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, à medida que os estudantes 
exploram e utilizam conhecimento para interpretar a dinâmica da vida, o funcionamento e 
a evolução dos seres vivos e, ainda, podem refletir e fundamentar decisões de maneira ética 
e responsável. Pode-se enfatizar e explorar sobre organismos geneticamente modificados 
(OGM) ou de casos de hereditariedade em diversas espécies.
Os OGMs são organismos que, em laboratórios, passam por alguma alteração no seu 
código genético. Muitas plantas são modificadas geneticamente, pois é uma forma de 
garantir os melhores frutos (mais vistosos, suculentos, maiores, que amadurecem rápida ou 
lentamente, produzem grandes quantidades de sementes etc.) e evitar ataques de pragas. 
Entretanto, há estudos que alertam sobre o consumo dessas plantas, pois além de não 
haver controle total sobre onde exatamente os genes são inseridos, acredita-se que podem 
Probabilidade4
C A P Í T U L O
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causar reações alérgicas, por exemplo. Além disso, plantas geneticamente modificadas 
podem possibilitar a criação de ervas daninhas super-resistentes.
Para ampliar a discussão, pode-se, por exemplo, explorar as modificações genéticas 
que se fazem em animais, ressaltando aspectos positivos e negativos.
A notícia disponível em <https://www.bbc.com/portuguese/noticias/2014/08/140819_
cinco_animais_transgenicos_mv> (acesso em: 5 set. 2020) pode ser um parâmetro inicial 
para estimular os estudantes a refletirem e pesquisarem mais sobre o tema. Nessa notícia, 
trabalham-se aspectos entendidos como positivos e outros como negativos em relação a 
cinco animais transgênicos.
O texto indicado a seguir também pode auxiliar a discussão em sala de aula.
Organismos Geneticamente Modificados
A biossegurança está relacionada aos riscos das biotecnologias, que, em seu 
sentido mais amplo, compreendem a manipulação de microorganismos, plantas e 
animais, visando à obtenção de processos e produtos de interesses diversos. O uso da 
expressão biossegurança é decorrente do avanço das biotecnologias a partir de 1970, 
notadamente, das tecnologias associadas à produção de transgênicos (ou Organismos 
Geneticamente Modificados – OGMs) e seus derivados, potencialmente causadores 
de efeitos adversos à saúde humana ou animal e ao meio ambiente.
[...]
É relevante mencionar que, após a descoberta das tecnologias que envolvem o 
DNA recombinante, ou seja, as bases da engenharia genética, os possíveis perigos 
destas tecnologias foram de tal maneira dimensionados que, medidas de contenção 
e procedimentos
laboratoriais específicos foram desenhados. Na época dessa des-
coberta, 1973-1975, todos se referiam a bio-risco ou bio-perigo (do inglês biohazard), 
contudo, quando surgiram as primeiras possibilidades de comercialização dos produ-
tos desta tecnologia, os termos acima referidos foram substituídos por biossegurança 
(do inglês biosafety). Prevaleceu, então, a imposição comercial, pois a expressão bios-
segurança constitui-se na tentativa de transmitir que um certo produto é biosseguro. 
Se as expressões utilizadas inicialmente fossem mantidas, hoje seriam utilizados 
termos como, por exemplo, produto bio-perigoso, o que tem um significado muito 
diferente de biosseguro.
Por se tratar de uma nova tecnologia e considerando o reduzido conhecimento 
científico a respeito dos riscos de OGMs, torna-se indispensável que a liberação de 
plantas transgênicas para plantio e consumo, em larga escala, seja precedida de uma 
análise criteriosa de risco à saúde humana e do efeito desses produtos e serviços 
ao meio ambiente, respaldadas em estudos científicos, conforme prevê a legislação 
vigente. Assim, normas adequadas de biossegurança, licenciamento ambiental, e 
mecanismos e instrumentos de monitoramento e rastreabilidade são necessários 
para assegurar que não haverá danos à saúde humana, animal e ao meio ambiente. 
Também são imprescindíveis estudos de impacto socioeconômicos e culturais, daí 
a relevância da análise da oportunidade e conveniência que uma nação deve fazer 
antes da adoção de qualquer produto ou serviço decorrente da transgenia.
[...]
BRASIL. Ministério do Meio Ambiente. Organismos geneticamente modificados. 
Brasília, DF, [2020]. Disponível em: https://www.mma.gov.br/comunicacao/item/ 
7507-organismos-geneticamente-modificados.html. Acesso em: 6 set. 2020.
Sugere-se a organização de uma exposição com o resultado das pesquisas dos estu-
dantes a respeito do assunto. Podem ser produzidos cartazes apresentando as supostas 
vantagens e desvantagens dos OGMs e curiosidades sobre genética. Com esse tipo de 
trabalho, os estudantes argumentam com base em fatos e informações confiáveis apresen-
tando seus pontos de vista, possibilitando desenvolver aspectos da competência geral 7. 
Em sala de aula, recomenda-se iniciar a conversa com a observação da imagem apre-
sentada na abertura deste Capítulo. Solicitar aos estudantes que comentem o que ela 
sugere e qual a relação da imagem com probabilidade.
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https://www.mma.gov.br/comunicacao/item/7507-organismos-geneticamente-modificados.html
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A atividade 1 propõe uma pesquisa a respeito dos organismos geneticamente modifi-
cados. Espera-se que os estudantes compreendam que esses organismos são modificados 
em laboratórios e passam por alguma alteração no seu código genético. Os prós e contras 
listados anteriormente podem ser retomados na discussão dessa questão.
Na atividade 2, os estudantes devem realizar cálculos de porcentagem para obter a 
quantidade de plantas vermelhas e de brancas na situação apresentada. Destacar que 
a possibilidade não é uma certeza, mas uma indicação de que pode ocorrer.
No item a, deve-se calcular 75% de 80 plantas, obtendo 60 plantas com flor vermelha, e 
25% de 80 plantas, obtendo 20 plantas com flor branca. Estimular que os estudantes compar-
tilhem seus raciocínios ao responder à atividade. Comentar que, ao longo do Capítulo, eles 
verão alguns conceitos que permitirão responder a essa pergunta com embasamento teórico.
No item b, espera-se que os estudantes percebam que os valores encontrados no item 
anterior indicam possibilidades de acontecimentos, mas não garantem certeza.
Introdução
Este tópico traz algumas situações relacionadas a previsões para que os estudantes explo-
rem o conceito de probabilidade. Discutir as questões iniciais sobre fatos determinísticos e, 
depois, a situação da tirinha a fim de levantar os conhecimentos prévios dos estudantes.
Sugere-se a leitura do artigo “Por que a previsão dos meteorologistas erra tantas 
vezes?” indicado no boxe Para ler. Após a leitura, é oportuno realizar uma discussão com 
os estudantes das informações apontadas no artigo. O trabalho com esse tema pode con-
tribuir para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia.
Destacar que os cálculos meteorológicos são modelos matemáticos aplicados à Meteorologia, 
porém não garantem exatidão nos resultados, pois há vários fatores que influenciam o clima. 
Nesse contexto, podem-se explorar atividades que contribuam com o desenvolvimento da com-
petência específica 2 da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias.
O texto a seguir pode colaborar com esse trabalho em sala de aula.
[...]
A previsão de tempo é o produto que chega para o usuário depois de várias 
análises feitas pelos meteorologistas. Por detrás desse resultado existem muitas 
operações matemáticas e análises que são necessárias para a interpretação do que 
poderá acontecer.
O meteorologista necessita saber como está a atmosfera no momento em que se 
reúnem e avaliam o comportamento, através de diagnósticos de imagem de satélite, 
cartas de superfícies e dados observados. Esses dados observados são um chute 
inicial para uma simulação matemática do que a atmosfera está vendo para o estado 
futuro. A previsão numérica de tempo é utilizada como uma das mais importantes 
ferramentas da meteorologia nos últimos anos.
Temos que analisar todas as ferramentas e discutir com vários pesquisadores 
e meteorologistas para se obter uma previsão de consenso e assim disponibilizá-la 
para o usuário.
Para se fazer uma simulação numérica são necessários equipamentos com caracte-
rísticas e qualidade, por isso, a necessidade de supercomputadores que possam fazer os 
cálculos matemáticos, rapidamente, e disponibilizar para análise dos meteorologistas.
[...]
INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS. 1- Como é feita a previsão de 
tempo. São Paulo, c2018. Disponível em: https://www.cptec.inpe.br/glossario.shtml#6. 
Acesso em: 6 set. 2020. 
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230230
Pode-se propor um trabalho de pesquisa em parceria com o componente curricular Biologia, 
da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, a respeito da previsão do tempo e sua 
importância na agricultura, por exemplo. Retomando as questões exploradas na Abertura, 
pode-se observar características de produtos orgânicos e de produtos geneticamente modi-
ficados. O material disponível em <https://www.embrapa.br/documents/1355291/37056285/
Bases+climatol%C3%B3gicas_G.R.CUNHA_Livro_Agrometeorologia+dos+cultivos.pdf/13d616f-
5-cbd1-7261-b157-351eaa31188d?version=1.0> (acesso em: 5 set. 2020) trata da agrometeorologia, 
ciência que visa produzir o máximo com o mínimo de recursos, naturais ou artificiais, e pode 
ser uma referência inicial para a ampliação proposta.
Experimentos aleatórios
Neste tópico os estudantes poderão compreender o significado de experimento alea-
tório a partir da reflexão de situações do cotidiano.
As definições e as propriedades aparecem após a apresentação das situações concretas. 
Por isso, é importante que os estudantes analisem as situações apresentadas e sejam incen-
tivados a propor outras em que possam identificar o conceito de experimento aleatório.
Espaço amostral e evento
Ao analisar situações em que identificam o espaço amostral e eventos, os estudantes podem 
desenvolver as competências específicas 3 e 5 da área de Matemática e suas Tecnologias, 
em particular as habilidades EM13MAT311 e EM13MAT511, pois utilizam conceitos e definições 
matemáticos para construir modelos que servem para resolver situações-problema.
É importante reservar um momento para que os estudantes assistam ao vídeo 
“Crescimento humano e diversidade – Cada tipo diferente” indicado no boxe Para assistir. 
Se considerar conveniente,
pode-se explorar o tema em parceria com o professor do com-
ponente curricular Biologia, da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias.
No primeiro item do boxe Pense e responda, os estudantes devem relacionar o espaço 
amostral dado aos múltiplos de 10 e perceber que esse evento é vazio na situação analisada. 
Para ampliar a proposta, sugere-se que os estudantes considerem o evento D, em que o 
número indicado na face voltada para cima seja múltiplo de 2. Depois, pode-se propor um 
novo evento em que o número indicado na face voltada para cima seja múltiplo de 4, e assim 
por diante. Para o segundo item desse boxe, espera-se que os estudantes percebam que será 
obtida soma 4 quando ocorrer os seguintes resultados: (1, 3); (3, 1); (2, 2), em que a indicação 
(x, y) representa o resultado x obtido em um dos dados e y, no outro.
Tipos de eventos
Neste tópico os estudantes analisam as características de eventos. Sugere-se reunir os 
estudantes em grupos e distribuir dois dados para cada grupo (um branco e um de outra cor), 
para que possam acompanhar na prática o exemplo proposto e definir seu espaço amostral.
Destacar que o evento é qualquer subconjunto do espaço amostral e que o evento 
impossível é descrito por um conjunto vazio, enquanto o evento certo é descrito pelo 
próprio espaço amostral.
Propor aos estudantes que deem outros exemplos de eventos complementares e de 
eventos mutuamente exclusivos. Eles podem manter o contexto de lançamento de dados 
ou explorar outros.
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> ATIVIDADES RESOLVIDAS E ATIVIDADES
Na seção Atividades resolvidas são utilizados os conceitos de experimentos 
aleatórios, espaço amostral e eventos. Explorar detalhes conceituais envolvidos nas 
resoluções para proporcionar a compreensão dos conceitos e esclarecer as dúvidas. Na 
atividade resolvida 2, se necessário, retomar a utilização da árvore de possibilidades, 
estudada no Capítulo anterior. 
Nas atividades propostas 1 a 4, os estudantes identificam um evento como um 
conjunto de resultados possíveis do experimento aleatório considerado e, então, como 
um subconjunto do espaço amostral. A partir da atividade 5, os estudantes passam a 
contar as possibilidades de ocorrência dos eventos. A atividade 7 propõe ao estudante 
que elabore uma atividade com base nas informações dadas, retomando o assunto 
abordado na abertura do Capítulo. Novamente, pode-se solicitar o auxílio do professor 
de Biologia, da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, para tirar eventuais 
dúvidas sobre o tema.
Probabilidade
Neste tópico, os estudantes têm a oportunidade de compreender o conceito de pro-
babilidade, percebendo que é possível associar a cada evento um número que mede a 
sua possibilidade de ocorrência, contribuindo para o desenvolvimento da competência 
específica 3 da área de Matemática e suas Tecnologias, habilidade EM13MAT311. Enfatizar 
que esse número pode ser dado em forma de fração, porcentagem ou número decimal e 
relacionar essas representações entre si retomando, se necessário, a representação decimal 
e a representação fracionária de um número racional.
Sugere-se a apresentação do vídeo “Coisa de passarinho”, disponível em <https://
m3.ime.unicamp.br/recursos/1070> (acesso em: 6 set. 2020), para trabalhar e ampliar o con-
ceito de probabilidade. Nesse vídeo, é abordado o conceito de probabilidade de um evento 
e sua importância em previsão de fenômenos aleatórios.
O boxe Saiba que... traz informações a respeito do exame antidoping. Aproveitar esse 
momento para explorar o Tema Contemporâneo Transversal Saúde e propor aos estu-
dantes que pesquisem mais informações sobre esse assunto. Podem-se realizar atividades 
que desenvolvam esse Tema Contemporâneo Transversal em parceria com o professor de 
Educação Física da área de Linguagens e suas Tecnologias. Ao trazer a discussão desse 
tema para a vida dos estudantes, eles têm a oportunidade de conhecer a si mesmos a fim 
de cuidar da saúde física e emocional, desenvolvendo a competência geral 8.
> ATIVIDADES RESOLVIDAS E ATIVIDADES
Na seção Atividades resolvidas são utilizados os conceitos estudados até o 
momento referente à probabilidade. Explorar detalhes conceituais envolvidos nas 
resoluções para proporcionar a compreensão dos conceitos e esclarecer as dúvidas.
Na atividade resolvida 4, pode-se ampliar os itens propondo outros eventos como 
a probabilidade de obter um número primo ou a probabilidade de obter um número 
maior do que 3.
A atividade resolvida 6 utiliza a permutação, assunto explorado no Capítulo anterior. 
Se considerar necessário, retomar esse conceito com mais detalhes durante a resolução 
da atividade. Pode-se propor aos estudantes que elaborem outras perguntas relacionadas 
ao contexto dessa atividade e, depois, possibilitar que as compartilhem com os colegas, 
a fim de explorar a pertinência das perguntas elaboradas e as estratégias de resolução.
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As atividades propostas possibilitam aos estudantes aplicar conceitos e procedimentos 
matemáticos que auxiliam na interpretação de diferentes situações, bem como construir 
modelos para analisar os resultados obtidos, mobilizando as competências específicas 1 
e 3 da área de Matemática e suas Tecnologias, em particular, a habilidade EM13MAT311.
O contexto da atividade proposta 16 pode servir como discussão da importância 
da probabilidade na área da saúde e como isso pode auxiliar as pessoas a mudarem 
hábitos de vida a fim de prevenir doenças. Se considerar pertinente, propor um trabalho 
em parceria com o professor do componente curricular Biologia, da área de Ciências 
da Natureza e suas Tecnologias, acerca desse assunto.
A atividade 22 trata de anagramas, assunto explorado no Capítulo anterior. Se julgar 
pertinente, retomar esse conceito com os estudantes antes de realizarem essa atividade.
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Nesta seção, trabalha-se a valorização e a utilização dos conhecimentos histo-
ricamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital com foco no 
estudo da probabilidade, possibilitando aos estudantes desenvolverem a competência 
geral 1. Além disso, eles podem utilizar diferentes linguagens para se expressar 
explorando, assim, aspectos relativos à competência geral 4.
Discutir o texto com os estudantes, verificando a opinião deles a respeito dos jogos 
e se compreendem como a probabilidade está diretamente relacionada a esse assunto. 
Destinar um tempo para que os estudantes ouçam os podcasts do site indicado no boxe 
Para ouvir.
Para saber mais sobre os jogos de azar, sugere-se a leitura do texto disponível 
em <https://www1.folha.uol.com.br/colunas/marceloviana/2019/06/como-ganhar- 
dinheiro-com-jogos-de-azar.shtml> (acesso em: 27 jul. 2020).
Para complementar esta seção, pode-se propor aos estudantes que pesquisem 
sobre os jogos de azar no Brasil, buscando informações, como a história, a legis-
lação relacionada e as consequências do vício de jogar e como isso pode interferir 
na vida pessoal e familiar. O contexto possibilita trabalhar o Tema Contemporâneo 
Transversal Educação para o Consumo. Eles podem apresentar a pesquisa por 
meio de um cartaz. A reportagem, disponível em <https://revistagalileu.globo.
com/Revista/noticia/2017/07/tudo-o-que-voce-precisa-saber-sobre-jogos-de- 
azar-no-brasil.html> (acesso em: 6 set. 2020), pode colaborar com essa pesquisa e 
discussão com a turma. A seguir, um trecho dessa reportagem.
[...]
O interesse dos três poderes da República em discutir os jogos de azar no 
Brasil não é mera opção cultural: de acordo com os projetos que tramitam no 
Congresso Nacional, a legalização de cassinos, bingos, apostas eletrônicas e do 
jogo do bicho seria responsável por um aumento na arrecadação de tributos de 
mais de R$ 29 bilhões, em um período de três
anos.
Na avaliação do Ministério Público e da Receita Federal, no entanto, a ausên-
cia de fiscalização das casas de jogos daria margem para a prática de atividades 
menos lúdicas, como a lavagem de dinheiro.
Enquanto o debate prossegue em Brasília, um mercado bilionário opera à 
margem da lei: especialistas no setor afirmam que o jogo do bicho, considerado 
uma contravenção penal, movimenta anualmente cerca de R$ 12 bilhões com 
apostas sem nenhum tipo de supervisão do Estado.
[...]
TANJI, T. Tudo o que você precisa saber sobre jogos de azar no Brasil. Galileu, 
11 jul. 2017. Disponível em: https://revistagalileu.globo.com/Revista/noticia/2017/07/ 
tudo-o-que-voce-precisa-saber-sobre-jogos-de-azar-no-brasil.html. Acesso em: 6 set. 2020.
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Sobre as leis e a ética de se utilizar os jogos de azar como instrumentos no estudo 
da Matemática, a entrevista realizada com o juiz de Direito Fernando Luís Gonçalves 
de Moraes esclarece o assunto, conforme trecho reproduzido a seguir.
A lei e os jogos de azar
1) Quando um professor ensina com enfoque matemático e histórico estraté-
gias de jogos de azar ele está agindo de forma ilegal? E de forma antiética?
Embora os jogos de azar sejam proibidos em todo o território nacional não 
vislumbro ilegalidade na discussão, para fins didáticos, de aspectos históricos 
ou mesmo de estratégias relacionadas com o ensino da matemática. Com efeito, a 
ligação entre a matemática e os jogos de uma maneira geral sempre foi observada 
ao longo dos séculos, fazendo parte da própria natureza humana.
O homem joga para se divertir, para desenvolver sua musculatura, para 
competir ou mesmo por mera cobiça sendo que, diante do interesse que des-
perta e sempre despertou, se mostra um importante chamariz para o ensino 
da matemática. [...]
Como sabido, a palavra ética é derivada do grego, e significa aquilo que 
pertence ao caráter. Deve ser frisado que embora a ética possa ser confundida 
com lei o certo é que diferente desta, nenhum indivíduo pode ser compelido, pelo 
Estado ou por outros indivíduos a cumprir as normas éticas, nem sofrer qualquer 
sanção pela desobediência a estas. Existem códigos de ética profissional, que 
indicam como um indivíduo deve se comportar no âmbito da sua profissão.
Ora, da mesma forma que não vislumbro ilegalidade na abordagem mate-
mática dos jogos também não verifico nenhuma infração ética desde que, como 
já mencionado, seja voltado para fins essencialmente didáticos, sem incentivar 
ou fomentar a ilicitude.
[...]
ALVES, M. M. de O. Um estudo sobre jogos de azar. Trabalho de Conclusão de 
Curso (Mestrado Profissional em Matemática) – Instituto Nacional de Matemática 
Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 2015. Disponível em: https://impa.br/wp-content/
uploads/2016/12/Marcos_Oliveira_Alves.pdf. Acesso em: 6 set. 2020.
Probabilidade da união de dois eventos
Este tópico tem o objetivo de apresentar o conceito de probabilidade da união de 
dois eventos, contribuindo para que os estudantes compreendam que seu cálculo está 
relacionado à soma de probabilidades. A competência específica 3 da área de Matemática 
e suas Tecnologias, em particular, a habilidade EM13MAT311, pode ser desenvolvida com 
o trabalho das atividades relacionadas a esse conteúdo.
É oportuno destacar que o diagrama de Venn foi criado pelo matemático John Venn 
(1834-1923) para facilitar a representação das relações de união e intersecção entre conjuntos.
> ATIVIDADES RESOLVIDAS E ATIVIDADES
Na seção Atividades resolvidas são utilizados os conceitos relacionados ao estu-
dado de probabilidade vistos até o momento. Explorar detalhes conceituais envolvidos 
nas resoluções para proporcionar a compreensão dos conceitos e esclarecer as dúvidas. 
Destacar aos estudantes que, ao examinar dois eventos, é possível verificar qual é a 
relação entre eles.
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As atividades propostas envolvem a caracterização de eventos mutuamente exclu-
dentes, noção que embasa a definição de probabilidade de um evento, juntamente 
com a noção de espaço equiprovável. Ao resolver essas atividades, os estudantes inves-
tigam conceitos e propriedades matemáticos, observando padrões, desenvolvendo as 
competências específicas 3 e 5 da área de Matemática e suas Tecnologias, em parti-
cular, as habilidades EM13MAT311 e EM13MAT511.
A atividade 32 propõe aos estudantes a elaboração de um problema com base na 
situação dada. Pedir a eles que troquem, o problema elaborado com um colega para 
cada um resolver o problema do outro. Por fim, eles conferem juntos as resoluções.
A atividade 36 permite retomar a discussão das pesquisas de opinião em eleições e 
como elas podem prever os resultados, mas não garantir a certeza de que os resultados 
obtidos serão, de fato, concretizados.
É importante ressaltar aos estudantes que existem diferentes estratégias de 
resolução para as atividades. Com isso, destaca-se a importância de possibilitar que 
compartilhem o modo de resolver cada atividade a fim de ampliar o conhecimento 
de modo colaborativo com os colegas.
> CONEXÕES
Esta seção tem o objetivo de possibilitar a discussão e a reflexão das implicações de uma 
gravidez na adolescência, explorando os Temas Contemporâneos Transversais Saúde, Vida 
Familiar e Social e Ciência e Tecnologia, a partir de informações e análise de dados matemá-
ticos, levando os estudantes a argumentar com base em informações confiáveis para defender 
ideias do ponto de vista pessoal em relação à saúde física e emocional, desenvolvendo as 
competências gerais 7 e 8. Além disso, essa seção explora e desenvolve a competência espe-
cífica 1 da área de Matemática e suas Tecnologias, habilidade EM13MAT106.
Sugere-se um trabalho em parceria com o professor do componente curricular Biologia 
da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, desenvolvendo a competência 
específica 2 dessa área, para que os estudantes possam pesquisar mais informações em 
relação ao tema e elaborar cartazes informativos para apresentar os resultados em alguma 
mostra ou fixados na escola.
Na atividade 1, é importante incentivar os estudantes a levantar hipóteses sobre os dados 
de decréscimo apresentados. Comentar que a queda pode estar relacionada a ações governa-
mentais para prevenir a gravidez na adolescência, como informações relacionadas a métodos 
contraceptivos, além da mudança da perspectiva da posição da mulher na sociedade.
Na atividade 2, espera-se que os estudantes associem a eficácia de determinado método 
à probabilidade de se engravidar ao utilizá-lo. Por exemplo, uma eficácia de 91% signi-
fica que, a cada 100 pessoas que usarem esse método, 9 podem engravidar. É importante 
destacar que os métodos contraceptivos não possuem eficácia de 100%. Discutir com os estu-
dantes sobre as formas combinadas de métodos contraceptivos como recurso, para evitar 
também infecções sexualmente transmissíveis. Pode-se explorar o conteúdo disponível em 
<https://mdemulher.abril.com.br/saude/pilula-diu-camisinha-existe-metodo-anticoncep 
cional-100-seguro/#:~:text=N%C3%A3o%2C%20n%C3%A3o%20d%C3%A1.,100%25%2C%20
isso%20n%C3%A3o%20existe> (acesso em: 6 set. 2020), em que é tratada a eficácia de métodos 
anticoncepcionais.
A atividade 3 leva os estudantes a refletir sobre a escolha do método contraceptivo a 
ser utilizado. Espera-se que eles percebam que isso depende da realidade de cada pessoa 
e que não se leva em consideração apenas a eficácia.
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Probabilidade condicional
Este tópico aborda os conceitos de probabilidade condicional a partir da análise de 
problemas propostos, contribuindo para o desenvolvimento da competência especí-
fica 3 da área de Matemática e suas Tecnologias,
habilidade EM13MAT312. Aproveitar 
a segunda situação explorada neste tópico para conversar com os estudantes a respeito 
das áreas de interesse de estudo deles. Enfatizar a possibilidade de estudo em diferentes 
áreas e que uma escolha realizada no Ensino Médio pode servir para, posteriormente, 
conhecer outras áreas. O boxe Pense e responda trata de uma dessas escolhas que, a 
partir dos dados apresentados na situação, é determinada por uma aplicação direta da 
definição de probabilidade condicional. Considerando os eventos C: se interessar por 
exatas e D: ser homem, tem-se:
( )
( )
( )
19
49
P C I D
n C D
n D
=
"
=
 
Destinar um tempo de aula para explorar o artigo indicado no boxe Para ler. Em seguida, 
propor uma discussão do papel da mulher na ciência como apresentado no texto. Para 
ampliar esse assunto, pode-se propor aos estudantes que pesquisem mulheres que foram 
importantes nomes na ciência, bem como em outras áreas, por exemplo, na Matemática. 
Os resultados dessas pesquisas podem ser compartilhados em forma de linha do tempo 
com a utilização de diferentes recursos, digitais ou físicos, e possibilitam desenvolver a 
competência geral 4.
A respeito deste tema, recomenda-se as seguintes leituras complementares:
• AMARAL, A. M. L. F. FERNANDEZ, C. S. VIANA, I. V. A história de Hipátia e de muitas 
outras matemáticas. In: SIMPÓSIO DE FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 
DA REGIÃO SUDESTE, 2. Minicurso [...]. São Paulo: Universidade de São Paulo, 2018. 
Disponível em: https://www.sbm.org.br/wp-content/uploads/2019/05/ultimo. 
minicurso_historia_hipatia_muitas_outras_matematicas.pdf. Acesso em: 20 set. 2020.
• IGNOTOFSKY, R. As cientistas: 50 mulheres que mudaram o mundo. São Paulo: 
Blucher, 2017.
> ATIVIDADES RESOLVIDAS E ATIVIDADES
Na seção Atividades resolvidas são utilizados os conceitos de probabilidade estu-
dados até o momento. Explorar detalhes conceituais envolvidos nas resoluções para 
proporcionar a compreensão dos conceitos e esclarecer as dúvidas. Enfatizar a utilização 
dos recursos gráficos para auxiliar na resolução dessas atividades, como o diagrama, na 
atividade resolvida 10, e a árvore de possibilidades, na atividade, resolvida 12.
As atividades propostas abordam principalmente a probabilidade condicional. 
Por meio delas, os estudantes aplicam conceitos e definições matemáticos, analisando 
os resultados encontrados, o que colabora com o desenvolvimento da competência 
específica 3 da área de Matemática e suas Tecnologias, em particular, a habilidade 
EM13MAT311.
Na atividade 41, ao responder o item a, espera-se que os estudantes percebam que 
a probabilidade é zero, pois o Espírito Santo não faz parte da região Nordeste. Pedir que 
eles mostrem, matematicamente, o porquê dessa probabilidade ser zero aplicando os 
conceitos de probabilidade condicional.
Ao desenvolver a atividade 47, pode-se aproveitar para realizar uma pesquisa rela-
cionada ao Tema Contemporâneo Transversal Saúde. Pode-se propor aos estudantes 
que busquem informações do malefício do fumo para a saúde, bem como os gastos 
excessivos que esse vício pode causar no cidadão.
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Eventos independentes
Este tópico aborda o conceito de eventos independentes. É importante que os estu-
dantes compreendam o conceito a partir da situação-problema apresentada para, depois, 
explorarem a definição: nos eventos independentes, o fato de um evento ocorrer não inter-
fere na possibilidade do outro evento ocorrer.
Ao aplicar conceitos e definições de eventos independentes para o cálculo de probabi-
lidade em diferentes situações, os estudantes desenvolvem a competência específica 3 da 
área de Matemática e suas Tecnologias, em particular, a habilidade EM13MAT312.
> ATIVIDADES RESOLVIDAS E ATIVIDADES
Na seção Atividades resolvidas são utilizados os conceitos de probabilidade estu-
dados até o momento. Explorar detalhes conceituais envolvidos nas resoluções para 
proporcionar a compreensão dos conceitos e esclarecer as dúvidas. 
Na atividade resolvida 14, enfatizar o uso das probabilidades de eventos complemen-
tares e comentar que esse conceito é útil para resolver diferentes situações-problema. 
Esse recurso também é mencionado na atividade resolvida 15.
As atividades propostas abordam principalmente a probabilidade envolvendo 
eventos independentes. Ao resolver essas atividades os estudantes aplicam conceitos, 
definições e procedimentos matemáticos desenvolvendo a competência específica 3 
da área de Matemática e suas Tecnologias, em particular, as habilidades EM13MAT311 
e EM13MAT312.
O resultado da atividade 57 pode ser usado para retomar com os estudantes a aplica-
ção da probabilidade em Biologia, da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, 
e como o número que indica a probabilidade pode ser interpretado. Nesse caso, espera-se 
que os estudantes compreendam que as chances de um casal ter quatro filhos, todos do 
gênero feminino, é menor do que quatro filhos com gêneros variados.
Destacar, na atividade 61, que a situação envolve uma moeda viciada, diferente da 
maioria dos casos. Portanto, para resolver as questões dessa atividade, deve-se consi-
derar que a probabilidade de sair cara ao lançar essa moeda é o triplo da probabilidade 
de sair coroa. Comentar que, nos jogos em que se utilizam moedas e dados, os objetos 
precisam ser não viciados para não beneficiar determinada escolha ou pessoa.
Na atividade 65, pode-se retomar a discussão realizada a respeito do exame 
antidoping realizado em esportes profissionais.
Espaço amostral não equiprovável
Este tópico aborda o conceito de espaço amostral não equiprovável, levando os estu-
dantes a investigar as diferenças entre as propriedades das probabilidades, desenvolvendo 
a competência específica 5 da área de Matemática e suas Tecnologias, em particular, a 
habilidade EM13MAT511.
Destacar que, se todos os eventos elementares de um espaço amostral finito tiverem 
a mesma probabilidade de ocorrer, trata-se de um espaço equiprovável.
FÓRUM
Reservar um momento da aula para discutir com os estudantes sobre micro-
transações em jogos a fim de que eles possam refletir e analisar criticamente esse 
contexto a partir dos conhecimentos adquiridos sobre probabilidade.
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Ao analisar os gastos envolvidos nessas transações, trabalha-se o Tema 
Contemporâneo Transversal Educação para o Consumo. Espera-se que os estudan-
tes percebam que, apesar de haver uma probabilidade de obter o prêmio desejado, 
supostamente, a um baixo custo, como no caso de loot box, isso pode favorecer 
vícios de consumo. Ao argumentarem e se posicionarem em relação ao tema, eles 
podem desenvolver a competência geral 7.
Pode-se ampliar a discussão com base em outros conteúdos, como o disponível 
em <https://gizmodo.uol.com.br/reino-unido-classificar-loot-boxes-jogo-de-azar/> 
(acesso em: 6 set. 2020), que explora a polêmica do loot box e estratégias legais 
para evitar a prática.
> ATIVIDADES RESOLVIDAS E ATIVIDADES
Na seção Atividades resolvidas são utilizados os conceitos de probabilidade estu-
dados até o momento. Explorar detalhes conceituais envolvidos nas resoluções para 
proporcionar a compreensão dos conceitos e esclarecer as dúvidas. 
Na atividade resolvida 16, caso considere oportuno, pedir aos estudantes que 
apresentem outra possibilidade de espaço não equiprovável. Eles podem tomar como 
base as propriedades dos números, por exemplo, ser par e primo ou ser composto 
e ímpar.
Na atividade resolvida 18, novamente, aparece o uso de uma moeda viciada. 
Enfatizar que essa informação guia completamente a resolução da atividade.
As atividades propostas abordam o cálculo de probabilidade envolvendo espaços 
amostrais equiprováveis e não equiprováveis, possibilitando aos estudantes aplicar as 
propriedades
matemáticas para cada situação a partir dos padrões observados, desen-
volvendo a competência específica 5 da área de Matemática e suas Tecnologias, em 
particular, a habilidade EM13MAT511.
Para ampliar a atividade 66, pode-se pedir aos estudantes que elaborem duas 
situações, uma envolvendo espaço amostral equiprovável e outra não equiprovável, 
e troquem com um colega para classificar cada situação. Depois, eles devem conferir 
juntos as classificações.
Em cada uma das atividades, pode-se solicitar aos estudantes que indiquem os dados 
que podem ser descartados e os que são relevantes para chegar à resposta. 
> EXPLORANDO A TECNOLOGIA
A proposta desta seção é utilizar o Scratch para elaborar um programa que 
calcule a probabilidade de um evento ocorrer. Ao explorar o conteúdo, os estudan-
tes podem exercitar a curiosidade, testar hipóteses e formular e resolver problemas, 
criando soluções tecnológicas, desenvolvendo a competência geral 2 e o pensamento 
computacional.
Reservar um momento da aula para esta seção e pedir aos estudantes que sigam as 
orientações apresentadas em cada etapa de elaboração do programa. Para mais infor-
mações dos recursos do Scratch, pode-se acessar o site <https://scratch.mit.edu/educators/> 
(acesso em: 6 set. 2020). 
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As atividades propostas são criações elaboradas pelos estudantes e servem para veri-
ficar a compreensão deles a respeito da utilização do programa, bem como para explorar 
o raciocínio de programação deles ao desenvolver programas que apliquem os conceitos 
matemáticos indicados em cada questão.
Na atividade 1, os estudantes precisam criar um programa que indique a chance 
de cair “coroa” no lançamento de 80 moedas. Espera-se que eles percebam que, 
matematicamente, essa chance é 0,5; logo, experimentalmente, os resultados vão 
estar próximo disso.
O boxe Pense e responda traz uma reflexão nesse sentido: quando se lida com um 
experimento aleatório, o que interessa é saber a chance de um resultado desse experimento 
acontecer, ou seja, saber a frequência relativa quando se executa esse experimento um 
grande número de vezes.
Na atividade 2, os estudantes precisam elaborar um programa considerando que não 
sejam contadas duas vezes números que sejam múltiplos simultaneamente de 2 e 3, já 
que o objetivo é sortear números que são múltiplos de um ou de outro.
> ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Essas atividades retomam os conceitos matemáticos estudados no Capítulo envol-
vendo probabilidade. Por meio delas, os estudantes aplicam conceitos e definições 
matemáticos para interpretar situações-problema, bem como avaliam os resultados, 
desenvolvendo as competências específicas 3 e 5 da área de Matemática e suas 
Tecnologias, em particular, as habilidades EM13MAT311, EM13MAT312 e EM13MAT511. 
Caso desejar, pode-se selecionar algumas dessas atividades e pedir que sejam entregues, 
para fazerem parte do processo avaliativo do estudante.
A atividade 1 pode motivar os estudantes a pesquisarem a respeito do Role-playing 
game (RPG). Caso eles já tenham participado desse tipo de jogo, pode-se propor que elabo-
rem um folheto explicando que conceitos matemáticos eles identificam nessa prática. Em 
relação a esse tema, pode-se indicar o recurso digital “Uma aventura de RPG”, disponível em 
<https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1053> (acesso em: 6 set. 2020), que traz uma história 
de RPG envolvendo a probabilidade.
A atividade 4 apresenta uma situação envolvendo Geometria. Pedir aos estudantes que 
façam um esboço para ajudar a compreender o que precisam calcular.
O contexto da atividade 10 pode servir para os estudantes perceberem como a pro-
babilidade e o levantamento de dados estatísticos podem ser úteis na monitoração do 
perfil de pessoas atendidas em determinado local, em particular, postos de saúde.
> PARA REFLETIR
Neste tópico são relacionados os conteúdos abordados, possibilitando aos estudantes 
realizar questionamentos que auxiliam na reflexão dos conceitos matemáticos desenvol-
vidos neste Capítulo.
As questões propostas trazem respostas particulares, pois dependem da percepção 
e do desenvolvimento do aprendizado de cada estudante. Por meio delas, os estudantes 
podem fazer uma autoavaliação das atitudes que tiveram durante as aulas, bem como 
analisar de que maneira os conceitos matemáticos de probabilidade se fizeram presentes 
na vida deles.
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Capítulo 1 • Noções de Estatística 
Atividades
 1. a) A fonte dos dados é a Confederação Nacional do 
Comércio de Bens, Serviços e Turismo. 
b) Resposta esperada: De acordo com a tabela, essa 
pesquisa parece ser realizada todos os meses, o que 
impossibilitaria entrevistar todo o universo estatístico.
 2. a) Para a construção da tabela, sabendo que a popula-
ção de desempregados era 12,9 milhões de pessoas 
no 1o trimestre de 2020, deve-se calcular a frequência a 
partir das informações do gráfico. Sendo assim, tem-se: 
14 a 17 anos: 7,7% de 12,9 milhões h 0,077 ? 12,9 =
= 0,9933 h 0,9933 milhões de pessoas
18 a 24 anos: 32% de 12,9 milhões h 0,32 ? 12,9 =
= 4,1280 h 4,1280 milhões de pessoas
25 a 39 anos: 33,7% de 12,9 milhões h 0,337 ? 12,9 =
= 4,3473 h 4,3473 milhões de pessoas
40 a 59 anos: 23,9% de 12,9 milhões h 0,239 ? 12,9 =
= 3,0831 h 3,0831 milhões de pessoas
60 anos ou mais: 2,7% de 12,9 milhões h 0,027 ? 12,9 =
= 0,3483 h 0,3483 milhões de pessoas
Distribuição de pessoas desempregadas,
em milhões, por idade, no 1o trimestre de 2020
Faixa
etária
Frequência
absoluta
Frequência
relativa
14-17 0,9933 7,7%
18-24 4,1280 32%
25-39 4,3473 33,7%
40-59 3,0831 23,9%
60+ 0,3483 2,7%
Fonte: BRASIL. Ministério do Planejamento, Desenvolvimento 
e Gestão. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Pesquisa 
Nacional por Amostra de Domicílios Contínua: PNAD 
Contínua. Brasília, DF, jan./mar. 2020. Disponível em: https://
www.ibge.gov.br/estatisticas/sociais/trabalho/9173-pesquisa-
nacional-por-amostra-de-domicilios-continua-trimestral.
html?edicao=27704&t=destaques. Acesso em: 1 ago. 2020.
b) Resposta pessoal. Resposta possível: A taxa de desem-
prego no Brasil, no 1o trimestre de 2020, foi maior entre 
as pessoas de 25 a 39 anos e 18 a 24 anos, o que revela 
que o desemprego é maior entre a população econo-
micamente ativa. 
 3. a) O eixo das abscissas indica os meses de outubro e abril 
de 2015 a 2018 e de janeiro de 2019.
b) Está faltando indicar que os números expressam por-
centagem. Resposta possível: Os números podem ser 
interpretados como o valor de uma ação, em reais, na 
bolsa de valores.
c) Resposta esperada: Não. O ponto de abril de 2018, refe-
rente à Vale ON, não está respeitando o local correto; 
isso também ocorre com os pontos de outubro de 
2018 e de janeiro de 2019 do Ibovespa.
 4. a) Resposta pessoal. Sugestão de resposta:
Percentual de adultos com obesidade (IMC > 30 kg/m3) 
por sexo nas capitais da região Sul do Brasil
25
TotalQ
ua
nt
id
ad
e 
de
 a
du
lt
os
 o
be
so
s 
(%
)
Masculino
Gênero
17,40
20,60
Feminino
20
15
10
5
0
16,00 14,80
17,1016,40
19,0018,50
22,40
Curitiba Florianópolis Porto Alegre
2 500
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 e
nt
re
vi
st
as
Gênero
2 000
1 500
1 000
500
0
Total
2 0052 0402 058
Homens
762736 668
Curitiba Florianópolis Porto Alegre
Mulheres
1 3221 243
1 372
Fonte: BRASIL. Ministério da Saúde. Vigitel Brasil 2018. Brasília, DF, 
2019. Disponível em: https://portalarquivos2.saude.gov.br/images/
pdf/2019/julho/25/vigitel-brasil-2018.pdf. Acesso em: 1 ago. 2020.
Entrevistas realizadas nas capitais da
região Sul do Brasil 
25
TotalQ
ua
nt
id
ad
e 
de
 a
du
lt
os
 o
be
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s 
(%
)
Masculino
Gênero
17,40
20,60
Feminino
20
15
10
5
0
16,00 14,80
17,1016,40
19,0018,50
22,40
Curitiba Florianópolis Porto Alegre
2 500
Q
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Gênero
2 000
1 500
1 000
500
0
Total
2 0052 0402 058
Homens
762736 668
Curitiba Florianópolis Porto Alegre
Mulheres
1 3221 243
1 372
Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Saúde. Vigitel Brasil 2018. 
Brasília, DF, 2019. Disponível em: https://portalarquivos2.saude.gov.
br/images/pdf/2019/julho/25/vigitel-brasil-2018.pdf. 
Acesso em: 1 ago. 2020.
b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes diferen-
ciem em quais cidades o nível de obesidade é maior 
e, com respeito a cada cidade, consigam identificar 
e diferenciar a obesidade entre homens e mulheres. 
Também é interessante que eles pesquisem outras 
regiões do país para comparar os resultados observa-
dos nas cidades da região Sul.
 5. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes pesquisem 
informações que comprovem o quanto a participação das 
mulheres na vida pública evoluiu pouco, mesmo que elas 
representem a maioria entre os eleitores.
GR
ÁF
IC
OS
: E
DI
TO
RI
A 
DE
 A
RT
E
RESOLUÇÃO DAS ATIVIDADESATIVIDADES>
239
D2-MAT-EM-3073-MP-V6-RESOL-G21.indd 239D2-MAT-EM-3073-MP-V6-RESOL-G21.indd 239 22/09/20 15:3922/09/20 15:39
 11. a) Resposta pessoal. 
b) Resposta pessoal. Sugestão de questão: Encontre a 
razão entre a média aritmética de fecundidade da 
família dos estudantes de sua sala de aula e a média 
de fecundidade do Brasil em 2017.
Para resolver essa atividade, o estudante deve dividir 
a média encontrada para os estudantes da sua sala 
de aula por 1,6.
c) Resposta possível: Fatores sociais – grupo familiar, 
consumo e escolaridade; fatores econômicos – renda 
e insegurança econômica; fatores culturais – valores e 
perspectivas sobre passado, presente e futuro; fatores 
geográficos – modo de vida no campo e modo de 
vida urbano.
 12. a) =
? + ? + ? + ?10 3 11 11 12 8 13 3
25
x h x = 11,44
b) Como a amostra possui um número ímpar (n = 25), 
a mediana corresponde ao 13o termo. Observando o 
quadro de frequências, tem-se: Md = 11.
 13. I) Verdadeira, pois se não houvesse estudante com altura 
maior do que 1,68 m, a média seria inferior a esse valor. 
Raciocínio semelhante pode ser feito para o caso de haver 
um estudante com menos de 1,68 m de altura.
II) Falsa, pois os dados são insuficientes para afirmar com 
certeza que há mais de um estudante nas condições dadas.
 14. Estabelecendo, com base no conjunto de dados, o valor 
da média, mediana e moda, respectivamente, como x, y, 
z, tem-se:
=
+ + + + + + + + +
=
1 1 2 2 2 3 4 4 5 6
10
3x
y = 
+
=
2 3
2
2,5
Sendo a moda o elemento de maior frequência, tem-se 
z = 2. 
Portanto, z , y , x.
Resposta: alternativa 05. 
 15. a) 22 44 31 34 77 563 2357 2157 37
9
5322
9
591
x =
+ + + + + + + +
=
= 1
Aproximadamente 591 casos.
b) Resposta possível: Nos meses de junho, julho e agosto de 
2019 ocorreram 95,4% dos casos de sarampo no Brasil.
c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes mencio-
nem fatores, como a diminuição de pessoas vacinadas, 
o desconhecimento do calendário de vacinação para 
adultos, falsa sensação de segurança pela ausência de 
casos, notícias falsas, grupos antivacina, entre outros.
 16. a) A amplitude é dada pela diferença entre o valor 
máximo e o valor mínimo do conjunto de dados. Nesse 
caso, a amplitude é obtida a partir da seguinte dife-
rença: 20 cm _ 11 cm = 9 cm. 
O diâmetro médio é dado pela média dos diâmetros. 
 6. Resposta pessoal. Uma possível resposta: Essa manchete 
significa que a renda média de 20% dos trabalhadores é 
de R$ 471,00. 
 7. a) O consumo médio é dado pela média aritmética dos 
consumos de energia da família. Sendo assim:
=
+ + + + +
= 1
220 200 410 250 450 410
6
1940
6
323,33x 
Portanto, o consumo médio foi de aproximadamente 
323,33 kWh por mês. 
b) Os dois períodos são de 3 meses, logo, a média seria 
obtida dividindo-se a soma dos valores de cada um 
desses 3 meses pelo total de meses. Pelo gráfico, 
nota-se que o segundo período (outubro a dezembro) 
apresenta barras maiores do que o primeiro período, 
portanto a média de outubro a dezembro é maior.
 8. Para que o gerente permaneça no cargo, a média deve 
ser de, no mínimo, 30 mil reais. Assim, calcula-se a média 
igualando-a a 30 mil. 
=
+ + + + +
=
+ + + + +
h + = h =
21 35 21 30 38
6
30
21 35 21 30 38
6
145 180 35
x
x
x
x x
 
 
Resposta: alternativa e. 
 9. Construindo as frequências, com base no gráfico, tem-se:
xi fi fia
[145; 150[ 6 6
[150; 155[ 8 14
[155; 160[ 11 25
[160; 165[ 15 40
[165; 170[ 24 64
[170; 175[ 14 78
[175; 180[ 10 88
[180; 185[ 7 95
[185; 190[ 5 100
Dessa forma, considerando que a mediana é o termo 
central, pode-se estabelecer a seguinte relação: 
64 _ 40 ___________ 170 _ 165
50 _ 40 __________ x
24x = 5 ? 10 h x 1 2,08
Md = 165 + x h Md 1 165 + 2,08 h Md 1 167,08
 10. Calculando a média do estudante, tem-se: 
=
? + ? + ? + ? + ?
+ + + +
h =
+1 3 1 6 1 5 1 7 2
1 1 1 1 2
5
21 2
6
x
y y
 h y = 4,5
Portanto, a nota mínima para ser aprovado é 4,5.
240240
D2-MAT-EM-3073-MP-V6-RESOL-G21.indd 240D2-MAT-EM-3073-MP-V6-RESOL-G21.indd 240 23/09/20 00:5423/09/20 00:54
Logo: 
x
12,5 16 12,5 11 11 16 12,5 20 11 20
10
142,50
10
14,25=
+ + + + + + + + +
= =
 
O diâmetro médio é 14,25 cm. 
b) A variância é dada por:
Va
3 (12,5 14,25) 2 (16 14,25) 2 (20 14,25) 3 (11 14,25)
10
113,125
10
11,31
2 2 2 2
=
? _ + ? _ + ? _ + ? _
= 1
A variância é aproximadamente 11,31 cm².
Portanto:
D 11,31 3,36= 1p
O desvio padrão é aproximadamente 3,36 cm. 
 17. a) Resposta pessoal. 
b) Resposta pessoal.
c) Resposta pessoal. 
Depois que os estudantes fizerem os cálculos, é interessante questionar sobre o que poderia acontecer 
com os dados se a altura do professor fosse acrescentada ao conjunto. 
 18. a) Determinando as médias:
• Com sabor:
=
+ +
= 1
3,7 3,15 1, 8
3
8,5
3
2, 88x h aproximadamente 2,88 mg/g
=
+ +
= 1
74 115 52
3
241
3
80,33x h aproximadamente 80,33 mg/fornilho
• Sem sabor:
=
+
= =
30 41,5
2
71,5
2
35,75x h 35,75 mg/g
500 826
2
1 326
2
663x =
+
= = h 663 mg/fornilho
• Com sabor e sem sabor: 
=
+ + + +
= =
3,7 3,15 1, 8 30 41,5
5
80
5
16x h 16,03 mg/g
x
74 115 52 500 826
5
1 567
5
313, 4=
+ + + +
= = h 313,4 mg/fornilho
b) A amplitude é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo. Logo,
41,5 _ 1,8 = 39,7 (mg/g) 
826 _ 52 = 774 (mg/fornilho)
c) Va
(3,7 16,03) (3,15 16,03) (1,8 16,03) (30 16,03) (41,5 16,03)
5
1364,298
5
272,86
2 2 2 2 2
=
_ + _ + _ + _ + _
=
= 1
 Aproximadamente 272,86 mg²/g².
Assim, D 272,86 16,52= 1p h aproximadamente 16,52 mg/g.
d) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes levantem informações sobre os problemas causados pela 
dependência da nicotina, como as lesões e doenças provocadas em vários órgãos do corpo humano, o 
impacto ambiental, entre outros.
241
D2-MAT-EM-3073-MP-V6-RESOL-G21.indd 241D2-MAT-EM-3073-MP-V6-RESOL-G21.indd 241 23/09/20 00:2023/09/20 00:20
 19. a) Ao organizar os dados em um diagrama de ramos e 
folhas, obtém-se:
3. 7 7 8 9 9
4* 0 4
4. 5 5 5 7 7 8 8 8 9
5* 0 0 0 0 3
5. 6 8
6* 0 1 2 3 5
6. 7 8
7* 0 1 2
7. 5 5 6 9
8* 0 3 4
8. 5 5 7
b) Como o conjunto de dados tem número ímpar de ele-
mentos, a mediana é o termo central (22o), ou seja, 56. 
A moda é o elemento que mais se repete, nesse 
caso, 50. 
c) Quem acertou 70 questões ou mais, ou seja, 3 + 4 + 
+ 3 + 3 = 13 estudantes.
13
43
0,30231 h aproximadamente 30,23%
 20. Resposta pessoal. Sugestão de problema: qual é a ampli-
tude do diagrama?
Como a amplitude de um conjunto de dados é a diferença 
entre o maior e o menor valor, tem-se: 77 _ 40 = 34
 21. a) Observando o box-plot, é possível concluir que o mais 
novo tem 21 anos e o mais velho 55 anos. 
b) Sim. Resposta esperada: O terceiro quartil indica que 
25% dos dados estão acima dele, portanto, 75% estão 
abaixo.
c) Há mais estudantes entre 46 e 55 anos. Resposta espe-
rada: É possível concluir isso porque a linha do terceiro 
quartil até o valor máximo é maior