Processos Estocásticos bleh

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b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital ou a série de Taylor para \(\tan(z)\), o 
resultado é que \(\lim_{z \to 0} \frac{\tan(z)}{z} = 1\). 
 
81. **Qual é a integral \(\int e^{z} \sin(z) dz\)?** 
 a) \(\frac{1}{2} e^{z} \sin(z) + C\) 
 b) \(\frac{1}{2} e^{z} (\sin(z) + \cos(z)) + C\) 
 c) \(\frac{1}{2} e^{z} (\sin(z) - \cos(z)) + C\) 
 d) \(e^{z} \sin(z) + C\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{1}{2} e^{z} (\sin(z) + \cos(z)) + C\) 
 **Explicação:** Usamos a fórmula de integração por partes ou a fórmula de Euler. A 
integral de \(e^{az} \sin(bz)\) resulta em \(\frac{e^{az}}{a^2 + b^2} (a \sin(bz) + b \cos(bz)) + 
C\). Aqui, \(a=1\) e \(b=1\). 
 
82. **Qual é o valor de \(\lim_{z \to \infty} \frac{5z^3 + z}{2z^3 - 3}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\frac{5}{2}\) 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta:** c) \(\frac{5}{2}\) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \(z\) no denominador, 
obtemos \(\lim_{z \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{z^2}}{2 - \frac{3}{z^3}} = \frac{5 + 0}{2 - 0} = 
\frac{5}{2}\). 
 
83. **Qual é a integral \(\int z^3 e^{z^4} dz\)?** 
 a) \(\frac{1}{4} e^{z^4} + C\) 
 b) \(\frac{1}{4} e^{z^4} + \frac{1}{4} + C\) 
 c) \(\frac{1}{4} e^{z^4} + \frac{1}{16} + C\) 
 d) \(\frac{1}{4} e^{z^4} + z + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{4} e^{z^4} + C\) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \(u = z^4\), então \(du = 4z^3 dz\) ou \(dz = 
\frac{du}{4z^3}\). A integral se torna \(\frac{1}{4} e^{u} + C\). 
 
84. **Qual é a derivada de \(\tan^{-1}(z)\)?** 
 a) \(\frac{1}{1 + z^2}\) 
 b) \(\frac{1}{z^2}\) 
 c) \(\frac{1}{1 - z^2}\) 
 d) \(\frac{1}{z}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{1 + z^2}\) 
 **Explicação:** A derivada de \(\tan^{-1}(z)\) é uma fórmula padrão que resulta em 
\(\frac{1}{1 + z^2}\). 
 
85. **Qual é o valor de \(\lim_{z \to 0} \frac{z^2}{\tan(z)}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador, 
resultando em \(\lim_{z \to 0} \frac{2z}{\sec^2(z)} = 1\). 
 
86. **Qual é a integral \(\int \frac{1}{z^3 + 1} dz\)?** 
 a) \(\frac{1}{3} \ln(z^3 + 1) + C\) 
 b) \(\frac{1}{3} \tan^{-1}(z) + C\) 
 c) \(\frac{1}{3} \ln\left(z + 1\right) + C\) 
 d) \(-\frac{1}{3z^2} + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{3} \ln(z^3 + 1) + C\) 
 **Explicação:** A integral \(\int \frac{1}{z^3 + 1} dz\) pode ser resolvida usando frações 
parciais, resultando em \(\frac{1}{3} \ln(z^3 + 1) + C\). 
 
87. **Qual é a derivada de \(\cos(z)\)?** 
 a) \(-\sin(z)\) 
 b) \(\sin(z)\) 
 c) \(-\cos(z)\) 
 d) \(\cos(z)\) 
 **Resposta:** a) \(-\sin(z)\) 
 **Explicação:** A derivada de \(\cos(z)\) é uma fórmula padrão que resulta em \(-
\sin(z)\). 
 
88. **Qual é o valor de \(\lim_{z \to 0} \frac{\sin(z)}{z^2}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** Usando a série de Taylor para \(\sin(z)\), temos que \(\sin(z) = z - 
\frac{z^3}{6} + O(z^5)\). Assim, \(\lim_{z \to 0} \frac{z - \frac{z^3}{6}}{z^2} = 0\). 
 
89. **Qual é a integral \(\int \frac{1}{z^2 - 1} dz\)?** 
 a) \(\frac{1}{2} \ln\left|\frac{z-1}{z+1}\right| + C\) 
 b) \(\frac{1}{2} \ln(z^2 - 1) + C\) 
 c) \(\tan^{-1}(z) + C\) 
 d) \(-\frac{1}{z} + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2} \ln\left|\frac{z-1}{z+1}\right| + C\) 
 **Explicação:** A integral \(\int \frac{1}{z^2 - 1} dz\) pode ser resolvida usando frações 
parciais, resultando em \(\frac{1}{2} \ln\left|\frac{z-1}{z+1}\right| + C\). 
 
90. **Qual é a derivada de \(\ln(z^2 + 1)\)?** 
 a) \(\frac{2z}{z^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{z^2 + 1}\) 
 c) \(\frac{1}{2z}\) 
 d) \(2z\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2z}{z^2 + 1}\)