Funções estatísticas de confiabilidade I

Prévia do material em texto

CONFIABILIDADE 
DE SISTEMAS
Aline Morais da Silveira
Funções estatísticas 
de confiabilidade I
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 Conceituar modelos confiabilísticos.
 Descrever as distribuições estatísticas em confiabilidade.
 Identificar as principais distribuições estatísticas em confiabilidade.
Introdução
Os modelos de probabilidade são muito úteis na modelagem e solução de 
problemas a partir de uma amostra coletada. A partir dos dados coletados, 
é importante escolher a distribuição de probabilidade adequada, sendo 
que, na maioria dos casos, o próprio fenômeno define sua distribuição, 
em função da natureza da variável que está sendo analisada.
Para facilitar a definição de qual a melhor distribuição a ser utilizada 
em função dos dados disponíveis, neste capítulo, você vai estudar os 
modelos confiabilísticos, as distribuições estatísticas e quais são as prin-
cipais distribuições estatísticas em confiabilidade.
Modelos confiabilísticos
Segundo Petenate (2016), uma função que atribui um número real a cada 
resultado do espaço amostral é denominada variável aleatória, sendo que 
as variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas. As variáveis alea-
tórias discretas são os valores possíveis que constituem um conjunto fi nito 
ou infi nito enumerável, como o número de peças defeituosas, a quantidade de 
falhas em um equipamento, etc. Já as variáveis aleatórias contínuas são os 
valores que assumem um intervalo fi nito ou infi nito de números reais, como 
o pH da água, uma distância percorrida, a altura de uma pessoa, entre outros.
Conforme Sharpe, De Veaux e Velleman (2011), para variáveis discretas 
e contínuas, o modelo probabilístico é a coleção de todos os valores pos-
síveis com as probabilidades associadas a eles. Para uma variável aleatória 
discreta, todos os valores possíveis e suas probabilidades podem ser listadas 
em uma tabela, ou as probabilidades podem ser determinadas por meio de 
uma fórmula.
A partir de um modelo probabilístico, não é possível prever exatamente determinado 
comportamento, mas é possível estimar o que se espera que aconteça.
Os modelos probabilísticos podem ser utilizados nas mais diversas áreas, 
com o objetivo de simplificar a análise de dados, apresentando suas principais 
características. Existem diversos modelos probabilísticos para a análise de 
dados de confiabilidade, que podem ser chamados de modelos confiabilísticos, 
pois incluem, além de modelos matemáticos, também modelos computacionais, 
como a simulação numérica, e até modelos físicos, como protótipos. A partir 
da modelagem probabilística da forma como um sistema falha, é possível 
determinar a sua confiabilidade.
Modelos para variáveis discretas
Conforme Sharpe, De Veaux e Velleman (2011), o modelo mais simples para 
variáveis discretas é o modelo uniforme, em que cada um dos resultados 
tem a mesma probabilidade. Como exemplo, podemos citar o lançamento de 
um dado, em que cada uma de suas faces tem a mesma probabilidade de cair 
voltada para cima.
Algumas variáveis discretas podem ser modeladas a partir das tentativas 
de Bernoulli, que são situações em que:
  existem somente dois resultados possíveis em cada tentativa, denomi-
nados sucesso e fracasso;
  a probabilidade de sucesso p é a mesma em cada tentativa;
  as tentativas são independentes.
Funções estatísticas de confiabilidade I2
Um dos exemplos de tentativas de Bernoulli é o arremesso de uma moeda, 
em que só temos dois resultados possíveis: cara ou coroa. Dependendo da 
pergunta que você fizer, podem ser originadas variáveis aleatórias diferentes, 
que terão modelos probabilísticos diferentes.
No âmbito da confiabilidade, podemos considerar outros resultados, como em funcio-
namento ou em falha, produto com qualidade ou produto com defeito, entre outras 
opções. Ao longo deste tópico utilizaremos os termos sucesso e fracasso.
De acordo com Sharpe, De Veaux e Velleman (2011), sempre que se deseja 
saber quantas tentativas são necessárias para alcançar o primeiro sucesso, é 
utilizado o modelo probabilístico geométrico. Esse modelo é especificado por 
um único parâmetro, que é a probabilidade de sucesso p, e, para as tentativas 
de Bernoulli, pode ser expresso por:
onde P é a probabilidade de sucesso, X é o número de tentativas até que o 
sucesso ocorra e q é a probabilidade de fracasso. Para esse modelo, o valor 
esperado (média) μ e o desvio padrão σ são, respectivamente:
Já quando desejamos saber o número de sucessos em uma determinada 
quantidade de tentativas, temos um modelo probabilístico binomial, em que 
são necessários dois parâmetros: o número de tentativas n e a probabilidade 
de sucesso p. Esse modelo para as tentativas de Bernoulli é expresso por:
3Funções estatísticas de confiabilidade I
onde n é o número de tentativas e X é o número de sucessos em n tentativas. 
A média e o desvio padrão para esse modelo são, respectivamente:
Segundo Sharpe, De Veaux e Velleman (2011), nem todos os eventos 
discretos podem ser modelados pelas tentativas de Bernoulli, principal-
mente quando se deseja saber o número de eventos em um determinado 
intervalo de tempo ou espaço. Esses casos podem ser modelados pela 
variável aleatória de Poisson — o modelo de Poisson —, em que a média 
da distribuição (valor esperado) é representada por λ e o desvio padrão 
para esse modelo é .
Modelos para variáveis contínuas
Para aplicações industriais, em que os dados geralmente são mensurados por 
variáveis contínuas, como o tempo de uma parada de manutenção e o tempo 
até a falha em determinado equipamento, Sharpe, De Veaux e Velleman (2011) 
citam que são necessários modelos probabilísticos contínuos.
Nesses casos, a distribuição de probabilidade pode ser exibida por meio de 
uma curva, que é chamada de função da densidade da probabilidade f(x). 
As funções de densidade devem atender dois requisitos:
  permanecer não negativas para cada valor possível;
  a área total abaixo da curva deve ser exatamente 1,0.
Para variáveis contínuas, também existe o modelo uniforme, em que 
os eventos devem ser igualmente prováveis. A função de densidade de 
uma variável aleatória uniforme contínua, entre o intervalo a e b, pode ser 
definida por:
Funções estatísticas de confiabilidade I4
Os modelos normais são modelos contínuos que são bastante utilizados 
como aproximação para eventos discretos, quando o número de eventos pos-
síveis é grande.
Os modelos normais geralmente possuem alguma propriedade especial. Um exemplo 
dessa propriedade especial é que a soma ou a diferença de duas variáveis aleatórias 
normais independentes também é normal.
A curva dos modelos normais apresenta a forma de um sino, conforme 
mostra a Figura 1, e as probabilidades podem ser encontradas por meio de 
tabelas ou programas computacionais.
Figura 1. Curva do modelo normal.
Fonte: Adaptada de Sharpe, De Veaux e Velleman (2011).
O modelo exponencial pode ser utilizado para modelar o tempo entre 
dois eventos.
f(x) = λe– λx para x ≥ 0 e λ > 0
Conforme Sharpe, De Veaux e Velleman (2011, p. 704), “[...] se uma variável 
aleatória discreta pode ser modelada por um modelo Poisson com taxa λ, então 
5Funções estatísticas de confiabilidade I
os tempos entre os eventos podem ser modelados por um modelo exponencial 
com o mesmo parâmetro λ”.
A função de densidade exponencial para diferentes taxas de falha é ilustrada 
no gráfico da Figura 2.
Figura 2. Funções densidade de probabilidade da distribuição 
exponencial.
Fonte: Adaptada de Distribuição... ([2017a]).
A probabilidade, que é a área abaixo da densidade exponencial entre quais-
quer dois valores s e t, é:
P (s ≤ X ≤ t) = e– λs – e– λt
Distribuições estatísticas
A estatística, segundo Montgomery, Runger e Hubele (2013, p. 1), “[...] lida 
com a coleta, a apresentação, a análise e o uso dos dados para tomar decisões 
e resolver problemas”. Os métodos estatísticos são utilizados para ajudar no 
entendimentoda variabilidade dos dados.
Funções estatísticas de confiabilidade I6
Os dados coletados durante uma amostragem podem ser agrupados de forma 
organizada em tabelas e gráficos para que sejam analisados e as estatísticas 
descritivas, como média, desvio padrão e variância, sejam definidas. Esses 
dados organizados podem ser chamados de distribuição de frequência.
As estatísticas são funções de variáveis aleatórias e cada estatística tem uma 
distribuição que, conforme Montgomery, Runger e Hubele (2013), determina 
quão bem a estatística estima uma qualidade.
O valor esperado de uma variável aleatória, que é obtido a partir de um 
modelo e também chamado de média, é representado por μ. Para uma variável 
aleatória discreta, ele pode ser calculado por:
Ou seja, é a soma de todos os produtos resultantes da multiplicação de cada 
valor possível da variável pela probabilidade de que ela ocorra.
Já o desvio padrão, σ, de uma variável aleatória discreta é o desvio de 
cada valor em relação ao valor esperado, elevando-se o resultado ao quadrado; 
ou seja:
O desvio padrão equivale à raiz quadrada da variância Var(x), que é o 
valor esperado desses desvios elevados ao quadrado, sendo obtida pela soma 
da multiplicação do desvio padrão pela probabilidade.
As distribuições estatísticas são funções que definem uma curva, ou 
seja, o comportamento de determinado evento, enquanto a área abaixo dessa 
curva representa a probabilidade de esse evento ocorrer. Dessa forma, as 
distribuições estatísticas também podem ser chamadas de distribuições de 
probabilidade ou distribuição amostral.
A partir das distribuições estatísticas, é possível que os dados sejam mode-
lados e suas probabilidades sejam determinadas. As distribuições estatísticas 
podem ser divididas basicamente em duas grandes categorias, análise de 
7Funções estatísticas de confiabilidade I
variáveis aleatórias discretas e análise de variáveis aleatórias contínuas, sendo 
que, para a aplicação industrial e, consequentemente, da confiabilidade, as 
variáveis aleatórias contínuas são mais comuns.
Principais distribuições estatísticas 
em confiabilidade
Quando se trata da confi abilidade, cada distribuição de probabilidade pode 
gerar diferentes estimativas para as características de durabilidade do produto. 
Então, a utilização de um modelo inadequado pode levar a erros.
Para as variáveis contínuas, as distribuições descrevem processos em 
que não é possível especificar probabilidades para pontos individuais, mas, 
sim, para intervalos, como distribuição exponencial, distribuição normal, 
distribuição log-normal e distribuição de Weibull.
Já para as variáveis discretas, as distribuições são associadas aos resultados 
de ensaios em que é possível conseguir um número de sucessos ou fracassos 
esperados, como distribuição de Poisson e distribuição binomial.
Distribuição exponencial
Segundo o Portal Action (DISTRIBUIÇÃO..., [2017a]), a distribuição exponen-
cial possui uma função taxa de falha constante, sendo a única distribuição 
absolutamente contínua com essa propriedade. A forma de sua curva é a 
mesma vista anteriormente na Figura 2.
Taxa de falha é a relação entre o número de falhas e o tempo total de operação.
Essa distribuição pode ser considerada uma das mais simples em termos 
matemáticos e tem sido utilizada para modelar o tempo de vida de produtos e 
materiais (óleos isolantes, dielétricos, entre outros), o tempo até a falha de um 
equipamento (componentes eletrônicos, peças mecânicas, etc.), entre outras 
aplicações diversas.
Funções estatísticas de confiabilidade I8
Conforme Zibetti ([2018a?]), alguns exemplos de aplicações da distribuição 
exponencial são:
  tempo entre as avarias de um equipamento;
  tempo entre as chegadas de aeronaves a um aeroporto;
  distância entre duas falhas sucessivas em uma fita magnética;
  distância entre buracos em uma rodovia.
Distribuição normal
A distribuição normal, também conhecida como distribuição gaussiana, foi 
desenvolvida por matemáticos e físicos para descrever erros experimentais 
obtidos em medidas físicas. Todo processo de mensuração está sujeito a um 
erro de medida, que pode ter diferentes fontes, como variação de tempe-
ratura, tempo e outras características não identifi cáveis, conforme leciona 
Zibetti ([2018b?]).
A distribuição normal pode ser considerada a distribuição contínua mais 
importante, pois, segundo o Portal Action (DISTRIBUIÇÃO..., [2017b]), 
mesmo que os dados não sejam distribuídos segundo uma normal, a média 
dos dados converge para uma distribuição normal, conforme o número de 
dados aumenta. A forma de sua curva, que lembra um sino, é a mesma vista 
anteriormente na Figura 1.
Segundo Rodrigues (2018a), como exemplos de aplicação de uma distri-
buição normal, temos:
  altura ou peso de uma população;
  pressão sanguínea de um grupo de pessoas;
  tempo que um grupo de estudantes gasta para realizar uma prova;
  pontuações em testes.
Distribuição log-normal
A distribuição log-normal é bastante utilizada para caracterizar o tempo de vida 
de produtos e materiais, como fadiga de metal, semicondutores, diodos e iso-
lação elétrica. Conforme Minitab (DISTRIBUIÇÃO..., [2019a]), a distribuição 
log-normal tem sido o modelo de distribuição de vida mais comumente usado 
para aplicações de alta tecnologia, pois é baseada no modelo de crescimento 
multiplicativo.
9Funções estatísticas de confiabilidade I
Esse efeito multiplicativo é acumulado para provocar uma falha, o que 
justifica sua aplicação para modelar peças ou componentes que falham prin-
cipalmente devido ao estresse ou à fadiga, como:
  falha em função de reações químicas ou degradação (corrosão, migração 
e difusão);
  tempo até a fratura em metais sujeitos ao crescimento de fissuras por fadiga;
  componentes eletrônicos que exibem diminuição do risco de falha após 
determinado período de tempo.
Segundo o Portal Action (DISTRIBUIÇÃO..., [2017c]), existe uma re-
lação entre as distribuições log-normal e normal, pois o logaritmo de uma 
variável que segue a distribuição log-normal com parâmetros μ e σ tem 
distribuição normal com média μ e desvio padrão σ. Isso significa que dados 
provenientes de uma distribuição log-normal podem ser analisados segundo 
uma distribuição normal, se considerarmos o logaritmo dos dados, em vez 
dos valores originais.
Na Figura 3, são apresentadas algumas formas da função densidade de 
probabilidade da distribuição log-normal.
Figura 3. Funções densidade de probabilidade da distribuição 
log-normal com μ = 0.
Fonte: Adaptada de Distribuição... ([2017c]).
Funções estatísticas de confiabilidade I10
Distribuição de Weibull
Conforme o Portal Action (Distribuição..., [2017d]), a distribuição de Weibull 
foi proposta em estudos relacionados ao tempo de falha devido à fadiga de 
metais e, atualmente, é utilizada para descrever o tempo de vida de produtos 
industriais. Essa distribuição descreve de forma adequada a vida de mancais, 
componentes eletrônicos, cerâmicas, capacitores e dielétricos.
Segundo Minitab (DISTRIBUIÇÃO..., [2019b?]), a distribuição de Weibull é 
usada para avaliar a confiabilidade de aplicações como tubos de vácuo, capacitores, 
rolamentos de esferas, relés e resistências de materiais. Ela também pode modelar 
se uma função de risco está diminuindo, aumentando ou se permanece constante.
Ainda conforme Minitab (DISTRIBUIÇÃO..., [2019b?]), a distribuição de 
Weibull pode não funcionar muito bem para falhas de produtos causadas por 
reações químicas ou processos de degradação, sendo esses tipos de situações 
modeladas usando a distribuição log-normal.
A distribuição de Weibull apresenta uma grande variedade de formas, mas 
todas com a sua função de taxa de falha monótona, ou seja, estritamente 
crescente, estritamente decrescente ou constante. Na Figura 4 são apresentadas 
algumas das formas da função densidade de probabilidade dessa distribuição.
Figura 4. Funções densidade de probabilidade da distribuição de 
Weibull comα = 1.
Fonte: Adaptada de Distribuição... ([2017d]).
11Funções estatísticas de confiabilidade I
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é utilizada para calcular probabilidades de ocorrên-
cia de falhas raras em sistemas e componentes, quando o número de ensaios é 
grande e a probabilidade é pequena.
Segundo Rodrigues (2018b), a distribuição de Poisson pode ser utilizada 
em aplicações como:
  acidentes com automóveis;
  erros de digitação;
  carros que chegam a um posto de gasolina;
  falhas em componentes por unidade de tempo.
DISTRIBUIÇÃO de Weibull. Portal Action, São Carlos, SP, [2017d]. Disponível em: http://www.
portalaction.com.br/confiabilidade/412-distribuicao-de-weibull. Acesso em: 14 mar. 2019.
DISTRIBUIÇÃO de Weibull em análise de confiabilidade. Suporte ao Minitab 18, State 
College, USA, [2019b?]. Disponível em: https://support.minitab.com/pt-br/minitab/18/
help-and-how-to/modeling-statistics/reliability/supporting-topics/distribution-mo-
dels/weibull-distribution. Acesso em: 14 mar. 2019.
DISTRIBUIÇÃO exponencial. Portal Action, São Carlos, SP, [2017a]. Disponível em: http://
www.portalaction.com.br/confiabilidade/411-distribuicao-exponencial. Acesso em: 
14 mar. 2019.
DISTRIBUIÇÃO log-normal. Portal Action, São Carlos, SP, [2017c]. Disponível em: http://www.
portalaction.com.br/confiabilidade/414-distribuicao-log-normal. Acesso em: 14 mar. 2019.
DISTRIBUIÇÃO lognormal em análise de confiabilidade. Suporte ao Minitab 18, State 
College, USA, [2019a?]. Disponível em: https://support.minitab.com/pt-br/minitab/18/
help-and-how-to/modeling-statistics/reliability/supporting-topics/distribution-mo-
dels/lognormal-distribution. Acesso em: 14 mar. 2019.
DISTRIBUIÇÃO normal. Portal Action, São Carlos, SP, [2017b]. Disponível em: http://www.
portalaction.com.br/probabilidades/62-distribuicao-normal. Acesso em: 14 mar. 2019.
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C.; HUBELE, N. F. Estatística aplicada à engenharia. 
Rio de Janeiro: LTC, 2013.
PETENATE, M. Estatística, probabilidade e a certificação Black Belt. Escola EDTI, Campinas, 
SP, 2016. Disponível em: https://www.escolaedti.com.br/probabilidade-e-a-certificacao-
-black-belt. Acesso em: 14 mar. 2019.
Funções estatísticas de confiabilidade I12
RODRIGUES, L. Distribuição de Poisson: o que é e como calcular. Blog Voitto, Juiz de 
Fora, MG, 2018b. Disponível em: https://www.voitto.com.br/blog/artigo/distribuicao-
-de-poisson. Acesso em: 14 mar. 2019.
RODRIGUES, L. Distribuição normal: o que é, para que serve e como calcular. Blog 
Voitto, Juiz de Fora, MG, 2018a. Disponível em: https://www.voitto.com.br/blog/artigo/
distribuicao-normal. Acesso em: 14 mar. 2019.
SHARPE, N. R.; DE VEAUX, R. D.; VELLEMAN, P. F. Estatística aplicada: administração, 
economia e negócios. Porto Alegre: Bookman, 2011.
ZIBETTI, A. Distribuição exponencial (ou exponencial negativa). Material de Aula. Floria-
nópolis: Universidade Federal de Santa Catarina, [2018a?]. Disponível em: https://www.
inf.ufsc.br/~andre.zibetti/probabilidade/exponencial.html. Acesso em: 14 mar. 2019.
ZIBETTI, A. Distribuição normal (ou gaussiana). Material de Aula. Florianópolis: Universi-
dade Federal de Santa Catarina, [2018b?]. Disponível em: https://www.inf.ufsc.br/~andre.
zibetti/probabilidade/normal.html. Acesso em: 14 mar. 2019.
13Funções estatísticas de confiabilidade I