Funções estatísticas de confiabilidade III

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CONFIABILIDADE 
DE SISTEMAS
Abel José Vilseke
Funções estatísticas 
de confiabilidade III
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Calcular as funções de confiabilidade para distribuição exponencial, 
normal, log-normal e Weibull.
  Descrever as demais funções de distribuição utilizadas em confiabi-
lidade e o conceito de curva de banheira.
  Relacionar as principais distribuições em confiabilidade com as suas 
aplicações.
Introdução
Os estudos das distribuições para as funções de confiabilidade têm 
como base a definição de confiabilidade de um sistema, que consiste 
na probabilidade de operação de um sistema com sucesso por um 
período esperado. Assim, a probabilidade de sobrevivência do sis-
tema pode ser estimada corretamente, para qualquer instante nesse 
período, a partir da definição de qual forma de distribuição melhor 
descreve os tempos.
Neste capítulo, você vai estudar as funções de confiabilidade e as 
suas aplicações, verificando as distribuições de probabilidade emprega-
das em análises de tempo até a falha de sistemas. Você vai verificar as 
distribuições exponencial, normal, log-normal e Weibull, o cálculo das 
funções confiabilidade para as distribuições e suas aplicações. Você vai 
analisar também o conceito da curva da banheira, muito comum em 
estudos de confiabilidade.
Cálculo das funções de confiabilidade para 
distribuição exponencial, normal, log-normal 
e Weibull
Para demonstrar o cálculo das funções de confi abilidade, vamos falar pri-
meiramente sobre a estimativa de parâmetros, que são classifi cados da 
seguinte forma:
  parâmetros de localização, utilizados para deslocar a distribuição de 
probabilidade ao longo do eixo do tempo, como a média µ em distri-
buição normal;
  parâmetro de escala, utilizado para expandir ou contrair o eixo do 
tempo, como o parâmetro λ da distribuição exponencial;
  parâmetro de forma, que afeta a forma da função densidade, como o 
parâmetro γ da distribuição Weibull.
Para estimar os parâmetros, pode-se empregar métodos conhecidos, como 
o método dos momentos, o método dos mínimos quadrados ou o método da 
máxima verossimilhança.
Funções de confiabilidade para 
distribuição exponencial
Sistemas complexos, constituídos de considerável número de componentes, 
têm a sua vida útil descrita pela distribuição exponencial, em que a taxa 
de falha λ(t) é sempre constante. Isso quer dizer que a ocorrência de falhas 
se dá de forma aleatória, sem indicar tendência crescente ou decrescente 
no período de operação normal, conforme leciona Dias (2005). Essa pro-
priedade da distribuição exponencial corresponde à isenção de memória 
(memoryless) — ou seja, a vida útil restante do sistema é independente 
da sua idade atual.
Tal comportamento é típico da fase operacional, em que não se tem as 
falhas prematuras provenientes de ajustes e erros de projeto ou fabricação, e 
antes que ocorram as falhas de final de ciclo da vida relacionadas ao desgaste 
ou envelhecimento. Dessa forma, pode-se dizer que a distribuição exponencial 
é um modelo apropriado para um período longo e com baixo risco de falha.
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Outra propriedade a se considerar em confiabilidade, relevante para a 
determinação da garantia de produtos, é referente a intervalos de eventos, 
como cargas pontuais e choques, de forma aleatória. Se o intervalo entre 
esses eventos puder ser modelado exponencialmente com parâmetro λ, 
o número de eventos no intervalo segue a distribuição de Poisson, com 
parâmetro λt.
A distribuição exponencial se caracteriza, ainda, pela baixa complexidade 
matemática das equações derivadas, o que a torna muito empregada em análises 
de confiabilidade, conforme apontam Fogliatto e Ribeiro (2009).
Sendo f(t) a função densidade de probabilidade de falha para uma va-
riável aleatória T em um período de tempo, e R(t) a função confiabilidade, 
descrevendo o que se entende como sobrevida do sistema ou probabilidade 
de que esse sistema opere com sucesso no período de tempo esperado, h(t) 
vai descrever a taxa de falha. Ou seja, trata-se da probabilidade de o sistema 
falhar em um intervalo de tempo; é a associação da quantidade de risco de 
falha por unidade de tempo.
Para uma distribuição exponencial de probabilidade, a função densidade 
f(t) é dada pela expressão:
f(t) = λ e(-λt) para t ≥ 0
Aplicando-se a equação da função confiabilidade:
Desse modo, substituindo na equação da função de risco, você terá:
Veja na Figura 1 a representação gráfica para as funções de confiabilidade 
utilizando como parâmetro λ = 2. Observe que a taxa de risco é constante e 
igual a λ, como demonstrado na equação.
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Figura 1. Gráficos para as funções de confiabilidade com distribuição exponencial.
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Funções de confiabilidade para distribuição normal
A distribuição normal é denominada também distribuição gaussiana, sendo a 
mais importante distribuição contínua, conforme aponta Navidi (2012). Essa 
não é uma função comumente utilizada para modelar os dados de confi abili-
dade, como as demais distribuições, pois, ao observarmos o desvio padrão da 
função densidade, sua distribuição é simétrica; sendo assim, não representa 
a maioria das distribuições de falha. 
Contudo, a distribuição normal é usada para representar o comporta-
mento no final da vida, relacionado a falhas no envelhecimento; podemos 
verificá-las nos sistemas mecânicos, elétricos, eletrônicos, entre outros. A 
sua utilização também é frequente no controle de produção, de mercado e 
nas decisões gerenciais. 
Ao observar o gráfico de uma distribuição normal, verifica-se uma curva 
simétrica, suave, em forma de sino. Sendo unimodal, o seu ponto de frequência 
máxima se situa no meio da distribuição, onde a média, a mediana e a moda 
coincidem. A curva normal é obtida a partir da função densidade, em que T 
é uma variável aleatória com distribuição normal. Então, a função densidade 
de falha é dada por:
Para cada valor de µ e/ou σ de probabilidade empregado em análises de 
tempo até a falha de sistemas, você terá uma curva de distribuição de pro-
babilidade. Ao calcular áreas específicas, utiliza-se a distribuição normal 
padronizada, denominada também standardized ou reduzida, em que a 
distribuição normal tem µ = 0 e σ =1. Quando a média µ é diferente de 0 e o 
desvio padrão σ é diferente de 1, devemos reduzi-la a uma variável Z, como 
demonstrado:
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Confira, na Figura 2, o formato gráfico das curvas das funções de confia-
bilidade com distribuição normal elaboradas no software MS Excel®.
Figura 2. Gráficos para funções de confiabilidade com distribuição normal.
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A distribuição normal pode ser aplicada na modelagem da vida de bens de 
consumo com risco de falha crescente, como resistências elétricas. 
Funções de confiabilidade para distribuição log-normal
A distribuição log-normal é uma distribuição que se caracteriza por ser fl exível 
e possuir uma repentina variabilidade no início do processo e uma variação 
lenta no fi nal. É utilizada na modelagem de tempos até o reparo, devido à sua 
distribuição ser limitada à esquerda. Diante disso, é plausível presumir que 
a probabilidade de concluir o reparo aumenta com o passar do tempo; caso 
ocorra uma demora na operação, por algum motivo, obteremos um indicativo 
de causas especiais. Então, a taxa de reparos, ou seja, a intensidade com que 
os reparos são concluídos, equivale à função taxa de falha de uma distribuição 
log-normal. Segundo Fogliatto e Ribeiro (2009), as medidas de confi abilidade 
de interesse para a distribuição log-normal são:
A distribuição log-normal é a distribuição normal com ln t como variável 
independente. Portanto, a função confiabilidade pode ser escrita como:
onde Φ (t) é o valor da distribuição acumulada de distribuição normal padrão.A função taxa de falha é dada por:
tendo como ϕ o valor da função densidade da distribuição normal.
Observe, na Figura 3, que a curva para a função densidade de falha, com 
parâmetros μ = 0 e σ = 1, tem um rápido crescimento e logo começa a decrescer 
suavemente.
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Figura 3. Gráfico para função densidade com distribuição log-normal.
Fonte: Adaptada de Navidi (2012).
Funções de confiabilidade para distribuição Weibull
A distribuição Weibull é considerada de grande importância nas análises de 
confi abilidade. É empregada na análise de confi abilidade e de dados de vida, 
por causa da sua versatilidade e efi cácia de representação nas amostras de 
tempos até a falha com desempenhos distintos. Em vista disso, a distribuição 
Weibull pode ser utilizada na modelagem de tempos até a falha (devido à fadiga 
dos metais, por exemplo), mostrando funções de risco constantes, estritamente 
crescentes ou estritamente decrescentes.
As funções de confiabilidade são descritas pelas equações:
Os parâmetros γ e θ de forma e escala, respectivamente, são estimadores 
de verossimilhança obtidos pela derivada do logaritmo na equação da função 
densidade, de acordo com Fogliatto e Ribeiro (2009). A Figura 4 apresenta 
gráficos para a taxa de falha, com três parâmetros de forma diferentes.
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Figura 4. Gráfico para função taxa de falha com distribuição Weibull.
Fonte: Adaptada de Fogliatto e Ribeiro (2009).
Wuttke e Sellitto (2008) corroboram com a percepção intuitiva a respeito 
dos gráficos da Figura 4, afirmando que, ao se alterar o parâmetro de forma, 
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a função densidade de probabilidade Weibull apresenta formas distintas. Com 
isso, a distribuição Weibull pode ter diversas aplicações. Veja como ela pode se 
igualar ou ser muito semelhante a outras distribuições em razão do valor de γ:
  com γ = 1, a distribuição de Weibull é idêntica à distribuição exponencial; 
  com γ = 2, a distribuição de Weibull é idêntica à distribuição Rayleigh; 
  com γ = 2,5, a distribuição de Weibull aproxima-se da distribuição 
log-normal;
  com γ = 3,6, a distribuição de Weibull aproxima-se da distribuição 
normal.
Outras funções de distribuição e a curva 
de banheira
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson pode ser empregada para expressar a probabili-
dade de uma série de eventos ocorrer em certo período, quando o número 
dos possíveis eventos é maior do que sua média no intervalo de tempo. 
Desconhecendo-se um número preciso de possíveis ocorrências, que se dão 
de forma aleatória, a probabilidade de ocorrência independe dos eventos 
ocorridos anteriormente.
Assumindo como λ a média de eventos em um intervalo de tempo, e con-
siderando que a variável aleatória X indica o número de eventos ocorridos no 
intervalo, assim se expressa:
As funções de confiabilidade com distribuição de Poisson, segundo Sellitto 
(2005), podem ser descritas no período que indica o final da primeira fase 
de vida da unidade, em que os elementos suscetíveis às falhas são substitu-
ídos, e apenas sobrecargas imprevisíveis e de intensidades extraordinárias 
as causarão.
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Distribuição gama
A distribuição gama é, de acordo com Fogliatto e Ribeiro (2009), uma gene-
ralização da distribuição exponencial. Descreve sistemas que operam com 
dispositivos em paralelo, em que que a última tarefa determina o fi m da 
atividade — a falha ocorre quando o último dispositivo falha. As expressões 
para as funções de confi abilidade da distribuição gama estão descritas abaixo:
onde θ é o parâmetro de escala, γ é o parâmetro de forma, Γ é a função gama 
e t indica o tempo até a falha.
A função de confiabilidade MTTF
Em confi abilidade, o MTTF (mean time to failure) é o tempo médio em 
que a unidade vai funcionar antes de falhar — ou seja, a vida útil média 
do sistema. Com dados censurados (quando os tempos exatos para a falha 
são desconhecidos), a média aritmética não fornece uma medida do centro 
confi ável, pois alguns dos tempos de falha são desconhecidos. Então, o 
MTTF é uma estimativa do centro teórico da distribuição que considera 
observações censuradas. 
Quando o maior tempo observado é uma censura, a função de confiabilidade 
estimada não chega a zero, impossibilitando a estimativa confiável do MTTF. 
Pode-se descrever o MTTF como sendo a área sob a função de confiabilidade, 
isto é, a integração da função R(t).
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Veja, no Quadro 1, as expressões aplicáveis para o MTTF de acordo com 
as diferentes distribuições de probabilidade estudadas.
Tipo de distribuição Expressão de MTTF
Exponencial
Gama
Weibull
Log-normal
Quadro 1. Expressões para MTTF
Curva da banheira
Nas análises de confi abilidade, você vai se deparar, muitas vezes, com uma 
representação gráfi ca para o comportamento da taxa de falha de um sistema 
ao longo do tempo, denominada curva da banheira (bathtube curve). Ela re-
presenta as fases da vida características de um sistema: mortalidade infantil, 
maturidade e envelhecimento. Essas fases, segundo Sellitto (2005), estão 
associadas ao fator de forma γ, um dos parâmetros da distribuição Weibull 
nas funções da confi abilidade do sistema. A Figura 5 ilustra a função de risco, 
descrita grafi camente no formato da curva da banheira.
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Figura 5. Curva da banheira.
Fonte: Adaptado de Wuttke e Sellitto (2008).
Segundo Wuttke e Sellitto (2008), na fase γ < 1 (mortalidade infantil), a 
taxa de falhas é alta e decrescente, pois as falhas prematuras provêm de erros 
de projeto, processos de fabricação ou montagem inapropriados, manuseio 
ou operacionalização em aprendizado, etc. Consistem em problemas que são 
resolvidos e, por isso, o risco diminui.
O intervalo de tempo intermediário, em que γ = 1, denomina-se vida útil 
e representa o período operacional do sistema, em que as falhas se associam 
a eventos aleatórios e de alto impacto, como acidentes, podendo ter uma 
distribuição linearizada ao longo do tempo. Uma elevação na taxa de falhas 
pode indicar o início de uma nova fase, a do envelhecimento.
Na fase final, em que γ > 1, os efeitos da fadiga e do desgaste refletem 
em uma taxa crescente de falhas. Esse período é entendido em confiabilidade 
como a probabilidade de a falha atingir níveis além de patamares seguros.
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Aplicação de distribuições em confiabilidade
Agora que você conheceu as distribuições de probabilidade e verifi cou o 
comportamento das funções de confi abilidade em diversas possibilidades de 
distribuição, vamos demonstrar algumas aplicações.
Aplicação de distribuição exponencial
A distribuição exponencial é muito usada para modelar dados de confi abi-
lidade, por ser simples, com apenas um parâmetro. Uma boa aplicação a se 
exemplifi car é na modelagem de componentes eletrônicos, como diodos, 
transistores, resistores e capacitores, que, normalmente, apresentam vida útil 
próxima à do produto que compõem.
A distribuição exponencial também é eficiente para análises de períodos 
longos de tempo, com comportamento relativamente constante, com função 
de risco em baixo patamar. Essa condição é condizente com o tempo de vida 
útil, descrito pela fase intermediária da curva da banheira, quando a taxa de 
falhas é constante.
As resistências elétricas para chuveiros fabricadas pela empresa X não têm expectativa 
de queima durante o tempo de uso normal estipulado. Os engenheiros da empresa 
pretendem assegurar que sua durabilidade seja de três anos (equivalente a 26.280 
horas); para isso, submeteram uma amostra ao uso intensivo e anotaram os tempos 
em que ocorreram as queimas de cada resistência. Registrou-se uma taxa de falhas 
constante, estimada pelo teste acelerado, de uma a cada 100.000 horas, e a densidade 
assumiu uma distribuição exponencial, assim validada:
R(t)= e-λt
Dessa forma, concluiu-se que 23% das resistências podem falhar antes do período 
de garantia imaginado pelos engenheiros, de três anos.
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Aplicação de distribuição log-normal
Como há a relação entre as distribuições log-normal e normal, o logaritmo 
de uma variável que segue distribuição log-normal com parâmetros µ e σ tem 
distribuição normal, com média e desvio-padrão µ e σ, respectivamente. Assim, 
a distribuição log-normal é analisada conforme uma distribuição normal, 
considerando o logaritmo dos dados.
A distribuição log-normal é aplicada para a modelagem de dados que são 
mais ou menos simétricos ou assimétricos à direita; por ser flexível, pode 
apresentar-se graficamente de formas diferentes, dependendo do seu parâmetro 
de escala. É empregada quando o sistema fica exposto a fatores de falha que 
aumentam de forma aleatória, como elementos sujeitos a fissuras por estresse ou 
fadiga, degradação por reações químicas, corrosão, etc. Assim, tem aplicação 
para caracterizar o tempo de vida de produtos e materiais.
A engenharia de confiabilidade de uma indústria detectou que, a partir do tempo 
decorrido para a falha, um equipamento em condições normais de operação apresen-
tava taxa de falha decrescente ao longo do tempo, sendo modelado com distribuição 
log-normal com os parâmetros µ = 9,65 e σ = 0,1053. Os engenheiros, buscando indicar 
a confiabilidade dos equipamentos em 10.000 horas, constataram que:
Ou seja, a confiabilidade dos equipamentos analisados supera a expectativa dos 
engenheiros.
Aplicação de distribuição normal
A distribuição normal pode ser aplicada na modelagem da durabilidade de bens 
de consumo quando o risco de falha é sempre crescente. Por exemplo, a proba-
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bilidade de falha com distribuição normal pode descrever o comportamento de 
dispositivos de fi lamentos elétricos, como lâmpadas incandescentes, torneiras 
elétricas, etc. De um modo geral, a distribuição normal não é utilizada com 
frequência para modelar os dados de confi abilidade, devido à forma simétrica, 
incomum para a maioria das distribuições de falha.
Aplicação de distribuição Weibull
A distribuição Weibull é amplamente empregada na modelagem de dados de 
confi abilidade. Pode-se aplicar para modelar dados simétricos e assimétricos, à 
direita ou à esquerda. Isso possibilita sua aplicação para avaliar a confi abilidade 
de componentes como tubos de vácuo, capacitores, rolamentos de esferas, relés, 
além de resistências de materiais. A distribuição Weibull permite descrever 
qualquer fase da vida de um produto, por indicar estabilidade, crescimento 
ou redução da taxa de risco. Por exemplo, permite estimar a expectativa de 
falha dos itens em termos percentuais em testes acelerados, a probabilidade 
de falhas de um certo item dentro de um período estipulado ou a alteração do 
comportamento da distribuição das falhas.
É esperado que o tempo de vida de um componente eletrônico crítico, que opera inin-
terruptamente, seja de um ano (8.760 horas) e obedeça a uma distribuição Weibull com 
parâmetros γ = 0,5 e θ = 100.000. Calculando a confiabilidade para um ano, obtém-se:
Assim, foi possível determinar que há 74% de probabilidade de o sistema funcionar 
em razão da durabilidade do componente por, ao menos, um ano.
Funções estatísticas de confiabilidade III16
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Leituras recomendadas
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