Funções estatísticas de confiabilidade II

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CONFIABILIDADE 
DE SISTEMAS
Abel José Vilseke 
Funções estatísticas 
de confiabilidade II
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 Conceituar a função densidade de falhas e a função acumulada de falhas.
 Descrever a função de confiabilidade e a sua relação com taxa de
risco/taxa de falhas.
 Calcular a taxa de falhas em função do tempo, tendo por base a
distribuição de confiabilidade.
Introdução
Definida como a probabilidade de um item ou equipamento operar corre-
tamente por determinado tempo e sob determinadas condições (ABNT NBR 
5462:1994), a confiabilidade é mensurável e pode apresentar-se variavelmente 
devido às condições do ambiente, de operação, entre outras. Tal fato pode 
ser interpretado como uma possibilidade de ocorrência de falhas aleatoria-
mente, a qualquer momento. São vários os fatores que podem impactar a 
probabilidade de um sistema falhar e a frequência de fenômenos, e a escala 
de tempo pode ter estimativa em ciclos, e não em calendário. Nesse sentido, 
as análises de confiabilidade compreendem funções estatísticas apropriadas. 
Para indicar a confiabilidade de um sistema, deve-se assumir a pro-
babilidade de falha, sendo que o tempo em que a falha pode ocorrer 
é uma variável aleatória, considerada como o intervalo compreendido 
entre o momento de partida (início de operação) e o instante da falha. 
Pode-se obter efetividade na análise por meio das funções densidade e 
distribuição acumulada de falhas e da taxa de risco. Assim, neste capítulo, 
você vai estudar a função densidade de falhas e a função acumulada de 
falhas, bem como analisar a função de confiabilidade e a sua relação com 
a taxa de risco, ou taxa de falhas. Por fim, você vai calcular a taxa de falhas 
em função do tempo, tendo por base a distribuição de confiabilidade.
A função densidade de probabilidades de falhas 
e a distribuição acumulada de falhas
Na estatística, uma função de distribuição acumulada de uma variável aleatória 
X é uma função que a cada número real x associa o valor:
Isso remete à imagem inversa do intervalo (−∞,x) pela variável aleatória 
X, de modo que o domínio da função de distribuição acumulada F(x) são os 
números reais R e a sua imagem é o intervalo (0,1). Conhecendo a função, é 
possível entender o comportamento da variável aleatória dada em toda a reta, 
mesmo que esteja em apenas um intervalo dos reais.
A função de distribuição acumulada é assim denominada porque acumula 
as probabilidades dos valores inferiores ou iguais a x. De acordo com Fogliatto 
e Ribeiro (2009), o tempo transcorrido entre o instante em que se inicia a 
operação do sistema até a ocorrência da sua primeira falha é denominado 
tempo até a falha, assumindo, por convenção, t = 0 como início da opera-
ção do sistema, e é sempre uma variável aleatória não negativa distribuída 
continuamente.
Segundo Spiegel, Schiller e Srinivasan (2013), o tempo T é uma variável 
aleatória contínua, que denota o tempo até a falha. Portanto, a probabilidade 
de falha no intervalo de tempo (0,t) é dada por:
Assim, a função de distribuição acumulada de falhas fornece a probabili-
dade de a falha ocorrer em um intervalo de tempo pretendido. Em uma distri-
buição hipotética, tomamos a curva de Gauss para representar graficamente 
a curva de distribuição de probabilidades, como ilustra a Figura 1. 
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Figura 1. Curva de Gauss empregada hipoteticamente para descrever 
uma distribuição.
Observe na curva tomada hipoteticamente que a área delimitada por toda 
a curva representa a totalidade das probabilidades de ocorrência de falha ao 
longo do tempo, de 0 a X, ou seja, 100%, e a função tem valor 1.
A função densidade de falha
A função densidade de probabilidade representa, para uma variável aleatória 
contínua, a distribuição de probabilidade, descrevendo a curva da probabili-
dade de ocorrência de cada valor da variável. A probabilidade, no entanto, é 
obtida pela integral da função em um intervalo delimitado, em que, sob toda 
a curva, a área tem valor 1. 
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abordagem prática da distribuição de probabilidade.
https://goo.gl/XXqazB
3Funções estatísticas de confiabilidade II
A densidade de falha, definida como a variação da probabilidade de falhas 
por unidade de tempo, é dada por:
Na Figura 1, você pode observar que a faixa de tempo em que se assume a 
probabilidade de falha é representada por uma linha, indicando um momento 
exato; assim é obtida a densidade de probabilidade de falha para o instante. Se 
você delimitar o intervalo de tempo em uma faixa específica, como μ−σ, μ+σ 
(faixa mais escura), terá a densidade de probabilidade para aquele intervalo.
A probabilidade de um sistema sobreviver no decorrer de um determinado tempo, 
como análise de confiabilidade, requer uma modelagem apropriada dos tempos 
observados. As funções de confiabilidade dependem da parametrização correta das 
distribuições de probabilidade. 
A função confiabilidade e a taxa de falha
A função confi abilidade R(t) é também denominada função de sobrevida, pois 
representa a probabilidade de o sistema operar sem falhas no intervalo de 
tempo (0,t) e, ainda, operar em t. Você pode deduzir a função confi abilidade 
a partir da suposição de ensaio de um item qualquer.
Em uma condição de testes controlados, submete-se uma quantidade n 
de unidades idênticas do item ao ensaio. Ao transcorrer um intervalo de 
tempo, teremos um número de unidades que não apresentaram falha, ns(t), e 
de unidades que falharam, nf(t). Relacionando-se a razão entre a quantidade 
de elementos sobreviventes (que não falharam) e a sua totalidade, teremos:
 e 
Considerando a variável aleatória T,
R(t) = P(T > t)
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teremos:
Dessa forma, a função de distribuição F(t) complementa R(t).
Taxa de falha
Gregório, Santos e Prata (2018) defi nem a taxa de falha λ ou taxa de risco de 
uma unidade qualquer como sendo a razão entre o número de falhas observado 
e o tempo total de funcionamento do item, conforme a fórmula:
Para a obtenção da taxa de falha, são suficientes as medidas envolvidas. A 
Figura 2 ilustra a conhecida curva da banheira, que representa as variações 
temporais da taxa de falha.
Figura 2. A curva da banheira denota comportamentos distintos na distribuição 
das probabilidades ao longo do tempo.
Observe que a quantidade de falhas que varia em função do tempo se com-
porta de três maneiras diferentes — decrescente no início do tempo, constante e 
crescente ao final — para a mesma unidade, seja ela um produto ou um sistema. 
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Para Fogliatto e Ribeiro (2019), no entanto, a taxa de falha h(t), também 
conhecida como função de risco, com relação à função confiabilidade, é a 
probabilidade de o sistema falhar em um intervalo de tempo t e t + ∆t. Ou 
seja, trata-se da associação da quantidade de risco de falha por unidade de 
tempo, que deve ser escrita da seguinte forma:
Com relação à função confiabilidade, associamos a taxa de falha da se-
guinte forma:
Se, em t, o sistema opera com sucesso,
A taxa média de falha em um intervalo (t, t + ∆t) resulta da razão entre a 
equação acima e ∆t. Se o intervalo ∆t tender a zero, obtém-se a taxa instan-
tânea de falha, agora indicada por h(t):
Considerando a função de risco
e R(0) = 1, por defi nição:
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de modo que:
A relação entre função densidade e função de risco se dá por:
Um importante conceito associado à confiabilidade é o tempo médio até a falha 
(MTTF), que representa o valor esperado para a variável aleatória T. O MTTF, obtido 
em condições de testes ou em mensurações de tempo operacional em campo, pode 
ser interpretado como a vida útil média de um item. Quando os tempos exatos para 
a falha são desconhecidos (dados censurados), a média aritmética dos dados pode 
não refletiruma medida confiável do centro, devido à omissão de alguns dos tempos 
de falha. O MTTF é uma estimativa do centro teórico da distribuição, que considera 
observações censuradas e pode ser obtido pela expressão:
Cálculo da taxa de falhas baseado 
na distribuição de confiabilidade
Tome como base que a função distribuição de probabilidade de falha, em uma 
medida de itens falhados por unidade de tempo em razão do número total de 
itens, é dada por:
Essa função se associa com a função confiabilidade da seguinte forma:
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Podendo-se obter a função densidade de falha a partir da derivada dessa 
equação:
A função densidade de falha é, então, descrita como o número de elemen-
tos falhados em função do tempo sobre o número inicial de itens, a mesma 
definição de taxa de falha descrita anteriormente. Agora, pode-se constatar 
que f(t) e λ(t) são equivalentes quando o número de itens expostos é igual ao 
número inicial, ou seja, no início do tempo.
Em uma análise matemática mais aprofundada:
Sendo:
Conforme demonstrado matematicamente, a função confiabilidade se associa com 
a distribuição de probabilidade que se tem para os tempos de ocorrência de falha. 
Desse modo, as distribuições estatísticas permitem que tenhamos funções de confia-
bilidade afetadas por diferentes parâmetros. Algumas formas assumidas pelas funções 
de confiabilidade são as distribuições normais, log-normais, exponenciais, Weibull, 
Poisson, entre outras.
O Quadro 1 apresenta uma relação entre as medidas de confiabilidade. 
Além das funções de confiabilidade R(t), densidade f(t)e taxa de risco h(t), 
constam a função acumulada de risco H(t) e a função de vida residual média L(t).
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Exemplo 1
A função de risco pode ser descrita por λ e obtida a partir da distribuição de 
confi abilidade. Por exemplo, em uma situação de testes de confi abilidade, em 
que os tempos de falha apresentem uma distribuição exponencial, conforme 
a função densidade dada por
e com função confi abilidade igual a
R(t) = e–λt
a função de risco será dada por:
Sendo que λ é a taxa de falha para a distribuição exponencial, que pode 
ser obtida por meio da função confiabilidade. Nesse caso de distribuição 
exponencial, λ é constante, ou seja, independe do tempo.
Fonte: Adaptado de Fogliatto e Ribeiro (2009).
Quadro 1. Relação entre funções estatísticas de confiabilidade
f(t) R(t) h(t) H(t) L(t)
f(t) —
R(t) R’(t) — –lnR(t)
h(t) —
H(t) H’(t) ∙ e–H(t) e–H(t) H’(t) —
L(t) —
9Funções estatísticas de confiabilidade II
Exemplo 2
Veja uma aplicação do cálculo da taxa de falhas.
A engenharia de produção de uma empresa, após mensurar, coletar e 
tratar dados da operação de um sistema em testes, descreveu a sua função 
confiabilidade como:
Pois bem, pela definição da taxa de falha, temos:
A taxa de risco obtida é:
Exemplo 3
Um ensaio acelerado realizado em uma amostragem de 500 acionadores manuais 
foi distribuído em intervalos de 10.000 ciclos e conduzido até a falência de todas 
as peças, a fi m de determinar as funções de confi abilidade, sendo que, a cada 
intervalo, foram removidas as peças com falha. Foram obtidos os seguintes dados.
Intervalo de 10.000 ciclos 1 2 3 4 5 6 7
Nº. de peças falhadas 0 0 25 96 248 125 6
Solução:
Primeiramente, deve-se considerar as quantidades de itens com falha 
e sobreviventes para cada intervalo; então, aplicando as fórmulas, deve-se 
calcular as funções desejadas, nesta ordem:
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1. 
2. 
3. 
4. 
De acordo com Cassula (2016), pode ser considerado o número de itens sobreviventes 
do intervalo anterior, do intervalo correspondente ou a média de ambos. No caso, 
optou-se pelos anteriores.
Para melhor visualização, os resultados foram agrupados no quadro abaixo, 
fazendo correspondência com as respectivas séries de teste.
Nº. de 
ciclos
Falhas
nf
Acumulado
Nf
Itens 
restantes
ns
f(t) F(t) R(t) h(t)
0–10.000 0 0 500 0 0 1 0,000
10.000–
20.000
0 0 500 0 0 1 0,000
20.000–
30.000
25 25 475 0,05 0,05 0,95 0,050
30.000–
40.000
96 121 379 0,192 0,242 0,758 0,202
40.000–
50.000
248 369 131 0,496 0,738 0,262 0,654
50.000–
60.000
125 494 6 0,25 0,988 0,012 0,954
60.000–
70.000
6 500 0 0,012 1 0 1,000
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CASSULA, A. M. Confiabilidade — aula 4 — função taxa de transição. Youtube, [s.l.], 
10 ago. 2016. 1 vídeo (26 min). Publicado pela UNIVESP. Disponível em: https://www.
youtube.com/watch?v=M10M0UUSJt0&index=4&list=PLxI8Can9yAHcUcrGQTYH2KU
eiinscd3RM. Acesso em: 18 fev. 2019.
FOGLIATTO, F. S.; RIBEIRO, J. L D. Confiabilidade e manutenção industrial. Rio de Janeiro: 
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GREGÓRIO, G. F. P.; SANTOS, D. F.; PRATA, A. B. Engenharia de manutenção. Porto Alegre: 
Sagah, 2018.
SPIEGEL, M. R.; SCHILLER, J. J.; SRINIVASAN, R. A. Probabilidade e estatística. 3. ed. Porto 
Alegre: Bookman, 2013.
Leituras recomendadas
ABNT. NBR 5462: confiabilidade e mantenabilidade. Rio de Janeiro: ABNT, 1994. 
GONDIM, R. M.; DUARTE, M. A. V. Aplicação da estatística na manutenção preditiva. 
FAMAT em Revista, nº. 5, p. 211–223, set. 2005. Disponível em: paginapessoal.utfpr.edu.
br%2Fjmario%2Fmanutencao-mecanica%2Fartigos%2Fartigo%2520estatistica%2520n
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Acesso em: 18 fev. 2019.
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