Conjuntos Numéricos e suas Operações

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Universidade Federal de Mato Grosso
Faculdade de Economia
Métodos Quantitativos em Economia I
Apostila
Professora: Dra. Fernanda Rocha Gomes da Silva
Não distribuir sem a permissão do Autor
Cuiabá
2022
2
Sumário
1 Conjunto 3
1.1 Conjunto, elemento e pertinência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Representação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Conjuntos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Conjunto dos números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Conjunto dos números Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3 Conjunto dos números Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.4 Conjunto dos números Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.5 Conjunto dos números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Intervalos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Operações com Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Fração 14
2.1 Adição e subtração de frações com denominadores iguais . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Adição ou subtração de frações com denominadores diferentes . . . . . . . . . . 14
2.3 Multiplicação de Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Divisão de Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Simplificação de Fração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Potências e Radicais 17
3.1 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2 Potência de expoente inteiro negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Potência com expoente racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Polinômio e Fatoração 21
4.1 Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1.1 Estratégia de Fatoração Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3
4.2 Operações com polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.1 adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.2 Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.3 Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.4 Produtos Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.5 Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Equações e Inequações 31
5.1 Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1.1 Equação do 1° grau (Equação Linear) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1.2 Equação do 2° grau (equação quadrática) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1.3 Equação exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1.4 Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.5 Equação logaŕıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2.1 Inequação do 1° grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.2 Inequação do 2° grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2.3 Inequação Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2.4 Inequações Logaŕıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Relações e Funções 45
6.1 Par Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2 Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2.1 Relação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.3 Conceito de Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.4 Normas elementares para o estudo de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4.1 Domı́nio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4.2 Intercepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.4.3 Função Crescente e Decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.4.4 Pontos de Máximo e de Mı́nimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.4.5 Estudo do Sinal de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7 Principais funções elemetares e suas aplicações 55
4
7.1 Função constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.2 Função do 1º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.2.1 Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.2.2 Zero e Equação do 1º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2.3 Crescimento e decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2.4 Estudo do sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.3 Função do segundo grau ou Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.3.1 Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.3.2 Zero e Equação do 2º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.3.3 Coordenadas do vértice da parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.3.4 Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.3.5 Crescimento e decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.3.6 Construção da Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.3.7 Estudo do sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.4 Função Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.5 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.5.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.5.2 Modelo de Crescimento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.6 Função Logaŕıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.6.1 Gráfico de uma função logaŕıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.6.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8 Limites 81
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.2 Noção intuitiva de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.3 Definição de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.4 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.5 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.6 Formas Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.7 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.8 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.9 Continuidade de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5
9 Derivada96
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.2 Equação da reta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.3 Definição de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.4 Teorema sobre derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.5 Aplicação em Economia (Função Custo e Receita) . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.6 Aplicação em economia (Elasticidade) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.7 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.8 Derivadas de ordem superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
10 Aplicação de derivada 114
10.1 Máximos e Mı́nimos Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10.2 Sinal da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10.2.1 Crescimento e decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10.2.2 Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.3 Pontos Cŕıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
10.4 Testes para os extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
10.5 Aplicação econômica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
11 Matrizes 123
11.1 Igualdade de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.2 Adição de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.3 Produto de número por matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
11.4 Produto de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
11.5 Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.6 Matriz Simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.7 Matriz Inverśıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.8 Operações elementares sobre linhas de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.8.1 Algoritmo de como calcular A−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
12 Determinantes 130
12.1 Determinantes (n = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12.2 Determinantes (n = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6
12.3 Determinantes (n = 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12.4 Menor complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12.5 Cofator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12.6 Teorema fundamental (de Laplace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
13 Sistemas Lineares 135
13.1 Equação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
13.2 Solução de uma equação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
13.3 Solução de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
13.4 Matrizes de um sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
13.5 Sistemas escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
13.6 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
13.7 Escalonamento de um sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
13.8 Discussão de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7
1 Conjunto
Faremos uma revisão das principais noções da teoria de conjunto. Utilizaremos estas noções
para apresentar os conjuntos numéricos.
1.1 Conjunto, elemento e pertinência
Na teoria de conjunto, consideramos essas três noções como verdade:
� Conjunto, que é a reunião, agrupamento, de elementos.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A,B,C, · · · , Z.
� Elemento é um dos componentes de um conjunto.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto:
a, b, c, · · · , z.
� Pertinência é a caracteŕıstica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.
Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o śımbolo ∈ que se lê: ”pertence”.
Se um elemento não pertence ao conjunto utilizamos a notação: 6∈
1.2 Representação
Para descrevermos um conjunto utilizamos:
� Enumeração: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves, separados por
v́ırgula.
A = {0, 2, 4, 6, 8, · · · }
� Compreensão: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades ou caracteŕısticas.
A = {x ∈ R|x é par}
� Diagrama de Venn-Euler: Os conjuntos são mostrados por uma região plana e fechada.
8
1.2.1 Definições
1) Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A ⊂ B, se todos
os elementos de A também estão em B. O conjunto A é denominado subconjunto de B.
Observação 1 Subconjuntos:
� Todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
� O conjunto vazio, ∅, é um subconjunto de qualquer conjunto.
� Dado um conjunto constitúıdo por n elementos, o total de subconjunto que podemos obter
a partir dele é dado por 2n.
2) A reunião ou união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que per-
tencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
Notação: A ∪B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}
3) A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao
conjunto A e ao conjunto B.
Notação: A ∩B = {x : x ∈ A e x ∈ B}
4) A diferença dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao
conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
Notação: A−B = {x : x ∈ A e x 6∈ B}
9
Exemplo 1 Dados os conjuntos A e B, encontre as operações solicitadas.
1) Se A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} e B = {4, 8, 12, ...} então B ⊂ A.
2) Se A = {1, 2} e B = {3, 4} então A ∪B = {1, 2, 3, 4}.
3) Se A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 4, 7, 10} então A ∩B = {4, 10}.
4) Se A = {2, 4, 6, 8} e B = {1, 2, 3, 4} então A−B = {6, 8}
1.3 Conjuntos Numéricos
Nesta seção, apresentaremos os conjuntos numéricos, a noção de número está ligada à ne-
cessidade de registrar e interpretar os fenômenos que nos cercam.
1.3.1 Conjunto dos números Naturais
O conjunto dos números naturais é formado por números inteiros e positivos e representado
pela letra N , assim:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, · · · }
Observação 2 Um subconjunto dos números naturais é definido por:
N∗ = {1, 2, 3, 4, · · · }
O śımbolo * (asterisco) empregado ao lado do śımbolo do conjunto representa a ausência do
zero.
1.3.2 Conjunto dos números Inteiros
O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números naturais mais todos os
seus representantes negativos. O conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z.
Z = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · }
Observação 3 Alguns subconjuntos dos números inteiros:
10
� O conjunto dos números inteiros não-negativos. Para representar esse conjunto
emprega-se o sinal ”+”ao lado do śımbolo.
Z+ = {0, 1, 2, 3, · · · }
� Também podemos representar somente os inteiros não-positivos com
Z− = {· · · ,−3,−2,−1, 0}
� Temos também que o conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos
números inteiros.
1.3.3 Conjunto dos números Racionais
O conjunto dos números racionaisQ, indica uma razão (divisão) entre dois números inteiros,
ou seja, os números racionais são aqueles que podem ser expressos na forma a
b
, onde a e b são
inteiros quaisquer, com b diferente de 0.
Q = {a
b
com a ∈ Z e b ∈ Z∗}
Os números 2 e o 3,4 não estão escritos na forma a
b
. Será?
Ora, o 2 pode ser representado pela fração 2
1
, e o 3,4 pode ser 34
10
, portanto, eles podem ser
escritos na formade fração, portanto são números racionais.
Então todos os números com v́ırgula são racionais?
Não. Somente os que possúırem uma d́ızima periódica.
Temos os seguintes subconjuntos numéricos:
1.3.4 Conjunto dos números Irracionais
Considerando um triângulo retângulo com catetos medindo 1 unidade de comprimento. Pelo
teorema de Pitágoras, calculamos que o terceiro lado (a hipotenusa), vale
√
2.
11
Temos que
√
2 = 1,41421356... Esse valor não pode ser representado como uma fração de
números inteiros, pois tem infinitas casas depois da v́ırgula (e não é uma d́ızima periódica).
Então não podemos chamá-lo de número racional. Esse número pertence a outro conjunto
chamado conjunto dos números irracionais. O conjunto dos números Irracionais é formado
por todos os números que NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros.
Este conjunto é representado por I.
O conjunto dos números irracionais são aqueles que não podem ser expressos na forma a
b
, com
a e b inteiros e b diferente de 0. São compostos por d́ızimas infinitas não periódicas.
Por exemplo, 0, 12352..., π,
√
3, 3
√
5 são irracionais.
Note que as d́ızimas periódicas são números racionais, enquanto as d́ızimas não periódicas são
números irracionais.
1.3.5 Conjunto dos números Reais
O próximo conjunto é o conjunto dos números reais R que é a reunião (união) do conjunto
dos números irracionais com o dos racionais. Portanto temos a seguinte representação:
R = Q ∪ I
1.4 Intervalos Numéricos
Os números reais que são descritos geometricamente por uma reta são subconjuntos de
R. Cada número corresponde a um ponto na reta e cada ponto determina um número real.
Apresentaremos alguns intervalos:
� Intervalo Fechado: Números reais compreendidos entre a e b, incluindo os extremos.
Representação:
12
� Intervalo Aberto: Números reais compreendidos entre a e b, excluindo os extremos.
Representação:
� Intervalo Aberto à esquerda e Fechado à direita: Números reais compreendidos
entre a e b, excluindo o a e incluindo o b. Representação:
� Intervalo Fechado à esquerda e Aberto à direita: Números reais compreendidos
entre a e b, incluindo o a e excluindo o b. Representação:
� Intervalo Infinito e Fechado à esquerda: Números reais situados à direita de a,
incluindo o próprio a. Representação:
� Intervalo Infinito e Aberto à esquerda: Números reais situados à direita de a, ex-
cluindo o próprio a. Representação:
� Intervalo Infinito e Fechado à esquerda: Números reais situados à esquerda de b,
incluindo o próprio b. Representação:
� Intervalo Infinito e Aberto à esquerda: Números reais situados à esquerda de b,
excluindo o próprio b. Representação:
13
1.4.1 Desigualdades
Definição 1 Expressões como a < b, a > b, a ≤ b, a ≥ b são chamadas desigualdades, veremos
agora algumas definições sobre elas:
� a < b se, e somente se, b− a for positivo.
� a > b se, e somente se, a− b for positivo.
� a ≤ b se, e somente se, a < b ou a = b.
� a ≥ b se, e somente se, a > b ou a = b.
Propriedades envolvendo as desigualdades.
Dados a, b, c, d ∈ R, temos:
1) a < b e b < c ⇒ a < c.
2) a < b⇔ a± c < b± c.
3) a < b e c < d⇒ a+ c < b+ d.
4) a < b e c > 0⇒ a.c < b.c.
5) a > 0⇒ 1
a
> 0.
6) a < b e c < 0⇒ a.c > b.c.
7) a.b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
8) a.b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0).
7) 0 < b < a⇔ 0 < 1
a
< 1
b
.
1.4.2 Operações com Intervalos
As operações de União, Interseção e Diferença de intervalos obedecem às mesmas definições
dadas para operações com conjuntos, sendo que, preferencialmente, devem ser feitas através da
representação geométrica desses intervalos.
14
� União de Intervalos: É o intervalo formado por todos os elementos que pertençam a
um dos intervalos ou ao outro intervalo.
� Interseção de Intervalos: É o intervalo formado pelos elementos comuns aos dois in-
tervalos.
� Diferença de Intervalos A− B: É o intervalo formado pelos elementos que pertencem
ao intervalo A mas que não pertencem ao intervalo B.
Observação 4 :
� Os śımbolos −∞ e +∞ não são números;
� Qualquer intervalo real é sempre um conjunto infinito;
� As operações com intervalos são as mesmas operações que efetuamos com conjuntos, pois
todo intervalo é um conjunto, assim podemos considerar ∪ (união), ∩ (intersecção) e −
(diferença) entre intervalos.
Exemplo 2 Dada as proposições, abaixo, julgue-as como verdadeiras ou falsas.
a) 0 ∈ N (V)
b) (2− 3) ∈ N (F)
c) N ∈ Z (F)
d) Z+ ∩ Z− = ∅ (F)
e) (−3)2 ∈ Z− (F)
f) (−4)(−5) ∈ Z+ (V)
g) N ⊂ Q (V)
h) 0, 4747... ∈ Q (V)
i) 1 ∈ Q− Z (F)
j)
√
2− 3
√
3 ∈ R−Q (V)
15
Exemplo 3 Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa
turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências de cores de seus n alunos, tendo chegado ao
seguinte resultado:
- 23 alunos gostem de preto;
- 23 alunos gostam de roxo;
- 15 alunos gostam de vermelho;
- 6 alunos gostam de preto e vermelho;
- 5 alunos gostam de vermelho e roxo.
Se designarmos por P os alunos que gostam de preto, por R os alunos que gostam de roxo e V
os que gostam de vermelho, teremos, evidentemente, P ∩ R = ∅. Conclúımos que o número n
de alunos dessa turma é:
Solução
Para resolver essa questão, devemos desenhar os diagramas de todos os conjuntos descritos no
enunciado, destacando a sua intersecção.
Efetuando a adição, temos que: 17 + 18 + 5 + 6 + 4 = 50
Exemplo 4 Dado os conjuntos abaixo, calcule as seguintes operações:
a) A = [2, 4] e B = [3, 5), encontre A ∪B e A ∩B
A ∪B = [2, 5)
A ∩B = [3, 4]
16
b) A = (−2, 4] e B = (1, 8), encontre A−B
A−B = (−2, 1]
c) A = [0, 5] e B = (−2, 3], encontre A−B
A−B = (3, 5]
d) A = [−1, 3] e B = (−2, 0] e C = (−2, 5;−1], encontre A ∪B ∪ C
A ∪B ∪ C = (−2, 5; 3]
Exemplo 5 Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 4} e B = {2, 5, 7, 11}, encontre (A−B) ∩ (B − A)
Solução
Então a diferença de A − B = {0, 1, 4} e a diferença de B − A = {5, 11, 7} , e interseção é o
conjunto vazio, ou seja: (A−B) ∩ (B − A) = ∅.
Exemplo 6 Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. Dez
alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira e 20 acertaram a segunda questão.
17
Quantos alunos erraram as duas questões?
Solução
Para resolver essa questão, devemos desenhar os diagramas de todos os conjuntos descritos no
enunciado, destacando a sua intersecção.
Efetuando a adição, temos que 15+10+10=35
Assim, 35 alunos acertaram as questões, como a turma é composta por 40 alunos, temos que 5
alunos erraram as duas questões.
18
2 Fração
Uma fração é um número que representa a divisão entre dois números inteiros. As frações
também representam uma ou muitas partes de um objeto que foi dividido em partes iguais.
Veremos agora operações envolvendo frações.
2.1 Adição e subtração de frações com denominadores iguais
Quando temos que somar ou subtrair duas ou mais frações com o mesmo denominador proce-
demos da seguinte forma: Somamos ou subtráımos o numerador e conservamos o denominador.
2.2 Adição ou subtração de frações com denominadores diferentes
Quando os denominadores são diferentes, é preciso realizar um procedimento de adequação.
Esse procedimento diferencia as frações, mas tornam-nas equivalentes, isto é, com o mesmo
denominador. Para esse procedimento precisamos encontrar o Mı́nimo Múltiplo Comum entre
os denominadores. Essa técnica funciona para qualquer adição ou subtração de frações.
Processo:
1
16
+ 7
9
Primeiro passo
Calcule o MMC entre os denominadores das frações a serem somadas.
Segundo passo
Utilize o MMC encontrado como denominador das duas novas frações.
1
16
+ 7
9
=
144
+
144
Terceiro passo
Divida o MMC pelo denominador da primeira fração, multiplique o resultado dessa divisão pelo
19
numerador dessa mesma fração ecoloque o resultado final como numerador da primeira fração
cujo denominador é o MMC.
1
16
+ 7
9
= 9
144
+
144
Repita esse passo até que se tenha esgotado as frações a serem somadas ou subtráıdas.
1
16
+ 7
9
= 9
144
+ 112
144
Quarto passo
Finalizado o terceiro passo, basta realizar a soma de frações com denominadores iguais. A única
diferença entre soma e subtração de frações está nesse último passo. Se for subtração, no lugar
de somar, subtraia os numeradores.
1
16
+ 7
9
= 9
144
+ 112
144
= 9+112
144
= 121
144
2.3 Multiplicação de Frações
Para multiplicarmos uma fração por outra fração, basta multiplicarmos os numeradores entre
si e os denominadores também entre si.
Em termos gerais, temos: a
b
· c
d
= a·c
b·d com a, c ∈ N e b, d ∈ N
∗.
2.4 Divisão de Frações
Para dividirmos uma fração por outra fração basta conservarmos a primeira fração e multi-
plicarmos pelo inverso da segunda fração.
Em termos gerais, temos: a
b
÷ c
d
= a
b
· d
c
= a·d
b·c com a, c, b e d ∈ N
∗.
2.5 Simplificação de Fração
Simplificar uma fração consiste em reduzir o numerador e o denominador por meio da divisão
pelo máximo divisor comum aos dois números. Uma fração está totalmente simplificada quando
verificamos que seus termos estão totalmente reduzidos a números que não possuem termos
diviśıveis entre si. Uma fração simplificada sofre alteração do numerador e do denominador,
mas seu valor matemático não é alterado, pois a fração, quando tem seus termos reduzidos,
torna-se uma fração equivalente.
Exemplo 7 Resolva as frações:
a) 7
3
+ 4
3
− 1
3
= 7+4−1
3
= 10
3
20
b) 1
2
− 3
2
+ 7
2
= 1−3+7
2
= 5
2
c) 4
3
+ 6
7
= 7.4
21
+ 3.6
21
= 28
21
+ 18
21
= 46
21
d) 3
5
· 4
7
= 3·4
5·7 =
12
35
e) 1
4
· (−2
3
) = −1·2
4·3 = −
2
12
= −1
6
f) 3
5
÷ 4
7
= 3
5
· 7
4
= 3·7
5·4 =
21
20
g) − 6
11
÷ (−5
2
) = − 6
11
· (−2
5
) = 6·2
11·5 =
12
55
h) 4
5
− {2
3
− 1
2
· [−1
5
+ 3
2
÷ (2
5
− 1
10
)− 2] + 1
3
} =
4
5
− {2
3
− 1
2
· [−1
5
+ 3
2
÷ (4−1
10
)− 2] + 1
3
} =
4
5
− {2
3
− 1
2
· [−1
5
+ 3
2
÷ 3
10
− 2] + 1
3
} =
4
5
− {2
3
− 1
2
· [−1
5
+ 3
2
· 10
3
− 2] + 1
3
} =
4
5
− {2
3
− 1
2
· [−1
5
+ 5− 2] + 1
3
} =
4
5
− {2
3
− 1
2
· [−1
5
+ 3] + 1
3
} =
4
5
− {2
3
− 1
2
· −1+15
5
+ 1
3
} =
4
5
− {2
3
− 1
2
· 14
5
+ 1
3
} =
4
5
− {2
3
− 7
5
+ 1
3
} =
4
5
− {1− 7
5
} =
4
5
− {5−7
5
} =
4
5
+ 2
5
= 6
5
i) 8
16
possui as seguintes frações equivalentes:
8
16
= 4
8
= 2
4
= 1
2
j) Simplifique a fração e torne irredut́ıvel 60
26
60
84
= 30
42
= 15
21
= 5
7
21
3 Potências e Radicais
Veremos como calcular potências e radicais e suas principais propriedades e como uma está
associada a outra.
3.1 Potência
A notação de potência é usada para encurtar produtos de fatores que se repetem.
Definição 2 Seja a um número real e n um número natural. Potência de base a e expoente n
é o número an tal que:
a0 = 1
an = an−1 · a,∀n, n ≥ 1.
Uma consequência dessa definição é:
a1 = a0 · 1 · a = a
a2 = a1 · a = a · a
a3 = a2 · a = (a · a) · a = a · a · a
E assim sucessivamente.
De modo geral, am é o produto de m fatores iguais a a.
3.1.1 Propriedades
Se a ∈ R, b ∈ R,m ∈ N e n ∈ N , então temos as seguintes propriedades:
1) am · an = am+n
2) a
m
an
= am−n, a 6= 0 e m ≥ n
4) (a · b)m = am · bm
4) (a
b
)m = a
m
bm
5) (am)n = am·n
3.1.2 Potência de expoente inteiro negativo
Definição 3 Dado um número real a, não nulo, e um número n natural, define-se a potência
a−n pela relação
a−n =
1
an
22
Isto é, a potência de base real, não nula, e expoente inteiro negativo é definida como o inverso
da correspondente potência de inteiro positivo.
3.2 Raiz
Definição 4 Dado um número real a ≥ 0 e um número natural n, sempre existe um número
real positivo ou nulo b tal que bn = a.
Ao número b chamaremos raiz enésima de a e indicaremos pelo śımbolo n
√
a onde a é chamado
radicando e n é o ı́ndice.
Da definição decorre que ( n
√
a)n = a
3.2.1 Propriedades
Se a ∈ R+, b ∈ R+,m ∈ Z, n ∈ N∗ e p ∈ N∗, temos:
1) n
√
am = n·p
√
am·p
2) n
√
a · b = n
√
a · n
√
b
3) n
√
a
b
=
n√a
n√
b
(b 6= 0)
4) ( n
√
a)m = n
√
am
5) p
√
n
√
a = p·n
√
a
3.3 Potência com expoente racional
Definição 5 Dados m ∈ R∗+ e
p
q
∈ Q (p ∈ Z e q ∈ N∗) define-se potência de base m e expoente
p
q
pela relação
m
p
q = q
√
mp
Se m = 0 e p
q
> 0 adotamos a seguinte definição especial
0
p
q = 0
Exemplo 8 Calcule as potências:
a) 60 = 1
b) (−4)2 = (−4) · (−4) = 16
23
c) (3
2
)3 = 3
2
· 3
2
· 3
2
= 27
8
d) (−0, 5)3 = (−0, 5) · (−0, 5) · (−0, 5) = −0, 125
Exemplo 9 Simplifique as potências:
a) (m4 ·n3)3 · (m2 ·n)2 = (m4·3 ·n3·3) · (m2·2 ·n2) = m12 ·n9 ·m4 ·n2 = m12+4 ·n9+2 = m16 ·n11
b) (m
5·n3
m3·n2 )
5 = (m
5·n3)5
(m3·n2)5 =
m5·5·n3·5
m3·5·n2·5 =
m25·n15
m15·n10 = m
25−15 · n15−10 = m10 · n5
Exemplo 10 Resolva as potências:
a) 2−3 = 1
23
= 1
8
b) (−2
3
)−2 = 1
(− 2
3
)2
= 14
9
= 9
4
c) Simplifique (m
3·n−2)−2
(m−4·n3)3
(m3·n−2)−2
(m−4·n3)3 =
m3·(−2)·n(−2)·(−2)
m−4·3·n3·3 =
m−6·n4
m−12·n9 = m
−6−(−12) · n4−9 = m6 · n−5 = m6
n5
Exemplo 11 Resolva os radicais:
a) 5
√
32 = 2 pois 25 = 32
b)
√
9 = 3 pois 32 = 9
c) 7
√
1 = 1 pois 17 = 1
Exemplo 12 Simplifique os radicais:
a) 3
√
64
3
√
64 =
3
√
26 = 22 = 4
b)
√
576
√
576 =
√
26 · 32 =
√
26 ·
√
32 = 23 · 3 = 24
c)
√
12
√
12 =
√
22 · 3 =
√
22 ·
√
3 = 2
√
3
Exemplo 13 Transforme as potências em radicais:
a) 5
1
2 =
√
5
b) 6
2
3 =
3
√
62 = 3
√
36
24
c) (2
3
)−
1
3 = 3
√
(2
3
)−1 = 3
√
3
2
Exemplo 14 Simplifique as expressões:
a)
√
8 +
√
32 +
√
72−
√
50
√
8+
√
32+
√
72−
√
50 =
√
23 +
√
25 +
√
23 · 32−
√
2 · 52 = 2
√
2+4
√
2+6
√
2−5
√
2 = 7
√
2
b) 3
√
128− 3
√
250 + 3
√
54− 3
√
16
3
√
128− 3
√
250+ 3
√
54− 3
√
16 =
3
√
27− 3
√
53 · 2+ 3
√
2 · 33− 3
√
24 =
3
√
26 · 2− 3
√
53 · 2+ 3
√
2 · 33−
3
√
23 · 2 = 4 3
√
2− 5 3
√
2 + 3 3
√
2− 2 3
√
2 = 0
c) a
3
√
ab4 + b
3
√
a4b+
3
√
a4b4 − 3ab 3
√
ab
a
3
√
ab4 + b
3
√
a4b+
3
√
a4b4 − 3ab 3
√
ab = a
3
√
ab3b+ b
3
√
a3ab+
3
√
a3ab3b− 3ab 3
√
ab =
ab 3
√
ab+ ab 3
√
ab+ ab 3
√
ab− 3ab 3
√
ab = 0
25
4 Polinômio e Fatoração
Definição 6 Um polinômio é uma expressão que pode ser escrita como um termo ou uma soma
de termos da forma anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0 onde n é um número inteiro não negativo
e an 6= 0 uma constante e x a variável.
Um polinômio de um termo é chamado de monômio.
5,−20, π, 3t7,−5x3y9z2 são monômios
Um polinômio de dois termos é dito binômio.
x− 3, x2y5 − z3,
√
5t2 − s6,−3x9 − 1
2
y3 são binômios
Um polinômio com três termos é chamado de trinômio.
7
√
1x3 − 2y3 − z, t3 − 7u4 + 10v2, 4xy − 3yz + 5zx são trinômios
O grau de um termo em um polinômio é o expoente da variável ou, se houver mais de
uma variável, a soma dos expoentes das variáveis. Se não houver variáveis em um termo, ele é
chamado de constante. O grau de um termo constante é 0.
Observe os polinômios:
a) 3t7,−5x3yz tem grau 7
b)
√
5t2s6,−3x4y4 tem grau 8
c) 7
√
1,−7, 10 tem grau 0
O grau de um polinômio com mais de um termo é o maior dos graus dos termos indivi-
duais.
Observe os polinômios:
a) x− 3 tem grau 1; b) x2y5 − z3 tem grau 7; c)
√
5t2 − s6 tem grau 6; d) x9 − 1
2
y3 tem grau 9
Dois ou mais termos são chamados de semelhantes se são constantes ou se contêm as
mesmas variáveis elevadas aos mesmos expoentes, diferindo apenas, se for o caso, em seus
coeficientes constantes. Termos que não são semelhantes são ditos dissemelhantes.
Os polinômios:
3x e 5x, −16x2y e 2x2y, tu5 e 6tu5 são exemplos de termos semelhantes.
3 e 3x, x2 e y2, a3b2 e a2b3 são exemplos de termos dissemelhantes.
26
4.1 Fatoração
Fatorar polinômios corresponde ao processo inverso do uso das leis de distributividade da
multiplicação. Um polinômioque não pode ser fatorado é dito primo. Técnicas usuais de
fatoração incluem colocar em evidência um fator comum, fatorar por agrupamento, reverter os
processos usuais envolvendo o uso da distributividade e formas notáveis de fatoração.
� Colocando em evidência um fator monomial comum:
3x5 − 15x4 + 21x3 = 3x3(x2 − 5x+ 7)
� Colocando em evidência um fator não monomial comum:
12(x3−2x)4(3x+1)3+8x(x3−2x)3(3x+1)4 = 4(x3−2x)3(3x+1)3[3(x3−2x)+2x(3x+1)] =
4(x3 − 2x)3(3x+ 1)3(3x3 − 6x+ 6x2 + 2x) = 4(x3 − 2x)3(3x+ 1)3(3x3 + 6x2 − 4x)
É importante observar que o fator comum em tais problemas consiste em bases elevadas
ao menor expoente presente em cada termo.
� Fatorando por agrupamento:
3x2+4xy−3xt−4ty = (3x2+4xy)−(3xt+4ty) = x(3x+4y)−t(3x+4y) = (3x+4y)(x−t)
4.1.1 Estratégia de Fatoração Geral
Para facilitar o processo de fatoração, considere os seguintes passos:
Passo 1 Coloque em evidência todos os fatores comuns a todos os termos.
Passo 2 Observe o número de termos.
Se o polinômio remanescente após o passo 1 tem dois termos, procure por uma diferença de dois
quadrados ou a soma ou diferença entre dois cubos.
Se o polinômio remanescente após o passo 1 tem três termos, procure por um quadrado perfeito
ou tente reverter a distributividade dupla.
Se o polinômio remanescente após o passo 1 tem quatro ou mais termos, tente fatorar por
agrupamento.
4.2 Operações com polinômios
Veremos agora como calculamos adição, subtração, multiplicação e divisão de polinômios.
27
4.2.1 adição
A soma de dois ou mais polinômios é obtida por combinação de termos semelhantes. A ordem
é irrelevante, mas polinômios de uma variável são geralmente escritos em ordem decrescente dos
graus de seus termos. Um polinômio de uma variável x sempre pode ser escrito na forma:
anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0
Essa maneira de escrever é dita padrão. O grau de um polinômio escrito na forma padrão é
imediatamente identificado como n.
4.2.2 Subtração
A diferença entre dois polinômios é conseguida usando a definição de subtração:
A−B = A+ (−B). Observe que para subtrair B de A, escreve-se A−B.
4.2.3 Multiplicação
O produto de dois polinômios é obtido pelo uso de várias formas da propriedade distributiva,
bem como pelo emprego da primeira lei para expoentes: xaxb = xa+b
4.2.4 Produtos Notáveis
Algumas operações com polinômios podem ser simplificadas utilizando os produtos notáveis
abaixo:
(a+ b)(a− b) = a2 − b2 Diferença de dois quadrados.
(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 Quadrado de uma soma.
(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2 Quadrado de uma diferença.
(a− b)(a2 + ab+ b2) = a3 − b3 Diferença de dois cubos.
(a+ b)(a2 − ab+ b2) = a3 + b3 Soma de dois cubos.
(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 Cubo de uma soma.
(a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3 Cubo de uma diferença.
4.2.5 Divisão
A divisão de polinômios estrutura-se em um algoritmo, podemos enunciá-lo como sendo: A
divisão de um polinômio D(x) por um polinômio não nulo E(x), de modo a obter os polinômios
28
Q(x) e R(x). Esse algoritmo da divisão pode ser expressado pelo Método de Descartes também
conhecido como Método dos coeficientes determinantes, da seguinte forma:
E(x) ·Q(x) +R(x) = D(x)
Ou seja:
Divisor.Quociente+Resto = Dividendo
A divisão de polinômio pode também ser representada pelo método da chave, veja:
Observação 5 O resto em uma divisão de polinômio por polinômio pode ser:
Igual à zero, nesse caso a divisão é exata, ou seja, o dividendo é diviśıvel pelo divisor.
Ou o resto pode ser diferente de zero, podendo assumir um valor real ou pode ser um polinômio,
nesse caso será considerado resto um valor ou polinômio menor que o divisor.
Processo para realizar a divisão:
Resolva a seguinte divisão: (6x4 − 10x3 + 9x2 + 9x− 5)÷ (2x2 − 4x+ 5).
Antes de iniciarmos o processo da divisão é preciso fazer algumas verificações:
- Verificar se tanto o dividendo como o divisor estão em ordem conforme as potências de x.
- Verificar se no dividendo, não está faltando nenhum termo, se estiver é preciso completar.
Feita as verificações podemos iniciar a divisão. O dividendo possui 5 monômios (termos) e o
divisor possui 3 monômios (termos).
Iremos dividir o 1º termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor:
6x4 : 2x2 = 3x2
O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 − 4x+ 5 (divisor).
(2x2 − 4x+ 5) · (3x2) = 6x4 − 12x3 + 15x2
O resultado desse produto deverá ser subtráıdo pelo polinômio 6x4 − 10x3 + 9x2 + 9x − 5
(dividendo).
29
Agora iremos levar em consideração o polinômio 2x3 − 6x2 + 9x− 5 e iremos dividir seu 1º
termo pelo primeiro termo do dividendo 2x2 − 4x+ 5.
2x3 ÷ 2x2 = x
O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 − 4x+ 5 (divisor)
(2x2 − 4x+ 5) · (x) = 2x3 − 4x2 + 5x
O resultado desse produto deverá ser subtráıdo pelo polinômio 2x3 − 6x2 + 9x− 5
Agora iremos levar em consideração o polinômio −2x2 + 4x− 5 e dividir seu 1º termo pelo
primeiro termo do dividendo 2x2 − 4x+ 5.
−2x2 ÷ 2x2 = −1
O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 − 4x+ 5. (divisor)
(2x2 − 4x+ 5) · (−1) = −2x2 + 4x− 5
O resultado desse produto deverá ser subtráıdo pelo polinômio −2x2 + 4x− 5.
Portando, podemos dizer que (6x4 − 10x3 + 9x2 + 9x − 5) ÷ (2x2 − 4x + 5 = 3x2 + x − 1),
com resto igual a zero.
Caso queira fazer a prova real, basta multiplicar 3x2 + x − 1 por 2x2 − 4x + 5 e verificar se a
solução será 6x4 − 10x3 + 9x2 + 9x− 5. Nesse caso, como o resto é zero, não é preciso somá-lo
ao produto.
30
Exemplo 15 Resolva os polinômios:
a) (X3−3X2+5X−7)+(−8X3+6X2−4X+2) = X3−8X3−3X2+6X2+5X−4X−7+2 =
−7X3 + 3X2 +X − 5
b) (−2y2 + 4y − 6) − (5y2 − 3y + 1) = (−2y2 + 4y − 6) + (−5y2 + 3y − 1) = −2y2 − 5y2 +
4y + 3y − 6− 1 = −7y2 + 7y − 7
c) x3(3x4 − 5x2 + 7x+ 2) = x3.3x4 − x3.5x2 + x3.7x+ x3.2 = 3x7 − 5x5 + 7x4 + 2x3.
d) (x+ 2y)(x3 − 3x2y + xy2) = (x+ 2y)x3 − (x+ 2y)3x2y + (x+ 2y)xy2 =
x4 + 2x3y − 3x3y − 6x2y2 + x2y2 + 2xy3 = x4 − x3y − 5x2y2 + 2xy3.
e) (5x3 − 3x+ 4)÷ (x2 − x+ 1).
Para dividirmos, usaremos o mesmo processo explicado na divisão de polinômios. Assim,
temos:
Fazendo o mesmo procedimento encontramos:
f) (8x4 − 2x3 − x2 + 16x− 21)÷ (2x2 + x− 3).
Para dividirmos, usaremos o mesmo processo anterior.
Repetindo o procedimento.
31
E finalmente, temos:
Exemplo 16 Resolva as questões abaixo:
1) A soma de dois polinômios P (x) +Q(x) é um polinômio de grau 6, e a diferença P (x)−
Q(x) é um polinômio de grau 4. É válido afirmar-se que:
a) a diferença Q(x)− P (x) tem grau 6
b) P (x) e Q(x) têm o mesmo grau
c) P (x) tem grau 5
d) Q(x) tem grau 4
e) P (x) tem grau 4
2) Considerando que p(x) = 2x3 − kx2 + 3x− 2k, para que valores de k temos p(2) = 4?
p(2) = 2.23 − k.22 + 3.2− 2k = 4
16− 4k + 6− 2k = 4
6k = 18
k = 3
3) Determine o valor de a e b no polinômio p(x) = x3 + ax2 + (b− 18)x + 1, sabendo que 1
é raiz do polinômio e p(2) = 25.
32
p(1) = 13 + a.12 + (b− 18)1 + 1 = 0 ⇒ a+ b− 18 + 2 = 0 ⇒ a+ b = 16
p(2) = 23 + a.22 + (b− 18)2 + 1 = 25 ⇒ 8 + 4a+ 2b− 36 + 1 = 25 ⇒ 4a+ 2b = 52
a+ b = 16 multiplica por (−2)⇒ −2a− 2b = −32
4a+ 2b = 52
2a = 20⇒ a = 10
a+ b = 16⇒ b = 16− 10 = 6
4) Dividindo f(x) por x2 +x, obtemos o quociente q(x) = x2−x− 2 e o resto r(x) = 7x− 1.
Obtenha o polinômio f(x). f(x) = (x2 + x).(x2 − x− 2) + 7x− 1
f(x) = x4 − x3 − 2x2 + x3 − x2 − 2x+ 7x− 1
f(x) = x4 − 3x2 + 5x− 1
5) Qual é o polinômio que ao ser multiplicado por g(x) = 3x3 + 2x2 + 5x − 4 tem como
resultado o polinômio h(x) = 3x6 + 11x5 + 8x4 + 9x3 − 17x2 + 4x?
f(x).g(x) = h(x)
33
6) Um dos fatores do polinômio P (x) = x3 + 2x2 − 5x − 6 é (x + 3). Outros fatores desse
polinômio são
ax2 + bx+ c = 0
∆ = b2 − 4ac
x = −b±
√
∆
2a
x2 − x− 2 = 0
∆ = 1 + 8 = 9
x = 1±3
2
x = −1 e x = 2
(x− 2)(x+ 1)
34
7) Se o polinômio P (x) = x3 +mx2 − 1 é diviśıvel por x2 + x− 1, então m é igual a:
8) Se uma das ráızes do polinômioP (x) = x4 − 8x2 + ax + b é 2 e P (1) = 9, então o valor
de a5 − 4b é
P (2) = 0 e P (1) = 9
P (2) = 24 − 8.22 + a.2 + b = 0⇒ 16− 32 + 2a+ b = 0⇒ 2a+ b = 16
P (1) = 14 − 8.12 + a.1 + b = 9⇒ −7 + a+ b = 9⇒ a+ b = 16
subtraindo as duas equações, temos:
a = 0⇒ b = 16
a5 − 4b = 05 − 4.16 = −64.
35
5 Equações e Inequações
Apresentaremos equações lineares, quadráticas, logaŕıtmicas e exponenciais e inequações
lineares e quadráticas.
5.1 Equações
Uma equação é representada pelo śımbolo ”=”. Assim, se a equação A é igual à equação B,
escrevemos
A = B
Quando temos equações com incógnitas, nosso objetivo é resolver a equação, ou seja, queremos
encontrar os valores das variáveis que fazem com que a equação seja válida. Tais valores são
chamados ráızes ou soluções da equação.
Propriedades das equações:
Dadas as equações envolvendo as expressões A,B e C, temos as propriedades:
� Se A = B, então A+ C = B + C
� Se A = B e C 6= 0, então CA = CB
� Se A = B, então B = A
Considere as equações:
Se x− 2 = 5, então x− 2 + 2 = 5 + 2⇒ x = 7
Se 3x = 12, então 1
3
.3x = 1
3
.12⇒ x = 4
Se 21 = 7x, então 7x = 21, assim usando a propriedade 2) 1
7
.7x = 1
7
.21⇒ x = 3
5.1.1 Equação do 1° grau (Equação Linear)
Chama-se equação do 1° grau, na variável x, a qualquer expressão algébrica que possa ser
reduzida na forma: Ax + B = 0, com A,B ∈ R,A 6= 0. As três equações abaixo, são equações
lineares:
� 2x+ 3 = 0
� −3
2
x− 7 = 0
36
�
9
2
x− 5
6
= −2x+ 4
Solução: Chama-se solução ou raiz de uma equação a um valor real que, substituindo na
equação, a torna verdadeira.
A equação linear 2x− 10 = 0 possúı x=5 como solução, pois 2(5)− 10 = 10− 10 = 0.
Já x = 2 não é solução da equação linear, pois 2(2)− 10 = 4− 10 = −6 6= 0
Para obter a solução de uma equação do 1° grau, podemos utilizar o processo dedutivo, que
consiste em isolar a variável x, realizando para isto operações inversas na ordem inversa.
Exemplo 17 Resolver as equações:
a) 3x− 9 = 0
3x− 9 + 9 = 0 + 9⇒ 3x = 9⇒ 1
3
.3x = 1
3
.9⇒ x = 3
b) 4−10x
25
= 1
5
4−10x
25
= 1
5
⇒ 25.4−10x
25
= 25.1
5
⇒ 4 − 10x = 5 ⇒ −4 + 4 − 10x = −4 + 5 ⇒ −10x = 1 ⇒
− 1
10
(−10x) = − 1
10
.1⇒ x = − 1
10
.
c) 3
7
x− 2
5
= 11
35
− x
3
7
x − 2
5
= 11
35
− x ⇒ 15x−14
35
= 11−35x
35
⇒ 15x − 14 = 11 − 35x ⇒ 15x + 35x = 11 + 14 ⇒
50x = 25⇒ x = 25
50
⇒ x = 1
2
5.1.2 Equação do 2° grau (equação quadrática)
Chama-se equação do 2° grau, na variável x, a qualquer expressão algébrica que possa ser
reduzida na forma: Ax2 + Bx + C = 0, com A,B,C ∈ R,A 6= 0. As três equações abaixo, são
equações quadráticas.
� 6x2 + 7x+ 8 = 0
� −9
5
x2 − 3 = 0
�
1
8
x2 − 6
11
x = 0
Solução:
Quando todos os coeficientes forem não nulos, a equação é denominada equação completa. Nesse
caso, o melhor processo de determinação das soluções da equação é a solução geral dada por:
x =
−B ±
√
∆
2A
37
Onde ∆ = B2 − 4AC
Se ∆ = B2 − 4AC > 0, a equação admite duas ráızes reais e desiguais.
Se ∆ = B2 − 4AC = 0, a equação admite duas ráızes reais e iguais.
Se ∆ = B2 − 4AC < 0, a equação não admite ráızes reais.
Quando uma equação apresenta o coeficiente B = 0 ou C = 0, a equação é denominada incom-
pleta.
Embora a solução geral também resolva as equações incompletas, existem para elas métodos
mais simples de solução.
1º caso: C = 0
A equação reduz à expressão Ax2 +Bx = 0.
Para encontrarmos a solução do primeiro caso, colocaremos a variável x, que é um fator comum
a ambos os termos da equação, em evidência: x(Ax+B) = 0.
Para um produto de dois elementos ser zero, é necessário que x = 0 ou Ax + B = 0 ⇒ Ax =
−B ⇒ x = −B
A
Assim as ráızes da equação são: x = 0 e x = −B
A
.
2º caso: B = 0
A equação reduz à expressão Ax2 + C = 0.
Para encontrarmos a solução do segundo caso, isolaremos a variável x, obtendo Ax2 = −C ⇒
x2 = −C
A
⇒ x = ±
√
−C
A
.
Se −C
A
≥ 0 a equação admitirá duas ráızes reais x =
√
−C
A
e x = −
√
−C
A
Se −C
A
< 0 a equação não admite ráızes reais.
3º caso: B = 0 e C = 0
A equação reduz à expressão Ax2 = 0.
Para encontrarmos a solução do terceiro caso, isolaremos a variável x, obtendo Ax2 = 0⇒ x2 =
0
A
⇒ x = 0.
Portanto, a ráız da equação é x = 0
Exemplo 18 Resolver as equações:
a) x2 − 7x+ 12 = 0
Nesse caso, A = 1, B = −7 e C = 12.
38
Portanto ∆ = (−7)2 − 4(1)(12) = 1 e x = −(−7)±
√
1
2(1)
= 7±1
2
, assim temos:
x′ = 4 e x” = 3
b) 4x2 − 10x = 0
4x2 − 10x = 0⇒ x(4x− 10) = 0⇒ x = 0 ou 4x− 10 = 0⇒ 4x = 10⇒ x = 10
4
= 5
2
Potanto as ráızes da equação são x′ = 0 e x” = 5
2
c) 3x2 − 27 = 0
3x2 − 27 = 0⇒ 3x2 = 27⇒ x2 = 27
3
⇒ x2 = 9⇒ x = ±
√
9⇒ x = ±3
Portanto as ráızes da equação são x′ = 3 e x” = −3.
5.1.3 Equação exponencial
Equação exponencial é toda aquela que apresenta incógnita no expoente.
As equações abaixo são Equações exponenciais:
� 2x = 256
� 3x+1 = 9
� 4x = 1024
� 2x+2 = 512
Solução das equações exponenciais:
As equações exponenciais possuem um método de resolução diferenciado, precisamos igualar
as bases para aplicarmos a propriedade de igualdade entre os expoentes.
Ou seja, ax = ay ⇒ x = y
Exemplo 19 Resolva as equações exponenciais:
1) 2x = 256
2x = 256⇒ 2x = 28 ⇒ x = 8.
2) 3x+1 = 9
3x+1 = 9⇒ 3x+1 = 32 ⇒ x+ 1 = 2⇒ x = 1.
3) (2
5
)3x = 25
4
(2
5
)3x = 25
4
⇒ (2
5
)3x = 5
2
22
⇒ (2
5
)3x = (5
2
)2 ⇒ (2
5
)3x = (2
5
)−2 ⇒ 3x = −2⇒ x = −2
3
39
4) 25x − 6.5x + 5 = 0
25x − 6.5x + 5 = 0⇒ (52)x − 6.5x + 5 = 0⇒ (5x)2 − 6.5x + 5 = 0
Fazendo y = 5x, temos:
y2 − 6y + 5 = 0, vamos encontrar as ráızes da equação do segundo grau
Temos: ∆ = (−6)2 − 4(1)(5) = 26− 20 = 16 e y = −(−6)±
√
16
2(1)
= 6±4
2
.
Portanto y′ = 5 e y” = 1.
Assim, se y = 5, temos 5x = 5⇒ x = 1
E se y = 1, temos 5x = 1⇒ 5x = 50 ⇒ x = 0.
Portanto as soluções da equação são x = 1 e x = 0.
5) 2x = 30
Como 30 não é potência exclusiva do número 2, não podemos resolver essa equação como
os exemplos acima. Mas podemos resolver essa equação utilizando logaritmo da seguinte
forma:
2x = 30⇒ ln(2x) = ln(30)⇒ x ln(2) = ln(30)⇒ x = ln(30)
ln(2)
.
5.1.4 Logaritmo
Se a ∈ R, a > 0, a 6= 1 e x ∈ R, x > 0, então o número real y tal que ay = x é denominado
logaritmo de x na base a e denota-se y = loga(x).
Veja a relação entre Potências e Logaritmos:
� 23 = 8⇔ log2(8) = 3
� 42 = 16⇔ log4(16) = 2
� 2−3 = 1
8
⇔ log2(18) = −3
Casos especiais:
1. Se a = 10, dizemos que y é o logaritmo decimal de x e denotamos: y = log(x)
2. Se a = e (aproximadamente 2,718218), dizemos que y é o logaritmo natural de x e deno-
tamos y = ln(x).
3. Passaremos a utilizar sempre a base e.
Propriedades:
40
1. ln(1) = 0
2. ln(e) = 1
3. ln(x.y) = ln(x) + ln(y)
4. ln(x
y
) = ln(x)− ln(y)
5. ln(xα) = α ln(x), α ∈ R
6. loga(x) =
ln(x)
ln(a)
(mudança de base)
5.1.5 Equação logaŕıtmica
Uma equação logaŕıtmica apresenta a incógnita na base do logaritmo ou no logaritmando.
Observe algumas Equações logaŕıtmicas:
� ln(x) = 2
� ln(9) = x+ 3
� ln(x2 − 5) = 1024
� log2(6) = x+ 2
Solução das equações logaŕıtmicas:
Ao resolver equações logaŕıtmicas, devemos ter ciência das propriedades operatórias dos
logaritmos, pois elas podem facilitar o desenvolvimento dos cálculos. Há, até mesmo, algumas
situações em que não é posśıvel resolver a equação sem lançar mão dessas propriedades.
Para resolver equações logaŕıtmicas, aplicamos os conceitos tradicionais de resolução de equações
e de logaritmos até que a equação chegue a dois posśıveis casos:
Caso 1. Igualdade entre logaritmos de mesma base:
Se ao resolver uma equação logaŕıtmica, chegarmos a uma situação de igualdade entre logaritmos
de mesma base, basta igualar aos logaritmandos.
loga(b) = loga(c)⇔ b = c
Caso 2. Igualdade entre um logaritmo e um número real
Se a resoluçãode uma equação logaŕıtmica resultar na igualdade de um logaritmo e um número
41
real, basta aplicar a propriedade básica do logaritmo:
loga(b) = x⇔ ax = b
Exemplo 20 Resolva as equações logaŕıtmicas:
1. log2(x+ 1) = 2
Vamos testar a condição de existência desse logaritmo. Para tanto, o logaritmando deve
ser maior do que zero:
x+ 1 > 0⇒ x > −1
Nesse caso, temos um exemplo do 2° caso, portanto, desenvolveremos o logaritmo da
seguinte forma:
log2(x+ 1) = 2⇒ 22 = x+ 1⇒ x = 4− 1⇒ x = 3
2. ln(2x+ 3) = ln(x)
Testando as condições de existência, temos: 2x+ 3 > 0⇒ 2x > −3⇒ x > −3
2
e x > 0
Nessa equação logaŕıtmica, há um exemplo do 1º caso. Como há uma igualdade entre
logaritmos de mesma base, devemos formar uma equação apenas com os logaritmandos:
ln(2x+ 3) = ln(x)⇒ 2x+ 3 = x⇒ 2x− x = −3⇒ x = −3
3) ln(x+ 2)− ln(2x) = ln 5
Verificando as condições de existência, temos:
x+ 2 > 0⇒ x > −2 e 2x > 0⇒ x > 0
Aplicando as propriedades do logaritmo, podemos escrever a subtração de logaritmos de
mesma base como um quociente:
ln(x+ 2)− ln(2x) = ln 5⇒ ln(x+2
2x
) = ln 5
Chegamos a um exemplo do 1º caso, portanto devemos igualar os logaritmandos:
x+2
2x
= 5⇒ x+ 2 = 10x⇒ 9x = 2⇒ x = 2
9
5.2 Inequações
As equações são úteis quando queremos que dois valores coincidam, entretanto, há mui-
tas aplicações práticas que não se enquadram nesse modelo, como aquelas nas quais é preciso
comparar alternativas. Em problemas desse tipo, o objetivo é descobrir, dentre várias opções,
qual possui o menor custo, ou fornece o maior benef́ıcio. Para resolver esse tipo de problema,
substitúımos o śımbolo ”=”das equações por um dos śımbolos ”≤”, �”, �”ou ”≥”. Obtemos,
42
assim, uma inequação, ou desigualdade.
Propriedades das inequações:
Sejam dadas as inequações cujas expressões são A,B,C e D. Temos que as seguintes propri-
edades são válidas.
1. Se A ≤ B, então B ≥ A
2. Se A ≤ B e B ≤ C, então A ≤ C
3. Se A ≤ B, então A+ C ≤ B + C
4. Se C > 0 e A ≤ B, então CA ≤ CB
5. Se C < 0 e A ≤ B, então CA ≥ CB
6. Se A ≤ B e C ≤ D, então A+ C ≤ B +D
São exemplos de inequações:
� Se −5 ≤ x, então x ≥ −5
� Se x ≤ y e y ≤ 64, então x ≤ 64
� Se x− 3 ≤ 7, então x− 3 + 3 ≤ 7 + 3⇒ x ≤ 10
� Se 0, 5x ≤ 12, então 2.0, 5x ≤ 2.24⇒ x ≤ 48
� Se −3x ≤ 9, então −1
3
.(−3x) ≥ −1
3
.9⇒ x ≥ −3
� Se x ≤ 8 e y ≤ 5, então x+ y ≤ 8 + 5⇒ x+ y ≤ 13
5.2.1 Inequação do 1° grau
Chama-se inequação do 1° grau, na variável x, a qualquer expressão algébrica que possa ser
reduzida a uma das formas:
1. Ax+B < 0
2. Ax+B ≤ 0
3. Ax+B > 0
43
4. Ax+B ≥ 0, com A,B ∈ R,A 6= 0.
Solução:
Para obter a solução de uma inequação do 1° grau, podemos utilizar o processo dedutivo,
que consiste em isolar a variável x, realizando para isto operações inversas na ordem inversa.
Devemos observar que, nas desigualdades, toda vez que multiplicamos ou dividimos ambos os
membros por um número negativo, devemos inverter o sinal da desigualdade.
Exemplo 21 Resolva as inequações:
1) 6x+ 7 > 0
6x+ 7 > 0⇒ 6x > −7⇒ x > −7
6
.
2) −9
5
x− 3 ≤ 0
−9
5
x− 3 ≤ 0⇒ −9
5
x ≤ 3⇒ x ≥ −5
9
.3⇒ x ≥ −5
3
3) 1
8
x− 6
11
≥ −13x+16⇒ 11x−48
88
≥ 88(−13x+16)
88
⇒ 11x−48 ≥ −1144x+1408⇒ 11x+1144x ≥
1408 + 48⇒ 1155x ≥ 1456⇒ x ≥ 1456
1155
5.2.2 Inequação do 2° grau
Chama-se inequação do 2° grau, na variável x, a qualquer expressão algébrica que possa ser
reduzida a uma das formas:
1. Ax2 +Bx+ C < 0
2. Ax2 +Bx+ C ≤ 0
3. Ax2 +Bx+ C > 0
4. Ax2 +Bx+ C ≥ 0, com A,B,C ∈ R,A 6= 0.
Solução:
Para obter a solução de uma inequação do 2° grau, podemos considerar as três etapas a
seguir:
1. Resolver a equação Ax2 +Bx+ C = 0
44
2. Estabelecer a variação de sinais do trinômio y = Ax2 +Bx+ C.
3. Apresentar a solução algébrica, atendendo a desigualdade fixada pela inequação.
Exemplo 22 Resolva as inequações:
1) x2 − 10x+ 21 > 0
Resolver a equação x2 − 10x+ 21 = 0
Temos: ∆ = (−10)2 − 4(1)(21) = 100− 84 = 16 e x = −(−10)±
√
16
2(1)
= 10±4
2
.
Portanto x′ = 3 e x” = 7.
Estabelecer a variação do sinal y = x2 − 10x+ 21
Como A > 0, então:
Como a inequação fixa y > 0, o sinal de y é positivo, e a solução é dada por:
S = {x ∈ R|x < 3 ou x > 7}
2) x2 − 2x+ 10 ≥ 0
Resolver a equação x2 − 2x+ 10 = 0
Temos: ∆ = (−2)2 − 4(1)(10) = 4− 40 = −36. A equação não admite ráızes reais.
Estabelecer a variação do sinal y = x2 − 2x+ 10
Como A > 0, então
Como a inequação fixa y ≥ 0, o sinal de y é positivo ou nulo, e a solução é dada por:
S = R
3) −x2 − 4x− 4 ≥ 0
Resolver a equação −x2 − 4x− 4 = 0
Temos: ∆ = (−4)2 − 4(−1)(−4) = 16− 16 = 0 e x = −(−4)±
√
0
2(−1) =
4±0
−2 .
Portanto x′ = −2 e x” = −2.
Estabelecer a variação do sinal y = −x2 − 4x− 4
Como A < 0, então:
45
Como a inequação fixa y ≥ 0, o sinal de y é positivo ou nulo, e a solução é dada por:
S = {x ∈ R|x = −2}
5.2.3 Inequação Exponencial
Veremos dois casos para resolução de inequações exponenciais. O primeiro será quando
ambos os membros da desigualdade puderem ser representados como potência de mesma base
a (0 < a 6= 1). O segundo caso ocorrerá quando a inequação não pode ser reduzida a uma
desigualdade de potências de mesma base.
Caso 1:
Lembrando que a equação exponencial f(x) = ax é crescente, se a > 1, ou decrescente, se
0 < a < 1, portanto:
Se b e c são números reais, então:
Para a > 1 tem-se ab > ac ⇔ b > c
Para 0 < a < 1 tem-se ab > ac ⇔ b < c
Caso 2:
Para as inequações que não podem ser reduzidas a uma desigualdade de potências de mesma
base, aplicamos:
ax > b⇔
 logc ax > logc b se c > 1logc ax < logc b se 0 < c < 1
ax < b⇔
 logc ax < logc b se c > 1logc ax > logc b se 0 < c < 1
Exemplo 23 Resolva as inequações exponenciais:
1) 2x > 128
2x > 128⇔ 2x > 27
Como a base é maior que 1, então x > 7
S = {x ∈ R|x > 7}
46
2) (3
5
)x ≥ 125
27
(3
5
)x ≥ 125
27
⇔ (3
5
)x ≥ (3
5
)−3
Como a base está compreendida entre 0 e 1, temos x ≤ −3
S = {x ∈ R|x ≤ −3}
3) ( 3
√
2)x < 4
√
8
( 3
√
2)x < 4
√
8⇔ 2x3 < 2 34
Como a base é maior que 1, temos: x
3
< 3
4
⇔ x < 9
4
S = {x ∈ R|x < 9
4
}
4) 3x > 2
3x > 2⇒ log3 3x > log3 2⇒ x log3 3 > log3 2⇒ x > log3 2
S = {x ∈ R|x > log3 2}
5) 23x−1 ≤ 1
5
23x−1 ≤ 1
5
⇒ 23x
2
≤ 1
5
⇒ 8x ≤ 2
5
⇒ log8 8x ≤ log8 25 ⇒ x ≤ log8
2
5
S = {x ∈ R|x ≤ log8 25}
6) 23x−1 > 32x+1
23x−1 > 32x+1 ⇒ 23x
2
> 32x.3 >⇒ 23x
32x
> 3.2⇒ 8x
9x
> 6⇒ (8
9
)x > 6⇒ log 8
9
(8
9
)x < log 8
9
6⇒
x < log 8
9
6
S = {x ∈ R|x < log 8
9
6}
5.2.4 Inequações Logaŕıtmicas
Aqui também veremos dois casos para resolução de inequações logaŕıtmicas. O primeiro
será quando ambos os membros da desigualdade puderem ser representados pela mesma base a
(0 < a 6= 1). O segundo caso ocorrerá quando a inequação é reduźıvel a uma desigualdade entre
um logaritmo e número real.
Caso 1:
Quando ambos os membros da desigualdade puderem ser representados pela mesma base a
(0 < a 6= 1) e sabendo que função logaritmica é crescente se a > 1 e descrecente se 0 < a < 1,
47
então teremos duas possibilidades da seguinte forma:
loga f(x) > loga g(x)⇔
 f(x) > g(x) > 0 se a > 10 < f(x) < g(x) se 0 < a < 1
Caso 2:
O segundo caso occore quando a inequação é reduźıvel a uma desigualdade entre um logaritmo
e número real.
Para resolvermos uma inequações deste tipo, basta notarmos que o número k pode ser assim
expresso
k = k. loga a = loga a
k
Portanto, são equivalentes as inequações:
loga f(x) > k ⇔ loga f(x) > loga ak
e
loga f(x) < k ⇔ loga f(x) < loga ak
Ou seja, teremos as seguintes possibilidades:
loga f(x) > k ⇔
 f(x) > ak se a > 10 < f(x) < ak se 0 < a < 1
loga f(x) < k ⇔
 0 < f(x) < ak se a > 1f(x) > ak se 0 < a < 1
Exemplo 24 Resolva as inequações logaŕıtmicas:
1) log2(2x− 1) < log2 6
Como a base é maior que 1, então teremos:
log2(2x− 1) < log2 6⇒ 0 < 2x− 1 < 6⇒ 1 < 2x < 7⇒ 12 < x <
7
2
S = {x ∈ R|1
2
<x < 7
2
}
2) log 1
3
(x2 − 4x) > log 1
3
5
Como a base está entre 0 e 1, então teremos:
log 1
3
(x2 − 4x) > log 1
3
5⇒ 0 < x2 − 4x < 5⇒ x2 − 4x > 0⇒ x < 0 ou x > 4 (I)x2 − 4x < 5⇒ x2 − 4x− 5 < 0⇒ −1 < x < 5 (II)
48
S = {x ∈ R| − 1 < x < 0 ou 4 < x < 5}
3) log3(3x+ 2) < 2
log3(3x+ 2) < 2⇒ 0 < 3x+ 2 < 32 ⇒ −2 < 3x < 7⇒ −23 < x <
7
2
S = {x ∈ R| − 2
3
< x < 7
2
}
4) log 1
3
(2x2 − 7x+ 5) ≤ −2
log 1
3
(2x2 − 7x+ 5) ≤ −2⇒ 2x2 − 7x+ 5 ≥ (1
3
)−2 ⇒ 2x2 − 7x+ 5 ≥ 9⇒
2x2 − 7x− 4 ≥ 0⇒ x ≥ −1
2
ou x ≤ 4
S = {x ∈ R|x ≥ −1
2
ou x ≤ 4}
49
6 Relações e Funções
Nossa discussão sobre conjuntos foi sugerida pela utilização do termo em conexão com os
vários tipos de números de nosso sistema numérico.
Contudo, conjuntos também podem se referir a objetos que não sejam números.
Em particular, podemos falar de conjuntos de ”pares ordenados”que serão definidos logo a seguir
que nos levarão aos importantes conceitos de relações e funções.
6.1 Par Ordenado
Um par ordenado, denotado por (x, y), é um par de elementos onde x é o Primeiro elemento
e y é o Segundo elemento do par.
A ordem é relevante em um par ordenado.
Logo, os conjuntos {a, b} e {b, a} são iguais, mas os pares ordenados (a, b) e (b, a) são diferentes.
A representação de pontos em um plano cartesiano é um exemplo comum de pares ordenados:
o ponto (2,1) é diferente do ponto (1,2).
Veja, abaixo, alguns exemplos de pares ordenados
50
Exemplo 25 Num papel quadriculado, em um mesmo plano cartesiano, localize os pontos:
A = (−2, 4);B = (3, 4);C = (2, 0);D = (−2,−3);E = (1,−3)
6.2 Produto Cartesiano
Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo S. O Produto Cartesiano (ou produto
cruzado) de A e B, denotado por A×B e o conjunto definido por:
A×B = {(x, y)|x ∈ A e y ∈ B}
Ou seja, o Produto Cartesiano A×B é o conjunto de todos os pares ordenados cujas primeiras
coordenadas pertençam ao conjunto A e cujas segundas coordenadas pertençam ao conjunto B.
Exemplo 26 Sejam A = {1, 2} e B = {3, 4}. O produto cartesiano será dado por:
A×B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}
Para ampliar nosso horizonte, vamos admitir agora que x e y incluem todos os números reais.
Então o produto cartesiano resultante
x× y = {(a, b)|a ∈ R e b ∈ R}
representaria o conjunto de todos os pares ordenados cujos elementos tem valores reais.
6.2.1 Relação
Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação em A × B é qualquer subconjunto R de
A×B.
51
A relação mostrada na figura acima é:
R = {(a, 3), (b, 3), (c, 2), (c, 3), (d, 2), (d, 3)}
Uma relação R de A em B pode ser denotada por R : A→ B.
Exemplo 27 Se A = {1, 2} e B = {3, 4}, o produto cartesiano é
A×B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)} e neste caso, temos algumas relações em A×B:
R1 = {(1, 3), (1, 4)}
R2 = {(1, 3)}
R3 = {(2, 3), (2, 4)}
6.3 Conceito de Função
Considere os seguintes diagramas de flecha que representam relações de A em B:
Observemos que, entre essas relações, tem particular importância aquelas que obedecem à
definição seguinte:
Definição 7 Uma relação f de A em B é uma função se e somente se:
a) Todo elemento x pertencente a A tem um correspondente y pertencente a B definido pela
relação, chamado imagem de x.
b) A cada x pertencente a A não podem corresponder dois ou mais elementos de B por meio de
f .
Verificamos que as relações a), b), e e) do diagrama anterior são funções de A em B, ao passo
que c) não é uma função, pois um dado x pertencente a A correspondem dois elementos de B;
d) também não é função, pois existem elementos de A que não correspondem em B.
52
6.4 Normas elementares para o estudo de uma função
Quando temos uma função real, y = f(x), de A em B, vamos nos referir alternativamente a
x como a variável independente e a y como a variável dependente.
6.4.1 Domı́nio e Imagem
O conjunto de todos os valores permisśıveis que x pode assumir em um dado contexto é
conhecido como o domı́nio da função, que pode ser um subconjunto do conjunto de todos os
números reais.
O valor y para o qual um valor x é mapeado é denominado a imagem daquele valor x. O
conjunto de todas as imagens é denominado a imagem da função, que é o conjunto de todos
os valores que a variável y pode assumir.
Assim, o domı́nio pertence à variável independente x, e a imagem tem a ver com a variável
independente y.
Exemplo 28 Considere as funções:
a) f(x) = 2
x−3 ;
b) f(x) =
√
x− 2;
c) f(x) = x2 + 5x.
Temos:
a) D(f) = R − {3}, pois o valor x = 3 faz com que o denominador seja zero (não existe a
fração); E Im(f) = R − {0}, pois não existe nenhum valor de x cuja imagem seja zero,
ou seja, f(x) 6= 0;
b) D(f) = {x ∈ R|x ≥ 2}, pois para x < 2 o radicando é negativo e não existe a raiz
quadrada; E Im(f) = {y ∈ R|y ≥ 0}, pois para todo valor de x, a operação da função é
extrair a raiz quadrada e não existe raiz quadrada cujo o resultado seja negativo;
c) D(f) = R pois x pode assumir qualquer valor real; E Im(y) = {y ∈ R|y ≥ −25
4
}, pois
−25
4
é o menor valor que a função pode assumir.
53
6.4.2 Intercepto
São os pontos de intersecção do gráfico de uma função com os eixos. Os pontos de intersecção
copm o eixo x tem coordenadas (x, 0) e são chamados de x-interceptos. Os pontos de intersecção
com o eixo y tem coordenadas do tipo (0, y) e são chamadas de y-intercepto.
Exemplo 29 Vamos obter os pontos de intersecção do gráfico da função:
a) f(x) = 3x+ 2;
b) f(x) = x2 − 1;
c) f(x) = (x2 − 1)(x− 2).
Temos:
a) f(x) = 0⇒ 3x+ 2 = 0⇒ 3x = −2⇒ x = −2
3
.
f(0) = 2
b) f(x) = 0⇒ x2 − 1 = 0⇒ x2 = 1⇒ x = 1 e x = −1.
f(0) = −1
54
c) f(x) = 0⇒ (x2−1)(x−2) = 0⇒ x2−1 = 0 e x−2 = 0. De x2−1 = 0⇒ x2 = 1⇒ x = 1
e x = −1; De x− 2 = 0⇒ x = 2.
f(0) = (02 − 1)(0− 2) = 2
6.4.3 Função Crescente e Decrescente
Dizemos que uma função f é crescente num intervalo [a, b] se à medida que aumenta os
valores de x, dentro do intervalo, as imagens correspondentes também aumentam. Em outras
palavras, f é crescente num num intervalo [a, b] se para quaisquer valores x1 e x2 do intervalo,
com x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2)
Analogamente, dizemos que uma função f é decrescente num intervalo [a, b] se à medida que
aumenta os valores de x, dentro do intervalo, as imagens correspondentes vão diminuindo. Em
outras palavras, f é decrescente num num intervalo [a, b] se para quaisquer valores x1 e x2 do
intervalo, com x1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2)
As figuras abaixo ilustram essas duas situações.
Caso a função tenha a mesma imagem em todos os pontos de um intervalo [a, b], dizemos
que a função é constante naquele intervalo.
55
Exemplo 30 Identifique o intervalo de crescimento e decrescimento da função:
f é crescente em (3,−1
2
) ∪ (2, 4)
f é decrescente em (−1
2
, 2)
6.4.4 Pontos de Máximo e de Mı́nimo
Seja f uma função definida num domı́nio D. Dizemos que x0 é um ponto de máximo
relativo se existe um intervalo aberto A, com centro em x0 tal que:
f(x) ≤ f(x0)∀x ∈ A ∩D
Em outras palavras, x0 é um ponto de máximo relativo se a imagem de todos os valores de
x pertencem ao domı́nio, situados num intervalo centrado em x0, forem menores ou iguais à
imagem de x0. A imagem de x0 é chamada de valor máximo de f .
Analogamente, dizemos que x0 é um ponto de mı́nimo relativo se existe um intervalo aberto
A, com centro em x0 tal que:
f(x) ≥ f(x0)∀x ∈ A ∩D
Em outras palavras, x0 é um ponto de mı́nimo relativo se a imagem de todos os valores de
x pertencem ao domı́nio, situados num intervalo centrado em x0, forem maiores ou iguais à
imagem de x0. A imagem de x0 é chamada de valor mı́nimo de f .
Por outro lado, dizemos que x0 é um ponto de máximo absoluto se:
f(x) ≤ f(x0)∀x ∈ D
e x0 é um ponto de mı́nimo absoluto se:
f(x) ≥ f(x0)∀x ∈ D
56
Exemplo 31 Identifique o ponto de máximo e mı́nimo da função:
f é máximo em (−1
2
, 4)
f é mı́nimo em (2,−2)
6.4.5 Estudo do Sinal de uma funçãoEstudar o sinal de uma função significa obter os valores para os quais y < 0 ou y > 0 ou y = 0.
Do gráfico acima, conclúımos que y < 0 quando x < −3 e x > 3
y ≥ 0 quando −3 ≤ x ≤ 3.
57
Exemplo 32 Faça o estudo de sinal da função:
f > 0 em (−2, 1) ∪ (3, 4)
f < 0 em (−3,−2) ∪ (1, 3)
Exemplo 33 A partir desse gráfico, determine:
a) O domı́nio da função f ;
D(f) = R
b) A imagem da função f ;
Im(f) = R
c) As ráızes da função f ;
Ráızes são -1,6; 0,61 e 1,2.
d) O conjunto onde f(x) > 0;
f > 0 em {x/ ∈ R|x < −1, 6 e 0, 61 < x < 1, 2}
58
e) O conjunto onde f(x) < 0;
f < 0 em {x/ ∈ R| − 1, 6 < x < 0, 61 e x > 1, 2}
f) Os valores máximo e mı́nimo da função f ;
f é mı́nimo em (−1, 2;−3, 6) e máximo em (1, 1)
g) O intervalo para o qual a função é crescente;
f é crescente em (1, 2; 1)
h) O intervalo para o qual a função é decrescente.
f é decrescente em (−∞;−1, 2) ∪ (1;∞)
59
7 Principais funções elemetares e suas aplicações
Nesta seção, será apresentada uma idéia geral das principais funções utilizadas em economia.
Após o estudo das funções, será visto algumas aplicações.
7.1 Função constante
É toda função do tipo y = k, em que k é uma constante real. Verifica-se que o gráfico dessa
função é uma reta horizontal, passando pelo ponto de ordenada k.
7.2 Função do 1º grau
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de R em
R dada por uma lei da forma f(x) = ax+ b, onde a e b são números reais dados e a 6= 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado
termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x− 3, onde a = 5 e b = −3
f(x) = −2x− 7, onde a = −2 e b = −7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0.
7.2.1 Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax+ b, com a 6= 0, é uma reta obĺıqua
aos eixos Ox e Oy.
Exemplo 34 Vamos construir o gráfico da função y = 3x− 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o aux́ılio de uma
régua: (iremos obter os interceptos).
a) Para x = 0, temos y = 3.0− 1 = −1; portanto, um ponto é (0,−1).
60
b) Para y = 0, temos 0 = 3x − 1; portanto, x = 1
3
e outro ponto é (1
3
, 0). Marcamos os pontos
(0,−1) e (1
3
, 0) no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
Observação 6 Já vimos que o gráfico da função afim y = ax+ b é uma reta.
1) O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a
está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
2) Conhecendo-se dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), o coeficiente angular a é dado por
a =
y2 − y1
x2 − x1
=
∆y
∆x
3) O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y =
a.0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo
Oy.
4) Conhecendo um ponto P (x0, y0) de uma reta e seu coeficiente angular a, a função corres-
pondente é dada por:
y − y0 = a(x− x0)
5) Conhecendo-se dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), a equação da reta y = ax + b pode ser
encontrada substituindo-se esses pontos na equação e resolvendo o sistema formado pelos
dois pontos:
y1 = ax1 − b
y2 = ax2 − b
7.2.2 Zero e Equação do 1º Grau
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax+ b, a 6= 0, o número real
x tal que f(x) = 0.
Temos:
f(x) = 0⇒ ax+ b = 0⇒ x = − b
a
61
7.2.3 Crescimento e decrescimento
Consideremos a função do 1º grau y = 3x− 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x
e observar o que ocorre com y:
Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y também
aumentam. Dizemos, então que a função y = 3x− 1 é crescente.
Observamos novamente seu gráfico:
Regra geral: a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é
positivo (a > 0);
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);
Justificativa:
para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Dáı, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).
para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Dáı, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).
7.2.4 Estudo do sinal
Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que
essa função se anula pra raiz x = − b
a
. Há dois casos posśıveis:
1º) a > 0 (a função é crescente)
y > 0⇒ ax+ b > 0⇒ x > − b
a
62
y < 0⇒ ax+ b < 0⇒ x < − b
a
Conclusão:
y é positivo para valores de x maiores que a raiz;
y é negativo para valores de x menores que a raiz.
2º) a < 0 (a função é decrescente)
y > 0⇒ ax+ b > 0⇒ x < − b
a
y < 0⇒ ax+ b < 0⇒ x > − b
a
Conclusão:
y é positivo para valores de x menores que a raiz;
y é negativo para valores de x maiores que a raiz.
Exemplo 35 Dada a função f : R→ R tal que f(x) = 9x− 18, encontre:
I) O domı́nio e a imagem das funções.
f(x) = 9x− 18
D(f) = R
Im(f) = R
63
II) Raiz e Intercepto
f(x) = 9x− 18
Ráız:
9x− 18 = 0
9x = 18
x = 2
Intercepto:
f(0) = 9.0− 18
f(0) = −18
III) Quais os valores onde as funções são crescentes ou decrescentes.
f(x) = 9x− 18
Como a > 0, então f é crescente para todo x em R ou ∀x ∈ R
V) O gráfico das funções.
f(x) = 9x− 18
IV) O estudo dos sinais das funções.
f(x) = 9x− 18
f > 0 em x > 2
f < 0 em x < 2.
64
Exemplo 36 Dada a função f : R→ R tal que f(x) = 10− 5
2
x abaixo, encontre:
I) O domı́nio e a imagem das funções.
f(x) = 10− 5
2
x
D(f) = R
Im(f) = R
II) Raiz e Intercepto
f(x) = 10− 5
2
x
Ráız:
10− 5
2
x = 0
10 = 5
2
x
20 = 5x
4 = x
Intercepto:
f(0) = 10− 5
2
.0
f(0) = 10
III) Quais os valores onde as funções são crescentes ou decrescentes.
f(x) = 10− 5
2
x
Como a < 0, então f é decrescente para todo x em R ou ∀x ∈ R
V) O gráfico das funções.
f(x) = 10− 5
2
x
65
IV) O estudo dos sinais das funções.
f(x) = 10− 5
2
x
f > 0 em x < 4
f < 0 em x > 4.
Exemplo 37 Obtenha a equação da reta que passa por P e tem coeficiente angular a nos
seguintes casos:
P (−3, 2) e a = −5
f(x) = ax+ b
f(x) = −5x+ b
f(−3) = 2
2 = −5(−3) + b
b+ 15 = 2
b = −13
f(x) = −5x− 13
Exemplo 38 Obtenha a equação da reta que passa por esses pontos:
A(−1,−5) e B(6,−3)
f(x) = ax+ b
f(−1) = −5 e f(6) = −3
−5 = −a+ b
66
−3 = 6a+ b
−2 = −7a
a = 2
7
b = −5 + a
b = −5 + 2
7
b = −33
7
7.3 Função do segundo grau ou Quadrática
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de
R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx+ c, onde a, b e c são números reais e a 6= 0.
Exemplo 39 Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
1. f(x) = 3x2 − 4x+ 1, onde a = 3, b = −4, c = 1;
2. f(x) = x2 − 1, onde a = 1, b = 0, c = −1;
3. f(x) = 2x2 + 3x+ 5, onde a = 2, b = 3, c = 5;
4. f(x) = −x2 + 8x, onde a = 1, b = 8, c = 0;
5. f(x) = −4x2, onde a = −4, b = 0, c = 0.
7.3.1 Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 6= 0, é uma curva
chamada parábola.
Exemplo 40 Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribúımos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em
seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
Observação 7 Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos
sempre que:
� se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
� se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
67
7.3.2 Zero e Equação do 2º Grau
Chama-se zeros ou ráızes da função polinomial do 2º grau y = ax2 + bx + c, com a 6= 0, os
números reais x tais que f(x) = 0.
Então as ráızes da função y = ax2+bx+c, são as soluções da equação do 2º grau ax2+bx+c = 0,
as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
∆ = b2 − 4ac
x =
−b±
√
∆
2a
Observação 8 A quantidade de ráızes reais de uma função quadrática depende do valor obtido
para o radicando ,chamado discriminante, a saber:
� quando ∆ é positivo, há duas ráızes reais e distintas;
� quando ∆ é zero, há só uma raiz real;
� quando ∆ é negativo, não há raiz real.
7.3.3 Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mı́nimo V ;
Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V . Em
qualquer caso, as coordenadas de V são (− b
a
,−∆
4a
). Veja os gráficos:
7.3.4 Imagem
O conjunto-imagem Im(f) da função y = ax2 + bx+ c, a 6= 0, é o conjunto dos valores que
y pode assumir. Há duas possibilidades:
68
7.3.5 Crescimento e decrescimento
Em uma parábola, a metade é crescente e a outra metade é decrescente, sendo que o cresci-
mento depende do valor de a.
� No caso de a > 0
f é decrescente em x < − b
a
f é crescente em x > − b
a
� No caso de a < 0
f é crescente em x < − b
a
f é decrescente em x > − b
a
69
7.3.6 Construção da Parábola
É posśıvel construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y),
mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:
1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
3. O vértice V (− b
a
,−∆
4a
) indica o ponto de mı́nimo (se a > 0), ou máximo (se a < 0);
4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;
5. Para x = 0 , temos y = a.02 + b.0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta
o eixo dos y.
7.3.7 Estudo do sinal
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx+ c e determinemos os valores de
x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
Conforme o sinal do discriminante ∆ = b2 − 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:
1º) ∆ > 0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 6= x2). A parábola
intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
2º) ∆ = 0
Nesse caso a função quadrática admite apenas uma raiz real x. A parábola intercepta o
eixo Ox em um ponto e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
3º) ∆ < 0
Nesse caso a função quadrática não admite raiz real. A parábola não intercepta o eixo Ox
e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
70
Exemplo 41 Dada a função f : R→ R tal que f(x) = 12x2 + 2x− 4, encontre:
II) Raiz e Intercepto
Raiz
f(x) = 12x2 + 2x− 4
12x2 + 2x− 4 = 0
∆ = (2)2 − 4.12.(−4) = 4 + 192 = 196
x = −2±14
24
x = −16
24
= −2
3
e x = 12
24
= 1
2
Intercepto
f(0) = −4
I) O domı́nio e a imagem das funções.
71
f(x) = 12x2 + 2x− 4
D(f) = R
V = (− b
2a
,−∆
4a
)
V = (− 2
24
,−196
48
) = (− 1
12
,−49
12
)
Im(f) = {y ∈ R|y ≥ −49
12
}
VI) O gráfico das funções.
f(x) = 12x2 + 2x− 4
III) Quais os valores onde as funções são crescentes ou decrescentes.
f(x) = 12x2 + 2x− 4
Pelo gráfico da função, temos:
f é decrescente em x < − 1
12
f é crescente em x > − 1
12
IV) Máximo e mı́nimo
f(x) = 12x2 + 2x− 4
Pelo gráfico da função, temos:
Mı́nimo em (− 1
12
,−49
12
)
V) O estudo dos sinais das funções.
f(x) = 12x2 + 2x− 4
f < 0 em −2
3
< x < 1
2
f > 0 em x < −2
3
ou x > 1
2
72
Exemplo 42 Dada a função f : R→ R tal que f(x) = −x2 + 4x− 5, encontre:
II) Raiz e Intercepto
Raiz
f(x) = −x2 + 4x− 5
−x2 + 4x− 5 = 0
∆ = (4)2 − 4.(−1).(−5) = 16− 20 = −4
Não há raiz.
Intercepto
f(0) = −5
I) O domı́nio e a imagem das funções.
f(x) = −x2 + 4x− 5
D(f) = R
V = (− b
2a
,−∆
4a
)
V = (− 4
(−2) ,−
(−4)
(−4)) = (2,−1)
Im(f) = {y ∈ R|y ≤ −1}
VI) O gráfico das funções.
f(x) = −x2 + 4x− 5
III) Quais os valores onde as funções são crescentes ou decrescentes.
f(x) = −x2 + 4x− 5
73
Pelo gráfico da função, temos:
f é crescente em x < 2
f é decrescente em x > 2
IV) Máximo e mı́nimo
Pelo gráfico da função, temos:
Máximo em (2,−1)
V) O estudo dos sinais das funções.
f(x) = −x2 + 4x− 5
f < 0 para todo x pertencente aos reais ou f < 0∀x ∈ R
Exemplo 43 Estude o sinal das seguintes funções:
f(x) = x
2−2x−15
4−2x
x2 − 2x− 15 = 0
∆ = (2)2 − 4.1.(−15) = 4 + 60 = 64
x = 2±8
2
x = 10
2
= 5 e x = −6
2
= −3
4− 2x = 0
2x = 4
x = 2
y > 0 em x < −3 ou 2 < x < 5
y < 0 em −3 < x < 2 ou x > 3
74
Exemplo 44 Dê o domı́nio das seguintes funções:
a) f(x) =
√
x2 − 9
x2 − 9 ≥ 0
x2 − 9 = 0
x2 = 9⇒ x = ±3
D(f) = {x ∈ R|x ≥ 3 ou x ≤ −3}
Exemplo 45 Dada a função de demanda p = 30− 5x e a função custo C = 10x− 20:
a) Obtenha o valor de x que maximiza a receita.
R = p.x
R = (30− 5x)x
R = 30x− 5x2
V = (− b
2a
,−∆
4a
)
V = (30
10
, 900
20
) = (3, 45)
b) Obtenha o valor de x que maximiza o lucro.
L = R− C
L = 30x− 5x2 − (10x− 20)
L = −5x2 + 20x+ 20
∆ = 400 + 400 = 800
V = (− b
2a
,−∆
4a
)
V = (20
10
, 800
20
) = (2, 40)
Exemplo 46 O custo médio de fabricação de x unidades de um produto é Cme = 40x+ 10, e
a função receita é R = 90x+ 30x2.
a) Obtenha a função lucro.
C = (40x+ 10)x = 40x2 + 10x
L = R− C
L = 90x+ 30x2 − (40x2 + 10x)
L = −10x2 + 80x
b) Obtenha a quantidade que deve ser produzida e vendida para mazimizar o lucro.
75
∆ = 6400
V = (− b
2a
,−∆
4a
)
V = (80
20
, 6400
40
) = (4, 160)
7.4 Função Racional
É toda função cuja imagem é o quociente de dois polinômios, sendo o denominador um
polinômio não nulo. São exemplo de funções racionais:
� f(x) = x
2−3x−5
x−2
� f(x) = x−7
x2−4
� f(x) = x−1
x+1
Nessa classe de funções tem particcular interesse a função rećıproca f(x) = 1
x
. O domı́nio
dessa função é o conjunto dos reais excluindo o zero. à medida que x aumenta a fração 1
x
vai
diminuindo e tendendo a zero; o mesmo ocorre se x vai diminuindo e ficando muito grande em
valor absoluto.
Por outro lado, a medida que x se aproxima de zero, por valores positivos a fração 1
x
vai ficando
cada vez maior. A medida que x aproxima de zero, por valores negativos a fração 1
x
vai ficando
cada vez maior em valor absoluto, mas com sinal negativo.
Essa curva recebe o nome de hipérbole com ramo no 1º e 3º quadrante.
Observação 9 Considere os posśıveis casos:
� De modo geral, uma função do tipo f(x) = k
x
, em que k é uma constante positiva, tem
como gráfico uma curva semelhante a anterior. Os ramos vão ficando cada vez mais para
cima à medida que cresce o valor de k. O aspecto geral é:
� Se tomarmos a função f(x) = k
x
, em que k é negativo, o gráfico será simétrico ao anterior,
em relação ao eixo x, ou seja, uma hipérbole com os ramos no 2º e 4º quadrante, e terá
a seguinte forma:
76
� Caso tenhamos uma função do tipo y − y0 = kx−x0 , em que x0 e y0 são valores dados, o
gráfico é obtido procedendo-se da seguinte maneira:
a) Traçamos uma reta vertical pelo ponto de abscissa x0.
b) Traçamos uma reta horizontal pelo ponto de ordenada y0.
c) As retss traçadas determinam um novo sistema de coordenadas, com origem no ponto
(x0, y0).
d) Se k > 0, o gráfico será uma hipérbole com ramos nos quadrantes 1 e 3, considerando esse
novo sistema de eixos.
e) Se k < 0, o gráfico será uma hipérbole com ramos nos quadrantes 2 e 4, considerando esse
novo sistema de eixos.
Exemplo 47 Esboce o gráfico das funções:
77
a) f(x) = 1
x
b) f(x) = − 1
x
c) f(x) = 1
x2
78
d) f(x) = 1
x−2
e) f(x) = x+1
x−3
f(x) = x−3+3+1
x−3 =
x−3
x−3 +
4
x−3 = 1 +
4
x−3
7.5 Função Exponencial
A função exponencial é aquela em que a variável é um expoente.
Matematicamente, ela é definida como f de R em R, tal que f(x) = ax, em que a ∈ R, a > 0 e
a 6= 1.
O gráfico dessa função é uma curva obtida ao encontrar alguns pares ordenados que pertencem
à função e ao desenhar essa curva que passa por eles. A observação de alguns gráficos dessas
funções permite deduzir algumas de suas propriedades, que serão discutidas neste tópico.
79
7.5.1 Propriedades